Resoluções de Algumas Questões Prova da AMAN 1997

Resoluções de Algumas Questões – Prova da AMAN 1997

1. (AMAN- 1997, q01cod_3) Considere o triângulo ABC de área S, baricentro G e medianas CM e BN. A área do quadrilátero AMGN é igual a

( )

( )

( )

( )

( )

4 3 4 3 3 2 2 S S S S S Resolução:

1) os triângulos FGC, CGN AGN são congruentes e a área de cada um

6 3 2 / 1 S S A = =

2) os triângulos AGN, AGM e BGM são congruentes e sua área

6 3 2 / 2 S S A = =

3) A área do quadrilátero AMGN é 3 6 2 2 1 S S A A A= + = = ?? 2. (AMAN- 1997, q02cod_2) Se

(

)

(

)

[

1! !

]

. ! ! 1 2 _{n n} n n n a_n + − − + = então a1997 é

( )

( )

( )

( )

( )

1 1997 ! 1998 1998 1 1996 1997 Resolução:

(

)

(

)

[

]

[

]

1997.1997

[

1996! 1997.1996!

]

! 1997 ! 1997 . 1998 ! 1997 ! 1996 . 1997 ! 1997 ! 1998 ! ! 1 . ! ! 1 2 2 + − = + − = + − − + = n n n n n a_n

[

]

[

]

1997.

[

1998.1996!

]

! 1996 . 1997 ! 1996 . 1998 . 1997 ! 1997 ! 1996 . 1998 1997 . 1997 ! 1997 . 1997 1997 = = = a 1998 1 1997 = a

3. (AMAN- 1997, q03cod_1) A relação entre os coeficientes b e c para que a equação x3+bx+c=0possua duas raízes iguais é:

( )

( )

( )

( )

( )

b c c b c b c b c b = = + = + = + = + 3 0 9 4 0 3 2 0 0 27 4 2 3 2 3 2 3 2 3 Resolução:

Chamando y, y e z as três raízes da equação.

Usando as relações de Girard

     − = → − = = + → = + + = → − = → = + + c z y c z y y b yz y b z y z y y y y z y z z y y . . . 2 . . . . 4 2 0 2 2 2 2

(

)

0 4 27 4 27 3 . 4 9 . 4 3 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + → − = → − = → = − = → = − → = − + b c b c b b c y z b y b y b y y y

4. (AMAN- 1997, q04cod_1) A função f

( )

x =x.e1/x é crescente no intervalo

( ) (

)

( ) (

)

( ) (

)

( ) (

)

( ) ( )

0,1 , 0 0 , 1 , , 1 ∞ + ∞ − ∞ − +∞ Resolução:

O crescimento ou decrescimento de uma função se faz pelo estudo do sinal da primeira derivada:

( )

( )

( )

      − = − + = → = − x e e x x e x f e x x f . 1/x ' 1. 1/x . 2. 1/x 1/x. 1 1 , como e1/x é sempre um número positivo, vamos estudar o sinal do termo

x x x 1 1 1− = − . 1) f(x) é crescente no intervalo

(

−∞,0

) (

∪ 1,+∞

)

2) f(x) é decrescente no intervalo ]0,1[

5. (AMAN- 1997, q05cod_1) Seja P o ponto da circunferência 0 24 8 6 2 2_{+y − x− y+ =}

x mais próximo da origem. A soma das coordenadas de P é

( )

( )

( )

( )

( )

2 13 5 28 2 9 2 7 5 18 Resolução:

(

) (

)

     = − + − = − − + + − + + − = + − − + 1 4 3 0 16 9 24 16 4 . 2 9 3 . 2 0 24 8 6 2 2 2 2 2 2 y x y y x x y x y x ,

nessa última equação temos o centro da circunferência C(3,4) e o raio r=1.

O coeficiente da reta pelo que passa pelo ponto P e pelo centro da circunferência é

3 4

=

θ tg

1) Equação da reta que passa pelo ponto P: y

(

x

)

y x

3 4 3 3 4 4= − → = − .

2) P=?, é a intersecção da reta que passa pelo ponto P e pela circunferência

5 12 5 18 0 24 3 50 9 25 0 24 3 4 . 8 6 3 4 0 24 8 6 2 2 2 2 2 = = = + − = + − −       + = + − − + x ou x x x x x x x y x y x tomando-se x= 5 12

que é a abcissa mais próxima da origem, encontramos o valor de y:

5 16 5 12 . 3 4 3 4 = = = x y 3) Coordenadas do ponto       = 5 16 , 5 12

P , somando-se essas coordenadas

5 28 5 16 5 12_{+ =} = soma

6. (AMAN- 1997, q06cod_4) Considere a reta tangente ao gráfico da função y=f(x) no ponto (1, f(1)). Sejam f(1)=3 e f ‘(1)=2. Se r intercepta o gráfico da função g(x)=x2-3x+7 nos pontos (x1,y1) e (x2,y2) então os valores de y1 e y2 são

respectivamente a) 1 e 2 b) 2 e 3 c) 3 e 5

d) 5 e 7 e) 7 e 9

Resolução

Equação da reta tangente: y− f

( )

1 = f '

( )(

1.x−1

)

→ y−3=2.

(

x−1

)

→y=2x+1 Como essa reta intercepta a função g(x), temos: 2x+1=x2-3x+7 à x=2 ou x=3 Os pontos de intersecção:

( )

( )

   = = = = 7 3 5 2 2 1 g y g y

7. (AMAN- 1997, q07cod_1) Considere os conjuntos

      _≥ − − ∈ = 0 2 5 3 2 x x que tal R x A e B=

{

x∈R| x2−5x+4<0

}

. O conjunto A∩B é Resolução 0 5 2 2 3 0 2 5 3 2 _≥       −       − → ≥ − − x x x x à , ) 2 3 [ ] 5 2 , (−∞ ∪ +∞ = A

{

∈ | 2−5 +4<0

}

→

(

−1

)(

. −4

)

<0→ =

( )

1,4 = x R x x x x B B Fazendo a intersecção ,4[ 2 3 [ = ∩B A

8. AMAN- 1997, q08cod_3) O valor de

2 2 0 lim senx x sen x→ é

( )

( )

( )

( )

( )

+∞ − 2 1 0 1 Resolução: 1. Usando artifício: 1 1 1 . 1 . lim lim 2 2 0 2 2 0 = → = = → x senx x senx x senx senx x sen x x

2. Pela regra de L´Hospital: 1 1 . 1 1 . 1 cos . . 2 cos . . 2 lim lim 0 2 2 0 = → = = → _{senx x} x senx senx x sen x x

Obs.: Lembrando que o limite fundamental: lim 1

0 =

→ x

senx

x

9. AMAN- 1997, q09cod_5) O valor de

( )

2 . ? 8 / 0 2 ₌

∫

tg x dx π é

( )

( )

( )

( )

( )

8 4 24 3 2 8 2 1 6 1 3 1 π π − − + −

Resolução: da trigonometria: 1+tg2a=sec2a

( )

_∫

( )

_∫

(

)

_∫

(

( )

)

( )

∫

= − + = /8 − + 0 8 / 0 2 8 / 0 2 8 / 0 2 _{sec 2 .2.} 2 1 1 ) 2 sec 1 ( . 2 π π π π dx x dx dx x dx x tg

( )

8 4 2 1 8 8 . 2 2 1 8 | 2 2 1 /8 0 π π π π π ₋ = + − = + − =      _{− +} = x tg x tg

10. (AMAN- 1997, q13cod_2) Seja x a solução da equação 3 log . 2 1 1 log 1

log₇ x+ + ₇ x− = ₇ . O valor de log 128 64 1 log 2 . 2 + x é a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0 Resolução Condições de existência 3 log . 2 1 1 log 1 log₇ x+ + ₇ x− = ₇ à x+1>0 e x−1>0 →x>1 Resolvendo a equação .log 3

2 1 1 log 1 log₇ x+ + ₇ x− = ₇

(

)(

)

1/2 7 7 7

7 .log 3 log 1. 1 log 3

2 1 1 . 1 log x+ x− = → x+ x− =

( )

1 log 3 1 3

(

2

)(

. 2

)

0 log₇ 2− = ₇ 1/2 → 2− = → − + = → x x x x 2 2 =− = ou x

x Como só x=2 pertence às condições de existência (domínio), agora podemos encontrar o valor da expressão pedida: log 128

64 1

à 7 4 7 3 3 12 7 2 / 3 6 2 log 2 log 2 log 128 log 2 2 log 64 log ₇ 2 3 2 6 2 2 2 1 2 − _{+ =} − _{+ =} − _{+ =} − _{+ =− + =}

11. (AMAN- 1997, q14cod_2) Sendo i a unidade imaginária dos números complexos, o valor do número natural n tal que

( ) ( )

2.i 2+ 1+i 2n =64.i é

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 9 Resolução:

( ) ( )

( ) ( )

[ ]

( )

[

(

)

]

( ) ( )

( )

2 64.

( )

2 32.

( )

2 2 . 5 . 2 . 64 2 . 2 . 64 1 2 1 . 2 . 64 1 . 2 . 64 1 . 2 5 2 2 2 2 2 2 = → = → = → = → = + → = − + + → = + + → = + + n i i i i i i i i i i i i i i i i i i n n n n n n n

12. (AMAN- 1997, q19cod2) O valor de “a” para que a função

( )

    = ≠ − − = 3 , 3 , 3 3 x se a x se x x x f , seja contínua em x=3, é

( )

( )

( )

( )

( )

6 1 6 3 3 1 3 3 3 Resolução:

Calculando-se o limite da função

(

3

)

.

(

3

)

3 lim 3 3 . 3 3 lim 3 3 lim 3 3 3 − + − = + + − − = − − → → → x x x x x x x x x x x x

(

)

6 3 3 2 1 3 3 1 3 1 lim 3 + = + = = → x x

13. (AMAN- 1997,q21cod_3) A derivada da função

( )



     = x arctg x f 1 É:

( )

( )

( )

( )

_{( )}

( )

x x x x x x x 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 + − + −+ + Resolução:

A derivada da função arco tangente: y=arctg u(x) à

2 ' 1 ' u u y + = A derivada da função

( )

      = x arctg x f 1 à

( )

2 2 2 2 1 1 1 1 1 . 1 ' x x x x x f + − =       + − = − à

( )

1 1 ' 2₊ − = x x f

14. (AMAN- 1997, q23cos_3) Podemos observar que o gráfico de

1 1 2 2 − + = x x y a) cresce em ]−∞,−2[∪]0,1[

b) tem (0, -1) como ponto de inflexão.

c) Tem assíntota horizontal em y=1 e assíntota vertical em x=1 e x= -1. d) Tem concavidade voltada para cima para qualquer x∈]−1,1[

e) Está definido para todo x real.

Resolução letra c)

c) O domínio dessa função

1 1 2 2 − + = x x

y , são x≠1 ou x≠−1, que são as duas assíntotas verticais.

Assíntota horizontal: lim 1 1 1 lim 2 2 2 2 = = − + ±∞ → ±∞ → x x x x x x

, logo a assíntota horizontal é y=1.

Respondendo as outras

a) Crescimento ou decrescimento (máximo ou mínimo): estudo do sinal da primeira derivada

( ) ( )

( )

( )

₂ 2

( )

₂ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 4 1 ) 1 1 ( 2 1 1 2 1 2 ' 1 1 − − = − − − − = − + − − = → − + = x x x x x x x x x x x y x x y

( )

∞ <

(

+∞

)

>0 ,0 ' 0 0, ' em e y em y logo a função 1 1 2 2 − + = x x

y tem máximo quando

x=0 à

( )

1 1 0 1 0 0 2 2 max =− − + = = f y

1) de menos infinito até 0, a função é crescente sinal +, com assíntota vertical em x= -1.

2) De 0 até mais infinito a função é decrescente sinal -, com assíntota vertical em x= 1.

b) Ponto de inflexão, estudo do sinal da segunda derivada

( )

( )

( )

( )

( )

( )

[

]

( )

( )

[

]

( )

[ ]

( )

₂ 4 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 1 1 3 1 . 4 1 1 3 1 . 4 1 4 1 1 . 4 1 1 . 2 . 2 . 4 1 4 '' 1 4 ' − + − = − − − − − = − − − − − = − − + − − = − − = x x x x x x x x x x x x x x x y x x y

y”>0 logo essa curva tem a concavidade voltada para cima.para todox≠1 ou x≠−1 c) Resolvida

d) Respondida no b)