Funções hiperbólicas e aplicações
56
0
0
Texto
(2) RENILTON DE SOUZA SILVA. ˜ ´ ˜ FUNC ¸ OES HIPERBOLICAS E APLICAC ¸ OES. Trabalho de conclus˜ao do curso Licenciatura em Matem´atica da Universidade Estadual da Para´ıba. Em cumprimento `as exigˆencias para obten¸c˜ao do T´ıtulo de Licenciado em Matem´atica.. Orientadora: Profa. Dra. LUCIANA ROZE DE FREITAS. Campina Grande/PB Julho/2014.
(3)
(4)
(5) Agradecimentos Agrade¸co a Deus pelas vit´orias concedidas em minha vida e pela for¸ca de vencer os desafios do curso. Aos meus pais, por todo o apoio, principalmente a minha m˜ae pelos conselhos valiosos. A universidade Estadual da Para´ıba, por conceder o curso de Matem´atica. A Orientadora Profa. Dra. Luciana Rose de Freitas pelas orienta¸c˜oes e colabora¸c˜ao para este trabalho. Aos professores que comp˜oem a banca examinadora, pela participa¸c˜ao e colabora¸c˜ao. A todos os professores do curso de Licenciatura em Matem´atica, pela valoriza¸ca˜o do curso. Aos colegas do curso, pela amizade durante os quatros anos, em espacial, a todos.. Obrigado a todos! Renilton de Souza Silva.. i.
(6) Resumo Este trabalho ´e dedicado ao estudo das fun¸co˜es hiperb´olicas. Ser´a feita uma abordagem do conceito destas fun¸co˜es a partir do estudo de ˆangulos hiperb´olicos e a constru¸ca˜o se far´a paralelamente a` constru¸ca˜o das fun¸co˜es trigonom´etricas usuais. No entanto, as fun¸c˜oes hiperb´olicas s˜ao definidas sobre a hip´erbole. Vamos deduzir as principais identidades hiperb´olicas, apresentar os conceitos de derivadas e integrais, bem como a an´alise dos gr´aficos de tais fun¸c˜oes. No decorrer do trabalho ser´a apresentado alguns exemplos e aplica¸co˜es, sendo a principal delas o estudo da caten´aria. Por fim, faremos um breve estudo sobre as fun¸co˜es hiperb´olicas inversas. ˆ Palavras-chave: Angulo Hiperb´olico; Fun¸c˜oes Hiperb´olicas; Hip´erbole.. ii.
(7) Abstract This paper but to dedicat study from the hyperbolic fuctions. Overtime feat an approach to concept draft functions appearance to study of hyperbolic angles and it construction if fared at the some time of the construction thes functions trigonometrycs it whos uses. However, hyperbolics functions them are definitely aboout it hyperbola. Come on them derivehyperbolic identity, announce concepts them to derivatives and integrals, well what it analysis file graphics maybs functions. At elapse to paper stated overtime examples some and applications them it highlight their it catenary. Lastly, fare to a paper rescript it about hyperbolic functions inverselys. Keyword: Hyperbolics Angles, Hyperbolic Functions; Hyperbola.. iii.
(8) Sum´ ario Introdu¸c˜ ao. 2. ˆ 1 Hip´ erbole e Angulo hiperb´ olico. 3. 1.1. Hip´erbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. 1.2. Equa¸ca˜o reduzida da hip´erbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. 1.3. ˆ Angulo hiperb´olico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. 2 Fun¸c˜ oes hiperb´ olicas. 14. 2.1. Defini¸co˜es e identidades. 2.2. Aplica¸co˜es em aˆngulos especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.1 2.2.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14. Fun¸co˜es hiperb´olicas de θ + w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 Fun¸co˜es hiperb´olicas de 2 θ e θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2. 3 Derivadas e Integrais. 27. 3.1. Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27. 3.2. Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29. 3.3. Gr´aficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30. 3.4. Caten´aria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35. 4 Fun¸c˜ oes hiperb´ olicas inversas. 40. 4.1. Defini¸co˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40. 4.2. Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45. 4.3. Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45. Conclus˜ ao. 47 iv.
(9) ´ SUMARIO Referˆ encias Bibliogr´ aficas. 1 48.
(10) Introdu¸ c˜ ao As fun¸c˜oes hiperb´olicas surgiu da compara¸ca˜o da a´rea de uma regi˜ao semicircular com a a´rea de uma regi˜ao limitada por uma hip´erbole, ocasionando as defini¸co˜es e identidades. A primeira pessoa a estudar as fun¸c˜oes hiperb´olicas foi o matem´atico su´ı¸co Johann Heinrich Lambert (1728-1777). As fun¸c˜oes hiperb´olicas surgem fortemente nas a´reas de engenharia e arquitetura por que traz consigo o estudo da caten´aria, uma curva formada entre dois pontos com uma forte tens˜ao interna. Devido a essa tens˜ao interna, varias obras importantes foram constru´ıdas, como por exemplo, a Ponte Lupu, em Xangai, na China e o Pal´acio de Astorga, em Barcelona. No decorrer do curso de Licenciatura em Matem´atica, as fun¸co˜es hiperb´olicas n˜ao ´e visto com detalhes, e o desejo de aprofundar o conhecimento sobre o assunto foi o motivo do presente trabalho. O trabalho est´a organizado da seguinte maneira: No cap´ıtulo 1, temos a defini¸ca˜o de hip´erbole, seguido de um breve estudo sobre o aˆngulo hiperb´olico. No capitulo 2, temos as defini¸co˜es de fun¸co˜es hiperb´olicas com algumas aplica¸co˜es em aˆngulos especiais. No cap´ıtulo 3, analise das derivadas com um estudo nas integrais, an´alise de gr´aficos e apresenta¸ca˜o da caten´aria. Por fim, no cap´ıtulo 4, apresentaremos as fun¸c˜oes hiperb´olicas inversas.. 2.
(11) Cap´ıtulo 1 ˆ Hip´ erbole e Angulo hiperb´ olico Iniciamos este cap´ıtulo com um breve estudo sobre Hip´erbole e em seguida vamos ˆ definir o Angulo hiperb´olico.. 1.1. Hip´ erbole Hip´erbole ´e o conjunto dos pontos de um plano tais que o m´odulo da diferen¸ca das. distˆancias a dois pontos fixos ´e constante e menor que a distˆancia entre eles.. F igura 1.1 Consideremos no plano dois pontos distintos F1 e F2 tal que a distˆancia d(F1 F2 ) = 2c e um n´ umero positivo a de modo que 2a < 2c. Um ponto P pertence a` hip´erbole se, e 3.
(12) ´ ˆ ´ CAP´ITULO 1. HIPERBOLE E ANGULO HIPERBOLICO. 4. somente se, |P F1 − P F2 | = 2a.. (1.1). Observe que valem as seguintes igualdades QF2 − QF1 = 2a RF2 − RF1 = 2a SF1 − SF2 = 2a A1 F2 − A1 F1 = 2a A2 F1 − A2 F2 = 2a Note que o m´odulo ´e abolido desde que fa¸camos a diferen¸ca da maior para a menor distˆancia. Se um ponto X est´a no ramo da direita, temos XF1 − XF2 = 2a. pois XF1 > XF2 .. (1.2). pois XF2 > XF1 .. (1.3). Se X est´a no ramo da esquerda, temos XF2 − XF1 = 2a. Vejamos agora os elementos principais de uma hip´erbole. F igura 1.2 i) Os pontos F1 e F2 s˜ao chamados de focos da hip´erbole. ii) Centro ´e o ponto m´edio O do segmento F1 F2 ..
(13) ´ ˆ ´ CAP´ITULO 1. HIPERBOLE E ANGULO HIPERBOLICO. 5. iii) Eixo real ou transverso: ´e o segmento A1 A2 de comprimento 2a. iv) Eixo imagin´ario ou n˜ao-transverso: ´e o segmento B1 B2 de comprimento 2b, com B1 B2 ⊥ A1 A2 em O. v) 2c ´e a distˆancia focal d(F1 F2 ). vi) 2a ´e a medida do eixo real, ou seja, a distˆancia dos v´ertices dos pontos A1 e A2 . vii) 2b ´e a medida do eixo imagin´ario. viii) Chama-se excentricidade da hip´erbole o n´ umero c e= . a Por ser c > a, tem-se que e > 1. A excentricidade da hip´erbole est´a intimamente relacionada com a sua abertura.. 1.2. Equa¸c˜ ao reduzida da hip´ erbole. F igura 1.3 Observe que, quando os focos est˜ao sobre o eixo x, temos |P F1 − P F2 | = (A1 A2 ),.
(14) ´ ˆ ´ CAP´ITULO 1. HIPERBOLE E ANGULO HIPERBOLICO. 6. onde P (x, y) ´e um ponto qualquer da hip´erbole. Como mostra a F igura 1.1, estamos chamando a distˆancia focal d(F1 F2 ) de 2c e a distˆancia entre os v´ertices de 2a. Usando F1 (−c, 0) e F2 (c, 0), temos p p | (x + c)2 + y 2 − (x − c)2 + y 2 | = 2a ou p p (x + c)2 + y 2 − (x − c)2 + y 2 = ±2a.. (1.4). Depois de eliminarmos os radicais de (1.4), elevando ao quadrado, podemos escrever p (x + c)2 + y 2 = (x − c)2 + y 2 ± 4a (x − c)2 + y 2 + 4a2 , ou seja, p 4cx − 4a2 = ±4a (x − c)2 + y 2 , consequentemente, p cx − a2 = ±a (x − c)2 + y 2 , portanto, (cx − a2 )2 = a2 .(x − c)2 + a2 y 2 , ent˜ao, c2 x2 − 2a2 cx + a4 = a2 x2 − 2a2 cx + a2 c2 + a2 y 2 , e temos, (c2 − a2 )x2 − a2 y 2 = a2 (c2 − a2 ). Fazendo-se c 2 − a2 = b 2 , obtemos b 2 x 2 − a2 y 2 = a2 b 2 ou x2 y 2 − 2 = 1, a2 b. (1.5). que ´e equivalente a (1.4) e, portanto, ´e a equa¸ca˜o da hip´erbole. Quando os focos da hip´erbole est˜ao sobre o eixo y, como mostra a F igura 1.4, sua equa¸ca˜o ´e.
(15) ´ ˆ ´ CAP´ITULO 1. HIPERBOLE E ANGULO HIPERBOLICO. 7. F igura 1.4 y 2 x2 − 2 = 1, b2 a onde 2b ´e a distˆancia entre os v´ertices e a ´e tal que c 2 − b 2 = a2 . As equa¸c˜oes (1.5) e (1.6) s˜ao chamadas de equa¸c˜ao reduzida da hip´erbole. Exemplo 1.1 Uma hip´erbole com eixo real 6 e distˆancia focal 10, apresenta: b2 = c2 − a2 = 25 − 9 = 16. F igura 1.5 Se a posi¸ca˜o da hip´erbole ´e a indicada na F igura 1.5, ent˜ao sua equa¸ca˜o passa a ser, x2 y 2 − = 1. 9 16. (1.6).
(16) ´ ˆ ´ CAP´ITULO 1. HIPERBOLE E ANGULO HIPERBOLICO. 1.3. 8. ˆ Angulo hiperb´ olico. F igura 1.6 Consideremos o plano cartesiano com os eixos x e y e mais dois novos eixos X e Y , π que s˜ao obtido atrav´es de uma rota¸c˜ao de (45o ) dos eixos x e y. 4 1 Seja G um ponto que est´a sobre o gr´afico da equa¸c˜ao xy = , tal que suas coordenadas 2 ser˜ao x = OP, y = OS, X = OF e Y = F G. Assim,. e. Ent˜ao,. √ π π 2 x = OP = OD − P D = OF cos − F G sen = (X − Y ) 4 4 2. (1.7). √ π π 2 y = OS = OT + T S = OF sen + F G cos = (X + Y ). 4 4 2. (1.8). √ √ 1 2 2 = xy = (X − Y ). (X + Y ). 2 2 2. Logo, 1 1 = (X 2 − Y 2 ) =⇒ X 2 − Y 2 = 1. 2 2 1 1 O gr´afico da equa¸c˜ao xy = ´e uma hip´erbole. Conclu´ımos que xy = corresponde 2 2 a` X 2 − Y 2 = 1..
(17) ´ ˆ ´ CAP´ITULO 1. HIPERBOLE E ANGULO HIPERBOLICO. 9. A medida de um ˆangulo num circulo de raio 1, em radianos, mede θ radianos se o arco circular subentendido por ele mede θ unidades de comprimento.. F igura 1.7 θ 2 θ r . Como r = 1, temos que a a´rea ser´a . 2 2 2 2 Motivado por este racioc´ınio, seja G um ponto sobre a hip´erbole X − Y = 1 que A ´area do setor OF G ´e dada por. b como mostra a F igura 1.8. define um setor hiperb´olico F OG e um aˆngulo F OG. F igura 1.8 b mede θ e a a´rea do setor F OG vale Como podemos observar o aˆngulo F OG. θ unidades 2. de ´area. θ corresponde a um aˆngulo θ, 2 o conceito de ˆangulo hiperb´olico seguir´a o mesmo princ´ıpio, ou seja, um aˆngulo hiperb´olico θ mede θ se a a´rea do setor hiperb´olico correspondente mede . Vamos apresentar este 2 conceito mais precisamente. 1 Voltemos aos eixos x e y, com a hip´erbole xy = . Sejam G e F dois pontos quaisquer 2 no mesmo ramo da hip´erbole. Assim, como para o c´ırculo de raio 1, um setor de ´area.
(18) ´ ˆ ´ CAP´ITULO 1. HIPERBOLE E ANGULO HIPERBOLICO. 10. F igura 1.9 O ponto G tem coordenadas x = OP e y = OS. J´a o ponto F tem coordenadas x = OD e y = OT . A a´rea do retˆangulo OP GS denotaremos por 1 AOP GS = OP · OS = xy = . 2 A ´area do retˆangulo ODF T ´e dada por 1 AODF T = OD · OT = xy = . 2 Logo AOP GS = AODF T e observando a F igura 1.9 vemos que AT RGS = AP DF R . π e tomar a hip´erbole Para calcular a a´rea do setor OF G, vamos rodar a figura de 4 X 2 − Y 2 = 1.. F igura 1.10.
(19) ´ ˆ ´ CAP´ITULO 1. HIPERBOLE E ANGULO HIPERBOLICO. 11. Observe que 1 1 AOP G = AOP GS = AODF T = AODF 2 2 e AODF G = AOP G + AP DF G = AODF + AP DF G . Por outro lado, AODF G = AOF G + AODF E logo, AOF G = AP DF G .. (1.9). Em um racioc´ınio an´alogo nos leva que a AOF G = ADT F G = AP DF G . Dessa forma, o que precisamos ´e calcular a a´rea de (1.9). Se, voltarmos aos eixos x, 1 1 y e `a hip´erbole xy = , a a´rea de (1.9) ´e a ´area sobre o gr´afico de y = , compreendido 2 2x entre x = OP e x = OD.. F igura 1.11 Logo, AP DF G.
(20) Z
(21) =
(22)
(23). OD. OP.
(24)
(25)
(26) 1
(27)
(28) OD
(29)
(30) 1
(31)
(32) 1 dx = |ln OD − ln OP | =
(33) ln . 2x
(34) 2 2 OP
(35). Se G est´a a esquerda de F ent˜ao AP DF G =. 1 OD ln . 2 OP. (1.10).
(36) ´ ˆ ´ CAP´ITULO 1. HIPERBOLE E ANGULO HIPERBOLICO. 12. E se G est´a a direita de F ent˜ao AP DF G =. 1 OP ln . 2 OD. ∴ AOF G =. 1 OP ln . 2 OD. Analogamente, podemos calcular AST F G integrando a fun¸ca˜o x = AST F G =. (1.11). 1 , obtendo 2y. 1 OS ln . 2 OT. Observe tamb´em que se G = F ent˜ao AP DF G = 0 e se G 6= F ent˜ao AP DF G > 0. Quando G se afasta de F pela direita, o segmento OP cresce indefinidamente. Assim, 1 como o tamanho OD est´a fixo, AP DF G = (ln OP − ln OD) cresce indefinidamente. 2 Quando G se afasta de F pela esquerda, o segmento OP tende a zero e ln OP de1 cresce indefinidamente. Assim, AP DF G = (ln OD − ln OP ) cresce indefinidamente. Logo, 2 AOF G = AP DF G varia de 0 a +∞. Agora vamos analisar a F igura 1.12 e convencionando, temos que. F igura 1.12 i) Se o ponto G est´a acima do eixo dos X 0 s, o aˆngulo que ele define tem medida positiva. ii) Se o ponto G est´a abaixo do eixo dos X 0 s, o aˆngulo que ele define tem medida negativa..
(37) ´ ˆ ´ CAP´ITULO 1. HIPERBOLE E ANGULO HIPERBOLICO. 13. Assim, um aˆngulo hiperb´olico, assumir´a valores entre −∞ e +∞. Deve-se lembrar que esta ´e uma medida nova, definida na hip´erbole. Se os mesmos π π aˆngulos fossem medidas no circulo, seus valores estariam entre − e . 4 4.
(38) Cap´ıtulo 2 Fun¸ c˜ oes hiperb´ olicas As fun¸c˜oes hiperb´olicas s˜ao definidas da mesma maneira que as fun¸co˜es trigonom´etricas das quais seus nomes derivam. Por isso vamos fazer um estudo sobre as fun¸c˜oes trigonom´etricas sobre o circulo retirando os seus resultados e depois sobre a hip´erbole. Em seguida, vamos deduzir algumas f´ormulas envolvendo as fun¸co˜es hiperb´olicas aplicadas em alguns aˆngulos especiais, a saber, a soma e diferen¸cas de aˆngulos, aˆngulo metade, entre outras.. 2.1. Defini¸co ˜es e identidades. F igura 2.1 Seja G um ponto sobre a circunferˆencia de raio 1 com centro na origem de modo que θ o setor OAG tenha ´area . Neste caso, o ˆangulo tem medida θ pois 2 b AOG AOAG = r2 , 2 14.
(39) ˜ ´ CAP´ITULO 2. FUNC ¸ OES HIPERBOLICAS. onde r = 1 e AOAG =. 15. θ b tem medida θ. Seja AR a reta tangente a` curva . O aˆngulo AOG 2. em A. Assim, OF = cos θ, F G = sen θ e AR = tg θ. Portanto, 1 1 cos θ = = , AR tg θ sen θ 1 1 sec θ = = OF cos θ. cotg θ =. e cosec θ =. 1 1 = . FG sen θ. Temos que para o ponto G X 2 + Y 2 = OF 2 + F G2 = 1, e logo, cos2 θ + sen2 θ = 1.. (2.1). Sendo o triˆangulo OF G semelhante ao triˆangulo OAR (∆OF G ∼ ∆OAR), ent˜ao AR =. FG , OF. desta forma tem-se, tg θ =. sen θ . cos θ. (2.2). Como, cos2 θ + sen2 θ = 1, ent˜ao, 1+. sen2 θ 1 = , 2 cos θ cos2 θ. ou seja, 1 + tg 2 θ = sec2 θ. Ainda, 1 cos2 θ +1= , 2 sen θ sen2 θ. (2.3).
(40) ˜ ´ CAP´ITULO 2. FUNC ¸ OES HIPERBOLICAS. 16. ou seja, cotg 2 θ + 1 = cosec2 θ.. (2.4). Agora fa¸camos o estudo semelhante sobre a hip´erbole, com o objetivo de definir as fun¸co˜es hiperb´olicas.. F igura 2.2 θ . O aˆngulo 2 b tem medida θ. Seja AR a reta tangente `a curva em A. Assim, definimos as fun¸co˜es AOG Seja G um ponto sobre a curva de modo que o setor OAG tenha ´area. hiperb´olicas da seguinte forma:. cosh θ = OF, senhθ = F G e tgh θ = AR. As demais fun¸c˜oes hiperb´olicas s˜ao cotgh θ =. 1 1 cosh θ = = , AR tgh θ senh θ. sech θ =. 1 1 = OF cosh θ. e cosech θ =. 1 1 = . FG senh θ. Vamos agora deduzir algumas rela¸co˜es entre estas fun¸c˜oes. Temos que para o ponto G, X = OF e Y = F G. Assim, X 2 − Y 2 = OF 2 − F G2 = 1 e logo, cosh2 θ − senh2 θ = 1.. (2.5).
(41) ˜ ´ CAP´ITULO 2. FUNC ¸ OES HIPERBOLICAS. 17. Sendo o triˆangulo OF G semelhante ao triˆangulo OAR (∆OF G ∼ ∆OAR), ent˜ao AR =. FG , OF. desta forma tem-se, tgh θ =. senh θ . cosh θ. (2.6). Como, cosh2 θ − senh2 θ = 1, ent˜ao, 1−. senh2 θ 1 = , 2 cosh θ cosh2 θ. ou seja, 1 − tgh2 θ = sech2 θ.. (2.7). Ainda, cosh2 θ 1 −1= 2 senh θ senh2 θ ou seja, cotgh2 θ − 1 = cosech2 θ.. (2.8). Parecem ser iguais as fun¸co˜es trigonom´etricas e as hiperb´olicas na defini¸ca˜o, mas possuem grandes diferen¸cas. Nas fun¸c˜oes trigonom´etricas temos que i) O sen θ e o cos θ s˜ao peri´odicas com per´ıodo 2π. ii) A fun¸c˜ao sen θ ´e limitada, com −1 ≤ sen θ ≤ 1e o cos θ varia entre -1 e 1. iii) A tg θ pode assumir qualquer valor entre −∞ e +∞. E nas fun¸c˜oes hiperb´olicas, teremos posteriormente i) O senh θ e o cosh θ n˜ao possuem per´ıodo. ii) A fun¸c˜ao senh θ n˜ao ´e limitada, varia de −∞ at´e +∞ e o cosh θ varia de 1 a +∞. iii) A tgh θ ´e limitada, −1 < tgh θ < 1..
(42) ˜ ´ CAP´ITULO 2. FUNC ¸ OES HIPERBOLICAS. 18. Observe que as fun¸co˜es hiperb´olicas s˜ao definidas em alguns livros desta maneira. 4 Exemplo 2.1 Dado tgh θ = , achar os valores das outras fun¸c˜oes hiperb´olicas. 5 Sabemos que cosh2 θ − senh2 θ = 1, ent˜ao dividimos por cosh2 θ, cada termo. Assim, cosh2 θ senh2 θ 1 − . = 2 2 cosh θ cosh cosh2 θ Logo, 1 − tgh2 θ = sech2 θ. 4 Como tgh θ = , ent˜ao 5 1 − tgh2 θ = sech2 θ, ou seja,. 2 4 1− = sech2 θ, 5. ou ainda, 1−. 16 = sech2 θ, 25. portanto, 9 = sech2 θ, 25 logo, 3 sech θ = . 5 Temos sech θ encontrado. Agora, encontraremos o cosh θ. Assim, sech θ =. 1 , cosh θ. cosh θ =. 1 , sech θ. ou seja,. portanto, 5 cosh θ = . 3 Para encontrar senh θ fa¸camos tgh θ =. senh θ . cosh θ.
(43) ˜ ´ CAP´ITULO 2. FUNC ¸ OES HIPERBOLICAS. 19. Assim, senh θ = tgh θ cosh θ, ou seja, 4 5 4 senh θ = . = . 5 3 3 Por fim encontraremos cotgh θ e cosech θ, fa¸camos cotgh θ =. 1 5 = . tgh θ 4. e cosech θ =. 3 1 = . senh θ 4. A seguir apresentaremos um importante resultado envolvendo as fun¸c˜oes hiperb´olicas.. Teorema 2.1 As fun¸c˜oes cosh θ e senh θ satisfazem as seguintes igualdades cosh θ =. eθ + e−θ 2. senh θ =. eθ − e−θ . 2. e. F igura 2.3 Demonstra¸c˜ ao: Seja G um ponto sobre a hip´erbole X 2 − Y 2 = 1, que determina um θ aˆngulo de medida hiperb´olica θ, ent˜ao AOAG = . O ponto G tem coordenadas 2 X = OF = cosh θ e Y = F G = senh θ.
(44) ˜ ´ CAP´ITULO 2. FUNC ¸ OES HIPERBOLICAS. 20. nos eixos X, Y e coordenadas x = OP e y = OS nos eixos x, y. Segue das equa¸c˜oes (1.7) e (1.8) que √ √ 2 2 OP = x = (X − Y ) = (cosh θ − senh θ) 2 2 e. √ √ 2 2 OS = y = (X + Y ) = (cosh θ + senh θ). 2 2 O ponto A tem coordenadas X = 1, Y = 0 e x = OD, y = OT.. Temos que,. √. √ 2 2 OD = e OT = . 2 2. Logo, as a´reas das regi˜oes P DAG e ST AG podem ser calculada por √ 1 OD 1 2/2 1 AP DAG = ln = ln √ = − ln (cosh θ − senh θ) 2 OP 2 2 2/2 (cosh θ − senh θ) e AST AG. 1 1 OS = ln = ln 2 OT 2. √. 2/2 (cosh θ + senh θ) 1 √ = ln (cosh θ + senh θ). 2 2/2. Como AOAG = AP DAG , temos θ 1 = − ln (cosh θ − senh θ) 2 2. (2.9). θ 1 = ln (cosh θ + senh θ). 2 2. (2.10). e como AOAG = AST AG , temos. Assim, aplicando a fun¸ca˜o exponencial em (2.9) e (2.10), temos e−θ = cosh θ − senh θ. (2.11). eθ = cosh θ + senh θ.. (2.12). e.
(45) ˜ ´ CAP´ITULO 2. FUNC ¸ OES HIPERBOLICAS. 21. Se somarmos a duas equa¸co˜es (2.11) e (2.12), temos cosh θ =. eθ + e−θ , 2. Se subtrairmos (2.11) e (2.12), temos senh θ =. eθ − e−θ . 2. De acordo com o teorema anterior podemos deduzir as f´ormulas para as outras fun¸co˜es hiperb´olicas envolvendo a fun¸c˜ao exponencial i) tgh θ =. senh θ eθ − e−θ = θ . cosh θ e + e−θ. ii) cotgh θ =. cosh θ eθ + e−θ 1 = = θ . tgh θ senh θ e − e−θ. iii) sech θ =. 1 2 = θ . cosh θ e + e−θ. iv) cosech θ =. 2.2. 1 2 = θ . senh θ e − e−θ. Aplica¸c˜ oes em ˆ angulos especiais. 2.2.1. Fun¸ c˜ oes hiperb´ olicas de θ + w. As f´ormulas para as fun¸c˜oes hiperb´olicas aplicadas a aˆngulos do tipo θ + w s˜ao as seguintes senh (θ + w) = senh θ cosh w + cosh θ senh w. (2.13). cosh (θ + w) = cosh θ cosh w + senh θ senh w.. (2.14). e. Inicialmente vamos demonstrar a igualdade (2.13). Para isto, observe que senh (θ + w) =. eθ+w − e−θ−w 2. (2.15). cosh (θ + w) =. eθ+w + e−θ−w . 2. (2.16). e.
(46) ˜ ´ CAP´ITULO 2. FUNC ¸ OES HIPERBOLICAS. 22. Assim, usando (2.11) e (2.12), temos eθ+w − e−θ−w 2 eθ ew − e−θ e−w = 2 (cosh θ + senh θ)(cosh w + senh w) − (cosh θ − senh θ)(cosh w − senh w) = . 2. senh (θ + w) =. Fazendo as multiplica¸c˜oes e reduzindo, obtemos 2 (senh θ cosh w) + 2 (cosh θ senh w) 2 = senh θ cosh w + cosh θ senh w.. senh (θ + w) =. Agora vamos demonstrar a identidade (2.14), segue de (2.16) que eθ+w + e−θ−w 2 eθ ew + e−θ e−w = 2 (cosh θ + senh θ)(cosh w + senh w) + (cosh θ − senh θ)(cosh w − senh w) = . 2. cosh (θ + w) =. Fazendo as multiplica¸c˜oes e reduzindo, obtemos 2 (cosh θ cosh w) + 2 (senh θ senh w) 2 = cosh θ cosh w + senh θ senh w.. cosh (θ + w) =. As identidades senh (θ − w) = senh θ cosh w − cosh θ senh w e cosh (θ − w) = cosh θ cosh w − senh θ senh w, demonstram-se de forma an´aloga.. 2.2.2. Fun¸ c˜ oes hiperb´ olicas de 2 θ e. 1 θ 2. Pondo- se w = θ em (2.13) e (2.14), temos senh 2 θ = 2 senh θ cosh θ. (2.17).
(47) ˜ ´ CAP´ITULO 2. FUNC ¸ OES HIPERBOLICAS. 23. e cosh 2 θ = cosh2 θ + senh2 θ.. (2.18). A f´ormula (2.18) combinada com a identidade (2.5), nos d´a duas f´ormulas alternativas para o cosh θ. Assim, cosh2 θ = 1 + senh2 θ, e substituindo o valor de cosh2 θ em (2.18), temos cosh 2 θ = 1 + senh2 θ + senh2 θ, ou seja, cosh 2 θ = 2 senh2 θ + 1.. (2.19). De (2.5) vamos obter o valor de senh2 θ = 1 − cosh2 θ e substituindo o valor de senh2 θ em (2.18), temos cosh 2 θ = 2 cosh2 θ − 1. Para as fun¸c˜oes hiperb´olicas de. (2.20). 1 θ vamos fazer o seguinte em (2.19) 2. 2 senh2 θ = 1 − cosh 2 θ, ou seja, senh2 θ = e substituindo θ por. 1 − cosh 2 θ , 2. 1 θ e aplicando a raiz quadrada 2 r θ 1 − cosh θ senh = ± 2 2. Da mesma forma vamos fazer em (2.20). Assim, 2 cosh2 θ = 1 + cosh 2 θ, ou seja, cosh2 θ =. 1 + cosh 2 θ , 2. .. (2.21).
(48) ˜ ´ CAP´ITULO 2. FUNC ¸ OES HIPERBOLICAS. e substituindo θ por. 1 θ e aplicando a raiz quadrada 2 r θ 1 + cosh θ cosh = 2 2. 24. .. (2.22). N˜ao temos um simbolo de ± em (2.22), pois a imagem da fun¸ca˜o cosseno hiperb´olico ´e [1, +∞). Assim de (2.21) e (2.22), vamos obter r θ 1 − cosh θ tgh = ± 2 1 + cosh θ. .. (2.23). De (2.5) e (2.18), obtemos resultados que correspondem `as f´ormulas para sen2 θ =. 1 1 cos 2 θ − 2 2. cos2 θ =. 1 1 cos 2 θ + . 2 2. e. Elas s˜ao senh2 θ =. 1 1 cosh 2 θ − 2 2. (2.24). cosh2 θ =. 1 1 cosh 2 θ + . 2 2. (2.25). e. Exemplo 2.2 Vamos deduzir a seguinte f´ormula tgh θ =. senh 2 θ . cosh 2 θ + 1. (2.26). Observe que de (2.24) e (2.25), por divis˜ao, vamos obter tgh2 θ =. cosh 2 θ − 1 . cosh 2 θ + 1. Ora, cosh 2 θ − 1 cosh 2 θ + 1 cosh2 2 θ − 1 . = . cosh 2 θ + 1 cosh 2 θ + 1 (cosh 2 θ + 1)2 Por cosh2 2 θ − senh2 2 θ = 1,. (2.27).
(49) ˜ ´ CAP´ITULO 2. FUNC ¸ OES HIPERBOLICAS. 25. temos cosh2 2 θ − 1 = senh2 2 θ, logo (2.26), torna-se tgh2 θ =. senh2 2 θ , (cosh 2 θ + 1)2. (2.28). e portanto tgh θ = ±. senh 2 θ . cosh 2 θ + 1. Vamos examinar o sinal diante do segundo membro. De (2.17) vem senh 2 θ =. 2 senh θ cosh2 θ = 2 tgh θ cosh2 θ. cosh θ. Logo, senh 2 θ e tgh θ tˆem o mesmo sinal. Vˆe- se tamb´em que cosh 2 θ + 1 ´e sempre positiva e portanto o sinal positivo prevalece, o que demonstra (2.26). 1 Observe que aplicando o aˆngulo θ na express˜ao (2.26) obtemos a f´ormula para 2 tgh. θ senh θ = . 2 cosh θ + 1. (2.29). Exemplo 2.3 Mostre que a solu¸c˜ao geral da equa¸c˜ao diferencial d2 y − a2 y = 0 2 dx. (2.30). pode ser posta sob a forma y = A senh ax + B cosh ax, onde A e B s˜ao constantes. Iremos usar a equa¸ca˜o auxiliar que ´e dada pela f´ormula r2 +pr+q = 0, de (2.30), r2 −a2 = 0, cujas ra´ızes s˜ao a e −a. Sabendo que a solu¸ca˜o geral de (2.30) ´e dada por y = c1 eax + c2 e−ax . Os valores de eax e e−ax s˜ao obtidos de (2.11) e de (2.12), pondo θ = ax. Logo eax = cosh ax + senh ax, e−ax = cosh ax − senh ax, assim, y = c1 (cosh ax + senh ax) + c2 (cosh ax − senh ax) = (c1 + c2 ) cosh ax + (c1 − c2 ) senh ax..
(50) ˜ ´ CAP´ITULO 2. FUNC ¸ OES HIPERBOLICAS Pondo c1 − c2 = A e c1 + c2 = B, obtemos a forma desejada. y = A senh ax + B cosh ax.. 26.
(51) Cap´ıtulo 3 Derivadas e Integrais Neste cap´ıtulo vamos analisar a diferenciabilidade das fun¸c˜oes hiperb´olicas, estudar as integrais destas fun¸co˜es, analisar os gr´aficos e por fim apresentar uma aplica¸ca˜o envolvendo a caten´aria.. 3.1. Derivadas As f´ormulas para as derivadas s˜ao as seguintes. i). d senh θ = cosh θ. dθ. ii). d cosh θ = senh θ. dθ. iii). d tgh θ = sech2 θ. dθ. iv). d cotgh θ = −cosech2 θ. dθ. v). d sech θ = −sech θ tgh θ. dθ. vi). d cosech θ = −cosech θ cotgh θ. dθ Vamos agora justificar as f´ormulas acima.. Justificativa de i) Recorde que d cθ (e ) = c eθ para c ∈ R. dθ 27.
(52) CAP´ITULO 3. DERIVADAS E INTEGRAIS. 28. Usando isto deduzimos d d senh θ = dθ dθ. . d d cosh θ = dθ dθ. . eθ − e−θ 2. =. eθ + e−θ = cosh θ. 2. =. eθ − e−θ = senh θ. 2. . Justificativa de ii) eθ + e−θ 2. . Justificativa de iii) Utilizando a regra de deriva¸c˜ao do quociente, temos d d senhθ cosh2 θ − senh2 θ 1 tgh θ = = = = sech2 θ. 2 2 dθ dθ coshθ cosh θ cosh θ Justificativa de iv) d d cotgh θ = dθ dθ. . 1 tgh θ. =−. sech2 θ = − cosech2 θ. tgh2 θ. Justificativa de v) d d sech θ = dθ dθ. . 1 cosh θ. =−. senhθ = − sech θ tgh θ. cosh2 θ. Justificativa de vi) d d cosech θ = dθ dθ. . 1 senh θ. =−. coshθ = − cosech θ cotgh θ. senh2 θ. Com base na Regra da cadeia se θ ´e uma fun¸ca˜o de w, temos as f´ormulas i). d dw senh θ = cosh θ . dw dθ. ii). d dθ cosh θ = senh θ . dw dw. iii). d dθ tgh θ = sech2 θ . dw dw. iv). d dθ cotgh θ = −cosech2 θ . dw dw. v). d dθ sech θ = −sech θ tgh θ . dw dw. vi). d dθ cosech θ = −cosech θ cotgh θ . dw dw.
(53) CAP´ITULO 3. DERIVADAS E INTEGRAIS. Exemplo 3.1 Ache. dw sendo w = tgh(1 − θ2 ). dθ dw = sech2 (1 − θ2 ).dθ(1 − θ2 ) dθ = −2θ sech2 (1 − θ2 ).. Exemplo 3.2 Ache f 0 (θ) sendo f (θ) = ln senh θ. 1 . cosh θ senh θ cosh θ = senh θ = cotgh θ.. f 0 (θ) =. Exemplo 3.3 Determine. √ d (tgh 1 + θ2 ). dθ. √ √ d √ d (tgh 1 + θ2 ) = sech2 1 + θ2 . ( 1 + θ2 ) dθ dθ √ θ = √ sech2 1 + θ2 . 1 + θ2. 3.2. Integrais Nas integrais hiperb´olicas temos. i). R. ii). senh θ dθ = cosh θ + C.. R. cosh θ dθ = senh θ + C.. iii). R. sech2 θ dθ = tgh θ + C.. iv). R. cosech2 θ dθ = − cotgh θ + C.. v) vi). R R. sech θ tgh θ dθ = − sech θ + C. cosech θ cotgh θ dθ = − cosech θ + C.. Exemplo 3.4 Calcule. R. tgh2 θ dθ.. 29.
(54) CAP´ITULO 3. DERIVADAS E INTEGRAIS Z. 2. 30. Z. (1 − sech2 θ) dθ Z Z = dθ − sech2 θ dθ. tgh θ dθ =. = θ − tgh θ + C. 1. Z. senh2 θ dθ.. Exemplo 3.5 Calcule 0. 1. Z. 1. Z. 2. senh θ dθ = 0. 0. cosh 2θ − 1 dθ 2. Z 1 1 = (cosh 2θ − 1) dθ 2 0 1 1 senh 2θ = −θ 2 2 0 senh 2 1 − ≈ 0, 40672. = 4 2 Z. ln 2. 4eθ senh θ dθ.. Exemplo 3.6 Calcule 0. Z. ln 2. Z. θ. ln 2. 4eθ. 4e senh θ dθ = 0. 0. Z = =. . 0 2θ. eθ − e−θ dθ 2. ln 2. (2e2θ − 2) dθ. e − 2θ. ln 2 0. = (e2 ln 2 − 2 ln 2) − (1 − 0) = 4 − 2 ln 2 − 1 ≈ 1, 6137.. 3.3. Gr´ aficos Para entendermos melhor fa¸camos o comportamento e o esbo¸camento do gr´afico de. y = senh x, observe que i) senh 0 = 0. e−x − e−(−x) ii) senh(−x) = = −senh x, pois o seno hiperb´olico ´e uma fun¸c˜ao ´ımpar, onde 2 o dom´ınio e a imagem s˜ao o conjunto de todos os n´ umeros reais..
(55) CAP´ITULO 3. DERIVADAS E INTEGRAIS. iii). iv). 31. d ex + e−x (senh x) = cosh x = > 0 para todo x, ou seja, y = senh x varia de −∞ a dx 2 +∞, uma fun¸c˜ao estritamente crescente. d2 (senh x) = senh x, pois se x > 0 ent˜ao y = senh x ´e cˆoncava para cima e cˆoncava dx2 para baixo se x < 0.. ex − e−x = +∞ e lim senh x = −∞,ou seja, a imagem da v) lim senh x = lim x→−∞ x→+∞ x→+∞ 2 fun¸ca˜o y = senh x ´e todo o intervalo (−∞, +∞). ex − ex < senh x < . 2 2 ex − ex ex ex vii) lim senh x − = lim = 0− e lim senh x + = lim = 0+ . x→+∞ x→+∞ x→+∞ x→+∞ 2 2 2 2 ex Estas propriedades nos contam que y = senh x se aproxima de y = quando x 2 −x −e quando x decresce, vindo por cresce, vindo por baixo, e se aproxima de y = 2 cima. vi) Se ex < 0 e e−x para todo x, ent˜ao −ex < ex − ex < ex . Logo. Na F igura 3.1, colocamos os gr´aficos de y = senh x, y =. ex e−x ey=− , no mesmo 2 2. par de eixos.. F igura 3.1 Agora fa¸camos o comportamento e o esbo¸camento do gr´afico de y = cosh x, observe que.
(56) CAP´ITULO 3. DERIVADAS E INTEGRAIS. 32. i) cosh 0 = 1. e−x + e−(−x) = cosh x, pois o cosseno hiperb´olico ´e uma fun¸c˜ao par, onde 2 o dom´ınio ´e o conjunto de todos os n´ umeros reais e a imagem ´e o conjunto de todos. ii) cosh(−x) =. os n´ umeros no intervalo [1, +∞). iii). d d (cosh x) = senh x > 0 se x > 0 e (cosh x) = senh x < 0 se x < 0. A fun¸ca˜o dx dx cosseno ´e decrescente se x < 0 e crescente se x > 0 e tem um m´ınimo global em x = 0. Logo , cosh x ≥ 1.. iv). d2 (cosh x) = cosh x ≥ 1 e logo cosh x ´e sempre cˆoncava para cima. dx2. v) lim cosh x = lim cosh x = +∞ e a imagem da fun¸ca˜o ´e o intervalo [1, +∞). x→+∞. x→+∞. ex − e−x e−x ex + vi) lim cosh x − = 0 e lim cosh x − = 0+ . = lim = lim x→+∞ x→+∞ x→+∞ x→+∞ 2 2 2 2 ex Estas propriedades nos contam que y = cosh x se aproxima de y = quando x cresce 2 −x e e se aproxima de y = quando x decresce, mas ´e sempre maior do que elas. 2 Na F igura 3.2 colocamos os gr´aficos de y = cosh x, y = de eixos.. F igura 3.2. ex e−x ey= no mesmo par 2 2.
(57) CAP´ITULO 3. DERIVADAS E INTEGRAIS. 33. Por fim, fa¸camos o comportamento e o esbo¸camento da fun¸c˜ao y = tgh x que pode ser escrita como tgh x =. senh x ex − e−x 1 − e−2x e2x − 1 = x = = . cosh x e + e−x e2x + 1 1 + e−2x. i) tgh 0 = 0. ii) tgh(−x) = −. senh x senh(−x) =− = −tgh x, ou seja, ´e uma fun¸ca˜o ´ımpar. cosh(−x) cosh x. iii) ex − e−x < ex + ex para todo x. iv). d 1 (tgh x) = > 0, ou seja, y = tgh x ´e estritamente crescente. dx cosh2 x. v) lim tgh x = 1 e lim tgh x = −1. x→+∞. x→−∞. Na F igura 3.3 esbo¸camos o gr´afico de y = tgh x.. F igura 3.3 As an´alises das demais fun¸co˜es nos levam aos seguintes gr´aficos i) cotgh x =. 1 cosh x ex + e−x = = x . tgh x senh x e − e−x.
(58) CAP´ITULO 3. DERIVADAS E INTEGRAIS. 34. F igura 3.4 A cotgh x toma qualquer valor maior que 1, em valor absoluto, pois cotgh(−x) = −cotgh x. ii) sech x =. 2 1 = x . cosh x e + e−x. F igura 3.5 A sech x toma qualquer valor positivo n˜ao maior que 1, pois sech(−x) = sech x..
(59) CAP´ITULO 3. DERIVADAS E INTEGRAIS. iii) cosech x =. 35. 1 2 = x . senh x e − e−x. F igura 3.6 A cosech x toma qualquer valor, exceto zero, pois cosech(−x) = −cosech x.. 3.4. Caten´ aria Caten´aria do latim catena, que significa corrente, ´e a curva formada por um cabo. flex´ıvel com densidade uniforme, pendurado entre dois pontos, sob a a¸ca˜o de seu pr´oprio peso. Alguns cabos de suspens˜ao de pontes e fios de telefone presos a dois postes apresentam essa forma. O peso do cabo por unidade de comprimento w e a tens˜ao horizontal em seu ponto mais baixo ´e um vetor de m´odulo H. Caso adotemos um sistema cartesiano para o plano do cabo no qual o eixo x seja horizontal, a for¸ca da gravidade est´a direcionada para baixo, os pontos do eixo y positivo est˜ao direcionados para cima e o ponto mais baixo do cabo estar´a em y=. H w. no eixo y como na F igura 3.7, ent˜ao pode-se demonstrar que o cabo acompanha o gr´afico do cosseno hiperb´olico..
(60) CAP´ITULO 3. DERIVADAS E INTEGRAIS. 36. F igura 3.7 Prova-se que a equa¸ca˜o da caten´aria ´e da forma y=. H w cosh x, w H. (3.1). onde pode ser encontrada em [5]. E ´e exatamente por equilibrar a tens˜ao interna com o seu peso que a caten´aria invertida se torna a maneira mais eficiente de construir arcos. Al´em de eficiente, d´a belas constru¸co˜es como a Ponte de Lupu, em Xangai, na China e o Pal´acio de Episcopal de Astorga, em Barcelona.. F igura 3.8 F onte : megaengenharia.blogsport.com.bh/2014/04/ponte − lupu − xangai.htm. F igura 3.9 F onte : K3shapdox.blogsport.com.bh/2011/11/antoni − gaud.htm.
(61) CAP´ITULO 3. DERIVADAS E INTEGRAIS Exemplo 3.7 Mostre que y = a cosh. x. 2. satisfaz a equa¸c˜ao diferencial. a. dy w = 2 dx H. 37. s. . 1+. dy dx. 2 ,. (3.2). H , H e w constantes. w x Diferenciando y = a cosh , obtemos a. desde que a =. dy x 1 x = a senh . = senh dx a a a e d2 y x 1 = cosh . . 2 dx a a Levando em (3.2), temos 1 x w cosh = a a H. r x 2 , 1 + senh a. empregando (2.5), sob a forma 1 + senh2 θ = cosh2 θ, ou seja, 1 x w cosh = a a H. r cosh2. x a. ,. e como cosh2 θ ´e sempre positivo, temos √. cosh2 θ = |cosh θ| = coshθ,. ou seja, 1 x w x cosh = cosh . a a H a. Observa¸c˜ ao 3.1 A equa¸c˜ao diferencial (3.2) exprime a condi¸c˜ao de equil´ıbrio das for¸cas que atuam sobre uma por¸c˜ao AP de um cabo suspenso F igura 3.10. Supomos que removida a por¸c˜ao restante do cabo, a por¸c˜ao AP do ponto mais baixo A ao ponto gen´erico P (x, y), em equil´ıbrio sobre as for¸cas H = tens˜ao horizontal em A, T = tens˜ao tangencial em P e W = ws = peso de s metros do cabo a w quilos por metro de comprimento de A a P ..
(62) CAP´ITULO 3. DERIVADAS E INTEGRAIS. 38. Ent˜ao o equil´ıbrio do cabo exige que os componentes horizontal e vertical de T equilibrem H e W respectivamente.. F igura 3.10 Assim, T cos θ = H e T senθ = W = ws. Por divis˜ao, vem T sen θ W = tg θ = T cos θ H ou dy ws = , dx H porque tg θ =. dy . dx. O comprimento do arco s em (3.3), pode ser obtido por integra¸ca˜o de ds =. p. 1 + (dy/dx)2 dx. ao inv´es disso, podemos diferenciar (3.3) em rela¸c˜ao a x. Logo d2 y w ds = , 2 dx H dx e aplicar. p 1 + (dy/dx)2 em lugar de ds/dx para obter (3.2). Portanto, y = a cosh. x a. (3.3).
(63) CAP´ITULO 3. DERIVADAS E INTEGRAIS. 39. com a=. H w. satisfaz a equa¸c˜ao diferencial (3.2). Teorema 3.1 Se a fun¸c˜ao g e sua derivada g 0 forem cont´ınuas no intervalo fechado [c, d], ent˜ao o comprimento do arco da curva x = g(y) do ponto (g(c), c) ao ponto (g(d), d) ser´ a dado por d. Z. p 1 + [g 0 (y)]2 dy.. L= c. Ver [3] Exemplo 3.8 Ache o comprimento do arco da caten´aria definida por y = a cosh os pontos (0, a) e (x1 , y1 ), onde x1 > 0. Se f (x) = a cosh. x a. ,. ent˜ao x 1 f (x) = a senh . a a x = senh . a 0. Do T eorema 3.1, se o comprimento do arco dado por L unidades, temos. Z. L = = = = = = =. x1. p 1 + [f 0 (x)]2 dx 0 Z x1 r x 1 + senh2 dx a 0 Z x1 r x cosh2 dx a 0 Z x1 x cosh dx a 0 h x ix1 a senh xa 0 1 a senh − a senh 0 xa 1 a senh . a. x a. . entre.
(64) Cap´ıtulo 4 Fun¸ c˜ oes hiperb´ olicas inversas Neste cap´ıtulo, vamos apresentar as defini¸c˜oes, derivadas e integrais das fun¸co˜es hiperb´olicas inversas.. 4.1. Defini¸co ˜es A rela¸c˜ao y = senh θ. (4.1). θ = senh−1 y,. (4.2). tamb´em se escreve. e se lˆe ”θ igual a fun¸c˜ao inversa do seno hiperb´olico de y”. Portanto senh θ e senh−1 y s˜ao fun¸co˜es inversas uma da outra. A mesma nota¸ca˜o e nomenclatura s˜ao usadas para as outras fun¸co˜es hiperb´olicas inversas, que s˜ao as seguintes i) θ = cosh−1 y. ii) θ = tgh−1 y. iii) θ = cotgh−1 y. iv) θ = sech−1 y. v) θ = cosech−1 y.. 40.
(65) ˜ ´ CAP´ITULO 4. FUNC ¸ OES HIPERBOLICAS INVERSAS. 41. Vamos agora analisar as curvas e admitir que y seja dado. A curva y = senh x ´e apresentado na F igura 4.1 e vamos admitir que y pode ter qualquer valor, positivo ou negativo, e ent˜ao o valor de x ´e univocamente determinado.. F igura 4.1 O senh−1 θ ´e univocamente determinado para qualquer valor de θ. Tem-se tamb´em senh−1 (−θ) = −senh−1 θ. A curva y = cosh x na F igura 4.2, y pode ter qualquer valor positivo n˜ao menor que 1. Quando y > 1, x tem dois valores iguais em valor absoluto mas de sinais contr´arios.. F igura 4.2.
(66) ˜ ´ CAP´ITULO 4. FUNC ¸ OES HIPERBOLICAS INVERSAS. 42. A fun¸ca˜o cosh−1 θ, quando θ > 1, tem dois valores diferindo s´o pelo sinal. Tem-se tamb´em cosh−1 1 = 0. A curva y = tgh x na F igura 4.3, y pode ter qualquer valor menor, em valor absoluto, que 1 ent˜ao o valor de x ´e univocamente determinado.. F igura 4.3 A fun¸c˜ao tgh−1 θ ´e univocamente determinada quando θ2 < 1.. Tem-se tamb´em. tgh−1 (−θ) = −tgh−1 θ. As fun¸co˜es hiperb´olicas foram definidas no Cap´ıtulo 2 em termos das fun¸co˜es exponenciais. As fun¸co˜es hiperb´olicas inversas s˜ao expressas em termos das fun¸co˜es logar´ıtmicas. As rela¸c˜oes s˜ao (A) senh−1 x = ln (x + (B) cosh−1 x = ln (x ± (C) tgh−1 x =. √ √. x2 + 1).. (x qualquer). x2 − 1).. (x ≥ 1). 1 1+x ln . 2 1−x. (x2 < 1). 1 x+1 ln . (x2 > 1) 2 x−1 ! r 1 1 −1 . (0 < x ≤ 1) (E) sech−1 x = ln ± x x2 ! r 1 1 (F) cosech−1 x = ln + +1 . (x2 > 0) x x2 (D) cotgh−1 x =.
(67) ˜ ´ CAP´ITULO 4. FUNC ¸ OES HIPERBOLICAS INVERSAS. 43. Agora vamos justificar algumas das f´ormulas acima. Justificativa de (A). Seja θ = senh−1 x. Ent˜ao x = senh θ =. eθ − e−θ . 2. (4.3). Para resolver (4.3) em rela¸c˜ao a θ, vamos por sob a forma eθ −. 1 − 2x = 0 eθ. ou e2θ − 2 xeθ − 1 = 0. Esta ´e uma equa¸c˜ao do segundo grau em eθ . Resolvendo, √ eθ = x ± x2 + 1. Como eθ ´e sempre positiva, deve-se desprezar o sinal negativo antes do radical. Logo, usando logaritmos neperianos, temos (A). Justificativa de (B). Seja θ = cosh−1 x. Ent˜ao x = cosh θ =. eθ + e−θ . 2. (4.4). Eliminado os denominadores e reduzindo, vem e2θ − 2 xeθ + 1 = 0. Resolvendo, eθ = x ±. √ x2 − 1.. Os dois valores devem ser considerados. Tomando-se os logaritmos, obtemos (B). Justificativa de. (C). Seja θ = tgh−1 x. Ent˜ao x = tgh θ =. eθ − e−θ . eθ + e−θ. Efetuando os c´alculos, (x − 1) eθ + (x + 1) e−θ = 0. Logo, e2θ = Tomando os logaritmos, obtemos (C).. 1+x . 1−x. (4.5).
(68) ˜ ´ CAP´ITULO 4. FUNC ¸ OES HIPERBOLICAS INVERSAS. 44. As demais s˜ao justificadas de formas semelhantes. Exemplo 4.1 Transformar 5 cosh x + 4 senh x na forma C cosh (x + a), onde C e a s˜ao constantes, e achar C e a. Por (2.14), temos C cosh (x + a) = C cosh x cosh a + C senh x senh a. Logo,(4.6) ter´a a forma desejada se C e a satisfazerem as equa¸c˜oes C cosh a = 5 e C senh a = 4. Quadrando, subtraindo , e usando (2.5), vamos obter C 2 = 9, logo, C = +3, pois cosh a deve ser positivo. Por divis˜ao, obtemos tamb´em 4 tgh a = , 5 logo, a = tgh−1 0.8 =. 1 ln 9. 2. Portanto a = 1, 099 e 5 cosh x + 4 senh x = 3 cosh (x + 1, 099).. (4.6).
(69) ˜ ´ CAP´ITULO 4. FUNC ¸ OES HIPERBOLICAS INVERSAS. 4.2. 45. Derivadas As f´ormulas s˜ao as seguintes. (1). d 1 senh−1 θ = √ . dθ θ2 + 1. (2). d 1 . cosh−1 θ = √ 2 dθ θ −1. (3). d 1 tgh−1 θ = . dθ 1 − θ2. (4). 1 d cotgh−1 = . dθ 1 − θ2. (5). d 1 sech−1 θ = − √ . dθ θ 1 − θ2. (6). 1 d cosech−1 θ = − √ . dθ |θ| 1 + θ2. Exemplo 4.2 Ache f ’(x) sendo f (x) = tgh−1 (cos 2x). De (3) , temos 1 (−2 sen 2x) 1 − cos2 2x −2 sen 2x = sen2 2x 2 = − sen2 2x = −2 cosec 2x.. f 0 (x) =. 4.3. Integrais As integrais s˜ao expressas em termos das fun¸c˜oes hiperb´olicas inversas, s˜ao as seguintes. Z i) Z ii). dθ θ √ = senh−1 + C. 2 2 a θ +a dθ θ √ = cosh−1 + C. 2 2 a θ −a. (θ qualquer) (θ ≥ a).
(70) ˜ ´ CAP´ITULO 4. FUNC ¸ OES HIPERBOLICAS INVERSAS Z iii). a2. dθ θ 1 = tgh−1 + C. 2 −θ a a. θ2. θ dθ 1 = − cotgh−1 + C. 2 −a a a. Z iv) Z v). (θ2 < a2 ) (θ2 > a2 ). dθ 1 θ = − sech−1 + C. 2 2 a a θ a −θ. Z. √. dθ θ 1 = − cosech−1 + C. 2 2 a a θ θ +a Z 1 2 dx √ Exemplo 4.3 Calcule . 3 + 4x2 0. vi). √. (0 < θ < a) (θ qualquer). A integral indefinida ´e 1. Z 0. 2 dx √ = 3 + 4x2. Z. √. dθ . θ 2 + a2. Temos θ = 2 x, dθ = 2 dx e a =. √. 3.. Assim, 1. Z 0. 2 dx θ √ = senh−1 + C, a 3 + 4x2. ou seja, Z 0. 1. √. 2 dx 2x = senh−1 √ + C. 2 3 + 4x 3. Portanto, Z 0. 1. 2 dx √ = senh−1 2 3 + 4x = senh−1 = senh−1.
(71) 1 2 x
(72)
(73) √
(74) 3 0 2 √ − senh−1 (0) 3 2 √ . 3 . 46.
(75) Conclus˜ ao As fun¸co˜es hiperb´olicas possuem um papel importante na matem´atica, pois envolvem aplica¸co˜es em v´arias ´areas do conhecimento, a exemplo da engenharia e arquitetura como vimos com o exemplo da caten´aria. O aprofundamento no estudo de tais fun¸c˜oes foi relevante para complementar o assunto que ´e apresentado de forma sucinta nos livros de c´alculo. As dedu¸co˜es das f´ormulas, identidades hiperb´olicas, derivadas e integrais, bem como, as aplica¸c˜oes em equa¸co˜es diferenciais ordin´arias foram de fundamental importˆancia para o desenvolvimento deste tema. Ao estudar as fun¸co˜es hiperb´olicas, pude somar conhecimentos e obter grande valor para a minha forma¸ca˜o acadˆemica.. 47.
(76) Referˆ encias Bibliogr´ aficas [1] GRANVILLE, Willian Anthony, SMITH, Percey F, LONGLEY, William Raymond. C´alculo. Tradu¸c˜ao de Jos´e Abdelhay. Rio de Janeiro: Cient´ıfica, 1961. [2] IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matem´atica Elementar. S˜ao Paulo: Atual, 1977-78. [3] LEITHOLD, Louis. C´alculo. Tradu¸c˜ao de Cyro de Carvalho Patarra. 3. ed. S˜ao Paulo: Harbra, 1994. [4] REIS, Gen´esio Lima dos, SILVA, Valdir Vilmar da. Geometria Anal´ıtica. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1996. [5] THOMAS JR., George B. C´alculo. Tradu¸c˜ao de Alfredo Alves de Farias. Rio de Janeiro: LTC. 1965. V. 2. [6] THOMAS, George B. C´alculo. Tradu¸ca˜o de Thelma Guimar˜aes; Leila Maria Vasconcellos Figueiredo. 11. ed. S˜ao Paulo: Addilson Wesley, 2009. V. 1.. 48.
(77)
Documentos relacionados
ü A bibliografia sugerida tem apenas o propósito de orientar o estudo dos candidatos, não excluindo, em hipótese alguma, outros livros que abranjam a matéria indicada para
Nos testes de leitura com compreensão, a instrução dada não envolvia uma dica clara de leitura oral (comportamento textual). As porcentagens de acertos nos testes
A partir de 1970, saúde individu- al e coletiva têm suas responsabili- dades explicitadas pelos primeiro e se- gundo Planos Nacionais de Desenvol- vimento — PND. O esgotamento do
Você está convidado a participar como voluntário dessa pesquisa. Este documento, Termo de Consentimento Livre e Esclarecido, visa assegurar seus direitos como
A terceira análise foi em relação ao teor de carbono fixo, que pode ser visto na Figura 37 que mostra a presença das quatro áreas onde os carbonáceos são tipificados, mostrando
NCCLs were associated with greater tension regardless of region: marginal alveolar bone crest (MAC), crown buc cal cervical region (CBC), buccal apical third of the root
jongueiros mais velhos, compreendi que este ponto fala sobre os líderes sem competências, aqueles que estão no poder, mas não são bons. Cantamos as vitórias,
A associação simbiótica de espécies florestais nativas do Estado do Rio Grande do Sul com fungos ectomicorrízicos poderá ser uma alternativa para o estabelecimento de mudas, e para
