CPIICSC III

COLÉGIO PEDRO II – CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III

1ª CERTIFICAÇÃO - TESTE DE MATEMÁTICA II – ANO 2014 3ª SÉRIE – TURMA: 2306 – PROF. WALTER TADEU

__ de ________________ de 2014

CPII CSC III

Coord. MARIA HELENA M BACCAR TURMA: NOTA:

Nome: GABARITO NÚMERO: ______

1. O paralelogramo ABCD teve seu lado AB e sua diagonal BD divididos, cada um, em três partes iguais, respectivamente, pelos pontos E,F e G,H. Que fração da área do paralelogramo a área do triângulo sombreado FGB representa?

Solução. Considerando a área do paralelogramo como S, temos:

i) A área do triângulo ABD vale

2 ) S ABCD (

A 2 .

1  .

ii) O triângulo DFB possui a mesma altura de ABD, mas sua base FB mede a terça parte da base de AB. A área de DFB vale

6 S 2 . S 3 ) 1 ABD ( A 3 .

1  



 



  .

iii) O triângulo FGB possui a mesma altura de DFB (em relação ao vértice F), mas sua base GB mede a terça parte da base DB. Logo, a área pedida de FGB vale

18 S 6 . S 3 ) 1 DFB ( A 3 .

1  



 



  .

A área de FGB corresponde a 18

1 da área do paralelogramo.

2. Seja ABCD um paralelogramo de área 60. O ponto E é médio do lado BC e F a interseção da diagonal BD com AE. Calcule a área do triângulo ABF sombreado.

Solução. Considere as áreas Y, X e Z, respectivamente dos triângulos FEB, ADF e AFB. Considere ainda, a medida a do lado AD e a/2 do segmento BE, pois E é ponto médio.

i) A área do triângulo ABD vale 30 2 ) 60 ABCD (

A 2 .

1   .

ii) A área do triângulo ABE vale 15, pois a área de ACB vale 30 e BE mede a metade de BC.

iii) Os triângulos ADF e FEB são semelhantes:  

   

  ^A  ^ADF  ^{4 A}  ^FEB 

4 1 ADF A

FEB A a

a 2 ADF A

FEB A

2







 













  .

iv) Organizando as informações num sistema, temos:

3 5 Y 15 15 30y Y3

4z 15 yz

30y 4z

)1(

15y z y4x

30x z

15y z







 

 





 

 

 





 

 

 









.

Logo, a área de ABF = Z = 15 – 5 = 10.

3. Uma empresa possui o logotipo mostrado na figura. Se a medida do raio inscrita no quadrado é 3cm, calcule a área da parte sombreada do logotipo, em cm

. (Use  = 3)

Solução. Observa-se na figura que a área B é a diferença entre a área do triangulo retângulo isósceles de cateto 3cm e a área A do setor circular de ângulo central medindo 45º. Temos:

2 2

cm25 4 ,11 18 9 8 9 2 .4 9 8 .2) 9 B(

Área.

4) A(

Área.

2) otipo (log Área )ii

8 9 2 )B( 9 Área 2 9 2

)3).(3 ) ( Triângulo (Área

8 9 º360

)º45 .()3.(

)A(

Área )i

 

 



 

  

 

 



  





 



 



 







 

 

.

4. Num poliedro convexo de 14 faces triangulares e octogonais, todos os ângulos são triedros (concorrem três arestas em cada vértice). Calcule a quantidade de faces de cada tipo.

Solução. Considerando x o número de faces triangulares e y o número de faces octogonais e utilizando a fórmula que relaciona o número de arestas com a quantidade de arestas que concorrem a um mesmo vértice, temos:

es triangular 88 14x)iv

) octogonais 5 (6

y30 30 42y3 y5

x3 72y8 x3 )3(

14y x

72y8 x3 14y x

2 36 y8x3 )ii

36A 36A3 2 A2

)12A.(

A 3 12A V14 14F V2A

FV2 A

2 V.3 2 A V.p )i









 

 





 

 







 



 





 





 



 



 







 

 







.

São 8 faces triangulares e 6 faces octogonais.

5. Dois cubos, C

e C

, são tais que a aresta de C

é igual à diagonal de C

. Se V

e V

são, respectivamente, os volumes dos cubos C

e C

, calcule a razão

2 1

V V .

Solução. Considere a

e a

as arestas respectivamente de C

e C

. Temos:

 

     

     

  ^{a 9 . 3 9 3 9 3 . 3 3 9 3 3 3 3}

. a 9

3 . a

a V , V Logo

9 3 . a 27

3 3.

a 3

3 a a

3 V 3 a 3 . 3 3 a 3 a a a 3 a a

d

3 a )ii d

a V )i

3 1 3 3 1

1 3 1 2 1

3 1 3

1 3 3 1

2 2 1

1 1 2 1 2 1

2 2 2

3 1 1















 







 



 















 

 









.