ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE SETÚBAL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA TÓPICOS DE RESOLUÇÃO do Teste Final – 2012/2013
A) B) C) D) 1
2
1.
[2,0] Considere as seguintes a…rmações:
I. ~x = ( 1; 1)é um vector próprio da matriz 3 2
2 1 :
II. O polinómio x2 1 2 2 h2x
2 x; x + 1
i : III. 8A; B 2 Mn(R) ; det (A + B) = det A + det B:
IV. Dados ~x; ~y 2 Enn~0o espaço euclidiano, proj~y~x = ~xj~y
k~yk2~y:
A lista completa das a…rmações correctas é:
A) II e IV. B) I, II e IV. C)I e III. D) II, III e IV. Resolução:Tem-se, respectivamente:
A ~x = 3 2 2 1 1 1 = 1 1 = 1 1 = ~x
=) ~x é vector pp de A associado ao valor pp ( 1) e consequentemente I é verdadeira; x2 1 2 = 1 2(2x 2 x) 1 2( x + 1) logo II é verdadeira;
No geral tem-se det (A + B) 6= det A + det B e desse modo III é falsa; Dados ~x; ~y2 Enn~0o e sendo =^ (~x; ~y) tem-se
proj~y~x =k~xk cos vers ~y = k~xk ~xj~y k~xk k~yk ~ y k~yk = ~ xj ~y k~yk2~y e a a…rmação IV é verdadeira.
2.
[2,0] Qual das seguintes a…rmações é verdadeira?
A) Toda a matriz quadrada com determinante não nulo tem todas as suas colunas linearmente independentes.
B) Todo o sistema possível e determinado é um sistema de Cramer. C)Qualquer subespaço vectorial tem sempre mais do que um elemento. D) Só é possível calcular a matriz adjunta de uma matriz que seja invertível.
Resolução: Sabe-se que se as linhas de uma matriz são linearmente dependentes o seu determinante é nulo logo a a…rmação A é verdadeira.
Veja-se porque são as restantes a…rmações falsas:
Um sistema, AX = B, é possível e determinado se c (A) = c [AjB] =no de incógnitas (no
de colunas de A). Se o sistema tiver mais equações do que incógnitas, isto é, A for uma matriz rectângular então não existe determinante de A e o sistema não é de Cramer (no
de equações 6= no de incógnitas) e B) é falsa;
O subspaço trivial nulo,n~0o; só tem um elemento, pelo que C) é falsa;
Toda a matriz quadrada admite adjunta que será a matriz transposta dos seus comple-mentos algébricos e portanto D) também é falsa.
3. Considere em R3; com o produto interno canónico, os vectores ~u = (k; 2; 2) e ~v = (2k; 1; 1), onde k 2 R:
(a)
[1,5] Determine os valores de k de modo que a área do paralelogramo de…nido por ~u e ~v seja igual a 5.
Resolução:Sabe-se que A = k~u ~vk = 5 e tem-se
~ u ~v =
~e1 ~e2 ~e3
k 2 2
2k 1 1
= 4~e1+ 3k~e2+ 5k~e3
então k~u ~vk = 5 , k( 4; 3k; 5k)k = 5 , q ( 4)2+ (3k)2+ (5k)2 = 5, , 16 + 9k2+ 25k2 = 25, k2 = 9 34 , k = 3 p 34 = 3p34 34 : (b)
[1,0] Para k = 1, determine um vector ortogonal a ~ue a ~v que tenha norma 2:
Resolução:O vector que resulta do produto externo é um vector ortogonal a ~u e a ~v, isto é, o vector ~u ~v = ( 4; 3k; 5k) é ortogonal a ~u e a ~v:
Para k = 1; ~u ~v = ( 4; 3; 5) e para obter um vector com a direcção deste e norma 2 basta considerar
~ w = 2 vers (~u ~v) = p2 50( 4; 3; 5) = p 50 25 ( 4; 3; 5) : (c)
[1,0] Diga, justi…cando, qual o valor lógico da seguinte a…rmação:
"Existe pelo menos um valor de k tal que ~u e ~v são linearmente dependentes". Resolução:~u e ~v linearmente dependentes , 9 2 R : ~u = ~v: Tem-se então
(k; 2; 2) = (2k; 1; 1) , 8 < : 2k = k = 2 = 2 impossível.
Conclui-se que a a…rmação é falsa.
4. Considere o seguinte sistema de equações lineares: 8 < : x + by + 2z = b x + (b + 1) y + 2z = 1 2x + az = 2 ;
onde a e b são parâmetros reais. (a)
[2,5] Discuta o sistema em função de a e b.
Resolução:Recorrendo ao Método de eliminação de Gauss tem-se:
AjB = 2 4 1 b 2 j b 1 b + 1 2 j 1 2 0 a j 2 3 5 L1!+ L2 2L1+ L3 2 4 1 b 2 j b 0 1 0 j b 1 0 2b a 4 j 2b 2 3 5 ! 2bL2+ L3 2 4 1 b 2 j b 0 1 0 j b 1 0 0 a 4 j 2b2 2 3 5 Assim:
Para a 6= 4, 8b 2 R tem-se c (A) = c [AjB] = no
de incógnitas = 3 ) sistema possível e determinado; Para a = 4, tem-se 2 6 4 1 b 2 j b 0 1 0 j b 1 0 0 0 j 2b2 2 3 7 5
–Se a = 4 ^ b = 1 vem c (A) = c [AjB] = 2 < no
de incógnitas = 3 ) sistema possível e indeterminado;
–Se a = 4 ^ b 6= 1 ^ b 6= 1 vem c (A) = 2 < c [AjB] = 3 ) sistema impossível.
(b)
[1,0] Para a = 4 e b = 1, resolva o sistema homogéneo associado recorrendo ao cálculo da matriz reduzida.
Resolução: O sistema homogéneo associado ao sistema anterior é o sistema AX = O. Deste modo, partindo da matriz em escada obtida na alínea anterior
vem: 2 4 10 11 20 j 0j 0 0 0 0 j 0 3 5 ! L2+ L1 2 4 10 01 20 j 0j 0 0 0 0 j 0 3 5 logo x + 2z = 0 y = 0 , x = 2z y = 0 ; z 2 R: 5. Considere as matrizes A = 2 4 1 2 1 0 0 1 1 0 0 1 3 5 e B = 2 4 0 1 1 2 0 0 2 1 1 3 5 : (a)
[1,0] Calcule det A e det B. Resolução: 1 2 1 0 0 1 1 0 0 1 = 1 2 ( 1) ( 1) = 1 2 e 0 1 1 2 0 0 2 1 1 = 2 ( 1)3 1 1 1 1 = 0: (b)
[1,0] Determine a matriz inversa de A.
Resolução:Pelo Método de eliminação de Gauss vem: 2 4 1 2 1 0 j 1 0 0 0 1 1 j 0 1 0 0 0 1 j 0 0 1 3 5 ! L3+ L2 2 4 1 2 1 0 j 1 0 0 0 1 0 j 0 1 1 0 0 1 j 0 0 1 3 5 L2+ L! 1 L3 2 4 1 2 0 0 j 1 1 1 0 1 0 j 0 1 1 0 0 1 j 0 0 1 3 5 2L!1 L2 2 4 1 0 00 1 0 j 2j 0 21 21 0 0 1 j 0 0 1 3 5 Conclusão A 1 = 2 4 20 21 21 0 0 1 3 5
(c)
[1,5] Resolva a equação matricial XA BTA = det 2AT I 3:
Resolução:XA BTA = det 2AT I3 , XA = 23det AT
| {z }I3 det(A)=12 + BTA , , XAA| {z }1 I3 = 4I3+ BTA A 1 , X = 4A 1+ BT: Portanto X = 4 2 4 2 2 2 0 1 1 0 0 1 3 5 + 2 4 0 2 2 1 0 1 1 0 1 3 5 = 2 4 8 10 10 1 4 5 1 0 3 3 5 : (d)
[1,0] Determine os valores próprios de A e as respectivas multiplicidades algébricas. Resolução:Os valores próprios de A são as soluções de jA Ij = 0 logo
1 2 1 0 0 1 1 0 0 1 = 0, 1 2 ( 1 ) 2 = 0, = 1 2_ = 1 Pelo que A tem como valores próprios = 1e = 12 com multiplicidades algébricas 2e 1 respectivamente.
6. Considere em R4 o produto interno canónico e o conjunto
S = (x; y; z; w)2 R4 : y + 2x = 0^ 3z = 0 : (a)
[1,0] Mostre que S é um subespaço vectorial de R4.
Resolução:Tem-se que
y + 2x = 0 3z = 0 , y = 2x z = 0 deste modo S = f(x; 2x; 0; w) 2 R4 g : S é um subespaço vectorial de R4 se e só se:
1) S 6=
Consideremos o vector (0; 0; 0; 0), então neste caso temos y + 2x = 0 + 2 0 = 0 e 3z = 3 0 = 0, ou seja, (0; 0; 0; 0) 2 S ) S 6= ; 2) ~x; ~y2 S ) ~x + ~y 2 S Considerem-se ~x = (x1; 2x1; 0; w1)2 S e ~y = (x2; 2x2; 0; w2)2 S então ~x+~y = (x1+x2; 2x1 2x2; 0; w1+w2) = (x| {z }1+ x2 x ; 2 (x1+ x2) | {z } 2x ; 0|{z} 0 ; w| {z }1+ w2 w )2 S, isto é, S é fechado para a adição vectorial;
3) 2 R; ~x 2 S ) ~x 2 S ~ x = (x1; 2x1; 0; w1) = ( x|{z}1 x ;| {z }2 x1 2x ; 0|{z} 0 ; w|{z}1 w
) 2 S, isto é, S é fechado para a multiplicação escalar.
(b)
[2.0] Determine uma base de S e indique a sua dimensão. A base obtida é ortonormada? Caso não o seja, obtenha uma base ortonormada de S.
Resolução:Viu-se que o elemento genérico de S é do tipo (x; 2x; 0; w) pelo que se tem,
(x; 2x; 0; w) = x (1; 2; 0; 0) + w(0; 0; 0; 1)
então S = h(1; 2; 0; 0) ; (0; 0; 0; 1)i e como facilmente se veri…ca estes dois vectores geradores são linearmente independentes pois se colocados numa matriz
A = 1 2 0 0
0 0 0 1 e como a c (A) = 2 é igual ao número de vectores, então os dois vectores (linhas de A) são linearmente independentes. Uma base de S será f~u; ~vg = f(1; 2; 0; 0) ; (0; 0; 0; 1)g e dim S = 2 (no de vectores
da base).
Como se veri…ca facilmente esta base é ortogonal pois (1; 2; 0; 0)j(0; 0; 0; 1) = 0 ) ~u? ~v;
para se obter uma base ortonormada basta considerar os versores, ou seja,
fvers ~u; vers ~vg = p1
5(1; 2; 0; 0) ; 1(0; 0; 0; 1) = (p 5 5 (1; 2; 0; 0) ; (0; 0; 0; 1) ) : 7.
[1,5] Sejam ~a e ~b dois vectores de um espaço euclidiano tais que ~a é unitário, a norma de ~b é p2e =] ~a;~b = 45 . Determine o valor de 3~a ~b ~a + 2~b :
Resolução:Sabe-se que k~ak = 1, ~b =p2 e =] ~a;~b = 45 : Daqui calcula-se
~a ~b =k~ak ~b cos = 1 p2 cos 45 =p2 p
2 2 = 1 desenvolvendo a expressão dada vem,
3~a ~b ~a + 2~b = 3~aj~a + 6~a ~b ~b j~a |{z}
~aj~b
2~b ~b = 3k~ak2+ 5~a ~b 2 ~b
2
