P1 - 03_06_16 Resolução

Prof. Flávio Goulart dos Reis Martins, M.Sc.

flaviogrmartins@ufrj.br

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EEE390 – Fundamentos da Eletricidade

Prova 1 - 03/06/16

Resolução por Rafael Rodrigues Alves (Monitor 2016-2)

1. Enuncie a Lei de Potência e mostre, a partir da Lei de Ohm, suas duas variantes.

(0,5 pt)

 Lei da potência: 𝑃 = 𝑉 × 𝑖 , onde “P” é a potência; “V” é a tensão; e “i” é a corrente  Lei de Ohm:

(eq. I) 𝑉 = 𝑅 × 𝑖 , onde “V” é a tensão; “R” é a resistência; e “i” é a corrente

 A lei de Ohm pode ser reescrita como: (eq.II) 𝑖 = 𝑉

𝑅

Através da substituição das equações I e II na lei da potência, podemos escrever, respectivamente, as seguintes variantes:

𝑃 = 𝑅 × 𝑖2 _{𝑜𝑢 𝑃 =} 𝑉 2

𝑅

2. Defina Energia em função de Potência. Qual a unidade de medida de energia

padrão usada pelas concessionárias de distribuição de energia elétrica? Qual a

relação multiplicativa entre ela e a unidade de energia no SI, Joule? (0,5 pt)

Energia é a integral da potência fornecida ou absorvida em um determinado intervalo de tempo. Ela pode ser escrita pela seguinte equação:

𝐸 = ∫ 𝑃 𝑑𝑡 𝑇

0

Onde “E” é a energia; “P” é a potência; e o intervalo de integração [0, T] corresponde a um intervalo qualquer de tempo.

As concessionárias de distribuição de energia elétrica utilização como unidade padrão para a energia o Kilowatt.hora (KW.h), enquanto no sistema S.I a unidade padrão é o Joule (J) ou Watts.segundo (W.s).

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A conversão entre as unidade KW.h , J e W.s é dada da seguinte maneira: 1 [𝐾𝑊. ℎ] = 1 [𝐾𝑊. ℎ] ×1000 [𝑊] 1 [𝐾𝑊] × 60 [𝑚𝑖𝑛] 1 [ℎ] × 60 [𝑠] 1 [𝑚𝑖𝑛]= 3,6 × 10 6 _{[𝑊. 𝑠]} e 1 [𝑊. 𝑠] = 1 [J]

3. Enuncie a Lei das Tensões de Kirchoff para Circuitos Elétricos. Apresente,

inclusive, a convenção de sinais (1,0 pt).

A lei das tensões de Kirchoff enuncia que a soma de todas as tensões sobre os elementos dentro de uma malha qualquer do circuito é igual a zero. A convenção de sinais estabelece que, dado um referencial de circulação na malha, os elementos que possuem uma diferença de potencial a favor da circulação (positivo para negativo) são tidos como positivos na formulação e os elementos contra a circulação (negativo para positivo) são tidos como negativos na formulação. Vide exemplo:

Para essa malha, com o referencial de circulação “ i ” adotado indicado na figura:

∑ 𝑉𝑘 𝑘

= −𝑉𝐴+ 𝑉𝐵+ 𝑉𝑐+ 𝑉𝐷 = 0

4. Apresente a equação característica que relaciona tensão e corrente em um capacitor.

Esboce graficamente a resposta de tensão e corrente no indutor do circuito a seguir a

um degrau de tensão CC V0 aplicado em t = 0 s. Explique o significado físico destes

comportamentos (2,5 pts).

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𝑉

_𝐿

= 𝐿 ×

𝑑𝑖

𝑑𝑡

Onde:

𝑉

_𝐿 é a diferença de potencial no indutor; 𝐿 é a indutância do indutor; e

𝑖

é a corrente que passa pelo indutor.

Os gráficos de resposta são:

O significado físico do comportamento do indutor é que, em t=0, quando a chave é fechada, o indutor concentrará sobre sí toda a tensão aplicada pela fonte para carregar seu campo

magnético, armazenando energia. A medida que o tempo avança, a tensão sobre o indutor tende a zero e quando isso acontecer a tensão sobre ele também será nula, caracterizando um

curto-circuito enquanto a tensão for mantida, conforme evidencia o gráfico “Resposta da Voltagem”.

Outro comportamento físico do indutor é que este gera um “atraso” na resposta do circuito ao degrau de corrente, não permitindo que a corrente que passa pelo indutor varie quase

instantaneamente de 0 para V0/R , conforme evidenciado no gráfico “Resposta da corrente”.

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 Nomeando os nós:

Pela nomeação dos nós, percebemos que existe um curto circuito entre A e B, portanto, a

resistência equivalente seria zero:

𝑹

𝒆𝒒

= 𝟎 𝜴

6. Utilize divisores de tensão e corrente para determinar a corrente nos resistores

de 15 Ω, 40 Ω e 10 Ω.

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 Nomeando os nós:



Calculando a resistência equivalente do circuito:

o Entre A e B temos resistores em paralelo:

1

𝑅

𝑒𝑞 1

=

1

3

+

1

6

→ 𝑅

𝑒𝑞 1

= 2 𝛺

o Entre B e C temos resistores em paralelo:

1

𝑅

𝑒𝑞 2

=

1

15

+

1

15

+

1

15

→ 𝑅

𝑒𝑞 2

= 5 𝛺

o Entre C e D temos resistores em paralelo:

1

𝑅

𝑒𝑞 3

=

1

30

+

1

40

+

1

30

+

1

30

→ 𝑅

𝑒𝑞 3

= 8 𝛺

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6

o Entre D e E temos resistores em paralelo:

1

𝑅

𝑒𝑞 4

=

1

5

+

1

10

+

1

5

→ 𝑅

𝑒𝑞 4

= 2 𝛺

o Entre E e F temos resistores em paralelo:

1

𝑅

𝑒𝑞 5

=

1

2

+

1

2

→ 𝑅

𝑒𝑞 5

= 1 𝛺

o O circuito equivalente fica então:

o Temos entre A e F um circuito em série:

𝑅

𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

= 𝑅

𝑒𝑞 1

+ 𝑅

𝑒𝑞 2

+ 𝑅

𝑒𝑞 3

+ 𝑅

𝑒𝑞 4

+ 𝑅

𝑒𝑞 5

= 18 𝛺

 A corrente total do circuito (𝑖

𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

) é dada por:

𝑉

0

= 𝑅

𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

× 𝑖

𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

→ 𝑖

𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

=

𝑉

0

𝑅

𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

=

36

18

= 2 𝐴

 A queda de tensão V

X

sobre uma R

eq X

(X=1,2,3,4,5) pode ser calculada através do

divisor de tensão:

𝑉

𝑋

=

𝑅

𝑒𝑞 𝑋

𝑅

𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

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o Entre B e C:

𝑽

𝟐

=

𝑅

𝑒𝑞 2

𝑅

𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

× 𝑉

0

=

5

18

× 36 = 𝟏𝟎 𝑽

A voltagem

𝑽

𝟐

é a aplicada sobre o resistor de 15 Ω

o Entre C e D:

𝑽

𝟑

=

𝑅

𝑒𝑞 3

𝑅

𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

× 𝑉

0

=

8

18

× 36 = 𝟏𝟔 𝑽

A voltagem

𝑽

𝟑

é a aplicada sobre o resistor de 40 Ω

o Entre D e E:

𝑽

𝟒

=

𝑅

𝑒𝑞 4

𝑅

𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

× 𝑉

0

=

2

18

× 36 = 𝟒 𝑽

A voltagem

𝑽

𝟒

é a aplicada sobre o resistor de 10 Ω

 A corrente que passa por um resistor R em uma das associações em paralelo R

eq X

pode ser calculada através do divisor de corrente:

𝑖

𝑅

=

𝑅

𝑒𝑞 𝑋

𝑅

× 𝑖

𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

onde i

R

é a corrente sobre a resistência “R”; “𝑅

_{𝑒𝑞 𝑋}

” é a resistência equivalente

entre dois dos nós; e 𝑖

𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

é a corrente total entre os nós.

o Para o resistor de 15 Ω:

𝒊

𝟏𝟓 𝛀

=

𝑅

𝑒𝑞 2

𝑅

× 𝑖

𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

=

5

15

× 2 ≅ 𝟎. 𝟔𝟔𝟕 𝑨

o Para o resistor de 40 Ω:

𝒊

𝟒𝟎 𝛀

=

𝑅

𝑒𝑞 3

𝑅

× 𝑖

𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

=

8

40

× 2 = 𝟎. 𝟒 𝑨

o Para o resistor de 10 Ω:

𝒊

𝟏𝟎 𝛀

=

𝑅

𝑒𝑞 4

𝑅

× 𝑖

𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

=

2

10

× 2 = 𝟎. 𝟒 𝑨

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7. Calcule a tensão sobre os terminais do capacitor de 33 μF e a corrente no indutor de

2 mH em regime permanente utilizando Análise Nodal (1,5 pts).

 Nomeando os nós relevantes (a):



Como o circuito é alimentado por uma fonte de corrente contínua, os indutores no circuito se comportarão como curto circuito e os capacitores como circuito aberto. Desta maneira obtemos o seguinte circuito equivalente (neste circuito precisamos determinar VCD , que é a

voltagem sobre o capacitor, e

i

2 , que é a corrente que passa pelo indutor) (b):

 Definindo o nó B como sendo a referência: 𝑉𝐵= 0  Portanto:

𝑉𝑓𝑜𝑛𝑡𝑒= 15 = 𝑉𝐴− 𝑉𝐵 → 𝑉𝐴= 15

Observação: esses valores não serão inicialmente substituídos para evitar confusão.

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 Pela lei das correntes de Kirchoff: Nó A: 𝑖6− 𝑖2− 𝑖3− 𝑖4= 0 Nó B: 𝑖4+ 𝑖5− 𝑖6= 0 Nó C: (eq. I) 𝑖2− 𝑖1= 0 Nó D: (eq. II) 𝑖3+ 𝑖1− 𝑖5= 0  Lei de Ohm: (eq. III) 𝑉𝐶− 𝑉𝐷 = 3 × 𝑖1 → 𝑖1= 𝑉𝐶− 𝑉𝐷 3 (eq. IV) 𝑉𝐴− 𝑉𝐶= 2 × 𝑖2 → 𝑖2= 15− 𝑉_𝐶 2 (eq. V) 𝑉𝐴− 𝑉𝐷= 4 × 𝑖3 → 𝑖3= 15− 𝑉𝐷 4 𝑉𝐴− 𝑉𝐵= 2 × 𝑖4 → 𝑖4= 𝑉_𝐴−0 2 (eq. VI) 𝑉𝐷− 𝑉𝐵= 1 × 𝑖5 → 𝑖5= 𝑉𝐷− 0 1 𝑉𝐴− 𝑉𝐵= 𝑅𝑒𝑞 𝑑𝑜 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑖𝑡𝑜× 𝑖6 → 𝑖6= 𝑉𝐴− 𝑉𝐵 𝑅_{𝑒𝑞 𝑑𝑜 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑖𝑡𝑜}

 Substituindo as equações III e IV em I, assim como III, IV e VI em II, obtemos: Nó C: 15− 𝑉𝐶 2 − 𝑉_𝐶− 𝑉_𝐷 3 = 0 → 0,8333 × 𝑉𝐶− 0,333 × 𝑉𝐷 = −7,5 Nó D: 15− 𝑉𝐷 4 + 𝑉𝐶− 𝑉𝐷 3 − 𝑉𝐷− 0 1 = 0 → −1,5833 × 𝑉𝐷+ 0,333 × 𝑉𝐶= −3,75

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 A solução pode então ser obtida por substituição entre as equações dos nós D e C: 𝑉𝐶≅ 10,86 𝑉

𝑉𝐷 ≅ 4,65 𝑉

 Pela equação IV, obtemos 𝑖2= 2,07 𝐴

 Por fim, a voltagem no capacitor (𝑉𝐶𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡𝑜𝑟) e a corrente no indutor (𝑖𝐼𝑛𝑑𝑢𝑡𝑜𝑟) são: 𝑽𝑪𝒂𝒑𝒂𝒄𝒊𝒕𝒐𝒓 = 𝑉𝐶− 𝑉𝐷 ≅ 𝟔. 𝟐𝟏 𝐕

𝒊𝑰𝒏𝒅𝒖𝒕𝒐𝒓= 𝑖2= 𝟐, 𝟎𝟕 𝑨

8. Em uma instalação industrial, deseja-se instalar um motor de corrente contínua de 6

kW de potência a 500 m de distância da sua fonte de 600 V. Determine a área de

sessão reta mínima mais adequada ao condutor para que a queda de tensão entre a

fonte e o motor seja inferior a 5%. A resistividade do condutor de cobre é de 1,8×10

-8

_{Ω.m. Os condutores são comercializados nas seguintes áreas de sessão reta: 6 mm²,}

10 mm², 16 mm² e 25 mm². (2,5 pts)

 Os dados da questão são:

𝑇𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑑𝑎 𝑓𝑜𝑛𝑡𝑒 = 𝑉𝑜= 600 𝑉

𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑜 𝑓𝑖𝑜 = 𝐿𝑓𝑖𝑜= 500 × 2 = 1000 𝑚

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𝑃𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑜 𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 = 𝑃𝑜 = 6000 𝑊 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑜 𝑓𝑖𝑜 = 𝜌𝑓𝑖𝑜= 1,8 × 10−8 𝛺. 𝑚 Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑠𝑒𝑐çã𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 𝑑𝑜 𝑓𝑖𝑜 = 𝐴𝑓𝑖𝑜= 𝜋 × 𝐷2 4  Para determinar a corrente do circuito (corrente que passa no fio):

𝑃 = 𝑉 × 𝑖 → 𝑃0= 𝑉0× 𝑖 → 𝑖 = 10 𝐴

 Para uma queda de 5% da tensão sobre 𝑉0 :

𝑉𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎= 0.05 × 𝑉0 → 𝑉𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎= 30 𝑉

 A resistência do fio (𝑅𝑓𝑖𝑜) pode ser calculada por: 𝑉 = 𝑅 × 𝑖 → 𝑅𝑓𝑖𝑜=

𝑉𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎

𝑖 → 𝑅𝑓𝑖𝑜= 3 𝛺  Mas essa resistência também pode ser calculada por:

𝑅 = 𝜌 ×𝐿

𝐴 → 𝑅𝑓𝑖𝑜 = 𝜌𝑓𝑖𝑜× 𝐿𝑓𝑖𝑜 𝐴𝑓𝑖𝑜

→ 𝐷 ≅ 2,76 × 10−3 _𝑚

 O valor do diâmetro calculado corresponde ao mínimo diâmetro permitido, pois é o diâmetro que oferece a máxima queda de tensão permitida (𝑉𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎). Portanto, dado os diâmetros disponíveis, o mínimo diâmetro adequado será de 6 mm (6 × 10−3 _m).