Dimens˜oes Homol´ogicas I

Dimens˜ oes Homol´ ogicas I

Roger R Primolan

Study seminar RTAG, IME-USP

S˜ao Paulo, 08 de outubro de 2021.

T´ opicos

1 Hist´oria, Motiva¸c˜ao e Revis˜ao Classifica¸c˜oes cl´assicas.

No¸c˜oes de Homologia

2 Resultados T´ecnicos Idempotentes Algebra Envolvente´

Dimens˜oes Homol´ogicas para ´Algebras de Dimens˜ao Finita

3 Principal Resultado Aplica¸c˜ao

Burocracias

Aqui sempre pensarei que K´e um corpo algebricamente fechado e as

´

algebras que aparecem s˜ao K-´algebras unitais, associativas, conexas, b´asicas e de dimens˜ao finita. Todos os m´odulos sobre As˜ao unitais. Os tensores ⊗s˜ao sempre⊗_K.

Table of Contents

1 Hist´oria, Motiva¸c˜ao e Revis˜ao Classifica¸c˜oes cl´assicas.

No¸c˜oes de Homologia

2 Resultados T´ecnicos Idempotentes Algebra Envolvente´

Dimens˜oes Homol´ogicas para ´Algebras de Dimens˜ao Finita

3 Principal Resultado Aplica¸c˜ao

Caso I: Semissimples

Um dos primeiros resultados de classifica¸c˜ao de ´algebras ´e para as ´algebrassemissimples.

Atrav´es dos trabalhos de Emil Artin(1898-1962) e Joseph Wedderburn (1882-1948), realizados em 1907 e 1927, sabemos que essas ´algebras, no nosso contexto, s˜ao somas de matrizes com entradas em K:

A∼=M_n1(K)⊕ · · · ⊕M_nr(K). Nota: aqui n˜ao ´e necess´ario supor que a ´algebra ´e b´asica.

Figure:Emil Artin (1898-1962)

Figure:Joseph Wedderburn (1882-1948)

Caso I: Semissimples

Um dos primeiros resultados de classifica¸c˜ao de ´algebras ´e para as ´algebrassemissimples.

Atrav´es dos trabalhos de Emil Artin(1898-1962) e Joseph Wedderburn(1882-1948), realizados em 1907 e 1927, sabemos que essas ´algebras, no nosso contexto, s˜ao somas de matrizes com entradas em K:

A∼=M_n1(K)⊕ · · · ⊕M_nr(K).

Nota: aqui n˜ao ´e necess´ario supor que a ´algebra ´e b´asica.

Figure:Emil Artin (1898-1962)

Figure:Joseph Wedderburn

Caso II: Heredit´ ario.

Outro teorema de

classifica¸c˜ao de ´algebras ´e o para ´algebrasheredit´arias b´asicas.

Estas s˜ao ´algebras de caminhos:

A∼=KQ_A,

onde QA ´e aaljava de Gabriel (ordin´aria)deA. Em 1972, Peter Gabriel(1933-2015), classifica as ´algebras heredit´arias b´asicas de tipo de representa¸c˜ao finito, elas correspondem aosdiagramas de Dynkin de tipoA,D e E.

Figure:Peter Gabriel (1933-2015)

Caso II: Heredit´ ario.

Outro teorema de

classifica¸c˜ao de ´algebras ´e o para ´algebrasheredit´arias b´asicas. Estas s˜ao ´algebras de caminhos:

A∼=KQ_A,

onde QA ´e aaljava de Gabriel (ordin´aria)deA.

Em 1972, Peter Gabriel(1933-2015), classifica as ´algebras heredit´arias b´asicas de tipo de representa¸c˜ao finito, elas correspondem aosdiagramas de Dynkin de tipoA,D e E.

Figure:Peter Gabriel (1933-2015)

Caso II: Heredit´ ario.

Outro teorema de

classifica¸c˜ao de ´algebras ´e o para ´algebrasheredit´arias b´asicas. Estas s˜ao ´algebras de caminhos:

A∼=KQ_A,

onde QA ´e aaljava de Gabriel (ordin´aria)deA. Em 1972, Peter Gabriel(1933-2015), classifica as ´algebras heredit´arias b´asicas de tipo de representa¸c˜ao finito, elas correspondem aosdiagramas

Figure:Peter Gabriel

Rela¸c˜ ao com Homologia

• Uma ´algebraA´e semissimplesquando todoA-m´oduloM ´e projetivo.

• Uma ´algebraB ´e heredit´ariaquando todo subm´odulo de um B-m´odulo projetivo ´e projetivo.

• 0→P₀ =M →M →0.

• 0→P1 →P0 →M →0

Isso nos d´a a interpreta¸c˜ao que uma categoria de m´odulos sobre um anel ´e t˜ao complicadaquanto as aproxima¸c˜oes de seus m´odulos por m´odulos projetivos.

Rela¸c˜ ao com Homologia

• Uma ´algebraA´e semissimplesquando todoA-m´oduloM ´e projetivo.

• Uma ´algebraB ´e heredit´ariaquando todo subm´odulo de um B-m´odulo projetivo ´e projetivo.

• 0→P₀ =M →M →0.

• 0→P1 →P0 →M →0

Isso nos d´a a interpreta¸c˜ao que uma categoria de m´odulos sobre um anel ´e t˜ao complicadaquanto as aproxima¸c˜oes de seus m´odulos por m´odulos projetivos.

Rela¸c˜ ao com Homologia

• Uma ´algebraA´e semissimplesquando todoA-m´oduloM ´e projetivo.

• Uma ´algebraB ´e heredit´ariaquando todo subm´odulo de um B-m´odulo projetivo ´e projetivo.

• 0→P₀ =M →M →0.

• 0→P1 →P0 →M →0

Isso nos d´a a interpreta¸c˜ao que uma categoria de m´odulos sobre um anel ´e t˜ao complicadaquanto as aproxima¸c˜oes de seus m´odulos por m´odulos

Dimens˜ oes Homol´ ogicas

Dado uma ´algebraAe um A-m´odulo M definimos:

1 adimens˜ao projetivade M em rela¸c˜ao a A´e o m´ınimo dos tamanhos das resolu¸c˜oes projetivas de M comoA-m´odulo e denotada pd_AM.

2 adimens˜ao global´e o supremo das dimens˜oes projetivas dos A-m´odulos e ´e denotada gldim(A).

Moralmente: a dimens˜ao projetiva de um m´odulo mede o qu˜ao longe de projetivo ele ´e, j´a a dimens˜ao global de uma ´algebra mede o qu˜ao complicada ela ´e.

Exemplos:

• Se P ´e um A-m´odulo projetivo, ent˜ao pd_AP = 0. Em particular, seA

´

e semissimples, ent˜ao gldim(A) = 0.

• Se A´e heredit´aria, ent˜ao pd_AM 51, para todo A-m´odulo M. Em particular, gldim(A)51.

Dimens˜ oes Homol´ ogicas

Dado uma ´algebraAe um A-m´odulo M definimos:

1 adimens˜ao projetivade M em rela¸c˜ao a A´e o m´ınimo dos tamanhos das resolu¸c˜oes projetivas de M comoA-m´odulo e denotada pd_AM.

2 adimens˜ao global´e o supremo das dimens˜oes projetivas dos A-m´odulos e ´e denotada gldim(A).

Moralmente: a dimens˜ao projetiva de um m´odulo mede o qu˜ao longe de projetivo ele ´e, j´a a dimens˜ao global de uma ´algebra mede o qu˜ao complicada ela ´e.

Exemplos:

• Se P ´e um A-m´odulo projetivo, ent˜ao pd_AP = 0. Em particular, seA

´

e semissimples, ent˜ao gldim(A) = 0.

• Se A´e heredit´aria, ent˜ao pd_AM 51, para todo A-m´odulo M. Em particular, gldim(A)51.

Dimens˜ oes Homol´ ogicas

Dado uma ´algebraAe um A-m´odulo M definimos:

1 adimens˜ao projetivade M em rela¸c˜ao a A´e o m´ınimo dos tamanhos das resolu¸c˜oes projetivas de M comoA-m´odulo e denotada pd_AM.

2 adimens˜ao global´e o supremo das dimens˜oes projetivas dos A-m´odulos e ´e denotada gldim(A).

Moralmente: a dimens˜ao projetiva de um m´odulo mede o qu˜ao longe de projetivo ele ´e, j´a a dimens˜ao global de uma ´algebra mede o qu˜ao complicada ela ´e.

Exemplos:

• Se P ´e um A-m´odulo projetivo, ent˜ao pd_AP = 0. Em particular, seA

´

e semissimples, ent˜ao gldim(A) = 0.

• Se A´e heredit´aria, ent˜ao pd_AM 51, para todo A-m´odulo M. Em particular, gldim(A)51.

Dimens˜ oes Homol´ ogicas

Dado uma ´algebraAe um A-m´odulo M definimos:

1 adimens˜ao projetivade M em rela¸c˜ao a A´e o m´ınimo dos tamanhos das resolu¸c˜oes projetivas de M comoA-m´odulo e denotada pd_AM.

2 adimens˜ao global´e o supremo das dimens˜oes projetivas dos A-m´odulos e ´e denotada gldim(A).

Moralmente: a dimens˜ao projetiva de um m´odulo mede o qu˜ao longe de projetivo ele ´e, j´a a dimens˜ao global de uma ´algebra mede o qu˜ao complicada ela ´e.

Exemplos:

• Se P ´e um A-m´odulo projetivo, ent˜ao pd_AP = 0. Em particular, seA

´

e semissimples, ent˜ao gldim(A) = 0.

• Se A´e heredit´aria, ent˜ao pd_AM 51, para todo A-m´odulo M. Em particular, gldim(A)51.

Table of Contents

1 Hist´oria, Motiva¸c˜ao e Revis˜ao Classifica¸c˜oes cl´assicas.

No¸c˜oes de Homologia

2 Resultados T´ecnicos Idempotentes Algebra Envolvente´

Dimens˜oes Homol´ogicas para ´Algebras de Dimens˜ao Finita

3 Principal Resultado Aplica¸c˜ao

Idempotentes

1 Dada uma ´algebraA, um sistema completo deidempotentes ortogonais e primitivos ´e um conjunto{e₁, . . . ,en}tal que 1 =P

ei, e_ie_j =δ_ije_i e que ´e maximal para essas duas condi¸c˜oes.

2 Do ponto de vista alg´ebrico usamos o scioppara encontrar, a menos de isomorfismo, osprojetivos irredut´ıveisna categoria dos A-m´odulos. Eles s˜ao:

P[i] .

=Aei,15i 5n.

3 Com esses podemos considerar os m´odulos simples na categoria dos A-m´odulos. Eles s˜ao:

S[i] .

= topP[i] = P[i]

radP[i], 15i 5n.

Idempotentes

1 Dada uma ´algebraA, um sistema completo deidempotentes ortogonais e primitivos ´e um conjunto{e₁, . . . ,en}tal que 1 =P

ei, e_ie_j =δ_ije_i e que ´e maximal para essas duas condi¸c˜oes.

2 Do ponto de vista alg´ebrico usamos o scioppara encontrar, a menos de isomorfismo, osprojetivos irredut´ıveisna categoria dosA-m´odulos.

Eles s˜ao:

P[i] .

=Aei,15i 5n.

3 Com esses podemos considerar os m´odulos simples na categoria dos A-m´odulos. Eles s˜ao:

S[i] .

= topP[i] = P[i]

radP[i], 15i 5n.

Idempotentes

1 Dada uma ´algebraA, um sistema completo deidempotentes ortogonais e primitivos ´e um conjunto{e₁, . . . ,en}tal que 1 =P

ei, e_ie_j =δ_ije_i e que ´e maximal para essas duas condi¸c˜oes.

2 Do ponto de vista alg´ebrico usamos o scioppara encontrar, a menos de isomorfismo, osprojetivos irredut´ıveisna categoria dosA-m´odulos.

Eles s˜ao:

P[i] .

=Aei,15i 5n.

3 Com esses podemos considerar os m´odulos simples na categoria dos A-m´odulos. Eles s˜ao:

S[i] .

= topP[i] = P[i]

radP[i], 15i 5n.

Exemplo

Considere a aljava Q

2

1 3

b a

c

Para a ´algebraA que ´e o quociente de KQ pelo ideal I =hba,cbi os simples s˜ao:

S[1] : 0 S[2] : Ke₂

Ke₁ 0 0 0

S[3] : 0

Exemplo

E os projetivos irredut´ıveis s˜ao

P[1] : Ka P[2] : Ke2

Ke₁ 0 0 Kb

P[3] : K(ac)

Kc Ke3

0

Algebra Envolvente I ´

Dada uma ´algebraAqualquer, podemos considerar a estrutura de

multiplica¸c˜ao deAcomo duas estruturas de m´odulos da seguinte maneira:

1 A´e um Am´odulo `a esquerda com a a¸c˜ao de a∈Asendo a multiplica¸c˜ao `a esquerda a(b) =ab,∀b∈A.

2 A´e um Am´odulo `a direita com a a¸c˜ao de a∈Asendo a multiplica¸c˜ao `a direita a^op(b) =ba,∀b∈A.

3 Essas duas estruturas satisfazem a seguinte propriedade: dados a,b,c ∈A

a◦b^op(c) =a(cb) =acb=b^op(ac) =b^op◦a(c).

Duas estruturas deA-m´odulo, uma de cada lado, em um espa¸co vetorial M que satisfazem (3) formam uma estrutura de A,A-bim´odulopara M. Como os A-m´odulos `a direita s˜aoA<sup>op</sup>-m´odulos `a esquerda, podemos reinterpretar os A,A-bim´odulos comoA^e =A⊗A^op-m´odulos `a esquerda.

Algebra Envolvente I ´

Dada uma ´algebraAqualquer, podemos considerar a estrutura de

multiplica¸c˜ao deAcomo duas estruturas de m´odulos da seguinte maneira:

1 A´e um Am´odulo `a esquerda com a a¸c˜ao de a∈Asendo a multiplica¸c˜ao `a esquerda a(b) =ab,∀b∈A.

2 A´e um Am´odulo `a direita com a a¸c˜ao de a∈Asendo a multiplica¸c˜ao `a direita a^op(b) =ba,∀b∈A.

3 Essas duas estruturas satisfazem a seguinte propriedade: dados a,b,c ∈A

a◦b^op(c) =a(cb) =acb=b^op(ac) =b^op◦a(c).

Duas estruturas deA-m´odulo, uma de cada lado, em um espa¸co vetorial M que satisfazem (3) formam uma estrutura de A,A-bim´odulopara M. Como os A-m´odulos `a direita s˜aoA<sup>op</sup>-m´odulos `a esquerda, podemos reinterpretar os A,A-bim´odulos comoA^e =A⊗A^op-m´odulos `a esquerda.

Algebra Envolvente I ´

Dada uma ´algebraAqualquer, podemos considerar a estrutura de

multiplica¸c˜ao deAcomo duas estruturas de m´odulos da seguinte maneira:

1 A´e um Am´odulo `a esquerda com a a¸c˜ao de a∈Asendo a multiplica¸c˜ao `a esquerda a(b) =ab,∀b∈A.

2 A´e um Am´odulo `a direita com a a¸c˜ao de a∈Asendo a multiplica¸c˜ao `a direita a^op(b) =ba,∀b∈A.

3 Essas duas estruturas satisfazem a seguinte propriedade: dados a,b,c ∈A

a◦b^op(c) =a(cb) =acb=b^op(ac) =b^op◦a(c).

Duas estruturas deA-m´odulo, uma de cada lado, em um espa¸co vetorial M que satisfazem (3) formam uma estrutura de A,A-bim´odulopara M.

Como os A-m´odulos `a direita s˜aoA<sup>op</sup>-m´odulos `a esquerda, podemos reinterpretar os A,A-bim´odulos comoA^e =A⊗A^op-m´odulos `a esquerda.

Algebra Envolvente I ´

Dada uma ´algebraAqualquer, podemos considerar a estrutura de

multiplica¸c˜ao deAcomo duas estruturas de m´odulos da seguinte maneira:

1 A´e um Am´odulo `a esquerda com a a¸c˜ao de a∈Asendo a multiplica¸c˜ao `a esquerda a(b) =ab,∀b∈A.

2 A´e um Am´odulo `a direita com a a¸c˜ao de a∈Asendo a multiplica¸c˜ao `a direita a^op(b) =ba,∀b∈A.

3 Essas duas estruturas satisfazem a seguinte propriedade: dados a,b,c ∈A

a◦b^op(c) =a(cb) =acb=b^op(ac) =b^op◦a(c).

Duas estruturas deA-m´odulo, uma de cada lado, em um espa¸co vetorial M que satisfazem (3) formam uma estrutura de A,A-bim´odulopara M. Como os A-m´odulos `a direita s˜aoA<sup>op</sup>-m´odulos `a esquerda, podemos reinterpretar os A,A-bim´odulos comoA^e =A⊗A^op-m´odulos `a esquerda.

Algebra Envolvente II ´

Se {e₁, . . . ,en}´e umsciop paraA, ent˜ao

{e_i⊗ej |15i,j 5n}

´

e um sciop paraA^e .

=A⊗A^op. Denotamos P[i,j] .

=A^e(e_i⊗e_j) e S[i,j] .

= topP[i,j]∼= Hom_K(S[i],S[j]).

Existe um resultado que permite encontrar qual ´e a ´algebra envolvente para uma ´algebra de caminhos. Na verdade esse resultado ´e mais geral e serve para alguns quocientes por ideais de duas ´algebras de caminhos, esse resultado mais geral pode ser encontrado em [Ska11, Proposi¸c˜ao 2.4], aqui apenas falarei do resultado que nos interessa.

Algebra Envolvente II ´

Se {e₁, . . . ,en}´e umsciop paraA, ent˜ao

{e_i⊗ej |15i,j 5n}

´

e um sciop paraA^e .

=A⊗A^op. Denotamos P[i,j] .

=A^e(e_i⊗e_j) e S[i,j] .

= topP[i,j]∼= Hom_K(S[i],S[j]).

Existe um resultado que permite encontrar qual ´e a ´algebra envolvente para uma ´algebra de caminhos. Na verdade esse resultado ´e mais geral e serve para alguns quocientes por ideais de duas ´algebras de caminhos, esse resultado mais geral pode ser encontrado em [Ska11, Proposi¸c˜ao 2.4], aqui apenas falarei do resultado que nos interessa.

Algebra Envolvente III ´

Lemma

[Ska11, Proposi¸c˜ao 2.2] Sejam Q e R duas aljavas finitas, ent˜ao

KQ⊗KR ∼= K(Q×R) κ(Q,R) , onde κ(Q,R) .

={αβ−βα |α∈Q, β∈R} e Q×R ´e a aljava cujos v´ertices s˜ao Q0×Q1 e flechas(Q1×R0)∪(Q0×R1).

A pergunta natural agora ´e: Que?!

Algebra Envolvente III ´

Lemma

[Ska11, Proposi¸c˜ao 2.2] Sejam Q e R duas aljavas finitas, ent˜ao

KQ⊗KR ∼= K(Q×R) κ(Q,R) , onde κ(Q,R) .

={αβ−βα |α∈Q, β∈R} e Q×R ´e a aljava cujos v´ertices s˜ao Q0×Q1 e flechas(Q1×R0)∪(Q0×R1).

A pergunta natural agora ´e: Que?!

A Melhor Resolu¸c˜ ao Projetiva

Uma pergunta natural de se fazer ´e se existe uma resolu¸c˜ao projetiva que nos permite ler, sem grandes dificuldades, qual ´e a dimens˜ao projetiva do m´odulo resolvido.

A resposta ´e positiva e esta resolu¸c˜ao ´e chamada de resolu¸c˜ao projetiva minimal.

1 Uma cobertura projetivapara um A-m´odulo M ´e um epimorfismo h:P −→M

tal que P ´e projetivo e o homomorfismo induzido

¯h: topP −→topM

´

e um isomorfismo.

2 Uma resolu¸c˜ao projetiva minimal´e uma resolu¸c˜ao projetiva tal que cada

d_n:P_n−→Im(d_n)

´

e uma cobertura projetiva.

A Melhor Resolu¸c˜ ao Projetiva

Uma pergunta natural de se fazer ´e se existe uma resolu¸c˜ao projetiva que nos permite ler, sem grandes dificuldades, qual ´e a dimens˜ao projetiva do m´odulo resolvido. A resposta ´e positiva e esta resolu¸c˜ao ´e chamada de resolu¸c˜ao projetiva minimal.

1 Uma cobertura projetivapara um A-m´odulo M ´e um epimorfismo h:P −→M

tal que P ´e projetivo e o homomorfismo induzido

¯h: topP −→topM

´

e um isomorfismo.

2 Uma resolu¸c˜ao projetiva minimal´e uma resolu¸c˜ao projetiva tal que cada

d_n:P_n−→Im(d_n)

´

e uma cobertura projetiva.

A Melhor Resolu¸c˜ ao Projetiva

Uma pergunta natural de se fazer ´e se existe uma resolu¸c˜ao projetiva que nos permite ler, sem grandes dificuldades, qual ´e a dimens˜ao projetiva do m´odulo resolvido. A resposta ´e positiva e esta resolu¸c˜ao ´e chamada de resolu¸c˜ao projetiva minimal.

1 Uma cobertura projetivapara um A-m´odulo M ´e um epimorfismo h:P −→M

tal que P ´e projetivo e o homomorfismo induzido

¯h: topP −→topM

´

e um isomorfismo.

2 Uma resolu¸c˜ao projetiva minimal´e uma resolu¸c˜ao projetiva tal que cada

d_n:P_n−→Im(d_n)

´

e uma cobertura projetiva.

A Melhor Resolu¸c˜ ao Projetiva

Uma pergunta natural de se fazer ´e se existe uma resolu¸c˜ao projetiva que nos permite ler, sem grandes dificuldades, qual ´e a dimens˜ao projetiva do m´odulo resolvido. A resposta ´e positiva e esta resolu¸c˜ao ´e chamada de resolu¸c˜ao projetiva minimal.

1 Uma cobertura projetivapara um A-m´odulo M ´e um epimorfismo h:P −→M

tal que P ´e projetivo e o homomorfismo induzido

¯h: topP −→topM

´

e um isomorfismo.

2 Uma resolu¸c˜ao projetiva minimal´e uma resolu¸c˜ao projetiva tal que cada

d_n:P_n−→Im(d_n)

Equivalˆ encias Homol´ ogicas

O legal de estudar dimens˜oes homol´ogicas para ´algebras de dimens˜ao finita - esta ´ultima dimens˜ao ´e a de espa¸co vetorial - ´e que podemos nos

restringir aos m´odulos simples. Vejamos como isso acontece:

1 A dimens˜ao global de uma ´algebra de dimens˜ao finita ´e o supremo da dimens˜ao projetiva de seus m´odulos simples.

2 Para umA-m´oduloM s˜ao equivalentes:

1 pd_AM 5n.

2 Extⁿ⁺¹(M,S) = 0, para todos os m´odulos simples.

3 A resolu¸c˜ao projetiva minimal paraM tem comprimento no m´aximon. Juntando essas duas informa¸c˜oes acima, vemos que podemos descobrir a dimens˜ao global de uma ´algebra olhando apenas para os grupos

Extⁿ_A(S,S⁰) com S eS⁰ A-m´odulos simples.

Equivalˆ encias Homol´ ogicas

O legal de estudar dimens˜oes homol´ogicas para ´algebras de dimens˜ao finita - esta ´ultima dimens˜ao ´e a de espa¸co vetorial - ´e que podemos nos

restringir aos m´odulos simples. Vejamos como isso acontece:

1 A dimens˜ao global de uma ´algebra de dimens˜ao finita ´e o supremo da dimens˜ao projetiva de seus m´odulos simples.

2 Para umA-m´oduloM s˜ao equivalentes:

1 pd_AM 5n.

2 Extⁿ⁺¹(M,S) = 0, para todos os m´odulos simples.

3 A resolu¸c˜ao projetiva minimal paraM tem comprimento no m´aximon.

Juntando essas duas informa¸c˜oes acima, vemos que podemos descobrir a dimens˜ao global de uma ´algebra olhando apenas para os grupos

Extⁿ_A(S,S⁰) com S eS⁰ A-m´odulos simples.

Equivalˆ encias Homol´ ogicas

O legal de estudar dimens˜oes homol´ogicas para ´algebras de dimens˜ao finita - esta ´ultima dimens˜ao ´e a de espa¸co vetorial - ´e que podemos nos

restringir aos m´odulos simples. Vejamos como isso acontece:

1 A dimens˜ao global de uma ´algebra de dimens˜ao finita ´e o supremo da dimens˜ao projetiva de seus m´odulos simples.

2 Para umA-m´oduloM s˜ao equivalentes:

1 pd_AM 5n.

2 Extⁿ⁺¹(M,S) = 0, para todos os m´odulos simples.

3 A resolu¸c˜ao projetiva minimal paraM tem comprimento no m´aximon.

Juntando essas duas informa¸c˜oes acima, vemos que podemos descobrir a dimens˜ao global de uma ´algebra olhando apenas para os grupos

Extⁿ_A(S,S⁰) com S eS⁰ A-m´odulos simples.

Exemplo I

Para A₁=k[x]/hx²i a seguinte sequˆencia exata ´e uma resolu¸c˜ao projetiva minimal para S[1] (o ´unico simples):

· · · →P[1]→P[1]→P[1]→K=S[1]→0.

Exemplo II

Considere a aljava Q : 1 ^a 2 . E considereA2 =KQ, ent˜ao seus projetivos irredut´ıveis s˜ao: P[1] : Ke1 Ka e

P[1] : 0 Ke₂ . Com esses dados conseguimos calcular:

0 S[1]

0 S[2]

Exemplo III

Considere a aljava Q

2

1 3

b a

c

Para a ´algebraA₃ que ´e o quociente de KQ pelo ideal I =hba,cbi os projetivos irredut´ıveis s˜ao

P[1] : Ka P[2] : Ke₂

Ke₁ 0 0 Kb

P[3] : K(ac)

0

Exemplo III

Conseguimos calcular as seguinte resolu¸c˜oes projetivas minimais:

0 S[1]

0 S[2]

0 S[3]

Exemplo IV

Agora a aljava Q ´e

4

2 3

1

b d

a c

A ´algebra ´e A₄=KQ/I, ondeI =hba−dci. Os projetivos irredut´ıveis s˜ao

Table of Contents

1 Hist´oria, Motiva¸c˜ao e Revis˜ao Classifica¸c˜oes cl´assicas.

No¸c˜oes de Homologia

2 Resultados T´ecnicos Idempotentes Algebra Envolvente´

Dimens˜oes Homol´ogicas para ´Algebras de Dimens˜ao Finita

3 Principal Resultado Aplica¸c˜ao

Resolu¸c˜ ao Projetiva Minimal para A como A

-m´ odulo I

Lemma

[Hap89, Lema da se¸c˜ao 1.5] Seja

· · ·Rn−→Rn−1 −→ · · · −→R1 −→R0 −→A−→0 uma resolu¸c˜ao projetiva minimal para A como A^e-m´odulo. Ent˜ao

Rn=M

i,j

P[i,j]^{dim ExtnA}(S[i],S[j]).

Ideia da demonstra¸c˜ao:

1 EscrevaR_n=L

i,jP[i,j]^rij, pois estes s˜ao os projetivos indecompon´ıveis de A^e−mod.

2 Aplique o funtor HomA^e(−,S[i,j]).

3 Note que os diferenciais do novo complexo s˜ao nulos - ocorre pois a

Resolu¸c˜ ao Projetiva Minimal para A como A

-m´ odulo II

4 Segue o cˆomputo

rij = dim Extⁿ_Ae(A,S[i,j]) = dim Extⁿ_Ae(A,Hom_K(S[i],S[j]))

= dimHⁿ(A,Hom_K(S[i],S[j])) = dim Extⁿ_A(S[i],S[j]).

Dimens˜ ao Global e Dimens˜ ao Projetiva

Corollary

Seja A uma K-´algebra de dimens˜ao finita, ent˜ao pd_A^eA= gldim(A).

Demonstra¸c˜ao: Usando a resolu¸c˜ao minimal que obtivemos, isto ´e, o n-´esimo termo dela ´e dado por

R_n=M

i,j

P[i,j]^{dim ExtnA(S[i],S[j])}

temos o seguinte cˆomputo

pdA^eA= sup{n∈N |R_n6= 0}

= sup{n∈N | Extⁿ_A(S[i],S[j])6= 0}= gldim(A).

Isso nos diz, moralmente, que A´e t˜ao complicado comoA^e-m´odulo quanto o ´e como ´algebra.

Dimens˜ ao Global e Dimens˜ ao Projetiva

Corollary

Seja A uma K-´algebra de dimens˜ao finita, ent˜ao pd_A^eA= gldim(A).

Demonstra¸c˜ao: Usando a resolu¸c˜ao minimal que obtivemos, isto ´e, o n-´esimo termo dela ´e dado por

R_n=M

i,j

P[i,j]^{dim ExtnA(S[i],S[j])}

temos o seguinte cˆomputo

pdA^eA= sup{n∈N |R_n6= 0}

= sup{n∈N | Extⁿ_A(S[i],S[j])6= 0}= gldim(A).

Exemplo

• Se A´e uma ´algebra de caminhos conexa comJ(A)6= 0, ent˜ao pd_AeA= 1.

• Se A=Mn(K), ent˜aopd_Mn(K)^eMn(K) = 0.

• Lembrando que A1 ´e a ´algebra dual temos pd_A^e

1A1=∞.

• pd_A^e

3A₃ = 3.

• Lembrando que A^e₂ =A₄, vale que pq_A4A₂ = 1, apesar de que gldim(A4) = 2

Exemplo

• Se A´e uma ´algebra de caminhos conexa comJ(A)6= 0, ent˜ao pd_AeA= 1.

• Se A=Mn(K), ent˜aopd_Mn(K)^eMn(K) = 0.

• Lembrando que A1 ´e a ´algebra dual temos pd_A^e

1A1=∞.

• pd_A^e

3A3 = 3.

• Lembrando que A^e₂ =A₄, vale que pq_A4A₂ = 1, apesar de que gldim(A4) = 2

Exemplo

• Se A´e uma ´algebra de caminhos conexa comJ(A)6= 0, ent˜ao pd_AeA= 1.

• Se A=Mn(K), ent˜aopd_Mn(K)^eMn(K) = 0.

• Lembrando que A1 ´e a ´algebra dual temos pd_A^e

1A1=∞.

• pd_A^e

3A3 = 3.

• Lembrando que A^e₂ =A₄, vale que pq_A4A₂ = 1, apesar de que gldim(A4) = 2

Bibliografia

Obrigado pela aten¸ c˜ ao! D´ uvidas?

William Crawley-Boevey.

Noncommutative algebra 2: Representations of finite-dimensional algebras.

Dieter Happel.

Hochschild cohomology of finite—dimensional algebras.

InS´eminaire d’Algebre Paul Dubreil et Marie-Paul Malliavin, pages 108–126.

Springer, 1989.

Øystein Ingmar Skartsæterhagen.

Quivers and admissible relations of tensor products and trivial extensions.

Master’s thesis, Institutt for matematiske fag, 2011.