O espa¸ co das sequˆ encias mid som´ aveis e operadores mid

Programa de P´ os–Gradua¸ c˜ ao em Matem´ atica Mestrado em Matem´ atica

O espa¸ co das sequˆ encias mid som´ aveis e operadores mid

somantes

Ricardo Ferreira Dias

Jo˜ ao Pessoa – PB

Agosto de 2017

Programa de P´ os–Gradua¸ c˜ ao em Matem´ atica Mestrado em Matem´ atica

O espa¸ co das sequˆ encias mid som´ aveis e operadores mid

somantes

por

Ricardo Ferreira Dias

sob a orienta¸c˜ao do

Prof. Dr. Jamilson Ramos Campos

Jo˜ ao Pessoa – PB

Agosto de 2017

D541e Dias, Ricardo Ferreira.

O espa¸co das sequˆencias mid som´aveis e operadores mid somantes / Ricardo Ferreira Dias. - Jo˜ao Pessoa, 2017.

73 f.

Orientador: Jamilson Ramos Campos.

Disserta¸c˜ao (Mestrado) - UFPB/PPGMAT

1. Matem´atica. 2. Espa¸cos de sequˆencias. 3. Operadores absolutamente somantes. 4. Sequˆencias midp-som´aveis.

I. T´ıtulo.

UFPB/BC CDU - 51(043)

som´ aveis e operadores mid somantes

por

Ricardo Ferreira Dias

Disserta¸c˜ao apresentada ao Corpo Docente do Programa de P´os–Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Para´ıba como requisito parcial para a obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica.

Area de Concentra¸´ c˜ao: An´alise Funcional

Aprovada em 18 de Agosto de 2017.

Banca Examinadora:

1O autor foi bolsista da Capes durante a elabora¸c˜ao desta disserta¸c˜ao.

a minha irm˜a, Naiele e a minha namorada, Juliana.

Primeiramente agrade¸co a Deus, pela for¸ca espiritual, determina¸c˜ao, f´e, esperan¸ca, sa´ude, paz, livramento de todos os males que poderiam interferir de forma negativa na minha forma¸c˜ao acadˆemica. Pelas pessoas maravilhosas que Ele colocou nos meus caminhos para me ajudarem e por toda ben¸c˜ao e ilumina¸c˜ao que vem derramando sobre a minha vida.

Aos meus Pais, Joaquim Severino Dias e Maria da Penha Ferreira Dias, que est˜ao fazendo de tudo para me proporcionar uma boa forma¸c˜ao, pelo incetivo, apoio, con- fian¸ca, pela compreens˜ao nos momentos de euforias, pelo amor e por absolutamente tudo que tens feito por min.

A minha irm˜` a, Naiele Ferreira Dias, que sempre est´a ajudando-me no que pode.

A minha namorada, Juliana Maria de Oliveira, pelo companheirismo, por toda` compreens˜ao em todos os momentos, pelo seu constante apoio incondicional, pelo seu carinho e preocupa¸c˜ao para comigo, pela paciˆencia, por sempre est´a comigo tanto nos bons e maus momentos da minha vida, pelo zelo, incentivo e por tudo. A ela, meu respeito, minha admira¸c˜ao, meu carinho e todo meu amor.

Ao meu orientador, Jamilson Ramos Campos, que esteve comigo em toda a cons- tru¸c˜ao deste trabalho do in´ıcio ao fim, pela paciˆencia de ensinar-me, por ter me dado a oportunidade de aprender coisas novas, pelo empenho, dedica¸c˜ao e ideias depositadas neste trabalho.

Ao meu amigo e professor Gutemberg Alves, por me acompanhar desde do Ensino M´edio at´e o mestrado. Seus ensinamentos e sua amizade s˜ao fundamentais para mim.

Ao professor Esdras Jafet, por sua constante disponibilidade e incentivo na minha trajet´oria desde a Gradua¸c˜ao at´e o ingresso ao mestrado.

Ao meu amigo Lucas de Carvalho, pelos momentos de estudos, pela convivˆencia e por todo aprendizado.

A todas as pessoas que n˜ao citei aqui mas que ajudaram-me de forma direta e indireta para a obten¸c˜ao e realiza¸c˜ao desta Disserta¸c˜ao e da minha conclus˜ao do curso.

Aos professores Daniel Pellegrino e Vladimir Pestov, membros da Banca Examina- dora, pela corre¸c˜oes, pelas sugest˜oes e valiosas contribui¸c˜oes.

A CAPES pelo apoio financeiro.` Muito obrigado a todos!

O principal objetivo desta disserta¸c˜ao ´e estudar um novo espa¸co de sequˆencias in- troduzido por Karn e Sinha em 2014, a saber, o espa¸co das sequˆencias mid p-som´aveis.

Mais especificamente, estudaremos um recente trabalho de G. Botelho e J. R. Cam- pos que aprofunda o estudo seminal do espa¸co e apresenta novas classes de operado- res envolvendo este novo espa¸co e os espa¸cos cl´assicos de sequˆencias absolutamente e fracamentep-som´aveis, denominados operadores absolutamente midp-somantes e ope- radores fracamente mid p-somantes. A partir disto, estudamos um novo teorema de fatora¸c˜ao, envolvendo estas novas classes de operadores, para os operadores absoluta- mente p-somantes.

Palavras-chave: Espa¸cos de sequˆencias; Operadores absolutamente somantes; Sequˆecias mid p-som´aveis; Operadores absolutamente e fracamente mid p-somantes.

The main goal of this work is to study a new sequence space introduced in 2014 by Karn and Sinha, namely the space of midp-summable sequences. More specifically, we will study a recent work by G. Botelho and J.R. Campos, which deepens the seminal study of this space and presents new classes of operators involving the new space and the classical sequence spaces of absolutely and weakly p-summable sequences, called absolutely midp-summing and weakly mid p-summing operators. From this, we study a new factorization theorem, involving these new classes of operators, for the absolutely p-summing operators.

Keywords: Sequence spaces; Absolutely summing operators; Midp-summing sequen- ces; Absolutely and weakly midp-summing operators.

Introdu¸c˜ao 1

1 Preliminares 3

1.1 T´opicos de An´alise Funcional . . . 3

1.2 S´eries em espa¸cos de Banach . . . 11

2 Operadores absolutamente somantes 16 2.1 Espa¸cos de sequˆencias a valores vetoriais . . . 16

2.2 Operadores absolutamente (p, q)-somantes . . . 30

3 O espa¸co das sequˆencias mid som´aveis 38 3.1 O espa¸co `^mid_p (E) . . . 38

3.2 Incomparabilidade dos espa¸cos `<sup>u</sup><sub>p</sub>(E) e `^mid_p (E) . . . 46

3.3 A classe de sequˆencias `^mid_p (·) . . . 47

3.4 Operadores mid somantes . . . 51

3.5 Uma fatora¸c˜ao para operadores absolutamente somantes . . . 60

Referˆencias Bibliogr´aficas 62

A seguir, listamos algumas nota¸c˜oes utilizadas neste trabalho.

• N denota o conjunto{1,2,3, . . .};

• R denota o conjunto dos n´umeros reais;

• C denota o conjunto dos n´umeros complexos;

• K denota o corpoR ouC;

• X, Y denotam espa¸cos topol´ogicos ou classes de sequˆencia;

•E, F, G eH denotam espa¸cos vetoriais ou espa¸cos vetoriais normados ou espa¸cos de Banach sobre um corpoK;

• BAN denota a fam´ılia de todos os espa¸cos de Banach;

•(L(E;F);k·k) denota o espa¸co vetorial normado, sobreK, de todos os operadores lineares e cont´ınuos deE em F, munido com a norma usual do sup;

• E⁰ denota o dual topol´ogico de E, isto ´e, L(E;K);

• E⁰⁰ denota o bidual topol´ogico de E;

• T⁰ denota o operador adjunto de T;

• e_j denota a sequˆencia escalar

0, . . . ,0,

(j)

1,0, . . .

;

• i denota o operador inclus˜ao;

• id_E denota a aplica¸c˜ao identidade em E;

• B_E denota a bola unit´aria fechada no espa¸coE;

• dim(E) denota a dimens˜ao de E;

• E ,→¹ F denota que E ⊆F e k·k_F ≤ k·k_E para todox∈E;

• (xj)ⁿ_j=1 denota a sequˆencia (x1, x2, . . . , xn,0,0, . . .);

• JE :E −→E⁰⁰ denota o mergulho canˆonico de E em E⁰⁰;

• Q

p;q(E;F) denota o conjunto dos operadores lineares e cont´ınuos absolutamente (p;q)-somante entre espa¸cos de Banach E e F;

•Qmid

p,q (E;F) denota o conjunto dos operadores lineares e cont´ınuos absolutamente mid (p;q)-somante entre os espa¸cos de Banach E eF;

• W_p,q^mid(E;F) denota o conjunto dos operadores lineares e cont´ınuos fracamente mid (p;q)-somante entre os espa¸cos de Banach E eF;

Um conjuntoSde um espa¸co de BanachE´e dito serlimitadose para toda sequˆencia (f_n)^∞_n=1 fraco^∗ nula em E⁰, tem-se f_n → 0 uniformemente em S. Perceba que o autor estar usando o termo “limitado”em um contexto diferente usado em An´alise Funcional:

um subconjuntoS de um espa¸co normado E ´e limitado quando existe uma constante c > 0 tal que kxk ≤ c, para todo x ∈ S. Os conjuntos limitados surgiram a partir de um erro cometido por I. M. Gelfand [9]. Ele dizia que um subconjunto S em um espa¸co de Banach E ´e compacto se, e somente se, toda sequˆencia fraco-nula em E⁰ ´e uniformemente nula emS. Todo conjunto compacto goza dessa propriedade, no entanto R. Phillips, em um trabalho de 1940 ([14]), construiu um exemplo de um conjunto n˜ao compacto que possui essa propriedade.

O conceito de conjunto limitado pode ser generalizado para o conceito p-limitado por: um subconjunto S de um espa¸co de Banach E ´e dito p-limitado (1 ≤ p < ∞), se para toda sequˆencia fraco^∗ p-som´avel (ϕ_n)^∞_n=1 ∈ E⁰ (isto ´e, P∞

n=1|ϕ_n(x)|^p < ∞, para todo x ∈ E) existe um (α_n)^∞_n=1 ∈ `_p tal que |ϕ_n(x)| ≤ α_n, para todo x ∈ S e todon∈N. Recentemente os autores dos trabalhos de [17, 15, 4, 6] e [7] estudaram o conceito de conjuntosp-compactos para 1≤p <∞.

Sendo x = (x_n)^∞_n=1 ∈ `<sup>w</sup><sub>p</sub>(E), fazendo uso da aplica¸c˜ao T<sub>x</sub> : `_p^∗ −→ E, dada por T_x(α) = P∞

n=1α_nx_n, onde α = (α_n)^∞_n=1 ∈ `<sub>p</sub><sup>∗</sup>, dizemos que K ⊂ E ´e relativamente p-compacto se existir um x= (x<sub>n</sub>)<sup>∞</sup><sub>n=1</sub> ∈`_p(E) tal queK ⊂T_x(B(`<sub>p</sub><sup>∗</sup>)). Similarmente, um subconjunto K ⊂ E ´e dito ser (relativamente) fracamente p-compacto se existir um x= (x<sub>n</sub>)<sup>∞</sup><sub>n=1</sub> ∈`^w_p(E) tal queK ⊂T_x(B(`_p^∗)).

E um fato que os conjuntos´ p-compactos s˜aop-limitados (ver [10, Proposition 2.1]).

Ainda sobre a aplica¸c˜aoT_x mostra-se que:

Proposi¸c˜ao 0.1 ([10], Proposition 2.4). O conjunto T_x B_`p∗

´e p-limitado se, e so- mente se, para toda (f_n)^∞_n=1 ∈`<sup>w</sup><sub>p</sub>(E<sup>0</sup>), tem-se ((f<sub>n</sub>(x<sub>k</sub>))<sup>∞</sup><sub>k=1</sub>)<sup>∞</sup><sub>n=1</sub> ∈`_p(`_p).

A partir deste resultado, Karn e Sinha definem um novo espa¸co de sequˆencias que chamam deespa¸co das sequˆencias operador p-som´aveis, como sendo o espa¸co das sequˆencias que satisfazem uma (e portanto ambas) das condi¸c˜oes equivalentes da pro- posi¸c˜ao acima. Eles estudam em que condi¸c˜oes esse novo espa¸co coincide com os

Em 2017, os pesquisadores G. Botelho, J. R. Campos e J. Santos, em seu artigo [2], retomaram o estudo desse espa¸co, buscando aprofundar resultado do artigo seminal e avan¸car no sentido de ampliar a teoria, principalmente provendo resultados ausentes ou pouco explorados. Eles definem uma norma completa para esse novo espa¸co e estudam mais profundamente classes de operadores, sob o ponto de vista da teoria de ideais.

O principal objetivo do nosso trabalho ´e fazer um estudo do novo espa¸co por meio do trabalho [2].

Nosso texto se apresenta na seguinte forma: O Cap´ıtulo 1 ´e provido de algumas defini¸c˜oes e resultados cl´assicos de An´alise Funcional que ser˜ao necess´arios para o de- senvolvimento de outros resultados no decurso de todo o texto. No Cap´ıtulo 2, estu- daremos diversos espa¸cos de sequˆencias a valores vetoriais e, al´em disso, estudaremos tamb´em a classe dos operadores absolutamente (p;q)-somantes. O Cap´ıtulo 3 ´e dedi- cado ao estudo de um novo espa¸co de sequˆencia introduzido no trabalho de Karn-Sinha, tendo como base o trabalho [1] de Botelho, Campos e Santos. Ainda neste cap´ıtulo, estudaremos duas novas classes de operadores relacionadas com esse novo espa¸co de sequˆencias e, por fim, apresentaremos um novo teorema de fatora¸c˜ao para operadores absolutamentep-somantes.

Preliminares

No decorrer deste cap´ıtulo apresentaremos resultados de An´alise Funcional que ser˜ao fundamentais para o desenvolvimento e compreens˜ao dos assuntos que trataremos nos Cap´ıtulos 2 e 3 desse trabalho. Na primeira se¸c˜ao apresentaremos alguns resultados cl´assicos tais como o Teorema do Gr´afico Fechado e o Teorema de Hahn-Banach e suas consequˆencias. Na segunda se¸c˜ao, apresentaremos um pouco da teoria de s´eries em espa¸cos de Banach.

Muitas das demonstra¸c˜oes dos resultados aqui apresentados, em parte pelo fato de serem bem conhecidas, ser˜ao omitidas e uma referˆencia a elas ser´a pontuada.

1.1 T´ opicos de An´ alise Funcional

Nesta se¸c˜ao revisitaremos algumas defini¸c˜oes e resultados cl´assicos de An´alise Fun- cional que, sobretudo, ser˜ao usados no decurso de todo esse trabalho. A principal referˆencia aqui usada ´e o excelente livro [3].

Denotaremos por B_E a bola unit´aria fechada no espa¸co normado E, definida por B_E :={x∈E: kxk_E ≤1}.

Defini¸c˜ao 1.1. Um fun¸c˜ao

k·k_E : E −→ [0,∞)

x 7−→ kxk_E, (1.1)

definida no espa¸co vetorialE, ´e dita ser uma norma quando as seguintes propriedades s˜ao satisfeitas

P.1 kxk_E ≥0, para todo x∈E e kxk_E = 0⇔x= 0.

P.2 kλxk_E =|λ| · kλxk_E, para todo λ∈K e x∈E.

P.3 kx+yk_E ≤ kxk_E +kyk_E, para todos x, y ∈E.

Sendo assim, o espa¸co vetorialEmunido com a fun¸c˜ao em (1.1) ´e chamado deespa¸co vetorial normado, ou simplesmente espa¸co normado, que designaremos por (E,k·k_E).

Todo espa¸co vetorial normado E se torna um espa¸co m´etrico com a m´etrica induzida pela norma, isto ´e,

d(x, y) =kx−yk ∀x, y ∈E.

Com isso, dizemos que E ´e um espa¸co de Banach quando for um espa¸co m´etrico completo com a m´etrica induzida por uma norma.

Apresentaremos agora um resultado de grande importˆancia em nosso trabalho e cuja demonstra¸c˜ao pode ser encontrada em [3, Proposi¸c˜ao 1.1.1].

Proposi¸c˜ao 1.1. Sejam E um espa¸co de Banach e F um subespa¸co vetorial de E.

Ent˜aoF ´e um espa¸co de Banach se, e somente se, F for fechado em E.

Apresentaremos agora alguns espa¸cos de sequˆencias escalares que s˜ao cl´assicas na An´alise Funcional e ser˜ao muito usados de em nossos estudos. Al´em disso, ainda servir˜ao como base para generaliza¸c˜oes a valores vetoriais, como apresentaremos mais adiante. Denotamos

c₀₀ :=

(a_j)^∞_j=1∈K^N :∃j₀ ∈N com a_j = 0,∀j ≥j₀ , c₀ :=

(a_j)^∞_j=1∈K^N : lim

j a_j = 0

,

`_p :=

(

(a_j)^∞_j=1∈K^N :

∞

X

j=1

|a_j|^p <∞ )

e

`∞ :=

(a_j)^∞_j=1∈K^N :∃M ≥0 com |a_j| ≤M .

Esses espa¸cos de sequˆencias s˜ao chamados, respectivamente, espa¸co das sequˆencias eventualmente nulas, espa¸co das sequˆencias nulas, espa¸co das sequˆencias p-som´aveis e espa¸co das sequˆencias limitadas.

Os teoremas a seguir, a despeito de sua grande aplica¸c˜ao pr´atica, tamb´em s˜ao fundamentais para mostrar que o espa¸co`_p ´e um espa¸co vetorial normado.

Teorema 1.2(Desigualdade de Holder para sequˆencias). Sejamn∈Nep, q >1 tais que ¹_p +¹_q = 1. Ent˜ao

n

X

j=1

|a_jb_j| ≤

n

X

j=1

|a_j|^p

!¹_p

·

n

X

j=1

|b_j|^q

!¹_q

para quaisquer escalaresa₁, a₂, . . . , a_n, b₁, b₂, . . . , b_n Demonstra¸c˜ao: Veja [[11], p´ag.12 `a 14].

Teorema 1.3(Desigualdade de Minkowski para sequˆencias). Parap≥1, temos

n

X

j=1

|a_j +b_j|^p

!¹_p

≤

n

X

j=1

|a_j|^p

!¹_p +

n

X

j=1

|b_j|^p

!¹_p

para todon ∈N e escalares a1, a2, . . . , an, b1, b2, . . . , bn. Demonstra¸c˜ao: Veja [[11], p´ag.14-15].

Sobre os espa¸cos `<sub>∞</sub> e`_p definimos as seguintes normas, respectivamente, (a_j)^∞_j=1

∞= sup

j

|a_j|

e

(a_j)^∞_j=1 p =

∞

X

j=1

|a_j|^p

!¹_p

, (1.2)

com as quais eles s˜ao espa¸cos de Banach. Esse fato ´e mostrado em [3] .

Mostra-se quec₀´e subespa¸co fechado de `∞, ent˜ao, pela Proposi¸c˜ao 1.1 obtemosc₀

´e espa¸co de Banach. Por´em, c₀₀ n˜ao goza desta propriedade, pois c₀₀ n˜ao ´e subespa¸co fechado dec₀ (Veja [3], p´ag.7]).

Apresentaremos agora um pouco da teoria dos operadores lineares cont´ınuos entre espa¸cos de Banach.

Umoperador linear cont´ınuo entre espa¸cos normadosE eF, ambos sobre um corpo K, ´e uma fun¸c˜aoT :E −→F, que ´e linear, isto ´e,

T(x+λy) = T(x) +λT(y), ∀x, y ∈E e λ∈K e cont´ınua:

Para todos x₀ ∈E e >0 existe δ >0 tal que kT(x)−T(x₀)k<

sempre que x∈E e kx−xok< δ.

E importante observar que muitas vezes n˜´ ao ´e t˜ao simples classificar um operador linear quanto `a sua continuidade via defini¸c˜ao. Assim, apresentaremos em seguida um teorema que nos traz algumas caracteriza¸c˜oes de um operador linear cont´ınuo.

Teorema 1.4. Sejam E e F espa¸cos vetoriais normados sobre K e T : E −→ F um operador linear. As seguintes condi¸c˜oes s˜ao equivalentes:

(a) T ´e lipschitziano.

(b) T ´e uniformemente cont´ınuo.

(c) T ´e cont´ınuo.

(d) T ´e cont´ınuo em algum ponto de E.

(e) T ´e cont´ınua na origem.

(f ) sup

x∈B_E

kT(x)k<∞.

(g) Existe C ≥0 tal que kT(x)k_F ≤Ckxk_E, ∀x∈E.

Demonstra¸c˜ao: Veja [[3], Teorema 2.1.1].

O conjuntos de todos os operadores lineares cont´ınuos entre os espa¸cos vetoriais normadosE eF ser´a denotado porL(E, F). Este conjunto, munido com as opera¸c˜oes usuais de fun¸c˜oes torna-se um espa¸co vetorial sobre o corpo K.

A seguinte proposi¸c˜ao apresenta a defini¸c˜ao de uma norma no espa¸coL(E, F).

Proposi¸c˜ao 1.5. Sejam E eF espa¸cos normados.

(a) A express˜ao

kTk= sup

x∈B_E

kT(x)k define uma norma no espa¸co L(E, F).

(b) Para todo T ∈ L(E, F) e x∈E vale a seguinte desigualdade kT(x)k_F ≤ kTk · kxk_E.

(c) SeF for um espa¸co de Banach, ent˜aoL(E, F) tamb´em ´e um espa¸co de Banach.

Demonstra¸c˜ao: (a) Verifiquemos as propriedades de norma vistas na Defini¸c˜ao 1.1.

P.1 - ´E obvio quekTk ≥0, pois,kT(x)k ≥0, para todox∈E. Mais ainda, sekTk= 0 temoskT(x)k= 0, para todox∈B_E. Da´ı, se x6= 0, temos

1

kxkkT(x)k= T

x kxk

= 0.

Assim, kT(x)k = 0, para todo x ∈ E, o que implica T(x) = 0, para todo x ∈ E e portanto T = 0. A rec´ıproca ´e evidente.

P.2 - Para quaisquerλ∈K e T ∈ L(E, F), temos kλTk= sup

x∈BE0

kλT(x)k=λ sup

x∈BE0

kT(x)k=λkTk.

P.3 - Para quaisquerT, T^∗ ∈ L(E, F), segue que kT +T^∗k = sup

x∈BE0

k(T +T^∗) (x)k= sup

x∈BE0

kT(x) +T^∗(x)k

≤ sup

x∈BE0

(kT(x)k+kT^∗(x)k)

≤ sup

x∈BE0

kT(x)k+ sup

x∈BE0

kT^∗(x)k

= kTk+kT^∗k. (b) Para 06=x∈E, temos

kT(x)k kxk =

T

x kxk

≤ sup

y∈BE0

kT(y)k.

Disto, obtemos

kT(x)k ≤ sup

y∈BE0

kT(y)k kxk e, pelo item (a), conclui-se que kT(x)k ≤ kTk kxk.

(c) Seja (T_n)^∞_n=1 uma sequˆencia de Cauchy em L(E, F). Assim, dado > 0 existe n₀ ∈N tal que kT_n−T_mk ≤, sempre que n, m≥n₀. Da´ı obtemos,

kT_n(x)−T_m(x)k=k(T_n−T_m) (x)k ≤ kT_n−T_mk kxk ≤kxk, (1.3) sempre que x ∈ E e n, m ≥ n₀. Isso mostra que, para todo x ∈ E, a sequˆencia (T_n(x))^∞_n=1 ´e de Cauchy emF. ComoF ´e um espa¸co de Banach, temos que a sequˆencia converge em F. Assim, podemos definir

T : E −→ F

x 7−→ T(x) := lim

n T_n(x).

Observe que, pelas propriedades do limite, a linearidade deT segue diretamente. Agora fazendom −→ ∞em (1.3) temos,

kT_n(x)−T(x)k=k(T_n−T) (x)k ≤ kT_n−Tk kxk ≤kxk, (1.4) sempre que x ∈ E e n ≥ n₀. Para finalizar, mostraremos que T ∈ L(E, F) e T_n −→

T ∈ L(E, F). Fazendo n =n0 para todox∈E, obtemos

kT_n0(x)−T(x)k=k(T_n0 −T) (x)k ≤ kT_n0 −Tk kxk ≤kxk,

o que nos mostra que (T −T_n0)∈ L(E, F) e, portanto, T = (T −T_n0) +T_n0 ∈ L(E, F).

Finalmente, segue de (1.4) que kT_n−Tk ≤ , para todo n ≥ n₀, e assim temos que T_n−→T ∈ L(E, F).

Quando F = K, (L(E,K),k·k) ser´a um espa¸co de Banach chamado de dual to- pol´ogicodeE, denotado por E⁰, cujos elementos ser˜ao chamados defuncionais lineares cont´ınuos.

O teorema a seguir diz respeito a aplica¸c˜oes abertas e cont´ınuas, isto ´e, aplica¸c˜oes que transformam conjuntos abertos em conjuntos abertos. Mais precisamente, o pr´oximo resultado estabelece condi¸c˜oes para que um operador linear e cont´ınuo entre espa¸cos de Banach seja uma aplica¸c˜ao aberta.

Teorema 1.6 (Teorema da Aplica¸c˜ao Aberta). Sejam E e F espa¸cos de Banach e T : E −→ F um operador linear, cont´ınuo e sobrejetor. Ent˜ao T ´e uma aplica¸c˜ao aberta. Em particular, todo operador linear cont´ınuo e bijetor entre espa¸cos de Banach

´e um isomorfismo.

Demonstra¸c˜ao: Veja [[3], Teorema 2.4.2].

O pr´oximo resultado nos oferece uma caracteriza¸c˜ao para operadores lineares cont´ınuos muito ´util em diversas situa¸c˜oes apresentadas em nosso trabalho.

Teorema 1.7 (Teorema do Gr´afico Fechado). Sejam E e F espa¸cos de Banach e T :E −→F um operador linear. S˜ao equivalentes:

(a) T ´e cont´ınuo.

(b) O gr´afico de T, G(T) := {(x, y) :x∈E e y=T(x)}, ´e um subespa¸co fechado de E×F.

Demonstra¸c˜ao: (a) ⇒ (b) Defina a seguinte fun¸c˜ao ξ: E×F −→ R

(x, y) 7−→ ξ(x, y) :=ky−T(x)k. (1.5) De fatoξ´e cont´ınua, pois ´e a composta de fun¸c˜oes cont´ınuas (ky−(·)k ◦T). Tamb´em temos

G(T) :={(x, y)∈E×F :ky−T(x)k= 0}=ξ⁻¹(0)

e isso mostra que G(T) ´e fechado, por ser imagem inversa do fechado por ξ.

(b)⇒(a) Usando a normak(x, y)k₁ :=kxk_E+kyk_F emE×F e supondo que G(T)

´e fechado, segue que, G(T) ´e um espa¸co de Banach. A fun¸c˜ao proje¸c˜ao

π : G(T) −→ E

(x, T(x)) 7−→ π(x, T(x)):=x

´e linear e bijetora (Veja: [12], p´ag.9]). Al´em disso, π ´e cont´ınua, pois kπ(x, T(x))k=kxk ≤ kxk+kT(x)k=k(x, T(x))k₁.

Agora, tome A ⊆ G(T) um subconjunto aberto. Do Teorema da Aplica¸c˜ao Aberta, segue que (π⁻¹)⁻¹(A) = A ´e aberto, portanto π⁻¹ ´e cont´ınua. Dessa forma, pelo Teorema 1.4, existe C >0 tal que

π⁻¹(x)

1 =k(x, T(x))k₁ ≤Ckxk, sempre que x∈E.

Logo,

kT(x)k ≤ kT(x)k+kxk=k(x, T(x))k₁ ≤Ckxk, sempre que x estiver em E. Portanto, T ´e cont´ınuo.

Defini¸c˜ao 1.2. Sejam E eF espa¸cos vetoriais normados e T ∈ L(E;F). O operador assim definido

T⁰ : F⁰ −→ E⁰

ϕ 7−→ T⁰(ϕ)(x) :=ϕ(T(x)),

´e chamado deoperador adjunto deT.

Mostra-se em [[12], Proposi¸c˜ao 1.16] que se T ∈ L(E;F), ent˜ao T⁰ ∈ L(F⁰;E⁰) e T⁰

=kTk. E mais ainda, se T for um isomorfismo (isom´etrico), ent˜ao T⁰ tamb´em o

´e.

O pr´oximo teorema apresenta sua importˆancia n˜ao somente no campo da Ma- tem´atica, mais tamb´em se sobressai em outras ´areas na matem´atica ou fora dela, como por exemplo na F´ısica, Teoria dos Jogos e Probabilidade.

Teorema 1.8 (Teorema de Hanh-Banach). Sejam E um espa¸co vetorial sobre o corpoK=R ou C e p:E −→R uma fun¸c˜ao que satisfaz

p(ax) = |a|p(x) ∀a∈K e ∀x∈E

e

p(x+y) ≤ p(x) +p(y) ∀x, y ∈E.

Se G ⊆ E ´e um subespa¸co vetorial e ϕ : G −→ K ´e um funcional linear tal que

|ϕ(x)| ≤ p(x), para todo x ∈ G, ent˜ao existe um funcional linear ϕ˜ : E −→ K que estende ϕ a E e que satisfaz |ϕ| ≤˜ p(x), para todo x∈E.

Demonstra¸c˜ao: Veja [[3],Teorema 3.1.2.].

Apresentaremos alguns corol´arios que decorrem do Teorema de Hanh-Banach. Co- mumente, estes corol´arios tamb´em s˜ao chamados Teoremas de Hahn-Banach.

Corol´ario 1.9. SejaGum subespa¸co de um espa¸co normadoE sobre um corpoK=R ouCe sejaϕ:G−→Kum funcional linear cont´ınuo. Ent˜ao existe um funcional linear cont´ınuo ˜ϕ:E −→K, cuja restri¸c˜ao a G coincide comϕ, ekϕk˜ =kϕk.

Demonstra¸c˜ao: Defina a seguinte fun¸c˜ao p: E −→ R

x 7−→ p(x) =kϕk kxk. Temos,

p(ax) = kϕk kaxk=|a| kϕk kxk e

p(x+y) =|ϕ| |x+y| ≤(kxk+kyk) =kϕk kxk+kϕk kyk=p(x) +p(y),

para todo a ∈ K e todos x, y ∈ E. Assim, como |ϕ(x)| ≤ kϕk kxk =p(x), para todo x ∈ G, pelo Teorema 1.8, existe ˜ϕ : E −→ K cuja restri¸c˜ao a G coincide com ϕ e

|ϕ(x)| ≤˜ p(x) =kϕk kxk, para todo x∈E. Portanto, ˜ϕ´e cont´ınuo e kϕk ≤ kϕk. Por˜ outro lado,

kϕk= sup

x∈B_G

|ϕ(x)|= sup

x∈B_G

|ϕ(x)| ≤˜ sup

x∈B_E

|ϕ(x)|˜ =kϕk˜ e isso mostra que kϕk˜ =kϕk.

Corol´ario 1.10. Seja E um espa¸co normado. Para quaisquer x₀ ∈E, x₀ 6= 0, existe ϕ∈E⁰ tal que kϕk= 1 e ϕ(x₀) = kx₀k.

Demonstra¸c˜ao: Sejam

ϕ: G −→ K

λx₀ 7−→ p(λx₀) =λkx₀k

um funcional linear cont´ınuo e G = [x₀], o subespa¸co vetorial gerado por x₀. Pelo Corol´ario 1.9, existe ˜ϕ:E −→Kque coincide comϕem Gekϕk˜ =kϕk. Dessa forma,

˜

ϕ(x₀) = ϕ(x₀) =kx₀k

e

kϕk˜ =kϕk= sup

λx0∈B_G

|ϕ(λx₀)|= sup

λx0∈B_G

|λ| kx₀k= sup

λx0∈B_G

kλx₀k= 1.

O corol´ario a seguir expressa uma rela¸c˜ao dual para a norma de um vetor em E.

Corol´ario 1.11. Sejam E um espa¸co normado, E 6={0} e x∈E. Ent˜ao kxk= sup

ϕ∈BE0

|ϕ(x)|= maxn

|ϕ(x)|:ϕ∈E⁰ e kϕk= 1o .

Demonstra¸c˜ao: Sejam x ∈ E e ϕ ∈ E⁰. Pela continuidade de ϕ, temos |ϕ(x)| ≤ kϕk kxk. Da´ı,

sup

ϕ∈BE0

|ϕ(x)| ≤ sup

ϕ∈BE0

(kϕk kxk) =kxk. (1.6)

Usando o Corol´ario 1.10, existe ξ∈E⁰ com kξk= 1 e ξ(x) = kxk. Assim kxk=ξ(x)≤ sup

ϕ∈BE0

|ϕ(x)|. (1.7)

Logo, de (1.6) e (1.7), obtemos a primeira igualdade. Para a segunda igualdade, temos maxn

|ϕ(x)|:ϕ∈E⁰ e kϕk= 1o

≤ sup

ϕ∈BE0

|ϕ(x)|

= kxk=kξ(x)k

≤ maxn

|ϕ(x)|:ϕ∈E⁰ e kϕk= 1o .

A pr´oxima se¸c˜ao ´e dedicada a um breve estudo sobre s´eries em espa¸cos de Banach.

1.2 S´ eries em espa¸ cos de Banach

Nesta se¸c˜ao trataremos de dois tipos especias de s´eries: as que s˜ao absolutamente convergentes e as incondicionalmente convergentes. Veremos tamb´em as rela¸c˜oes que as mesmas possuem quando o espa¸co em quest˜ao for de Banach e, por fim, exibiremos o bem conhecido Teorema de Dvoretzky-Rogers.

Defini¸c˜ao 1.3. SejamEum espa¸co de Banach e (xj)^∞_j=1uma sequˆencia emE. Dizemos que (x_j)^∞_j=1 ´e

(a) som´avel, quando a s´erie

∞

X

j=1

x_j ´e convergente.

(b) absolutamente som´avel, quando a s´erie

∞

X

j=1

kx_jk<∞.

(c) incondicionalmente som´avel,quando a s´erie

∞

X

j=1

x_σ(j) ´e convergente para toda per- muta¸c˜aoσ :N−→N.

Tamb´em ´e de costume dizer que a s´erie

∞

X

n=1

x_n´e absolutamente convergente quando

∞

X

n=1

kx_nk < ∞ e incondicionalmente convergente quando, dada qualquer permuta¸c˜ao σ:N−→N, a s´erie

∞

X

n=i

x_σ(n) ´e convergente.

Devido a um resultado de Dirichlet, sabemos que na reta as sequˆencias incondici- onalmente e absolutamente som´aveis coincidem. De certa forma, o pr´oximo resultado estabelece uma rela¸c˜ao entre os conceitos caracterizando espa¸cos de Banach arbitr´arios.

Proposi¸c˜ao 1.12. Seja E um espa¸co vetorial normado. As seguintes afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes:

(i) E ´e um espa¸co de Banach.

(ii) Toda sequˆencia absolutamente som´avel emE ´e incondicionalmente som´avel.

Demonstra¸c˜ao: (i)⇒(ii) Sejam E um espa¸co de Banach, (xn)^∞_n=1 uma sequˆencia absolutamente som´avel em E e σ uma permuta¸c˜ao dos naturais. Considere y_n = kx_nk, para todo n ∈ N. Desta forma, temos (y_n)^∞_n=1 absolutamente som´avel em R, pois

∞

X

n=1

y_n =

∞

X

n=1

kx_nk < ∞, e ent˜ao

∞

X

n=1

x_σ(n)

< ∞. Assim, a sequˆencia das somas parciais

n

X

k=1

x_σ(k)

!∞

n=1

´

e convergente. Para concluir, devemos mostrar que a sequˆencia das somas parciais da s´erie

∞

X

n=1

x_σ(n) ´e de Cauchy. De fato, dado > 0, existen₀ ∈N tal que

n

X

k=1

x_σ(k)−

m

X

k=1

x_σ(k)

=

n

X

k=m+1

x_σ(k)

≤

n

X

k=m+1

x_σ(k) <

∞

X

k=n0

x_σ(k) < ,

sempre que n > m > n₀. Observe que a ´ultima desigualdade segue do crit´erio de Cauchy para s´eries. Assim, a sequˆencia das somas parciais

n

X

k=1

x_σ(k)

!∞

n=1

´e de Cauchy em E, isto ´e,

n

X

k=1

x_σ(k)−→ⁿ x∈E,

o que mostra que a sequˆencia (x_n)^∞_n=1 ´e incondicionalmente som´avel.

(ii)⇒(i) Agora suponhamos que toda sequˆencia absolutamente som´avel em E ´e incon- dicionalmente som´avel. Assim, nestas condi¸c˜oes, a pr´opria sequˆencia ´e som´avel, basta tomar a permuta¸c˜ao σ = id. Seja (x_n)^∞_n=1 uma sequˆencia de Cauchy em E. Ent˜ao, dadok ∈N e tomando um = 2^−k >0, existe n^(k)₀ ∈N tal que

kx_n−x_mk<2^−k, sempre que n, m≥n^(k)₀ . Podemos encontrar uma sequˆencia de ´ındices n₁ < n₂ <· · · tais que

x_nk+1−x_nk <

2^−k. Em particular

∞

X

k=1

x_nk+1−x_nk <

∞

X

k=1

2^−k= 1.

Isso mostra que a s´erie

∞

X

k=1

x_nk+1 −x_nk

´e absolutamente convergente e, por hip´otese

´e incondicionalmente convergente. Finalmente, note que

x_nk+1 =x_n1 +

k

X

j=1

x_nj+1−x_nj ,

disto, tomando o limite quando k −→ ∞ temos que x_nk+1^∞

k=1 ´e convergente. Da´ı, como (xn)^∞_n=1 ´e de Cauchy e admite uma subsequˆencia convergente, ent˜ao (xn)^∞_n=1 tamb´em converge para o mesmo limite da subsequˆencia, implicando queE ´e um espa¸co de Banach.

Muitas vezes n˜ao ´e f´acil dizer se uma sequˆencia (xn)^∞_n=1 em E´e incondicionalmente som´avel usando apenas a defini¸c˜ao. Portanto, o pr´oximo teorema exibe caracteriza¸c˜oes para este tipo de sequˆencias, que na maioria das vezes s˜ao mais prefer´ıveis do que a pr´opria defini¸c˜ao.

Teorema 1.13. Se E um espa¸co de Banach e (x_n)^∞_n=1 uma sequˆencia em E, as se- guintes condi¸c˜oes s˜ao equivalentes:

(a) (x_n)^∞_n=1 ´e uma sequˆencia incondicionalmente som´avel.

(b) Para cada > 0, existe m ∈N tal que, quando M ´e um subconjunto finito de N com minM > m, temos

X

n∈M

x_n

< .

(c) (x_n)^∞_n=1´e subs´erie som´avel, ou seja, para qualquer sequˆencia estritamente crescente (k_n)^∞_n=1 de inteiros positivo, a s´erie

∞

X

n=1

x_kn ´e convergente.

(d) (x_n)^∞_n=1 ´e sinal som´avel, isto ´e, para qualquer escolha de _n ∈ {−1,1} temos que

∞

X

n=1

_nx_n converge.

Demonstra¸c˜ao: Veja [[12], Teorema 1.22].

Para demonstrar o Teorema de Dvoretzky-Rogers, precisaremos do seguinte lema t´ecnico.

Lema 1.14. Seja E um espa¸co de Banach de dimens˜ao 2n. Ent˜ao existem n vetores y₁, . . . , y_n em E, com ¹₂ ≤ ky_jk ≤ 1 e j = 1, . . . , y_n, tais que para quaisquer escalares α₁, . . . , α_n tem-se

n

X

j=1

α_jy_j

≤

n

X

j=1

|α_j|²

!¹₂

Demonstra¸c˜ao: Veja [[12], Lema 1.26].

O Teorema de Dvoretzky-Rogers ´e um resultado de grande importˆancia para o estudo das s´eries em espa¸cos de Banach. Ele garante a existˆencia, em qualquer espa¸co de Banach de dimens˜ao infinita, de sequˆencias incondicionalmente som´aveis que n˜ao s˜ao absolutamente som´aveis.

Teorema 1.15 (Dvoretzky-Rogers). Seja E um espa¸co de Banach de dimens˜ao infinita. Ent˜ao para qualquer escolha de (λ_n)^∞_n=1 em `<sub>2</sub>, existe uma sequˆencia incondi- cionalmente som´avel (x<sub>n</sub>)<sup>∞</sup><sub>n=1</sub> em E, comkx<sub>n</sub>k=|λ<sub>n</sub>|, para todon∈N. Em particular, se escolhermos (λ<sub>n</sub>)<sup>∞</sup><sub>n=1</sub> em `₂−`₁, obteremos uma sequˆencia som´avel que n˜ao ´e abso- lutamente som´avel.

Demonstra¸c˜ao: Tomemos (λ_n)^∞_n=1 em `₂ e escolhamos uma sequˆencia de ´ındices (n_k)^∞_k=1 ∈N tais que n₁ < n₂ < n₃ <· · ·< n_k<· · · e

X

n≥n_k

|λ_n|² ≤2^−2k, ∀k ∈N.

ComoE tem dimens˜ao infinita, podemos tomar para todo k ∈N um subespa¸co E_k ⊂ E como dimens˜ao 2(n_k+1 − n_k). Pelo Lema 1.14, existem (n_k+1 −n_k) vetores, que denotaremos pory_nk, y_nk+1, . . . , y_nk+1−1, com normas pertencentes ao intervalo ₁

2,1 e tais que

N

X

n=nk

α_ny_n

≤

N

X

n=nk

|α_n|²

!¹₂ ,

sempre que N estiver entre n_k en_k+1−1 e para quaisquer escalaresα_nk, . . . , α_N. Agora, seja x_j := λjyj

ky_jk, para todo j ≥ n₁. Observemos que kx_nk = |λ_n|, para todo

n ≥ n₁, isto ´e, (x_n)^∞_n=1 n˜ao ´e absolutamente som´avel. Para toda escolha _n = ±1, temos

N

X

n=nk

_nx_n

=

N

X

n=nk

_nλ_ny_n ky_nk

≤

N

X

n=nk

|_n|²|λ_n|² kynk²

!¹₂

≤ 2

N

X

n=nk

|λ_n|²

!¹₂

≤2(2^−2k)¹² = 2^−k+1

sempre que N estiver entre n_k e n_k+1−1. Veja ainda que se n_k < n < m < n_k+1 e α_nk = 0, . . . , αn−1 = 0, α_n=_n, . . . , α_m =_m, segue que

m

X

j=n

_jx_j

=

m

X

j=nk

α_jx_j

=

m

X

j=nk

α_jλ_jy_j ky_jk

≤

m

X

j=nk

|α_j|²|λ_j|² ky_jk²

!¹₂

≤2

m

X

j=nk

|λ_j|²

!¹₂

≤ 2(2^−2k)¹² = 2^−k+1.

Finalmente, mostraremos que a sequˆencia das somas parciais da s´erie P∞

n=1_jx_j ´e de Cauchy em E. Para tanto, dado > 0, seja k0 = k0() tal que P∞

j=k02^−j+1 < . Se m > n > n_k0, ent˜ao, existem t ∈ N e k ≥ k₀ tais que n_k ≤ n ≤ n_k+1 e n_k+t ≤ m ≤ n_k+t−1.

Assim, set = 0, o que j´a foi provado nos diz que

m

X

j=n

_jx_j

≤2^−k+1 <

∞

X

j=k0

2^−j+1 < .

Set >0,

m

X

j=n

_jx_j

≤

nk+1−1

X

j=n

_jx_j

+

nk+2−1

X

nk+1

_jx_j

+· · ·+

m

X

j=nk+t

_jx_j

≤ 2^−k+1+ 2^−(k+1)+1+· · ·+ 2^−(k+t)+1

≤

∞

X

j=k0

2^−j+1 < .

Portanto, a sequˆencia das somas parciais da s´erie

∞

X

n=1

_nx_n´e de Cauchy emEe portanto converge para toda a escolha de _n = ±1. Pelo Teorema 1.13, temos que (x_n)^∞_n=1 ´e incondicionalmente som´avel.

Operadores absolutamente somantes

Neste cap´ıtulo, estudaremos diversos tipos de espa¸cos de sequˆencias a valores veto- riais e, al´em disso, estudaremos tamb´em um tipo de classe de operadores que melhoram a convergˆencia de s´eries: a classe dos operadores absolutamente (p;q)-somantes.

2.1 Espa¸ cos de sequˆ encias a valores vetoriais

O objetivo desta se¸c˜ao ´e generalizar os espa¸cos de sequˆencias que foram definidos no cap´ıtulo anterior e, al´em disso, exibir mais dois novos espa¸cos, que servir˜ao para estudar uma classe especial de operadores lineares e cont´ınuos.

Vamos come¸car definindo o espa¸co das sequencias limitadas a valores vetoriais.

Defini¸c˜ao 2.1. SejaEum espa¸co vetorial normado. Denotamos por`∞(E) o conjunto

`∞(E) :=

(xj)^∞_j=1 ∈E^N: ∃M ≥0 com kxjk_E ≤M ou :=

(x_j)^∞_j=1 ∈E^N: sup

j

kx_jk_E <∞

dassequˆencias limitadasemE. N˜ao ´e dif´ıcil mostrar que este conjunto de sequˆencias

´e um espa¸co vetorial com as opera¸c˜oes usuais de sequˆencias e que a fun¸c˜ao k·k_∞: `_∞(E) −→ [0,∞)

(xj)^∞_j=1 7−→

(xj)^∞_j=1

_∞ := sup_jkxjk_E, define uma norma no espa¸co`∞(E).

Proposi¸c˜ao 2.1. Quando E for um espa¸co de Banach, (`∞(E),k·k_∞) tamb´em ´e um espa¸co de Banach.

Demonstra¸c˜ao: Seja E um espa¸co de Banach. Tomemos x^k∞

k=1 uma sequˆencia de Cauchy em`∞(E) onde, para cada k ∈N, x<sup>k</sup> = (x<sup>k</sup><sub>j</sub>)<sup>∞</sup><sub>j=1</sub> ∈`∞(E). Assim, dado > 0, existek₀ ∈N tal que

x^k−x^r

∞ < , sempre que k, r≥k₀.Em particular, x^k_j −x^r_j

≤sup

j

x^k_j −x^r_j =

x^k−x^r

_∞< , (2.1)

vale para todo j ∈ N e para k, r ≥ k₀. Assim, fixando um j ∈ N, temos que a sequˆencia (x^k_j)^∞_j=1 ´e de Cauchy em E e podemos definir a sequˆencia y = (yj)^∞_j=1 ∈ E pory_j = lim

k x^k_j. Fazendo r −→ ∞em (2.1), temos x^k_j −y_j

E < , sempre que k ≥k₀ e ∀j ∈N. (2.2) Em particular, tomando k = k₀, segue que sup_j

x^k_j⁰ −y_j

E < o que implica em x^k_j⁰ −y_j^∞

j=1 ∈ `∞(E) e, portanto, y :=x<sup>k0</sup> −(x<sup>k0</sup> −y) ∈`∞(E). Por fim, por (2.2), temos

sup

j

x^k_j −y_j

E < , sempre que k ≥k₀, o que nos diz que

x^k−y ∞

−→k 0.

Defini¸c˜ao 2.2. SejaE um espa¸co vetorial normado, denotamos porc₀₀(E) o conjunto c₀₀(E) :=

(x_j)^∞_j=1 ∈E^N: existej₀ ∈N com x_j = 0,∀j ≥j₀ . das sequˆencias eventualmente nulas em E e por c₀(E) o conjunto

c₀(E) :=n

(x_j)^∞_j=1 :x_j ∈E,∀j ∈Ne kx_jk_E −→^j 0o .

das sequˆencias nulas em E.

Como toda sequˆencia eventualmente nula converge para zero e toda sequˆencia nula ´e convergente, e portanto, limitada, ´e uma tarefa simples mostrar quec₀₀(E) ´e subespa¸co vetorial de c₀(E) e que c₀(E) ´e subespa¸co vetorial de `∞(E), com as opera¸c˜oes usuais sobre sequˆencias.

Em c₀(E) e c₀₀(E) consideraremos ent˜ao a norma k·k_∞ herdada de `∞(E) e mos- traremos quec<sub>0</sub>(E) ´e um subespa¸co fechado em `∞(E) com essa norma.

Proposi¸c˜ao 2.2. SejaE um espa¸co de Banach. Ent˜aoc₀(E) ´e um subespa¸co fechado del_∞(E).

Demonstra¸c˜ao: Seja (x^k)^∞_k=1 ∈ c0(E), com x^k −→^k y ∈ `∞(E). Dado > 0, existe

k₀ ∈N tal que

x^k_j −y_j E ≤

(x^k_j)^∞_j=1−(y_j)^∞_j=1

_∞ = sup

j

x^k_j −y_j E <

2, sempre que k ≥ k₀ e ∀j ∈ N. Como x^k0 = (x^k_j⁰)^∞_j=1 ∈ c₀(E), temos

x^k_j⁰ E

−→j 0 e assim existe j₀ ∈N tal que

x^k_j⁰ <

2, sempre que j ≥j₀. Desta forma,

ky_jk_E =

y_j −x^k_j⁰ +x^k_j⁰ ≤

y_j−x^k_j⁰ E +

x^k_j⁰ E < ,

para todoj ≥j₀. O que mostra queky_jk_E −→0 e, consequentemente,c₀(E) ´e fechado em `_∞(E).

A Proposi¸c˜ao 2.2, juntamente com Proposi¸c˜ao 1.1, nos diz que (c0(E),k·k_∞) ´e um espa¸co de Banach. Por´em, c₀₀(E) n˜ao goza desta propriedade, pois n˜ao ´e fechado em c₀(E) (Veja, [3], p´ag.7]).

Por simplicidade, at´e o fim desta se¸c˜ao iremos sempre considerar 1 ≤ p < ∞ e E um espa¸co vetorial normado.

Defini¸c˜ao 2.3. Uma sequˆencia (x_j)^∞_j=1 em E ´e dita ser fortemente p-som´avel quando

∞

X

j=1

kx_jk^p_E <∞. (2.3)

Denotaremos por `<sub>p</sub>(E) o espa¸co de todas as sequˆencias fortemente p-som´aveis em E. Assim, de (2.3) podemos dizer que (x<sub>j</sub>)<sup>∞</sup><sub>j=1</sub> ∈`_p(E) se, somente se, kx_jk_E^∞

j=1 ∈`<sub>p</sub>. Segundo a defini¸c˜ao, ´e imediato que c00(E) ⊆ `p(E). Al´em disso, temos que

`<sub>p</sub>(E) ´e um espa¸co vetorial com as opera¸c˜oes usuais de sequˆencias. De fato, sejam (x<sub>j</sub>)<sup>∞</sup><sub>j=1</sub>,(y<sub>j</sub>)<sup>∞</sup><sub>j=1</sub> sequˆencias em `_p(E) e λ∈K, temos kx_jk_E∞

j=1, ky_jk_E∞

j=1 ∈`_p. Da´ı, λ kx_jk_E^∞

j=1+ ky_jk_E^∞

j=1 := λkx_jk_E+ky_jk_E^∞

j=1 ∈`_p

pois`<sub>p</sub> ´e espa¸co vetorial. Sobre o espa¸co`_p(E) ´e poss´ıvel definir a seguinte fun¸c˜ao k·k_p : `_p(E) −→ [0,∞)

(x_j)^∞_j=1 7−→

(x_j)^∞_j=1

`p(E) :=

∞

X

j=1

kx_jk^p_E

!¹_p ,

na qual satisfaz todas as propriedades de norma vistas em 1.1, o que torna-o um espa¸co vetorial normado. Quando n˜ao houver risco de ambiguidade entre `<sub>p</sub> e `_p(E) denotaremosk·k_`

p(E) simplesmente por k·k_p. Proposi¸c˜ao 2.3.

`p(E),k·k_p

´e um espa¸co de Banach sempre que E for um espa¸co de Banach.

Demonstra¸c˜ao: SendoE um espa¸co de Banach, tomemos x^k∞

k=1 uma sequˆencia de Cauchy em`<sub>p</sub>(E). Denotaremos, para cada k ∈N, x<sup>k</sup> = (x<sup>k</sup><sub>j</sub>)<sup>∞</sup><sub>j=1</sub> ∈ `_p(E). Assim dado > 0, existe k₀ ∈N tal que

x^k−x^r

_p < , sempre que k, r≥ k₀. Disto, observemos que

x^k_j −x^r_j

p E ≤

∞

X

j=1

x^k_j −x^r_j

p

E =

x^k−x^r

p

p < ^p, (2.4) sempre quek, r > k₀ e para todo j ∈ N. Conclu´ımos ent˜ao que a sequˆencia x^k_j^∞

j=1 ´e de Cauchy em E, e desta forma podemos definir yj := lim

k x^k_j ∈ E, o que nos fornece uma sequˆencia y= (y_j)^∞_j=1 de elementos deE. Resta-nos mostrar agora que y∈`_p(E) e

x^k−y p

−→k 0. Como (x^k)^∞_j=1 ´e uma sequˆencia de Cauchy em `_p(E) e de (2.4) temos que

m

X

j=1

x^k_j −x^r_j

p E < ^p,

sempre que k, r > k₀ e para todo m∈N. Fazendo r−→ ∞, temos

m

X

j=1

x^k_j −yj

p

E < ^p, sempre que k ≥k0,∀m∈N. (2.5) Agora, fazendo m−→ ∞ em (2.5) obtemos

∞

X

j=1

x^k_j −y_j

p

E =

x^k−y

p

p < ^p sempre que k > k₀.

O que mostra que

x^k−y _p

−→k 0. Finalmente, como `_p(E) ´e um espa¸co vetorial, resulta que

y=x^k0 −(x^k0 −y)∈`p(E), o que conclui a demonstra¸c˜ao.

Defini¸c˜ao 2.4. Uma sequˆencia (xj)^∞_j=1 em E ´e dita ser fracamente p-som´avel quando

∞

X

j=1

|ϕ(x_j)|^p <∞, sempre que ϕ∈E⁰. (2.6)