5a. Lista de Exerc´ıcios de MAT 3110
Bacharelado em Atu´aria - FEA-USP - 1o. sem. 2012 - Turma 26 Profa. Maria Izabel Ramalho Martins
I. Ainda derivando...
1. Calcule as derivadas de 1a. e de 2a. ordem ordem de cada uma das fun¸c˜oes abaixo.
Simplifique quando poss´ıvel o resultado.
a. cosh(x) := ex+e−x
2 b. senh(x) := ex−e−x
2 c. f(x) =xπ +πx d. f(x) =xe+ex+πe e. f(t) = 2 sen t−tg(2t) + 8eπ f. f(x) =e−x2 g. f(x) =x2ex h. f(x) = x
1−x i. f(x) =x2− 1
x2 j. f(x) = x
x2+ 1 k. f(x) = x2
x+ 1 l. f(x) = 1
x − 1 x2 m.f(x) = 9
x2+ 9 n. y= 2x2 x2−1
II. Aplica¸c˜oes das Derivadas 1. Prove que 2√
x >3− 1
x, para todo x >1.
2. Roteiro para esbo¸car gr´afico de fun¸c˜ao y=f(x).
I. Determine:
1. o dom´ınio def;
2. os pontos em que a curva corta o eixo y e o eixo x, caso existam.
3. os intervalos de crescimento e decrescimento de f (via 1a. derivada);
4. pontos cr´ıticos de f e a natureza deles (pontos de m´aximo e m´ınimo locais - caso existam);
5. os intervalos de concavidade e os pontos de inflex˜ao de f (caso existam) (via 2a.
derivada);
6. os limites, se for o caso,
• laterais ou no ponto p∈ Domf, onde f n˜ao ´e cont´ınua;
• laterais ou no ponto p /∈ Dom f, por´em extremante de intervalo contido no dom´ınio
• para x→+∞ou para x→ −∞
7. as ass´ıntotas horizontais e verticais (caso existam), via ´ıtem 6- ver defini¸c˜ao em (∗);
8. a existˆencia de pontos de m´aximo/ m´ınimo globais.
II. Concatene as informa¸c˜oes dos ´ıtens 1 a 8 para o esbo¸co.
3. (∗) Defini¸c˜ao de ass´ıntotas:
A. Ass´ıntota horizontal: Sejaf uma fun¸c˜ao cujo dom´ınio cont´em um intervalo ]− ∞, a[
ou ]a,+∞[.
A reta horizontal y=`∈IR ´e uma ass´ıntota horizontal para o gr´afico dey=f(x), se uma das seguintes condi¸c˜oes estiver satisfeita:
a. lim
x→+∞f(x) =` ou b. lim
x→− ∞f(x) =`.
B. Assintota vertical: Seja f uma fun¸c˜ao cujo dom´ınio cont´em um intervalo ]a, p[ ou ]p, b[, coma, b ep∈IR.
A reta vertical x=p ´e uma ass´ıntota vertical para o gr´afico de y = f(x) se uma das seguintes condi¸c˜oes estiver verificada:
a. lim
x→p+ f(x) = +∞ (ou −∞) ou b. lim
x→p− f(x) = +∞ (ou −∞) ou c. lim
x→p f(x) = +∞ (ou −∞).
4. Utilizando o roteiro acima esboce o gr´afico das fun¸c˜oes dadas:
a. f(x) =x3 −x b. f(x) = x3−3x2+ 3x c. f(x) =x4−2x2 d. f(x) = 2−e−t (∗) e. f(x) = e−x2 f. f(t) = t+1
t g. f(x) = x3−x2+ 1
x h. f(x) = x
1−x i. f(x) =x2− 1
x2 j. f(x) = x
x2+ 1 k. f(x) = x2
x+ 1 l. f(x) = 1
x − 1 x2 m.f(t) = t−1
t2 n. y=√
x2−4 (∗) o. y = 9
x2+ 9
Observa¸c˜ao: Nos ´ıtens com (∗) pense um pouco se uma constru¸c˜ao otimizada seria n˜ao usar o roteiro !!!!!
III. Regras de L‘Hospital
1. Calcule, caso exista, os limites, justificando seu c´alculo.
a. lim
x→+∞
e2x
x b. lim
x→o+ x e1/x c. lim
x→+∞x3e−x d. lim
x→+∞
lnx
e3x e. lim
x→0+ 1
x + lnx
f. lim
x→0+
(1−cosx) lnx
2. Esboce o gr´afico de:
a. f(x) =x e−3x b. f(x) = lnx
x2 c. f(x) = ex
x d. f(x) =x2lnx e. f(x) = x−5ln(x+ 1)− 4
x+ 1
IV. M´aximos e M´ınimos - problemas
1. Estude a fun¸c˜ao dada em rela¸c˜ao a m´aximos e m´ınimos locais e globais.
a. f(x) = x
1 +x2 b. f(x) = ex−e−3x c. f(t) = t e−t d. f(x) =x e−2x e. f(x) = 2x3−9x2 + 12x+ 3
2. Determine os valores m´aximos e m´ınimos (caso existam) da fun¸c˜ao dada, no intervalo dado.
a. f(x) =x3−3x2+ 3x−1, x∈[−2,1] b. f(x) =−x3+ 3x2+ 4, x∈[−1,3]
3. E poss´ıvel construir um retˆ´ angulo de ´area m´axima que tenha os lados paralelos aos eixos coordenados e que esteja inscrito na elipse x2
16 + y2
9 = 1? Por que? Se sim, quais as medidas do ret˜angulo?
4. Para produzir xquilos de um certo produto durante o mˆes de junho, uma f´abrica ter´a o custo total dado porC(x) = 0,0025x2+80x+10000 reais. Encontre o n´ıvel de produ¸c˜ao x de modo queCm(x) = C(x)
x (Custo m´edio) seja m´ınimo.
5. Determine os pontos sobre a hip´erbole x2 −y2 = 1 que est˜ao mais pr´oximos do ponto (0,1).
6. para que pontos sobre a circunferˆencia x2 +y2 = 25 a soma das distˆancias a (2,0) e (−2,0) ´e m´ınima?
7. Uma empresa a´erea determinou que o conte´udo de bagagem de m˜ao de cada passageiro deve caber numa caixa de base quadrada, cuja soma da altura com o per´ımetro da base n˜ao ultrapasse 180 cm. Qual ´e o maior volume que um passageiro pode levar como bagagem de m˜ao?
8. Um silo de gr˜aos tem a forma de um cilindro circular reto coberto por um hemisf´erio (semiesfera). Se o silo tiver a capacidade de 45π m3, qual deve ser o raio e a altura para que a quantidade de material para a sua constru¸c˜ao seja m´ınima.
(Lembretes:
(i) o volume de um cilindro circular reto de raio r (r >0) e altura h (h >0) ´e π r2h; e a ´area da superf´ıcie do mesmo, sem tampa e com fundo, ´e π r2+ 2π r h.
(ii) O volume de uma esfera de raio r ´e 43π r3 e a ´area de sua superf´ıcie ´e 4π r2.)
9. Um editora de produ¸c˜ao decidiu que as p´aginas de um livro devem ter 1 polegada de margem no topo e no rodap´e e 1/2 polegada de margem em cada lateral. Ela estipulou ainda que cada p´agina deve ter uma ´area de 50 polegadas quadradas. Que dimens˜oes deve ter cada p´agina para que a ´area impressa seja a maior poss´ıvel?
