Azly Santos Amorim de Santana

(1)

Universidade Federal da Bahia Instituto de Matem´atica

Curso de Pós-graduação em Matemática Dissertação de Mestrado

M´

etodo de Decomposic

¸˜

ao de Dantzig-Wolfe aplicado ao

problema combinat´

orio de Job-Shop

Azly Santos Amorim de Santana

(2)

M´

etodo de Decomposic

¸˜

ao de Dantzig-Wolfe aplicado ao

problema combinat´

orio de Job-Shop.

Disserta¸cão apresentada ao colegiado do curso de Pós-Gradua¸cão em Matemática da Universidade Federal da Bahia, como requisito parcial para obten¸cão do T´ıtulo de Mestre em Matemática Pura.

Banca examinadora

Profa. Dra Isamara Carvalho Alves (Orientadora).

Prof. Dr. Isaac Costa L´azaro

(3)

Santana, A.

“Método de Decomposição de Dantzig-Wolfe aplicado ao

prob-lema combinat´orio de Job-shop” / Azly Santos Amorim de Santana. Salvador-Ba, 2003.

Orientadora: Dra. Isamara Carvalho Alves (Universidade Federal da Bahia).

Disserta¸cão de Mestrado apresentada ao curso de Pós-graduacão em

Matem´atica da UFBA, 91 p´aginas.

Palavras-Chave:Métodos de Decomposi¸cão, Decomposi¸cão de Problemas Combinatórios, Método de Decomposi¸cão de Dantzig-Wolfe, Problemas de

(4)

(5)

“Vocˆe ´e do tamanho do seus sonhos.”

(6)

Agradecimentos

Nesta etapa da vida, algumas pessoas contribu´ıram para o meu crescimento profissional e

espiritual. Agrade¸co com carinho aos meus pais pela incondicional credibilidade e apoio em todas

as minhas decisões. A “Mô” pela confian¸ca, paciência e amor. A Ana Rita e Simone por me fazer

entender o verdadeiro conceito de amizade. Aos meus primeiros e eternos amigos acadˆemicos Adriana

(Di), Ana Paula (Paulinha), Ab´ılio (Bilolão), Gilson (Ligeirinho), Luciano (Negão), Moema (Mó),

Osvaldo (Junico) e Rog´erio (Mancha). Agrade¸co com muitas saudades os momentos de apoio e divers˜ao

aos queridos companheiros, Adriano (Didi), Alex (Pig), Andréa (Déa), Ariadne, Calitéia (Baixinha),

Concei¸cão (Cei¸ca), Claúdio (Mano), érica (Kinha), Gilmar (Tchê), Ivana (Mocó), Ismar (Dindo),

Jorge (Gump), Jos´e Joaquim, Juceli (J´u), Laura (Gospel), Maur´ıcio (Tio Mau), Odete (Amanda),

Paulo (Nasci), Reinaldo (Amigo), Rosely (Rosy), Stela (Pr´o), Rui. Aos professores Bahiano, Enaldo,

Elinalva, Isaac, Marco Antonio, pelo profissionalismo e car´ater, ao professor J´es pela disponibilidade e

sugestões e, em especial, a Isamara pela credibilidade e dedicada orienta¸cão. Finalmente, à secretária

Tânia por ter sido sempre tão prestativa e a grande amiga C´ıntia Lé que tanto torceu por este t´ıtulo

de mestre.

(7)

Resumo

Neste trabalho, é abordado o método de decomposi¸cão de Dantzig-Wolfe aplicado ao

prob-lema de seq¨uenciamento do tipo job-shop. Este problema tem como caracter´ıstica principal sua

com-plexidade computacional na categoria de um problema NP-dif´ıcil(Jonhson[16] e Zwaneveld[35]). Tais

problemas estão sujeitos a um conjunto de restri¸cões envolvendo as opera¸cões nos produtos e nas

máquinas, cujo objetivo é diminuir o custo de produ¸cão. A metodologia aplicada consiste em

decom-por o problema de job-shop em blocos (i ´e, subproblemas), reduzindo um grande volume de c´alculo

central por cálculos locais. Estes subproblemas são resolvidos separadamente e as suas solu¸cões são

supervisionadas por um n´ıvel coordenador denominado Problema Mestre. Desta forma, o Problema

Mestre gerencia as solu¸cões fazendo com que as combina¸cões convexas destas gerem a solu¸cão do

problema global.

Sendo assim, a partir do problema de job-shop, podemos formular o Problema Mestre e os

sub-problemas correspondentes. Cada subproblema é associado ao conjunto de restri¸cões de uma máquina

e ao Problema Mestre está associado as restri¸cões de acoplamento representadas pelas restri¸cões de

precedência nos produtos. Contudo, ocorre que o conjunto de solu¸cões viáveis de cada subproblema

é ilimitado e pode acontecer infactibilidade. Conseqüentemente, propomos algumas modifica¸cões que

permitem a aplicabilidade do m´etodo aos problemas de seq¨uenciamento do tipo job-shop. Os

resul-tados encontrados por meio de testes num´ericos em problemas de pequeno porte mostraram que a

convergência do método é poss´ıvel, desde que sejam adotados limites adequados para as variáveis do

problema.

(8)

Abstract

This work, address the Dantzig-Wolfe decomposition method applied in job-shop

schedul-ing problems. These problems are well known as NP-hard in the strong sense (Johnson [16] and

Zwaneveld [35]) constrained by capacity and precedence constraints, whose objective is decreasing

the manufacturing cost. The use of this method is justified by the block angular structure of the

technological coefficients matrices. Hence, the applied methodology decomposes the original problem

into blocks (subproblems) supervisioned by a coordinator level (master problem) decreasing a large

volume of central calculus by several local calculus. These subproblems receive a set of parameters

from the master problem and their solutions are sent to the master problem, which combines these

with previous solutions in the optimal way and computes new prices.

From the job-shop problem, the master problem can be modelled considering link constraints

the precedence constraints and the each subproblem is associated with one machine. However, the

viable solution set of each subproblem is unbounded and the method may converge to an unfeasible

solution. Consequently, we propose an modification which will allow us the applicability of this method

in the job-shop problem. The results obtained from numeric tests of lower dimensions showed us that

the convergence of the method is possible since adequate limit are adopted is possible since adequate

limits are adopted.

(9)

Sum´

ario

Resumo vii

Abstract viii

Lista de Figuras xi

Lista de Tabelas xiii

Introdu¸c˜ao 1

1 M´etodo de Decomposi¸c˜ao de Dantizg-Wolfe 3

1.1 Princ´ıpio da Decomposi¸c˜ao de Dantzig-Wolfe . . . 5

1.2 Algumas considera¸c˜oes sobre o algoritmo de Dantzig-Wolfe . . . 11

1.3 Problema Mestre Restrito . . . 12

1.4 Estrat´egia alternativa para decompor o primal . . . 12

1.5 Regi˜ao Xi ilimitada . . . 14

1.6 Limite inferior para o custo m´ınimo . . . 17

1.7 Interpreta¸cão econômica do método . . . 19

1.8 Exemplo num´erico . . . 19

2 Os Problemas de Job-Shop 27 2.1 Os problemas de f´abrica . . . 28

2.1.1 Os produtos e os crit´erios . . . 28

2.1.2 As m´aquinas . . . 29

2.2 O Problema de Job-Shop . . . 29

2.2.1 Formula¸c˜ao Matem´atica . . . 33

2.2.2 M´etodos de Resolu¸c˜ao . . . 34

3 M´etodo de Dantzig-Wolfe e o Problema de Job-Shop 37 3.1 Decomposi¸c˜ao do Job-Shop . . . 37

(10)

Sum´ario x

3.1.1 Modelagem Matem´atica . . . 37

3.1.2 M´etodo de Dantizg-Wolfe . . . 38

3.1.3 Aplica¸c˜ao do m´etodo de Dantzig-Wolfe ao Job-Shop . . . 40

3.1.4 Regi˜aoXk ilimitada . . . 44

3.2 Problemas Testes . . . 46

3.2.1 Problema Teste 1 . . . 46

3.2.2 Problema Teste 2 . . . 65

Conclus˜ao 81

Apˆendice 83

Referˆencias Bibliogr´aficas 86

(11)

Lista de Figuras

1.1 Comportamento dos m´etodos de decomposi¸c˜ao. . . 3

1.2 Estrutura bloco-angular com restri¸c˜oes de acoplamento. . . 5

1.3 Estrutura bloco-angular com vari´aveis de acoplamento. . . 5

1.4 Estrutura bloco-angular com restri¸c˜oes e vari´aveis de acoplamento. . . 5

1.5 Regi˜ao fact´ıvel do conjunto X1. . . 20

1.6 Regi˜ao fact´ıvel do conjunto X₂. . . 20

2.1 Grafo potencial-tarefa representando o exemplo do job-shop. . . 32

2.2 Diagrama de Gantt representando duas solu¸c˜oes para o exemplo do job-shop. . . 32

2.3 Grafo conjuntivo da solu¸c˜aoS2 para o exemplo do job-shop. . . 33

3.1 Convergˆencia do m´etodo do problema teste 1. . . 64

3.2 Diagrama de Gantt representando as solu¸c˜oes encontradas do problema teste 1. . . 64

3.3 Convergˆencia do m´etodo do problema teste 2. . . 79

3.4 Diagrama de Gantt representando as solu¸c˜oes encontradas do problema teste 2. . . 79

A.5 Dire¸c˜oes e dire¸c˜oes extremas . . . 85

(12)

Lista de Tabelas

1.1 Tabela do M´etodo Simplex Revisado referente ao problema mestre. . . 15

1.2 Tabela inicial do simplex revisado do problema mestre. . . 21

1.3 Entra na base a vari´avel λ2₂,sai λ1₂. . . 23

1.4 Entra na base a vari´avel λ2₁,sai s. . . 23

1.5 Solu¸c˜ao ´otima do exemplo 1. . . 23

1.6 Entraλ3₁ e sai λ1₁. . . 24

1.7 Solu¸c˜ao ´otima do exemplo 2. . . 25

2.1 Dados do problema-exemplo de job-shop. . . 31

3.1 Tabela do simplex revisado do problema mestre. . . 45

3.2 Dados do problema teste 1. . . 47

3.3 Tabela inicial do simplex revisado do P.M do problema teste 1. . . 52

3.4 Entra na base a vari´avel λ22, sais4. . . 54

3.5 Entra na base a vari´avel λ₃₂, sais₂. . . 54

3.6 Tabela final na itera¸c˜ao 1 do problema teste 1. . . 55

3.7 Entra na base a vari´avel λ33,saiλ32. . . 58

3.9 Entra na base a vari´avel λ₃₄,saiλ₃₃. . . 60

3.10 Tabela final da itera¸c˜ao 3 do problema teste 1. . . 61

3.11 Limites por itera¸c˜ao do problema teste 1. . . 63

3.12 Compara¸c˜ao das solu¸c˜oes do problema teste 1. . . 63

3.13 Dados do problema teste 2. . . 65

3.14 Tabela inicial do simplex revisado do P.M do problema teste 2. . . 71

3.15 Entra λ32, sai s2. . . 74

3.16 Entra λ₁₂,saiλ₁₁. . . 74

(13)

Lista de tabelas xiii

3.17 Entra λ22, sai s1. . . 74

3.19 Entra λ23,saiλ22. . . 76

3.21 Limites por itera¸c˜ao do problema teste 2. . . 78

(14)

Introdu¸

c˜

ao

Em geral os m´etodos de decomposi¸c˜ao consistem em decompor um problema inicial de grande

porte em problemas com dimens˜oes menores, denominadossubproblemas (ou problemas escravos). Tais

subproblemas s˜ao supervisionados por um n´ıvel de coordena¸c˜ao denominado Problema Mestre (ou

problema coordenador). O procedimento consiste de um conjunto de subproblemasindependentes cuja

fun¸c˜ao objetivo e/ou vetor dos recursos (composta dos multiplicadores simplex do problema mestre)

são atualizados a cada ITERAÇ ÃO de acordo com os parâmetros recebidos do problema coordenador.

Assim, a cada ITERAÇ ÃO, os subproblemas são resolvidos separadamente e, em seguida, enviam suas

solu¸c˜oes ao Problema Mestre.Esta troca de informa¸c˜oes entre o Problema Mestre e os subproblemas

é realizada em um número finito de itera¸cões, garantindo a convergência para o valor ótimo, ou

um sub-ótimo, do problema global. Dentre os principais métodos de decomposi¸cão podemos citar:

as técnicas da Relaxa¸cão Lagrangeana[17][19][27]; o método de Dantzig-Wolfe [10][27]; o método de

Benders[5][18][27]; e o método de Rosen[27]. A aplica¸cão desses métodos dependerá da estrutura

matricial dos coeficientes que envolvem o problema.

Este trabalho aborda, em particular, o m´etodo de decomposi¸c˜ao de Dantzig-Wolfe. Este

método é aplicado em problemas lineares de grandes dimensões onde a matriz de coeficientes possui

uma estrutura especial do tipo bloco angular, isto ´e, um ou mais blocos independentes s˜ao acoplados

por um conjunto de restri¸c˜oes. As restri¸c˜oes de acoplamento, juntamente com a propriedade que

permite reescrever elementos de um conjunto convexo como combina¸c˜ao linear convexa dos seus pontos

extremos, possibilita a forma¸cão de um problema equivalente com um número menor de restri¸cões

denominado Problema Mestre. Este problema ´e resolvido por meio do m´etodo simplex revisado ([4]).

O procedimento de resolu¸cão tem uma interpreta¸cão econômica a qual diz que o problema mestre

coordena as a¸c˜oes dos subproblemas enviando os valores dos multiplicadores do simplex associados

aos recursos usados no problema.

(15)

Introdu¸c˜ao 2

por sua complexidade na categoria de um problema NP-dif´ıcil (Johnson[16] e Zwaneveld [35]). Al´em

disso, os coeficientes das suas restri¸c˜oes apresentam uma estrutura matricial bloco angular. Tais

caracter´ısticas justificam a aplica¸cão de um método de decomposi¸cão. Podemos então a partir do

problema de job-shop, formular um problema equivalente em dois n´ıveis conforme apresentado no

m´etodo de Dantzig-Wolfe. Para isso, construiremos o problema mestre considerando como restri¸c˜oes

de acoplamento as restri¸cões de precedência (restri¸cões nos produtos), e a cada conjunto de restri¸cões

de máquina associaremos um subproblema. No entanto, o conjunto de solu¸cões viáveis é ilimitado e

pode acontecer subproblemas infact´ıveis. Conseqüentemente, são necessárias algumas modifica¸cões nos

espa¸cos de solu¸c˜oes para garantir a aplicabilidade do m´etodo ao problema de job-shop. Primeiramente,

propomos a cria¸cão de limites relacionadas às variáveis envolvidas nas restri¸cões de acoplamento a fim

de limitar os conjuntos de solu¸c˜oes. Em seguida, efetuamos o ajuste das solu¸c˜oes obtidas para garantir

a converg encia ao valor ´otimo do problema global. O texto est´a organizado da seguinte forma:

O Cap´ıtulo 1 come¸ca descrevendo brevemente os m´etodos de decomposi¸c˜ao e em quais

ca-sos podem ser utilizados. Em seguida, enfatizamos o m´etodo de decomposi¸c˜ao de Dantzig-Wolfe,

mostrando de que forma o mesmo é estruturado e quais as altera¸cões necessárias para o caso no qual o

conjunto de solu¸cões é ilimitado. Além disso, mostramos como podemos determinar um limite inferior

para a solu¸cão ótima do problema original bem como a interpreta¸cão econômica do método.

O Cap´ıtulo 2 tem como objetivo definir o problema de job-shop e apresentar a formula¸c˜ao

matem´atica adotada. apresentamos as restri¸c˜oes adotada para o job-shop e as suas principais

carac-ter´ısticas, assim como a sua representa¸c˜ao pelo grafo potencial-tarefa e pelo Diagrama de Gantt.

Finalmente, no Cap´ıtulo 3, reescrevemos o método de Dantzig-Wolfe adaptando-o à nota¸cão

adotada ao problema de job-shop e aplicando ajustes ao conjunto das solu¸c˜oes vi´aveis de forma tal

que garanta a factibilidade do problema mestre e dos subproblemas. Conclu´ımos apresentando testes

numéricos e as respectivas análises que validam a aplicabilidade do método em problemas de pequenas

(16)

Cap´ıtulo 1

M´

etodo de Decomposi¸

c˜

ao de

Dantizg-Wolfe

Em geral, os m´etodos de decomposi¸c˜ao consistem em decompor um problema inicial de grande

porte em problemas com dimens˜oes menores, denominados subproblemas ( ou problemas escravos )

permitindo substituir um grande volume de c´alculo central por c´alculos locais. Tais subproblemas

trabalham de forma paralela, seq¨uencial ou interativa, supervisionados por um n´ıvel de coordena¸c˜ao,

denominado problema mestre (ou problema coordenador). O problema mestre recebe informa¸c˜oes dos

subproblemas e altera, a cada itera¸cão, os parâmetros que atualiza a fun¸cão custo e/ou o vetor de

recursos de cada subproblema, permitindo através de suas solu¸cões uma aproxima¸cão para a solu¸cão

´

otima global, se esta existir. Na Figura 1.1, este processo ´e representado considerando o problema

original particionado empsubproblemas, ondet1, t2,· · · , tp s˜ao as solu¸c˜oes locais dos correspondentes

subproblemas e os λ′s´e o vetor-solu¸c˜ao do problema mestre.

SUBPROBLEMA

N p p

λ λ

1

t t

N 1 SUBPROBLEMA

o o

PROBLEMA MESTRE

(17)

Princ´ıpio da Decomposi¸c˜ao de Dantizg-Wolfe 4

Os métodos de decomposi¸cão são utilizados quando temos um/ou mais dos seguintes

obje-tivos:

• Reduzira dimensão do problema quando o número de variáveis e/ou de restri¸cões é muito elevado

a fim de efetuar a resolu¸c˜ao dos subproblemas de dimens˜oes menores;

• Hierarquizarum processo de decisão em vários n´ıveis, onde cada unidade econômica possui uma

unidade de controle que garante a coordena¸c˜ao entre os subsistemas dos n´ıveis inferiores;

• Descentralizarum problema de decis˜ao decompondo-o em subproblemas com suficiente

autono-mia para tomar suas pr´oprias decis˜oes;

• Particionar um problema com dados heterogˆeneos em subproblemas homogˆeneos;

• Paralelizarde acordo com a evolu¸c˜ao do material para o c´alculo paralelo (multitarefa,

multipro-cessador).

O Princ´ıpio da decomposi¸c˜ao, consiste inicialmente em analisar a estrutura do problema e,

a partir desta informa¸cão, fazer a escolha do método de decomposi¸cão mais adequado. Dentre os

princi-pais métodos clássicos de decomposi¸cão podemos citar: as técnicas da Relaxa¸cão Lagrangeana[17][19][27];

o método de Dantzig-Wolfe [10][27]; o método de Benders[5][18][27] e o método de Rosen[27]:

(i) O método da Relaxa¸cão Lagrangeana e o de Dantzig-Wolfe são aplicados aos problemas que

apresentam a matriz de coeficientes com aestrutura bloco-diagonal com restri¸c˜oes de acoplamento

conforme apresentada na Figura 1.2;

(ii) O m´etodo de Benders ´e aplicado aos problemas que apresentam a matriz de coeficientes com a

estrutura bloco-angular com vari´aveis de acoplamento conforme a Figura 1.3;

(iii) O m´etodo de Rosen ´e aplicados aos problemas que apresentam a matriz de coeficientes com a

estrutura bloco-angular com restri¸c˜oes e vari´aveis de acoplamento conforme a Figura 1.4.

Este trabalho enfatiza o m´etodo de Dantzig-Wolfe. Sendo assim, este cap´ıtulo aborda o

(18)

{

RESTRIÇÕES DE 2 A 1 A B P A P ACOPLAMENTO 1 B 2 B

Figura 1.2: Estrutura bloco-angular com restri¸c˜oes de acoplamento.

{

VARIA´VEIS DE B_P ACOPLAMENTO 1 B 2 B b 1 b 2 b P

Figura 1.3: Estrutura bloco-angular com vari´aveis de acoplamento.

{

VARIA´VEIS DE RESTRIÇÕES DE B P A P ACOPLAMENTO ACOPLAMENTO A1

1 B 2 A 2 B 0 b₁ b₂ b P b

Figura 1.4: Estrutura bloco-angular com restri¸c˜oes e vari´aveis de acoplamento.

1.1 Princ´ıpio da Decomposi¸

c˜

ao de Dantzig-Wolfe

Consideremos o Programa Linear:

(P L)               

minz=cx

Sujeito a :

Ax=b x≥0

(1.1)

cuja matriz dos coeficientes das restri¸c˜oes tem estruturap-bloco angular, com p≥1,na forma:

A=            

A1 A2 · · · Ap

(19)

Notemos que qualquer programa linear pode ser visto nesta forma se for considerado p=1.

Assim, particionando o conjunto de restri¸c˜oes em dois subconjuntos, de acordo com a matrizA,temos o (P L) (1.1) como segue

            

           

minz=cx (1.2)

Sujeito a:

ˆ

A1x = b1 (r1 restri¸c˜oes) (1.3)

A2x = b2 (r2 restri¸c˜oes) (1.4)

x ≥ 0 (1.5)

Assumiremos que o poliedro convexo (Ver defini¸c˜ao no Apˆendice)

S2={x|A2x=b2,x≥0}

´e limitado, e chamaremos o conjuntoE ={x1,· · ·,xj,· · · ,xr}dosrpontos extremos deS2. Portanto,

qualquerx∈S2 pode ser escrito como combina¸c˜ao convexa destes pontos extremos:

x=

r X

j=1

λjxj (1.6)

onde

r X

j=1

λj = 1, (1.7)

λj ≥0; j= 1,· · · , r. (1.8)

O problema original (1.2) - (1.5) dever´a ser visto como segue: selecionemos, de todas as

solu¸c˜oes de (1.4) e (1.5), aquelas que satisfazem (1.3) e minimize z. Substituindo (1.2) em (1.6) e (1.3), obtemos

r X

j=1

( ˆA1xj)λj =b1, (1.9)

e

z=

r X

j=1

(cxj)λj. (1.10)

Definindo,

pj = Aˆ1xj, (1.11)

e

(20)

teremos o Programa Linear (1.2)-(1.5) na vari´avelλj:                                 

minz =

r X

j=1

fjλj (1.13)

Sujeito a:

r X

j=1

pjλj = b1 (1.14)

r X

j=1

λj = 1 (1.15)

λj ≥ 0; j= 1,· · · , r. (1.16)

Este novo problema (1.13)-(1.16), denominado Problema Mestre _{(PM), ´e equivalente ao}

problema original (1.2) - (1.5). O PM cont´em apenas (r1+ 1) restri¸c˜oes, enquanto que o problema

original possu´ıa (r1+r2), significando assim uma considerável redu¸cão no número de restri¸cões para

r₂ muito grande.

Particularmente, a técnica do Método Simplex Revisado [4] é usado para resolver o PM.

Veremos então como isto é feito considerando o coeficiente docusto relativof¯j para a variávelλj do

seguinte modo:

¯

fj =fj−π      pj − − − 1      ; (1.17)

onde o vetor π=fBB−1, para fB=cBxB,ou seja, π ´e o vetor dos multiplicadores do simplex.

Agora, vamos particionarπ: π = (π1, π0) ondeπ1´e ovetor das vari´aveis duais correspondentes `

as restri¸cões(1.14) e π0 é a variável dual correspondente à única restri¸cão (1.15). Então, usando as

defini¸c˜oes (1.11) e (1.12) de fj e pj em ¯fj podemos reescrevˆe-lo na forma,

¯

fj = (c−π1Aˆ1)xj−π0. (1.18)

O crit´erio usual do m´etodo simplex considera

min

j

¯

fj = ¯fs= (c−π1Aˆ1)xs−π0; (1.19)

indicando desta forma a vari´avel λs para entrar na base. Relembremos quexj ´e um ponto extremo

de S2, e notemos que ¯fj é linear em xj. Sabendo-se que uma solu¸cão ótima de um programa linear

convexo, cujo conjunto de restri¸c˜oes ´e limitado, sempre ocorre em um ponto extremo deste conjunto,

(21)

          

         

min (c−π1Aˆ1)x (1.20)

Sujeito a :

A2x=b2, (1.21)

x≥0. (1.22)

Seja xs _{o ponto ´otimo do subproblema (1.20) - (1.22) com valor objetivo ¯}_f

s. Se ¯fs ≥ 0

significa que todos os custos relativos à baseλj são não positivos, logo não podemos mais melhorar a

solu¸cão do PM. Em decorrência, assumiremos que a solu¸cão ótima do problema original PL(1.1) é

x0=

r X

j=1

λjxj (1.23)

onde osxj_{’s s˜ao pontos extremos de}_S

2 correspondentes `a base λj.

Caso contr´ario, se ¯fs <0 ainda podemos melhorar a solu¸c˜ao do PM. Da´ı, λs entra na base

e a coluna correspondente





ˆ A1xs

1



´e atualizada, pr´e-multiplicando-a pelo inverso da base de λj,ou

sejaB−1, originando a nova colunays=B−1 



ˆ A₁xs

1



. Notemos queys ≤0 n˜ao pode ocorrer visto

queS2 foi assumido como limitado produzindo um problema mestre limitado.

A variávelλB a sair da base é determinada pela razão m´ınima usual, ou seja, deixa a base a

vari´avelλr onde o ´ındicer ´e determinado como segue:

¯_b_r yrs

= min

1≤i≤(m+1){

¯_b_i yis

, yis >0}; (1.24)

onde yrs é denominado elemento pivô. Com o pivoteamento, a base inversa,(B−1), as variáveis

duais,(π), e o valor objetivo (z) s˜ao atualizados.

(22)

Princ´ıpio da Decomposi¸c˜ao de Dantizg-Wolfe 9                                                 

minz=c1x1+c2x2+· · ·+cpxp (1.25)

Sujeito a:

A1x1 + A2x2 + · · · + Apxp = b0

B1x1 = b1

B2x2 = b2

. .. = ...

Bpxp = bp

(1.26)

x1≥0, x2 ≥0,· · · ,xp ≤0. (1.27)

com o subproblema (1.20) - (1.22)

                           min p X i=1

(ci−π1Aˆ1)xi (1.28)

Sujeito a:

Bixi=bi, i= 1,· · ·, p

(1.29)

xi ≥0, i= 1,· · · , p. (1.30)

O objetivo (1.28) é uma soma separável emxie as restri¸cões (1.29) são independentes. Desta

forma, este problema pode ser reduzido a p-subproblemas independentes, onde o i-´esimo subproblema

pode ser representado como segue:

                        

min (ci−π1Ai)xi. (1.31)

Sujeito a :

Bixi =bi,

(1.32)

xi ≥0. (1.33)

Adotando-se

Xi={xi|Bixi=bi;xi≥0}, (1.34)

o i-´esimo subproblema apresenta-se:

min

x_i∈Xi

(ci−π1Ai)xi. (1.35)

Um algoritmo de dois n´ıveis para resolver o problema de (1.25) - (1.27) dever´a agora ser

(23)

Algoritmo de Dantzig-Wolfe 10

no segundo. Assumiremos que uma solu¸c˜ao inicial do problema mestre ´e conhecida com a matriz base

correspondente,B, e as vari´aveis duaisπ1, π0.

Neste caso, o algoritmo de decomposi¸c˜ao de Dantzig-Wolfe pode ser visto como segue:

Algoritmo 1.1. Algoritmo de Decomposi¸c˜ao de Dantzig-Wolfe

1. Usando as vari´aveis duaisπ1, resolvemos cada subproblemai(1.31) - (1.33) obtendo

as suas respectivas solu¸c˜oesxi(π1), e o valor ´otimo objetivo,zi0. Seja

x(π1) = (x1(π1),· · · ,xp(π1))t.

2. Calculamos os valores dos custos relativos das vari´aveisλ′_js,f¯j (1.18), e escolhemos

o m´ınimo entre eles:

min

j

¯ fj =

p X

i=1

z_i0−π₀; (1.36)

onde

z_i0 = min (ci−π1Ai)xi.

(1.37)

Se este valor m´ınimo for um valor n˜ao negativo, ou seja ,

min ¯fj ≥0, (1.38)

significa que podemos parar o algoritmo, pois n˜ao existem mais candidatas a entrar na

base. Assim, a solu¸cão ótima para (1.25) - (1.27) é

x0 =

r X

j=1

λjxj, (1.39)

onde xj _{s˜ao pontos extremos de}_S

2 correspondentes à variável básicaλj.

3. Se minf¯j <0, constru´ımos a coluna



  

p X

i=1

Aixi(π1)

1



  

(1.40)

atualizada através da multiplica¸cão pela inversa da antiga base,B−1, e usando a opera¸cão

pivˆo do simplex usual, obtemos uma nova base inversa e um novo vetor dos multiplicadores

(24)

Observa¸c˜oes 11

Se o problema mestre é não degenerado[4], então cada itera¸cão decrescezpara um valor não

nulo. Isto se deve ao fato que existe um n´umero finito de bases poss´ıveis e nenhuma se repete. Sendo

assim, o princ´ıpio da decomposi¸cão de Dantzig-Wolfe encontrará a solu¸cão ótima em um número finito

de itera¸c˜oes.

Observe que a solu¸cão ótima do problema original,x0_{, não é necessariamente qualquer uma}

das solu¸cões dos subproblemas. Por (1.39) temos quex0é alguma combina¸cão convexa de tais solu¸cões. Portanto, o problema mestre não pode obter o ótimo do problema original simplesmente enviando os

correspondentes custosπ1 aos subproblemas. O problema mestre dever´a combinar estas solu¸c˜oes para

obter a solu¸c˜ao global.

1.2 Algumas considera¸

c˜

oes sobre o algoritmo de Dantzig-Wolfe

1. Observamos que o seguinte algoritmo é uma implementa¸cão direta do método simplex revisado.

Exceto o c´alculo dos custos relativos ¯fij que ´e obtido resolvendo o subproblemai. Entretanto, o

algoritmo converge em um n´umero finito de itera¸c˜oes.

2. Em cada itera¸cão, uma melhor solu¸cão básica fact´ıvel para o problema mestre, (1.47)-(1.53),

é obtida ao introduzir a variável não básica λsj, gerada pela solu¸cão do subproblema, (1.55)

- (1.57). Sendo assim, o subproblema fornece um ponto extremo xjs, que corresponde a uma

coluna atualizada





¯ fsj

ysj 

.

3. Em cada itera¸c˜ao um novo vetor dual ´e passado do problema mestre para o subproblema. A base

ótima da última itera¸cão é utilizada, a fim de atualizar a sua fun¸cão, modificando seus custos.

4. Em cada itera¸cão, o subproblema não precisa ser otimizado completamente. é necessário apenas

que o corrente ponto extremoxjs satisfa¸ca ¯fsj ≤0. Neste caso λsj é candidato a entrar na base. 5. Se as restri¸cões do problema mestre são desigualdades, então nós devemos verificar os custos das

vari´aveis de folga que foram adicionadas resolvendo os subproblemas. Para as restri¸c˜oes i do

problema mestre do tipo≤ associada à variável de folgasi,nós temos,

fsi−zsi = (π1, π0) 



e1

0



−0 =π₁. (1.41)

Assim, para um problema de minimiza¸cão uma variável de folga associada com a restri¸cão do

tipo ≤ é eleita a entrar na base se π1 > 0. ( Note que o critério de entrada é π1 < 0 para

(25)

Problema Mestre Restrito 12

6. Para darmos in´ıcio ao método, deveremos partir de uma solu¸cão básica fact´ıvel inicial. Caso,

esta solu¸cão não seja poss´ıvel ao ser acrescentado as variáveis de folga, devemos usar algum

método para obter tal solu¸cão; como por exemplo o Método das Duas Fases ou do Big-M[4].

1.3 Problema Mestre Restrito

Como previamente formulado, o princ´ıpio da decomposi¸c˜ao de Dantzig-Wolfe, resolve

proble-ma de otimiza¸c˜ao em dois n´ıveis. Ao n´ıvel chamadoProblema Mestre (1.13) - (1.16), ´e poss´ıvel

apre-sentar uma nova formula¸cão denominada de Problema Mestre Restrito. Tal problema apresenta além das colunas referente à variável de entrada, as colunas das variáveis que foram retiradas. Então

o problema mestre restrito pode ser escrito na forma

                

               

minf₁λ₁+· · ·+fmλm+f λ (1.42)

Sujeito a:

p1λ1+· · ·+pmλm+pλ=b0

(1.43)

λ1+· · ·+λm+λ= 1 (1.44)

λi ≥0, i= 1,· · · , m, λ≥0 (1.45)

ondem=m1+ 1,osλ′issão as variáveis básicas corrente eλé a variável que está entrando na base.

Assumindo que a variável λ tem um custo relativo ¯f < 0, se a base corrente é não degenerada, a variável que deixar a base terá um ¯f positivo, e portanto, a nova solu¸cão será ótima. O único caso no

qual mais de uma itera¸cão é necessária para passar o teste de otimalidade é quando a base corrente

é degenerada e o elemento pivô, (1.24), na coluna de entrada é negativo. Neste caso, não é muito

vantajoso resolver o problema na forma (1.42) - (1.45).

1.4 Estrat´

egia alternativa para decompor o primal

Uma outra forma de decompor o problema primal (1.25) - (1.27), alterando a forma do

problema mestre (1.13) - (1.16), é considerar as solu¸cões para o conjunto de restri¸cões do subproblema

iescritas como:

xi= r X

j=1

λijxj_i (1.46)

com o xj_i ponto extremo de Xi(1.34); i= 1,2,· · ·, p. Então, é fácil verificar que o problema mestre

(26)

Estrat´egia alternativa para decompor o primal 13                                                  min p X i=1 r X j=1

fijλij (1.47)

Sujeito a: p X i=1 r X j=1

pijλij =b0

(1.48)

r X

j=1

λij = 1, i= 1,2,· · ·, p, (1.49)

λij ≥0 (1.50)

(1.51)

onde

fij = cixji

(1.52)

pij = Aixj_i (1.53)

Este novo problema apresenta algumas vantagens computacionais que podem ser vistas

quando consideramos as solu¸cões de (1.47) - (1.53) pelo método simplex revisado. Além disso, difere

do problema mestre (1.13) - (1.16) obtido inicialmente, em dois aspectos: (1) particularmente, ele

tem p linhas convexas;(2) cada subsistema Bixi =bi,xi ≥0, ´e representado separadamente por um

conjunto de vari´aveisλij.

SejamB uma matriz b´asica fact´ıvel (m1+p)×(m1+p) eπ1, π01,· · ·, π0p as vari´aveis duais

para esta base, comπ1 associado à restri¸cão (1.48) e osπ0i associados à restri¸cão (1.49). Atualizando

a coluna associada `aλij, produzimos

¯

fij = (ci−πAi)xji −π0i. (1.54)

O problema encontrado para ifixo, min

j

¯

fij, ´e equivalente a resolver o i-´esimo subproblema                         

min (ci−π1Ai)xi (1.55)

Sujeito a:

Bixi =bi,

(1.56)

xi ≥0. (1.57)

(27)

O caso da regi˜ao Xi ilimitada 14

Sejaz0_i o valor objetivo minimal do subproblema (1.55) - (1.57) acima. Se

¯

fsj = min i minj

¯

fij = min i (z

0

i −π0i)≥0 (1.58)

a solu¸cão corrente é ótima. Caso contrário, a coluna a entrar na base é aquela com

min

i (z

0

i −π0i). (1.59)

Se o m´ınimo acima ocorre parai=sexjs(π1) ´e solu¸c˜ao do subproblemas, a coluna

correspon-dente à variável a entrar na base é dada por



   

Asxjs(π1) − − − − − us     

,ondeus ´e um vetor p-componente com

um na posi¸c˜aose zeros nas outras. Esta nova coluna entra na base produzindo novos multiplicadores (π1, π0). Colunas similares poderiam ter sido gerados das solu¸c˜oes de outros subproblemas.

Sejam=m1+p, definimos{pij}como as colunas da base corrente, e sejap∗₁,· · · , p∗pas colunas

geradas das ´ultimas solu¸c˜oes dos subproblemas correspondentes a λ∗₁, λ∗₂,· · · , λ∗_p. O novo problema

mestre restrito ser´a

                                     min p X i=1 X j b´asico

fijλij + p X

i=1

f_i∗λ∗_i =b0 (1.60)

p X

i=1

X

j b´asico

pijλij + p X

i=1

p∗_iλ∗_i =b0 (1.61)

X

j b´asico

λij +λ∗i = 1; i= 1,2,· · · , p (1.62)

λij ≥0, i= 1,2,· · · , p j= 1,2,· · ·, r (1.63)

λ∗_i ≥0, i= 1,2,· · · , p (1.64)

1.5 Regi˜

ao

_X

_i

ilimitada

Para um conjunto Xi = {xi|Bixi = bi;xi ≥ 0} ilimitado o algoritmo de decomposi¸c˜ao

de Dantzig-Wolfe deve ser modificado. Neste caso, os pontos de Xi ser˜ao representados como uma

combina¸cão linear convexa dos pontos extremos deXi mais uma combina¸cão linear não negativa das

(28)

xi = r X

j=1

λijxji + l X

k=1

µikdki (1.65)

r X

j=1

λij = 1 (1.66)

λij ≥0, j= 1,2,· · · , r; i= 1,2,· · · , p (1.67)

µik ≥0, k= 1,2,· · ·, l; i= 1,2,· · · , p (1.68)

onde x1

i,x

2 i,· · · ,x

r

i s˜ao pontos extremos de Xi e d

1

i,d

2 i,· · · ,d

l

i s˜ao dire¸c˜oes extremas de Xi. O

problema original dever´a ser transformado no chamado problema mestre nas vari´aveis λij e µik como

segue:                                                    min p X i=1 r X j=1

(cixj_i)λij+ p X i=1 l X k=1

(cidki)µik (1.69)

(Aixj_i)λij+ p X i=1 l X k=1

(Aidki)µik =b0

(1.70)

r X

j=1

λij = 1; i= 1,2,· · · , p (1.71)

λij ≥0, j= 1,2,· · · , r; i= 1,2,· · · , p (1.72)

µik ≥0, k= 1,2,· · · , l; i= 1,2,· · ·, p. (1.73)

Para resolver este problema (1.69)-(1.73) optamos por utilizar o m´etodo simplex revisado visto

que o número de variáveis poderá ser muito grande dependendo da quantidade de pontos extremos

e dire¸cões extremas. A fim de iniciarmos tal método, devemos ter uma solu¸cão básica fact´ıvel com

a sua matriz base correspondente, B, as variáveis duais π1 correspondentes à restri¸cão (1.70) e π0i

correspondente à restri¸cão (1.71). Lembremos que π = (π1, π01,· · · , π0i,· · ·, π0p) = fBB−1, fB é o

custo das vari´aveis b´asicas e ¯b=B−1





b0

1



, mostrado na Tabela 1.1.

(π1, π01,· · · , π0i,· · · , π0p) fB¯b

B−1 ¯b

Tabela 1.1: Tabela do M´etodo Simplex Revisado referente ao problema mestre.

Relembremos que a solu¸cão é ótima para o problema original se os custos relativos das

(29)

de otimalidade devem satisfazer `as seguintes condi¸c˜oes:

(i) λij n˜ao b´asica⇒0≤f¯ij = cixji −π 



Aixji

1



= (ci−π1Ai)xji −π0i (1.74)

(ii) µik n˜ao b´asica⇒0≤f¯ik = cidki −π 



Aidki

0



= (ci−π1Ai)dki (1.75)

Devido ao elevado número de variáveis não-básicas, verificar as condi¸cões de otimalidade

(1.74) - (1.75) é computacionalmente inviável. Portanto devemos determinar se as condi¸cões são

válidas ou não resolvendo os subproblemas. Determinamos inicialmente o conjunto solu¸cão e o valor

objetivo minimal z_i0, de cada subproblema i (1.31) - (1.33) e, em seguida, aplicamos o crit´erio usual do m´etodo simplex (1.58)

Suponhamos primeiramente que o valor da solu¸cão ótima do subproblema é ilimitada. Isto é

poss´ıvel se somente se, uma dire¸c˜ao extremadk

s ´e encontrada tal que (cs−π1As)dks <0. Isto significa

que a condi¸cão (1.75) foi violada. Portanto, a variável µsk é eleita a entrar na base. Neste caso, 



Asdks

0



 é atualizada pré-multiplicando-a por B−1 e a coluna resultante é inserida na Tabela 1.1.

Assim, o método simplex revisado continua com uma próxima itera¸cão.

Consideremos agora a solu¸c˜ao ´otima limitada. Neste caso, (ci −π1Ai)dki ≥ 0 ocorre para

todas as dire¸cões extremas, então a condi¸cão necessária e suficiente (1.75) para que a solu¸cão seja

limitada, é válida. Por outro lado observemos também a validade da equa¸cão (1.74). Sejam xjs um

ponto extremo ótimo e ¯fsj o objetivo ótimo para o subproblemas(1.31)-(1.33). Se ¯fsj ≥0, a condi¸cão

(1.74) ´e v´alida para o subproblema s, ou seja, pela otimalidade dexjs, para cada ponto extremoxj_i,

temos

¯

fij = (ci−π1Ai)xji −π0i≥(cs−π1As)xsj −π0s= ¯fsj (1.76)

e portanto, temos uma solu¸c˜ao ´otima do problema original.

Caso contrário, se ¯fsj <0 então λsj é eleita a entrar na base. Isto é feito inserindo a coluna





¯ fsj

ysj 

 na Tabela 1.1, onde y_sj =B−1 

   

Asxjs

− − − − −

us 

   

ondeus ´e um vetor p-componente com um

na posi¸cão s e zeros nas outras. é importante salientar que se o problema mestre apresentar outras variáveis expl´ıcitas incluindo as variáveis de folga, então deveremos verificar os custos reduzidos destas

(30)

Limite inferior para o custo m´ınimo 17

Em resumo, cada subproblemai´e resolvido separadamente. Se o subproblemasproduz uma

solu¸cão ilimitada, então uma dire¸cão extremadks encontrada, é candidata a entrar na base do problema

mestre. Se o subproblema s produz um ponto ótimo limitado e ¯fsj < 0, então a variável associada

ao ponto extremo é candidato a entrar na base mestre. Se nenhuma dessas condi¸cões ocorre, então

não existem candidatas a entrar na base do problema mestre, ou seja, temos o ótimo. Caso contrário,

podemos aplicar a regra do ¯fsj mais negativo dentre as vari´aveis candidatas a entrar na base mestre.

Selecionando a candidata, atualizamos a coluna correspondente, fazemos os devidos pivoteamentos na

tabela mestre e repetimos o processo com as outras candidatas.

1.6 Limite inferior para o custo m´ınimo

Relembrando o Algoritmo de Dantzig-Wolfe(Se¸c˜ao 1.1) vimos que para satisfazermos o seu

critério de parada t´ınhamos que efetuar muitos cálculos nas itera¸cões. Este fato nos levaria a consumir

muito tempo computacional quando o problema fosse de grande porte.

Por esta raz˜ao, desenvolveremos um limite inferior para o valor objetivo da solu¸c˜ao fact´ıvel do

problema original, e portanto, um limite inferior do objetivo ´otimo. Por outro lado, como o algoritmo

de Dantzig-Wolfe gera pontos fact´ıveis que n˜ao pioram o valor objetivo pelo problema mestre, n´os

temos uma seqüencia de limites superiores não crescente. Então, devemos parar quando a diferen¸ca

entre o objetivo do ponto fact´ıvel corrente e o limite inferior estiver dentro de uma tolerˆancia aceit´avel.

Isto não deverá fornecer o ponto ótimo verdadeiro, mas garantirá boas solu¸cões fact´ıveis dentro de

qualquer precisão desejável ao ótimo.

Considere o problema mestre (1.47)-(1.53), reescrito abaixo;

                                                

minz=

p X i=1 r X j=1

fijλij (1.77)

pijλij =b0

(1.78)

r X

j=1

λij = 1, i= 1,2,· · ·, p, (1.79)

λij ≥0 (1.80)

(31)

Limite inferior para o custo m´ınimo 18

onde

fij = cixji

(1.82)

pij = Aixj_i (1.83)

Multiplicando (1.78) pelos multiplicadores simplexπ₁e (1.79) pelos multiplicadoresπ₀i,somando

e subtraindo da equa¸c˜ao (1.77), produzimos

z−π₁b₀−X

i

π₀i = X

i X

j

λij(fij−π1pij −π0i) (1.84)

O valor da expressão (fij −π1pij −π0i) na equa¸cão (1.84) é o custo relativo para λij, f¯ij.

Resolvendo os subproblemas (1.55)- (1.57), calculamos min

j

¯

fij para cadai. Comoλij ´e n˜ao negativo,

¯

fij, poder´a ser substitu´ıdo por este valor minimal e portanto a equa¸c˜ao (1.84) pode ser vista como a

desigualdade (1.85) abaixo:

z−π1b0−

X

i

π0i ≥ X

i X

j

λijmin j

¯

fij (1.85)

z−π₁b₀−X

i

π₀i ≥ X

i

(min

j

¯ fij)

X

j

λij (1.86)

Substituindo (1.79) a desigualdade (1.86) torna-se:

z ≥ X

i

(min

j

¯

fij) +π1b0+

X

i

π0i (1.87)

Sabendo que (1.87) é válida para todos os valores de z obtido do problema mestre (1.77)-(1.83), então valerá para o valor m´ınimo. Assim,

minz ≥ X

i

(min

j

¯

fij) +π1b0+π0ep (1.88)

ondeep é o vetor p-dimensional com componentes iguais ao valor um. A expressão (1.88) poderá ser

escrito na forma mais compacta fazendo,

(π1, π0)





b0

ep 

=cBB−1 



b0

ep 

=cBxB=zB (1.89)

ondezB ´e o valor dezassociado ´a base corrente, B. Portanto (1.88) torna-se:

minz ≥ zB+ p X

i=1

(min

j fij) (1.90)

(32)

Interpreta¸cão econômica do método 19

1.7 Interpreta¸

c˜

ao econˆ

omica do m´

etodo

Considere um n´ıvel central e um subn´ıvel de uma organiza¸c˜ao descentralizada. O n´ıvel

central opera em um primeiro conjunto de restri¸c˜oes

p X

i=1

Aixi=b0, e o subn´ıvel no segundo conjunto

de restri¸c˜oesBixi=bi, i= 1,2,· · · , p.Temos queb0ebi dever´a ser interpretado como recursos para o

n´ıvel central e subn´ıvel, respectivamente. Durante o curso do algoritmo, informa¸c˜oes s˜ao comunicadas

de um n´ıvel para o outro. O n´ıvel central resolve o Problema mestre e como resultado, valores marginais

π ou recursos centrais, são comunicados para os subn´ıveis. O subn´ıvel resolve os subproblemas nos quais a fun¸cão objetivo incorpora os custos para utiliza¸cão dos recursos centrais. O subn´ıvel então

sugere atividadesxipara incorporar ao n´ıvel central. Durante as itera¸c˜oes, nenhuma informa¸c˜ao direta

correspondente aos coeficientes nas restri¸cões é comunicada entre o n´ıvel central e o subn´ıvel. Além

disso, a informa¸c˜ao do custo ´e comunicado do n´ıvel central para o subn´ıvel.

Na maioria das aplica¸cões, as restri¸cões que não são de acoplamento formam a estrutura

diago-nal, nas quais as vari´aveis s˜ao agrupadas em blocos independentes. Isto significa que os subproblemas

são separados em vários problemas independentes. Em um contexto econômico, a estrutura bloco

angular reflete a divis˜ao em m´ultiplos subn´ıveis independentes, onde cada um comunica diretamente

com o n´ıvel central.

1.8 Exemplo num´

erico

Para ilustrar o princ´ıpio da decomposi¸c˜ao de Dantzig-Wolfe, consideremos o problema

min−x1−x2−2x3−x4

Sujeito a:

(1.91)

x1 + 2x2 + 2x3 + x4 ≤ 40

(1.92)

x1 + 3x2 ≤ 30

(1.93)

2x1 + x2 ≤ 20

(33)

Exemplo 20

x3 ≤ 10

(1.95)

x4 ≤ 10

(1.96)

x3 + x4 ≤ 15

(1.97)

xj ≥ 0 j= 1,· · ·,4

(1.98)

Este problema tem a primeira restri¸c˜ao, (1.92), identificada como de acoplamento e dois

blocos independentes, sendo o primeiro bloco formado pela segunda e terceira restri¸c˜ao (1.93) - (1.94)

e o segundo bloco formado pela quarta, quinta e sexta restri¸c˜ao, (1.95), (1.96) e (1.97) respectivamente,

cujas as regi˜oes fact´ıveis s˜ao mostradas nas Figuras 1.5 e 1.6, respectivamente.

x 1 2 x 10 10 20 30 (6,8)

Figura 1.5: Regi˜ao fact´ıvel do conjuntoX1.

10 15 (5,10) (10,5) 15 10 x 4 3 x

Figura 1.6: Regi˜ao fact´ıvel do conjuntoX₂.

Al´em disso, o problema pode ser decomposto em dois problemas menores, incluindo ao

pro-blema mestre as restri¸c˜oes de convexidade

p X i=1 r X j=1

λij = 1. Seja x1 e x2 solu¸c˜oes fact´ıveis para os

blocos 1 e 2, respectivamente, escrevemosx=

p X

i=1

xi = p X i=1 r X j=1

λijxji,ondex j

i s˜ao pontos extremos do

subproblemai. A fun¸cão objetivo e as restri¸cões de acoplamento são escritas como

z=c₁x1+c2x2

A₁x1+A2x2+s=b

ondec1 = (−1,−1), c2 = (−2,−1), A1 =

h

1 2

i

,A2 =

h

2 1

i

,x1 = (x1, x2),x2 = (x3, x4), b= 40

e s= (s1, s2) tal que s≥0.O problema mestre ´e transformado em

minz=X

j

(c1xj1)λ1j + X

j

(34)

Exemplo 21

Sujeito a:

2

X

i=1

X

j

(Aixj_i)λij+s=b

(1.100)

2

X

i=1

X

j

λij = 1 (1.101)

λij ≥0, i= 1,2 (1.102)

Escolhendox1

1 =x12 = (0,0) e substituindo no problema mestre (1.99)-(1.102), devemos obter

como solu¸c˜ao b´asica inicial

λ11=λ21= 1, s= 40.

Assim, a tabela do simplex revisado ´e como segue:

Vari´avel b´asica Colunas do problema mestre

s λ1₁ λ1₂ −z Constantes

s 1 40

λ1₁ 1 1

λ1₂ 1 1

−z 1 0

Tabela 1.2: Tabela inicial do simplex revisado do problema mestre.

ITERAC¸ ˜AO 1

Os multiplicadores do simplex (vari´aveis duais) para o problema mestre est˜ao contidos no

topo da Tabela 1.2, os quais s˜ao todos nulos. Logo o primeiro conjunto de subproblemas ´e

minz1 =−x1−x2

Sujeito a:

B1x1 ≤b1

onde

B1 =





1 3

2 1



(35)

Exemplo 22

e

minz2 =−2x3+x4

Sujeito a:

B2x2 ≤b2

onde

B2 =

     1 0 0 1 1 1     

com solu¸c˜oes ´otimas:

x2₁ = (6,8) z₁0=−14, x2₂ = (10,5) z₂0=−25. Os custos m´ınimos relativos s˜ao:

min ˆfx1 =z 0

1 −π01=−14≤0,

min ˆfx2 =z 0

2 −π02=−25≤0.

Assim, temos associado a cada solu¸c˜ao dos subproblemas uma coluna do problema mestre.

As colunas correspondentes à solu¸cão corrente são:

       

c1x21

A1x21

1 0         =         −14 22 1 0         e        

c2x22

A2x22

0 1         =         −25 25 0 1        

O problema mestre restrito decorrente do problema mestre corrente mais as novas colunas ´e

como segue;

min−14λ2₁−25λ2₂ (1.103)

Sujeito a:

22λ2

1 + 25λ22 + s = 40

λ1₁ + λ2₁ = 1

λ1₂ + + λ2₂ = 1

(1.104)

com todas variáveis não negativas. O problema (1.103)-(1.104) é resolvido pelo Método Simplex

(36)

Exemplo 23

Vari´avel b´asica Colunas do problema mestre Coluna de entrada

s λ1₁ λ1₂ −z Constantes λ2₂

s 1 40 25

λ1₁ 1 1 0

λ1₂ 1 1 1

−z 1 0 -25

Tabela 1.3: Entra na base a vari´avelλ2₂,sai λ1₂.

s λ1₁ λ1₂ −z Constantes λ2₁

s 1 -25 15 22

λ1₁ 1 1 1

λ2₂ 1 1 1

−z 25 1 25 -14

Tabela 1.4: Entra na base a vari´avelλ2₁,sais.

λ2₁ ₂₂1 −25₂₂ 15₂₂

λ1₁ −₂₂1 1 25₂₂ ₂₂7

λ2₂ 1 1

−z 14₂₂ 200₂₂ 1 34₁₁6

Tabela 1.5: Solu¸c˜ao ´otima do exemplo 1.

a nova solu¸c˜ao para o problema original ´e:

x1 = λ11x11+λ21x21=

7

22(0,0) + 15

22(6,8) (1.105)

x2 = λ22x22 = (10,5) (1.106)

z = −368

11 . (1.107)

ITERAC¸ ˜AO 2

Novos multiplicadores simplex s˜ao encontrados na Tabela 1.5

(π, π01, π02) =

µ

−14

22,0,− 200

22

¶

(37)

Exemplo 24

Esses s˜ao usados para formar novos custos para os subproblemas

z₁ = (c1−πA1)x1 = [(−1,−1) +

14

22(1,2)]x1 =− 8 22x1+

6

22x2 (1.108)

z₂ = (c2−πA2)x2 = [(−2,−1) +

14

22(2,1)]x2=− 16

22x3+− 8

22x4 (1.109)

Minimizandoz₁ ez₂sobre o conjunto de restri¸cões dos subsistemas obtemos a solu¸cão ótima:

x3₁ = (10,0) (1.110)

z₁0 =−80

22 (1.111)

x2₂ = (10,5) (1.112)

z₂0=−200

22 (1.113)

O novo problema mestre restrito ficar´a da forma

min−14λ2₁−25λ2₂−10λ3₁−25λ3₂ (1.114)

Sujeito a:

22λ2₁ + 25λ2₂ + 10λ3₁ + 25λ3₂ = 40

λ1₁ + λ2₁ + λ3₁ = 1 λ2₂ + λ3₂ = 1

(1.115)

A solu¸cão ótima para o problema restrito é uma solu¸cão básica fact´ıvel para este problema,

com base inversa dada no final da Tabela 1.5 da Itera¸c˜ao 1. A solu¸c˜ao do problema (1.114) - (1.115)

´e apresentado nas Tabelas1.6 e 1.7.

s λ1₁ λ1₂ −z Constantes λ3₁

λ2₁ ₂₂1 −25₂₂ 15₂₂ 10₂₂

λ1₁ −₂₂1 1 25₂₂ ₂₂7 12₂₂

λ2₂ 1 1 0

−z 14₂₂ 200₂₂ 1 34₁₁6 −80₂₂

(38)

Exemplo 25

λ2₁ ₁₂1 −10₁₂ −25₁₂ ₁₂5

λ3₁ −₁₂1 22₁₂ 25₁₂ ₁₂7

λ2₂ 1 1

−z ₁₂4 80₁₂ 200₁₂ 1 −110₃

Tabela 1.7: Solu¸c˜ao ´otima do exemplo 2.

A solu¸c˜ao fact´ıvel corrente para o problema original (1.91)-(1.98) ´e

x1 = λ21x12+λ31x31 =

5

12(6,8) + 7

12(10,0) =

µ

25 3 ,

10 3

¶

(1.116)

x2 = λ22x22 = (10,5) (1.117)

z = −110

3 . (1.118)

ITERAC¸ ˜AO 3

Os novos multiplicadores do simplex (ver Tabela 1.7) e as fun¸c˜oes objetivos dos subproblemas

s˜ao

(π, π01, π02) =−

µ

4 12,

80 12,

200 12

¶

(1.119)

z1 = (c1−πA1)x1 = [(−1,−1) +₁₂4(1,2)]x1=−2₃x1+−1₃x2

z2 = (c2−πA2)x2 = [(−2,−1) +₂₂14(2,1)]x2=−4₃x3+−2₃x4

A solu¸cão ótima dos subproblemas é

x4₁ = (6,8) (1.120)

ou

x5₁ = (10,0) (1.121)

z₁0 =−20

3 (1.122)

x4₂ = (10,5); (1.123)

z₂0=−50

3 (1.124)

min ˆfx1 =z 0

1−π01= 0 (1.125)

min ˆfx2 =z 0

2−π02= 0 (1.126)

min ˆcs=−π01=

80

(39)

Exemplo 26

Visto que o valor de (1.125), (1.126) e (1.127) são não negativos, a solu¸cão corrente do problema

mestre é ótima, e a solu¸cão ótima do problema original conforme (1.116) - (1.118), é dada por:

x1 = (x1, x2) = (

25 3 ,

10

3 ) (1.128)

x2 = (x3, x4) = (10,5) (1.129)

z = −110

(40)

Cap´ıtulo 2

Os Problemas de Job-Shop

Os problemas de seqüenciamento do tipo job-shop são problemas combinatórios classificados

NP-dif´ıcil[16]. Este problema de job-shop tem como dados: tarefas, restri¸c˜oes de potencialidade,

recursos e fun¸c˜ao econˆomica.

As tarefas podem ser ligadas porrestri¸c˜oes de potencialidade. Estas englobam: (i) as

restri-¸c˜oes de sucess˜ao, as quais significam, uma tarefa deve ser executada posteriormente a uma outra tarefa;

(ii) as restri¸c˜oes de localiza¸c˜ao no tempo , as quais significam,uma tarefa deve ser conclu´ıda em uma

determinada data ou sua execu¸cão não deve come¸car antes e nem finalizar após uma determinada data.

Estas tarefas requerem certosrecursospara a sua exe cu¸c˜ao. Estes recursos, por sua vez, introduzem

restri¸cõesdisjuntivasno problema. Uma restri¸cão disjuntiva aparecerá quando duas tarefas, utilizando

um mesmo recurso, n˜ao puderem ser executadas simultaneamente. Enfim, deve-se programar as tarefas

de forma a otimizar um determinado critério que será a minimiza¸cão de uma determinada fun¸cão

econˆomica.

De um ponto de vista industrial, num problema de f´abrica, as tarefas (chamadas opera¸c˜oes

elementares) s˜ao reagrupadas em entidades chamadas trabalhos (ou jobs). Um problema de f´abrica,

em geral, contém um conjunto de máquinas distintas e cada trabalho é um conjunto de opera¸cões

elementares, onde cada uma delas deve ser executada numa m´aquina diferente.

Podemos distinguir três tipos de problemas de fábrica , segundo a natureza das restri¸cões de

precedência entre as opera¸cões de um mesmo trabalho[3]: (1) se as opera¸cões são independentes,

trata-se de um problema deopen-shop; (2) se as opera¸cões são ligadas por uma ordem, não necessariamente

(41)

Os problemas de f´abrica 28

por uma mesma ordem para todos os trabalhos, trata-se de um problema deflow-shop.

Em particular, trataremos o problema de job-shop cujas caracter´ısticas ser˜ao mostradas nas se¸c˜oes

seguintes.

2.1 Os problemas de f´

abrica

Nos problemas de fábrica, as tarefas são asopera¸cões elementaresrelativas à fabrica¸cão de um

produto; elas necessitam para sua realiza¸cão de um recurso principal chamadomáquina. A fabrica¸cão

de um produto ´e sempre denominadotrabalho(job). Geralmente, as opera¸c˜oes de um mesmo trabalho

são organizadas em uma seqüência denominadas gama operatória , enquanto que as opera¸cões de

trabalhos diferentes s˜ao independentes.

Consideramos o caso no qual uma fábrica contémm máquinas distintas enprodutos. Cada

produto Pi ´e um conjunto de ni opera¸c˜oes elementares. Assim, existem n0 =

n X

i=1

ni opera¸c˜oes na

fábrica, cada uma delas tendo que ser executada, numa máquina diferente: a utiliza¸cão de uma

máquinakpor uma opera¸cão j é denotadaMk(Oj) =Mk; Nós utilizamos as seguintes nota¸cões:

• P = o conjunto denprodutos (trabalhos) Pi.

• M= o conjunto dem m´aquinas Mk.

• O = o conjunto de todas as opera¸c˜oes(tarefas)Oj.

• O′

= O ∪ {O0, Of im} = o conjunto de todas as opera¸c˜oes (tarefas), incluindo as opera¸c˜oes

fict´ıcias,O0 e Of im, que não são executadas em máquinas e não aparecem nos produtos. Estas

opera¸cões devem ser executadas respectivamente, antes e após todas as opera¸cões Oj ∈ O. O

conjuntoO contém n₀ opera¸cões enquanto que O′ contém (n0+ 2) opera¸cões.

2.1.1 Os produtos e os crit´erios

Os produtos podem chegar na f´abrica numa mesma data ou de forma seq¨uenciada.

Esta-mos falando respectivamente dos problemas est´aticose dinˆamicos. Quando as datas de chegada dos

produtos s˜ao conhecidas de forma determinada podemos impor ao produtoPi,

(42)

O problema de Job-Shop 29

• uma “data mais tarde (di)” que representa o instante limite de fim de sua execu¸c˜ao.

A data de fim de execu¸c˜ao para cada produtoi´e comumente denotada por

Ci = max

1≤j≤ni

{Cj},

ondeCj representa a data de fim de execu¸cão da opera¸cãoj na gama operatória do produto i.

2.1.2 As m´aquinas

As máquinas são recursos disjuntivos e assim, a execu¸cão das opera¸cões que utilizam a mesma

máquina deve ser planejada de tal sorte que as máquinas tenham uma opera¸cão por vez para tratar. O

seqüenciamento dos problemas de fábrica resulta freqüentemente na procura de seqüencias de opera¸cões

sobre as m´aquinas.

Consideramos o caso onde uma opera¸cão só pode ser executada numa única máquina (fábricas

com máquinas especializadas ), e os casos particulares onde todas as opera¸cões são executadas numa

´

unica máquina existente na fábrica (fábricas com uma única máquina).

Nas fábricas com máquinas especializadas, podemos distinguir três tipos de problemas de

fábrica segundo a natureza das restri¸cões de precedência entre as opera¸cões elementares de um mesmo

trabalho denominados[31]: (1) open-shop,(2) job-shop e(3) flow-shop.

O caso particular onde uma só máquina existe na fábrica problemas com uma máquina foi

muito estudado na literatura [3]; a fabrica¸cão de cada produto é então reduzida a uma única opera¸cão

denominada simplesmente tarefa.

2.2 O Problema de Job-Shop

Consideremos os problemas de seq¨uenciamento do tipo job-shop constitu´ıdos por umconjunto

Mde m m´aquinas, umconjunto P de n produtos, um conjunto O de n0 opera¸c˜oes:

M={Mk|k= 1, . . . , m} ; P ={Pi|i= 1, . . . , n} ; e O={Oj|j= 1, . . . , n0}.

A utiliza¸cão de uma máquina Mk por uma opera¸cão Oj é denotado por M(Oj) = Mk. O

número total de opera¸cões executado por uma máquinaMké denotado pormk. A dura¸cão de execu¸cão

(43)

ocupada e todas as outras opera¸cões sobre a mesma máquina aguardarão a sua vez de processamento.

Dessa forma, toda opera¸cão numa máquina terá uma data de in´ıcio de execu¸cão denotada por tj.

Esta data, calculada para cada opera¸cão numa mesma máquina, depende do instante de finaliza¸cão da

opera¸cão precedente. O instante de término para uma opera¸cãoOj é denotadoCj, ondeCj =tj+pj.

Uma opera¸cão pode ser então caracterizada por seu produto, sua posi¸cão na gama operatória,

sua máquina e sua dura¸cão de execu¸cão. A máquina deve ser ocupada durante um per´ıodo de tempo

conhecido a fim de processar a opera¸c˜ao.

A seguir apresentamos as principais caracter´ısticas de um produtoPi:

• ni = n´umero de opera¸c˜oes.

• Pi ={O1;O2;. . .;Oni} = seqüência de opera¸cões (gama operatória).

• pi = ni X

j=1

pj = dura¸c˜ao total de fabrica¸c˜ao dePi.

• ri = instante mais cedo de lan¸camento para toda opera¸c˜ao dePi.

• di = instante mais tarde do fim de execu¸c˜ao para todas as opera¸c˜oes dePi.

• Ci = instante para finalizar o processamento completo dePi, ondeCi= max

1≤j≤ni

{Cj}.

Nos limitamos aos problemas de job-shopest´aticos e determin´ısticos com m´aquinas

especia-lizadas. Dizemos que um problema é estático quando todos os seus dados são conhecidos a priori, e

determin´ıstico quando os tempos associados a cada opera¸c˜ao s˜ao perfeitamente determinados. Dizemos

que o problema é com máquinas especializadas quando possui uma lista de opera¸cões, para cada

produto, e uma ordem de passagem nas m´aquinas, imposta inicialmente.

As restri¸cões do problema de job-shop estão relacionadas às possibilidades de utiliza¸cão das

máquinas e às liga¸cões que podem existir entre as opera¸cões. As restri¸cões que nós adotamos são as

seguintes:

• referentes `as m´aquinas

– As máquinas são independentes umas das outras, e estão dispon´ıveis durante todo o per´ıodo

do seq¨uenciamento.

– Uma máquina não pode executar mais de uma opera¸cão em um determinado instante. A

(44)

– Não pode existir apreemp¸cão, isto é, uma opera¸cão em execu¸cão não pode ser interrompida

pois todas possuem a mesma prioridade.

• referentes aos produtos

– Os produtos s˜ao independentes entre si e n˜ao existe uma ordem de prioridade entre eles.

– Um produto deve passar por uma única máquina a cada vez, ou seja, cada opera¸cão de sua

gama operat´oria deve passar por uma m´aquina diferente.

– Na gama operatória de um produto, cada opera¸cão deve respeitar uma ordem de execu¸cão:

a opera¸cão Oj+1 não pode ser iniciada antes do término deOj.

A fim de tornar mais compreensiva todas as defini¸c˜oes vistas, apresentamos um exemplo de um

proble-ma de job-shop cujos dados são mostrados na Tabela 2.1. O critério de otimiza¸cão deste problema é a

n= 4 m= 3

n1=n2=n3= 3 m1=m2=m3= 4

produto opera¸cão dura¸cão máquina

1 1 3 2

1 2 3 3

1 3 1 1

2 4 3 3

2 5 2 2

2 6 3 1

3 7 1 2

3 8 4 1

3 9 4 3

4 10 4 1

4 11 3 2

4 12 2 3

Tabela 2.1: Dados do problema-exemplo de job-shop.

minimiza¸c˜ao do tempo total de seq¨uenciamento (makespan): min{max

i Ci}.Devemos ent˜ao determinar

a seqüência das opera¸cões em cada máquina, de tal sorte que ela seja a menor poss´ıvel respeitando

todas as restri¸c˜oes do problema.

Podemos tamb´em representar este problema de job-shop utilizando grafo potencial-tarefas

G = (X,C ∪ D) onde X é o conjunto de nós do grafo associado a cada opera¸cão de um determinado

produto, C representa o conjunto relativo aos arcos associados às restri¸cões de precedência e D

rep-resenta o conjunto dos arcos associados `as restri¸c˜oes disjuntivas[31]. Desta forma, o problema acima,

ficar´a ilustrado pelo grafoG como mostra a Figura 2.1.

Na Figura 2.1, mostramos o grafo com o conjunto de arcos conjuntivosC representados pelas

(45)

O problema de Job-Shop 32 MAQUINA 1 1 3 4 2 O12

O 9

O 6

O 3

0 0 3 3 1 4

O 4

O 7

O10

3

2

4

3

O 2

5

O 8

O11

O 0

O 1

Ofin

O

MAQUINA 2 MAQUINA 3

´ ´ ´

Figura 2.1: Grafo potencial-tarefa representando o exemplo do job-shop.

arcos disjuntivos representam as máquinas. Cada opera¸cão é representada por um nó. Os arcos que

partem de cada nó são ponderados pela dura¸cão da opera¸cão correspondente. Os arcos que estão à

origem do nóO0 são ponderados pelo instante do lan¸camento da primeira opera¸cão de cada produto.

Os arcos que chegam ao nóOf im são ponderados pelo instante do término da última opera¸cão de cada

produto. Neste exemplo, todos os produtos s˜ao lan¸cados inicialmente ao instante 0[31].

Para representar a solu¸c˜ao deste problema de job-shop utilizamos o diagrama de Gantt, que

nos permite visualizar um seqüenciamento representando a ocupa¸cão das máquinas pelas opera¸cões

em fun¸c˜ao do tempo[31]. Apresentamos, na Figura 2.2, duas solu¸c˜oes poss´ıveis para este problema

num diagrama de Gantt. Observamos que todas as restri¸cões do problema são respeitadas; não existe

superposi¸cão entre as opera¸cões. Notemos que a solu¸cão S1 forneceu um comprimento do seq¨

uencia-mento maior que a solu¸c˜aoS2: Cmax1 ≫Cmax2. Isto foi devido ao fato que, emS1, encontramos muito

mais tempo morto1 _{nas m´aquinas que em} _S

2. Estes tempos mortos s˜ao representados pelos espa¸cos

vazios de uma faixa antes do in´ıcio da execu¸cão de alguma opera¸cão numa mesma máquina.

tempo tempo M₁ M₂ M₃ C_max C max Solucao S 1

0 0 33 13 M₃ M₂ M₁ P₂ P₃ P₄ P₁ P₂ P₃ P₄ P₁

: _{= 33}

1

: _{= 13}

2

Solucao S 2 ´ ´

~ ~

Figura 2.2: Diagrama de Gantt representando duas solu¸c˜oes para o exemplo do job-shop.