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Equalização ótima de canais de comunicação

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Cadernos de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica

MACKENZIE

Equalização ótima de canais de comunicação

Magno T. M. Silva

Aluno do Curso de Doutorado da Universidade de São Paulo Maria D. Miranda

Professora do Programa de Engenharia Elétrica da Universidade Presbiteriana Mackenzie

RESUMO

Neste trabalho são abordados critérios ótimos para equalização de canais de comunicação. Através da comparação destes critérios é possível verificar uma limitação no equalizador linear transversal que corresponde à estrutura mais utilizada na prática. Este equalizador pode ficar bastante longe do ótimo posto que na maioria das vezes a solução ótima é não-linear.

Palavras-chave: Filtros ótimos. Equalização não linear.

1 INTRODUÇÃO

Nos sistemas atuais de comunicação digital para recuperar o sinal deteriorado pelas imperfeições do meio de transmissão, é usual incluir no receptor um equalizador adaptativo. O modelo simplificado de um sistema de comunicação de tempo discreto é ilustrado no Diagrama 1 (HAYKIN, 1996). Considera-se que uma seqüência de símbolos a(n) é transmitida através de um canal que fornece na sua saída uma versão distorcida da seqüência de símbolos transmitidos. O sinal recebido

consiste de duas parcelas: o sinal de saída do canal x(n) e o ruído Este sinal é aplicado ao equalizador que deve fornecer uma estimativa da seqüência de símbolos originalmente transmitida. O bloco “canal” do Diagrama 1 representa não só o canal físico de transmissão mas também o sistema de transmissão/modulação e o sistema de recepção/demodulação efetivamente presentes em qualquer sistema de comunicação prático. Assim, denomina-se aqui como canal um modelo de tempo discreto para o sistema de transmissão, o canal físico e o sistema de recepção.

( ) ( ) ( )

n x n n

u = +η

( )

n

(2)

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Diagrama 1 – Modelo de um sistema de comunicação de tempo discreto.

Canal n a xn n n n u Equalizador Adaptativo Decisor n y

Na maioria das aplicações as distorções introduzidas por um canal são sufici-entemente bem modeladas por um modelo linear descrito por uma resposta ao pulso unitário finita, caso em que a função de transferência é modelada por

( )

− = − = 1 0 , N k k n k z h n z, H

sendo N o comprimento da resposta ao pulso unitário do canal e hk,n os coeficientes que caracterizam o mesmo no instante de tempo n. Supondo um modelo deste tipo, existem os seguintes aspectos que devem ser considerados em um problema de equalização:

¨ A interferência intersimbólica (ISI) causada pelo efeito dispersivo do canal. No modelo linear apresentado, é o resultado da convolução do sinal transmitido pelo canal com a sua resposta ao pulso unitário. Este efeito dispersivo é devido aos diferentes atrasos na propagação do sinal, fala-se de um efeito multipercurso. Em comunicações sem fio, o sinal pode ser recebido por um percurso direto entre as antenas de transmissão e recepção e também por reflexões de outros objetos, como morros, prédios etc. Neste caso, o canal de transmissão pode ser represen-tado por vários canais em paralelo, gerando uma variação do modelo anterior;

¨ A presença de ruído intrínseco a todo sistema de transmissão que afeta o desempe-nho do equalizador;

¨ O tipo de modelo resultante para o canal. Por exemplo, muitas vezes obtém-se do processo de modelamento canais de fase não-mínima e/ou canais não-lineares, o que dificulta a equalização. Além disso, os canais são muitas vezes variantes no tempo, como é o caso de canais com desvanecimento (fading).

Um outro aspecto bastante importante se refere à adaptação do equalizador que pode ser feita de forma supervisionada ou autodidata. Tipicamente, equalizadores adaptativos supervisionados usados em sistemas de comunicação digital incluem um período de treinamento, durante o qual uma seqüência de símbolos conhecida previa-mente pelo receptor é transmitida. Nesta fase, o transmissor e o receptor devem estar sincronizados. Além disso, os parâmetros do equalizador são ajustados de acordo com a estrutura e o algoritmo empregado no projeto. Quando o treinamento termina, o equalizador vai para o modo de decisão direta e a transmissão da seqüência de símbolos pode então começar. Entretanto, em situações práticas, é desejável que o receptor consiga fazer a adaptação completa sem a ajuda do transmissor. Em comuni-cações sem fio, por exemplo, isso proporciona um uso mais apropriado da banda de transmissão (LI; LIU, 1998). Neste caso a equalização é conhecida como cega,

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supervisionada ou autodidata. Dentre os algoritmos de equalização autodidata, se des-tacam os algoritmos de Bussgang que estão associados à minimização estocástica de uma função custo que depende do sinal de saída do equalizador e de estatísticas do sinal transmitido. A equalização adaptativa é ilustrada no Esquema 1. Neste esquema

H(z) representa a transformada-Z da resposta ao pulso unitário finita (FIR) do canal e

h o ruído branco gaussiano. O problema a ser considerado é usar no instante n a

informação das amostras u(u), u(n – 1), . . ., u(n – M + 1), que podem ser agrupadas no vetor

u(n) = [u(n) u(n _ 1) . . . u(n _ M + 1)]T,

para estimar o símbolo transmitido a(n – t

d ) sendo td o atraso em número de

amostras e M o número de entradas do equalizador. A atualização dos parâmetros do equalizador se faz através do sinal de erro e(n) que é calculado a partir da comparação do símbolo a(n – td ) com o sinal de saída do equalizador y(n) no caso supervi-sionado e a partir de uma função não-linear no caso autodidata.

1 z . . 1 z n e n a n n u un M 1 EQUALIZADOR z H d n DECISOR 2 M n u n y Eq. Supervisionada d z Eq. Autodidata Estatísticas de an Cálculo do erro

Esquema 1 – A equalização adaptativa.

2 CRITÉRIOS ÓTIMOS DE EQUALIZAÇÃO

Considerando inicialmente um canal fixo, não variante no tempo, podem-se utilizar diferentes critérios para obter equalizadores ótimos (FIGUEIRAS-VIDAL, 1996):

i) Critérios baseados na solução de Wiener;

ii) Critério de Bayes para minimização da probabilidade de erro dos símbolos recebi-dos;

iii) Critérios originários da teoria da informação como o da máxima verossimilhança e da máxima entropia.

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Os critérios do tipo (i) levam a soluções para o equalizador que consistem de um filtro transversal linear (LTE – Linear Transversal Equalizer) seguido de um ele-mento não-linear de decisão. Considerando o problema de equalização como um pro-blema de classificação das diferentes saídas do canal, isto é, de diferentes estados, observa-se que este tipo de solução é linear, pois consiste na divisão do espaço de estados por um hiperplano (HAYKIN, 1996).

O critério (ii), conhecido como critério MAP (Maximum a Posteriori

Probability), é não-linear no sentido em que divide o espaço de estados do canal de

forma ótima por uma hipersuperfície que não é um simples hiperplano como no caso do LTE (CHEN; MULGREW; GRANT, 1993; PROAKIS, 1996).

Em relação ao critério da máxima verossimilhança que pertence ao conjunto de critérios (iii), Forney (1972) demonstrou que o equalizador ótimo é formado por um filtro casado com o canal de transmissão seguido do algoritmo de Viterbi (FORNEY, 1983; VITERBI, 1967). Este equalizador é não-linear e busca a seqüência de máxima verossimilhança. A seguir estes critérios são descritos com mais detalhes.

2.1 SOLUÇÃO DE WIENER

O Diagrama 2 apresenta o diagrama simplificado de um sistema adaptativo. Na ausência de ruído, o sinal de saída y(n) pode ser representado como uma combi-nação linear entre a seqüência discreta de entrada x(n) e os coeficientes deste siste-ma, ou seja

( ) ( )

(

)

(

)

(

)

= − = − + − + + − + = 1 0 1 1 0 1 1 M i i M x n i w w M n x w n x w n x n y L (1) y n x n Filtro Adaptativo e n d n +

Diagrama 2 – Diagrama simplificado de um sistema Adaptativo.

Considere x(n) =

[

x(n) x(n – 1) ... x(n – M + 1)

]

T o vetor de entradas, w =

[

w0 w1 ... wM–1

]

T o vetor dos parâmetros do filtro e

[

.

]

T

o transposto do vetor. Observe que x(n) e w são vetores coluna de dimensão M. Usando notação vetorial a saída do sistema da Figura 3 pode ser expressa como

(5)

Cadernos de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica MACKENZIE ( ) T( ) ( )T y n =x n w=w x n . (2) O erro entre a saída do sistema e a resposta desejada pode ser expresso como

( ) ( ) - ( ) ( ) T( ) ( ) T ( )

e n = d n y n =d nx n w=d nw x n . (3) O vetor de coeficientes do filtro deve ser ajustado para que a saída y(n) se aproxime ao máximo da resposta desejada d(n). Um critério é considerar a minimização do erro quadrático médio em relação ao vetor de parâmetros. Considere E [.] a operação de esperança matemática. O vetor de coeficientes ótimos é aquele que minimiza a seguin-te função 2 E[ ( )]e n ξ = . (4) E[ ( )n T( )]n = R x x (5) considere

a matriz de autocorrelação das entradas do sistema e

E[ ( ) ( )]d n n =

p x (6)

o vetor coluna de correlação cruzada entre a resposta desejada e a seqüência de entrada. Substituindo a expressão (3) em (4) resulta

2 2

E[ ( )]e n E[d ( )]n T 2 T

ξ = = +w Rwp w. (7)

O vetor gradiente da função custo em relação ao vetor de parâmetros w é

2 2

∇ = Rwp (8)

O vetor de coeficientes ótimos, aqui denotado como w*, é aquele que anula o vetor gradiente, ou seja 2Rw*−2p=0 . Assumindo que a matriz de autocorrelação é não-singular, o vetor de coeficientes que minimiza a função custo pode ser calculado como 1 − = * w R p . (9)

Esta equação é chamada de Equação de Weiner-Hopf e o vetor de coeficientes óti-mos w* de vetor de Weiner (WIDROW; STEARNS, 1985). Observe que a solução ótima depende da correlação dos dados da entrada e de uma resposta desejada.

A implementação da solução direta de Wiener é muitas vezes inviável na prá-tica. O que se usa são algoritmos de busca do gradiente como, por exemplo, o LMS (Least Mean Squares) e o RLS (Recursive Least Squares). Estes algoritmos conver-gem para próximo da solução de Wiener de forma iterativa e permitem implementação em tempo real em um equalizador linear transversal (HAYKIN, 1996).

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2.2 EQUALIZAÇÃO LINEAR E CLASSIFICAÇÃO

A equalização de canais de comunicação pode ser considerada como um pro-blema de desconvolução, e o equalizador é projetado para que a combinação da sua resposta ao pulso unitário com a do canal esteja o mais próximo possível de um sim-ples atraso. No entanto, essa aproximação se torna bastante complicada quando há não-linearidades no canal. Por outro lado, a equalização pode ser encarada como um problema de classificação, e o equalizador é projetado como um dispositivo de deci-são a fim de reconstruir a seqüência de símbolos transmitida de forma mais precisa possível (GIBSON; COWAN; GRANT, 1990).

Um equalizador linear clássico faz o cálculo de uma projeção linear

y(n) = uT (n)w, sendo w o vetor de coeficientes do equalizador. Neste caso, procura-se

a melhor projeção das amostras de u(n) na direção de w. No sentido de classificação, isto corresponde a encontrar o discriminante linear de Fisher w (DUDA; HART, 1973; MONTALVÃO FILHO; DORISSI; MOTA, 1999). A Figura 1 ilustra duas possíveis direções de w. Nesta figura, o vetor da esquerda é claramente melhor que o outro (MONTALVÃO FILHO; DORISSI; MOTA, 1999). Neste caso, o filtro linear e o decisor constituem um dispositivo de classificação que tenta fazer uma separação line-ar entre as classes correspondentes aos níveis +1 (*) ou –1 (o).

Encontrar o discriminante linear de Fischer é um critério ótimo no sentido de se obter o vetor de coeficientes que satisfaz w = S–1(m

1 – m2) sendo Sw a matriz de

dispersão intra-classes e m1 e m2 os centros de massa de cada classe (DUDA; HART, 1973). Neste caso, considerou-se a existência apenas de duas classes. As definições da matriz Sw e dos vetores m1 e m2, bem como a generalização desse critério para mais de duas classes podem ser encontradas na referência (DUDA; HART, 1973).

* * * * * * * * ** * * w u n 1 n u * * * * w 1 n u n u

Figura 1 – Projeção das amostras (estados) em duas diferentes direções de w, para M = 2.

Tanto o critério do discriminante de Fischer quanto a solução de Wiener são critérios lineares ótimos. O primeiro pode ser usado quando se interpreta o LTE como um classificador, o segundo quando a equalização linear é tratada como um problema de desconvolução e se deseja minimizar um erro quadrático.

(7)

Cadernos de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica MACKENZIE 2.3 CRITÉIRO DE BAYES

O Critério de Bayes, também conhecido como critério MAP (Maximum a

Posteriori Probability), consiste na determinação do símbolo ak que maximiza a probabilidade (PROAKIS, 1996). Usando a regra de Bayes, calcula-se a probabilidade de ter sido transmitido ak dado que se recebeu u(n) como

( )

(

a n

)

P k|u

( )

(

)

(

( )

( )

( )

) ( )

n p a P a n p n a P k k k u u u | | = (10)

sendo u

( ) ( ) ( )

n =

[

u n u n−1 L u

(

nM +1

)

]

. O cálculo dessa probabilidade deve ser feito para todos os símbolos a , k k =1, 2, L, K, s sendo K o

mero de símbolos do alfabeto. Feitos estes cálculos, decide-se pelo símbolo a , k K

k =1, 2, L, , cuja probabilidade P

(

ak |u

( )

n

)

é maior.

O denominador da Equação (10) pode ser desconsiderado pois independe de ak e não influi na decisão do símbolo que maximiza a probabilidade a posteriori. Além disso, se os sinais transmitidos forem equiprováveis então

( ) ( )

a P a P

( )

a K

P 1 = 2 =L= k =1/ ,

o cálculo de max

{

P

(

ak |u

( )

n

)

}

se reduz ao cálculo de max

{

p

(

u

( )

n |ak

)

}

e o cri-tério MAP coincide com o cricri-tério da máxima verossimilhança (ML) (PROAKIS, 1996).

Para exemplificar, vamos considerar a transmissão de sinais binários +1 e –1 equiprováveis através de um canal com coeficientes reais que assume a forma e um equalizador com M = 2 entradas. Assim, a cada instante de tempo n, os possíveis vetores de entrada do equalizador podem ser obtidos pela seguinte equação

( )

1 1 0 − + =h hz z H

( )

(

)

( )

(

)

(

)

( )

(

)

     − +           − −       =       − 1 2 1 0 0 1 0 1 1 0 n n n a n a n a h h h h n u n u η η , (11

que pode ser reescrita de forma mais compacta como

( )

n Ha

( ) ( ) ( ) ( )

n ç n x n ç n

u = + = + . (12)

Generalizando, para o caso em que o vetor u(n) possui M elementos e a interferência intersimbólica (ISI) se estende sobre N símbolos, a matriz de resposta impulsiva H possui M linhas e M + N – 1 colunas e o número máximo de possíveis valores de x(n) = Ha(n) é dado por Nx = KM+N–1 sendo N o número de coeficientes

do canal H(z) e K o número de símbolos do alfabeto. Neste caso, a matriz de Toeplitz H que descreve o canal tem a seguinte forma

(11) (10)

(8)

Cadernos de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica MACKENZIE             = − − − − 1 0 1 2 1 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 N N N N h h h h h h h h h h L L M M M L L L L H .

Para o exemplo considerado (M = 2, N = 2, K=2), o número de possíveis valores do vetor x(n) é Nx = 23 = 8. Esses N

x vetores são denominados de estados

desejados do canal. Considerando ruído branco, gaussiano, de média nula e variância por sua vez, consiste de Nx nuvens de pontos (agrupamentos) cujas médias são dadas pelos Nx possíveis valores de x(n). Os estados desejados do canal H(z) = 0,5 + 1,0z-1 para M = 2 são mostrados na Tabela 1.

( )

n η 2 η σ , o sinal u

( ) ( ) ( )

n =x nn ,

( )

n a a

(

n−1

)

a

(

n−2

)

x

( )

n x

(

n−1

)

1 1 1 1,5 1,5 1 1 -1 1,5 -0,5 -1 1 1 0,5 1,5 -1 1 -1 0,5 -0,5 1 -1 1 -0,5 0,5 1 -1 -1 -0,5 -1,5 -1 -1 1 -1,5 0,5 -1 -1 -1 -1,5 -1,5

Considerando um atraso de τd amostras, para se fazer a detecção do sinal trans-mitido, os estados desejados x(n), podem ser divididos em K classes dependendo do valor de Deve-se notar que neste caso, o equalizador faz o papel de classificador. Para o caso binário, pode-se escrever

(

n d

)

a −σ .

( ) (

)

{

| 1

}

, = − = + d M n a n X d τ τ x e (13)

( ) (

)

{

| 1

}

, = − =− − d M n a n X d τ τ x . (14)

No nosso exemplo, os símbolos são considerados equiprováveis, ou seja, cada esta-do desejaesta-do +∈ +

d

M i X

x ou xiXM,τd tem probabilidade p , igual a i 1/Nx.

Os números de estados em + d M X ,τ e − d M

X ,τ são denotados respectivamente por

+ x N e N , sendo x− − + + = x x x N N N .

Devido ao ruído branco, aditivo, gaussiano e de média nula, o vetor de obser-vação u(n) é um processo aleatório que possui uma função densidade de probabili-dade condicional gaussiana centrada em cada estado desejado x do canal, sendo que Tabela 1 – Entrada e estados desejados do canal H

( )

z =0,5+1,0z−1 para M =2.

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as observações do canal formam agrupamentos cujas médias são estes estados. De-terminar o valor do símbolo transmitido baseado no vetor de observação u(n) pode ser considerado como um problema de determinação de regiões de decisão no espaço de estados. A teoria de decisão de Bayes proporciona a solução ótima ao problema de decisão e pode ser aplicada na determinação da solução ótima para o equalizador da Figura 2 (CHEN; MULGREW; GRANT, 1993).

Para o exemplo considerado, é possível verificar que a solução ótima bayesiana é definida como

(

n d

)

a −τ

(

)

(

(

( )

)

)

1,

(

(

( )

( )

)

)

0 ˆ sgn 1, 0, B d B B f n a n f n f n τ  ≥ − = =  − <  u u u (15)

sendo a função fB

()

⋅ dada por

( )

( )

+

( )

( )

= + = +     −     = x Nx j j N i i B n n x n x f 1 2 2 1 2 2 2 exp 2 exp u ση u ση u . (16) e ση2 é a variância do ruído. − − d M j Xx

Nesta equação, a primeira somatória é relativa à a segunda à+ ∈ +

d

M i X

x ,

O equalizador ótimo depende tanto da distribuição de ruído quanto dos esta-dos desejaesta-dos do canal. Multiplicando por uma constante, não há mudança na determinação da solução ótima. Desta forma, o espaço de estados deve ser dividi-do em duas regiões limitadas por Estas regiões correspondem às duas decisões A função de decisão bayesiana (16) é claramente não-linear o que faz com que um equalizador linear não seja uma solução ótima na maioria dos casos (CHEN; MULGREW; GRANT, 1993; GIBSON; COWAN; GRANT, 1990).

Dado o sinal u(n), num caso em que o alfabeto possui K símbolos, deve-se dividir os estados desejados em K classes, calcular a probabilidade condicional de cada uma separadamente e decidir pela classe cuja probabilidade é maior.

Voltando novamente ao exemplo da Tabela 1, pode-se observar na Figura 5 os estados representados por * e o respectivamente. Para uma rela-ção sinal-ruído de 15 dB, 1000 amostras de u(n), representadas por pontos, podem ser vistas nos gráficos da Figura 2. As observações formam agrupamentos ao redor dos estados desejados. A curva que separa o espaço de estados em duas regiões, quando se considera atraso de 2 amostras foi calculada usando a Equa-ção (16) e pode ser vista na Figura 2-a. Quando u(n) cai acima da curva, toma-se

( )

( )

n fB u

( )

{

u| fB u =0

}

.

(

nd

)

=±1 a τ . + 1 , 2 X e X2,1d =2),

(

2

)

1 ˆ n− =

a , caso contrário faz-se aˆ

(

n−2

)

=−1.

Uma variação do exemplo anterior é quando se considera atraso de uma amos-tra Nestas situações as regiões associadas a + 1 e – 1 e se alteram, como pode ser observado na Figura 2-b e c para SNR=15 dB.

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Quando se utiliza um equalizador linear, observa-se que há uma grande impor-tância na escolha do atraso ou seja, para um certo atraso, o equalizador funciona melhor que para outros. Isto pode ser observado nesse exemplo simples. Quando um equalizador linear é capaz de separar as classes + 1 e – 1 facilmente, embora não seja a solução ótima. Já com a solução obtida pelo LTE se afas-ta ainda mais da ótima e finalmente com uma única reafas-ta não é capaz de separar as classes e conseqüentemente de solucionar o problema de equalização.

d τ , 2 = d τ , 1 = d τ , 0 = d τ ,

Figura 2 – Estados desejados, agrupamentos e curva ótima de separação das regiões de decisão segundo Bayes para

2.4 CRITÉRIO DA MÁXIMA VEROSSIMILHANÇA

Forney demonstrou que o equalizador ótimo é formado por um filtro casado branqueador, seguido do algoritmo de Viterbi (FORNEY, 1975). Este equalizador é não-linear e busca a seqüência de máxima verossimilhança. No Esquema 2 é mostra-do um esquema de tal equalizamostra-dor. O fato de se usar o filtro casamostra-do e de se estimar a

( ) 1 0 , 1 5 , 0 + − = z z H , 2M = , SNR=15 dB, 1000 amostras de u(n) e a)τd =2, b) τd =1, c) τd =0.

(11)

Cadernos de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica MACKENZIE Canal ) (z H n u n n a Seqüência transmitida Sinal recebido Filtro casado branqueador 1 z W Algoritmo de Viterbi n Estimativa da seqüência transmitida n s n y

Esquema 2 – Esquema do equalizador ótimo segundo Forney.

Segundo Forney, esta solução é ótima no sentido de garantir a menor taxa de erros. O uso do filtro branqueador está ligado ao funcionamento do algoritmo de Viterbi, pois o ruído da seqüência de entrada desse algoritmo deve ser não-correlacionado. Ungerboeck (1974) propôs uma modificação no algoritmo de Viterbi, permitindo o uso apenas de um filtro casado com o canal. No projeto desses equalizadores ótimos, no entanto, o conhecimento do canal se faz necessário. Em (MAGEE Jr.; PROAKIS, 1973), foi utilizado um algoritmo adaptativo para estimação do canal e se observou que o resultado da equalização se afastava um pouco do ótimo.

Supondo que a função de transferência do canal seja conhecida, pode-se projetar o filtro casado branqueador como explicado nas referências (FORNEY, 1972; SILVA; GERKEN; MIRANDA, 2001). Uma vez projetado este filtro deve-se partir para a implementação do algoritmo de Viterbi que é discutido a seguir.

O algoritmo de Viterbi (AV) foi inicialmente proposto como uma solução para decodificação de códigos convolucionais por A. J. Viterbi (1967). Posteriormente, Omura (1969) e Forney (1974) mostraram que este algoritmo pode ser considerado como um decodificador de máxima verossimilhança. O AV é freqüentemente visto como um algoritmo que minimiza a probabilidade de erro através da comparação de um conjunto de verossimilhanças de possíveis estados de transição que podem ocor-rer e decide qual deles possui a maior probabilidade de ocorrência. No Diagrama 3 é mostrada uma possível implementação do algoritmo de Viterbi considerando um canal de três coeficientes (FIGUEIRAS-VIDAL, 1996). Cada amostra do sinal s(n) é comparada com as possíveis amostras de saída do filtro casado branqueador sem ruído A partir dessa comparação, calcula-se a probabilidade de ocorrência de cada símbolo possível, considerando aquele de maior probabilidade. A realimentação existente na implementação deste algoritmo leva em conta as proba-bilidades dos estados de amostras anteriores para buscar a seqüência de máxima ve-rossimilhança. A função depende da distribuição do ruído Neste caso, considerando o ruído branco e gaussiano, a função é uma gaussiana com média zero e variância igual à do ruído.

(s000o , L, s111o ). ()⋅ n f η

( )

n . ()⋅ n f

seqüência (de símbolos) de máxima verossimilhança, faz com que este equalizador ótimo difira do critério de Bayes (MAP), mesmo quando os símbolos são equiprováveis.

(12)

Cadernos de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica MACKENZIE n u o ns s f 000 ln o ns s f 111 ln n s n Min Min Min Min Min Min 1 z FILTRO CASADO BRANQUEADOR ) (n w

Diagrama 3 – Implementação do equalizador ótimo segundo Forney para um canal com três coeficientes e transmissão binária.

A implementação do algoritmo de Viterbi do Diagrama 3 não é a mais eficien-te. Uma implementação mais eficiente do AV pode ser encontrada em (FORNEY Jr.,1973).

No caso de constelações complexas, é fácil estender o esquema do Diagrama 3. Para 4-QAM, por exemplo, o alfabeto é formado por quatro símbolos:

Considerando um canal com 3 coeficientes há 43 estados possíveis, que devem ser comparados com um símbolo de saída do filtro casado branqueador. Num primeiro estágio, sobram 16 estados e num segundo 4, dos quais apenas 1 é escolhido por ter a máxima probabilidade de ocorrência. Considerando um canal com mais coeficien-tes, existirão mais estágios até que sobre um único símbolo de maior probabilidade. No caso de outras constelações, o número de estados possíveis muda e o penúltimo estágio sempre corresponde ao tamanho do alfabeto.

Uma limitação no uso deste equalizador ótimo na prática é a complexidade computacional do algoritmo de Viterbi que cresce exponencialmente com o número de coeficientes do canal.

3 CONCLUSÕES

Comparando os critérios ótimos para equalização apresentados na Seção 2, percebe-se uma limitação fundamental do equalizador linear transversal (LTE). De-pendendo do canal, este equalizador poderá estar muito longe do ótimo segundo o critério de Bayes ou do ótimo segundo o critério da máxima verossimilhança. Por este motivo, surgiram variações do mesmo, como o Decision Feedback Equalizer (DFE)

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que pode proporcionar melhoras significativas nos resultados da equalização (GERSHO; LIM, 1981; QUERESHI, 1985). O DFE nada mais é do que um LTE em que são também utilizadas decisões passadas. Isso faz com este tipo de sistema tenha uma estrutura onde a não-linearidade do decisor está posicionada em uma malha de reali-mentação constituindo-se em um sistema não-linear.

Diante disso, surgiram vários estudos na direção de se obter um equalizador intermediário entre o ótimo e o LTE. Várias estruturas não-lineares têm sido estuda-das, como as baseadas em séries de Volterra (BORYS, 2001) e as que utilizam redes neurais (DESTRO FILHO, 1998; SILVA; GERKEN; MIRANDA, 2000; SILVA, 2001). As redes neurais, apesar de serem computacionalmente complexas, apresen-tam vantagens sobre outras estruturas não-lineares devido ao seu alto grau de paralelismo o que as tornam atraentes para implementação em circuitos integrados (BOUCHIRED; ROVIRAS; CASTANI, 1999). Em geral, estas estruturas são adaptadas de forma supervisionada. Isto ocorre pois há muitos aspectos importantes da equalização auto-didata que ainda necessitam de estudos mais aprofundados antes que se possa esperar aplicar efetivamente estas técnicas a estruturas não-lineares.

Por outro lado, não se deve esquecer que a grande vantagem do LTE / DFE é a sua simplicidade que permite o desenvolvimento de algoritmos de baixa complexida-de para a adaptação em tempo real dos coeficientes. A variação dos parâmetros do canal com o tempo ou a utilização de um mesmo dispositivo equalizador com diferen-tes canais leva a necessidade de se ajustar os coeficiendiferen-tes do equalizador de forma automática. Neste contexto, o desenvolvimento de equalizadores ótimos segundo os critérios de Bayes ou de máxima verossimilhança que sejam menos complexos é um problema de interesse. Da mesma forma, também o desenvolvimento de algoritmos eficientes de ajuste ou treinamento para estes equalizadores é um problema que tem a sua importância.

De modo geral, em situações em que uma estrutura não-linear simples como o DFE não funciona bem, se faz necessário utilizar uma estrutura não-linear mais com-plexa. Nessas situações, uma rede neural por exemplo pode apresentar um desempe-nho mais interessante. Neste contexto, um equalizador híbrido composto de uma es-trutura linear e uma não-linear pode ser uma solução de grande interesse (SILVA, 2001; SILVA; GERKEN, 2002).

On optimal equalization of communication channels

ABSTRACT

In this paper optimal criteria for equalization of communication channels are considered. Through comparisons, it is possible to verify a limitation on the Linear Transversal Equalizer, which is the most

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MACKENZIE

used structure in practical situations. Several times, this equalizer presents a sub-optimal performance since the optimal solution is non-linear.

Keywords: Optimal filter. Non-linear equalization.

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