DAVINCI AGUIAR pdf Actividade recente do site Portal Virtual de Matemática IFPR Prof°. Giancarlo de França Aguiar DAVINCI AGUIAR pdf

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da Vinci , Curitiba, v. 3 , n. 1, p. 139-156, 2006

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OBTENÇÃO DE ÍNDICES DE EFICIÊNCIA PARA A

METO-DOLOGIA DATA ENVELOPMENT ANALYSIS UTILIZANDO

A PLANILHA ELETRÔNICA MICROSOFT EXCEL

GIANCARLO DE FRANÇA AGUIAR

Professor- Engenharia da Computação - UnicenP/Centro Universitário Positivo giancarl@unicenp.edu.br

BÁRBARA DE CÁSSIA XAVIER CASSINS AGUIAR

Professora - Secretaria do Estado de Educação do Paraná babimatematica@yahoo.com.br

VOLMIR EUGÊNIO WILHELM

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158 RESUMO

É crescente a utilização de recursos computacionais para o tratamento de dados, se-jam eles qualitativos ou quantitativos. O mercado exige agilidade e precisão neste tratamento. Portanto, foi inevitável o desenvolvimento acelerado de recursos computacionais direcionados na resolução dos mais variados problemas, sejam eles de ordem econômica, administrativa, de engenharia ou industriais. Foi ilustrado neste trabalho como utilizar a planilha eletrônica

Excel para encontrar soluções otimizadas para problemas de programação linear, mais preci-samente na metodologia Data Envelopment Analysis – DEA que são um conjunto de variados modelos de programação linear, que foram desenvolvidos para encontrar índices de eficiência para organizações que executam atividades semelhantes. Foi utilizada a ferramenta do Excel

“solver” na obtenção dos índices de um conjunto de empresas que utilizam dois insumos na confecção de um produto. Estes resultados são de fundamental importância na construção de estratégias e na busca por soluções que melhor servem aos objetivos dessas empresas.

Palavras-chave:Microsoft Excel, Índices de Eficiência Técnica, Data Envelopment Analysis.

ABSTRACT

The use of computational resources for data handling is increasing, they being qualitative or quantitative. The market demands agility and precision in this treatment. Therefore, the development was inevitable of computational resources in the resolution for most problems, they can be of order economic, administrative, of engineering or industrials. It was illustrated in this work, an use the electronic spread sheet Excel to find optimized solutions for linear programming problems, more precisely in the Data Envelopment Analysis – DEA methodology that are a set of models of linear programming, that had been developed to find a the measurement of efficiency for organizations that execute similar activities. The was used to tool of the Excel “solver” to attain the measurement of a set of companies who use two inputs in the confection of an product. These results are importance in the construction of strategies and in the search for solutions that better serve the objectives of these companies.

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1 INTRODUÇÃO

Cada vez mais o mercado globabilizado exige a utilização de recursos computacionais para o tratamento de dados, sejam eles qualitativos ou quantitativos. O mercado exige agilida-de e precisão neste tratamento. Quando esta tarefa cabe a um ser humano, ele poagilida-de cometer erros de precisão, e entrar em fadiga pelo excesso de trabalho. Pelo contrário, os computado-res modernos possuem excelente precisão e são muito mais rápidos que os secomputado-res humanos no processamento de grandes volumes de informações.

Portanto, foi inevitável o desenvolvimento acelerado de recursos computacionais direcionados à resolução dos mais variados problemas, sejam eles de ordem econômica, ad-ministrativa, de engenharia, industriais, entre outros, contribuindo de forma significativa para a otimização dos mais variados processos. Um dos recursos comumente utilizados no trata-mento de dados é a planilha eletrônica Excel da Microsoft.

Mostraremos neste trabalho como utilizar a planilha eletrônica Excel (mais precisa-mente a ferramenta Solver) para encontrar soluções otimizadas para problemas de programa-ção linear. Os problemas de programaprograma-ção linear, por sua vez, são situações empresariais (pro-blemas de produção, alocamento de recursos, planejamento de pessoal, entre outros) que podem ser descritos/modelados matematicamente de forma organizada através de funções e equações, podendo, assim, com suas soluções simular situações reais e encontrar alternativas junto às necessidades das organizações.

A metodologia Data Envelopment Analysis – DEA são um conjunto de variados mode-los de programação linear, que foram desenvolvidos para encontrar índices de eficiência para organizações que executam atividades semelhantes.

Neste trabalho será ilustrada a utilização da ferramenta Solver do Excel na obtenção dos índices de eficiência segundo a metodologia DEA para um conjunto de empresas que utilizam dois insumos na confecção de um produto. Estes resultados são de fundamental importância na construção de estratégias, linhas de ação e na busca por soluções que melhor servem aos objetivos dessas empresas.

2 DESENVOLVIMENTO

O presente trabalho foi desenvolvido com dados de um conjunto de empresas da cidade de Curitiba. O texto pretende ilustrar a aplicação do Solver na obtenção dos índices de

OBTENÇÃO DE ÍNDICES DE EFICIÊNCIA PARA A METODOLOGIA

DATA ENVELOPMENT ANALYSIS UTILIZANDO A

PLANILHA ELETRÔNICA MICROSOFT EXCEL

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eficiência técnica para este conjunto de empresas segundo a metodologia Data Envelopment Analysis, técnica de avaliação quantitativa, que pode prover informações importantes sobre a utilização de recursos em organizações que executam atividades semelhantes.

2.1 A Metodologia Data Envelopment Analysis – DEA

Grandes avanços na área da mensuração da eficiência técnica de unidades de produ-ção ocorreram na década de 50 com os estudos de Koopmans e Debreu (1951) e posterior-mente Farrell em 1957. Farrell sugeriu como índice para a eficiência técnica, a razão entre a quantidade de um produto e de um insumo.

Em 1978 Charnes, Cooper e Rhodes-CCR estenderam os conceitos de Farrell e intro-duziram a metodologia Data Envelopment Analysis-DEA, modificando a medida anterior para múltiplos produtos e insumos. Eles aprimoraram a medida da eficiência técnica, sugerindo a razão entre a soma ponderada das quantidades dos produtos pela soma ponderada das quan-tidades dos insumos.

Charnes, Cooper e Rhodes denominaram as unidades de produção de Decision Making Units-DMUs (Unidades Tomadoras de Decisão) e constataram como pressuposto importante para a aplicação da metodologia DEA, que as DMUs avaliadas deveriam executar atividades semelhantes.

Diversos modelos DEA foram desenvolvidos e novas aplicações surgiram, qualifican-do sua importância no meio científico. Atualmente a aplicação da metoqualifican-dologia DEA está inserida na avaliação da eficiência técnica das mais diversas áreas: financeira, agrícola, agropecuária, educacional, saúde, transporte, entre outras.

Os principais resultados obtidos na aplicação de um modelo DEA são: i) Identifica o conjunto das DMUs eficientes (que determinam a fronteira de produção eficiente), bem como seus escores de eficiência; ii) Fornece os índices de eficiência das DMUs ineficientes (as DMUs

ineficientes não estarão na fronteira de produção); iii) Com os escores obtidos, o gestor pode-rá identificar suas próximas metas, baseado nos programas já utilizados com sucesso nas

DMUs eficientes; iv) Indica o conjunto de DMUs benchmarks (referência) de cada DMU

ineficiente. Baseados nestes resultados, os administradores destes sistemas podem gerenciar novas tomadas de decisões com maior precisão.

A metodologia DEA estrutura-se segundo dois modelos seminais, conhecidos como

CCR devido a Charnes, Cooper e Rhodes e BCC desenvolvido por Banker, Charnes e Cooper. O modelo CCR faz a avaliação de eficiência técnica global, admite a possibilidade de retornos constantes de escala, ou seja, se uma unidade avaliada aumentar os recursos em um dado nível, sua produção deverá aumentar na mesma proporção, assim como, se esta unidade dimi-nuir os recursos, sua produção deverá reduzir na mesma proporção. O escore de eficiência da k-ésima DMU será obtido na resolução do modelo CCR orientação produção como segue:

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onde:

Este modelo tem como objetivo maximizar a produção utilizando a quantidade de recursos disponíveis, neste caso, expresso pela minimização do somatório dos insumos utili-zados multiplicado pelos seus pesos (equação (1)). A primeira restrição (equação (2)) é a subtração do somatório da multiplicação entre as quantidades produzidas e seus respectivos pesos e o somatório da multiplicação entre os insumos utilizados e seus respectivos pesos. O limite para esta restrição é 0 (zero). Para a segunda restrição (equação (3)), o somatório da multiplicação entre o total produzido e seus respectivos pesos para a k-ésima empresa é igual a 1 (um), logo, o mínimo resultado obtido possível para θ

ké 1 (resultado de DMUs eficientes).

Caso contrário, se a DMU obtiver escore superior a 1 ela será identificada como ineficiente. A (equação (4)) representa a não-negatividade dos pesos. Na próxima subseção, é ilustrado um exemplo numérico da aplicação deste modelo desenvolvido na planilha eletrônica Excel.

O modelo BCC leva em consideração os retornos variáveis de escala, ou seja, se uma unidade avaliada aumentar, por exemplo, a quantidade de recursos utilizados, a sua produção poderá aumentar na mesma proporção, em menor ou maior proporção ao aumento dos re-cursos. O modelo linear BCC com orientação a produção, é:

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onde:

Neste modelo foi inserida a variável v_k nas equações (1) e (2), resultando respectiva-mente as equações (5) e (6). Este modelo representa os retornos variáveis de escala, podendo assumir tanto valores positivos quanto negativos. Os modelos CCR e BCC se diferem com relação ao foco da medida de eficiência. Portanto, os escores de eficiência relativa podem ser

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distintos. A figura 1 a seguir, ilustra a projeção de uma DMU ineficiente P sobre as fronteiras de produção BCC e CCR.

A DMU A é eficiente (encontra-se na fronteira de produção) segundo o modelo CCR; A e B são eficientes segundo o modelo BCC; P é uma DMU que opera ineficientemente (pois não se encontra em nenhuma fronteira de produção).

Os planos de produção Pc e Pv são as projeções, orientação produção, de P sobre as fronteiras CCR e BCC respectivamente, e indicam os níveis de produção que P deve obter para operar eficientemente.

Figura 1 - Fronteiras de produção CCR e BCC.

Contudo, Pc e Pv são as metas (considerando diferentes retornos de escala) para que a DMU P opere eficientemente, mantendo fixo o atual nível em consumo de recur-sos. Outra informação relevante é de que, considerando retornos constantes de escala, a DMU A é referência para P, enquanto que A e B são as referências para P se é consi-derado os retornos variáveis de escala (fronteira BCC).

2.2 Índices de Eficiência para o Conjunto de Empresas Segundo a Metodologia DEA - Utilizando o Solver do Excel

Tabela 1 – Dados das 7 DMUs Analisadas.

Para este exemplo numérico serão utilizados dados de 7 DMUs, cada qual utili-zando dois insumos (número de empregados e quantidade de matéria-prima) na con-fecção de um produto (produção de chinelos). Nesta simulação será utilizada a planilha

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eletrônica Excel, mais precisamente uma de suas ferramentas (que permite a constru-ção de modelos lineares) denominada de Solver (que pode ser encontrada em ferramen-tas/ suplementos/ solver). A tabela 1 a seguir ilustra as DMUs em análise, a quantidade consumida de insumos e suas respectivas produções.

Neste exemplo será utilizado o modelo DEA-CCR orientado ao produto (1° modelo do artigo) . Com os dados da tabela anterior foi montada a planilha de análise como ilustra a figura 2 a seguir:

Figura 2 - Dados do exemplo.

A disposição dos dados na planilha eletrônica figuram como segue:

i. as colunas A, B, C e D contêm as DMUs em análise, o número de empregados, a quantidade de matéria-prima e a produção de chinelos respectivamente (para cada DMU).

ii. a coluna F contém uma equação-célula para cada DMU, onde cada equação-célula é definida pela diferença entre a multiplicação do número de chinelos pelo peso u e a soma da multiplicação dos insumos pelos seus pesos

v

_A e

v

_B

(equação (2)), como exemplo a equação-célula (F4) que está

inserida na célula (F4) é definida da seguinte forma no excel =SOMA((D4*E15)-(B4*C15+C4*D15)).

iii. a célula (B14) contém a função a ser minimizada equação

(1), que no excel é =SOMA(B10*C15+C10*D15) representando o mínimo da soma dos insumos pelos seus pesos

v

_Ae

v

_B.

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v. a célula (B17) contém a restrição i. (equação (3)), que representa a

multiplicação entre a produção de chinelos e seu respectivo peso

u

, inserida da seguinte maneira no excel =SOMA(D10*E15).

Os passos seguintes ilustram os procedimentos realizados no Excel para a obten-ção dos índices de eficiência para as DMUs analisadas segundo a metodologia DEA:

i. na barra de ferramentas do excel, clicar em solver (caso não exista o item “solver” pode-se na mesma barra clicar em suplementos, surgirá uma nova janela, em pode-seguida, procu-rar em suplementos disponíveis o item “solver” e incluí-lo na barra de ferramentas), aparecerá uma janela de preenchimento de dados (parâmetros do Solver) como ilustra a figura 3 abaixo.

ii. definir a célula de destino, que neste exemplo é a célula B(14).

iii. em seguida, deve-se definir se o modelo linear é de Máximo ou Mínimo (sendo este exemplo um modelo de Mínimo).

iv. a seguir é necessário identificar quem são as células das variáveis, ou seja, as células que irão conter os valores dos pesos calculados pelo modelo (sendo neste caso as células C(15), D(15) e E(15)).

v. submeter as restrições do modelo que são:

a. o peso u multiplicado pela produção da DMU analisada deve ser igual a 1; b. os pesos

u

(célula E(15)),

v

_A (célula C(15)) e

v

_B (célula D(15)) devem assumir valores maiores ou iguais a zero;

c. e as equações-célula para cada DMU analisada devem ser menores ou iguais a zero.

vi. O próximo passo é clicar em opções na mesma janela. Aparecerá então uma nova janela (opções do Solver) como ilustrado na figura 4.

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Figura 4 - Opções do Solver.

vii. presumir modelo linear nesta janela e em seguida clicar em OK (o que retornará à janela anterior).

viii. clicar em resolver, surgindo então a janela de resultados do Solver.

O modelo DEA deve ser resolvido para cada DMU em análise, sendo modificadas somente as fórmulas das células B(14) e B(17) que devem conter as quantidades da DMU

analisada. Utilizando a DMU (7) como análise, encontramos a solução do Solver, ilustrada na figura 5 a seguir:

Figura 5 - Solução do Solver para a DMU (7).

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coluna das equações de cada empresa chega-se à conclusão de que a DMU (5) é eficiente e referência para a DMU ineficiente (7) pois obteve escore de equação-célula igual a zero. Pode-se obter um relatório de sensibilidade no Solver com sugestões de melhoria para a empresa considera-da ineficiente, no entanto, por questões de simpliciconsidera-dade não serão ilustrados neste artigo.

2.3 Observações aos Resultados da Aplicação – Estatística

Os índices de eficiência para as sete empresas analisadas no trabalho estão contidas na tabela 2 a seguir. Segundo a metodologia DEA, e utilizando o modelo CCR-Produção, a única empresa que opera eficientemente é a DMU 5 (M.N.O.) que obteve escore igual à unidade.

As demais empresas têm condições de aumentar sensivelmente a sua produtividade, por exemplo, a DMU 3 (G.H.I.) que obteve escore igual a 1,233, pode aumentar em aproximadamentre 23,3 % a sua produtividade para se tornar eficiente. Esta empresa deveria então se basear nos planos de produção da DMU 5 para saltar para a fronteira de produção eficiente.

2.3.1 Estatística

Foi realizada neste trabalho a análise da existência de correlação entre as variáveis número de empregados e a produção de chinelos nas empresas observadas. A figura 6 ilustra um gráfico de barras que representa as quantidades observadas.

Tabela 2 - Índices de Eficiência Técnica para as sete DMUs analisadas.

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A figura 7 ilustra um diagrama de dispersão para a análise.

Figura 7 - Diagrama de Dispersão entre o número de empregados e a produção de chinelos.

Não podemos afirmar, simplesmente analisando o diagrama de dispersão acima, se existe ou não uma correlação linear entre o número de empregados e a produção de chinelos nas empresas avaliadas, pois estaríamos nos baseando em percepção visual. Logo, utilizou-se o coeficiente de correlação linear e a tabela de Pearson (TRIOLA, 1999) para estruturar a análise. O coeficiente de correlação linear y mede o grau de relacionamento linear entre os valores emparelhados x e y em uma amostra.

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onde:

r = coeficiente de correlação linear para uma amostra n = representa o número de pares de dados presentes x = número de empregados

y = produção de chinelos

Aplicando os dados do exemplo proposto, encontramos:

r = 0,599

Devemos arredondar o coeficiente de correlação linear r em três casas decimais, para

que o seu valor possa ser comparado com os valores críticos da tabela de Pearson. Se o módulo do valor encontrado de r exceder o valor tabelar, concluímos que há correlação linear

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Recorrendo à tabela de Pearson, verificou-se que o valor r = 0,599 é inferior aos valores tabelares, o que implica não existir correlação linear significativa entre o número de empregados e a produção de chinelos nas empresas analisadas. Portanto, para este trabalho não foi realizada a análise de regressão, que, por definição, pressupõe a existência de correla-ção entre as variáveis analisadas.

3 CONCLUSÕES

- A planilha eletrônica Microsoft Excel pode ser uma poderosa aliada do pesquisador no tratamento de dados. Neste texto foi ilustrada a utilização da ferramenta Solver na resolução de problemas de programação linear.

- O Solver é um excelente instrumento para otimizar uma fórmula (função) que está sujeita a um conjunto de limitações (restrições). Fornece relatórios de sensibilidade com soluções ideais para os problemas abordados. Ilustra os níveis de produção e de estoque de produtos que proporcionam o melhor lucro ou menor custo, ajudando na obtenção de um melhor gerenciamento de caixa.

- O estudo ilustrou uma metodologia de análise quantitativa para avaliar organizações que executam atividades semelhantes, fornecendo escores de eficiência para cada uni-dade avaliada com a utilização do Solver do Excel.

- Através da comparação dos resultados pode-se identificar para as empresas ineficientes os ajustes que podem ser realizados de maneira a tornar essas organizações eficientes. - O trabalho identifica todas as DMUs ineficientes e eficientes, bem como indica den-tre as empresas aquelas que podem servir de referência para as ineficientes, com prá-ticas administrativas que resultam em bons resultados de produtividade.

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169 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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