Lista 3 - C´ alculo II para Licenciatura da F´ısica

Lista 3 - C´ alculo II para Licenciatura da F´ısica

1. Calcule:

(1) Z 1

0

x e^−x2 dx (2)

Z ^π₃

0

sen⁴(x) cos(x)dx (3)

Z 1

0

3 2x+ 1 dx (4)

Z 2

1

x

1 + 3x² dx (5)

Z 1

0

√ x

1 +x² dx (6)

Z 1

0

x³

√1 +x² dx

(7) Z 3

2

1

(x−1)³ dx (8)

Z 1

0

x

1 +x⁴ dx (9)

Z 3

0

√ x

x+ 1 dx (10)

Z 1

0

p1−x² dx (11) Z ^π₆

0

cos(x)sen⁵(x)dx (12)

Z ^π₆

0

cos³(x)dx

(13) Z 1

0

xp

1−x² dx (14) Z 1

−1

x³(x²+ 3)¹⁰dx (15) Z 1

0

x² 1 +x³ dx (16)

Z π

−π

sen(x)

x⁴+x²+ 1 dx (17) Z 1

−1

x³ sen(x²+ 1) dx 2. Desenhe o conjuntoAdado e calcule sua ´area:

(a) A´e o conjunto do plano limitado pelas retasx= 1, x= 3, pelo eixo x e pelo gr´afico dey=x³. (b) A´e o conjunto do plano limitado pelas retasx= 1, x= 4, y= 0 e pelo gr´afico dey=√

x.

(c) A´e o conjunto de todos os (x, y)∈R² tais quex²−1≤y≤0.

(d) A´e o conjunto de todos os (x, y)∈R² tais que 0≤y≤4−x².

(e) A´e o conjunto de todos os (x, y)∈R² tais que 0≤y≤ |sen(x)|, com 0≤x≤2π.

(f) A´e a regi˜ao do plano compreendida entre o eixo x e o gr´afico dey=x²−x, com 0≤x≤2.

(g) A´e o conjunto do plano limitado pela retay= 0 e pelo gr´afico dey= 3−2x−x², com−1≤x≤2.

(h) A´e o conjunto do plano limitado pelas retasx=−1, x= 2, y= 0 e pelo gr´afico dey=x²+ 2x+ 5.

(i) A´e o conjunto do plano limitado pelo eixo x e pelo gr´afico dey=x³−x, com−1≤x≤1.

(j) A´e o conjunto do plano limitado pela retay= 0 e pelo gr´afico dey=x³−x, com 0≤x≤2.

(k) A´e o conjunto do plano limitado pelas retasx= 0, x=π, y= 0 e pelo gr´afico dey= cos(x).

(l) A´e o conjunto de todos os (x, y)∈R² tais quex≥0 ex³≤y≤x.

(m) A´e o conjunto do plano limitado pela retay=xe pelo gr´afico dey=x³, com−1≤x≤1.

(n) A={(x, y)∈R²: 0≤x≤1 e√

x≤y≤3}.

(o) A´e o conjunto do plano limitado pelas retasx= 0, x=^π₂ e pelos gr´aficos dey= sen(x) ey= cos(x).

(p) A´e o conjunto de todos os (x, y)∈R² tais quex²+ 1≤y≤x+ 1.

(q) A´e o conjunto de todos os (x, y)∈R² tais quex²−1≤y≤x+ 1.

(r) A´e o conjunto do plano limitado pelas retasx= 0, x=^π₂ e pelos gr´aficos dey= cos(x) ey= 1−cos(x).

(s) A={(x, y)∈R²:x≥0 ex³−x≤y≤ −x²+ 5x}.

(t) A´e o conjunto do plano limitado pelos gr´aficos dey=x³−xey= sen(πx), com−1≤x≤1.

(u) A´e o conjunto de todos os (x, y)∈R² tais quex≥0 e−x≤y≤x−x². 3. Calcule as integrais abaixo e interprete cada caso geometricamente:

a) Z 2

−2

x dx b) Z π

−π

|sen(x)|dx c) Z π

0

cos(x)dx d) Z a

−a

sen(x)dx

4. Calcule as seguinte integrais e fa¸ca os gr´aficos mostrando as figuras cujas ´areas as integrais representam:

a) Z 2

−1

|x−x²|dx b) Z π

0

|sen(x)−cos(x)|dx

1

5. O que est´a errado na express˜ao abaixo?

Z 3

−1

1

x² dx= x⁻¹

−1











3

−1

=−1

3 −1 =−4 3

6. (a) Calcule o volume do s´olido cuja base ´e o semic´ırculox²+y²≤r²,y≥0, e cujas sec¸c˜oes perpendiculares ao eixo x s˜ao triˆangulos equil´ateros.

(b) Calcule o volume do s´olido cuja base ´e a regi˜ao 4x²+y²≤1 e cujas sec¸c˜oes perpendiculares ao eixo x s˜ao semic´ırculos.

(c) Calcule o volume do s´olido cuja base ´e o quadrado de v´ertices (0,0),(1,1),(0,1) e (1,0) e cujas sec¸c˜oes perpendiculares ao eixo x s˜ao triˆangulos is´osceles de alturax−x².

(d) Calcule o volume do s´olido cuja base ´e um triˆangulo equil´atero de ladole cujas sec¸c˜oes perpendiculares a um dos lados s˜ao quadrados.

7. Calcule ag⁰(x) usando o teorema fundamental do c´alculo:

a)g(x) = Z x

0

√1 + 2t dt b)g(x) = Z x

1

ln t dt c)g(x) = Z y

2

t²sen t dt

d)g(u) = Z u

3

1

x+x² dx e)F(x) = Z 2

x

cos(t²)dt f)F(x) = Z 10

x

tgθ dθ

8. Ache a derivada das fun¸c˜oes:

a)g(x) = Z 3x

x

u²−1

u²+ 1 du b)g(x) = Z x²

tg(x)

√ 1

2 +t⁴ dt c) g(x) = Z x²

√x

√

tsen t dt

e)g(x) = Z 5x

cos x

cos(u²)du f)g(x) = Z sen x

cos x

e^t2 dt g) g(x) = Z 2√

x

√x

sen(t²)dt

9. SejaF(x) = Z x

0

p1 +t³dt. CalculeI₀²xF(x)dx em termos deF(2).

10. Sejaf uma fun¸c˜ao cont´ınua em um intervaloIcontendo a origem e seja y=y(x) =

Z x

0

sen(x−t)f(t)dt Prove quey⁰⁰+y=f(x) ey(0) =y⁰(0) = 0, para todox∈I.

11. Sejaf(x) = Z x

0

e^x

2−t2

2 dt. Mostre quef⁰(x)−xf(x) = 1, para todox∈R.

12. Calcule o volume do s´olido obtido pela rota¸c˜ao em torno do eixo x dos seguintes conjuntos:

(a) A={(x, y)∈R²: 1≤x≤3 e 0≤y≤x}

(b) A={(x, y)∈R²: 1≤x≤4 e 0≤y≤√ x}

(c) A={(x, y)∈R²:x²≤y≤x}

(d) A={(x, y)∈R²: 0≤x≤1 e √

x≤y≤3}

(e) A={(x, y)∈R²: 0≤x≤2 e e^−x≤y≤e^x} (f) A={(x, y)∈R²:y≥x² e x²+y²≤2}

(g) A={(x, y)∈R²:x²+ (y−2)²≤1}

(h) A={(x, y)∈R²: 0≤y≤x e x²+y²≤2}

(i) A={(x, y)∈R²: 2≤x≤5 e 0≤y≤√ x−1}

13. Calcule o volume do s´olido obtido pela rota¸c˜ao em torno do eixo y dos seguintes conjuntos:

(a) A={(x, y)∈R²: 0≤x≤8 e 0≤y≤√³ x}

(b) A={(x, y)∈R²: 1≤x≤2 e 0≤y≤ 1 x}

2

(c) A={(x, y)∈R²: 0≤x≤1 e 0≤y≤arctg(x)}

(d) A={(x, y)∈R²:y²≤x≤√ y}

14. Dados a, b >0, calcule a ´area da regi˜ao do plano cartesiano limitada pela elipse x² a² +y²

b² = 1.

15. Calcule a ´area dos seguintes conjuntos:

(a) A={(x, y)∈R²: 1≤x≤2 e 0≤y≤√ x−1}

(b) A={(x, y)∈R²: 0≤x≤2 e 0≤y≤ x x²+ 1} (c) A={(x, y)∈R²:x²+ 2y²≤3 e y≥x²} (d) A={(x, y)∈R²:x≥p

1 +y² e 2x+y≤2}

16. Calcule o volome do s´olido cuja base ´e o semic´ırculox²+y²≤r²,y≥0, e cujas sec¸c˜oes perpendiculares ao eixoxs˜ao triˆangulos equil´ateros.

17. Calcule o volume do s´olido cuja base ´e a regi˜ao 4x²+y² ≤1 e cujas sec¸c˜oes perpendiculares ao eixo xs˜ao semic´ırculos.

18. Calcule o volume do solido cuja base ´e o quadrado de v´ertices (0,0),(1,1),(0,1) e (1,0) e cujas sec¸c˜oes perpendiculares ao eixoxs˜ao triˆangulos is´osceles de alturax−x².

19. SejaA={(x, y)∈R² |0≤x≤1 eln(x+ 1) + 2≤y≤e^x+ 4}. Determine o volume do s´olido obtido pela tora¸c˜ao deAem torno da retay= 2.

20. Calcule o volume do s´olido obtido pela rota¸c˜ao em torno da retay= 3 da regi˜ao delimtada pelas par´abolas y=x² ey= 2−x².

21. Calcule o volume de uma calota esf´erica de alturah,h≤a, de uma esfera de raio a. ( Uma calota esf´erica dehde ualturama esf´era de raioR´e a regi˜aoA={(x, y, z)∈R³| x²+y²+z²=a² ey≤a−h})

22. Um anel esf´erico ´e o s´olido que permanece ap´os a perfura¸c˜ao de um buraco cil´ındrico atrav´es do centro de uma esfera s´olida. Se a esfera tem raioRe o anel esf´erico tem alturah, prove o fato not´avel de que o volume do anel depende deh, mas n˜ao deR.

23. Esboce o gr´afico da fun¸c˜aoF dada por : a)F(x) =

Z x

0

f(t)dt;f(x) =

2 se 0≤t <1

1

t t≥1 b)F(x) =

Z x

1

t dt

c)F(x) = Z x

1

f(t)dt;f(t) =

2 set≤0

0 set >0 d)F(x) = Z x

1

f(t)dt;f(t) =

0 set≤1 1 set >1 e)F(x) =

Z x

0

f(t)dt;f(t) =

t se−2≤t≤0 e^−t set >0 f)F(x) =

Z x

−5

f(t)dt;f(t) =

0 se|t| ≥1 t² se|t|<1 24. Calcule o comprimento do gr´afico da fun¸c˜ao dada:

a)y= 2

3x³², 0≤x≤1 b) y=4

3x+ 3, 0≤x≤2 c)y=√

x d) y=e^x

25. SejaF : [1,+∞[→Rdada porF(x) = Z x

1

pt³−1dt

(a) Calcule o comprimento do gr´afico deF entrex= 1 ex= 4.

(b) Calculelim_x→2F(x³)−F(8) sen(x−2)

3