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1ª Lista de Exercícios – Números Naturais e o PIF
Questão 01. (Concurso Professor de Matemática – SP – 2001) Segundo o “Princípio das Gavetas de Dirichelet”, se tivermos mais de n objetos para distribuirmos em, no máximo, n gavetas, pelos menos dois objetos ficarão na mesma gaveta. Com base nesse princípio lógico, se tivermos um grupo de 49 pessoas, podemos afirmar que necessariamente teremos:
a) exatamente cinco pessoas nascidas em um mesmo mês. b) pelo menos uma pessoa nascida em cada mês do ano. c) pelo menos quatro pessoas nascidas em Novembro. d) exatamente quatro pessoas nascidas em um mesmo mês. e) pelo menos cinco pessoas nascidas em um mesmo mês.
Questão 02. Quantos pontos de coordenadas naturais há no segmento de reta x y 6 7 , 0 x 100? a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17
Questão 03. (Provão 98) Uma das afirmativas abaixo sobre números naturais é FALSA. Qual é ela? a) Dado um número primo, existe sempre um número primo maior do que ele.
b) Se dois números não primos são primos entre si, um deles é ímpar. c) Um número primo é sempre ímpar.
d) O produto de três números naturais consecutivos é múltiplo de seis. e) A soma de três números naturais consecutivos é um múltiplo de três.
Questão 04. Mostre que o produto de dois números ímpares é ímpar.
Questão 05. Prove que o quadrado de um número natural a é par se, e somente se, a é par.
Questão 06. Prove, usando o Princípio da Indução:
Álgebra I – Prof. Robson Rodrigues e) 3 + 6 + 9 + ... + 3n = 2 ) 1 n ( n 3 , n N* f) f(n) = n3 + 2n é múltiplo de 3, n N* g) n! > 2n , n 4 , n N* h) xn nxn 1 dx d , n N* i) (1 + r)n 1 + nr , n N* e r > 0 (Desigualdade de Bernoulli) j) n 1 i 1 )! 1 n ( ) !i ( i k) n 1 i 2 2 3 n (2n 1) ) 1 i 2 ( l)
n 1 i 3 ) 2 n )( 1 n ( n ) 1 i ( i m) f(n) = n2 + n + 2 é divisível por 2, n N n) 2 + 22 + 23 + ... + 2n = 2n+1 – 2, n N* o) 1 n n ) 1 n .( n 1 ... 4 . 3 1 3 . 2 1 2 . 1 1 , n N*Questão 07. Utilizando o princípio da indução finita prove que a soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica é dada por: a + aq + aq2 + aq3 + ... + aqn-1 =
1 q ) 1 q ( a n , q 1 e n N*.
Questão 08. Utilizando a relação demonstrada no item anterior, calcule a soma dos dez primeiros termos da seqüência numérica cujo termo geral é dado por an = 2
n
.
Questão 09. Considere a matriz A =
1 0 1 1 a) Calcule A2, A3, A4 e A28.
b) O que você pode conjeturar sobre An, para n N*?
A próxima questão é baseada numa lenda chamada a “Torre de Hanoi”
Após a criação do mundo, em um mosteiro escondido na Índia, o Grande Criador colocou uma placa de bronze e nela fixou três bastões cobertos de diamantes. Em um dos bastões, em ordem decrescente de tamanho, colocou 64 discos de ouro. E assim disse aos monges: “transfiram essa pilha
de discos para outro bastão, movendo, ininterruptamente, um disco de cada vez e nunca permitindo que um disco menor fique abaixo de um disco maior. Quando terminarem essa tarefa e os 64 discos estiverem em outro bastão, este templo se reduzirá a pó e com um estrondo de trovões o mundo acabará”.
Dizem os sábios que o mundo foi criado há 4 bilhões de anos aproximadamente e os monges, desde a criação, estão movendo os discos na razão de um disco por segundo. Será que veremos o mundo acabar?
É muito difícil imaginar os movimentos com uma pilha de 64 discos. Imaginemos uma pilha com um disco, depois com dois discos, três discos e assim sucessivamente.
Verifique que para 3 discos você necessitará de no mínimo 7 movimentos.
Fazendo uma tabela com o número n de discos e o número mínimo Mn de movimentos, temos:
n 1 2 3 4 5 6 7 ...
Álgebra I – Prof. Robson Rodrigues
Questão 10. Completando a tabela anterior tente descobrir o valor de M64, pois M64 segundos após a
criação do mundo ele acabará e já se passaram 4 bilhões de anos!
Questão 11. Observando a tabela anterior será que podemos conjeturar que o número mínimo de movimentos para mover n discos é 2n – 1, ou seja, será que Mn = 2
n
–1? Tente provar isso utilizando o princípio da indução.
Observação: Os bastões com 7, 8 ou 9 discos constituem um brinquedo conhecido como Torre de Hanoi, inventado pelo matemático francês Edouard Lucas (1842 – 1891) e já vendido como brinquedo em 1883.
Questão 12. (ENADE_2008) Considere a sequência numérica definida por
Usando o princípio de indução finita, mostre que an < a para todo n 1 e a 2. Para isso, resolva o que
se pede nos itens a seguir.
a) Escreva a hipótese e a tese da propriedade a ser demonstrada. b) Prove que a.(a – 1) 0 para todo a 2.
c) Mostre que √a a para todo a 2. d) Supondo que an a, prove que an+1 √2a
e) Mostre que an+1 a.
Questão 13. (ENADE_2011)
a) escreva a hipótese e tese da propriedade a ser demonstrada; b) mostre que s
, para todo a > 0; c) prove que s2 < 2, para todo 0 < a < √ ; d) mostre que 0 < s < √ ;
e) suponha que an < √ e prove que an+1 < √ ;
