AULA 1
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CONJUNTOS
Autor: Anibal Tavares de Azevedo
CONJUNTOS E CONJUNTOS NUMÉRICOS
Consiste no agrupamento de elementos sob uma mesma denominação. Com base nessa denominação pode-se dizer se um determinado elemento pertence ou não a um conjunto (pertinência).
CONJUNTO
EXEMPLOS
CONJUNTOS E CONJUNTOS NUMÉRICOS
EXEMPLO: Planetas do Sistema Solar
CONJUNTOS E CONJUNTOS NUMÉRICOS
Um conjunto é representado por uma letra maiúscula A, B, ... e seus elementos são representados por uma letra minúscula a, b, x, y, ... . Seja um conjunto A, se um elemento x percente a este conjunto, então: x A. Caso contrário: x A.
CONJUNTO - NOTAÇÃO
DIAGRAMA DE VENN
A relação de pertinência entre elementos e um dado conjunto pode ser exibida por meio de um recurso gráfico denominado diagrama de Venn.
A
a
b
d
e
CONJUNTOS E CONJUNTOS NUMÉRICOS
Os elementos de um conjunto podem ser descritos de duas formas: (i) Enumeração: descrição um por um dos elementos.
(ii) Propriedade comum: uso de uma característica para determinar a pertinência ou não de um dado elemento.
DESCRIÇÃO DE UM CONJUNTO
ENUMERAÇÃO - EXEMPLOS
(i) Conjunto das vogais: {a,e,i,o,u} .
(ii) Conjunto dos nomes de meses com 31 dias: {janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro, dezembro} .
(iii) Conjunto dos números ímpares positivos: {1, 3, 5, 7, 9, ...}.
CONJUNTOS E CONJUNTOS NUMÉRICOS
PROPRIEDADE COMUM - EXEMPLOS
Usa-se a seguinte notação:
A é o conjunto formado pelos elementos x tal que x possui a propriedade P. A = { x | x tem a propriedade P}
PROPRIEDADES - EXEMPLOS
(i) {x | x é estado da região sul do Brasil} -> {PR, SC, RS}.
(ii) {x | x é divisor inteiro de 3} -> {1, -1, 3, -3}.
CONJUNTOS E CONJUNTOS NUMÉRICOS
CONJUNTO UNITÁRIO
Chama-se conjunto unitário aquele que possui um único elemento.
EXEMPLOS
(i) Conjunto dos divisores de 1, inteiros e positivos: {1}
(ii) Conjunto das soluções da equação 3x + 1 = 10: {3}
CONJUNTOS E CONJUNTOS NUMÉRICOS
CONJUNTO VAZIO
Chama-se conjunto vazio aquele que não possui elemento algum. O símbolo empregado para o conjunto vazio é .
EXEMPLOS
(i) {x | x x} =
(ii) {x | x é ímpar e múltiplo de 2} =
CONJUNTOS E CONJUNTOS NUMÉRICOS
CONJUNTO-UNIVERSO
Chama-se conjunto universo uma classe que contém todos os elementos utilizados em um assunto. Usa-se o símbolo U.
EXEMPLOS
(i) O conjunto-universo para as soluções reais de uma equação é , isto é, o conjunto de todos os números reais.
CONJUNTOS E CONJUNTOS NUMÉRICOS
CONJUNTOS E CONJUNTOS NUMÉRICOS
CONJUNTOS E CONJUNTOS NUMÉRICOS
CONJUNTOS E CONJUNTOS NUMÉRICOS
CONJUNTOS IGUAIS
Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A pertence a B e, vice-versa. Em símbolos:
EXEMPLOS
(i) { a, b, c, d } = { d, c, b, a } = {a, a, b, b, d, c, d}
(ii) { 1, 3, 5, 7, 9, ...} = { x | x é inteiro, positivo e ímpar }
(iii) { x | 2x + 1 = 5 } = {2}
A = B (x)(x A x B)
Não importa a ordem
CONJUNTOS E CONJUNTOS NUMÉRICOS
SUBCONJUNTO
Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B, se, e somente se, todo elemento de A pertence também a B. Em símbolos:
EXEMPLOS
(i) { a, b } {a, a, b, b, d, c, d}
(ii) { a, b } { a, b }
(iii) { x | x é inteiro e par } { x | x é inteiro }
A B (x)(x A x B)
Não importa a ordem
CONJUNTOS E CONJUNTOS NUMÉRICOS
SUBCONJUNTO
Quando A B, também podemos escrever que A B, isto é, B contém A. Caso exista ao menos um elemento de A que não pertence a B, então, A B, isto é, A não está contido em B.
EXEMPLOS
(i) { a, b, c } {b, c, d, e }
(ii) { a, b } { c, d, e }
(iii) { x | x é inteiro e par } { x | x é inteiro e primo}
A
B
A B
A
B
CONJUNTOS E CONJUNTOS NUMÉRICOS
UNIÃO DE CONJUNTOS
Dados dois conjuntos A e B, chama-se união de A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B.
EXEMPLOS
(i) { a, b } { c, d } = { a, b, c, d }
(ii) { a, b } { a, b, c, d } = { a, b, c, d }
(iii) { a, b, c} = { a, b, c}
A B {x | x A ou x B}
A
B
A B
DIAGRAMA DE VENN
a
b
c
d
Caso (i) Caso (ii)
c
d
a
CONJUNTOS E CONJUNTOS NUMÉRICOS
INTERSEÇÃO DE CONJUNTOS
Dados dois conjuntos A e B, chama-se interseção de A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e a B.
A B {x | x A e x B}
EXEMPLOS
A
B
A B
DIAGRAMA DE VENN
a
b
c
d
Caso (iii) Caso (ii)
c
d
a
b
(i) { a, b, c } { b, c, d, e } = { b, c }(ii) { a, b } { a, b, c, d } = { a, b }
CONJUNTOS E CONJUNTOS NUMÉRICOS
DIFERENÇA DE CONJUNTOS
Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre A e B o conjunto formado pelos elementos de A que não pertencem a B.
A - B = {x | x A e x B}
EXEMPLOS
A
B
A B
DIAGRAMA DE VENN
a
b
c
d
Caso (ii) Caso (iii)
c
d
a
b
(i) { a, b, c } - { b, c, d, e } = { a }(ii) { a, b } - { c, d } = { a, b }
CONJUNTOS E CONJUNTOS NUMÉRICOS
COMPLEMENTAR DE B EM A
Dados dois conjuntos A e B, chama-se complementar de B em relação a A o conjunto A – B, isto é, o conjunto dos elementos de A que não pertencem a B.
= A - B B A
C
EXEMPLOS
A
B
A B
DIAGRAMA DE VENN
a
b
c
d
Caso (ii) Caso (iii)
c
d
a
b
(i) Sejam A = { a, b, c, d, e } e B = { c, d, e } , então:(ii) Sejam A = { a, b, c, d } = B, então:
(iii) Sejam A = {a, b, c, d} e B = , então:
} , {a b
CB A B A C A d c b a CB
