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aLista de Problemas de Fis403
— F´ısica Geral III—
IFQ/UNIFEI
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oSemestre de 2013
Quest˜
oes
1) Quais s˜ao os vetores que comparecem na equa¸c˜ao F = qv×B que formam sempre pares ortogonais entre si? Quais s˜ao os que n˜ao precisam ser sempre ortogonais?
2) Imagine que vocˆe est´a sentado numa sala com as costas voltadas para uma parede da qual merge um feixe de el´etrons que se move horizontalmente na dire¸c˜ao da parede em frente. Se o feixe de el´etrons for desviado para sua direita, qual ser´a a dire¸c˜ao e o sentido do campo magn´etico existente na sala?
3) Se um el´etron n˜ao sofre desvio algum ao atravessar uma certa regi˜ao do espa¸co, podemos afirmar que n˜ao existe campo magn´etico nessa regi˜ao?
4) A disposi¸c˜ao de campos el´etricos e magn´eticos cruzados (veja o exemplo feito em sala e a se¸c˜ao sobre o tubo de raios cat´odicos (fig. 33-14) do Halliday & Resnick) ´e muitas vezes chamada de filtro de velocidades. Como ´e que se pode justificar esse nome?
5) A equa¸c˜ao τ = m×B mostra que n˜ao existe torque atuando sobre uma espira de corrente quando seu eixo faz um ˆangulo de a) 0◦ oub) 180◦ com o campo magn´etico externo. Discuta a natureza do equil´ıbrio (se ´e est´avel, indiferente ou inst´avel) para cada uma dessas posi¸c˜oes.
6) Podemos aplicar a lei de Amp`ere para um percurso de integra¸c˜ao que passa atrav´es de um condutor?
7) Um fio longo retil´ıneo ´e percorrido por uma corrente estacion´aria i. A lei de Amp`ere vale no caso de um caminho de integra¸c˜ao que a) engloba o fio mas n˜ao ´e circular? b) que n˜ao engloba o fio? c) que engloba o fio, mas n˜ao pertence a um ´unico plano? Discuta.
8) Nos circuitos eletrˆonicos ´e comum enrolar um no outro dois fios que transportam correntes de mesma intensidade e sentidos opostos, a fim de diminuir a influˆencia de seus efeitos magn´eticos em pontos afastados. Por que isto d´a resultado?
Problemas
1) Um feixe de el´etrons de energia K ´e produzido por um acelerador. A uma distˆancia d da janela de sa´ıda do acelerador e perpendicular `a dire¸c˜ao do feixe, coloca-se uma placa met´alica. Determine o valor m´ınimo do campo magn´etico que devemos aplicar na regi˜ao para impedir que os el´etrons atinjam a placa. Como deve estar orientado o vetor B? Considere conhecidas a massa m e a carga e do el´etron. Resp: Bmin=
2mK e2d2
1/2
2) Uma part´ıcula neutra inst´avel encontra-se em repouso num laborat´orio onde existe um campo magn´etico uniforme de m´odulo B. No instante t = 0 a part´ıcula decai em duas de mesma massa m. Uma delas tem carga +q e se desloca num plano ortogonal ao de B.
a) Qual a carga da outra part´ıcula?
b) Qual a dire¸c˜ao e o sentido da velocidade da segunda part´ıcula relativamente `a primeira? c) Depois de quanto tempo elas colidem? Resp: a) −q b) −v c) πm
qB
3) Um p´ositron de 4,5 keV penetra num regi˜ao de campo magn´etico uniforme de 0,10 T fazendo um ˆ
angulo de 80◦ com o vetor B.
a) Mostre que a trajet´oria ser´a uma h´elice com eixo na dire¸c˜ao de B.
b) Determine o per´ıodo de rota¸c˜ao do p´ositron, o passo p e o raio r da h´elice.
Resp: b) T = 3,6.10−10s, p= 2,5 mm, r= 2,3 mm
ao plano do papel. Nela penetram trˆes part´ıculas de mesma massa m, descrevendo as trajet´orias mostradas na figura ao lado, sendo que duas delas s˜ao arcos de circunferˆencia. A part´ıcula que descreve a trajet´oria de raio a/2 possui carga q = +e, onde e ´e a carga elementar. Determine: a) O sentido do campo magn´etico.
b) O valor das outras duas cargas em fun¸c˜ao de e, explicitando o sinal. Resp: a) B entrando no plano do papel. b) q2= 0, q3= −2e.
2 a/2
a/4 1
3
5) Um condutor no formato de uma espira quadrada de lado L conforme mostra a figura, est´a imerso numa regi˜ao de campo magn´etico uniforme cujo vetor indu¸c˜ao
magn´etica ´e dado porB = B0z. (Bˆ 0 ´e uma constante e z perpendicularˆ
ao plano do papel.) Essa espira ´e percorrida por uma corrente estacion´aria i e os segmentos retil´ıneos que a comp˜oem est˜ao enumerados de I a IV. Determine:
a) A for¸ca resultante sobre a espira mostrada.
b) A for¸ca resultante sobre um condutor formado apenas pelos segmentos I e II, isto ´e, pelo condutor obtido ap´os a remo¸c˜ao dos segmentos III e IV.
Resp: a)F = 0, b)F = iB0L(ˆx − ˆy) x y IV II i I III
6) A um fio condutor de comprimento L = 10 m ´e dada a forma de uma espiral logar´ıtmica e disposto de tal forma que, num determinado sistema de coordenadas, sua equa¸c˜ao ´e descrita porρ = e2ϕ, em coordenadas cil´ındricas, no plano z = 0. O condutor ´e percorrido por uma corrente de 5,0 A.
a) Determine a for¸ca que atua sobre o fio, se na regi˜ao existir um campo magn´etico externo B = ˆ
z 2,5 G.
b) Determine o campo magn´etico produzido pelo fio na origem do sistema de corrdenadas. Resp: a) F= (1,13 ˆx −0,38 ˆy)10−2N
7) A figura ao lado mostra um fio condutor formado por dois segmentos retil´ıneos e um arco de circunferˆencia de 90◦. Ele ´e percorrido por uma corrente I e se encontra
imerso numa regi˜ao de campo magn´etico uniforme cuja indu¸c˜ao magn´etica tem m´odulo B0 , dire¸c˜ao perpendicular ao plano do papel e sentido saindo
deste ( ).
a) Calcule a for¸ca resultante F sobre o fio; b) O campo magn´etico produzido por I em C.
Resp: a)F = 2IRB0(ˆx − ˆy), b)BC= −
µ0I 8Rzˆ x y I R R R C B
8) Um fio infinito disposto na horizontal (adote como sendo o eixo y do seu sistema de coordenadas) ´e percorrido por uma corrente I no sentido positivo do eixo y. Uma espira quadrada de lado a, feita por um fio cuja massa por unidade de comprimento ´eλ ´e disposto no plano vertical yz paralelamente ao fio, com seu lado mais pr´oximo do fio a uma distˆancia a do fio infinito. Qual deve ser a corrente na espira para que ela permane¸ca em repouso? (Considerar a a¸c˜ao da gravidade). Resp: I0=16πaλg
µ0I
9) Um fio infinito ´e percorrido por uma corrente I e encontra-se num plano horizontal. Num plano vertical que contem o fio, logo abaixo dele, ´e colocada uma espira quadrada de arestaa e densidade linear de massa µ, com sua aresta superior paralela ao fio infinito e a uma distˆancia a dele. Que corrente I0 ´e necess´aria na espira para mantˆe-la suspensa?
10) Uma b´ussola tende a oscilar antes de alinhar-se com o campo magn´etico da Terra. Considere uma agulha imantada de momento de dipolo magn´eticom e momento de in´ercia I, suspensa de forma a poder oscilar livremente em torno de um eixo vertical, situada num campo magn´etico horizontal
uniformeB0. As dire¸c˜oes dem e B0formam inicialmente um pequeno ˆanguloθ0. Calcule a frequˆencia
angular de oscila¸c˜ao (desprezando o amortecimento) e mostre que sua determina¸c˜ao permite medir |m||B0|. Resp: ν = 1
2π
r |m||B0|
I
11) Encontrando-se a b´ussola do problema anterior na posi¸c˜ao de equil´ıbrio com rela¸c˜ao `a rota¸c˜ao, qual ser´a a for¸ca que atua sobre ela?
12) A Terra se comporta aproximadamente como um dipolo magn´etico. Determine o seu momento de dipolo sabendo que a uma latitude de 40◦ seu campo magn´etico vale 0,23 G. Se esse dipolo fosse produzido por uma espira circular com raio um ter¸co do da Terra, qual seria a corrente necess´aria para tal?
13) A corrente num fio met´alico de 10 cm ´e de 2,0 A na dire¸c˜ao dos x positivos. A for¸ca no fio, devida a um campo magn´eticoB, ´e F = (3,0 ˆy + 2,0 ˆz) N. Se o fio fizer uma rota¸c˜ao de modo que a corrente passe a fluir na dire¸c˜ao dos y positivos, a for¸ca sobre ele ´e F = (−3,0 ˆx− 2,0 ˆz) N. Determinar o campo magn´etico B. Resp: B = (10 ˆx+ 10 ˆy −15 ˆz) T
14) Dois pequenos circuitos, um circular de raio b e o outro quadrado de aresta tamb´em b, s˜ao colocados com seus centro a uma distˆancia a um do outro, a >> b,
dispostos como mostra a figura ao lado. Determine o torque que um exerce sobre o outro se ambos forem percorridos pela mesma corrente I. Resp: Adotando o eixo da espira circular como z e o eixo que contem os centros das espiras como y, o torque sobre a espira retangular ser´a −ˆxµ0Ib
3 4a3 I m1 I a m2
15) Um dipolo magn´etico de momento m e dimens˜oes desprez´ıveis est´a situado a uma distˆancia z acima do plano de uma espira circular de raio R percorrida por uma corrente I. O vetor m faz um ˆangulo θ com o eixo da espira. Determine a for¸ca e o torque atuantes sobre o dipolo. Resp: F= −3µ0ImR
2cos θz
2(R2+ z2)5/2 z,ˆ τ=
µ0ImR2sen θ
2(R2+ z2)3/2, perpendicular ao plano que contem o eixo z e a dire¸c˜ao do dipolo magn´etico.
16) Considere um circuito fechado de raios a e b (ver figura), percorrido por uma corrente I. Deter-mine:
a) B no ponto P .
b) O momento de dipolo magn´etico do circuito.
Resp: a)BP= − µ0I 4ab(a + b)ˆz, b)m = − πI 2 (a 2 + b2)ˆz. P b a I I
17) Os segmentos curvos do circuito da figura abaixo s˜ao arcos de circunferˆencias de raios a e b, enquanto que os segmentos retil´ıneos s˜ao radiais. Sendo i a corrente pelo
circuito, determine o campo magn´etico emP . Resp: B = µ0iθ 4π 1 a− 1 b , saindo do plano da p´agina. P I a b
18) Um disco de pl´astico de raio R possui uma carga total q distribu´ıda uniformemente em sua superf´ıcie. Se o disco gira a uma velocidade angularω constante em torno de seu eixo, determinar: a) O campo magn´etico num ponto de seu eixo;Resp: B = ˆzµ0ωq
2πa2
2z2+ a2
√
z2+ a2 − 2|z|
b) seu momento magn´etico. Resp: m = ωqR
2
4 zˆ
19) Seja uma esfera de raio R e carga total Q girando com velocidade angular ω constante em torno de um de seus diˆametros. Determine o campo magn´etico B no seu centro e os seus momentos magn´eticos quando:
a) a carga estiver distribu´ıda uniformemente em seu volume;Resp: B = ˆzµ0ωQ
12πR, m= ˆz 2 5ωQR
2
b) a carga estiver distribu´ıda uniformemente em sua superf´ıcie. Resp: B = ˆzµ0ωQ
6πR, m= ˆz ωQR2
20) S˜ao dados um plano infinito carregado com uma densidade superficial de cargas uniforme σ e um fio retil´ıneo infinito percorrido por uma corrente estacion´aria I, paralelo ao plano e a uma distˆancia d deste. Um el´etron percorre uma trajet´oria retil´ınea paralelamente ao fio, contida num plano perpendicular ao plano eletrizado e que contem o fio, a meio caminho entre o condutor e o plano eletrizado. Desprezando qualquer efeito gravitacional, determine a velocidade do el´etron (m´odulo e sentido relativamente `a corrente I). Resp: v = πσd
20µ0I
, sentido oposto ao da corrente no fio.
21) Dois fios retil´ıneos infinitos s˜ao dispostos paralelamente entre si a uma distˆancia d. Ambos est˜ao localizados sobre o plano yz e s˜ao percorridos por correntes estacion´arias de
mesma intensidade I. Determinar:
a) O vetor de indu¸c˜ao B21 do campo magn´etico produzido pelo fio 1 onde se
encontra o fio 2 e vice-versa, isto ´e, o vetor de indu¸c˜aoB12 do campo magn´etico
produzido pelo fio 2 onde se encontra o fio 1.
b) As for¸cas F12 eF21, por unidade de comprimento, sobre os fios 1 e 2 devidas
aos camposB12eB21, respectivamente. S˜ao estas for¸cas atrativas ou repulsivas? Resp: a) B12= −B21= µ0I 2πdx,ˆ b) F12/l= −F21/l= µ0I2 2πdy. For¸cas atrativas.ˆ I I y z d
22) Faz-se um plano condutor juntando lado a lado um n´umero infinito de fios retil´ıneos infinitamente longos, com uma densidaden por unidade de comprimento, transportando cada um uma corrente I. A figura abaixo representa um corte transversal nesse plano, mostrando os condutores emergindo da p´agina em ˆangulo reto. As linhas de indu¸c˜ao ter˜ao o formato mostrado na figura.
a) Justifique este fato.
b) Determine o vetor campo magn´etico num ponto qualquer do espa¸co.
- Resp: B =1 2µ0nI.
23) Uma corrente total i0 flui atrav´es de um cabo condutor muito longo de raio a. Este condutor
est´a envolvido coaxialmente por um outro condutor em forma de cilindro vazado, de raios interno e externo iguais a b e c (a < b < c), respectivamente. A mesma corrente i0 flui atrav´es da casca
cil´ındrica em sentido oposto `aquela do cabo condutor interno. Determinar o campo magn´etico a) para ρ < a, b) para a < ρ < b, c) para b < ρ < c e d) para ρ > c. Resp: a)B = µ0i0ρ
2πa2 b)B = µ0i0 2πρ c) B =µ0i0 2πρ c2− ρ2 c2− b2 d)B = 0 .
24) Numa regi˜ao cil´ındrica de raio a do espa¸co existe uma corrente cuja densidade superficial ´e dada por
J = J0
a ρzˆ
ondeJ0ea s˜ao constantes e ρ ´e a distˆancia ao eixo de simetria da distribui¸c˜ao de correntes. Determine
o campo magn´etico B num ponto qualquer do espa¸co. Resp: B = µ0J0a ˆϕ, para ρ < a e B =
µ0J0a2
ρ ϕ, para ρ > aˆ
25) Um condutor cil´ındrico muito longo de raio R produz um campo magn´etico no seu interior dado por B = ˆϕ100µ0 ρ 4R2 π2 sen πρ 2R − 2Rρ π cos πρ 2R , ρ < R.
Determine a densidade de corrente e a corrente total no condutor, bem como o campo magn´etico fora do condutor. Resp: J = ˆz100 senπρ
2R, I= 255 A.
26) Um cabo condutor cil´ındrico muito longo e oco (raio interno a e externo 2a) ´e percorrido por uma corrente cuja densidade ´e dada por
J = I0ρ πa3z,ˆ
sendo ρ a distˆancia ao eixo do cabo.
a) Determine B em todas as regi˜oes do espa¸co.
b) Um fio retil´ıneo muito longo e fino ´e colocado a uma distˆancia 6a do eixo do cabo condutor, paralelamente. Qual deve ser a corrente no fio (indique na figura) para que o campo magn´etico em qualquer ponto situado a meia distˆancia entre o fio e o eixo do condutor seja nulo? P 6a fio fino a 2a Resp: a) B = 0, para ρ < a; B = µ0I0 3πa3ρ(ρ 3− a3 ) ˆϕ, para a < ρ < 2a; B = 7µ0I0 3πρ ϕ, para ρ > 2a.ˆ b) I = 14 3I0.
27) Um tor´oide ´e enrolado uniformemente como mostra a figura. O n´umero total de espiras ´e N e os raios interno e externo s˜ao, respectivamente, a e b. Determine a indu¸c˜ao magn´etica dentro do enrolamento toroidal.
Resp: B =µ0N I 2πr
28) Um cilindro infinito de raio R gira em torno de seu eixo de simetria com velocidade angular ω constante. Determinar o campo magn´etico dentro e fora do cilindro nas seguintes situa¸c˜oes:
a) o cilindro encontra-se carregado com uma densidade superficial de cargas σ;
b) o cilindro encontra-se carregado com uma densidade volum´etrica de cargas ρ0 uniforme;
c) o cilindro encontra-se carregado com uma densidade volum´etrica de cargas ρv = ρ0a/ρ e uma
densidade superficial de cargas σ. Resp: a)µ0σωa ˆz, b)
µ0ρ0ω
2 (a
2− ρ2
) ˆz
29) Um cilindro diel´etrico muito longo e de raio a encontra-se permanentemente polarizado com polariza¸c˜ao radial dada por P = P0
a
ρρ.ˆ Ele gira em torno de seu eixo com velocidade angular constante ω. Determine o campo magn´etico num ponto qualquer no interior do cilindro, n˜ao muito pr´oximo das suas extremidades. Resp: B = µ0P0aω ˆz
30) Determine o fluxo magn´etico atrav´es do contorno retangular mostrado na figura, criado por uma corrente I que flui atrav´es do condutor retil´ıneo muito longo e
muito fino. Resp: ΦB= −
µ0Ih 2π ln(1 + b/a) I6 - a b -6 ? h
