derivadas

(1)

DERIVADA

3.

1

1 In

In

tr

od

uç

ão

Neste capí

Neste capítulo estabeletulo estabelecereceremos a noção de derivada de uma função. mos a noção de derivada de uma função. A derivada envolvA derivada envolve ae a

variação ou a mudança no comportamento de vários fenômenos.

Inicialmente apresentaremos a deﬁnição de reta tangente ao gráﬁco de uma função.

Posterior-mente, deﬁniremos funções deriváveis e derivada de

mente, deﬁniremos funções deriváveis e derivada de uma função num ponto, dando ênfase uma função num ponto, dando ênfase aoao

seu signiﬁcado geométrico.

3.2

3.2 Ret

Ret

a

T

ang

ent

e

Seja:

f

f ::DD

_⊂

RR

₋

_→

RR

uma função deﬁnida num domínio

uma função deﬁnida num domínio DD que pode ser um intervalo aberto ou uma reunião deque pode ser um intervalo aberto ou uma reunião de

intervalos abertos, ou ainda,

intervalos abertos, ou ainda, DD tal que para todo intervalo abertotal que para todo intervalo aberto I I que contenhaque contenha xx00, se tenha:, se tenha:

I

_∩

((DD

₋

_{

xx00

}

))



==∅∅..

Considere

ConsidereP P = = ((xx00,,f f ((xx00)))) eeQQii = = ((xxii,,f f ((xxii)))) ((ii = = 11,, 22,, 33...) pontos no gráﬁco de) pontos no gráﬁco de f f ,, P P



== QQii;;

seja

sejarr11a reta secante que passa pora reta secante que passa por P P eeQQ11; seu coeﬁciente angular é:; seu coeﬁciente angular é:

m

m11 == f f ((xx11))

−

f f ((xx00))

x

x11

−

xx00 ..

Fixemos o ponto

Fixemos o ponto P P e movamose movamos QQ11 sobre o gráﬁco desobre o gráﬁco de f f em direção aem direção a P P , até um ponto, até um ponto QQ22 ==

(

(xx22,,f f ((xx22))))tal quetal queQQ22 =



=



P P ; seja; seja rr22 a reta secante que passa pora reta secante que passa por P P eeQQ22; seu coeﬁciente angular; seu coeﬁciente angular

é: é: m m22 == f f ((xx22))

−

f f ((xx00)) x x22

−

xx00 ..

Suponha que os pontos

Suponha que os pontos QQii ((ii = = 11,, 22,, 33...) ) vão se vão se aproxaproximando sucessiimando sucessivamenvamente do te do pontoponto P P

(mas sem atingir

(mas sem atingirP P ), ao longo do gráﬁco de), ao longo do gráﬁco de f f ; repetindo o processo obtemos; repetindo o processo obtemos rr11, , rr22, , rr33,...,..., retas, retas

secantes de coeﬁcientes angulares

secantes de coeﬁcientes angulares mm11, , mm22, , mm33,...,..., respectivamente., respectivamente.

É possível provar, rigorosamente, que quando os pontos

É possível provar, rigorosamente, que quando os pontosQQii vão se aproximando cada vez maisvão se aproximando cada vez mais

de

de P P , , osos mmii respectivos, variam cada vez menos, tendendo a um valor limite constante, querespectivos, variam cada vez menos, tendendo a um valor limite constante, que

denotaremos por

denotaremos pormmxx00..

133

(2)

134

134 CAPÍTCAPÍTULOULO3. 3. DERIVDERIVADAADA

P P x x xx xx xx xx Q Q Q Q Q Q Q Q r r r r r r r r f(x) f(x) n n 1 1 2 2 3 3 n n 33 22 11 0 0 n n 3 3 2 2 1 1 Figura 3.1: Figura 3.1: Deﬁnição 3.1.

Definição 3.1. A reta passando pelo pontoA reta passando pelo ponto P P e tendo coeficiente angulare tendo coeficiente angular mmxx00, é chamada reta tangente, é chamada reta tangente ao gráfico de

ao gráﬁco def f no pontono ponto((xx00,,f f ((xx00))))..

Se Se m mxx00 = = lilimm x x_→_→xx00 f f ((xx))

₋

f f ((xx00)) x x

₋

xx00

existe, fazendo a mudança

existe, fazendo a mudançatt ==xx

₋

xx00, temos:, temos:

m mxx00 = lim= lim t t_→_→00 f f ((xx00++tt))

−

f f ((xx00)) t t .. Como

Como xx00 é um ponto arbitrário, podemos calcular o coeﬁciente angular da reta tangente aoé um ponto arbitrário, podemos calcular o coeﬁciente angular da reta tangente ao

gráﬁco de

gráﬁco def f para qualquer pontopara qualquer ponto((x,x,f f ((xx))))::

m mxx = lim= lim t t_→_→00 f f ((xx++tt))

₋

f f ((xx)) t t Assim,

Assim,mmxx só dependesó dependexx..

Deﬁniç

Definição ão 3.2.3.2. SeSe f f for contínua emfor contínua em xx00, então, a equação da reta tangente ao gráfico de, então, a equação da reta tangente ao gráfico de f f no pontono ponto

( (xx00,,f f ((xx00))))é:é: y y

₋

f f ((xx00) ) ==mmxx00((xx

−

xx00)) se o limite existe, se o limite existe, Exemplo 3.1. Exemplo 3.1.

[1] Determine a equação da reta tangente ao gráﬁco de

[1] Determine a equação da reta tangente ao gráﬁco de f f ((xx) ) = = 44

₋

xx22, no ponto, no ponto(1(1,,3)3)..

Denotemos por

Denotemos pormm11o coeﬁciente angular da reta tangente à parábolao coeﬁciente angular da reta tangente à parábola yy = = 44

−

xx22 passando pelopassando pelo

ponto

ponto (1(1,,f f (1)) = (1(1)) = (1,,3)3). Seja. Seja P P = = (1(1,,3)3) ee QQ = = ((xx00,,44

−

xx2200)) pontos da parábola; pontos da parábola; o coeﬁcienteo coeﬁciente

angular da reta secante à parábola passando por

angular da reta secante à parábola passando porP P eeQQé:é:

m mPPQQ == f f ((xx00))

−

f f (1)(1) x x00

−

11 ==

−

((xx00+ 1)+ 1)..

(3)

P P x x xx xx xx xx Q Q Q Q Q Q Q Q r r r r r r r r f(x) f(x) n n 1 1 2 2 3 3 n n 33 22 11 0 0 n n 3 3 2 2 1 1 Figura 3.1: Figura 3.1: Deﬁnição 3.1.

Definição 3.1. A reta passando pelo pontoA reta passando pelo ponto P P e tendo coeficiente angulare tendo coeficiente angular mmxx00, é chamada reta tangente, é chamada reta tangente ao gráfico de

ao gráﬁco def f no pontono ponto((xx00,,f f ((xx00))))..

Se Se m mxx00 = = lilimm x x_→_→xx00 f f ((xx))

₋

f f ((xx00)) x x

₋

xx00

existe, fazendo a mudança

existe, fazendo a mudançatt ==xx

₋

m mxx00 = lim= lim t t_→_→00 f f ((xx00++tt))

−

f f ((xx00)) t t .. Como

Como xx00 é um ponto arbitrário, podemos calcular o coeﬁciente angular da reta tangente aoé um ponto arbitrário, podemos calcular o coeﬁciente angular da reta tangente ao

gráﬁco de

gráﬁco def f para qualquer pontopara qualquer ponto((x,x,f f ((xx))))::

m mxx = lim= lim t t_→_→00 f f ((xx++tt))

₋

f f ((xx)) t t Assim,

Assim,mmxx só dependesó dependexx..

Deﬁniç

Definição ão 3.2.3.2. SeSe f f for contínua emfor contínua em xx00, então, a equação da reta tangente ao gráfico de, então, a equação da reta tangente ao gráfico de f f no pontono ponto

( (xx00,,f f ((xx00))))é:é: y y

₋

f f ((xx00) ) ==mmxx00((xx

−

xx00)) se o limite existe, se o limite existe, Exemplo 3.1. Exemplo 3.1.

[1] Determine a equação da reta tangente ao gráﬁco de f f ((xx) ) = = 44

₋

Denotemos por

Denotemos pormm11o coeﬁciente angular da reta tangente à parábolao coeﬁciente angular da reta tangente à parábola yy = = 44

−

xx22 passando pelopassando pelo

ponto

ponto (1(1,,f f (1)) = (1(1)) = (1,,3)3). Seja. Seja P P = = (1(1,,3)3) ee QQ = = ((xx00,,44

−

xx2200)) pontos da parábola; pontos da parábola; o coeﬁcienteo coeﬁciente

angular da reta secante à parábola passando por

angular da reta secante à parábola passando porP P eeQQé:é:

−

f f (1)(1) x x00

−

11 ==

−

((xx00+ 1)+ 1)..

(4)

3.2.

3.2. RETRETAATTANGEANGENTE NTE 135135

Q Q 1 1 P P x x₀₀ Figura 3.2: Figura 3.2:

Do desenho, é intuitivo que se

Do desenho, é intuitivo que seQQaproxima-se deaproxima-se deP P ((xx00 aproxima-se deaproxima-se de11), os coeﬁcientes angu-), os coeﬁcientes

angu-lares de ambas as retas ﬁcarão iguais; logo:

lares de ambas as retas ﬁcarão iguais; logo:

m m11 = lim= lim x x00_→_→11 m mPPQQ ==

−

22..

A equação da reta tangente ao gráﬁco de

A equação da reta tangente ao gráﬁco def f , no ponto, no ponto (1(1,,3)3)ééyy

₋

3 3 ==

₋

22((xx

₋

1)1)ou, equivalen-ou,

equivalen-temente, temente,yy+ 2+ 2xx = = 55..  1 1 1 1 22 1 1 2 2 3 3 4 4

Figura 3.3: Reta tangente a

Figura 3.3: Reta tangente a yy = = 44

₋

[2] Determine a equação da reta tangente ao gráﬁco de f f ((xx) ) == 11

x x, no ponto, no ponto(( 1 1 2 2,,2)2).. Seja Sejamm11 2

2 o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da funçãoo coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função yy == 1

1

x

x passando pelo pontopassando pelo ponto

( (11 2 2,,2)2). Seja. Seja P P = = (( 1 1 2 2,,2)2) eeQQ ==



xx00,, 1 1 x

x00



pontos da curva; o coeﬁciente angular da reta secante àpontos da curva; o coeﬁciente angular da reta secante à

curva passando por

curva passando porP P eeQQé:é:

−

f f



11 2 2



x x00

−

11 2 2 = =

₋

22 x x00..

(5)

1/2 1/2 ₀₀ P P Q Q x x Figura 3.4: Figura 3.4:

Novamente do desenho, é intuitivo que se

Novamente do desenho, é intuitivo que se QQaproxima-se deaproxima-se deP P



xx00 aproxima-se deaproxima-se de 11

2



os coe-os

coe-ﬁcientes angulares de ambas as retas ﬁcarão iguais; logo:

ﬁcientes angulares de ambas as retas ﬁcarão iguais; logo:

m m11 2 2 = = _x_xlliimm 0 0_→_→11₂₂ m mPPQQ ==

−

44..

A equação da reta tangente ao gráﬁco de

A equação da reta tangente ao gráﬁco de f f , no ponto, no ponto((₂₂11,,2)2)ééyy

₋

2 2 ==

₋

44((xx

₋

11₂₂))ou, equivalen-ou,

equivalen-temente,

temente,yy+ 4+ 4xx= = 44..

0.5 0.5 44

Figura 3.5: Reta tangente a

Figura 3.5: Reta tangente ayy == _x_x11, no ponto, no ponto((11₂₂,,2)2)..

[3] Determine a equação da reta tangente ao gráﬁco de f f ((xx) ) == xx33

₋

xx + + 11, no ponto, no ponto (1(1,,1)1)..

Utilizemos agora diretamente a deﬁnição:

lim lim t t_→_→00 f f (1 +(1 +tt))

₋

f f (1)(1) t t = lim= limtt_→_→00 t t((tt22 + 3+ 3tt+ 2)+ 2) t t = lim= limtt_→_→00((tt 2 2 _{+ 3}_{+ 3}_t_t_{+ 2) = 2}_{+ 2) = 2}_._. Logo

(6)

3.3. FUNÇÕES

3.3. FUNÇÕESDERIVDERIVÁÁVEIS VEIS 137137

 22 1 1 1 1 22  11 1 1 2 2 3 3 Figura 3.6: Exemplo [3]. Figura 3.6: Exemplo [3].

Da deﬁnição segue que a equação da reta normal ao gráﬁco de

Da deﬁnição segue que a equação da reta normal ao gráﬁco de f f no pontono ponto((xx00,,f f ((xx00))))é:é:

y y

₋

f f ((xx00) ) ==

−

11 m mxx00



xx

₋

xx00



,, sese mmxx00



= 0= 0

3.3

3.3 Fun

Fun

çõe

s

Deri

váv

eis

Deﬁnição 3.3.

Deﬁnição 3.3. SejaSejaf f ::DD

₋

_→

RRuma função deﬁnida num domíniouma função deﬁnida num domínioDDque pode ser um intervalo abertoque pode ser um intervalo aberto

ou uma reunião de intervalos abertos ou ainda,

ou uma reunião de intervalos abertos ou ainda, DD tal que para todo intervalo abertotal que para todo intervalo aberto I I que contenhaque contenhaxx00,,

se tenha:

se tenha: I I

_∩

((DD

₋

_{

xx00

}

))=



=



∅∅.. f f é é derivável ou diferenciávelderivável ou diferenciávelno pontono pontoxx00 quando existe o seguintequando existe o seguinte

limite: limite: f f ′′₍₍_x_x₀₀₎₎₌₌ _li_li_m_m x x_→_→xx00 f f ((xx))

₋

f f ((xx00)) x x

₋

xx00 Fazendo a mudança

Fazendo a mudançatt ==xx

₋

f f ′′₍₍_x_x₀₀_{) = lim}_{) = lim} t t_→_→00 f f ((xx00++tt))

−

f f ((xx00)) t t .. f

f ′′₍₍_x_x₀₀₎₎ é chamada a derivada deé chamada a derivada de _f_f no pontono ponto _x_x₀₀. . CComomoo _x_x₀₀ é um ponto arbitrário, podemosé um ponto arbitrário, podemos calcular a derivada de

calcular a derivada def f para qualquer pontopara qualquer ponto xx

_∈

DomDom((f f ));;

f f ′′₍₍_x_x_{) = lim}_{) = lim} t t_→_→00 f f ((xx++tt))

₋

f f ((xx)) t t Assim

Assimf f ′′ é função deé função de _x_xee_f_f′′₍₍_x_x₀₀₎₎

_∈

RR.. Deﬁnição 3.4.

Deﬁnição 3.4. Uma funçãoUma funçãof f é derivável (ou diferenciável) emé derivável (ou diferenciável) em AA

_⊂

RR, se é derivável ou diferenciável, se é derivável ou diferenciável

em cada ponto

em cada ponto xx

_∈

AA..

Outras notações para a derivada de

Outras notações para a derivada deyy ==yy((xx))são:são:

dy

dx

(7)

Exemplo 3.2. [1] Calculef ′₍1 4)ef ′(2), sef (x) = x 2_. f ′_{(x) = lim} t_→0 f (x + t)

₋

f (x) t = limt_→0 (x + t)2

−

x2 t = limt_→0(2x + t) = 2 x. Logo,f ′₍1 4) = 1 2 ef ′(2) = 4. [2] Calculef ′₍1 2)sef (x) =

√

₁

−

x2_. f ′_{(x) = lim} t_→0



1

₋

(x + t)2

−

√

1

₋

x2 t = limt_→0

−

2x + t



1

₋

(x + t)2₊

√

₁

−

x2 =

−

x

√

₁

−

x2. Logo,f ′₍1 2) =

−

√

₃ 3 . [3] Calculef ′₍₁₎se _{f (x) = 4}

₋

_x2. f ′_{(x) = lim} t_→0 f (x + t)

₋

f (x) t = limt_→0

−

t (t + 2 x) t = limt_→0

−

(t + 2 x) =

−

2 x. Logo,f ′_{(1) =}

₋

₂. [4] Calculef ′₍1 2)sef (x) = 1 x. f ′_{(x) = lim} t_→0 f (x + t)

₋

f (x) t = limt_→0 1 x + t

−

1 x t = limt_→0

−

1 x2_{+ x t} =

−

1 x2. Logo,f ′₍1 2) =

−

4. 3.3.1 Interpretação Geométrica

A função F : (D

_{− {}

x0

}

)

−→

R, deﬁnida por

F (x) = f (x)

−

f (x0) x

₋

x0 ,

representa, geometricamente, o coeﬁciente angular da reta secante ao gráﬁco de f passando

pelos pontos(x0, f (x0))e (x, f (x)). Logo, quando f é derivável no pontox0, a reta de

coeﬁci-ente angularf ′_(x₀₎e passando pelo ponto_(x₀_{, f (x}₀₎₎é a reta tangente ao gráﬁco de _fno ponto

(x0, f (x0)). Sef admite derivada no pontox0, então, a equação da reta tangente ao gráﬁco de

f no ponto(x0, f (x0))é:

y

₋

f (x0) = f ′(x0) (x

−

x0)

A equação da reta normal ao gráﬁco de f no ponto(x0, f (x0))é:

y

₋

f (x0) =

−

1

(8)

3.3. FUNÇÕES DERIVÁVEIS 139

Figura 3.7: As retas tangente e normal ao gráﬁco de y = f (x).

Exemplo 3.3.

[1] Determine as equações da reta tangente e da reta normal ao gráﬁco de f (x) = x2 + 1, no

ponto de abscissax0 = 1.

Sex0 = 1 entãof (x0) = 2; logo, a reta tangente passa pelo ponto(1, 2)e seu coeﬁciente angular

éf ′₍₁₎. Temos: f ′_{(x) = lim} t_→0 f (x + t)

₋

f (x) t = limt_→0 (x + t)2+ 1

₋

(x2+ 1) t = 2x.

f ′_{(1) = 2}e as respectivas equações são: _y

₋

_{2 x = 0}e_{2 y + x}

₋

_{5 = 0}.

1 1

1 2 3

Figura 3.8: As retas tangente e normal ao gráﬁco de y = f (x).

[2] Determine a equação da reta tangente ao gráﬁco de f (x) =

√

xque seja paralela à reta 2 x

₋

y

₋

1 = 0.

Para determinar a equação de uma reta, necessitamos de um ponto (x0, y0) e do coeﬁciente

angularf ′_(x₀₎. Neste problema, temos que determinar um ponto.

Sejamrta reta tangente, ra reta dada,mtemos correspondentes coeﬁcientes angulares; como rt e r são paralelas, então mt = m; mas m = 2 e mt = f ′(x0), onde x0 é a abscissa do ponto

procurado; como:

f ′_(x₀_{) =} 1

2

√

x₀,

resolvendo a equaçãof ′_(x₀_{) = 2}, obtemos_x₀ ₌ 1

16 ef ( 1 16) =

1

(9)

0.5 1.0 1.5 2.0 0.5

1.0 1.5

Figura 3.9: Reta tangente ao gráﬁco de f (x) =

√

xparalela à reta2x

₋

y

₋

1 = 0.

[3] Determine as equações das retas tangentes ao gráﬁco de f (x) = x

3

−

1 que sejam

perpen-diculares à retay + x = 0.

Sejamrt a reta tangente,ra reta dada,mtemos correspondentes coeﬁcientes angulares; como rtersão perpendiculares, entãomtm =

−

1; masm =

−

1emt = f ′(x0), ondex0é a abscissa do

ponto procurado; resolvendo a equação f ′_(x₀_{) = 1}, temos_f′_(x₀_{) = x}2₀ e_x₀ ₌

_±

₁; as equações

são: 3 y

₋

3 x + 5 = 0e3 y

₋

3 x + 1 = 0. 2 1 1 2 2.0 1.5 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 Figura 3.10: Exemplo [3].

Teorema 3.1. Sef é derivável emx0 então f é contínua em x0.

Para a prova veja o apêndice.

Exemplo 3.4.

Sejaf (x) =

_|

x

_|

. f é contínua em todoR; em particular em x0 = 0. Mas a derivada def em 0

não existe; de fato:

f ′_{(0) = lim} x_→0 f (x)

₋

f (0) x = limx_→0

|

x

_|

x .

Calculemos os limites laterais:











lim x_→0+

|

x

_|

x = xlim_→0



x x



= 1 lim x_→0−

|

x

_|

x = limx_→0

−



x x



=

−

1.

(10)

3.3. FUNÇÕES DERIVÁVEIS 141 Logo,f ′₍₀₎não existe. Para_x

_∈

R

_{− {}

0

_}

,f ′_(x)existe e:

f ′_{(x) =}



1 se x > 0

−

1 se x < 0.

Do teorema segue que não existe a derivada de f no ponto x0 se f é descontínua no ponto x0.

Também não existe a derivada def no pontox0 nos eguintes casos:

i) Se existe "quina"no gráﬁco da função contínua no ponto de abscissax0, como no pontox0 = 0

do exemplo anterior.

ii) Sef é contínua emx0 e se possui reta tangente vertical passando pelo ponto de abscissa x0.

Neste caso, lim x_→x0

|

f ′_(x)

_|

₌

_∞

_.

Figura 3.11: Funções não deriváveis.

Exemplo 3.5. [1] Sejaf (x) =







x2sen(1 x) se x



= 0 0 se x = 0. f ′_{(0) = lim} x_→0 f (x)

₋

f (0) x

₋

0 = limx_→0(xsen( 1 x)) = 0;

logo, a derivada em0existe; então, f é contínua em0.

[2]f (x) =

√

3_xé contínua em todo_R e não é diferenciável em _{x = 0}. De fato:

f ′_{(0) = lim} x_→0 f (x)

₋

f (0) x

₋

0 = limx_→0 1 3

√

_x2 = +

∞

. -2 -1 1 2 -1 1

(11)

[3] Determine as constantesaebtais que: f (x) =



a x 3 _se _{x < 2} x2+ b se x

_≥

2 seja derivável. Devemos calcular: f ′_{(2) = lim} x_→0 f (x + 2)

₋

f (2) x .

Devemos determinar os limites laterais:











lim x_→0− f (x + 2)

₋

f (2) x = limx_→0 12 a x + 6 a x2 + a x3 x = limx_→0



12 a + 6 a x + a x 2

_

_{= 12 a} lim x_→0+ f (x + 2)

₋

f (2) x = limx_→0 4 x + x2 x = limx_→0



4 + x



= 4.

Logo, devemos ter12 a = 4, entãoa = 1

3. Por outro lado, f deve ser contínua emx0 = 2; isto é: lim x_→2− f (x) = lim x_→2+f (x)

⇐⇒

8 a = 4 + b

⇐⇒

b =

−

4 3.

A função deve ser deﬁnida por:

f (x) =











x3 3 se x < 2 x2

₋

4 3 se x

≥

2 Note quef (2) = 8 3. 1 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6

Figura 3.13: Gráﬁco do exemplo [3].

3.4 Regras de Derivação

[1] Seu(x) = c, entãou′_{(x) = 0}.

[2] Seu(x) = m x + b; m, b

_∈

R em

_

= 0, entãou′_{(x) = m}.

De fato, a função é contínua e seu gráﬁco coincide com sua reta tangente em qualquer ponto; logo, tem o mesmo coeﬁciente angular. Equivalentemente,

(12)

3.4. REGRAS DE DERIVAÇÃO 143 u(x + t)

₋

u(x) t = m t t = m. [3] Seu(x) = xn_;_n

∈

N, entãou′_{(x) = n x}n₋1_.

De fato: u(x + t)

₋

u(x) = xn+ t



n xn−1_{+ t (}n(n−1)

2 xn−2t... + tn−2)



−

xn e: u′_{(x) = lim} t_→0 u(x + t)

₋

u(x) t = limt_→0 (x + t)n

₋

xn t = lim t_→0 t



n xn₋1_{+ t}

_

n(n₋1) 2 xn−2t... + tn−1



t = n xn−1_.

Proposição 3.1. Sejamu = u(x)ev = v(x)funções deriváveis; então:

1. Regra da soma: As funçõesu

_±

v são deriváveis e

(u

_±

v)′_{(x) = u}′_(x)

_±

_v′_(x)

2. Regra do produto: A função u

_·

v é derivável e

(u

_·

v)′_{(x) = u}′_(x)

_·

_{v(x) + u(x)}

_·

_v′_(x)

3. Regra do quociente:A função u

v é derivável, e



u v



′ (x) = u′(x)

·

v(x)

−

u(x)

·

v′(x) (v(x))2 se v(x)



= 0

Veja as provas no apêndice.

Da regra do produto temos: (k u(x))′ _{= k u}′_(x), para toda constante _k. Da regra do quociente,

temos: seu(x) = xn, x

_

= 0, comn < 0, entãou′_{(x) = n x}n−1.

Exemplo 3.6.

[1] Calcule u′_(x), sendo_{u(x) =} x

4_{+ 3x + 1}

x5 ;x



= 0.

Note que: u(x) = x−1_{+ 3x}−4 _{+ x}−5, temos:

u′_{(x) = (x}−1_{+ 3x}−4_{+ x}−5₎′ ₌

₋

_x−2

₋

_12x−5

₋

_5x−6_.

[2] Calcule u′_(x)sendo_{u(x) = (x}3_{+ 2x + 1)(2x}2 _{+ 3)}.

Aplicando diretamente as regras:

u′_{(x) = ((x}3_{+ 2 x + 1))}′_{(2 x}2_{+ 3) + (x}3_{+ 2 x + 1) ((2 x}2 _{+ 3))}′

(13)

[3] Calculeu′_(x), sendo_{u(x) =} x 2_{+ x} x3_{+ 1}. u′_{(x) =}

_

x 2_{+ x} x3_{+ 1}



′ = (x2+ x)′_(x3_{+ 1)}

₋

_(x2_{+ x)(x}3_{+ 1)}′ (x3_{+ 1)}2 ; logo,u′_{(x) =}

−

x 4

−

2 x3+ 2x + 1 (x3_{+ 1)}2 = 1

₋

x2 (x2

−

x + 1)2.

[4] Determine as equações das retas tangentes ao gráﬁco de f (x) = x2

₋

3 x e que passa pelo

ponto(3,

₋

4).

O ponto dado não pertenceao gráﬁco def . Por outro lado a equação da reta tangente ao gráﬁco

def no ponto(x0, f (x0))é

y(x) = f (x0) + f ′(x0) (x

−

x0),

onde f ′_(x₀_{) = 2 x}₀

₋

₃ e _f (x₀_{) = x}2₀

₋

_{3 x}₀. O ponto _(3,

₋

₄₎ pertence à reta tangente, logo,

obtemos:

−

4 = y(3) = x2₀

₋

3 x0+ (2 x0

−

3)(3

−

x0) =

−

x20+ 6 x0

−

9.

Resolvendo a equação, obtemos: x0 = 1 ex0 = 5. Então, as equações obtidas são:

y + x + 1 = 0 e y

₋

7 x + 25 = 0. 6 4 2 2 4 6 8 5 5 10 15 20 25 30 Figura 3.14: Exemplo [4].

[5] Determine as equações das retas tangentes ao gráﬁco de g(x) = x3

₋

x, paralelas à reta y

₋

2 x = 0.

O coeﬁciente angular da reta tangente no ponto x0 é g′(x0) = 3 x2₀

−

1 e deve ser igual ao

coeﬁciente angular da reta dada; então 3 x2₀

₋

1 = 2; logo, x0 =

±

1. As equações das retas

tangentes são:

(14)

3.5. DERIVADA DA FUNÇÃO COMPOSTA 145 1.0 0.5 0.5 1.0 1.0 0.5 0.5 1.0 Figura 3.15: Exemplo [5].

3.5 Derivada da Função Composta

Suponha que desejamos derivar a seguinte expressão:

u(x) = (x9+ x6+ 1)1000

com as regras dadas. Só temos a possibilidade de desenvolver o trinômio e aplicar sucessiva-mente a regra da soma ou escrever como produto de1000polinômios e usar a regra do produto.

Como ambas as possibilidades são tediosas, vamos tentar reescrever esta função. Sejag(x) = x1000 ef (x) = x9 + x6+ 1; é claro que u(x) = (g

_◦

f )(x).

Logo, se soubermos derivar a composta de funções o problema estará resolvido.

O seguinte teorema nos ensina a derivar uma função composta g

_◦

f em termos das derivadas

def eg, que em geral, são mais simples.

Teorema 3.2. (Regra da Cadeia)

Sejamf egfunções, tais que g

_◦

f esteja bem deﬁnida. Se f é derivável emxegé derivável em f (x), entãog

_◦

f é derivável emxe:

(g

_◦

f )′_{(x) = g}′_(f (x))

_·

_f′_(x)

Outra maneira de escrever o último parágrafo é: se y = g(x) e x = f (t), nas hipóteses do

teorema, temos que:

dy dt = dy dx dx dt

Para a prova, veja o apêndice.

Aplicação

Sejav(x) = (u(x))n_{, onde}_n

∈

Z. Então:

(15)

Exemplo 3.7.

[1] Calculev′_(x)se _{v(x) = (x}9_{+ x}6_{+ 1)}1000.

Neste casou(x) = x9+ x6+ 1; logo,u′_{(x) = 9 x}8_{+ 6 x}5 e_{n = 1000}; então:

v′_{(x) = ((u(x))}1000₎′ _{= 1000(u(x))}999_u′_{(x) = 1000(x}9_{+ x}6_{+ 1)}999_{(9 x}8_{+ 6 x}5_).

[2] Calcule dy

dt sey = g(x) = x

3_{+ x + 1}_e_{x = x(t) = t}2 _{+ 1}_.

Pela regra da cadeia:

dy dt = dy dx dx dt = 2 t (3x 2_{+ 1) = 6 t (t}2_{+ 1)}2_{+ 2 t.}

[3] Sejaguma função derivável e h(x) = g(x2+ 1). Calculeh′₍₁₎se_g′_{(2) = 5}.

Observemos queh(x) = (g

_◦

f )(x), ondef (x) = x2+ 1; pela regra da cadeia: h′_{(x) = g}′_{(f (x)) f}′_(x),

ef ′_{(x) = 2 x}. Logo,_h′_{(x) = g}′_(x2_{+ 1 ) 2 x}. Calculando a última expressão em_{x = 1}, temos que:

h′_{(1) = 2 g}′_{(2) = 10}.

[4] Sey = u3+ u2+ 3eu = 2 x2

₋

1, calcule dy dx.

dy dx = dy du du dx = 4 x (3 u 2_{+ 2 u) = 4 x (3(2 x}2

−

1)2 + 2(2 x2

₋

1)) = 4 (12 x5

₋

8 x3 + x);

ou, fazemos a composta das funções:

y = u3+ u2+ 3 = (2 x2

₋

1)3+ (2 x2

₋

1)2 + 3 e y′ _{= 4 (12 x}5

₋

_{8 x}3 _{+ x).}

[5] Determinef ′₍₁₎se_{f (x) = h(h(h(x)))}, _{h(1) = 1}e_h′_{(1) = 2}.

Pela regra da Cadeia:

f ′_{(x) = h}′_{(x) h}′_{(h(x)) h}′_(h(h(x)));

logo,f ′_{(1) = 8}.

3.5.1 Teorema da Função Inversa

A seguir apresentamos um dos teoremas fundamentais em Matemática, o qual garante a exis-tência da inversa derivável de uma função derivável. A prova deste teorema ﬁca fora dos objetivos deste livro.

Teorema 3.3. (Função Inversa)

Sejaf uma função deﬁnida num intervalo abertoI . Sef é derivável emI ef ′_(x)

_

_{= 0}para todo

x

_∈

I , entãof possui inversaf −1 derivável e:

(f −1₎′_{(x) =} 1

(16)

3.5. DERIVADA DA FUNÇÃO COMPOSTA 147 Para a prova da primeira parte veja a bibliograﬁa avançada. A fórmula pode ser obtida dire-tamente da regra da cadeia. De fato,(f

_◦

f −1_{)(x) = x} para todo _x

_∈

_I. Derivando ambos os

lados, temos que:

(f

_◦

f −1₎′_{(x) = f}′_(f−1_(x))

_·

_(f−1₎′_{(x) = 1.}

Exemplo 3.8.

[1] Sejaf (x) = x2, x

_≥

0; logo sua inversa é f −1_{(x) =}

√

_xe_f′_{(x) = 2x}

_

_{= 0}se_x

_

_{= 0}; logo:

f ′_(f−1_{(x)) = 2}

√

_x.

Aplicando o teorema:

(f −1₎′_{(x) =} 1

2

√

x, x



= 0.

[2] Sejaf (x) = x3; logo sua inversa éf −1_{(x) =}

√

3_xe_f_′_{(x) = 3 x}2



= 0sex

_

= 0; f ′_(f−1_{(x)) = 3}

√

3_x2_. Aplicando o teorema: (f −1₎′_{(x) =} 1 3

√

3 x2, x



= 0. [3] Sen

_∈

N, então: (

√

n x)′ ₌ x 1 n−1 n ,

para todos os valores dextais que

√

n_xseja deﬁnida.

De fato, sejau(x) = xn; paran par,x > 0 e paranímpar,xnão tem restrições; a inversa de ué u−1_{(x) =}

√

n_xe_u_′_{(x) = n x}n₋1;_u_′_(x)



= 0se x

_

= 0. Aplicando o teorema, temos:



√

n

x



′ _{= (u}₋1_(x))_′ ₌ 1

u′_(u−1_(x)) =

xn1−1

n .

Em geral, pela regra da cadeia, seu = u(x)é uma função derivável e: v(x) = (u(x))α, α

_∈

Q;

então:

v′_{(x) = α (u(x))}α−1_u′_(x).

[4] Calcule f ′_(x), se_{f (x) =}

√

_x2_{+ 1}_.

Escrevemosf = g

_◦

h, ondeg(x) =

√

xeh(x) = x2 + 1; logo,g′_{(x) =} 1

2

√

x eh′(x) = 2 x; então: f ′_{(x) = g}′_{(h(x)) h}′_{(x) =}

_√

x

x2_{+ 1}.

[5] Determinef ′₍₀₎, se_{f (x) = h(x)} 4



h(x) + 1,h(0) = 0eh′_{(0) = 1}.

f ′_{(x) =} h′(x) (4 + 5h(x))

4



4

(1 + h(x))3 ;

(17)

3.6 Derivadas das Funções Elementares

3.6.1 Função Exponencial

Sejaa

_∈

Rtal que0 < a

_

= 1 e u(x) = ax Então,

u′_{(x) = ln(a) a}x De fato,u′_{(x) = lim} t_→0 ax+t

₋

ax t = a x_lim t_→0 at

₋

1 t = ln(a) a x_{. Em particular, se}_{a = e}_{, temos :} (ex)′ _{= e}x

Sejav = v(x)uma função derivável e considere a função: u(x) = av(x) Então: u′_{(x) = ln(a) a}v(x)_v′_(x)

De fato, av(x) _{= e}v(x)ln(a)_{; usando a regra da cadeia para}_{g(x) = e}x _e _{f (x) = v(x) ln(a)}_{, temos}

queu(x) = (g

_◦

f )(x); entãog′_{(x) = e}x _e_g_′_{(f (x)) = e}v(x)ln(a) _{= a}v(x) _e_f_′_{(x) = v}_′_{(x) ln(a)}_{; logo,}

em particular,

(ev(x))′ _{= e}v(x)_v′_(x)

O crescimento ou decrescimento exponencial, expresso pela função

Q(t) = Q0ekt, (k



= 0)

tem a propriedadeQ′_{(t) = k Q(t)}, isto é, a sua derivada é proporcional à função. Aliás, isto é o

que caracteriza a função exponencial.

Figura 3.16: Nos desenhos, a função exponencial em azul e sua derivada em vermelho; para

0 < a < 1ea > 1, respectivamente. Exemplo 3.9. [1] Sejay = e√ x. Fazendov(x) =

√

x, temosy′ _{= (e}v(x)₎_′ _{= e}v(x)_v_′_{(x) =} e √ _x 2

√

x. [2] Sejay =

_

1 2



1 x.

(18)

3.6. DERIVADAS DAS FUNÇÕES ELEMENTARES 149 Fazendov(x) = 1 x, temosy′ =

−

ln(2)



1 2



1 x v′(x) = ln(2)



1 2



1 x 1 x2.

[3] Determine a equação da reta tangente ao gráﬁco da funçãoy = e−x2 no ponto de abscissa ₁.

Derivando y′ ₌

₋

_{2 x e}−x2; _y′_{(1) =}

₋

_{2 e}−1 e _{y(1) = e}−1; logo, a equação da reta tangente

passando pelo ponto(1, y(1)), é:

y + 2 x e−1

₋

_{3 e}−1 _{= 0.} 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

Figura 3.17: A reta tangente a y = e−x2, no ponto de abscissa ₁.

3.6.2 Função Logarítmica

Sejaa

_∈

Rtal que0 < a

_

= 1 e u(x) = loga(x) .

Usando o teorema da função inversa para f −1 _{= u}e_{f (x) = a}x, temos que:

u′_{(x) =} loga(e) x De fato,u′_{(x) =} 1 f ′_(f−1_(x)) = 1 x ln(a) = loga(e) x . Em particular, sea = e: (ln(x))′ ₌ 1 x

Usemos a regra da cadeia para calcular a derivada de u(x) = loga(v(x)) ondev(x) > 0é uma

função derivável. Em tal caso:

u′_{(x) =} loga(e) v′(x)

v(x)

Em particular, sea = e:

(ln(v(x)))′ ₌ v′(x)

(19)

1

Figura 3.18: Função logarítmica em azul e sua derivada em vermelho; para 0 < a < 1ea > 1,

respectivamente.

3.6.3 Algumas Propriedades

(a) Para todoα

_∈

R, seu(x) = xα,x > 0; então:

u′_{(x) = (x}α₎_′ _{= α x}α₋1_.

De fato, aplicando logaritmo à expressão y = u(x) = xα_{: temos,} _{ln(y) = ln(u(x)) = α ln(x)}_;

derivando: [ln(y)]′ ₌ u′(x) u(x) = y′ y; ou seja, y′ y = α x; logo, y′ _{= y}



α x



₌ α xα x = α x α₋1_. Observação 3.1.

Em geral, se u(x) = [v(x)]α , ondev(x) > 0 eα

_∈

R, temos:

u′_{(x) = α (v(x))}α₋1_v_′_(x)

(b) Seja y = [u(x)]v(x) , ondeu(x) > 0. Aplicando logaritmo à expressão: y = [u(x)]v(x);

temos que,ln(y) = v(x) ln(u(x)). Derivando, temos: y′ y = v′(x) ln(u(x)) + u′_{(x) v(x)} u(x) e y′(x) = y(x)



_v_′_{(x) ln(u(x)) +} u′_{(x) v(x)} u(x)



_. Então, sey = (u(x))v(x)_: y′ _{= [u(x)]}v(x)



_v′_{(x) ln(u(x)) +} u′(x) v(x) u(x)



(20)

3.6. DERIVADAS DAS FUNÇÕES ELEMENTARES 151 Exemplo 3.10. [1] Calcule a derivada dey = 3

√

x + x−5_{+ 2}

√

4_x3_,_{x > 0}_. Aquiα = 1 2,α =

−

5eα = 3 4, respectivamente; logo: y′ = 3 2x− 1 2

−

5x−6+ 3 2x− 1 4. [2] Calcule a derivada dey =

√

x e √ _x (x2 _{+ x + 1)}4.

Aplicando logaritmo à função e usando as propriedades da função logarítmica, temos:

ln(y) = ln(

√

x) + ln(e√ x)

₋

4 ln(x2+ x + 1) = ln(x) 2 +

√

x

−

4 ln(x 2_{+ x + 1).} Derivando: y′ y = 1 2 x + 1 2

√

x

−

8 x + 4 x2_{+ x + 1} ,logo: y′ _{= y(x)}



1 2 x + 1 2

√

x

−

8 x + 4 x2_{+ x + 1}



₌

√

x e√ x (x2_{+ x + 1)}4



1 2 x + 1 2

√

x

−

8 x + 4 x2_{+ x + 1}



_. [3] Calcule a derivada dey = xx, x > 0.

Aplicando logaritmo à expressão e usando as propriedades da função logarítmica, temos:

ln(y) = x ln(x). Derivando: y′

y = ln(x) + 1 e,

y′ _{= y(x) (ln(x) + 1) = (ln(x) + 1) x}x_.

[4] Calcule a derivada dey = x√ x_{, x > 0}_.

Aplicando logaritmo à expressão e usando as propriedades da função logarítmica, temos:

ln(y) = ln(x)

√

x. Derivando: y′ y = ln(x) 2

√

x + 1

√

_x , logo: y′ _{= y(x)}



ln(x) 2

√

x + 1

√

_x



=



ln(x) + 2 2

√

x



_x√ _x .

[5] Determine a equação da reta tangente ao gráﬁco de f (x) = xx2, (x > 0) no ponto de abscissa x0 = 1.

Aplicando logaritmo a ambos os lados de y = xx2

, temos que: ln(y) = x2ln(x); derivando,

obtemos:

y′ _{= y (2 x ln(x) + x) = x}x2+1_{(2 ln(x) + 1) =}

_⇒

_y′_{(1) = 1}

e a equação da reta tangente é y

₋

x = 0.

1 1

Figura 3.19: Gráﬁco de f (x) = xx2

(21)

[6] Sejaf (x) = ln(x). Sabendo quef ′_{(1) = 1}, veriﬁque que: _lim t_→0(t + 1) 1 t = e. f ′_{(1) = lim} t_→0 f (t + 1)

₋

f (1) t = limt_→0 ln(t + 1) t = limt_→0ln((t + 1) 1 t) = ln



lim t_→0(t + 1) 1 t



; então,1 = ln



lim t_→0(t + 1) 1 t



; logo: lim t_→0(t + 1) 1 t = e. Tabela

Sejamu(x),v(x)funções diferenciáveis e kuma constante. Se:

[1]y = k, entãoy′ _{= 0}_.

[2]y = x, entãoy′ _{= 1}_.

[3]y = k v(x), entãoy′ _{= k v}′_(x)_.

[4]y = u(x)

_±

v(x), entãoy′ _{= u}′_(x)

_±

_v′_(x)_.

[5]y = u(x)

_·

v(x), entãoy′ _{= u}′_(x)

_·

_{v(x) + u(x)}

_·

_v′_(x).

[6]y = u(x) v(x), v(x)



= 0, entãoy′ = u′_(x)

_·

_v(x)

₋

_u(x)

_·

_v′_(x) (v(x))2 . [7]y = au(x), entãoy′ _{= a}u(x)

_·

_ln(a)

_·

_u′_(x)_. [8]y = eu(x), entãoy′ _{= u}′_{(x) e}u(x)

[9]y = loga(u(x)), entãoy′ = loga(e)u

′_(x)

u(x).

[10]y = ln(u(x)), entãoy′ ₌ u′(x)

u(x).

[11]y = (u(x))α,α

_∈

R, entãoy′ _{= α (u(x))}α−1_u′_(x)_.

[12] Sejay = (u(x))v(x)_{, onde}_{u(x) > 0}_{, então:}

y′ _{= (u(x))}v(x)

_

_v′_{(x) ln(u(x)) +} u′(x) v(x)

u(x)



.

3.6.4 Funções Trigonométricas

Sey = sen(x), entãosen(x + t)

₋

sen(x) = 2 sen(u) cos(x + u), ondeu = t

2. Logo: y′_{(x) = lim} t_→0 sen(x + t)

₋

sen(x) t = limu_→0 sen(u) cos(x + u) u = lim u_→0 sen(u) u cos(x + u) = cos(x)

(22)

3.6. DERIVADAS DAS FUNÇÕES ELEMENTARES 153 onde, para calcular o último limite usamos um limite fundamental. Sey = cos(x), sabendo que cos(x) = sen(π

2

−

x)e utilizando a regra da cadeia com u(x) = π

2

−

x, temos: y′ _{= cos(u(x)) u}′_{(x) =}

₋

_cos

_

π

2

−

x



=

−

sen(x).

Sey = tg(x), sabendo que tg(x) = sen(x)

cos(x) e utilizando a regra do quociente, temos: y′ ₌ cos2(x) + sen2(x)

cos2_(x) = sec 2_(x).

Sey = sen(x), entãoy′ _{= cos(x)}.

Sey = cos(x), entãoy′ ₌

₋

_sen(x)

Sey = tg(x), entãoy′ _{= sec}2_(x)

Sey = cotg(x), entãoy′ ₌

₋

_cosec2_(x)

Sey = sec(x), então y′ _{= tg(x) sec(x)}

Sey = cosec(x), entãoy′ ₌

₋

_{cotg(x) cosec(x)}.

Tabela

[13] Sey = sen(u(x)), entãoy′ _{= cos(u(x)) u}′_(x)_.

[14] Sey = cos(u(x)), entãoy′ ₌

₋

_{sen(u(x)) u}′_(x)_.

[15] Sey = tg(u(x)), entãoy′ _{= sec}2_{(u(x)) u}′_(x).

[16] Sey = cotg(u(x)), entãoy′ ₌

₋

_cosec2_{(u(x)) u}′_(x).

[17] Sey = sec(u(x)), entãoy′ _{= tg(u(x)) sec(u(x))}

_·

_u′_(x).

[18] Sey = cosec(u(x)), entãoy′ ₌

₋

_{cotg(u(x)) cosec(u(x)) u}′_(x)_.

Exemplo 3.11.

[1] Sey = sen(αx),α

_∈

R.

Fazendou(x) = α x, temos u′_{(x) = α}; utilizando a tabela, temos que:

y′ _{= αcos(αx).}

Para as outras funções trigonométricas, o procedimento é análogo. [2] Sejay = senβ _(αx)_{, onde}_{α, β}

∈

R

_{− {}

0

_}

.

Fazendo y = senβ _{(αx) = (sen(αx))}β _{, derivando como uma potência e usando o exercício}

anterior, temos:

y′ _{= β α sen}β −1_{(αx) cos(αx).}

Para as outras funções trigonométricas, o procedimento é análogo. [3] Sejay = tg(sen(x)).

Fazendou(x) = sen(x), temosu′_{(x) = cos(x)}; logo, temos que:

(23)

[4] Determine as retas tangentes ao gráﬁco de u = sen(x) que tenham o coeﬁciente angular

igual a 1

2.

Sabemos que seu(x) = sen(x), entãou′_{(x) = cos(x)}; logo, devemos resolver a equação :

u′_{(x) =} 1

2,

ou seja,cos(x) = 1₂, que tem soluçõesx =

_±

π

3 + 2kπ, ondek

∈

Z. As equações são: 6 y

₋

3 x + (1 + 6 k) π

₋

3

√

3 = 0, se x = π 3 + 2kπ, k

∈

Z e 6 y

₋

3 x + (6 k

₋

1) π + 3

√

3 = 0, se x =

₋

π 3 + 2kπ, k

∈

Z. -3 3 1

Figura 3.20: Desenho parak = 0.

[5] Determine os pontos onde o gráﬁco da função y = x + 2 sen(x) possui reta tangente

hori-zontal.

Devemos resolver a equação y′ _{= 0}ou, equivalentamente, _{cos(x) =}

₋

1

2; logo, os pontos tem

abscissasx =

_±

2 π

3 + 2 k π,k

∈

Z.

Figura 3.21: Desenho parak = 0.

3.6.5 Funções Trigonométricas Inversas

(24)

3.6. DERIVADAS DAS FUNÇÕES ELEMENTARES 155 f (x) = sen(x), se

₋

π 2

≤

x

≤

π 2. Logo, f ′_{(x) = cos(x)}

_

_{= 0} se _x

_∈

₍

₋

π 2, π

2). Usando a fórmula do Teorema da Função Inversa,

temos: sey = f −1_{(x) = arcsen(x)}, ou seja, _{sen(y) = x}, então:

(f −1₎′_{(x) =} 1 f ′_(f−1_(x)) = 1 cos(arcsen(x)) = 1 cos(y).

Mas,cos(y) =



1

₋

sen2_(y)_{, pois}_y

∈

(

₋

π 2, π 2). Então: y′ ₌ 1



1

₋

sen2_(y) = 1

√

₁

−

x2, se x

∈

(

−

1, 1).

Sejay = arccos(x). Comoarcos(x) = π

2

−

arcsen(x), temos: y′ =

−

(arcsen(x))′; logo, y′ ₌

₋

_√

1

₋

x2, se x

∈

(

−

1, 1).

Tabela

[19] Sey = arcsen(u(x)), entãoy′ ₌ u′(x)



1

₋

u2_(x). [20] Sey = arccos(u(x)), entãoy′ ₌

₋

u′(x)



1

₋

u2_(x). [21] Sey = arctg(u(x)), entãoy′ ₌ u′(x) 1 + u2_(x). [22] Sey = arccotg(u(x)), entãoy′ ₌

₋

u′(x) 1 + u2_(x). [23] Sey = arcsec(u(x)), entãoy′ ₌ u′(x)

|

u(x)

_|



u2_(x)

−

1,

|

u(x)

|

> 1. [24] Sey = arccosec(u(x)), entãoy′ ₌

₋

u′(x)

|

u(x)

_|



u2_(x)

−

1,

|

u(x)

|

> 1. 3.6.6 Funções Hiperbólicas

As derivadas das funções hiperbólicas são calculadas diretamente, pois todas elas envolvem exponenciais. Por exemplo, sejay = senh(x) = 1₂(ex

₋

e−x₎; derivando, temos: _y′ _{= cosh(x).}

(25)

Tabela

Sejau(x)derivável. Usando a regra da cadeia, temos:

[25] Sey = senh(u(x)), entãoy′ _{= cosh(u(x)) u}′_(x)_.

[26] Sey = cosh(u(x)), entãoy′ _{= senh(u(x)) u}′_(x).

[27] Sey = tgh(u(x)), entãoy′ _{= sech}2_{(u(x)) u}′_(x)_.

[28] Sey = cotgh(u(x)), entãoy′ ₌

₋

_cosech2_{(u(x)) u}′_(x)_.

[29] Sey = sech(u(x)), entãoy′ ₌

₋

_{tgh(u(x)) sech(u(x)) u}′_(x).

[30] Sey = cosech(u(x)), entãoy′ ₌

₋

_{cotgh(u(x)) cosech(u(x)) u}′_(x)_.

Exemplo 3.12.

Calcule as derivadasy′, sendo:

[1]y = etg(x)_.

Fazendou(x) = tg(x), temosy = eu(x); usando a tabela: y′ _{= u}′_{(x) e}u(x) e_y′ _{= sec}2_{(x) e}tg(x).

[2]y = ln(ln(x)).

Fazendou(x) = ln(x), temos y = ln(u(x)); logo: y′ ₌ u′(x)

u(x) = 1 x ln(x). [3]y = xcos



1 x



. Entãoy′ = cos



1 x



+ x



cos



1 x



′_. Fazendou(x) = 1

x, temos quecos



1

x



= cos(u(x)); como



cos



1 x



′ = 1 x2 sen



1 x



, temos: y′ _{= cos}

_

1 x



+ 1 xsen



1 x



. [4]y = cos(sen(x)).

Fazendou(x) = sen(x), temosy = cos(u(x)); usando a tabela:

y′ ₌

₋

_u′_{(x) sen(u(x)) =}

₋

_{cos(x) sen(sen(x)).}

[5]y = arccotg(3 x2).

Fazendou(x) = 3 x2, temos y = arccotg(u(x)); usando a tabela: y′ ₌

₋

u′(x) 1 + u2_(x) =

−

6x 1 + 9 x4. [6]y = arctg

_

1 x



. Fazendou(x) = 1

x, temosy = arctg(u(x)); usando a tabela: y′ ₌ u′(x)

1 + u2_(x) =

−

1 1 + x2.

(26)

3.6. DERIVADAS DAS FUNÇÕES ELEMENTARES 157 Fazendou(x) = ln(x), temosy = sen(u(x)); usando a tabela:

y′ _{= u}′_{(x) cos(u(x)) =} cos(ln(x))

x .

[8]y = ln(sen2(x)).

Fazendou(x) = sen2(x), temosy = ln(u(x)); usando a tabela: y′ ₌ u′(x)

u(x) = 2 cotg(x).

[9]y = ln(cos(x

−

1 x )).

Fazendou(x) = cos(x−1

x ), temosy = ln(u(x)); usando a tabela: y′ ₌ u′(x) u(x) =

−

1 x2 tg( x

₋

1 x ). [10]y = arcsec(ln(x)).

Fazendou(x) = ln(x), temosy = arcsec(u(x)); usando a tabela:

y′ ₌











1 x ln(x)



ln2_(x)

−

1 se x > e

−

_{x ln(x)}

_

1_ln2_(x)

−

1 se 0 < x < e− 1_.

[11] Calcule a área do triângulo determinado pelos eixos coordenados e pela reta tangente à curvay = 1

x no pontox = 2.

A reta tangente à curva y = f (x) = x−1 no ponto _{x = 2} é: _y

₋

1

2 = f ′(2)(x

−

2). Como f ′_{(2) =}

₋

1

4, a equação da reta tangente é: 4 y + x

−

4 = 0. Se x = 0, então y = 1; se y = 0,

entãox = 4. A altura do triângulo é igual a1 e a base é igual a 4. Logo, a área do triângulo é: A = 2 u.a.

1 1

Figura 3.22:

[12] Uma partícula move-se ao longo da curva y = 1

₋

2 x2. Quandox = 3 a partícula escapa

(27)

A equação da reta tangente à curva no ponto de abscissa 3 é y

₋

f (3) = f ′_(3)(x

₋

₃₎, onde

f (x) = 1

₋

2 x2; logo,f ′_{(x) =}

₋

_{4 x}e_f′_{(3) =}

₋

₁₂; a equação é: _{y + 12 x}

₋

_{19 = 0.}

3

Figura 3.23:

3.7 Derivação Implícita

SejaF (x, y) = 0uma equação nas variáveisxey.

Deﬁnição 3.5. A função y = f (x) é deﬁnida implicitamente pela equação F (x, y) = 0, quando

F (x, f (x)) = 0.

Em outras palavras, quandoy = f (x)satisfaz à equação F (x, y) = 0.

Exemplo 3.13.

[1] Seja a equaçãoF (x, y) = 0, ondeF (x, y) = x3+ y

₋

1; a funçãoy = f (x) = 1

₋

x3é deﬁnida

implicitamente pela equaçãoF (x, y) = 0, pois:

F (x, f (x)) = x3+ (1

₋

x3)

₋

1 = 0.

[2] Seja a equaçãoF (x, y) = 0, ondeF (x, y) = y4+x

₋

1; a funçãoy = f (x) =

√

4

1

₋

xé deﬁnida

implicitamente pela equaçãoF (x, y) = 0, pois: F (x, f (x)) = (

√

4

1

₋

x)4+ x

₋

1 = 0.

[3] Seja a equaçãoF (x, y) = 0, ondeF (x, y) = x2+ y2

₋

25; esta equação deﬁne implicitamente

uma família de funções; por exemplo f (x) =

√

25

₋

x2_,_{f (x) =}

−

√

25

₋

x2_{; em geral,} y = f c(x) =











√

₂₅

−

x2 _se

−

5

_≤

x

_≤

c

−

√

25

₋

x2 _se ₅

_≥

_{x > c,} para cadac

_∈

(

₋

5, 5).

[4] SejaF (x, y) = 0, ondeF (x, y) = y2

₋

3 y

₋

x

₋

7; então, as funções f (x) = 3

±

√

4 x + 37

2 são

deﬁnidas implicitamente pela equaçãoF (x, y) = 0, pois: F (x, f (x)) = F (x, 3

±

√

4 x + 37

(28)

3.7. DERIVAÇÃO IMPLÍCITA 159 Observemos que nada garante que uma função deﬁnida implicitamente seja contínua, deri-vável, etc. Na verdade, nem sempre uma equaçãoF (x, y) = 0 deﬁne implicitamente alguma

função. Por exemplo, considere a seguinte equação:

x3y6+ x3tg(x y2) + ln(x + y) + sen(x) = 0.

3.7.1 Cálculo da Derivada de uma Função Implícita

Podemos calcular a derivada de uma função deﬁnida implicitamente sem necessidade de expli-citá-la.

Para isto usaremos novamente a regra da cadeia. Suponha que F (x, y) = 0 deﬁne

implici-tamente uma função derivável y = f (x). Através de exemplos mostraremos que podemos

calculary′ sem conhecer_y.

Exemplo 3.14.

[1] Seja y = f (x) uma função derivável deﬁnida implicitamente pela equação x2 + y2 = 1.

Calculey′.

Comoy = f (x), temosx2+((f (x))2 = 1. Derivando em relação axambososladosdaigualdade

e usando a regra da cadeia, obtemos:

(x2)′ _{+ (((f (x))}2₎′ _{= (1)}′ ₌

_⇒

_{2 x + 2 f (x) f}′_{(x) = 0 =}

_⇒

_{x + f (x) f}′_{(x) = 0.} Então,f ′_{(x) =}

₋

x f (x) =

−

x y. Logo, y′ ₌

₋

x y.

[2] Veriﬁque que a função f (x) =

√

1

₋

x2 _{é deﬁnida implicitamente por}_x2 _{+ y}2 _{= 1}_{e calcule}

f ′.

É imediato que a função f (x) =

√

1

₋

x2 _{é deﬁnida implicitamente pela equação} _x2_{+ y}2 _{= 1}_e:

f ′_{(x) =}

₋

_√

x

1

₋

x2 =

−

x y.

3.7.2 Método de Cálculo da Função Implícita

Dada uma equação que deﬁneyimplicitamente como uma função derivável dex, calcula-sey′

do seguinte modo:

1. Deriva-se ambos os lados da equação em relação ax, termo a termo. Ao fazê -lo, tenha em

mente que y é uma função de xe use a regra da cadeia, quando necessário, para derivar

as expressões nas quais ﬁgure y.

2. O resultado será uma equação onde ﬁgura não somente xey, mas também y′. Expresse

y′ em função de _xe_y.

(29)

Exemplo 3.15.

Calculey′ se_{y = f (x)}é uma função derivável, deﬁnida implicitamente pelas equações dadas:

[1]x3

₋

3 x2y4+ y3 = 6 x + 1.

Note quex3

₋

3 x2y4+ y3 = 6 x + 1é igual ax3

₋

3 x2(f (x))4+ (f (x))3 = 6 x + 1.

Derivando ambos os lados da equação, obtemos: (x3)′

₋

_{(3 x}2_(f (x))4₎′_{+ ((f (x))}3₎′ _{= (6 x + 1)}′;

então,

3 x2

₋

6 x (f (x))4

₋

12 x2f ′_{(x) (f (x))}3 _{+ 3 f}′_{(x) (f (x))}2 _{= 6.}

Logo,3 x2

₋

6 x y4

₋

12 x2y′_y3_{+ 3 y}′_y2 _{= 6}. Expressando_y′ em função de_xe_y:

y′ ₌ 2

−

x

2_{+ 2 x y}4

y2₍₁

−

4 x2_y).

[2]x2+ x y + xsen(y) = y sen(x).

Derivando ambos os lados2 x+y+x y′_{+sen(y)+xcos(y) y}′ _{= y}′_{sen(x)+ y cos(x)}. Expressando

y′ em função de_xe_y:

y′ ₌ y cos(x)

−

2 x

−

y

−

sen(y)

x + xcos(y)

₋

sen(x) .

[3]sen(x + y) = y2cos(x).

Derivando ambos os lados(1 + y′_{) cos(x + y) = 2 y y}′_cos(x)

₋

_y2_sen(x). Expressando _y′ em

função dexey:

y′ ₌ y2sen(x) + cos(x + y)

2 y cos(x)

₋

cos(x + y).

O processo de derivar implicitamente pode ser usado somente se a função determinada pela forma implícita é derivável. Mas, para os exemplos e exercícios, sempre consideraremos esta exigência satisfeita.

[4] Determine a equação da reta tangente ao gráﬁco da função implícita deﬁnida por:

y2 = x2(x + 2), no ponto



₋

1 2, 1 2



3 2



.

Derivando a equação implicitamente:

2 y y′ _{= x (3 x + 4).} Expressandoy′ em função de_xe_y: y′ ₌ 3 x2 + 4 x 2 y ; lembrando quex =

₋

1 2,y′ = f ′(x)e 1 2



3 2 = f



−

1 2



= y, temos que:

(30)

3.7. DERIVAÇÃO IMPLÍCITA 161

f ′

_

₋

1

2



=

−

5 2

√

6

é o coeﬁciente angular da reta tangente no ponto



₋

1

2, 1 2



3

2



e a equação desta reta é 4

√

6 y + 10 x

₋

1 = 0.

2 1

1

1

Figura 3.24:

[5] Determine a equação da reta tangente e a equação da reta normal ao gráﬁco da função implícita deﬁnida por:(x2 + y2) (y2 + x (x + 1)) = 4 x y2 no ponto



1

2, 1 2



.

Derivando a equação implicitamente

2 y′_{y (2 y}2 _{+ 2 x}2

₋

_{3 x) =}

₋

_{(4 x y}2_{+ 4 x}3_{+ 3 x}2

₋

_{3 y}2_). Lembrando quex = 1 2, y′ = f ′(x) ey = 1 2,temos que f ′( 1

2) = 2 é o coeﬁciente angular da reta

tangente no ponto

_

1

2, 1

2



e a equação desta reta é2 y

−

4 x + 1 = 0. A equação da reta normal é 4 y + 2 x

₋

3 = 0.

1 1

1

1

Figura 3.25:

[6] Determine a equação da reta tangente e a equação da reta normal ao gráﬁco da função implícita deﬁnida por:

x2 a2 +

y2 b2 = 1,

(31)

Derivando a equação implicitamente: 2 x a2 + 2 y y′ b2 = 0. Expressandoy′ em função de_xe_y: y′ ₌

₋

b2x a2_y;

lembrando quex = x0,y′ = f ′(x)ey0 = f (x0), sey0



= 0, temos:

f ′_(x₀_{) =}

₋

b2x0

a2_y 0,

que é o coeﬁciente angular da reta tangente no ponto (x0, y0)e a equação desta reta é:

y

₋

y0 =

−



b 2_x 0 a2_y 0



_(x

−

x0). Ou, equivalentemente,



y0 b2



_{y +}



x0 a2



_{x = 1}

A equação da reta normal é:

y

₋

y0 =



a 2_y 0 b2_x 0



_(x

−

x0) sex0



= 0.

Estas são as equações da reta tangente e da reta normal num ponto qualquer (x0, y0)da elipse.

Em particular se a = b = r, temos todas as retas tangentes e normais num ponto qualquer (x0, y0)de um círculo de raior.

Figura 3.26: A elipse e suas tangentes.

[7] Determine a equação da reta tangente e a equação da reta normal ao gráﬁco da função implícita deﬁnida por:

x2 a2

−

y2 b2 = 1,

em qualquer ponto; (aebsão constantes não nulas).

Derivando a equação implicitamente:

2 x a2

−

2 y y′

(32)

3.7. DERIVAÇÃO IMPLÍCITA 163 Explicitandoy′:

y′ ₌ b

2_x

a2_y;

e lembrando quex = x0,y′ = f ′(x)ey0 = f (x0), sey0



= 0, temos:

f ′_(x₀_{) =} b

2_x 0

a2_y 0,

que é o coeﬁciente angular da reta tangente ao gráﬁco da função no ponto (x0, y0) e a equação

desta reta é:



y0 b2



_y

−



x_a20



_{x =}

−

1

A equação da reta normal é:

y

₋

y0 =

−



a 2_y 0 b2_x₀



_(x

−

x0)

sex0



= 0. Estas são as equações da reta tangente e da reta normal a uma hipérbole num ponto

(x0, y0)arbitrário.

Figura 3.27: A hipérbole e suas tangentes.

[8] Ache a equação da reta tangente ao gráﬁco das funções implícitas deﬁnidas por: i)x3+ y3 = 6 x y, no ponto(3, 3). (Folium de Descartes).

ii)2 (x2+ y2)2 = 25 (x2

₋

y2), no ponto(3, 1). (Lemniscata de Bernoulli).

i)Folium de Descartes: Derivando a equação implicitamente:

y′ ₌ 2 y

−

x2

y2

−

2 x.

No ponto(3, 3),y′ ₌

₋

₁e a equação da reta tangente é:

(33)

4 2 2 4 6 4 2 2 4 6 8

Figura 3.28: Folium de Descartes.

ii)Lemniscata de Bernoulli: Derivando a equação implicitamente:

y′ ₌

₋

x (

−

25 + 4 x 2_{+ 4 y}2₎ y(25 + 4 x2_{+ 4 y}2₎ . No ponto(3, 1): y′ ₌

₋

9 13

e a equação da reta tangente é

13 y + 9 x

₋

40 = 0. 2 2 4 2 1 1 2

Figura 3.29: Lemniscata de Bernoulli.

3.8 Famílias de Curvas Ortogonais

As famílias de curvas ortogonais são muito utilizadas em diferentes áreas. Na Física, por exem-plo, as linhas de força de um campo eletrostático são ortogonais às linhas de potencial constante e as curvas isotérmicas (de igual temperatura) são ortogonais ao ﬂuxo do calor.

Deﬁnição 3.6. Duas curvas são ditas ortogonais num ponto de interseção se suas retas tangentes nesse

ponto são perpendiculares. Uma família de curvas é ortogonal a outra família de curvas se cada curva de uma família é ortogonal a todas as curvas da outra família.

(34)

3.8. FAMÍLIAS DE CURVAS ORTOGONAIS 165

Exemplo 3.16.

[1] A família de parábolasy2 = 4 a xé ortogonal à família de elipses2 x2+ y2 = b2.

Derivamos as equações implicitamente e comparamos os coeﬁcientes angulares. Sejam m1 os

coeﬁcientes angulares correspondentes à família de parábolas e m2 os coeﬁcientes angulares

correspondentes à família de elipses. Logo,

m1 = 2 a y = y 2 x e m2 =

−

2 x y em1

·

m2 =

−

1. Figura 3.30:

[2] A família de círculosx2 + y2 = a xé ortogonal à família de círculos x2 + y2 = b y.

Derivamos as equações implicitamente e comparamos os coeﬁcientes angulares. Sejam m1 os

coeﬁcientes angulares correspondentes à família x2 + y2 = a x e m2 os coeﬁcientes angulares

correspondentes à famíliax2+ y2 = b y. Logo, m1 = a

−

2 x 2 y = y2

₋

x2 2 x y e m2 = 2 x b

₋

2 y = 2 x y x2

−

y2 em1

·

m2 =

−

1. Figura 3.31:

(35)

(36)

3.9. DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR 167 Logo: f (n)(x) = e x 2 2n, para todo n

∈

N.

[4] Sendof (x) = sen(x), calculef (n). f ′_{(x) = cos(x) = sen(x +} π 2) f (2)(x) =

₋

sen(x) = sen(x + 2π 2 ) f (3)(x) =

₋

cos(x) = sen(x + 3π 2 ) f (4)(x) = sen(x) = sen(x + 4π 2 ) f (5)(x) = cos(x) = sen(x + 5π 2 ) f (6)(x) =

₋

sen(x) = sen(x + 6π 2 ). Logo: f (n)(x) = sen

_

x + nπ 2



, para todon

_∈

N.

[5] Sejay = a + x + b x2+ c x2ln(x),a, b, c

_∈

R. Veriﬁque que x3y(3)

₋

x2y′′_{+ x y}′ _{= x}.

Derivando: y′ _{= c x + 2 c x l n(x) + 2 b x + 1},_y′′ _{= 2 b + 3 c + 2 c ln(x)} e_y(3) ₌ 2 c

x ; então: x3 2 c

x

−

x

2_{(2 b + 3 c + 2 c ln(x)) + x (c x + 2 c x l n(x) + 2 b x + 1) = x.}

[6] Sey = ex(A x + B)satisfaz à equação3 y(3)

₋

6 y′′

₋

_{2 y}′ _{+ 4 y = x e}x, determine o valor das

constantesAeB.

Calculando as derivadas:

y′ _{= e}x_{(A x + A + B), y}_′′ _{= e}x_{(A x + 2 A + B)} _e _y(3) _{= e}x_{(A x + 3 A + B);}

logo a equação ﬁca:

₋

ex_{(A x + 5 A + B) = x e}x_{da qual obtemos}_{A =}

−

1eB = 5. [7] Calcule f (3)(9), sef (x) = x g(

√

x),g′_{(3) = 6}, _g′′_{(3) = 1}e_g(3)_{(3) = 2}. f ′_{(x) = g(}

√

_{x) +}

√

x 2 g′(

√

x), f ′′(x) = 1 4

√

x(3 g′(

√

x) +

√

x g′′(

√

x)) f (3)(x) = 1 8

√

x3 (

−

3 g′(

√

_{x) + 3}

√

_{x g}′′₍

√

_{x) + x g}(3)₍

√

_x)); logo,f (3)(9) = 1 24.

Em geral, nada garante que quando calculamos sucessivamente as derivadas de uma função, estas sejam funções deriváveis.

[7] Sejaf (x) = x2

_|

x

_|

. Então,

f ′_{(x) =}



3 x

2 _se _x

≥

0

−

3 x2 se x < 0 .

Logo f ′_{(x) = 3 x}

_|

_x

_|

, para todo_x

_∈

R; analogamente temos que f ′′_{(x) = 6}

_|

_x

_|

para todo_x

_∈

R;