Exercícios Resolvidos - Área entre curvas

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Exerc´ıcios Resolvidos: ´

Area Entre Curvas

Contato: [email protected] Atualizado em 05/01/2017

O que preciso saber?

Dada uma fun¸c˜ao f (x) definida num intervalo [a, b], como na figura a seguir, y

x

a b

A

então a área A limitada pela curva e o eixo x dentro do intervalo [a, b] é: A =

Z b

a

f (x) dx

Analogamente se tivermos uma fun¸c˜ao f (y) definida num intervalo [a, b] podemos determinar a ´area limitada pela curva e pelo eixo y com a integral

A0= Z b

a

f (y) dy

Exemplo 1: Calcule a ´area entre as curvas y = x2 e y = 4x. Solu¸c˜ao:

Não é exatamente necessário fazer um gráfico das duas fun¸cões, mas tal prática ajuda muito neste tipo de problema. Abaixo temos o gráfico das duas fun¸cões que se interceptam nos pontos (0, 0) e (4, 16).

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(0, 0) (4, 16)

Usando a integra¸c˜ao em X:

Primeiro determinamos a ´area A1 limitada pela curva y = 4x e o eixo x no intervalo [0, 4].

A1= Z 4 0 (4x)dx (0, 0) (4, 16)

Já a área A2 limitada pela curva y = x2e o eixo x será:

A2= Z 4 0 (x2)dx (0, 0) (4, 16)

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(0, 0) (4, 16) A = A1− A2 A = Z 4 0 (4x) dx − Z 4 0 x2 dx A = Z 4 0 4x − x2 dx = 32 3 ua (unidade de ´area). Usando a integra¸c˜ao em Y:

A integra¸cão em y é feita em rela¸cão ao eixo y. Para aplica-la antes temos de determinar as fun¸cões inversas das curvas.

y = x2⇒ x =√y y = 4x ⇒ x = y

4

Na verdade, y = x2_{implicaria em x = ±}√_{y, mas como as interse¸}_c˜_{oes entre as curvas ocorrem}

apenas no primeiro quadrante usamos o resultado positivo.

Assim, a área limitada pela curva x =√y (em vermelho abaixo) e o eixo y é o resultado da integral A1 (0, 0) (4, 16) A1= Z 16 0 (√y)dy Já a área limitada pela curva x = y

(4)

(0, 0) (4, 16) A2= Z 16 0 y 4 dy

Assim, a ´area entre as curvas ser´a o resultado da primeira integral menos a segunda (A1−A2).

(0, 0) (4, 16) A = A1+ A2 A = Z 16 0 (√y)dy − Z 16 0 y 4 dy AT = Z 16 0 √ y −y 4 dy = 32 3 ua

Obs.: Note que neste segundo caso (integra¸cão em y) usamos limites de integra¸cão difer-entes do primeiro caso (integra¸cão em x ). Na integra¸cão em x usou-se a abscisa dos pontos de interse¸cão, enquanto na integra¸cão em y usa-se as ordenadas.

Exemplo 2: Calcule a ´area limitadas pelas curvas y = 3√x e y = 6 x− 3. Solu¸c˜ao:

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2 1 3

y = 3√x em vermelho e y = (6/x) − 3 em preto

Usando a integra¸c˜ao em X:

Note que a região entre as curvas ora é limitada superiormente por y = 3√x ora por y = 6 x−3. Para resolver este problema dividimos a área que desejamos calcular em duas (A1 e A2),

calculamos cada uma individualmente e depois fazemos a soma dos resultados.

A1 A2

2 1 3

Note que a ´area A1´e limitada apenas por y = 3

√

x então, terá a medida da área igual a:

A1=

Z 1

0

(3√x)dx = 2 ua

Já a área A2 é limitada apenas pela curva y =

6

x− 3 então, terá área igual a:

A2= Z 2 1 6 x− 3 dx = 6ln|2| − 3

(6)

Finalmente fazendo A = A1+ A2chegamos ao resultado final A = 6ln|2| − 1.

Usando a integra¸c˜ao em Y:

Primeiro encontramos as fun¸c˜oes inversas das curvas dadas. y = 3√x ⇒ x = y 2 9 y = 6 x− 3 ⇒ x = 6 y + 3

Agora calculamos a ´area limitada pela curva x = 6

y + 3 e pelo eixo y.

1 3

2

Chamaremos esse resultado de A1.

A1= Z 3 0 ₆ y + 3 dy

Em seguida calculamos a ´area limitada pela curva x = y

2

9 e o eixo y.

1 3

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Chamaremos esse resultado de A2. A2= Z 3 0 y2 9 dy

Agora deve ser poss´ıvel perceber que a ´area entre as curvas A ´e a primeira integral menos a segunda. 2 1 3 A = Z 3 0 ₆ y + 3− y2 9 dy = 6ln|y + 3| 3 0 −y 3 27 3 0 = 6ln|2| − 1

Exemplo 3: Ache á área limitada pelas curvas y = −x e y =√2 − x. Solu¸cão:

O gr´afico das curvas ´e colocado a seguir.

2

-2 (2, 0)

Integrando em X:

Primeiro encontramos a integral que nos fornecer´a a ´area limitada pela curva y =√2 − x e o eixo x.

(8)

2 -2 2 -2 (2, 0) A1= Z 2 −2 (√2 − x)dx

e em seguida a integral que nos dar´a a ´area limitada por y = −x e o eixo x.

2 -2 2 -2 (2, 0) A2= Z 0 −2 (−x)dx

Assim, a ´area entre as duas curvas ser´a a primeira integral menos a segunda (A1− A2).

2

-2

2

-2 (2,0)

(9)

A = Z 2 −2 (√2 − x)dx − Z 0 −2 (−x)dx A = Z 2 −2 (√2 − x)dx + Z 0 −2 x dx = −10 3

Como área é uma medida positiva o que nos interessa é o módulo desse resultado. Ou seja, 10

3 ua

Integrando em Y:

Neste caso não há nenhuma vantagem de usar a integra¸cão em y, mas podemos realiza-la deslocando as fun¸cões 2 unidades para direita.

Nesse caso y = −x se torna y = −(x − 2) ou y = 2 − x. E a curva y = √2 − x se torna y =p2 − (x − 2) ou y =√4 − x.

Os gráficos das fun¸cões deslocadas será:

(4, 0) (0, 2)

Note que as curvas ainda tˆem as mesmas formas. Na verdade, apenas as “puxamos” para direita.

Agora vamos determinar as inversas das curvas dadas. y = 2 − x ⇒ x = 2 − y

y =√4 − x ⇒ x = 4 − y2

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(4, 0) (0, 2) A1= Z 2 0 4 − y2 dy

Já a integral que nos fornece a área limitada pela curva x = 2 − y e o eixo y será.

(4, 0) (0, 2) A2= Z 2 0 (2 − y)dy

A área entre as curva será então a primeira menos a segunda integral (A1− A2).

(4, 0) (0, 2)

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A = Z 2 0 4 − y2 dy − Z 2 0 (2 − y)dy A = Z 2 0 2 + y − y2 dy A = 2yy 2 2 − y3 3 2 0 A =10 3 ua

Comentário: Nesse problema o leitor pode se perguntar, “porquê tivemos de mover as fun¸cões?”. Se tivéssemos a situa¸cão inicial e tentássemos aplicar a integra¸cão em y. A região limitada pela curva x = 2 − y2 _{(que ´}_{e a inversa de y =}√_{2 − x) seria o resultado da integral}

A = Z 2

0

2 − y2 dy

O problema é que essa integral não é a medida que desejamos, mas da área em vermelho abaixo:

2

-2 (2, 0)

´

E necessário prestar muita aten¸cão a esse tipo de situa¸cão. E mais uma vez é feito um incentivo ao aluno que esboce o gráfico das fun¸cões. Caso contrário, erros provocados por situa¸cões como esta podem vir a ser cometidos.

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Exemplo 4: Encontre a ´area entre as curvas y = x3_{− 6x}2_{+ 8x e y = x}2_{− 4x.} Solu¸c˜ao: 1 2 3 4 5 1 2 3 4 1 2 3 Integrando em X:

A área situada no intervalo [0, 3] da abscisa é igual a: A1= Z 3 0 (x3_{− 6x}2_{+ 8x) − (x}2_{− 4x) dx} Já no intervalo [3, 4] é igual á: A2= Z 4 3 (x2_{− 4x) − (x}3_{− 6x}2_{+ 8x) dx} sendo assim: A = A1+ A2 A = Z 3 0 (x3 − 6x2+ 8x) − (x2− 4x) dx + Z 4 3 (x2 − 4x) − (x3− 6x2+ 8x) dx A = Z 3 0 (x3− 7x2_{+ 12x)dx +} Z 4 3 (−x3+ 7x2− 12x)dx

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A ' 11.25 + 0.583 A ' 11.833 ua. Integrando em Y:

Neste caso até seria poss´ıvel realizar a integra¸cão na variável y, contudo ter´ıamos um esfor¸co realmente notável. Em alguns casos (como este por exemplo), a integra¸cão em y é definitivamente mais trabalhosa e em outras mais prática. Com a prática é poss´ıvel determinar qual das duas utilizar.

Se alguma passagem ficou obscura ou se algum erro foi cometido por favor escreva para [email protected] para que possa ser feito a devida corre¸c˜ao.