Oscilações Eletromagnéticas
e Corrente Alternada
31-1 Oscilações Eletromagnéticas
Oito estágios em um ciclo deoscilação de um circuito LC sem resistência. Os histogramas
mostram a energia armazenada no campo magnético e no campo
elétrico. Também são mostradas as linhas de campo magnético do
indutor e as linhas de campo elétrico do capacitor. (a) O ca-pacitor está totalmente carre-gado; a corrente é zero. (b) O
capacitor está se descarregando; a corrente está aumentando. (c) O capacitor está totalmente descar-regado; a corrente é máxima. (d) O capacitor está se carregando com a polaridade oposta à de (a); a corrente está diminuindo.
(e) O capacitor está totalmente carregado com a polaridade oposta à de (a); a corrente é zero. (f) O capacitor está se descarregando; a corrente está aumentando no sentido oposto ao de (b). (g) O capacitor está totalmente descarregado; a corrente é máxima. (h) O capacitor está se carregando; a corrente está diminuindo.
31-1 Oscilações Eletromagnéticas
As partes a a h da Fig. 31-1
mostram estágios sucessivos das oscilações de um circuito LC
simples. A energia armazenada no campo elétrico do capacitor é
onde q é a carga no capacitor em qquer instante. A energia
armazenada no campo magnético do indutor é
onde i é a corrente através do indutor em qualquer instante.
As oscilações resultantes do campo elétrico no capacitor e do campo magnético no indutor são ditas serem oscilações eletromagnéticas.
31-1 Oscilações Eletromagnéticas
Pela tabela podemos deduzir a correspondência entre estes sistemas. Então,
q corresponde a x, 1/C corresponde a k, i corresponde a v, e L corresponde a m.
As correspondências listadas acima sugerem que para encontrar a frequência angular de oscilação para um circuito LC ideal (sem resistência), k deveria ser substituído por 1/C e m por L, levando a
31-1 Oscilações Eletromagnéticas
Oscilador LC
A energia total U presente a todo instante num circuito LC oscilador é dada por
onde UB é a energia armazenada no campo magnético do indutor e UE é a energia armazenada no campo elétrico do capacitor. Uma vez que assumimos que a resistência é zero, nenhuma energia é transformada em energia térmica e
U permanece constante no tempo. Mais formalmente, dU/dt deve ser zero. Isto
leva à
Entretanto, i = dq/dt e di/dt = d2q/dt2. Com estas subsituições, obtemos
Esta é a equação diferencial que descreve as oscilações de um circuito LC sem resistência.
31-1 Oscilações Eletromagnéticas
Oscilações de Carga e Corrente
A solução para a equação diferencial que descreve as oscilações de um circuito LC sem resistência é
Onde Q é a amplitude das variações de carga, ω é a frequência angular das oscilações eletromagnéticas, e ϕ é a constante de fase. Tomando a primeira derivada da equação acima com respeito ao tempo nos dá a corrente:
Answer: (a) εL= 12 V (b) UB=150 μJ
31-1 Oscilações Eletromagnéticas
Oscilações da Energia Elétrica e Magnética
A energia elétrica armazenada no circuito LC num instante
t é,
A energia magnética é,
A Figura mostra gráficos de UE (t) e UB (t) para o caso de
ϕ=0. Note que
1. Os valores máximos de UE e UB são ambos Q2/2C.
2. Em qualquer instante a soma de UE e UB é igual a
Q2/2C, uma constante.
3. Quando UE é máximo, UB é zero, e o inverso.
As energias magnética e elétrica no circuito LC como função do tempo.
A energia eletromagnética total diminui com o tempo, pois parte da energia é transformada em energia térmica. A taxa de transformação é dada por
o sinal de menos indica que U diminui com o tempo.
Derivando em relação ao tempo e substituindo o resultado na Eq. anterior, obtemos
que é a equação diferencial para as oscilações
amortecidas de um circuito RLC.
31-2 Oscilação Amortecida em um circuito RLC
Para analisar as oscilações do circuito, necessitamos de uma equação que expresse a energia eletromagnética total
U no circuito em função do tempo. Como a resistência não
armazena energia eletromagnética, podemos escrever
Diminuição da Carga. A solução da Eq. acima é
onde e .
Circuito RLC série.
Enquanto a carga contida no circuito oscila entre o indutor e o capacitor, parte da
energia do circuito é
dissipada no resistor, o que reduz progressivamente a amplitude das oscilações.
31-3 Oscilações Forçadas de Três Circuitos Simples
Oscilações Forçadas
Nos geradores de corrente
alternada, uma espira condutora é forçada a girar na presença do campo magnético externo. Na
prática, a força eletromotriz induzida em uma bobina com muitas espiras é colhida por escovas que se
apoiam em anéis rotativos solidários com bobina. Cada anel está ligado a uma extremidade da bobina e faz contato com o resto do circuito do gerador por meio de uma das escovas.
Qualquer que seja a frequência angular natural ω de um circuito, as oscilações forçadas de carga, corrente e diferença de potencial acontecem na frequência angular de excitação ωd.
Por que Usar CA? A principal vantagem da
corrente alternada é a seguinte: Quando a corrente
muda de sentido, o mesmo acontece com o campo magnético nas vizinhanças do condutor. Isso torna
possível usar a lei de indução de Faraday, o que, entre outras coisas, significa que podemos
aumentar ou diminuir à vontade a diferença de potencial usando um dispositivo, conhecido como transformador, que será discutido mais tarde. Além disso, a corrente alternada é mais fácil de gerar e utilizar que a corrente contínua no caso de
31-3 Oscilações Forçadas de Três Circuitos Simples
Carga Resistiva
A amplitude da tensão e a amplitude da corrente estão relacionadas pela equação
Onde VR e IR são as amplitudes da corrente alternada iR e diferença de potencial alternada vR que atravessa a resistência no circuito.
Velocidade angular: Os dois fasores giram em torno da origem no sentido anti-horário com uma velocidade angular igual à frequência angular ωd de vR e iR.
Comprimento: O comprimento de cada fasor
representa a amplitude de uma grandeza alternada, VR no caso da tensão e IR no caso da corrente.
Projeção: A projeção de cada fasor no eixo vertical representa o valor da grandeza alternada no instante t,
vR no caso da tensão e iR no caso da corrente.
Ângulo de rotação: O ângulo de rotação de cada fasor é igual à fase da grandeza alternada no instante t.
Circuito formado por um resistor e um gerador de corrente alternada.
(a) Gráfico da corrente iR no resistor e da diferença de potencial vR entre os terminais do resistor em função do tempo t. A
corrente e a diferença de potencial estão em fase e completam um ciclo em um período T. (b) Diagrama fasorial
31-3 Oscilações Forçadas de Três Circuitos Simples
Carga Capacitiva
A reatância capacitiva de um capacitor é definida como
Seu valor depende não apenas da capacitância, mas também da frequência angular de excitação ωd.
A amplitude da tensão e a amplitude da corrente estão rela-cionadas pela equação
(a) A corrente no capacitor está adiantada de 90o (= π/2 rad) em relação à tensão. (b) Diagrama fasorial correspondente ao gráfico que está mostrado em (a).
Circuito formado por um capacitor C e um gerador de corrente alternada.
Enquanto os fasores que
representam as duas grandezas giram com a mesma velocidade angular no sentido anti-horário, o fasor IC se mantém à frente do fasor
VC, e o ângulo entre os dois fasores
tem um valor constante de 90o, ou seja, quando o fasor IC coincide com
o eixo vertical, o fasor VC coincide
31-3 Oscilações Forçadas de Três Circuitos Simples
Carga Indutiva
A reatância indutiva de um indutor é definida como
Seu valor depende não apenas da indutância, mas também da frequência angular de excitação ωd.
A amplitude da tensão e a amplitude da corrente:
(a) A corrente no indutor está adiantada de 90o (= π/2 rad) em relação à tensão. (b) Diagrama fasorial correspondente ao gráfico mostrado em (a).
Circuito formado por um indutor L e um gerador de corrente alternada.
Enquanto os fasores que
representam as duas grandezas giram com a mesma velocidade angular no sentido anti-horário, o fasor VL se mantém à frente do fasor IL e o ângulo entre os dois fasores tem um valor constante de 90o, ou seja, quando o fasor V
L
coincide com o eixo vertical, o fasor IL coincide com o eixo horizontal.
31-4 O Circuito RLC em Série
Para um circuito RLC em série com uma fem externa dada por
A corrente é dada por
A amplitude da corrente é dada por
O denominador na equação acima é chamado de impedância Z do circuito para a frequência angular de excitação ωd.
Se substituirmos os valore de XL e XC na equação para a corrente (I), a equação se torna:
Circuito RLC em série com uma fem externa
31-4 O Circuito RLC em Série
De acordo com o triângulo de fasores da direita na Fig.(d):
Constante de fase
A amplitude da corrente I é máxima quando a freq. angular de excitação ωd se iguala à freq. angular natural ω do circuito, uma condição conhecida como
ressonância. Então XC= XL, ϕ = 0, e a corrente está em fase com a fem.
Circuito RLC em série com uma fem externa
31-5 Potência em Circuitos de Corrente Alternada
A taxa instantânea com a qual energia é dissipada no resistor pode ser escrita como
Em um ciclo completo, o valor médio de senθ, onde θ é uma variável qualquer, é zero (Fig.a) mas o valor médio de sen2θ é 1/2(Fig.b). Então a potência é,
A quantidade I/ √2 é chamada de valor médio quadrático, ou rms, valor da corrente i:
Podemos também definir valores rms de tensões e fems para circuitos de corr. alternada:
Num circuito RLC em série, a potência média Pméd da fonte é igual à taxa de produção de energia térmica no resistor:
(a) Gráfico de sen θ em função de θ. O valor médio da função ao longo de um ciclo é zero. (b) Gráfico de sen2 θ em função de θ. O valor médio da função ao longo de um ciclo é 1/2.
31-6 Transformadores
Um transformador (assumido ideal) é um núcleo de ferro no qual são enroladas uma bobina primária com Np voltas e uma secundária com Ns voltas. Se a bobina primária é ligada a um gerador de corrente alternada, as voltagens primária e secundária estão relaciodadas por
Um transformador ideal, formado por duas bobinas enroladas em um núcleo de ferro, ligado a uma fonte e uma carga. Um
gerador de corrente alternada produz uma corrente no
enrolamento da esquerda (o
primário). O enrolamento da
direita (o secundário) é ligado à carga resistiva R quando a chave S é fechada.
Transferência de Energia. A taxa na qual o gerador
transfere energia para o primário é igual a IpVp. A taxa na qua o primário então transfere energia para o
secundário (através do campo mag. alternado ligando as duas bobinas) é IsVs. Uma vez que assumimos não haver perdas de energia no caminho, conservação de energia requer que
A resistência equivalente do circuito secundário, como visto pelo gerador, é
31 Sumário
Transform. de Energia em LC
• Em um circuito LC oscilante, osvalores instantâneos das duas formas de energia são
Eq. 31-1&2
Oscilações Amortecidas
• Oscilações num circuito LC são amortecidas quando um elemento dissipativo R está presente. Então
• A solução desta equação diferencial é Eq. 31-24
Oscilações de Carga e de
Corrente em um Circuito LC
• O princípio de conservação de energia leva à • A solução da Eq. 31-11 é• A frequência angular das oscilações é Eq. 31-11 Eq. 31-12 Eq. 31-4 Eq. 31-25
Correntes Alternadas;
Oscilações Forçadas
• Um circuito RLC em série pode ser forçado a oscilar numa frequência de excitação por uma fem alternada externa
• A corrente produzida no circuito é
Eq. 31-28 Eq. 31-29
31 Sumário
Circuitos RLC Série
• Para um circuito RLC em série com uma fem externa alternada e uma corrente alternada resultante,
• E a constante de fase é,
• A impedância é
Eq. 31-60&63
Transformadores
• Tensões primária e secundária num transformador são relacionadas por
• As correntes pelas bobinas,
• A resistência equivalente do circuito secundário, como vista pelo
gerador, é Eq. 31-79 Eq. 31-80 Eq. 31-65 Eq. 31-61
Potência
• Num circuito RLC em série, a pot. média fornecida pelo gerador é,
Eq. 31-71&76
31 Exercícios
Halliday 10ª. Edição
Cap. 31:
31 Problema 31-3
Em um circuito LC oscilante, a energia total é convertida de energia elétrica no capacitor em energia magnética no indutor em 1,50 μs. Determine (a) o período das oscilações e (b) a frequência das
oscilações. (c) Se a energia magnética é máxima em um dado instante, quanto tempo é necessário para que ela seja máxima novamente?
31 Problema 31-10
Osciladores LC têm sido usados em circuitos ligados a alto-falantes para criar alguns dos sons da música eletrônica. Que indutância deve ser
usada com um capacitor de 6,7 μF para produzir uma frequência de 10 kHz, que fica aproximadamente na metade da faixa de frequências audíveis?
31 Problema 31-11
Um capacitor variável, de 10 a 365 pF, e um indutor formam um circuito
LC de frequência variável usado para sintonizar um receptor de rádio. (a)
Qual é a razão entre a maior frequência e a menor frequência natural que pode ser obtida usando este capacitor? Se o circuito deve ser usado para obter frequências entre 0,54 MHz e 1,60 MHz, a razão calculada no item (a) é grande demais. A faixa de frequências pode ser modificada ligando um capacitor em paralelo com o capacitor variável. (b) Qual deve ser o valor da capacitância adicional para que a faixa de
frequências seja a faixa desejada? (c) Qual deve ser a indutância do indutor do circuito?
31 Problema 31-17
Na Fig. 31-28, R = 14,0 Ω, C = 6,20 μF, L = 54,0 mH e a fonte ideal tem uma força eletromotriz = 34,0 V. A chave é mantida na posição a por um longo tempo e depois é colocada na posição b. Determine (a) a
31 Problema 31-26
Em um circuito RLC série oscilante, determine o tempo necessário para que a energia máxima presente no capacitor durante uma oscilação diminua para metade do valor inicial. Suponha que q = Q em t = 0.
31 Problema 31-30
Um resistor de 50,0 Ω é ligado, como na Fig. 31-8, a um gerador de corrente alternada com a força eletromotriz igual a 30,0 V. Determine a amplitude da corrente alternada resultante se a frequência da força eletromotriz para (a) 1,00 kHz e (b) 8,00 kHz.
31 Problema 31-33
Um gerador de corrente alternada tem uma força eletromotriz igual a sen(ωdt − π/4), em que = 30,0 V e ωd = 350 rad/s. A corrente produzida no circuito ao qual o gerador está ligado é i(t) = I sen(ωdt − 3π/4), em que I = 620 mA. Em que instante após t = 0 (a) a força eletromotriz do
gerador atinge pela primeira vez o valor máximo e (b) a corrente atinge pela primeira vez o valor máximo? (c) O circuito contém um único
componente além do gerador. Trata-se de um capacitor, de um indutor ou de um resistor? Justifique sua resposta. (d) Qual é o valor da
31 Problema 31-38
A Fig. 31-30 mostra a amplitude I da corrente em função da frequência angular de excitação ωd de um circuito RLC. A escala do eixo vertical é definida por Is = 4,00 A. A indutância é 200 μH e a amplitude da força eletromotriz é 8,0 V. Determine o valor (a) de C e (b) de R.
31 Problema 31-56
Um dimmer típico, como os que são usados para regular a luminosidade das lâmpadas do palco nos teatros, é composto por um indutor variável L (cuja indutância pode ser ajustada entre zero e Lmáx) ligado em série com uma lâmpada B, como mostra a Fig. 31-34. O circuito é alimentado com uma tensão de 120 V rms, 60 Hz; a lâmpada é de 120 V, 1000 W. (a) Qual deve ser o valor de Lmáx para que a potência dissipada na
lâmpada possa variar entre 200 e 1000 W? Suponha que a resistência da lâmpada é independente da temperatura. (b) É possível usar um resistor variável (ajustável entre zero e Rmáx) em vez de um indutor? (c) Nesse caso, qual deve ser o valor de Rmáx? (d) Por que não se usa esse método?
31 Problema 31-64
A Fig. 31-37 mostra um autotransformador, um componente no qual uma bobina com três
terminais é enrolada em um núcleo de ferro. Entre os terminais T1 e T2 existem 200 espiras, e entre os terminais T2 e T3 existem 800 espiras.
Qualquer par de terminais pode ser usado como os terminais do primário, e qualquer par de
terminais pode ser usado como os terminais do secundário. Para as escolhas que resultam em um transformador elevador de tensão, determine (a) o menor valor da razão Vs/Vp, (b) o segundo menor valor da razão Vs/Vp e (c) o maior valor da razão
Vs/Vp . Para as escolhas que resultam em um
transformador abaixador de tensão, determine (d) o menor valor da razão Vs/Vp , (e) o segundo
menor valor da razão Vs/Vp e (f) o maior valor da razão Vs/Vp .
