Nêstor Zouain
TESE SURMETIDA AO CORPO DOCENTF DA CDOR1FNACAD CDS PROGRAMAS DE
.r
P~S-GRADUAÇAO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO Riíl
DE
t
JANEIRO COMO PARTE DOS REGil!ISITOS NECFSSÃRIOS PARA A ORTFNCPO DO
GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS (M.Sc.J
Aprovada por:
evilacqua
Riíl DE JA~FIPO, RJ - ~RASIL
rrnVE:1bRD CE 1876( ,
.
-
(
AGRADECIMIENTDS
Al Prof. Sally A. Segenreich por la dedicada
orientación de esta tesis.
Al Prof, Luiz Bevilacqua por las ensenanzas que
recebí como su alumno, y por el apoyo moral que brindá a mitra bajo.
Mucho de lo expuesto en esta tesis fue desarroll~ do en el intercambio de ideas con mi amigo Ing. José Herskovits a quien quedo reconocido.
Al "Programa de Engenharia Mec;nica" de CDPPE en la persona del Prof. Leopoldo Eurico G.Bastos.
RESUMEN
Se propone un algoritmo iterativo de optimización,
basado en un criterio de optimRlidad y se describe su aplicación
al proyecto de estructuras de gran porte.
El algoritmo básico es desarrollado a partir de la
introducción de variables de desvío en un esquema iterativo para
minimización con restricciones de igualdad, ampliando su
aplica-ción al caso general de desigualdad. Se consigue generar una
su-cesión de disenos factibles, y demostrar que, si converge, su lí
mite es un mínimo local de la función objetivo.
Para el proyecto de estructuras se desarrolló
un
sistema automático de síntesis, implementado en computador,
que
utiliza el método de optimización propuesto y conceptos de análi
sis estructural orientado al diseno. Este sistema proyecta estruc
turas de geometria fija para minimizar el peso, siendo estas
di-senadas para varias estados de carga simultaneos y limitãndose las
tensiones y deformaciones resultantes mediante criterios usuales
en ingeniería.
RESUMO
Um algoritmo iterativo de otimização, baseado num critério de otimalidade, é proposto e descreve-se a sua aplica-çao ao projeto de estruturas de grande porte.
O algoritmo básico é desenvolvido a partir da in -tradução de variáveis de desvio num esquema iterativo para mini mização com restrições de igualdade, ampliando a sua aplicação ao caso geral de desigualdade, Consegue-se gerar uma sequencia de configurações factíveis e provar que, se a sequência conver-ge, seu limite é um mínimo local da função objetivo.
Para o projeto de estruturas, foi desenvolvido um
sistema automático de síntese, implementado em computador, que
utiliza o método de otimização proposto e conceitos de análise estrutural orientada ao projeto. Este sistema projeta estrutu -ras de peso mínimo com geometria fixa, sendo considerado múlti-plos estados de carregamento, e limitando-se as tensões e defor mações resultantes por meio de criterios usuais em engenharia.
ABSTRACT
An iterativa algorithmfor, the minimization
of an
objective function based on optimality criteria concept
is
derived and its applications to the optimization of large scale
structures is described.
The basic algorithm for non equality constraints
\s developed by introducing slack variables in a previously
derived algorithm for strict equality constraints. The method
generates a sequence of feasible designs and it is shown that
if the sequence does converge, it will converge to a
local
minimum.
The developed algorithm is used as the core of a
computar program for the automatic design
of optimum structures
of real life size and complexity.
INDICE
PAG.
1. INTRDDUCCIDN . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . • • . . . . . . . .
1
1.1. Dptimización Estructural
1.2. Métodos de Dptimización
...
12
1.3. Propósitos de este Trabajo . .. . . .. .. .. .... ..
3
2. UN ALGORITMO DE OPTIMIZACIDN CON RESTRICCIONES OE
IGUALDAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • • . . . .
6
2.1. Formulación del Modelo Matemático ... .. .... .. .. .. .
6
2.2. Un Método de Resolución para el Caso de
Res-t ri cci one s de I gua 1 da d . • . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . .
7
3. OPTIMIZACION CON RESTRICCIDNES DE DESIGUALDAD, UTI
LIZANDD VARIABLES DE DESVIO . . . • . . .
11
3.1. Introducción del Concepto de Variables de De~
vío . . . . 11
V
3.2. Elección dinámica del Parámetro de Relajación a ..
16
3.3. Modificacion para restricciones positivas (i~
factiblesl
193.4. Restricciones de tipo x.
> xM . . .20
i - ,13.5. Restricciones consideradas en una Iteración . . .
22
3.6. Elección del Parâmetro de Central
K ••• , . • • • • • • • • •22
3.7. El Algoritmo de Iteración
24
4.
CONSIDERACIDNES SOBRE CONVERGENCIA OEL ALGORITMO . . . • . .
26
4.1. Condición de Kuhn-Tucker para el problema co~
siderado . . . . 26
4.2. Proceso de Separación de Restricciones ..•..• ,, ,. ,
27
4.3. Criterio de Oetención
...
29V
4.4. Oiscusión del sistema que determina
À • • • • • • • • • • • •30
5, OPTIMIZACION CON FUNCION OBJETIVO NO LINEAL
326. EJEMPLDS OE APLICACIDN DEL METDDO PARA FUNCIONES EX
6,1, Minimización de una función Lineal de dos Va riables con Tres Restricciones Explfcitas 6.2. Mínimos Libre y de Frontera para Una Función
de dos Variables, con Tres Restricciones 6.3. Minimización de una Función no Lineal de Tre
ce Variables con Tres Restricciones
...
PAG.
34
41
44
7. ANALISIS ESTRUCTURAL ORIENTADO AL OISENO OPTIMO . . . 48
7.1. Formulación del Análisis de la Estructura . . . . • . . 48
7.2. Restricciones de Desplazamiento , . . . . .. .. . . . . . . 50
7.3. Restricciones de Tensión . . . ,, ,, . . . . • . .• .. . 51
7.4. Derivadas de Desplazamientos . . . • . . . • • . . . 53
7.5. Derivadas de Tensiones . . • . . . • . . . . , . . . • . . 54
8. UN SISTEMA AUTDMATICO DE PROYECTO DE ESTRUCTURAS Y EJEMPLOS DE APLICACION • . . . • . . . • . . . 56
8.1. Tipo de Estructuras Proyectadas . . . • . • . • • . . . 56
8.2. Descripción del Sistema Computacional , .. .• . . . 57
8.3. Ejemplos de Aplicación .. , . . • . . . . • . . • • • • . . . , , , • 59 8.3.1. Viga de placas y 8.3.2. Torre ( 16 V. d. , 8.3.3, Torre (72 V. d. , 8.3.4, Estructura plana barras ( 21 V. d• , 41 elem.) , 72 elem, l
.
...
72 elem. J...
( 105 V. d. , 200 elem.) 60 65 72 72 9. CONCLUSIONES . • . . . • . . . . • . • . . . • . . . . • . . . 77 9.1. Sobre el Algoritmo . . . 779.2. Sobre el Sistema de Proyecto . . . • 77
9.3. Posibilidades para continuación del Trabajo . . . . . 78
REFERENCIAS 80 NOTACION .. , . , , , • . • . . . , , . . . , , , . . 82
ciente posible es una de las motivaciones de gran cantidad dein vestigaciones científicas, asi como está presente en la mayoria de los desarrollos tecnológicos.
La definición del criterio de eficiencia y el co-nocimiento de los fenómenos físicos envueltos, presupuestos bá-sicos para emprender la bÚsqueda del mejor proyecto, son, en si mismos, formidables tareas en la mayoria de los casos. Existen, sin embargo, situaciones en que esta etapa de análisis puede ser !levada a cabo con razonable facilidad y precisión, pero en los cuales la síntesis es complicada y tiene características propias que justifican el estudio de este problema enforma independie~ te del asunto original.
Frecuentemente es posible adaptar análisis y
sín-tesis para funcionar con coherencia mútua. Se obtienen de esta
manera los mejores resultados [1,2].
Con esta Última idea han sido desarrollados méto-dos de proyecto de estructuras y es la misma que orienta estetra bajo.
El desarrollo de la computación electrónica perm~ tió que se produjeran grandes avances en el área de proyecto de
estructuras y provocá grandes modificaciones en los métodos em
pleados. Asi en los Últimos quince anos [3] fue posible abordar el proyecto Óptimo de estructuras de tamano real, en que las d~ mensiones a elegir son numerosas asi como lo son las exigencias de resistencia y deformación impuestas generalmente.
1.1. Optimización Estructural
El objetivo es proyectar una estructura que cumpla con ciertas restricciones que le son impuestas y que sea Óptima
de acuerdo a un criterio de calidad preestablecido.
Las variables de diseno, que se procura determi -nar son las dimensiones de los elementos estructurales, en
tan-to que las restricciones son las condiciones exigidas para que la estructura satisfaga los criterios de funcionalidad y segur! dad adaptados, en cada uno de los estados de carga para los que es proyectada.
El criterio de calidad mencionado anteriormente eva
lúa cuantitativamente el mérito de cada diseno posible y se con
sidera un diseno 6ptimo~ cuando le corresponde el "mejor" valor de ésta funci6n objetivo.
Se llama optimizaci6n geométrica cuando la forma
de la estructura a proyectar depende de las variables de diseno y optimizaci6n de geometría fij~ cuando la forma de la estructu ra es definida a priori.
Cuando los valores posibles para las variables con~ tituyen una regi6n densa diremos que se trata de optimizaci6n con variable continua y si éstos solo pueden ser elegidos de un co~ junto numerable, estamos frente a un problema de optimizaci6n con variable discreta.
1.2. Métodos de Optimizaci6n
Identificada la optimizaci6n estructural como un
problema de programaci6n matemática no lineal, fueron aplicados a ésta los métodos matemáticos ya conocidos, que se tornaron uti lizables en estructuras cuando se dispuso de los computadores electr6nicos.
Entre los métodos clásicos de programaci6n matemá tica se encuentran:
- el método de las direcciones factibles
- el método de la funci6n de penalidad
El primero es ampliamente usado en optimizaci6n es tructural [4,5].
Los funciones de penalidad, adecuadamente elegi -das, permiten tratar inclusive casos de restricciones no deriva bles, como se presentan cuando el diseno es limitado por normas (discontinuas) de aceptaci6n.
el tamano del problema es grande en términos de número de varia
bles y de restricciones. Es asi que abordar el proyecto de
es-tructuras de gran porte mediante la utilización de programación matemática clásica y análisis estructural "exacto", se presentó completamente imposible en tiempo razonable de computación.
La dificultad anotada impulsó el desarrollo del
análisis aproximado
[s]
y de los métodos basados en el criteriode optimalidad [7-14],
Los métodos de criterio de optimalidad son esen -cialmente algoritmos iterativos que redimensionan la estructura
mediante una fórmula de recurrencia que procura satisfazer un
criterio que caracteriza el punto de óptimo. La idea básica fue
motivada por el método "stress ratio methodt
[1s]
en que cadaárea transversal de elemento estructural Ai se recalcula por
( 1. ll
Una limitación de este algoritmo es que las
res-tricciones que es capaz de tratar sala pueden ser sabre las ten
siones. En casos usuales este método no converge al Óptimo de
la función objetiva.
Las métodos de criterio de optimalidad modifican esa fórmula de recurrencia (1,1) de modo de superar las proble-mas mencionados, conservando en cambia la simplicidad de redis~ no y la rapidez de canvergencia inherente al
method".
1.3. Propósitos de este Trabaja
"stress ratio
Se desarralla un algoritmo iterativo de aptimiza-ción, basado en un criteria de aptimalidad y se describe su apl! cación al proyecta de estructuras de gran porte.
El algoritmo presentado es especialmente apropiado para el tratamiento del problema de optimizar una función deriv~ ble, respecto de variables numerosas, con restricciones definidas por funciones derivables, también presentes en número elevado, siendo que todas las funciones y derivadas que intervienen pue -den ser definidas implicitamente, como es el caso en optimizoc:ión estructural.
En el capítulo 3 desarrollamos el algoritmo básico a partir de la proposición hecha por S.A.Segenreich de utilizar
variables de desvio en el algoritmo presentado en la referência
[1~ ampliando su aplicaci6n al caso general de restricciones de desigualdad. El capítulo 2 incluye la formulaci6n del problema g~ neral de optimización y un breve resumen del método mencionado p~ ra el caso de igualdad.
En la formulación del algoritmo se consigue defi -nir una sucesi6n de disenos factibles haciendo uso de las posib!
!idades adicionadas por el concepto de variables de desvío. Se
demuestra que esta sucesi6n, si converge, tiene como lÍmite u,mí nimo local de la función objetivo.
Establecido el método de optimizaci6n, se conside-ra la convergencia del mismo y se da también un criterio paconside-rar~ conocer cuando un diseno es Óptimo (capítulo 4). Algunos ejemplos
numéricos, no estructurales, son examinados en el capítulo 6.
Para el proyecto de estructuras se desarroll6 un
sistema automático de síntesis implementado en computador, que
utiliza el método de optimizaci6n propuesto, asi como conce~os de análisis estructural orientado al proyecto Óptimo esquematizados
en el capítulo 7 y formulados extensamente en la referencia
[1s].
El sistema de proyecto mencionado, disena estructu ras de geometria fija para minimizar el peso. Las estructuras co~ sideradas, deben ser modeladas por elementos finitos de tipo ba~ ra biarticulada o placa triangular (membrana) y son proyectadas para varias estados de carga simultaneos. Se limitan las tensio-nes y deformaciotensio-nes producidas, por criterios de resistencia usu~
les en ingeniería que incluyen restricción en la tensi6n
equi-valente (Hencky-Von Mises) y pandeo.
2. UN ALGORITMO DE OPTIMIZACIÕN CON RESTRICCIONES DE IGUALDAD
En los capítulos 2 y 3 se introduce el algoritmo
matemático que constituye la base del método de optimización es
tructurado en este trabajo.
De acuerdo con este propósito corresponde aqui es
tablecer solamente las ecuaciones fundamentales de dicho
algo-ritmo. Existe, sin embargo, la necesidad de interpretarlas
de
acuerdo al significado físico del problema que representan.
2.1. Formulación del Modelo Matemático
El problema de optimización considerado puede ser
esquematizado de la siguiente manera:
Sea un vector x que caracteriza completamente un
diseiio y que llamaremos vector de diseiio, en tanto que sus m co
ordenadas constituyen las variables de diseiio. Una función
p (X) : ( 2 • 1)
evalua cuantitativamente el mérito de un diseiio.
Frecuentemen-te P(xl es el casto generalizado correspondienFrecuentemen-te al diseiio x.
o
El objetivo es encontrar x
tal que P(x) sea
mí-nimo.
Un diseiio x se llamará factible cuando cumpla con
las restricciones
j : 1 • .e. ( 2. 2 J
Estas restricciones representan por ejemplo
las
exigencias de que el diseiio de una estructura resista ciertas
cargas sin que se produzcan tensiones o desplazamientos inadmi
sibles.
Es entonces, un problema de minimización restrin
gido al dominio de diseiios factibles.
2.2. Un Método de Resolución, para el caso de Restricciones
de Igualdad
En la referencia [13] fue presentado un algoritmo
de optimización que, con el método desarrollado en esta tésis
se procura generalizar. Se refiere, el primero, al caso partic~
lar, del problema de optimización planteado, en que las
restric-ciones
son todas del tipo cj(~J
=D.
Es conocido que este problema está asociado a
la
minimización, sin restricciones, de la función de Lagrange
q>(x,À)
= p (X) +t
í:
j=l
Àjc.Cxl
J-donde las Àj son variables introducidas por conveniencia.
( 2. 3 J
La resolución de este problema conduce a la del
sistema:
t:.:.i
pi
+ í:À
=
o
i=l,m
j=l
j
a
xi ( 2 • 4J
cj =
o
j = 1,
t C 2. 5J
para las variables
Xy À
Estas ecuaciones (2
.4)y (2.
5)son condiciones ne
cesarias
que
verifica el optimo x
• odel
definido en(2.ll
oy (2.2). Es decir, existe À
tal que
problema
o o( x , À
J es solución del sis
tema anterior. À~ son los parâmetros de Lagrange.
Basicamente, el método de la referencia [13]
con-siste en construir una sucesión de vectores {xv} v=l,2,3, .•• d~
finida por una ley de recurrencia que asegura una disminución mo
de
la
función
P(xl,
al
mismo
tiempo
que
in-nótona
tenta , que se continuen verificando las relaciones c
= O,
va-jliendose de una aproximación lineal.
Una fórmula de recurrencia
solo puede ser útil para nuestro propósito si, cuando consigue
oalcanzar el punto
~donde se produce el Óptimo, una nueva ite
ración no modifica el vector x,
observando l"s ecuaciones de Lagrange (2, 4)
yprocurando satisfazer la propiedad anterior puede pensarse
en
utilizar la siguiente definición del coeficiente de redimensio
nado:
\/ !l
(l-cx
J
l: ( 2 • 7)j=l
es un
parâmetro introducido para controlar la
conver-gencia
y À\/es determinado en cada iteración de modo que
satisfaga las restricciones. En efecto, si en la iteración
\/ + lX
es
\/ o
x
= x
las ecuaciones de Lagrange son verificadas
yresulta
·v
·
v+l
v
C, = l o sea x
= x ; siempre que el mecanismo de definición
]. \/
enunciado para
Àlos parâmetros de
asegure la convergencia
oLagrange
~,
de esta sucesión a
A los efectos de explicitar como se consigue el~
gir cx\/
yla sucesión
À \/imponiendo las condiciones anteriores,
se transcriben algunas relaciones obtenidas en la referencia ci
ta da,
Para la variación en x se tiene, de acuerdo a la
fórmula de recurrencia (2 .6)
y(2,
7J\}
[,',X. )
].
y
para la variación de P ( xl del diserio \/ al v+l
(,',PJ \1 =
(cx -ll P(~
\/
[
v
)+ .i: m]. = l
( 2 • 8 J
( 2 • 9
J
(*) \1
debe ser interpretado en todos los casos como un Índice
ynunca como un exponente. Este vale para todo el presente
trabajo.
El incremento en el valor de las restricciones es j=l,R. (2.10) o, sustituyendo (2.8) y o C
a? -
1 l [~
(:e
jf
x
~
+~
i=l xi 1 i=lConviene entonces definir
m í: k=l :l e \/
(aç)
X~ j=l,R. j=l,R. k=l,R. j=l,R. (2.11) (2.12) (2.13)Se puede entonces transformar (2.9) y (2.11) en
Dividiendo (2.15) por (2.14) \) (llcj)
(llPJ"
(2 .14) j=l,R. (2.15) j=l,R. [2.16)P[x"J-$"
- j j = 1.t
[2.17)V
Este sistema de ecuaciones lineales en
À ,puede
V V
ser resuelto, una vez conocidos CAcjl
y CAP) . Es suficiente a
hora, elegir estas valores de acuerdo a los criterios enuncia
-dos anteriormente. Es decir, los incrementas CAcj)v
=-cjCxv)de
V
modo de corregir el errar en las restricciones, y CAP)
un
va-lor negativo para imponer una reduqción de peso. Estas dos
pro-pósitos estan vinculados; si
va
1la variación provocada en
neal sobre Acj.
se
V
X
selecciona una reducción excesi
hace fracasar la previsión
li-Finalmente, la fórmula de recurrencia queda,
de
acue rd o a ( 2 . 14
J y ( 2 , B J : ·.
V
(Ax.)
l
(2.18)
Una iteración consiste en elegir (AP)v, resolver
V
el sistema C2.17) para
À,usando luego esos valores para calcu
V+ 1
lar x
mediante ( 2. 18).
Una discusión mas amplia de este método de
opti-mización con restricciones de igualdad se encuentra en la
refe-rencia [13], incluyendo ejemplos de aplicación.
3.
OPTIMIZACIÕN CON RESTRICCIONES OE OESIGUALOAO, UTILIZANDO
VARIABLES OE DESVIO
3.1. Introducción del Concepto de Variables de Desvio
El problema general planteado en la sección 2.1
minimizar
con las restricciones
m
P(x)
= Z: p Xi i
i=l
j = l , i
es equivalente al siguiente problema
minimizar
con las restricciones
donde
y mP(x)
= Z:p
X i ii=l
j=l,i
j = 1 , i ( 3. 1)( 3. 2 l
( 3. 3 l ( 3. 4 l ( 3. 5 lEsta Última definición, representada por las igua~
dades (3.5) permite, en consecuencia, reducir el problema gene
-ral al caso resuelto en la sección 2.2, que trata con restriccio
nes de igualdad exclusivamente.
El casto de esta transformación es haber agregado
a las m variables xi'
i
variables zj. Aun mas, desde el punto de
vista cualitativo, las variables zj sonde naturaleza diferente
a las
xi ycarecen de un significado físico directo.
Una aplicación, sin mas, del método de la sección
2.2 no darfa resultado debido a
3P
~ - = O (o pj=Dl
az
ylas fórmulas
b 1Js.
que, para las variables zj'
es
de recurrencia serían inaplica
-Sin embargo vamos a mostrar que es posible
desar-rollar
un algoritmo similar al anterior, efectuando las
modifi-caciones necesarias para evitar los problemas anotados. Esta pu~
de ser considerado una innovación aportada por el presente traba
j o •
Considerando la función de Lagrange asociada al problema establecido en (3.3) y (3.4) R, cJ>'(x,z,À) = P(xl + 1: j = 1 Àjc'(x.zl j - - ( 3. 6 J
se transforma el problema general en la resolución del sistema:
R, ac pi + 1: Àj
~
=o
i=l,m ( 3.7J
j=l Àj zj =o
j=l.R. ( 3. 8 J e j ( ~ J + 2 zj =o
j=l,R. ( 3, 9 Jpara las variables x.z y À,
Las ecuaciones de Lagrange (3.7) y (3.8) junto con (3.9) constituyen una condici6n necesaria que verifica el
- o
optimo x del problema general definido en (3.1) y (3.2), Es de cir. existen ~o y ~o tales que
(~º-~º-~º)
esÀ
º
-sistema de ecuaciones. j son los parametros
solución de este de Lagrange. Se define ahora una sucesión de vectores
\/ \/ \/ \/
W = ( X 0
z
0 À )por una ley de recurrencia que se explicita a continuación.
o sea =
(av-ll
[1+
~
j = 1 1= l.m j=l.R. 1=1.m j=l.R. (3.10) (3.11) (3.12) (3.13)donde K y
av
son parâmetros íntroducidos para controlar la con-vergencia.Se establecerá, mas adelante, un mecanismo para
• - ÀV V
calcular los terminas de la sucesion. y otro para
a .
Las fórmulas de recurrencia anteriores fueron g~ neradas procurando relaciones de tipo
V f. (w.
J
l l
(en que f. (w) son funciones que definen
l • V
propiedad de que cuando ~ converja, lo
la recurrencia), con la o
haga al vector ~ que
satisface las ecuaciones de Lagrange (3.7), (3.8) y (3.9).
V
En efecto si
w
tiene lÍmitew*,
tomando límitesen la igualdad anterior se deduca
lim f. (wvl = O
v+oo l
-y si fi(~J es continua, se tiene
f.Cw*J = O
l
-En consecusncia, con la recurrencia elegida en
V
(3.12) y (3.13), si existe el lÍmite de
w ,
en ese puntow'~
seanula el parêntesis recto en (3.12), en la hipótasis (a*-1) y
x~ no nulos, verificândosa asi la primera ecuación da Lagrange
(3.7); y tambien se anula el ·producto
À~z1
en (2.13) lo cualconstituye la segunda.
Luego, el lÍmite
w*
de wv coincide con el Óptimoo
w
definido por las ecuaciones de Lagrange, si cumple (3.9)A continuación se describa una elección de Àv
que procura hacer
=
o
j = 1 , l', (3.14)para todo
v,
y dentro de una previsión lineal de las variacionesLas igualdades (3.14) quedan aseguradas si se sa
tisfa2en las dos condiciones:
i) c'Cx
12
1)=
o
j= 1 ,
tj - ~
ii)
' [ V V)=
o
implica
C' ( XV+l
v+1
1o
c j
~':
j -
'2
-
=
para
j =
1. tLa primera condición Cil se satisface comen2ando
con un diseno factible x
1 ydefiniendo
2
1= /-c.Cx
1)j J - j = l , i
La segunda condición (iil equivale a decir que
Si
es
V / V '2j =
-c.Cx l
J -V V ÔC' ( X , 2 ) = 0 j - -j = 1 ,t(3.15)
j =l,t
Adoptando una aproximación lineal (indicada
por
~i
para las restricciones
ypara la función 2
2
, se obtiene
Ô V
V m ( e
j)
V V V(llcj'l
~ E ~llx.+22jllzj
i=l
xi
1j = 1 ,
t
(3.16)
sustituyendo aqui las expresiones (3.12)
y(3.13) queda:
m ÔC
V m i ÔC.
V Ô e)V
X~Cbcj'Jv~cav-1) [
l: ( ~ ) x~+ l: E(a1") (~
1i=l axi
1i=l k=l
xi
xi
pi
j = 1,
.e,
(3.17)
yteniendo en cuenta (3.15):
VCllc'lv~cav-1) [
~
(:cj) x~+ ;
j
i=l
xi
1i=l
j = 1,t
(3.18)
Para simplificar la notación se define:
m ( ~ )
VB
V=
Vj=l,R.
(3.19)i:
1a xi
xi
j
V V V Vm (ªck) ( ~ )
xi
- K Vo
f3
kj =
1:1axi
axi
pi
LCj Kj
k=l,R.
j = l,R.
(3.20)donde
" # j " jEs posible ahora escribir
(3.18)en la forma
j = l,R.
(3.21)De acuerdo al propósito de obtener una nueva con
figuración factible, representado por õcj = 0, se debe elegir
Àv de modo de satisfacer.
R, i:
"=
1j=l,R,
(3.22)Es necesario entonces, antes de redimensionar ~s
V
V V
vectores x
yz , resolver este sistema lineal en
À •El algoritmo ideal, en
cera en cada iteración solo puede ser
que (õc'.lv es exactamente
J
alcanzado efectuando pa
-sos infinitesimales; aun asi los sucesivos errares pueden
ser
acumulativos. Nuestro algoritmo, de variaciones finitas,
queda
definido por la relación de recurrencia
(3.10), ypor el
siste-ma
(3.22).Es con respecto a estas relaciones que deben ser ana
lizados, por tanto, los problemas de factibilidad
yconvergen
-eia, lo que se hace en las próximas secciones.
Se observa también, que en este algoritmo final
V V V
el redimensionado del vector de diseno.
V
3.2.
Elección Oinámica del Parámetro de Relajación a
La fórmula de recurrencia
(3.10)ha sido utiliza
da por Kiusalaas
[10]
yotros
[14],
adaptando un valor para
a,determinado empiricamente, mi entras que Segenreich
[12, 13]con
sigue asegurar
cada i te raci ón
una reducción monótona de
V
el valor apropiado de
a
casto, calculando
en
Aqui se tomará un valor
av
< 1,diferente en
ca-da iteración,
yatendiendo a los siguientes requerimientos:
V
iJ
validez de la aproximación lineal en ócj
Habiendo calculado
Àv,riable de diseno aparece proporcional
biando
(3.12)en la forma
V (a V -1) V Vóxi =
Vi Xi
R, Àv(ª
r
V E jc.
donde
V. =
1 +pi ax~.
1j=l
la variación en cada va
-Va
(a-ll. En efecto, escri
i =
1,m
(3.23)i =
1,m
(3.24)En la sección anterior, en
(3.16),se utilizá una
aproximación lineal de la función cj. Evidentemente los result~
dos posteriores serãn válidos en la medida en que esta estima
-ción sea aproximadamente correcta. A los efectos de conseguires
ta condición vamos a limitar la variación del vector x por:
(3.25)
suministrando un valor para t
determinado por las condiciones
Xdel problema (tipicamente
0,2).siendo
= [~
óx~2J
1/2i=l
1basta elegir
t X m \/2 \/ 2 1/2 [ l:vi
xiJ
i=l
(3.27) \) + 1iil permanencia de x
en la región factible
\)
El propósito de mantener cjC~ J nulo para todo
V(sección 3.1, (3.14)) esta condicionado por las aproximaciones
\) \)2
lineales de nc.
yn(z
lasumidas. Es preciso pues, analizar s~
J j
gÚn el esquema final que el algoritmo adapta cual es la relación
entre los
Àvobtenidos de
I<. l!, \) \) l: f\jÀI<. =
1<.=l
13~
J j = 1 , l!,y
la factibilidad de los sucesivos disenos generados.
Para ésto establecemos la igualdad sigui ente ,qu,e
equivale a la anterior
yes, por tanto, independiente de cual
-quier aproximación:
j = 1,t (3.28)
Si se elige
a"
de modo que
para todo
jtal que
À\/>O
j
(3.29)
se deduce de
(3.28),en la hipótesis cj C~"J
< D,que
para todo j tal que
Àv >O
jSi la limitación (i) asegura una buena
ción de nc" por Vc"j .nx", entonces
(3.30)significa que
j -
-sulta acatada por t ·lcjcx"J
! .
c
-C 3. 30)
aproxima-\/nc
jre-En resumen (3.29) implica que la máxima variación relativa permitida para cada restricción es
V lineal de los bcj.
t
c en una previsión t es un parámetro cmenor que
l
la previsión para lossuministrado como dato y si es
V+l
cj es que sean todos negat!
vos (factiblesJ.
nes asociadas a
En (3.29) y (3.30) se han exlcuido las restriccio
Àv negativos porque para éstas es
j
segun se deduce de (3.28), no siendo probable. en consecuencia una infactibilidad provocada poresas restricciones.
Para no extender mas este desarrollo se deja para
el apendice 2 describir como se selecciona t
c
i i i ) limitación en las variables de diseno
Es usual tener restricciones de tipo
i=l,m (3.31)
que conviene separar de las restantes restricciones para no au
-mentar el número de operaciones y el tamano del sistema (3.22).
V+l
De acuerdo a (3.23), para que x cumpla con la
V
limitación antedicha es suficiente escoger
a
de modo que:para todo i tal que v~x~>O (3.32)
iv) condición de convergencia
Siendo la convergencia de V bx. 1 a cera,
Jav-11
acatado superiormente.i=l.m
V
Se impone, entonces:
(3.33)
Esta limitación normalmente determina
av
para lasÚltimas etapas de la aproximación.
En definitiva, se adapta el máximo valor
que cumpla simultaneamente (3.27), (3.29), (3.32) y (3.33) pues éste es el que provoca la mayor disminución de cesto, en las con diciones asumidas.
Este valores:
t
= c j = 1,
t
i=l,m
3.3, Modificación para Restricciones Positivas (Infactiblesl
Desde el punto de vista del ingeniero, es impor-tante que un proceso de reducción de cesto produzca una
secuen-cia de disenos aplicables, o en otro lenguaje, una sucesión de
vectores en el dominio factible.
En las secciones anteriores se han utilizado las
derivadas de las restricciones para, por distintos arbítrios, con seguir un nuevo diseno factible a partir de uno que lo era. A p~ sar de ésto, debido a la aproximación lineal usada, para 6c~,a! gunas restricciones pueden resultar ligeramente infactibles, es
- ) V+l .
decir positivas (y pequenas para~ . Las igualdades
utiliza-das no son entonces váliutiliza-das para iniciar una nueva iteración. Nos proponemos, en ese caso, realizar un redimen sionado que provoque:
se exige:
\)
-c.(x l
J -
para todo
jtal que
(3.34)
Utilizando, como antes, una aproximación lineal.
\)
para todo
jtal que c.(x)
>
O J-(3.35)
Utilizando la fórmula de recurrencia (3.12)
se
obtiene una ecuación en
~Vque deberá sustituir la
correspondi-ente a la mismo restricción, en el sistema (3.22) que determina
À\).
Esto es equivalente a alterar la definición
de
los coeficientes 8's como sigue:
m
[(~)"J
2'
\)
x·
\)
k
Bjj =
k:l
axk
pk
para todo
jtal
\)que c
j [ ~l
>o
m ( ~ )
\) \) (3.36)8 \)
\)cj
= - 1:1axi
X• -j 1 (a-1)Aqui existe la dificultad que para aplicar
es
-tas definiciones precisamos
a", que solo es determinado cuando
se conoce
Àv.
\) - l
Utilizamos
a
lo podemos asegurar que (3.35)
en
(3.36), yes válida si
3.4. Limitaciones de Tipo xi~ xM,i
en consecuencia
SO:""V-l V
(l = C l .
En la sección 3.2 (iiil fue dicho que cuando
se
requiera obtener una solución del problema de optimización
cu-yas coordenadas no sean menores que ciertos valores
suministra-dos como dates, se ha de adoptar aqui un tratamiento de
estas
restricciones diferente que el usado para las otras. Se quiere
con ésto utilizar la ventaja que proviene de conocer la forma ex
plÍcita de las restricciones de coordenada mínima, lo que no
su-cede con las restantes, y evitar fundamentalmente aumentar el ta
mano del sistema que determina
Àv.
En resumen este tratamiento consiste en efectuar
cada iteración ignorando estas restricciones y solo teniéndolas
en cuenta cuando se limita el valor de
av
por:
V V
para todo i tal que
vixi >O
V+l
lo cual asegura que x.
>tM.xM.
para i=l,m
1 - ~i
(3.37)
(3.38)
tM es un parámetro positivo y menor que l, introducido para
ma-jorar la eficiencia, como se explica mas adelante.
Realizada la iteració~ es decir, aplicadas
las
fórmulas de recurrencia, se determinan las variables que son me
nores que su lÍmite, las que
adoptan este valor mínimo. En las
iteraciones ulteriores estas variables no son mas modificadas
en consecuencia son excluídas de las fórmulas de redimensionado
utilizadas en el proceso iterativo.
No se puede asegurar ahora que cuando el algori!
mo converge, lo hace a la solución del problema origina~
pero
afortunadamente se dispans de un test que permite dilucidar con
rigor esta cuestion, que es descripto en la seccion 4.3.
Detec-tada la situación de que se haya convergido a un punto
diferen-te del Óptimo del problema original, queda el recurso de volver
a incluir
todas las variables fijadas y continuar las iteracio
nes. Este caso no es frecuente.
Cuando algunas variables están tendiendo a su va
lar mínimo, es comun
que ésto disminuya el "paso" realizado(por
(3.37)). Permitiendo a esas variables disminuir hasta tM.xM,i'
en lugar de solamente hasta xM . , varias de
• l
valor mínimo en una iteración y se obtienen
ellas alcanzan
su
mayores reducciones
de peso en las iteraciones. Tambien se adapta una zona CxMi
(l+t JxM
.len que las variables son impuestas en su
valor
mí-a , inimo, siendo t
dado en función de las características del
pro-ablema.
3.5. Restricciones Consideradas en una Iteración
Si se eliminan del problema de optimización alg~
nas de las restricciones no activas en el Óptimo (o todas) se
obtiene un problema equivalente, es decir con la misma solución o
x • Desafortunadamente este no puede ser ~levado a cabo porque estas restricciones no son conocidas a priori.
Estas observaciones sugieren el procedimiento usual en optimización estructural, que consiste en seleccionar en
cada iteración un conjunto de restricciones consideradas en el
redimensionado mientras que las restantes son ignoradas hasta la siguiente iteración. Es evidente la necesidad de hacer ésto
pa-ra reducir en algo el tamano, en cantidad de restricciones, de
un problema, de si, ya grande.
Debemos tener entonces un criterio para discer
-nir cuales son las restricciones que se toman como "mas activas"
en cada paso. Un ejemplo inmediato de una estrategia para este
propósito es incluir en el conjunto de restricciones consideradas aquellas cuyo valor supera un nivel E(negativol. Un cri te
-rio peco conservador (E grande) puede provocar problemas dei~
factibilidad, en tanto uno demasiado seguro (E pequeno) puede aumentar el tiempo de computación de forma inadmisible.
Pueden ser elaborados criteriors mejores y
prin-cipalmente mas relacionados con la naturaleza física particular
del problema de proyecto. En la referencia
[1s]
se describen criterias que produjeron buenos resultados en los tests realizados.
3.6, Eleccián del Parámetro de Centro! K
Es conveniente tener un algoritmo que no se alt~
re con un cambio de unidades efectuado en las magnitudes x, cj
y P que definen el problema.
-sionadas, lo que as sismpre posible conseguir. Esta es una sim-plificación prescindible.
Examinando la igualdad (3.11) en que fus introdu
-.
cido K, se concluye que sl producto KÀ as adimensionado; y de
la (3.6), donde los À's fueron definidos, que P y À tienen la
rnisrna dirnensión. Luego sl producto
K'.
= K.P es adirnensionado.Si la Única alternativa es determinar el pararne-tro de contra! K empiricamente, corno el valor que rnejor funcio-na para las funciofuncio-nas de interés, es prefsrible utilizar K' que
K
Las consideracionss sobre elección de K no se ag~ tan aqui evidentemente. En la sección 4.4 se da un critério im-portante para estas efectos.
3.7. El Algoritmo de Iteración
IN I CI ACION
ANALISIS
CRITERID PARA
RESTRICCIONES
CONSIDERADAS
DERIVACION
1.
Suministro del diseno inicial x
1o determina
-ción automática del mismo. El conjunto
vde
variables no fijadas se inicializa
incluyen-do todas las variables.
2.
Cálculo de cj (~
V)para j
= 1, R,,3. Elección del conjunto
a
(de subindices)
de
restricciones consideradas en la iteración.
4.
Cálculo de
6 •Cálculo de los
m ( ~ )
VBv
=-1,:\
axi
j
j Ea
i E Vparámetros
B'
s. Vj
a
X,E
]. j Ea
( *) k Ea
REDIMENSIONADO
7. ResoluciÓn del sistema
6. g •
"Bv Àv
Bv
. " kj . = JEa J kCálculo de
V V Àj ( ~ ) V =l
+ i: V, ].jEa pi axi
Determinación de
a.V Vx.-tMxM .
]..
]. V Vvi xi
k E a .i E
Vt
cREDIMENSIONADO
10.Redimensionado de
X-(cont.J
X.\} + l
= [1+
C a \}-llvi xi
"]
\}i
e:
V i 11.Si tMxM,i
<v+ l
(l+t JxM
DETERMINACIDN
-
X. i <-
a ,iDE VARIABLES
\} + l
FIJAS
se impone
xi =xM,i" Se actualiza el
con-junto
Vde variables no fij adas.
CRITERID DE
Ver
..
4.3DETENCIDN
seccion \}\} + l
Vuelve
1 X = Xa
-
-PARAMETRDS DE CDNTRDL
K'
parámetro de control de convergencia
d
parámetro de control de convergencia
t
tolerancia en la variación de lxl
X ·-·t
et
ae:
e
e
etolerancia en la variación de cj
tolerancia (inferior) en el limite mínimo
de
x1
tolerancia (superior) en el lÍmite mínimo
de xi
criterio para restricciones consideradas
nivel cero para test de Kuhn Tucker
nivel cero de restricciones, para test de
Kuhn Tucker
Sec.
3 .6 (3.33)(3.25)
(3.29)
(3.37)Sec.
3.4Sec. 3.5
(4.9)-(4.12) (4.11), (4.12)4. CONSIOERACIDNES SOBRE CONVERGENCIA DEL ALGORITMO
El algoritmo iterativo desarrollado en el capít~
lo
3,en que inicialmente se consideran x.
z y
Àcomo variables
-
-
-independientes. resulta finalmente en una regla que a partir de
\/
X y i = 1. m j = 1 •
.t
permite calcular
X \/ + 1La variable
À\/es calculada a partir
de
\/
los datos anteriores y
zno es siquiera calculada.
Este esquema final conserva la propiedad siguie~
te: si x\/ tiene lÍmite. éste satisface las ecuaciones de Lagra~
ge
(3.7J y
(3.8)y la de factibilidad
(3,9).Esta propiedad fue
mencionada en la sección
3.1y es ahora demostrada, en el
apen-dice
2,para el algoritmo definido por
(3.10)y
(3.22).4,1,
Condición de Kuhn-Tucker para el Problema Considerado
Las conocidas condiciones de Kuhn-Tucker
[1]
p + i
l+m
,: À j=l j ( 4, lJ ( 4, 2J
constituyen una condición necesaria, que es verificada por
el
vector xº solución del problema general definido en
(3.11y
(3.2).Anotamos aqui que en estas ecuaciones intervienen
todas las restricciones; en consecuencia, si pretendemos excluir
las de tipo
( 4. 3 l
ellas deben ser alteradas.
En el apéndice 3 se demuestra que la condición de
Kuhn-Tucker para el problema general definido en (3,1) y (3.2),
cuando se excluye del conjunto {cj} las restricciones
de tipo
(4.3). es: R,
acj
pi
+,:
Àj
=
Dsi
X, >XM .
( 4. 4J
j=l
ax.
i i . i i = l ,.m R,~
pi
+ ,:Àj
>o
si
X,= xM,i
( 4. 5)j=l
axi
iÀj
>o
si
c j (
~J =
o
( 4, 6)j=l,R.
Àj =
o
si
C • (X) <o
( 4. 7) J-4.2. Proceso de Separación de Restricciones
Las restricciones de valor cero en x las llamare
mos ''activas en x'', entanto que seran ''inactivas en x1
' las que
toman valor no nulo,
El proceso de optimización seria considerablemen
te menos complejo si se conocieran a priori cuales son las
res-tricciones activas en el Óptimo.
La propiedad, establecida entre las condiciones
de Kuhn-Tucker, de que estas restricciones estan asociadas a p~
rámetros de Lagrange no negativos ha sido utilizada rscienteme~
te en algoritmos iterativos de optimización para reconocerlas.
Uno de estas algoritmos. propuesto por Kiusalaas
[ J
10
calcula ciertos parametros À .• que finalmente convergerán
-
-v
- o J
a los parametros de Lagrange, Àj• de manera que las
restriccio-nes pertenecientes a un conjunto C resulten activas para el vec
tor obtenido en la iteración. Ese conjunto C es determinado por
un proceso de separación de restricciones, por tentativas
suce-sivas, descripto a continuación.
Se comienza incluyendo en C todas las restriccio
-v
nes y calculando los Àj correspondientes. Las restricciones aso
ciadas a
X"~
negativos son ahora excluídas de C. Este procsso se
• -V
Rizzi [14] utiliza el método iterativo de resolu
ción de sistemas lineales Gauss-Seidel para realizar
eficiente-mente este procedimento de determinación de
C
por tentativas su
cesivas.
Vamos a mostrar en lo que sigue, que en el
algo-ritmo descripto en el capítulo 3 se realiza automáticamente
el
proceso de separación de restricciones activas en el Óptimo,
Con este propósito consideramos nuevamente
una
propiedad de
los Àj calculados como solución del sistema (3.22)
\)ya utilizada en la sección 3 .2 ( i i i l , esta es:
=
2K(a-l)À\/cj(/J
j -
j=l,i
( 4 • 8 Jy anotamos otra vez, que estas igualdades son directamente equ!
valentes al sistema (3.22) y en ellas no está envuelta ninguna
aproximación por derivadas.
\)
Siendo x
un punto en la región factible,
es
cj(~\/J
~
O, y dado que K y (a\/-1) tienen signo determinado
(+y-resp.J, el signo del segundo miembro de (4.8) depende
unicamen-\/
te del signo de Àj·
En consecuencia el signo de
con el ángulo entre
~c~ y la dirección de
de la siguiente forma
(*J:
À~ está relacionado
/:ix\/ en la iteración,
17 c j
À\)>
o
j
(*l Se omite por
les aparecen
+ \) Xc =O
j \)?cj ,/:i~
\)>
o
À~
J17 c j
<
o
\). 1 X \) X•
\) \)?c j ./:i~
c =O
j
<
o
\) \)+ 1claridad dibujar los vectores x
y x
los
representados por puntos,
o
Como en el punto x
el sistema lineal suministra
oel vector À
(apéndice 2) es de esperar, por la continuidad
de
o
las funciones envueltas, que exista un entorno del punto x
en
que todas las componentes de! vector Àv tengan igual signo
que
las de ˼.
Si el punto
X Vraciõn V se realiza un avance
pertenece a tal entorno, en la it~
hacia(*J las restricciones acti
-vas en el Õptimo
yalejándose de aquellas que no lo son. Se con
V
seguirá asi que las primaras sean finalmente activas para x .
Es importante destacar que obtener unicamente la
situaciÕn mencionada no resuelve el problema de hallar el
Õpti-mo. La convergencia del algoritmo debe ser atribuida a las
fór-mulas de recurrencia
yen particular a los términos extraidos
de las ecuaciones de Lagrange, en ellas introducidos. En efecto
si llamamos
Cal conjunto de restricciones activas en el
ópti-a
mo, la intersección de las superfícies cj(~J =
O para cjECa
es
un punto o una superfície dependiendo del problema considerado.
4.3. Criterio de Detención
Las condiciones de Kuhn-Tucker establecidas en la
sección
4.1suministran una forma de verificar si un par (xv ,Àvl
- o o
es una buena aproximacion de (x ,À J.
El proceso de aproximación se considera
termina-do cuantermina-do
11+
j=l
~
si
( 4. 9)(1+
~
V
V)
i = 1., mÀj(acj)
>-e si
V
(4.10) X•= xM,i
j=l pi ax 1
-
1.Àv
_,i_
>-
e
si
lcj(~VJJ~ec
(4.11)s
V
j=l,R.
l~I
-
<e
si
c
j ( ~V
J
<-e
c
(4.12)donde S = max{À~,j=l,i} normaliza las Últimas desigualdades.
ce,e )
establece el nivel de exigencia con que se
epretende aproximar el óptimo.
4.4. Discusión del Sistema que Determina
ÀvEn cada iteración
Àves calculado como solución
del sistema
(4.13)
donde
k=l,i
j=l,i
(4.14)
k=l ,i
j = 1, ij=l,i
De la definición de B~j se sigue que Bv
es simétrica.
Cuando dos funciones restricción son proporcion~
les,
e (x) = a.e (x)
(4.15)
p - q
-V
las dos filas correspondientes en la matriz B
son tambien
proporcionales, excepto para los elementos de la diagonal, es de
-cir
Bv
Vj = 1 , t
jilp
j ilq
(4.16)
pj = a ,B qj
sv
pq
,ia,B
VBPP
,ia ,S
qp
los sumandos V
nal de
B,
y-Kc~ que intervienen en los elementos se transforman en igualdades si V C ( X ) p •
=a.e (xvl = o
q -de la diago-(4.17)En resumen, teniendo dos funciones de restricción proporcionales, basta que éstas se tornen activas para tener un
sistema singular. En particular el sistema es indeterminado ya
que
Sv
=a
Sv
p • q (4.18)
Esta situación es encontrada en optimización estructural cuando se proyecta una estructura que presenta sime -tria geométrica y carga con la misma sime-tria. En este caso las restricciones de tensión en barras simétricas(*), por ejemplo, son funciones identicas. La dificultad mencionada anteriormente puede ser evitada aqui, automaticamente, comparando los valores de todas las restricciones para ~V. Si dos valores coincidem,s~ penemos que las dos funciones son idênticas y eliminamos una de
e 11 as,
Un recurso que puede ser empleado siempre que B
se presenta "mal comportada" (próxima a singular) es aumentar el parámetro de control K que interviene en los términos de la dia gonal. K adquiere con esta observación mayor significBdo.
S. OPTIMIZACION CON FUNCION OBJETIVO NO LINEAL
El algoritmo desarrollado en el capítulo 3 fue
formulado en la hipótesis de que la función de mérito sea lineal. Este es el caso mas común y de mayor interés en optimización es tructural.
Existen. sin embargo, algunas situaciones en el
proyecto de estructuras en que se hace necesario optimizar una
función no lineal. Cuando se abandona el presupuesto de una ge~
metr{a fija suministrada como dato y se pretende encontrar la
major geometria simultaneamente al dimensionado mas apropiado , se presenta el caso de función de mérito no lineal. En efecto,la optimización geométrica puede ser abordada discretizando la es-tructura por elementos finitos y adicionando a las variables de diseno ya utilizadas (áreas transversales de barras, espesores de placas), las coordenadas de los nodos.
Otros ejemplos de optimización no lineal se
en-cuentran en el proyecto mecánico, diseno de redes eléctricas o
hidráulicas, asi como en optimización de estructuras de casto no proporcional al volúmen o de materiales de mas dificil modelado que las estructuras consideradas en este trabajo.
Vista la conveniencia de disponer de un algoritmo de optimización no lineal y teniendo en cuenta que el algo
-ritmo descripto en el capítulo 3 puede ser modificado para P no
lineal sin alterar la idea básica, se prepará una versión dife-rente del programa para este caso.en la cual
i = l.m ( 5. 1)
Aqui debe considerarse la posibilidad de que pi
sea nulo, lo que impide la utilización directa de la fórmula de
recurrencia (3.10) como fue presentada. Inclusive, es posible
que todos los p.
J sean nulos en el Óptimo cuando se tiene un
ex-tremo interior (cuando P es lineal los exex-tremos solo pueden es-tar en la frontera de la región factible).
Esta dificultad es resuelta sustituyendo la re
V • Ca -Il i•I.m ( 5 • 2) donde y si si
en que e determina un criterio numérico para reconocer una deri p
vada nula.
Repitiendo el razonamiento de la sección 3.1, a partir de (5.2), se obtiene m ac V V
Bv
i:l(ax7) X :' pi j • l ' i ( f: ) ( 5 • 4) j 1-v
piE(~)
V(~)
V X~ k•l,iBv
V • 2Kc/\j ( 5 • 5J
kj-v
j • l ' i i • l a xi axi piCon estas definiciones, el algoritmo esquematiza-do en la sección 3.7 puede ser aplicaesquematiza-do.
En el capítulo 6, entre los ejemplos de aplica -ción, se incluyen algunos con función de mérito no lineal que muestran la efectividad del algoritmo aun para el caso de extre-mo interior.
Puede valga
sustituirse aqui p~/p~ por una variable O si [Pvi]<e , y l en caso contrario.
- p
6. EJEMPLOS OE APLICACION OEL METOOO, CON FUNCIONES EXPLICITAS
Aun cuando la eficiencia de un optimizador de es
truturas solo puede ser evaluada cuando aplicado a problemas es
pecificamente estructurales, es evidente la necesidad de exper~
mentarlo frente a ejemplos simulados en la etapa de desarrollo.
Los ejemplos siguientes ilustran tambien sobre la naturaleza g~
neral del algoritmo.
6.1. Minimización de una Función Lineal de dos Variables, con
Tres Restricciones Explícitas
El problema:
I) minimizar
para x tal que
2) 4-x -2x <O
1 2
-31 2+x -4x <O 1 2
-fue elegido por simplicidad
yporque siendo 2 el numero de
va-riables, es posible graficar en el espacio de diseno: el vector
\)
x ,
el dominio factible, las superfícies cj
=O
ylas curvas de
peso constante. De este modo se puede visualizar el camino
de
aproximación al Óptimo, asi como las modificaciones que provo
-can las variaciones en los parámetros de control.
donde
La solución exacta del problema I es:
O
x,
=
O x2=
2 - f i=
o.sese
2+/z'=
1. 70 71 2s-lz
=
2 .2929 2punto mientras que
(3)es satisfecha con desigualdad estricta.
Los parámetros de Lagrange valen:
˼ =
.rz
"'
0.3535l 4
˼ = - 4 -
3-./z
"'
0.39642
Comenzando del punto x
1=(4.6, 1.8)para el
cual
P
= 6.4se aplicá el algoritmo con
t = 0.2 X t c = 0.8
e= o.o7
d= 2.5e
= 0.02 c K' = 1.5para los cuales el criterio de detención declará terminado
el
proceso de aproximación completada la iteración
12,cuyo
resul-tado es
X = 0.5857x2
= 1.7071 p = 2.2929l
64%de reducción
de
peso en
12iteracio-nes
º1
= 0.96 X 10 - 4º2
= O. 14 X 10 - 4c3
-4.24Àl
= O. 3536À2
= 0.3964À3
= O. 16 X 10-4Los
sucesivosvalores de
Xobtenidos, están graficados en la
f~-gura
5. 1para los parámetros establecidos anteriormente
y·
pa
-ra
los
mismos, modificando unicamente
K' ( =5
O.J. Se observa
el efecto de una mayor "atracción" de la trayectoria por las res
triaciones activas en el Óptimo provocado por un aumento en
K,
ya
justificado en la sección
4.2.Las restricciones activas en el Óptimo, tornand~
se activas temprano en el proceso de aproximación, pueden prov~
car avances demasiado pequenos siendo esta característica una de
3 o • 3
o
1
2
Figura 6 .1
o=O
3 oK'•I.S
1<'•50.
1 oe
=O
3 oxl
ul e,o 5 o 4 o 3 o o 2
