Terminologia, Técnicas de Demonstração, Enumerabilidade

(1)

Terminologia, T´

ecnicas de Demonstra¸c˜

ao,

Enumerabilidade

´

Area de Conhecimento em Algoritmos e Teoria - DCC/UFMG

Fundamentos de Teoria da Computa¸c˜ao

(2)

Terminologia, T´

ecnicas de Demonstra¸c˜

ao, Enumerabilidade

Aqui vamos revisar sucintamente alguns conceitos fundamentais de matemática discreta que serão úteis na disciplina:

1. conjuntos,

2. sequˆencias e tuplas,

3. fun¸c˜oes e rela¸c˜oes,

4. grafos,

5. l´ogica Booleana.

Além disso, vamos rever a no¸cão de defini¸cão, teoremas e demonstra¸cões,

(3)

No¸

c˜

oes e Terminologia

(4)

Conjuntos

Um conjunto ´e uma cole¸c˜ao de objetos, chamados de elementos ou

membros do conjunto.

Conjuntos podem conter qualquer tipo de objeto, como n´umeros, s´ımbolos, e

at´e outros conjuntos.

Conjuntos podem ser descritos formalmente de v´arias maneiras, como:

1. Listando seus elementos entre chaves: {a, b, c}.

2. Expecificando uma propriedade que define o conjunto, como em S = {x | P(x )}:

{x ∈ N | x ´e primo e x > 431}.

3. Provendo uma defini¸c˜ao recursiva: (

1 ∈ A,

(5)

Conjuntos

Os s´ımbolos ∈ e /∈ denotam pertinência e não-pertinência a conjuntos,

respectivamente:

a ∈ {a, b, c}, mas d /∈ {a, b, c}.

Um conjunto A ´e subconjunto de um conjunto B, denotado por A ⊆ B, se

todo elemento de A est´a em B.

Um conjunto A ´e subconjunto pr´oprio de um conjunto B, denotado por

A ⊂ B, se A ⊆ B mas A 6= B.

A ordem e repeti¸c˜ao de elementos em um conjunto ´e irrelevante:

{a, b, c} = {c, b, a} = {a, b, b, c, c, c}.

Em um multiconjunto a repeti¸c˜ao de elementos ´e relevante (mas

n˜ao a ordem):

(6)

Conjuntos

Alguns conjuntos importantes:

1. ∅ = {} ´e o conjunto vazio, ou seja, que tem zero elementos.

2. N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .} ´e o conjunto dos n´umeros naturais.

3. Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .} ´e o conjunto dos n´umeros inteiros.

4. Z+= {1, 2, 3, 4, 5 . . .} ´e o conjunto dos n´umeros inteiros positivos.

5. Q = {p/q| p ∈ Z, q ∈ Z, e q 6= 0} ´e o conjunto dos n´umeros racionais.

6. R ´e o conjunto dos n´umeros reais.

7. _R+ _´_{e o conjunto dos n´}_{umeros reais positivos.}

(7)

Conjuntos

Sendo A, B subconjuntos do conjunto universal U, definimos as opera¸c˜oes:

União: A ∪ B = {x ∈ U | x ∈ A ∨ x ∈ B} Alternativamente: x ∈ A ∪ B ↔ x ∈ A ∨ x ∈ B Nota¸cão: Sn i =1Ai = A1∪ A2∪ . . . ∪ An Interse¸cão: A ∩ B = {x ∈ U | x ∈ A ∧ x ∈ B} Alternativamente: x ∈ A ∩ B ↔ x ∈ A ∧ x ∈ B Nota¸cão: Tn i =1Ai = A1∩ A2∩ . . . ∩ An Diferen¸ca: A − B = {x ∈ U | x ∈ A ∧ x 6∈ B} Alternativamente: x ∈ A − B ↔ x ∈ A ∧ x 6∈ B Complemento: A = {x ∈ U | x 6∈ A} Alternativamente: x ∈ A ↔ x 6∈ A

(8)

Conjuntos

Dado um conjunto A, o conjunto potˆencia de A (ou conjunto das partes

de A) ´e o conjunto de todos os subconjuntos de A.

Denotamos por P(A) o conjunto potˆencia de A.

(a) Dado o conjunto S = {x , y , z}, seu conjunto potˆencia ´e

P(S) = {∅, {x}, {y }, {z}, {x, y }, {x, z}, {y , z}, {x, y , z}}.

(b) P(∅) = {∅}.

Teorema: Se um conjunto finito A tem n elementos, ent˜ao P(A) tem 2n

elementos.

Demonstra¸c˜ao. A fim de construir um subconjunto S qualquer de A, temos

que decidir, para cada elemento a ∈ A, se a ∈ S ou a 6∈ S . Como para cada

elemento há duas op¸cões (a ∈ S ou a 6∈ S ), e há um total de n elementos em

A, existem 2n _{maneiras de se construir um subconjunto S de A. Logo,}

(9)

Sequˆ

encia e tuplas

Uma sequˆencia de objetos ´e uma lista ordenada destes objetos.

Normalmente representamos sequˆencias como uma lista entre parˆenteses:

(a, b, c).

Ao contr´ario de em conjuntos, numa sequˆencia

a ordem dos elementos ´e relevante:

(a, b, c) 6= (c, a, b) 6= (b, c, a), mesmo que os conjuntos abaixo sejam equivalentes:

{a, b, c} = {c, a, b} = {b, c, a}.

Assim como os conjuntos, as sequˆencias podem ser finitas ou infinitas.

Uma sequˆencia finita ´e chamada de tupla (ou upla).

Uma sequˆencia finita com k elementos ´e chamada de k-tupla:

(10)

Sequˆ

encias e tuplas

O produto Cartesiano (ou produto cruzado) de dois conjuntos A e B,

denotado A × B, ´e o conjunto de todos os pares ordenados (i.e., 2-tuplas)

(a, b), onde a ∈ A e b ∈ B. Formalmente:

A × B = {(a, b) | a ∈ A e b ∈ B}.

Exemplo 1 Sejam A = {1, 2} e B = {a, b, c}.

A × B = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)}

B × A = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)}

A × A = A2= {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}

(11)

Sequˆ

encias e tuplas

O produto cartesiano (ou produto cruzado) de v´arios conjuntos

A1, A2, . . . , An, denotado por

A1× A2× . . . × An,

´e o conjunto de todas as n-tuplas ordenadas (a1, a2, . . . , an), onde ai∈ Ai para i = 1 . . . n.

Formalmente:

A1× A2× . . . × An= {(a1, a2, . . . , an) | ai ∈ Ai para i = 1 . . . n} Exemplo 2 Sejam A = {0, 1}, B = {a, b}, C = {γ, δ}.

A × B × C = {(0, a, γ), (0, a, δ), (0, b, γ), (0, b, δ), (1, a, γ), (1, a, δ), (1, b, γ), (1, b, δ)}, e

A × A × A = A3 = {(0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1),

(1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}.

(12)

Fun¸c˜

oes e rela¸c˜

oes

Sejam A e B conjuntos n˜ao-vazios.

Uma fun¸cão (ou mapeamento) f de A para B é uma associa¸cão de

exatamente um elemento de B a cada elemento de A. Escrevemos

f (a) = b

(13)

Fun¸c˜

oes e rela¸c˜

oes

Se f ´e uma fun¸c˜ao de A para B, escrevemos

f : A → B para denotar o tipo da fun¸c˜ao.

O conjunto A ´e chamado de dom´ınio de f .

O conjunto B ´e chamado de co-dom´ınio ou contra-dom´ınio de f .

A imagem de f ´e o conjunto de valores que f pode assumir:

imagem de f = {b ∈ B | b = f (a) para algum a ∈ A}

A imagem inversa de um elemento b ∈ B ´e o conjunto de valores a ∈ A que

s˜ao mapeados a b via f :

(14)

Fun¸c˜

oes e rela¸c˜

oes

Exemplo 3 Sejam os conjuntos A = {x , y , z} e B = {1, 2, 3, 4}.

Seja a fun¸c˜ao f : A → B definida pelo diagrama abaixo.

Dom´ınio de f : {x , y , z} Co-dom´ınio de f : {1, 2, 3, 4} Imagem de f : {2, 4} f (x ) = 2 f (y ) = 4 f (z) = 2 Imagem inversa de 1: ∅ Imagem inversa de 2: {x , z} Imagem inversa de 3: ∅ Imagem inversa de 4: {y }

A fun¸c˜ao f pode ser representada como o conjunto de pares ordenados:

f = {(x , 2), (y , 4), (z, 2)}

(15)

Fun¸c˜

oes e rela¸c˜

oes

Um predicado ou propriedade é uma fun¸cão cujo contradom´ınio é {T , F },

que s˜ao valores Booleanos correspondentes a verdadeiro (ou true, em

inglˆes) e falso, respectivamente.

(a) Por exemplo o predicado

Impar : Z → {T , F }

´e verdadeiro se seu argumento for ´ımpar, e falso em caso contr´ario. Logo

Impar(3) = T , mas Impar(6) = F .

Uma propriedade cujo dom´ınio ´e um conjunto de k-tuplas A × . . . × A ´e

chamada de uma rela¸cão, rela¸cão k-ária, ou rela¸cão k-ária sobre A. Se R é uma rela¸cão k-ária,

(16)

Fun¸c˜

oes e rela¸c˜

oes

Uma rela¸c˜ao bin´aria tem como dom´ınio pares ordenados.

Normalmente usamos nota¸cão infixada para representar rela¸cão binária:

(a) 3 < 5 ´e o mesmo que

< (3, 5) = T .

(b) 2 + 2 = 4 ´e o mesmo que

= (2 + 2, 4) = T .

Uma rela¸cão binária R é dita ser uma rela¸cão de equivalência se ela satisfaz três condi¸cões:

(a) R ´e reflexiva: para todo x , x R x ;

(b) R é simétrica: para todo x , y , se x R y então y R x ; e

(17)

Fun¸c˜

oes e rela¸c˜

oes

Exemplo 4 Seja a rela¸c˜ao R no conjunto dos reais tal que a R b se, e

somente se, a − b é um inteiro. R é uma rela¸cão de equivalência? Solu¸cão: Temos que verificar se R é reflexiva, simétrica e transitiva.

Reflexiva: Sim, j´a que a − a = 0 ´e um inteiro para todo real a. Logo ∀a ∈ R : a R a.

Simétrica: Sim, já que se a − b é inteiro, então b − a também é um inteiro (apenas com o sinal oposto). Logo

∀a, b ∈ R : a R b → b R a.

Transitiva: Sim, se a − b e b − c são ambos inteiros, então a − c = (a − b) + (b − c) é a soma de dois inteiros e, portanto, a − c também é inteiro. Logo

∀a, b, c ∈ R : (a R b) ∧ (b R c) → (a R c).

(18)

Grafos

Um grafo n˜ao-direcionado (ou simplesmente grafo) ´e um conjunto de

v´ertices com arestas conectando alguns destes v´ertices.

Um grafo G pode ser descrito como G = (V , E ) em que V = {v1, v2, . . . , vn}

é o conjunto de vértices de G , e E é o conjunto de arestas. Uma aresta

(não-direcionada) entre o vértice vi e o vértice vj é representada por {vi, vj}.

(a) O grafo ao lado pode ser representado por G = (V , E ), onde

V = {1, 2, 3, 4, 5} é o conjunto de vértices E = { {1, 2}, {1, 5}, {2, 3}, {3, 4}, {4, 5} } é o conjunto de arestas não-direcionadas.

(19)

Grafos

Um grafo rotulado ´e um grafo em que

v´ertices e/ou arestas recebem r´otulos.

Um grafo G = (V , E ) ´e um subgrafo

de um grafo H = (V0, E0) se:

(a) V ⊆ V0, e

(20)

Grafos

Um caminho em um grafo ´e uma

sequˆencia de v´ertices conectados por

arestas.

Um caminho simples ´e um caminho

que n˜ao repete nenhum v´ertice.

Um grafo ´e conexo se entre cada dois v´ertices do grafo existe um caminho.

Um ciclo ´e um caminho que come¸ca e

termina no mesmo v´ertice.

Um ciclo simples ´e aquele que cont´em

pelo menos trˆes v´ertices e repete

(21)

Grafos

Uma ´arvore ´e um grafo conexo e sem

ciclos.

Uma ´arvore pode conter um v´ertice

de-signado raiz, e os v´ertices de grau 1 s˜ao chamados folhas.

(22)

Grafos

Em um grafo direcionado cada aresta tem um v´ertice de sa´ıda e um

v´ertice de entrada.

Um aresta saindo do vértice vi e chegando ao vértice vj é representada por

uma tupla (vi, vj).

(a) O grafo ao lado pode ser representado por G = (V , E ), onde

V = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ´e o conjunto de v´ertices,

E = { (1, 2), (1, 5), (2, 1), (2, 4), (5, 4), (5, 6), (6, 1), (6, 3) } ´e o conjunto de arestas direcionadas.

Um caminho direcionado ´e aquele em que toda aresta aponta na mesma

dire¸c˜ao.

Um grafo ´e fortemente conexo se um caminho direcionado conecta cada

(23)

L´

ogica Booleana

A l´ogica Booleana ´e definida sobre valores Booleanos T (verdadeiro) e F

(falso), e operadores l´ogicos como os abaixo:

Nega¸cão p ¬p T F F T Conjun¸cão p q p ∧ q T T T T F F F T F F F F Disjun¸cão p q p ∨ q T T T T F T F T T F F F Ou exclusivo p q p ⊕ q T T F T F T F T T F F F Implica¸cão p q p → q T T T T F F F T T F F T Implica¸cão dupla p q p ↔ q T T T T F F F T F F F T

(24)

Defini¸

c˜

oes, Teoremas e

(25)

Defini¸c˜

oes e Demonstra¸c˜

oes: Terminologia

Uma defini¸cão é uma descri¸cão de objetos ou no¸cões que usamos.

Um enunciado matemático, no geral, é uma afirma¸cão de que um objeto

tem uma certa propriedade.

Uma demonstra¸c˜ao (ou prova) ´e um argumento de que um enunciado

matem´atico segue de um conjunto de premissas.

O n´ıvel de detalhamento de uma demonstra¸c˜ao pode depender do tipo de leitor ao qual ela se destina, levando em conta fatores como:

(a) o conhecimento do leitor;

(b) a maturidade do leitor;

(c) o n´ıvel de rigor almejado.

Adotamos o rigor matemático esperado de profissionais da área de exatas. Demonstra¸cões são importantes em várias áreas da Ciência da Computa¸cão:

(a) corre¸c˜ao de programas;

(b) an´alise de complexidade de algoritmos;

(c) propriedades de seguran¸ca de sistemas;

(26)

Demonstra¸c˜

oes e Teoremas: Terminologia

Um axioma (ou postulado) ´e uma afirma¸c˜ao assumida como verdadeira

sem a necessidade de uma demonstra¸c˜ao, ou seja, uma “verdade a princ´ıpio”.

Um resultado ´e uma afirma¸c˜ao que se pode demonstrar ser verdadeira.

Resultados recebem diferentes nomes, de maneira mais ou menos subjetiva:

Um teorema é um resultado considerado interessante em si mesmo. Uma proposi¸cão é um resultado considerado “de menor interesse”. Um lema é um resultado auxiliar, geralmente usado para quebrar a demonstra¸cão de um resultado mais complexo em partes menores.

Um corolário é um resultado derivável facilmente a partir de outro resultado já demonstrado, consistindo em uma consequência mais ou menos imediata.

Uma conjectura é suposi¸cão bem fundada, porém (ainda) sem

(27)

Como escrever uma demonstra¸c˜

ao

Escreva claramente qual a afirma¸c˜ao que se deseja demonstrar. (´E comum

preceder a afirma¸c˜ao com a palavra Teorema ou Lema.)

Delimite claramente o escopo da demonstra¸c˜ao.

Indique o in´ıcio da demonstra¸c˜ao com a palavra Demonstra¸c˜ao.

Indique o fim da demonstra¸c˜ao com um marcador. Podem-se usar:

um quadradinho , ou

a abrevia¸c˜ao Q.E.D. (do latim “quod erat demonstrandum”), ou

sua tradu¸c˜ao em portuguˆes, C.Q.D. (“conforme quer´ıamos demonstrar”).

Escreva a demonstra¸c˜ao de tal forma que ela seja autocontida. Use

linguagem natural (portuguˆes) de forma clara, empregando senten¸cas

completas e bem estruturadas. Podem-se utilizar f´ormulas matem´aticas,

(28)

Como escrever uma demonstra¸c˜

ao

Identifique cada vari´avel usada na demonstra¸c˜ao juntamente com seu tipo.

Exs.:

(a) Seja x um n´umero real maior que 2.

(b) Suponha que m e n sejam inteiros sem divisores comuns.

Importante:

O objetivo principal de uma demonstra¸c˜ao ´e convencer o leitor de que o

resultado (teorema, proposi¸c˜ao, lema) ´e verdadeiro.

N˜ao basta que vocˆe mesmo esteja convencido!

Certifique-se de que est´a sendo conciso, mas claro.

A seguir vamos ver algumas técnicas de demonstra¸cão úteis, exemplificando

(29)

(30)

T´

ecnicas de demonstra¸c˜

ao

Construir uma demonstra¸c˜ao ´e uma arte.

Cada caso ´e um caso: n˜ao existe uma “receita fechada” para construir

demonstra¸c˜oes para todas as afirma¸c˜oes.

Existem, entretanto, técnicas que são úteis para demonstrar uma grande

quantidade de afirma¸c˜oes.

Aqui vamos rever as seguintes t´ecnicas de demonstra¸c˜ao:

(a) demonstra¸c˜ao por constru¸c˜ao;

(b) demonstra¸cão por contradi¸cão (ou demonstra¸cão por redu¸cão ao absurdo);

(c) demonstra¸c˜ao por indu¸c˜ao.

Outras técnicas de demonstra¸cão (e.g., demonstra¸cão por contra-exemplo,

por divisão em casos, etc.) serão revistas à medida em que forem

(31)

Demonstra¸c˜

ao por constru¸c˜

ao

Muitos teoremas enunciam que um tipo particular de objeto existe.

Uma maneira de demonstrar um teorema destes ´e demonstrar como construir

o objeto.

(32)

Demonstra¸c˜

ao por constru¸c˜

ao: Exemplo

Exemplo 5 Mostre que para cada n´umero par n maior que 2, existe um

grafo 3-regular com n v´ertices.

Demonstra¸c˜ao. Seja n um n´umero par maior que 2. Construa o grafo

G = (V , E ) com n v´ertices da seguinte forma.

O conjunto de vértices é V = {0, 1, . . . , n − 1}, e o conjunto de arestas é E = { {i , i + 1} | para 0 ≤ i ≤ n − 2 } ∪

{ {n − 1, 0} } ∪

{ {i , i +n_/₂_{} | para 0 ≤ i ≤}n_/₂_{− 1 } .}

Desenhe os v´ertices desse grafo escritos consecutivamente ao redor da

circunferˆencia de um c´ırculo:

As arestas do tipo { {i , i + 1} | para 0 ≤ i ≤ n − 2 } ligam pares adjacentes ao longo do c´ırculo.

As arestas do tipo { {i , i +n_/₂_{} | para 0 ≤ i ≤}n_/₂_{− 1} ligam v´}_{ertices em}

lados opostos do c´ırculo.

(33)

Demonstra¸c˜

ao por contradi¸c˜

ao

Uma forma comum de demonstrar um teorema ´e seguir os seguintes passos:

1. assumir que o teorema seja falso;

2. em seguida, demonstrar que esta suposi¸cão leva a uma consequência obviamente falsa, chamada de contradi¸cão,

3. concluir que o teorema, ent˜ao, deve ser necessariamente verdadeiro.

Esta técnica de demonstra¸cão é chamada de demonstra¸cão por

(34)

Demonstra¸c˜

ao por contradi¸c˜

ao: Exemplo

Exemplo 6 Mostre que√2 ´e irracional.

Demonstra¸c˜ao. Suponha o contr´ario do que queremos demonstrar, ou seja,

que√2 seja racional.

Neste caso, existem p, q ∈ Z, com mdc(p, q) = 1, tais que√2 = p/q.

Elevando os dois lados ao quadrado, obtemos 2 = p2_/q2_{, ou seja, p}2_{= 2q}2_.

Note que 2q2_´_{e par, portanto pela igualdade acima p}2_tamb´_{em tem que ser}

par. Isto implica que p deve ser par.

Agora, j´a que p ´_{e par, existe algum s ∈ Z tal que p = 2s. Isso implica que}

2q2_{= p}2_{= (2s)}2_{= 4s}2_{, o que resulta em q}2_{= 2s}2_{. Note que ent˜}_{ao q}2_´_e par, portanto q deve ser par.

Mas se ambos p e q s˜ao pares, isto contradiz a suposi¸c˜ao de que o

mdc(p, q) = 1: encontramos uma contradi¸c˜ao.

Logo podemos concluir que n˜_{ao existem p, q ∈ Z, com q 6= 0 e}

(35)

Demonstra¸c˜

ao por indu¸c˜

ao

Imagine que vocˆe esteja diante de uma escada de infinitos degraus, e vocˆe se

pergunta: “Ser´a que eu consigo alcan¸car qualquer degrau dessa escada?”

Vocˆe sabe que

1. vocˆe consegue alcan¸car o primeiro degrau, e

2. se você alcan¸car um degrau qualquer, você consegue alcan¸car o próximo degrau.

Usando as regras acima, vocˆe pode deduzir que:

1. vocˆe consegue alcan¸car o primeiro degrau: pela regra 1;

2. vocˆe consegue alcan¸car o segundo degrau: pela regra 1, depois regra 2;

3. vocˆe consegue alcan¸car o terceiro degrau: regra 1, depois regra 2 por duas vezes;

4. ...

5. vocˆe consegue alcan¸car o n-´esimo degrau: regra 1, depois regra 2 por n − 1 vezes.

(36)

Demonstra¸c˜

ao por indu¸c˜

ao

Para mostrar que uma propriedade P(n) vale para todos os inteiros positivos

n, uma demonstra¸cão que utilize o princ´ıpio da indu¸cão matemática

(fraca) possui duas partes:

Demonstra¸c˜ao por indu¸c˜ao fraca: Passo base: Demonstra-se P(1).

Passo indutivo: Demonstra-se que, para qualquer inteiro positivo k, se P(k) ´

e verdadeiro, ent˜ao P(k + 1) ´e verdadeiro.

A premissa do passo indutivo (P(k) é verdadeiro) é chamada de hipótese de

indu¸c˜ao ou I.H.

O princ´ıpio da indu¸c˜ao matem´atica pode ser expresso como uma regra de

inferˆencia sobre os n´umeros inteiros:

[ P(1) | {z } Passo base ∧ ∀k ≥ 1 : (P(k) → P(k + 1)) | {z } Passo indutivo ] → ∀n ≥ 1 : P(n) | {z } Conclus˜ao

(37)

Demonstra¸c˜

ao por indu¸c˜

ao: Exemplo

Exemplo 7 Mostre que para todo inteiro n˜ao-negativo n,

Pn

i =02

i _{= 2}n+1_{− 1.}

Demonstra¸c˜ao. Seja P(n) a proposi¸c˜ao “Pn

i =02

i_{= 2}n+1_{− 1”.}

Passo base: P(0) ´e verdadeiro porque: 0 X

i =0

2i = 20+1− 1,

j´a que o lado esquerdo da igualdade acima pode ser escrito

como

0 X

i =0

2i = 20= 1,

e o lado direito pode ser escrito como

(38)

Demonstra¸c˜

ao por indu¸c˜

ao: Exemplo

Exemplo 7 (Continua¸c˜ao)

Passo indutivo: Assuma que P(k) seja verdadeiro para um inteiro

n˜ao-negativo arbitr´ario k, ou seja, assuma como verdadeira a

hip´otese de indu¸c˜ao k X

i =0

2i= 2k+1− 1.

Queremos mostrar que, se a hip´otese acima for verdadeira,

então P(k + 1) também é verdadeiro, ou seja, que

k+1 X

i =0

(39)

Demonstra¸c˜

ao por indu¸c˜

ao: Exemplo

Para isto, podemos derivar k+1 X i =0 2i = k X i =0 2i ! + 2k+1 = 2k+1− 1 + 2k+1 _{(pela I.H.)} = 2 · 2k+1− 1 = 2k+2− 1,

de onde conclu´ımos o passo indutivo.

Logo, por indu¸c˜_{ao mostramos que ∀n ∈ N : P(n), ou seja, que}

Pn

i =02

(40)

Erros comuns em demonstra¸c˜

oes

Argumentar a partir de exemplos.

Exemplo 8 Teorema: “Se m + n é par então m − n é par.”

Demonstra¸cão incorreta: Se m = 14 e n = 6 então m + n = 20 que é par e m − n = 8 que também é par.

Pular para uma conclus˜ao; ou alegar a verdade de alguma coisa sem dar uma

raz˜ao adequada.

Exemplo 9 Teorema: “Se m + n é par então m − n é par.”

Demonstra¸cão incorreta: Suponha que m e n sejam inteiros e que m + n é par. Pela defini¸cão de par, m + n = 2k para algum inteiro k. Então m = 2k − n e assim m − n é par.

Exerc´ıcio: Corrija as “demonstra¸c˜oes” dadas acima, demonstrando

(41)

(42)

Cardinalidade de conjuntos

O tamanho de um conjunto finito ´e dado pelo n´umero de seus elementos.

Podemos comparar o tamanho de conjuntos finitos verificando qual conjunto tem mais elementos.

Entretanto, quando lidamos com conjuntos infinitos, os conceitos de

“tamanho” e de “compara¸c˜ao” s˜ao mais complexos.

Aqui estudaremos a cardinalidade (i.e., “tamanho”) de conjuntos infinitos, e

maneiras de comparar se conjuntos infinitos s˜ao “maiores”, “menores”, ou

“de igual tamanho” a outros conjuntos infinitos.

Em particular, definiremos o conceito de conjunto infinito enumer´avel, que

´e a base da Matem´atica Discreta.

Estes conjuntos estão em contraste com os conjuntos não-enumeráveis, que

(43)

Cardinalidade de conjuntos infinitos

A cardinalidade de um conjunto finito ´e o n´umero de elementos deste

conjunto. Por exemplo:

(a) O conjunto finito A = {a, b, c} tem cardinalidade |A| = 3.

Podemos dividir os conjuntos finitos em classes de acordo com sua cardinalidade:

a classe de conjuntos com 0 elementos, a classe de conjuntos com 1 elementos, a classe de conjuntos com 2 elementos, . . .

a classe de conjuntos com k elementos, . . .

(44)

Cardinalidade de conjuntos infinitos

Mas e quanto a conjuntos infinitos como N, Z e R?

Poder´ıamos dizer que estes conjuntos pertencem `a

“classe de conjuntos com ∞ elementos”? Mais precisamente:

Será que esta classe existe? Será que esta classe é única?

Temos que ter cuidado com as perguntas acima: o conceito de “infinito” pode ser bastante contraintuitivo!

(45)

Infinito bizarro: O Hotel de Hilbert

Exemplo 10 Imagine um hotel com infinitos quartos acomodando infinitos

hóspedes, de modo que cada quarto esteja ocupado por um único hóspede.

Suponha que um novo h´ospede chegue ao hotel procurando por um quarto.

´

E poss´ıvel acomodar este novo h´ospede em algum quarto, sem expulsar

nenhum h´ospede que j´a estava no hotel?

Solu¸c˜ao.

Se o hotel tivesse um n´umero finito de quartos, a resposta seria negativa... Mas o Hotel de Hilbert tem infinitos quartos... E o infinito ´e bizarro!

Podemos acomodar o novo h´ospede se fizermos cada h´ospede em um quarto n mudar-se para o quarto n + 1:

o hóspede do quarto 1 muda-se para o quarto 2, o hóspede do quarto 2 muda-se para o quarto 3, o hóspede do quarto 3 muda-se para o quarto 4, etc...

(46)

Infinito bizarro: O Hotel de Hilbert

Exemplo 11 Imagine ainda o mesmo hotel com infinitos quartos

acomodando infinitos h´ospedes, estando um h´ospede em cada quarto.

Suponha que é alta-esta¸cão, e um ônibus trazendo um número infinito de

h´ospedes chega ao hotel, todos procurando por um quarto.

´

E poss´ıvel acomodar todos os infinitos h´ospedes em algum quarto, sem

expulsar nenhum h´ospede que j´a estava no hotel?

Solu¸c˜ao.

Sim! Podemos acomodar os infinitos h´ospedes assim se fizermos cada h´ospede em um quarto n mudar-se para o quarto 2n:

o hóspede do quarto 1 muda-se para o quarto 2, o hóspede do quarto 2 muda-se para o quarto 4, o hóspede do quarto 3 muda-se para o quarto 6, etc...

Assim todos os quartos ´ımpares ficam vagos, e podemos acomodar os infinitos

(47)

Infinito bizarro: O Hotel de Hilbert

Exemplo 12 Imagine ainda o mesmo hotel com infinitos quartos

acomodando infinitos h´ospedes, estando um h´ospede em cada quarto.

Agora imagine que cheguem ao hotel um n´umero infinito de ˆonibus, cada

ˆ

onibus com um n´umero infinito de h´ospedes procurando por um quarto.

´

E poss´ıvel acomodar todos os novos h´ospedes no hotel, sem expulsar nenhum

h´ospede que j´a estava no hotel?

Solu¸c˜ao.

Desafio para o aluno!

(Dica: ´e poss´ıvel. E, dependendo de como vocˆe fizer, ainda sobram quartos!)

(48)

Cardinalidade de conjuntos

O conceito de cardinalidade estende o conceito de “tamanho” para conjuntos infinitos.

A cardinalidade ´e uma medida de tamanho relativo de um conjunto em

compara¸c˜ao com outro conjunto.

Formalmente, sejam A e B dois conjuntos quaisquer. A tem a mesma

cardinalidade de B sse existe uma correspondˆencia um-para-um (ou seja,

uma fun¸c˜ao bijetiva) de A para B.

Note que a defini¸cão acima captura a no¸cão de número de elementos para

conjuntos finitos.

(49)

Conjuntos enumer´

aveis

Um conjunto é chamado enumerável ou contável se ele é finito ou se ele

possui a mesma cardinalidade que o conjunto dos inteiros positivos Z+_.

Caso contrário o conjunto é chamado não-enumerável ou não-contável.

Exemplo 13 O conjunto P dos números pares positivos é enumerável?

Solu¸c˜ao.

Considere a bije¸c˜ao entre os dois conjuntos:

P : 2 4 6 8 10 . . .

l l l l l

Z+: 1 2 3 4 5 . . .

Esta bije¸c˜ao ´e uma maneira de enumerar ou contar os elementos de P:

2, 4, 6, 8, 10, . . .

Podemos mostrar a bije¸c˜_{ao de Z}+ _{para P, ou inversamente a bije¸}_c˜_{ao de P}

para Z+_.

(50)

Conjuntos enumer´

aveis

Exemplo 14 O conjunto Z de todos os números inteiros é enumerável? Solu¸cão.

Considere a bije¸c˜ao entre os dois conjuntos:

Z : . . . −3 −2 −1 0 1 2 3 . . .

l l l l l l l

Z+: . . . 7 5 3 1 2 4 6 . . .

Logo Z ´e enumer´avel, e podemos enumerar seus elementos assim:

0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, 4, −4, . . .

(51)

Conjuntos enumer´

aveis

Exemplo 15 O conjunto Q+ _{dos racionais positivos ´}_{e enumer´}_avel?

Solu¸c˜_{ao. Vamos representar o conjunto Q}+_{como uma tabela em que cada}

linha representa um poss´ıvel numerador (um inteiro positivo) e cada coluna

representa um poss´ıvel denominador (tamb´em um inteiro positivo). A tabela

abaixo mostra uma bije¸c˜_{ao entre Q}+_(fra¸_c˜

oes) e Z+_(n´_{umeros circulados).}

(As fra¸cões não-simplificadas são redundantes e não entram na bije¸cão.)

Num./Den. 1 2 3 4 5 . . . 1 1

/

1 1 1

/

2 2 1

/

3 4 1

/

4 6 1

/

5 11 . . . 2 2

/

1 3 2

/

2 × 2

/

3 7 2

/

4 × 2

/

5. . . . 3 3

/

1 5 3

/

2 8 3

/

3 × 3

/

4. . . 3

/

5. . . . 4 4

/

1 9 4

/

2 × 4

/

3. . . 4

/

4. . . 4

/

5. . . . 5 5

/

1 12 5

/

2. . . 5

/

3. . . 5

/

4. . . 5

/

5. . . . . . . .

(52)

Conjuntos enumer´

aveis

Exemplo 16 O conjunto Q de todos os racionais é enumerável? Solu¸cão.

M´etodo 1: Adaptando a t´ecnica do exemplo anterior, fazemos linhas e

colunas corresponderem todos os inteiros positivos e negativos. A tabela

abaixo mostra uma bije¸c˜_{ao entre Q (fra¸c˜oes) e Z}+ (n´umeros circulados). (As

fra¸cões não-simplificadas são redundantes e não entram na bije¸cão.)

Num./Den. 1 2 3 4 5 . . . 0 0

/

1 1 0

/

2 × 0

/

3 × 0

/

4 × 0

/

5 × . . . 1 1

/

1 2 1

/

2 3 1

/

3 5 1

/

4 8 1

/

5. . . . -1 −1

/

1 4 −1

/

2 6 −1

/

3 9 −1

/

4. . . −1

/

5. . . . 2 2

/

1 7 2

/

2 × 2

/

3. . . 2

/

4. . . 2

/

5. . . . -2 −2

/

1 10 −2

/

2. . . −2

/

3. . . −2

/

4. . . −2

/

5. . . . . . . .

(53)

Conjuntos enumer´

aveis

M´etodo 2: Considere a seguinte enumera¸c˜ao dos racionais no intervalo [0, 1]

(em que as fra¸c˜oes aparecem em ordem crescente de denominador, depois de

numerador, tomando o cuidado de eliminar fra¸c˜oes redundantes (em cinza)):

0, 1 1, 1 2, 2 2, 1 3, 2 3, 3 3, 1 4, 2 4, 3 4, 4 4,. . .

Para incluir os racionais maiores que 1, podemos estender a lista acima, listando cada fra¸cão inversa após a fra¸cão original:

0, 1 1, 1 2, 2 1, 1 3, 3 1, 2 3, 3 2, 1 4, 4 1, 3 4, 4 3, . . .

Por fim, para obter uma enumera¸c˜_{ao completa dos racionais Q, podemos}

estender a lista acima ao enumerar ap´os cada fra¸c˜ao, sua oposta:

0, 1 1, − 1 1, 1 2, − 1 2, 2 1, − 2 1, 1 3, − 1 3, 3 1, − 3 1, 2 3, − 2 3, 3 2, − 3 2, 1 4, − 1 4 4 1, − 4 1, . . .

(54)

Propriedades dos conjuntos enumer´

aveis

Teorema: A união de dois conjuntos enumeráveis é enumerável.

Demonstra¸c˜ao. Sejam A e B conjuntos enumer´aveis. Portanto existe uma

enumera¸c˜ao a1, a2, a3, . . . para A e uma enumera¸c˜ao b1, b2, b3, . . . para B.

Podemos construir uma enumera¸c˜ao para A ∪ B tomando

a1, b1, a2, b2, a3, b3. . . (com o cuidado de n˜ao listar elementos repetidos, i.e., elementos que estejam em A ∩ B.)

(55)

Propriedades dos conjuntos enumer´

aveis

Teorema: Qualquer subconjunto de um conjunto enumerável é enumerável.

Demonstra¸c˜ao. Seja B um conjunto enumer´avel, e tome A ⊆ B. Por

hipótese, existe uma enumera¸cão b1, b2, b3, . . . para B. Eliminando os termos bi∈ A desta enumera¸c˜/ ao, obtém-se uma enumera¸cão para A.

Corol´ario: Se um conjunto B tem um subconjunto A ⊆ B tal que A ´e

não-enumerável, então B é não-enumerável.

Demonstra¸c˜ao. Este resultado ´e apenas o contrapositivo do teorema que diz

(56)

Um conjunto n˜

ao enumer´

_{avel: R}

Para verificar que o conjunto R de todos os números reais não é enumerável, vamos usar o resultado auxiliar abaixo.

Teorema: O conjunto de todos os n´umeros reais no intervalo [0, 1) ´e

n˜ao-enumer´avel.

Demonstra¸cão. Por contradi¸cão. Suponha que [0, 1) seja enumerável.

Ent˜ao, por defini¸c˜ao de enumerabilidade, existe uma lista r1, r2, r3, . . . , ri, . . . em que constam todos os elementos de [0, 1).

Esta lista pode ser representada por uma matriz, em que cada linha

representa um n´umero real em [0, 1), ordenada de acordo com a enumera¸c˜ao

acima, e cada coluna representa os d´ıgitos decimais deste n´umero.

Mais precisamente, j´a que cada ri nesta lista pertence ao intervalo [0, 1),

podemos escrever

ri= 0 . ri 1ri 2ri 3 . . . rin . . . , onde rin é o n-ésimo d´ıgito decimal do número ri.

(57)

Um conjunto n˜

ao enumer´

_{avel: R}

Demonstra¸c˜ao (Continua¸c˜ao).

Esta tabela tem o formato abaixo:

Enumera¸c˜ao 1o _dec. ₂o_dec. ₃o_dec. _{. . .} _n-´_{esimo dec.} _{. . .}

r1 r11 r12 r13 . . . r1n . . . r2 r21 r22 r23 . . . r2n . . . r3 r31 r32 r33 . . . r3n . . . . . . ... ... ... . .. ... ... ri ri 1 ri 2 ri 3 . . . rin . . . . . . ... ... ... ... ... . ..

Se encontrarmos um n´umero rαno intervalo [0, 1) que n˜ao esteja listado na

tabela acima, chegamos a uma contradi¸c˜ao (pois assumimos por hip´otese que

a lista est´a completa).

Vamos construir rα definindo cada uma de suas casas decimais da seguinte

forma:

(58)

Um conjunto n˜

ao enumer´

_{avel: R}

Demonstra¸c˜ao (Continua¸c˜ao).

Assim o n´umero α ´e tal que:

Enumera¸c˜ao 1o dec. 2odec. 3o dec. . . . k-´esimo dec. . . .

r1 r11 r12 r13 . . . r1k . . . r2 r21 r22 r23 . . . r2k . . . r3 r31 r32 r33 . . . r3k . . . . . . ... ... ... . .. ... ... rk rk1 rk2 rk3 . . . rkk . . . . . . ... ... ... ... ... . .. rα (r11+ 5) (r22+ 5) (r33+ 5) . . . (rkk+ 5) . . .

mod 10 mod 10 mod 10 mod 10

Mas note que o número rα não pode estar na lista, pois ele é diferente de

todos os demais números da lista (para qualquer ri na lista, o i -ésimo d´ıgito de rαé diferente do i -ésimo d´ıgito de ri, logo temos que rα6= ri).

(59)

Um conjunto n˜

ao enumer´

_{avel: R}

Corol´_{ario: O conjunto R não é enumerável.}

Demonstra¸cão. Nesta aula demonstramos se A ⊆ B e A não é enumerável,

então B não é enumerável.

Portanto, observando que [0, 1) ⊆ R, e sabendo que [0, 1) não é enumerável, segue-se que R não é enumerável.

(60)

Apˆ

endice

(61)

O Teorema de Cantor

Cantor produziu várias contribui¸cões importantes para a matemática.

Em particular, seu método de diagonaliza¸cão é utilizado em vários

resultados fundamentais em ciência da computa¸cão (vamos revisitá-lo neste

curso!).

Uma das contribui¸c˜oes mais relevantes de Cantor foi mostrar que existem

infinitos de tamanhos diferentes.

Em particular, os reais tˆem cardinalidade maior que os naturais.

Mas Cantor foi além: ele generalizou o método da diagonaliza¸cão para

mostrar que existem conjuntos de cardinalidade ainda maior que a dos reais. No Teorema de Cantor, ele demonstrou que:

(62)

O Teorema de Cantor

Teorema (Teorema de Cantor) Dado qualquer conjunto A, seu conjunto

potˆencia P(A) tem cardinalidade maior:

card (A) < card (P(A)).

Demonstra¸c˜ao.

Primeiro vamos mostrar que a cardinalidade de A n˜ao pode ser maior que a

de seu conjunto potˆencia P(A).

Para isto, basta notar que existe uma fun¸c˜ao injetiva f : A → P(A) definida

como f (a) = {a} para todo a ∈ A. Logo, P(A) tem pelo menos tantos elementos quando A.

O segundo passo da demonstra¸cão é mostrar que a cardinalidade de A não

pode igual `a de seu conjunto potˆencia P(A).

Para isto, vamos mostrar que nenhuma fun¸c˜ao f de um conjunto A para seu

(63)

O Teorema de Cantor

Demonstra¸c˜ao. (Continua¸c˜ao)

Por contradi¸c˜ao, assuma que exista uma bije¸c˜ao f entre A e P(A).

Considere o conjunto

B = {a ∈ A | a /∈ f (a)}.

Como B ∈ P(A), ent˜ao deve existir um x ∈ A tal que f (x ) = B, uma vez

que f ´e bijetiva.

H´a duas possibilidades a se considerarem:

(a) Se x ∈ B, então x /∈ f (x), ou seja, x /∈ B, o que é uma contradi¸cão.

(b) Se x /∈ B, então x ∈ f (x ), ou seja, x ∈ B, o que é uma contradi¸cão.

Logo, f não é uma fun¸cão sobrejetiva, e chegamos a uma contradi¸cão. Para concluir, note que como mostramos que card (A) ≤ card (P(A)) e que card (A) 6= card (P(A)), podemos concluir que card (A) < card (P(A)).