REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA

Dados Internacionais de Catalogação-na-Publicação (CIP) Divisão de Informação e Documentação

Fischer, Cleges

Análise Térmica de Jato Turbulento Incidente sobre Camada Porosa / Cleges Fischer. São José dos Campos, 2008.

149f.

Tese de Mestrado – Curso de Pós-Graduação em Engenharia Aeronáutica e Mecânica - Aerodinâmica, Propulsão e Energia

Instituto Tecnológico de Aeronáutica, 2008. Orientador: Prof. Dr. Marcelo J. S. de Lemos.

1. Meio Poroso. 2. Jato Impingente. 3. Simulação Numérica. I. Comando-Geral de Tecnologia Aeroespacial. Instituto Tecnológico de Aeronáutica. Divisão de Engenharia Mecânica. II.Título

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA

FISCHER, Cleges. Análise Térmica de Jato Turbulento Incidente sobre Camada Porosa. 2008. 149f. Tese de Mestrado em Aerodinâmica, Propulsão e Energia – Instituto Tecnológico de Aeronáutica, São José dos Campos.

CESSÃO DE DIREITOS

NOME DO AUTOR: Cleges Fischer

TÍTULO DO TRABALHO: Análise Térmica de Jato Turbulento Incidente sobre Camada Porosa

TIPO DO TRABALHO/ANO: Tese / 2008

É concedida ao Instituto Tecnológico de Aeronáutica permissão para reproduzir cópias desta tese e para emprestar ou vender cópias somente para propósitos acadêmicos e científicos. O autor reserva outros direitos de publicação e nenhuma parte desta tese pode ser reproduzida sem a sua autorização (do autor).

___________________________

Cleges Fischer

Rua Madre Paula de São José, 86, ap 41B, Vila Ema 12243-010 - São José dos Campos - SP

iii

Análise Térmica de Jato Turbulento Incidente sobre Camada

Porosa

Cleges Fischer

Composição da Banca Examinadora: Prof.

Dr. Nide Geraldo do Couto Ramos Fico Júnior Presidente - ITA Prof.

Dr. Marcelo J.S. de Lemos Orientador - ITA Prof. Dr. Jerônimo dos Santos Travelho INPE

Prof.

Dr. Sérgio Mourão Saboya ITA

Prof.

Dr. Amílcar Porto Pimenta ITA

iv

Agradecimentos

Desejo expressar meus sinceros agradecimentos:

Em primeiro lugar, a Deus que torna todas as coisas possíveis.

Ao Prof. Dr. Marcelo J. S. de Lemos pela oportunidade, amizade e orientação fundamental para a realização deste trabalho.

A todos os colegas e amigos do Laboratório de Computação em Fenômenos de Transporte.

À minha namorada Suelen T. Roballo pelo incentivo e pela valiosa ajuda que tanto contribuiu para a conclusão deste trabalho.

Aos meus pais Miro Fischer e Mirtes M. S. Fischer que me educaram e fazem parte de todas as conquistas da minha vida.

À FAPESP pelo suporte financeiro deste trabalho.

v

RESUMO

Neste trabalho são estudados jatos impingentes, bidimensionais confinados incidindo sobre uma placa aquecida que pode estar ou não coberta por uma camada porosa. O problema foi considerado bidimensional e as simulações foram feitas para o escoamento tanto no regime laminar, quanto no regime turbulento. O meio poroso foi considerado rígido, homogêneo e isotrópico. Utilizou-se o conceito da dupla decomposição para a obtenção das equações macroscópicas que modelam o meio poroso. Estas equações foram discretizadas usando-se o método dos volumes finitos e o acoplamento pressão-velocidade foi resolvido usando o conhecido método SIMPLE. Foram investigadas, principalmente, a distribuição do Nusselt local na placa de incidência e a quantidade de calor retirada da placa, com ou sem a presença do meio poroso. Viu-se que, tanto para o regime laminar quanto para o turbulento, o uso do meio poroso possibilitou amenizar os elevados gradientes de temperatura, distribuir o fluxo de calor ao longo da placa e aumentar a transferência de calor.

vi

ABSTRACT

In this work has been studied a confined and two-dimensional jet impinging against a heated flat plate with or without a covering of a porous layer. The problem is considered two-dimensional and the numerical runs have been made for both laminar and turbulent flow regimes. The porous medium is assumed rigid, homogeneous and isotropic. The double decomposition concept is used to obtain the macroscopic equations that modeling the porous medium. These equations have been discretized by the finite volumes method and, the pressure-velocity coupling was resolved using the SIMPLE method. The distribution of local Nusselt number and the flux of heat transfer on target plate were investigated. As much as for laminar and turbulent regimes the porous medium diminishes the temperature gradients, distributing the heat flux along of target plate, and increases the heat transfer.

vii

LISTA DE FIGURAS

Figura 1.1 - Visualização tridimensional de um escoamento do tipo jato impingente ... 20 

Figura 1.2 - Distribuição do numero de Nusselt em função do espaçamento relativo do bico ejetor-superfície: a) Grande espaçamento, b) Pequeno espaçamento. ... 21 

Figura 1.3 - Visualização tridimensional de um jato impingente com camada porosa ... 22 

Figura 1.4 - Jato incidente sobre uma superfície porosa ... 22 

Figura 1.5 - a) Jato impingente submerso; b) Jato impingente livre ... 26 

Figura 1.6 - a) Jato impingente confinado; b) Jato impingente não-confinado ... 27 

Figura 1.7 - Configuração de Jato Impingente em Meio Poroso ... 28 

Figura 1.8 - Esquema do Jato Impingente com a região de transição incidindo sobre a superfície. ... 30 

Figura 1.9 - Esquema do Jato Impingente com o núcleo potencial incidindo sobre a superfície. ... 30 

Figura 2.1 - Volume elementar representativo, ΔV. ... 41 

Figura 2.2 - Representação Vetorial Tridimensional da Dupla Decomposição. ... 46 

Figura 3.1 - Notação e Volume de Controle. ... 56 

Figura 4.1 – Organograma ... 58 

Figura 4.2 - Geometria sem a presença do meio poroso ... 60 

Figura 4.3 - Geometria com a presença do meio poroso ... 60 

Figura 4.4 - Parte da malha (40 x 180) para H B=2 ... 62 

Figura 4.5 - Distribuição de Nu junto à placa inferior para o meio limpo: H B=4 e Re=450. ... 64 

Figura 4.6 - Distribuição de Nu junto à placa inferior para o meio limpo: H B=5 e Re=500. ... 64 

Figura 4.7 - Linhas de corrente para meio limpo, H/B=2 e vários Reynolds. ... 68 

viii

Figura 4.9 - Distribuição do número de Nusselt local, junto à placa inferior, para meio limpo, H/B=2e vários Reynolds. ... 70 

Figura 4.10 – Fluxo de calor na placa inferior, para meio limpo, H/B=2, diversos Reynolds e normalizado para o fluxo quando Re=1000. ... 70 

Figura 4.11 - Linhas de corrente para camadas porosas de diversas porosidades com H/B=2, k_S k_f =10, Re=750, K =3,31×10−6m2 e h H =0,50. ... 74 

Figura 4.12 - Campo de temperatura para camadas porosas de diversas porosidades com H/B=2, k_S k_f =10, Re=750, K =3,31×10−6m2 e h H =0,50. ... 75  Figura 4.13 - Distribuição de Nusselt local junto à placa inferior com H/B=2, k_S k_f =10, Re=750, K =3,31×10−6m2 e h H =0,50. ... 76 

Figura 4.14 - Linhas de corrente para camadas porosas com várias espessuras com Re=750, H/B=2, k_S k_f =10, K =3,31×10−6m2 e φ =0,90. ... 78 

Figura 4.15 - Campo de temperatura para camadas porosas com várias espessuras com Re=750, H/B=2, k_S k_f =10, K =3,31×10−6m2 e φ =0,90. ... 79 

Figura 4.16 - Distribuição de Nusselt local para camadas porosas com várias espessuras, Re=750, H/B=2,k_S k_f =10, K =3,31×10−6m2 e φ =0,90. ... 80  Figura 4.17 – Vetores velocidade para camadas porosas com várias permeabilidades e com Re=750, H/B=2, h H =0,50 e φ =0,90. ... 83  Figura 4.18 – Linhas de corrente para camadas porosas com várias permeabilidades e com Re=750, H/B=2, h H =0,50 e φ =0,90. ... 84  Figura 4.19 - Campo de temperatura para camadas porosas com várias permeabilidades e com Re=750, H/B=2, h H =0,50 e φ =0,90. ... 85 

Figura 4.20 - Distribuição de Nusselt local para várias permeabilidades e H/B=2, Re =750,k_s k_f =10 , h H =0,50 e φ =0,90. ... 86 

Figura 4.21 - Perfis de velocidade para H/B=2, Re =750, k_s k_f =10, h H =0,50, φ =0,90 e K =2,70×10−4m2. ... 86  Figura 4.22 - Perfis de velocidade para Re =750, H/B=2, k_s k_f =10, h H =0,50, φ =0,90 e K =1,07×10−7m2. ... 87 

ix

Figura 4.23 - Perfis de velocidade para Re =750, H/B=2, k_s k_f =10, h H =0,50, φ =0,90 e K =1,80×10−8m2. ... 87  Figura 4.24 - Fluxo de calor adimensional para vários Reynolds e porosidades com H/B=2, k_S k_f =10, K =3,31×10−6m2 e h H =0,25. ... 90  Figura 4.25 - Fluxo de calor adimensional para vários Reynolds e porosidades com H/B=2, k_S k_f =10, K =3,31×10−6m2 e h H =0,50. ... 90  Figura 4.26 - Fluxo de calor adimensional para vários Reynolds e porosidades com H/B=2, k_S k_f =10, K =3,31×10−6m2 e h H =0,75. ... 91  Figura 4.27 - Fluxo de calor adimensional para várias alturas da camada porosa, Re =750, H/B=2, _{K =3.31×10}−6_m2 _{e φ =0,50. ... 91}

  Figura 4.28 - Fluxo de calor adimensional para várias alturas da camada porosa, Re =750, H/B=2, _{K =3.31×10}−6_m2 _{e φ =0,90. ... 92}

  Figura 4.29 - Fluxo de calor adimensional para várias permeabilidades para Re =750, H/B=2, k_s k_f =10, h H =0,50 e duas porosidades. ... 92 

Figura 4.30 - Fluxo de calor adimensional na placa inferior para várias condutividades térmicas com H/B=2, Re=750, K =3.31×10−6m2 e h H =0,50. ... 93 

Figura 4.31 - Fluxo de calor para H/B=2, K =3.31×10−6m2, 90φ =0, , h H =0,50 e adimensionalizado pelo fluxo de calor para Re=1000. ... 93  Figura 4.32 - Influência do refinamento da malha. Meio limpo, Re=10400, e H B=2,6. . 96  Figura 4.33 - Parte da malha (80 x 216) para H B=2,6 ... 96 

Figura 4.34 - Distribuição de Nu junto à placa inferior para o meio limpo: H B=6 e Re=5200. ... 97 

Figura 4.35 - Distribuição de Nu junto à placa inferior para o meio limpo: H B=2,6 e Re=10400. ... 98 

Figura 4.36 - Vetores velocidade para meio limpo, H/B=2,6 e para vários Reynolds. ... 101  Figura 4.37 - Linhas de corrente para meio limpo, H/B=2,6 e para vários Reynolds. ... 102  Figura 4.38 - Campo de temperatura para meio limpo, H/B=2,6 e para vários Reynolds. . 103  Figura 4.39 - Campo de energia cinética turbulenta (k) para meio limpo, H/B=2,6 e para vários Reynolds. ... 104 

x

Figura 4.40 - Distribuição do número de Nusselt local, junto à placa inferior, para um meio limpo, H/B=2,6 e vários números de Reynolds. ... 105  Figura 4.41 - Quantidade de calor retirada pelo escoamento para diversos Reynolds, meio limpo, H/B =2,6 em relação ao escoamento de Re=60000. ... 105  Figura 4.42 - Vetores velocidade para meio poroso comH/B=2,6, k_S k_f =10, Re=10400, K =3,31×10−6m2 e h H =0,50. ... 109  Figura 4.43 - Linhas de corrente para meio poroso, H/B=2,6, k_S k_f =10, Re=10400, K =3,31×10−6m2, h H =0,50. ... 110  Figura 4.44 - Campo de temperatura para meio poroso, H/B=2,6, k_S k_f =10, Re=10400, K =3,31×10−6m2, h H =0,50. ... 111 

Figura 4.45 - Campo de energia cinética turbulenta (k) para meio poroso, H/B=2,6, k_S k_f =10, Re=10400, K =3,31×10−6m2, h H =0,50. ... 112 

Figura 4.46 - Distribuição do Nusselt local para meio poroso, H/B=2,6, k_S k_f =10, Re=10400, K =3,31×10−6m2e h H =0,50. ... 113  Figura 4.47 - Relação do fluxo de calor para H/B=2,6, k_S k_f =10,K =3,31×10−6m2, h H =0,50 e vários Reynolds. ... 113 

Figura 4.48 - Relação do fluxo de calor, para H/B=2,6, k_S k_f =10, Re=10400, h H =0,50 e várias permeabilidades. ... 114 

Figura 4.49 - Relação do fluxo de calor , para, H/B=2,6, k_S k_f =10, Re=10400, K =3,31×10−6m2 e várias espessuras da camada porosa. ... 114 

Figura 4.50 - Vetores velocidade para meio poroso, H/B=2,6, k_S k_f =10, Re=10400, φ =0,50 e h H =0,50. ... 118  Figura 4.51 - Linhas de corrente para meio poroso, H/B=2,6, k_S k_f =10, Re=10400, φ =0,50 e h H =0,50. ... 119  Figura 4.52 - Campo de temperatura para meio poroso, H/B=2,6, k_S k_f =10, Re=10400, φ =0,50 e h H =0,50. ... 120 

Figura 4.53 - Campo de energia cinética turbulenta (k) para meio poroso, H/B=2,6, k_S k_f =10, Re=10400, 50φ =0, e h H =0,50. ... 121 

xi

Figura 4.54 - Distribuição do Nusselt local para meio poroso, H/B=2,6, k_S k_f =10, Re=10400, 50φ =0, e h H =0,50. ... 122 

Figura 4.55 - Relação do fluxo de calor, para, H/B=2,6, k_S k_f =10, Re=10400, h H =0,50 e várias porosidades. ... 122 

Figura 4.57 - Perfis de velocidade para H/B =2,6, k_s k_f =10, Re=10400, φ =0,90, h H =0,50 e K =2,70×10−4m2. ... 123  Figura 4.58 - Perfis de velocidade para H/B =2,6, k_s k_f =10, Re=10400, φ =0,90, h H =0,50 e K =3,31×10−6m2. ... 124  Figura 4.59 - Perfis de velocidade para H/B =2,6, k_s k_f =10, Re=10400, φ =0,90, h H =0,50 e K =1,80×10−8m2. ... 124  Figura 4.60 - Vetores velocidade para meio poroso, H/B=2,6, k_S k_f =10, Re=10400, K =3,31×10−6m2 e φ =0,90. ... 127  Figura 4.61 - Linhas de corrente para meio poroso, H/B=2,6, k_S k_f =10, Re=10400, K =3,31×10−6m2 e φ =0,90. ... 128  Figura 4.62 - Campo de temperatura para meio poroso, H/B=2,6, k_S k_f =10, Re=10400, K =3,31×10−6m2 e φ =0,90. ... 129 

Figura 4.63 - Campo de energia cinética turbulenta (k) para meio poroso, H/B=2,6, k_S k_f =10, Re=10400, K =3,31×10−6m2 e φ =0,90. ... 130 

Figura 4.64 - Distribuição do Nusselt local para meio poroso, H/B=2,6, k_S k_f =10, Re=10400, K =3,31×10−6m2 e φ =0,90. ... 131 

Figura 4.65 - Relação do fluxo de calor, para, H/B=2,6, k_S k_f =10, Re=10400, K =3,31×10−6m2 e diversas porosidades. ... 131 

Figura 4.66 - Relação do fluxo de calor, para, H/B=2,6, k_S k_f =10, Re=10400, 50φ =0, e diversas permeabilidades. ... 132 

Figura 4.67 - Perfis de velocidade em x/B=40, com H/B=2,6, k_S k_f =10, Re=10400, K =3,31×10−6m2, 50φ =0, e três espessuras de camada porosa. ... 132 

xii

Figura 4.68 - Vetores velocidade em meio poroso, com H/B=2,6, k_S k_f =10, K =3,31×10−6m2, 50φ =0, e h H =0,50. ... 134 

Figura 4.69 - Campo de temperatura para meio poroso, com H/B=2,6, k_S k_f =10, K =3,31×10−6m2, 50φ =0, , h H =0,50. ... 135 

Figura 4.70 - Distribuição de Nusselt local com H/B=2,6 k_S k_f =10,K =3,31×10−6m2, φ =0,50 e h H =0,50. ... 136  Figura 4.71 - Relação do fluxo de calor, para H/B=2,6, k_S k_f =10, K =3,31×10−6m2, φ =0,50, h H =0,50 e adimensionalizado para Re=60000. ... 136 

Figura 4.72 - Linhas de corrente para meio poroso, com H/B=2,6, Re=10400, K =3,31×10−6m2, 90φ =0, , h H =0,50. ... 139 

Figura 4.73 - Campo de temperatura para meio poroso, com H/B=2,6, Re=10400, K =3,31×10−6m2, φ =0,90, h H =0,50. ... 140 

Figura 4.74 - Distribuição de Nusselt local:H/B=2,6, Re=10400, K =3,31×10−6m2, φ =0,90, h H =0,50 e diversos valores de kS kf . ... 141 

Figura 4.75 - Relação do fluxo de calor, com H/B=2,6, Re=10400, K =3,31×10−6m2, h H =0,50 e duas porosidades. ... 141 

xiii

LISTA DE TABELAS

Tabela 4.1 – Verificação da Influência da malha nos resultados para escoamento no regime

laminar ... 62 

Tabela 4.2 – Valores dos parâmetros usados nos cálculos para o escoamento laminar ... 65 

Tabela 4.3 –Influência da malha nos resultados para escoamento em regime turbulento. ... 96 

xiv

LISTA DE SÍMBOLOS

Caracteres Latinos

i

A Área interfacial entre o fluido e o sólido

B Largura do bico injetor F

c Coeficiente de Forchheimer ou de inércia 1

c Constante adimensional do modelo de turbulência 2

c Constante adimensional do modelo de turbulência 3

c Constante adimensional do modelo de turbulência k

c Constante adimensional do modelo de turbulência μ

c Constante adimensional do modelo de turbulência

D Tensor de deformações, [_∇u₊(_∇u)T] 2

Da Número de Darcy, ₂

H K

Da=

D Dimensão característica no cálculo do número de Nusselt e de Reynolds p d Diâmetro de partícula, ₃ 2 ) 1 ( 144 φ φ − K h

D Diâmetro hidráulico, para o jato impingente é, D_h =2B

2

f ,

f

_μ Funções de amortecimento

g Aceleração da Gravidade

xv

conv

h Coeficiente de convecção

h Altura da camada porosa B

H Relação adimensional característica

I Tensor unitário

K Permeabilidade do meio

k Energia cinética turbulenta por unidade de massa, k =u⋅′u′ 2

f

k Condutividade térmica do fluido s

k Condutividade térmica do sólido ef

k Condutividade térmica efetiva, k_ef =(1−φ)k_s +φk_f

ε

−

k Modelo de Turbulência l Escala de Turbulência

L Comprimento do canal

n Vetor unitário externo ao fluido e normal à A_i Nu Número de Nusselt, f k hD Nu= ou ef k hD Nu = p Pressão microscópica

q Fluxo de calor total ''

q Fluxo de calor por unidade de área *

q Relação entre o fluxo de calor total calculado na placa de incidência para um caso com meio poroso em relação ao mesmo caso, mas em meio limpo,

po meio poroso meio q q q lim * ₌

R Força total de arrasto por unidade de volume média no tempo

Re Número de Reynolds do escoamento,

μ ρv₀D

Re=

ϕ

xvi

T Temperatura

1

T Temperatura constante da placa de incidência 0

T Temperatura do ar na saída do bico injetor

f

T Temperatura do fluido s

T Temperatura da fase sólida do meio poroso

Ti Intensidade Turbulenta

u, u Velocidade microscópica D

u Velocidade de Darcy ou superficial (média volumétrica de u) i

u Velocidade da interface entre o fluido e o sólido

v Velocidade microscópica

0

v Velocidade do fluido na saída do bico injetor x Direção paralela à placa de incidência

y Direção normal à placa de incidência

Caracteres Gregos

V δ Volume de controle t Δ Intervalo de tempo V

Δ Volume elementar representativo f

V

Δ Volume de fluido contido em VΔ ε ₌μ_{∇u:′( u∇ ′)}T ρ _{Taxa de dissipação de k}

φ

ε Taxa de dissipação de k_φ

μ Viscosidade dinâmica

ef

xvii

t

μ Viscosidade turbulenta microscópica

φ

μ_t Viscosidade turbulenta macroscópica

ν Viscosidade cinemática

ρ Massa Específica

k

σ Constante adimensional do modelo de turbulência

ε

σ Constante adimensional do modelo de turbulência T

σ Constante adimensional do modelo de turbulência

φ Porosidade

Caracteres Especiais

ϕ Quantidade genérica ϕ Média temporal ϕ′ Flutuação temporal i 〉 〈ϕ Média intrínseca v 〉 〈ϕ Média volumétrica ϕ i _{Desvio espacial} |

|ϕ Valor absoluto (módulo)

ϕ Quantidade vetorial genérica

( )

_s,f Propriedade do sólido ou do fluido

( )

T

Transposto

xviii

SUMÁRIO

RESUMO ... v 

ABSTRACT ... vi 

LISTA DE FIGURAS ... vii 

LISTA DE TABELAS ... xiii 

LISTA DE SÍMBOLOS ... xiv 

SUMÁRIO ... xviii 

1.  INTRODUÇÃO ... 20 

1.1.  Aplicações Industriais ... 23 

1.2.  Jatos Impingentes ... 25 

1.2.1.  Classificação dos Jatos Impingentes... 25 

1.2.2.  Caracterização das Regiões do Escoamento de Jatos Impingentes ... 29 

1.3.  Revisão Bibliográfica ... 31 

1.3.1.  Revisão Bibliográfica sobre Jatos Impingentes ... 31 

1.3.2.  Revisão Bibliográfica sobre Meios Porosos ... 38 

2.  DUPLA DECOMPOSIÇÃO ... 40 

2.1.  Definições e Conceitos Básicos ... 40 

2.2.  Comutatividade entre as Médias Temporal e Espacial ... 43 

2.3.  Decomposição Temporal e Espacial... 44 

3.  EQUAÇÕES MACROSCÓPICAS E MÉTODO NUMÉRICO ... 47 

3.1.  Modelagem Matemática ... 47 

3.1.1.  Equação de Continuidade Macroscópica ... 47 

3.1.2.  Equação de Momentum Macroscópica... 48 

3.1.3.  Equações Macroscópicas para k: ... 50 

3.1.4.  Equações Macroscópicas paraε : ... 51 

3.1.5.  Constantes do Modelo

k

−

ε

... 51 

xix

3.2.  Método Numérico ... 56 

4.  RESULTADOS E DISCUSSÕES ... 57 

4.1.  Geometria e Condições de Contorno do Problema ... 59 

4.2.  Escoamento no Regime Laminar ... 61 

4.2.1.  Validação do Código e da Malha ... 61 

4.2.2.  Parâmetros Utilizados nos Cálculos ... 65 

4.2.3.  Meio Limpo ... 66 

4.2.4.  Meio Poroso ... 71 

4.2.5.  Análise do Fluxo de Calor na Placa de Incidência ... 88 

4.3.  Escoamento no Regime Turbulento ... 94 

4.3.1.  Validação do Código e da Malha ... 95 

4.3.2.  Parâmetros Usados nos Cálculos ... 99 

4.3.3.  Meio Limpo ... 99 

4.3.4.  Meio Poroso ... 106 

5.  CONCLUSÕES ... 142 

20

INTRODUÇÃO

1. INTRODUÇÃO

Neste trabalho é estudado numericamente um escoamento do tipo jato incidente, aqui chamado jato impingente. Este tipo de escoamento é caracterizado por um jato de fluido que incide sobre uma superfície, geralmente sólida. A Figura 1.1 a seguir mostra um esquema de um jato impingente cujo bocal é formado por uma fenda retangular e que incide sobre uma placa plana, sendo confinando por uma placa superior formando assim um canal de escoamento entre duas placas planas e paralelas.

Figura 1.1 - Visualização tridimensional de um escoamento do tipo jato impingente

O escoamento do tipo jato impingente caracteriza-se por apresentar altas taxas localizadas de transferência de calor e/ou de massa, sobretudo na região de estagnação do escoamento, onde as camadas limites são muito finas. Por este motivo são muito usados em diversas aplicações industriais onde se necessite resfriar, aquecer ou provocar uma transferência de massa em determinada superfície.

21

INTRODUÇÃO

A distribuição do número de Nusselt local, calculado junto à placa inferior do canal apresenta altos gradientes de temperaturas e um pico na região de estagnação (Figura 1.2a) logo abaixo do bico injetor e também, de acordo com Incropera (2003), pode surgir um segundo pico do Nusselt dependendo da distância entre as superfícies de incidência e de confinamento do jato (Figura 1.2b).

Figura 1.2 - Distribuição do numero de Nusselt em função do espaçamento relativo do bico ejetor-superfície: a) Grande espaçamento, b) Pequeno espaçamento.

Estas variações na distribuição do Nusselt local podem ser desejadas ou não, dependendo da aplicação específica que se está considerando. Um método de se obter um maior controle sobre estas taxas de transferência de calor é o uso de uma camada porosa colocada sobre a placa de incidência.

Com esta motivação, pretende-se, neste trabalho, estudar, principalmente, a influência do uso da camada porosa, uma vez que acredita-se que a presença do meio poroso irá amenizar os elevados gradientes de temperatura e apresentará uma curva de Nusselt local mais uniforme e ainda eliminar o segundo pico do Nusselt. Pretende-se, também, investigar a influência da presença do meio poroso na taxa de transferência de calor, da placa inferior, uma vez que espera-se o aumento desta taxa com a utilização da camada porosa. As Figuras 1.3 e 1.4 representam a configuração de um jato impingente com a presença da camada porosa.

22

INTRODUÇÃO

Figura 1.3 - Visualização tridimensional de um jato impingente com camada porosa

Figura 1.4 - Jato incidente sobre uma superfície porosa

Além dos motivos mencionados anteriormente, ressalta-se que, recentemente, foi realizado no ITA um estudo sobre o escoamento de um jato incidente em uma superfície coberta com um meio poroso baseando-se no campo hidrodinâmico (De Lemos e Graminho, 2005; Graminho, 2004; Graminho, Mouro Filho e De Lemos, 2005). Os campos médios e estatísticos, obtidos neste estudo, obtiveram excelente concordância com dados experimentais existentes na literatura (Prakash et al, 2001).

Desta forma, o estudo aqui apresentado apresenta uma seqüência lógica ao desenvolvimento deste trabalho na medida em que, tendo sido feita a validação dos resultados para o campo hidrodinâmico, obtém-se agora a solução para o campo térmico.

23

INTRODUÇÃO

1.1. Aplicações Industriais

Embora os trabalhos existentes na literatura a respeito de escoamentos de jatos impingentes já venham sendo desenvolvidos nos últimos trinta anos, recentemente percebe-se um aumento considerável no número de artigos publicados sobre o assunto. A principal razão para esta atenção dedicada por parte da comunidade científica é que, embora os jatos impingentes apresentem uma geometria simples, ainda assim produzem escoamentos complexos e de difícil previsão. Além disso, este tipo de escoamento produz elevados coeficientes de transferência de calor e de massa entre o fluido e a superfície alvo, o que faz com que tenham uma grande aplicabilidade em diversos processos industriais.

Em turbinas a gás, por exemplo, o uso de jatos impingentes é fundamental para garantir o resfriamento das palhetas, mantendo-as em níveis de temperatura considerados aceitáveis. Em processos de corte a laser ou plasma a aplicação de jatos impingentes para resfriamento podem reduzir a deformação térmica dos materiais.

Com a tendência da micro-miniaturização de componentes eletrônicos o problema de dissipação térmica é reconhecido como um fator limitante na produção de componentes eletrônicos cada vez mais compactos. Para resolver este problema, entre as mais modernas técnicas utilizadas está o uso de jatos impingentes, considerado um dos melhores meios de se obter altas taxas de transferência de calor. Além disso, eles apresentam outras vantagens como a facilidade de serem compactados, o fato de produzirem baixos níveis de ruídos, vibrações e consumo de energia. Estas vantagens são especialmente desejáveis na fabricação de laptops, em que os espaços são reduzidos e o consumo de energia deve ser o menor possível.

Na indústria de alimentos o resfriamento adequado no processo de produção e embalagem das comidas pré-cozidas é extremamente delicado e essencial para se garantir a boa qualidade aos alimentos. O resfriamento lento pode induzir o crescimento de muitos

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INTRODUÇÃO

micro-organismos térmofílicos e mesofílicos (bactérias). Vários métodos de resfriamento são usados hoje, mas a maioria deles consome muito tempo e energia. O resfriamento usando jatos impingentes incidindo ortogonalmente sobre os produtos cria altas taxas de transferência de calor possibilitando que os alimentos sejam rapidamente resfriados e assim garante-se a qualidade destes.

Além das aplicações já citadas, os jatos impingentes são também usados em diversas outras aplicações industriais como na secagem de papel e tecido, na indústria têxtil, na têmpera de vidros e aços, em sistemas de degelo e no resfriamento de células fotovoltaicas. . Entretanto, todas as aplicações apresentadas até o momento não consideram o escoamento de jato impingente envolvendo um meio poroso o que motiva a investigação que será feita neste trabalho.

25

INTRODUÇÃO

1.2. Jatos Impingentes

Os jatos impingentes possuem uma geometria relativamente simples, entretanto podem apresentar inúmeras configurações distintas de acordo com diversos critérios diferentes de classificação.

Nesta seção é feita uma breve revisão a respeito das principais classificações de jatos impingentes, assim como uma descrição das características do escoamento a partir da saída do fluido do bico injetor.

1.2.1. Classificação dos Jatos Impingentes

1.2.1.1. Quanto ao Regime de Escoamento

Os jatos são classificados segundo a velocidade média do fluido na saída do bico injetor. Para um número de Reynolds inferior à Re=1000 o escoamento desenvolve-se no regime laminar, e acima deste número de Reynolds o escoamento passa a ser turbulento.

O número de Reynolds é calculado segundo a equação:

μ ρuD_h

=

Re (1.1)

onde, u é a velocidade média do fluido na saída do bico injetor, ρ é a massa específica do fluido, μ é a viscosidade dinâmica do fluido e D é o diâmetro hidráulico da geometria da _h

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INTRODUÇÃO

1.2.1.2. Quanto aos Fluidos Envolvidos no Escoamento

Os jatos impingentes podem ser classificados, de acordo com os fluidos envolvidos no escoamento, como jatos impingentes livres ou jatos impingentes submersos.

O primeiro grupo (jatos impingentes livres) trata dos jatos em que o fluido que sai do bico injetor é diferente do fluido na vizinhança. Um exemplo de jato impingente livre é um jato de água entrando em um meio (vizinhança) que contém apenas ar ( Figura 1.5 a).

O segundo grupo (jatos impingentes submersos) trata dos jatos em que o fluido saindo do bico injetor e o fluido da vizinhança é o mesmo. Um exemplo deste tipo de escoamento é um jato de ar penetrando em meio que também contém apenas ar ( Figura 1.5 b).

As características dinâmicas em ambos os casos são distintas. Nos jatos livres, uma camada de cisalhamento desenvolve-se na interface entre o fluido do jato e o fluido do meio vizinho, esta camada é instável e pode gerar turbulência. Já em jatos impingentes submersos normalmente esta geração de turbulência não é muito significante. Quanto à transferência de calor entre o fluido e a placa de incidência, os jatos submersos são mais sensíveis ao espaçamento entre o jato e a placa alvo em comparação com os jatos livres.

a) b)

Figura 1.5 - a) Jato impingente submerso; b) Jato impingente livre

1.2.1.3. Quanto a Geometria dos Bicos Injetores

Quanto à geometria dos bicos injetores, os jatos impingentes podem ser divididos em dois casos principais: jatos axisimétricos formados por um injetor circular ou jatos bidimensionais (retangulares, quadrados, etc.). Neste trabalho os jatos bidimensionais serão

27

INTRODUÇÃO

considerados jatos formados por fendas com geometria retangular em que um dos lados do retângulo é muito maior em relação ao outro de tal forma que o escoamento poderá ser considerado bidimensional.

A dinâmica do escoamento para ambos os casos (jatos axisimétricos e jatos bidimensionais) também é diferente. Em comparação aos jatos axisimétricos, os jatos bidimensionais produzem uma grande zona de colisão e levam a uma maior uniformização do líquido refrigerante após a incidência.

Além das duas geometrias acima apresentadas, também podem existir outras menos comuns como, por exemplo, bicos injetores, triangulares, quadrados ou elípticos.

1.2.1.4. Quanto ao Confinamento dos Jatos

Esta classificação trata da existência ou não de uma placa de confinamento formando ou não um canal de escoamento do fluido após a incidência na placa alvo. Se existir uma superfície superior delimitando o canal, o jato é classificado como confinado (Figura 1.6a), caso contrário, como não-confinado (Figura 1.6b).

Segundo Fitzgerald e Garimella (1997), citado por Chiriac e Ortega (2002), o confinamento dos jatos impingentes aumenta o tamanho do núcleo potencial, diminui os níveis de turbulência no jato e reduz em 10% a transferência de calor, no ponto de estagnação, em comparação com jatos livres.

a) b)

28

INTRODUÇÃO

1.2.1.5. Quanto ao Número e Disposição dos Jatos

Em muitas aplicações industriais as superfícies de troca de calor são grandes e um único jato não é suficiente. Neste caso montam-se configurações com diversos jatos. O escoamento nestes casos é especialmente mais complexo.

1.2.1.6. Jatos Impingentes Sujeitos a Um Escoamento Cruzado

Escoamento cruzado é o escoamento na direção normal ao escoamento do jato impingente. Este tipo de escoamento é mais usado em aplicações com múltiplos jatos impingentes, como no resfriamento de pás de turbinas a gás e em linhas de combustão. Este tipo de escoamento também é adotado em situações em que se deseja reduzir as altas taxas de transferência de calor na região de estagnação dos jatos impingentes.

1.2.1.7. Jatos Impingentes Em Meio Poroso

Neste tipo de configuração o jato incide sobre uma camada porosa. A Figura 1.7 apresenta um esquema de um jato incidindo sobre uma placa coberta com uma camada porosa. Aplicações e estudos envolvendo este tipo de escoamento ainda são raros, embora se acredite que possam ter uma grande aplicabilidade industrial e aumentar a eficiência nas trocas de calor.

29

INTRODUÇÃO

1.2.1.8. Outros Casos de Jatos Impingentes

Existem ainda situações em que os jatos podem ser classificados segundo outros critérios, além dos apresentados anteriormente, como é o caso de jatos pulsados, jatos inclinados em relação a superfície de incidência, jatos anelares e outros. Podem também ainda serem classificados de acordo com o tipo e as propriedades do fluido do escoamento como por exemplo o número de Prandtl do fluido.

1.2.2. Caracterização das Regiões do Escoamento de Jatos Impingentes

O campo de escoamento de um jato impingente pode ser dividido em três regiões principais conforme indicado na Figura 1.8 : (1) a região de jato livre; (2) a região de estagnação ou de colisão e (3) a região de jato de parede.

A região de jato livre é a região não afetada pela presença da superfície de incidência. Ela consiste de um núcleo potencial, no interior do qual a velocidade de saída do bico injetor é mantida constante, e por uma região de cisalhamento (interface entre o jato e o meio estagnado), onde se desenvolve uma camada de mistura e cisalhamento com o fluido ambiente. Em geral o comprimento do núcleo potencial varia entre 5 e 6 vezes a largura do bocal para jatos bidimensionais.

A região de estagnação ou de colisão é a região afetada pela presença da superfície de incidência. Nesta região, o escoamento é desacelerado, tendo praticamente toda sua energia potencial transformada em pressão estática no ponto de estagnação, e então é forçado a uma violenta mudança de direção e é novamente acelerado nas direções normal (z ) e transversal

30

INTRODUÇÃO

Como não é possível a aceleração horizontal continuar indefinidamente, em seguida o escoamento é transformado em um jato de parede de desaceleração, correspondente a região com este mesmo nome.

A Figura 1.8 mostra um esquema de um jato bidimensional com a região do escoamento de jato livre incidindo normalmente sobre a superfície. A Figura 1.9 mostra o caso onde o núcleo potencial incide diretamente sobre a superfície.

Figura 1.8 - Esquema do Jato Impingente com a região de transição incidindo sobre a superfície.

31

INTRODUÇÃO

1.3. Revisão Bibliográfica

Esta seção é divida em duas outras subseções, onde na subseção 1.3.1 tem-se uma revisão bibliográfica sobre escoamentos de jatos impingentes e na subseção 1.3.2 está descrita uma revisão bibliográfica sobre o estudo de escoamentos em meios porosos.

1.3.1. Revisão Bibliográfica sobre Jatos Impingentes

Devido à alta complexidade do escoamento resultante de jatos impingentes, a grande maioria dos últimos trabalhos tem enfocado em aspectos específicos do problema. A geração de vórtices na saída do bico injetor, a mistura do fluido com o do meio em repouso, os efeitos de confinamento das paredes, a separação do escoamento, junto com muitos outros fatores de complicação impedem a formulação de uma teoria única e completa para este tipo de problema. Dessa maneira, os estudos se detêm na caracterização de diferentes fenômenos do escoamento.

Para facilitar a organização da apresentação dos trabalhos encontrados na literatura, esta seção é subdividida para o caso de jatos impingentes em regime laminar, jatos impingentes em regime turbulento e jatos impingentes em meios porosos.

1.3.1.1. Jato Impingente Laminar

Um dos primeiros estudos encontrados na literatura, sobre jatos impingentes laminares, refere-se ao trabalho de Gardon e Akfirat (1966)) em que obtiveram,

experimentalmente, valores para os coeficientes de transferência de calor na placa de incidência, variando o número de Reynolds do escoamento no bico injetor e a distância entre as placas que formam o canal.

32

INTRODUÇÃO

Através da técnica de sublimação de naftalina, Sparrow e Wong (1975) obtiveram os coeficientes de transferência de massa na placa de incidência para jatos impingentes bidimensionais. Em seguida obtiveram os coeficientes de transferência de calor usando a analogia entre a transferência de massa e calor. A presença dos picos nas curvas de distribuição dos coeficientes de transferência de massa local foram atribuídas a diversos fenômenos complexos do escoamento. Um dos fenômenos citados foi o aumento da camada limite de temperatura ou massa na presença de turbulências e de um gradiente de pressão adverso. Nesta situação, a turbulência seria provocada pela mistura do jato impingente com o ambiente em repouso e o gradiente de pressão adverso pela deflexão do jato, provocada pela placa de incidência. Outro fenômeno importante seria a possível transição do escoamento do regime laminar para o turbulento no jato de parede, provocada pelo nível elevado de turbulência de correntes livres e pelo desaparecimento do gradiente de pressão adverso da região de estagnação.

Chen et al (2000) investigaram experimentalmente e numericamente os coeficientes de transferência de massa na placa de incidência para um escoamento laminar do tipo jato impingente bidimensional, confinado e submerso. Os coeficientes de transferência de massa foram obtidos experimentalmente através do método eletroquímico, usando eletrodos com dimensões de 100μm. Posteriormente, os coeficientes de transferência de massa foram transformados para coeficientes de transferência de calor. No trabalho os autores concluem que o pico no número de Nusselt, na região de estagnação, não ocorre exatamente abaixo do bico injetor bidimensional, mas que este pico estaria deslocado da linha de centro do bico injetor a uma distância de aproximadamente metade da largura do bico injetor.

Utilizando um método numérico baseado em diferenças finitas, Chiriac e Ortega (2002) investigaram um jato impingente bidimensional, submerso e confinado atuando sobre uma placa com temperatura constante. O objetivo principal do trabalho foi a identificação do

33

INTRODUÇÃO

número de Reynolds para o qual o escoamento atinge regimes instáveis e os seus efeitos na transferência de calor. A conclusão foi que para um número de Reynolds, baseado no diâmetro hidráulico do bico injetor, maior que 610 o escoamento passa a ser instável devido a geração de vórtices com freqüências constantes.

A instabilidade do escoamento em jatos impingentes inicialmente laminares é estudada com maior profundidade nos trabalhos de Chung e Luo (2002) e Chung et al (2002), em que se utilizou o método DNS (Direct Numerical Simulation) para analisar numericamente o

escoamento.

Xianchang et al (2005) analisaram um escoamento de um jato impingente bidimensional, laminar e confinado. Eles concluíram que para determinadas configurações geométricas e determinados parâmetros do escoamento podem coexistir dois tipos de escoamentos estáveis, ou em outras palavras, duas possíveis soluções distintas. Dependendo das condições iniciais qualquer uma das soluções pode ser obtida.

Medidas experimentais para um jato impingente bidimensional usando querosene como fluido, foram feitas por Chen et al (2006). O coeficiente de transferência de calor no ponto de estagnação foi bem modelado por uma equação que correlaciona o número de Reynolds do escoamento e o número de Prandtl do fluido.

1.3.1.2. Jato Impingente Turbulento

Gardon e Akfirat (1965) também foram os pioneiros no estudo de jatos impingentes no regime turbulento. Os autores investigaram, experimentalmente, o papel da turbulência nas características da transferência de calor de jatos impingentes bidimensionais, submersos e confinados. Os principais parâmetros investigados foram a distância de separação das placas inferior e superior do canal, o número de Reynolds baseado no diâmetro hidráulico do formato do bico injetor e a intensidade de turbulência do escoamento na saída do bico injetor.

34

INTRODUÇÃO

Neste estudo, observou-se, primeiramente, que à medida em que a distância entre as placas aumenta, a turbulência também aumenta devido a mistura entre o fluido do jato e o fluido em repouso, até o ponto em que o núcleo potencial desaparece e a turbulência torna-se constante. Notou-se, também, que o aumento na geração de turbulência aumenta a troca de calor. Por outro lado, a partir do desaparecimento do núcleo potencial, a velocidade do jato diminui e a largura do jato aumenta o que diminui a espessura da camada limite na região de estagnação e faz com que as trocas de calor diminuam. Portanto, a distância entre as placas e a largura do bico injetor produz efeitos opostos em relação à transferência de calor. Desta forma os autores determinaram que a relação ótima entre a distância entre as placas do canal e a largura do bico injetor é igual a 8. Valores acima ou baixo de 8 terão coeficientes de transferência de calor menores, na região de estagnação. Em seguida, analisou-se a variação dos coeficientes de transferência de calor local na placa inferior ao longo do canal concluindo que o aparecimento do segundo pico no número de Nusselt é devido a transição da camada limite laminar para a camada limite turbulenta. Este trabalho também mostrou que as características de transferência de calor não podem ser explicadas apenas pela velocidade do escoamento e pela espessura da camada limite, mas que deve-se levar em conta também a presença da turbulência; a intensidade turbulenta é influenciada somente pelo número de Reynolds e pelo comprimento adimensional do jato; e, finalmente, que os detalhes do bico injetor e do escoamento são importantes em jatos turbulentos para distâncias relativamente curtas de separação do jato e a placa, para distâncias maiores estes elementos são secundários.

Heyerichs e Pollard (1996) testaram dois modelos de turbulência diferentes para verificar a capacidade de os modelos predizerem corretamente a transferência de calor em escoamentos do tipo jato impingente bidimensional. Os modelos testados foram o modelo

ε

−

35

INTRODUÇÃO

resultados experimentais foi o modelo k−ω, sendo o único recomendado para ser utilizado neste tipo de escoamento.

Hattori e Nagano (2004) apresentaram um estudo sobre as estruturas do escoamento de jato impingentes bidimensionais e confinados. Usaram o método DNS para resolver o problema, com o objetivo de obter dados do escoamento para construir um modelo de transferência de calor em regime turbulento. Em seus resultados mostraram que o segundo pico no número de Nusselt está ligado à produção e difusão turbulenta. Na região do segundo pico do número de Nusselt ocorreu também um pico na intensidade turbulenta normal à parede.

Wang e Mujumdar (2005) investigaram o desempenho de cinco versões do modelo de turbulência k−ε, para baixo Reynolds, em predizer a transferência de calor num escoamento de jato impingente. O problema foi analisado para duas distâncias entre o bico injetor e a placa de incidência e para dois números de Reynolds. As diferentes versões do modelo foram capazes de predizer com boa concordância os valores de transferência de calor para a maior distância entre o bico injetor e a placa. Já para a menor distância a concordância com valores experimentais não foi boa. Após a inclusão da chamada correção de Yap nos modelos, a predição foi boa para a menor distância entre o bico injetor e a placa de incidência porém, não sendo boa para a maior distância.

Zhou e Lee (2007) investigaram, experimentalmente, um jato retangular incidindo sobre uma placa aquecida. Obtiveram muitos resultados que caracterizam o desenvolvimento do escoamento e os mecanismos de transferência de calor. Os resultados demonstraram que o número de Reynolds do jato, o espaçamento entre o bico injetor e a placa de incidência e a intensidade de turbulência influenciam fortemente a transferência de calor. Usando o método dos mínimos quadrados, os autores descreveram diversas correlações para o número de Nusselt na região de estagnação e também para a distribuição do Nusselt local. Nestas

36

INTRODUÇÃO

correlações, também foi levada em consideração a intensidade turbulenta do escoamento.

1.3.1.3. Jato Impingente com a Presença de Meio Poroso

Fu e Huang (1997) estudaram, numericamente, a transferência de calor de um jato laminar não confinado incidindo sobre um bloco poroso montado em uma placa aquecida, utilizando, para isso, três diferentes formas de blocos porosos: retangular, convexo e côncavo. Além da forma diferenciada de cada bloco, também foi investigado a variação provocada pela altura de cada bloco. Eles assumiram que o fluido e o meio poroso estavam em equilíbrio térmico e dessa forma utilizaram um modelo com uma equação de energia. Os resultados mostraram que a performance na transferência de calor foi principalmente afetada pela quantidade de fluido que escoava através do bloco poroso. Concluíram que a transferência de calor é aumentada por blocos de pequena altura, para cada uma das três formas geométricas. Já para blocos altos, a transferência de calor é aumentada somente pelo bloco com forma côncava.

Jeng e Tzeng (2005) investigaram, numericamente, um dissipador de calor composto de uma esponja metálica e sujeito a um escoamento de jato impingente, bidimensional e confinado. Focaram as discussões em como a altura da esponja de alumínio e o número de Reynolds do escoamento influenciam as características do escoamento e a distribuição do número de Nusselt local. Usaram um modelo de duas equações, uma vez que consideraram que um modelo de uma equação não modelava corretamente o escoamento para baixos números de Reynolds. O estudo considerou uma esponja com uma porosidade φ =0,93. A distância entre o injetor e a placa inferior varia deH W =2−8 e o número de Reynolds varia de Re=100−40000. O canal do escoamento é totalmente preenchido pela esponja porosa. Alegando que o problema não apresenta regiões com escoamento somente de fluido, Jeng e

37

INTRODUÇÃO

Tzeng (2005) usaram um modelo laminar para simular o escoamento em toda a faixa do número de Reynolds considerado. Os resultados deste trabalho mostraram que para um baixo número de Reynolds (por exemplo, Re=100) o número de Nusselt local máximo ocorre no ponto de estagnação. Já para números de Reynolds maiores o número de Nusselt máximo desloca-se na direção do escoamento. Com a presença da esponja porosa, o número de Nusselt ficou de 2 a 3 vezes maior quando comparado com a configuração sem a esponja. A resistência térmica do dissipador composto da esponja porosa foi 30% menor do que um dissipador com aletas em forma de placas, para um bico injetor com 5,3mm de largura.

Shih et al (2006) investigaram a transferência em dissipadores formados por esponjas porosas de alumínio. Demonstraram experimentalmente que ao se aumentar a altura da esponja porosa a área de troca de calor entre o fluido e o sólido aumentará, ocorrendo o mesmo com a transferência de calor entre eles. Por outro lado, o aumento na altura da camada porosa, elevará a resistência ao escoamento e reduzirá a porcentagem de gás refrigerante que chega até a placa aquecida, o que resulta numa diminuição da transferência de calor. Após diversos experimentos, os autores concluíram que o melhor desempenho do dissipador de calor é obtido para uma relação entre a altura da camada porosa e o seu diâmetro igual a

23 , 0 =

D

H Também concluíram que para todos os casos, o aumento no número de Reynolds do escoamento aumentou a taxa de transferência de calor.

Saeid e Mohamad (2006) investigaram numericamente o resfriamento de uma porção da superfície horizontal através de um jato impingente incidindo em um meio totalmente preenchido por uma camada porosa. Considerou-se a direção do escoamento do jato e o efeito da convecção natural atuando em direções opostas. Os resultados foram apresentados através do Nusselt médio ao longo do elemento aquecido e foi investigado o efeito do número de Rayleigh, do número de Péclet, da largura do jato e da distância entre o jato e o elemento aquecido. Um resultado interessante do trabalho foi a descoberta de que para as situações em

38

INTRODUÇÃO

que o escoamento externo e o escoamento devido à convecção têm a mesma intensidade nenhuma solução estacionária foi obtida para o problema.

1.3.2. Revisão Bibliográfica sobre Meios Porosos

O estudo de escoamentos em meios porosos pode ter o seu início atribuído aos trabalhos pioneiros de Darcy (1856) que através de um aparato experimental sugeriu uma relação linear entre a perda de carga (gradiente de pressão) e a velocidade superficial do escoamento. Esta relação é mais conhecida na literatura como “Lei de Darcy” e pode ser expressa por:

g u ρ μ + − = 〉 〈 ∇ i _D K p (1.2)

onde _〈p〉i _{é a média intrínseca da pressão no fluido, ρ é a massa específica do fluido, g a} aceleração da gravidade, μ a viscosidade dinâmica do fluido, K a permeabilidade do meio

poroso e u_D a velocidade de Darcy ou superficial.

Forchheimer (1901) observou que esta relação linear entre a perda de carga e a velocidade superficial (ou de Darcy) era válida apenas para escoamentos com baixa velocidade de Darcy, propondo então uma relação quadrática entre a perda de carga e a velocidade superficial. Esta relação pode ser expressa de acordo como Ward (1964):

g u u u ρ ρ μ + − − = 〉 ∇〈 K | | c K p F D D D i _(1.3)

onde c_F é o coeficiente de Forchheimer. A Equação (1.3) é conhecida como ‘modelo estendido de Darcy-Forchheimer’.

A fim de incorporar os efeitos das tensões cisalhantes no modelo estendido de Darcy-Forchheimer, Brinkman (1947) propôs a inclusão do Laplaciano da velocidade de Darcy

39

INTRODUÇÃO

juntamente com uma viscosidade efetiva μ_ef . Dessa forma, o modelo estendido de Darcy-Forchheimer incluindo o termo de Brinkman, torna-se:

K | | c K p F D D D D ef i _{=μ ∇ u +ρg−} μ _{u −} ρu u 〉 ∇〈 2 _(1.4)

Os modelos acima mencionados têm suas origens muito mais ligadas a experimentação do que a um formalismo matemático. Com o desenvolvimento de técnicas matemáticas mais sofisticadas, como por exemplo os teoremas da média volumétrica local (TMVL) (Whitaker, 1969 e Gray e Lee, 1977) foi possível um maior rigor na obtenção de equações macroscópicas que descrevessem os fenômenos que ocorrem em escoamentos em meios porosos.

Recentemente, a modelagem do escoamento turbulento em meios porosos tem sido abordada em Pedras e de Lemos (2000) e Pedras e de Lemos (2001). Nestes trabalhos os autores introduziram o conceito de Dupla Decomposição e o utilizaram para desenvolver as

equações macroscópicas do escoamento turbulento em meios porosos empregando o modelo ε

−

k . Em Pedras e de Lemos (2001a), o ajuste do modelo k−ε macroscópico proposto foi obtido através da simulação do escoamento em um meio infinito formado por hastes cilíndricas. O conceito da dupla decomposição foi, também, estendido ao transporte

DUPLA DECOMPOSIÇÃO 40

2. DUPLA DECOMPOSIÇÃO

Neste Capítulo será apresentado o conceito de Dupla Decomposição introduzido por

Pedras e de Lemos (2000) e utilizado na obtenção das equações macroscópicas que modelam o transporte de calor em meios porosos rígidos, homogêneos e saturados. São apresentados também os Teoremas da Média Volumétrica Local (TMVL) e a média temporal, bem como algumas definições e conceitos básicos.

2.1. Definições e Conceitos Básicos

A fim de facilitar o entendimento do texto alguns conceitos básicos relacionados ao escoamento em meios porosos serão aqui apresentados.

Volume Elementar Representativo(VER): volume de meio poroso, ΔV, sobre o qual as médias volumétricas das quantidades de interesse são definidas. A Figura 2.1 mostra um esboço desse volume (Bear, 1972).

Porosidade: É a razão entre o volume de fluido contido no VER, ΔV_f e ΔV .

V V_f Δ Δ = φ (2.1)

DUPLA DECOMPOSIÇÃO 41

Média Volumétrica Intrínseca: É a média volumétrica de uma quantidade qualquer,

ϕ_{, no volume elementar representativo, ΔV , ponderada pelo volume da fase à qual} ϕ

pertence. Por exemplo, se ϕ é uma propriedade do fluido, sua média volumétrica intrínseca é expressa por:

∫

Δ Δ = 〉 〈 f V f i _dV V ϕ ϕ 1 (2.2)

Desvio Espacial: É a diferença entre o valor local (microscópico) de uma quantidade ϕ

e a sua média volumétrica intrínseca, _〈ϕ〉i _{(Whitaker, 1969). Conforme mostrado na Figura} 2.1, tem-se:

i_ϕ =_ϕ−〈_ϕ〉i => 〈i_ϕ〉i =0 _(2.3)

Média Volumétrica Superficial: É a média volumétrica em ΔV de uma quantidade

ϕ. Se ϕ é uma propriedade do fluido, pode-se escrever: Figura 2.1 - Volume elementar representativo, ΔV.

Sólido

DUPLA DECOMPOSIÇÃO 42 i f i V v V V dV V f 〉 〈 = Δ Δ 〉 〈 = Δ = 〉 〈

∫

Δ ϕ φ ϕ ϕ ϕ 1 (2.4)

Por outro lado, se ϕ é uma propriedade do sólido (matriz porosa), então:

s i i V v V V dV V s 〉 〈 − = Δ Δ 〉 〈 = Δ = 〉 〈

_∫

Δ ϕ φ ϕ ϕ ϕ 1 (1 ) (2.5)

Velocidade de Darcy ou Superficial: É a média volumétrica superficial da velocidade

do fluido: i V v D f dV V = 〈 〉 Δ = 〉 〈 =

∫

Δ u u u u 1 φ (2.6)

Média Temporal: É a média em um intervalo de tempo, Δt, longo comparado com a escala de tempo das flutuações temporais de maior freqüência e curto quando comparado com a escala de tempo necessária para que as variações ordenadas ocorram. A média temporal de uma quantidade ϕ qualquer é expressa por:

∫

+Δ Δ = t t t dt t ϕ ϕ 1 (2.7)

Flutuação Temporal: É a diferença entre o valor instantâneo de uma quantidade ϕ qualquer e a sua média temporal, ϕ , dada por:

ϕ′=ϕ−ϕ => ϕ′=0 (2.8)

Teoremas da Média Volumétrica Local (TMVL): São as relações entre a média volumétrica da derivada e a derivada da média volumétrica:

(

)

∫

Δ + 〉 〈 ∇ = 〉 〈∇ i A i v _dS V ϕ ϕ φ ϕ 1 n (2.9)

(

)

∫

⋅ Δ + 〉 〈 ⋅ ∇ = 〉 ⋅ 〈∇ i A i v _dS V ϕ ϕ ϕ φ 1 n (2.10)

DUPLA DECOMPOSIÇÃO 43

(

)

∫

⋅

( )

Δ − 〉 〈 ∂ ∂ = 〉 ∂ ∂ 〈 i A i i v _dS V t t φ ϕ ϕ ϕ u n 1 (2.11)

onde A_i e u_i representam, respectivamente, a área e a velocidade da interface fluido/sólido e

n é o vetor unitário externo ao fluido e normal à A_i (Figura 2.1). No desenvolvimento das equações (2.9), (2.10) e (2.11) a única restrição imposta é a independência de ΔV em relação ao tempo e espaço (Whitaker, 1969 e Gray e Lee, 1977). Conseqüentemente, se o meio for indeformável, então ΔV_f será apenas dependente do espaço e não do tempo (Gray e Lee, 1977).

Equações Microscópicas: São as equações que descrevem o escoamento dentro do meio poroso (equações de conservação).

Equações Macroscópicas: São as equações que descrevem o escoamento macroscópico no meio poroso (interpretação macroscópica do fenômeno microscópico),

2.2. Comutatividade entre as Médias Temporal e Espacial

Aplicando-se as definições de média volumétrica e média temporal dadas pelas Equações (2.4) e (2.7), obtém-se para a média temporal da média volumétrica de uma quantidade ϕ:

∫

+Δ

∫

Δ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ Δ Δ = 〉 〈 t t t V v _{dV dt} V t f ϕ ϕ 1 1 (2.12)

e, para a média volumétrica da média temporal:

∫

∫

Δ Δ + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ Δ Δ = 〉 〈 f V t t t v _{dt dV} t V ϕ ϕ 1 1 (2.13)

DUPLA DECOMPOSIÇÃO 44

Como já mencionado, se o meio poroso for indeformável, o volume ΔV_f será dependente apenas do espaço e não do tempo (Gray e Lee, 1977). Além disso, se o intervalo de tempo escolhido, Δt, for o mesmo para todo o volume elementar representativo, então a média volumétrica comuta com a média temporal pois os domínios de integração são completamente independentes. Neste caso, a ordem de aplicação das médias fica irrelevante, podendo-se escrever:

_〈ϕ〉v _=〈ϕ〉v _{ou 〈ϕ〉}i _=〈ϕ〉i _(2.14)

2.3. Decomposição Temporal e Espacial

A partir das definições de média temporal e média volumétrica e flutuação temporal e desvio espacial para uma quantidade ϕ qualquer, podemos escrever as seguintes relações:

(

)

i i V f V f i f f dV V dV V = Δ + ′ =〈 〉 +〈 〉′ Δ = 〉 〈

∫

∫

Δ Δ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ 1 1 (2.15) e ϕ ϕ t t

(

ϕ ϕ

)

ϕ i iϕ t i i t t t dt t dt t = Δ 〈 〉 + =〈 〉 + Δ = 1

∫

+Δ 1

∫

+Δ (2.16)

Além disso, a quantidade _〈ϕ〉i _{pode ser decomposta em sua média temporal mais a sua} flutuação temporal como:

〈_ϕ〉i =〈_ϕ〉i +〈_ϕ〉i′ _(2.17) Utilizando o fato de a média temporal comutar com a média volumétrica e comparando as Equações (2.15) e (2.17), conclui-se que:

DUPLA DECOMPOSIÇÃO 45

A Equação (2.18) estabelece que a média intrínseca da flutuação temporal é igual a

flutuação temporal da média intrínseca. Similarmente, a quantidade ϕ pode ser decomposta

em sua média volumétrica intrínseca mais o desvio espacial como:

ϕ _=〈ϕ_〉i₊iϕ _(2.19)

Comparando as Equações (2.16) e (2.19) e considerando a Equação (2.14), tem-se:

iϕ₌iϕ _(2.20)

ou seja, o desvio espacial da média temporal é igual a média temporal do desvio espacial. Das definições de média temporal e volumétrica, pode-se mostrar ainda que:

ϕ=〈ϕ〉i+ iϕ=ϕ +ϕ′ _(2.21) Utilizando as Equações (2.15) e (2.19) na Equação (2.21) obtêm-se:

_ϕ=〈ϕ〉i_+〈ϕ〉′i₊ i_ϕ=〈ϕ〉i₊i_{ϕ +ϕ′⇒} i_ϕ−i_{ϕ=ϕ′−〈ϕ 〉′}i _(2.22) onde o termo iϕ₋iϕ _{é a flutuação temporal do desvio espacial, i.e., o valor instantâneo de} i_ϕ menos a sua média temporal, e o termo _{ϕ′−〈ϕ〉′}i _{é o desvio espacial da flutuação temporal,}

i.e., o valor microscópico de ϕ′ menos a sua média intrínseca. Devido à igualdade desses dois

termos, eles serão aqui representados por iϕ′_.

Assim, pela Equação (2.22) pode-se considerar:

iϕ= iϕ+ iϕ′ _(2.23)

e ϕ′=〈ϕ 〉′i+ iϕ′ _(2.24)

Das Equações (2.23) e (2.24) e tendo em vista ainda a Equação (2.20), verifica-se que 0

= 〉′

DUPLA DECOMPOSIÇÃO 46

Assim, uma quantidade ϕ qualquer, microscópica e instantânea, pode ser decomposta através das relações obtidas anteriormente em:

ϕ=ϕ +ϕ′=〈ϕ〉i+iϕ+〈ϕ〉′i+iϕ′ _(2.25) ou ϕ=〈ϕ〉i+iϕ=〈ϕ〉i+〈ϕ〉i′+iϕ+iϕ′ _(2.26) As Equações (2.25) e (2.26) representam o conceito de dupla decomposição, para uma quantidade ϕ introduzido por Pedras e de Lemos (1999a) devido à presença do meio poroso e à turbulência do escoamento, que será utilizado na obtenção das equações macroscópicas do transporte de calor em meios porosos.

A Figura 2.2 (Rocamora e de Lemos, 2000) mostra uma visualização tridimensional desse conceito para uma quantidade vetorial ϕ genérica. Se ϕ for uma quantidade escalar todos os vetores mostrados na Figura 2.2 estarão alinhados sobre o segmento AF.

EQUAÇÕES MACROSCÓPICAS E MÉTODO NUMÉRICO 47

3. EQUAÇÕES MACROSCÓPICAS E MÉTODO NUMÉRICO

3.1. Modelagem Matemática

As equações macroscópicas que modelam o escoamento são apresentadas, observando-se que estas equações simplificam-observando-se para as equações microscópicas no caso de escoamentos sem a presença de meio poroso.

3.1.1. Equação de Continuidade Macroscópica

A equação de continuidade microscópica para um fluido incompressível escoando através de um meio poroso é dada por:

∇ u⋅ =0 (3.1)

Aplicando-se a média temporal e em seguida a média volumétrica, ou vice versa, obtém-se:

∇.u_D =0 (3.2) onde

u

Dé a velocidade superficial ou velocidade de Darcy. Na obtenção desta equação foi

usada a relação Dupuit-Forcheimer,uD = φ u i, onde

φ

é a porosidade do meio e

i u é a