An´alise Espectral de Processos Estoc´asticos

An ´alise Espectral de Processos Estoc ´asticos

Airlane Pereira Alencar

3 de Marc¸o de 2019

Alencar, A.P. (IME-USP) An ´alise espectral 3 de Marc¸o de 2019 1 / 23

´Indice

1 Objetivos

2 Pr ´e-requisitos

3 Espectro

4 Propriedades

5 Teorema Bochner-Wiener-Khintchine

6 Refer ˆencia

Espectro x FAC.

Caracterizac¸ ˜ao do proc. estacion ´ario a partir da FAC e espectro.

Alencar, A.P. (IME-USP) An ´alise espectral 3 de Marc¸o de 2019 3 / 23

J ´a vimos

Processos estoc ´asticos;

Estacionariedade;

Exemplos;

Func¸ ˜ao de autocovari ˆancia: propriedades e estimac¸ ˜ao;

An ´alise Harm ˆonica.

Espectro: Heur´ıstica

Seja{X(t),t∈T}processo estacion ´ario (pode ser complexo) comE(X(t)) =0 e T=R.

X(t) ´e agora uma realizac¸ ˜ao do processo (n ˜ao aleat ´oria).

Y(t) =

X(t) , se−T ≤t ≤T; 0 , se|t|>T.

Y(t) ´e de quadrado integr ´avel e definimos a transf.de Fourier (p.

27):

F_Y(λ) = 1 2π

Z ∞

−∞

Y(t)e^−iλtdt

|F(λ)|²dλ: contribuic¸ ˜ao da frequ ˆencia em(λ, λ+dλ) `a energia total pois pelo T. Parseval:

Z ∞

−∞

|f(t)|²dt = 1 2π

Z ∞

−∞

|F(λ)|²dλ

Alencar, A.P. (IME-USP) An ´alise espectral 3 de Marc¸o de 2019 5 / 23

Espectro

J^(T)(λ) = ^|FY_2T^(λ)|2 representa a f. densidade de pot ˆencia de Y(t) lim_T→∞ ^|FY_2T^(λ)|2 descreveriaX(t)poisT → ∞.

ComoX(t) ´e s ´o uma s ´erie, consideramos a m ´edia f(λ) = lim

T→∞E[J^(T)(λ)]

quando o limite existir.

f(λ) ´e dita f. densidade espectral de X(t) e representa a m ´edia das contribuic¸ ˜oes das freq. em[λ, λ+dλ] `a pot ˆencia total.

Espectro

f(λ) = lim

T→∞

E|F_Y(λ)|² 2T

Tlim→∞

1 2TE

1

√ 2π

Z ∞

−∞

Y(t)e^−iλtdt 1

√ 2π

Z ∞

−∞

Y(s)e^−iλsds ∗

Tlim→∞

1 2π

1 2T

Z T

−T

Z T

−TE[Y(t)Y(s)^∗]e^{−iλ(t−s)}dt ds lim

T→∞

1 2π

Z 2T

−2T

1− |τ| 2T

γ(τ)e^−iλτdτ

Uma condic¸ ˜ao suficiente para que o limite exista ´e Z ∞

−∞

|γ(τ)|dτ <∞

Vari ´aveis mais afastadas s ˜ao menos correlacionadas!

Alencar, A.P. (IME-USP) An ´alise espectral 3 de Marc¸o de 2019 7 / 23

Espectro

Ent ˜ao, o espectro ´e a TF da FAC f(λ) = 1

2π Z ∞

−∞

γ(τ)e^−iλτdτ

A transformada inversa ´e γ(τ) =

Z ∞

−∞

f(λ)e^+iλτdλ

Paraτ =0, temos a decomposic¸ ˜ao da vari ˆancia γ(0) =

Z ∞

−∞

f(λ)dλ

Espectro tempo discreto: t ∈ Z

SeP∞

k=∞|γ_k|<∞, temos o espectro

f(λ) = 1 2π

∞

X

−∞

γ_ke^−iλk,−π < λ < π

A transformada inversa ´e γ_k =

Z π

−π

f(λ)e^+iλkdλ,k =0,1, . . .

Alencar, A.P. (IME-USP) An ´alise espectral 3 de Marc¸o de 2019 9 / 23

Prova de que vale essa transf. inversa

Exerc´ıcio

Propriedades da densidade espectral

Teorema 1

O espectrof(λ) = 1 2π

∞

X

k=−∞

γ_ke^−iλk, ´e limitado, n ˜ao negativo, uniformemente cont´ınuo, par e peri ´odico de per´ıodo 2π.

|f(λ)|= _2π¹|P

γke^iλk| ≤ _2π¹ P

|γ_k|<∞;

N ˜ao negativo, s ´o quando mostrarmos que a esperanc¸a do periodograma (n ˜ao negativo) converge paraf(λ);

Uniformemente cont´ınuo

|f(λ+ω)−f(λ)| ≤ _2π¹ P∞

k=−∞|e^−i(λ+ω)k −e^−iλk||γ_k|=

1 2

P∞

k=−∞|e^−iλk||e^−iλk−1||γ_k| −−−→

ω→0 0

Alencar, A.P. (IME-USP) An ´alise espectral 3 de Marc¸o de 2019 11 / 23

Propriedades do Espectro

f(λ) = 1 2π

∞

X

k=−∞

γ_ke^−iλk

γ_k =γ_−k (estac) e parau =−k: f(λ) = _2π¹ P∞

u=−∞γue^+iuk =f(−λ)

f(λ)tem per´ıodo 2π, poise^−iλk =cos(λk)−isen(λk)tb tem.

Parat=R

f(λ) = 1 2π

Z ∞

−∞

γ(τ)e^−iλτdτ

f(λ)tem as mesmas propriedades, exceto que n ˜ao tem per´ıodo 2π.

Espectro: parametrizac¸ ˜ oes e simplificac¸ ˜ oes

Tempo discreto (pr ´atica)

Comof(λ) ´e par e de per´ıodo 2π, basta visualizarf(λ),0< λ < π.

Se considero a frequ ˆenciaω= _2π^λ (λ=2πω), tenhoω ∈[0,1/2]e o per´ıodo ´e 1/ω(=12 meses).

f(λ) = 1 2π

∞

X

k=−∞

γ_ke^−iλk = 1 2π

∞

X

k=−∞

γ_kcos(λk)

Alencar, A.P. (IME-USP) An ´alise espectral 3 de Marc¸o de 2019 13 / 23

Exemplos: Encontre f (λ)

X ={X(t),t ∈Z}processo estacion ´ario

∞

X

k=−∞

|γ_k|<∞

X_t ´e ru´ıdo branco, ent ˜aoγ_j =0,j 6=0

f(λ) = 1 2π

∞

X

k=−∞

γ_ke^−iλk =γ₀

Todas as frequ ˆencias est ˜ao presentes no espectro, como na luz branca.

Exemplos: Encontre f (λ)

MA centradoY_t = ¹₃(X_t−1+X_t +X_t+1),X_t ∼RB

γ_k =











3σ²/9 , sek =0;

2σ²/9 , se|k|=1;

σ²/9 , se|k|=2;

0 , se|k|>3;

f(λ) = 1 2π

∞

X

k=−∞

γ_ke^−iλk =

= 1

2π 3σ²

9 +2σ²

9 (e^−iλ+e^λ) +σ²

9 (e^−iλ2+e^λ2)

= 1

2π σ²

9 [3+4cos(w) +2cos(2w)]

curve((1/9)*(1/(2*pi))*(3+4*cos(x)+2*cos(2*x)), 0, pi)

Alencar, A.P. (IME-USP) An ´alise espectral 3 de Marc¸o de 2019 15 / 23

Exemplos: Encontre f (λ)

MA centradoY_t = ¹₃(X_t−1+X_t +X_t+1),X_t ∼RB

f(λ) = 1 2π

σ²

9 [3+4cos(w) +2cos(2w)]

Cossenos e Senos

J ´a estudamos An ´alise Harm ˆonica

Xt =

q

X

k=1

A_kcos(2πω_kt) +B_ksen(2πω_kt)

A_k eB_k vari ´aveis n ˜ao correlacionadas com m ´edia 0 e vari ˆanciaσ_k²e ωk frequ ˆencias distintas.

γ(h) =

q

X

k=1

σ_k²cos(2πω_kh)

N ˜ao valeP∞

k=∞|γ_k|<∞.

N ˜ao temos a f. densidade espectral mas temos representac¸ ˜ao espectral.

γ(0) =

q

X

k=1

σ²_k (1)

An ´alise de vari ˆancia para s ´eries estacion ´arias

Alencar, A.P. (IME-USP) An ´alise espectral 3 de Marc¸o de 2019 17 / 23

Teorema Bochner-Wiener-Khintchine

X ={X(t),t ∈R}processo estacion ´ario real, de m ´edia zero e FACv γ(τ)cont´ınua∀τ.

γ(τ) ´e FACv de processo estacion ´ario⇔

γ(τ) = Z ∞

−∞

e^iλτdFλ, ∀τ ∈R ondeF(λ) ´e func¸ ˜ao real, n ˜ao decrescente e limitada.

Prova: Ondas p. 116 A.3

Observac¸ ˜ oes

Dividindo porγ(0), temosρ(τ) =R∞

−∞e^iλτdG(λ);

F(λ) ´e definida a menos de uma constante e podemos fixar F(∞) =0 eF(∞) =γ(0)

γ(0) =R∞

−∞dF(λ)F(λ) ´e chamada de distribuic¸ ˜ao espectral de X(t) sobre o eixo das frequ ˆencias

ComoF(λ)parece f. dist. pode ser decomposta nas componentes discreta, cont´ınua e singular em

F(λ) =a1F_d(λ) +a2Fc(λ) +a3Fs(λ)coma1+a2+a3=1 Na pr ´atica nem considera a singular e temos mistura de func¸ ˜ao escada e cont´ınua

γ(τ) =

∞

X

j=−∞

e^iλjτp(λ_j) + Z ∞

−∞

e^iλτf_c(λ)dλ Se temosP∞

k=∞|γ_k|<∞, temos s ´o a parte cont´ınua como nos processos ARMA e proc. linear geral.

Alencar, A.P. (IME-USP) An ´alise espectral 3 de Marc¸o de 2019 19 / 23

Teorema Herglotz - Tempo discreto

X ={X(t),t ∈Z}processo estacion ´ario real, de m ´edia zero e FACv γ_k.

γ_k ´e FACv de processo estacion ´ario⇔ γ_k =

Z π

−π

e^iλkdFλ, ∀k ∈Z ondeF(λ) ´e func¸ ˜ao real, n ˜ao decrescente e limitada.

Exemplo Primeiro Harm ˆ onico

Xt =U1cos(2πω0t) +U2sen(2πω0t)

ω₀conhecido, U₁eB=U₂vari ´aveis n ˜ao correlacionadas com m ´edia 0 e vari ˆanciaσ². N ˜ao valeP∞

k=∞|γ_k|<∞.

γ(h) = σ²cos(2πω₀h) = σ²

2 e^−2πiω0h+σ² 2 e^2πiω0h

=

Z 1/2

−1/2

e^2πiω0hdF(ω)

representac¸ ˜ao espectral com F saltitante

F(ω) =







0 ,ω=≤ω0; σ²/2 ,−ω₀< ω < ω₀; σ² , seω≥ω0

Alencar, A.P. (IME-USP) An ´alise espectral 3 de Marc¸o de 2019 21 / 23

Teorema Cram ´er - Tempo cont´ınuo

X ={X(t),t ∈R}processo estacion ´ario real com FACv cont´ınua.

Ent ˜ao existe proc. estac. {Z(λ), λ∈R}de incrementos ortogonais tal que

X(t) = Z ∞

−∞

e^itλdZ(λ), ∀t ∈R

ondeZ(t)tem incrementos ortogonais:

E(dZ(λ)) =0,∀λ E|dZ(λ)|²=dF(λ),∀λ

Tem equivalente para tempo discreto.

X(t)pode ser aproximado por soma de componentes harm ˆonicas de amplitutes aleat ´orias.

Refer ˆencias

All Time series analysis Morettin e Toloi Shumway and Stoffer Wei

Alencar, A.P. (IME-USP) An ´alise espectral 3 de Marc¸o de 2019 23 / 23