Aula06

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6. Matriz inversa.

6.1. Matriz inversa.

Todo o número real não nulo, a , possui inverso, isto é, existe um real b tal que

1

= = ba

ab . O inverso é único, usando-se a notação b= a−1. Nem todas as matrizes, A , quadradas não nulas, possuem inversa, ou seja, nem sempre existe uma matriz B tal que AB=BA= I.

Uma matriz quadrada A_{n n}_× diz-se invertível (ou regular, ou não singular), se existir uma matriz B tal que

n

= =

AB BA I , em que I é a matriz identidade de ordem n . _n

Se A é invertível, a sua inversa é única e denota-se por A . A é invertível sse −1

n =

)

car(A . Uma matriz que não tem inversa diz-se uma matriz singular (ou não regular, ou não invertível).

Exemplos 1. Seja a matriz 2 5 1 3   =     A A inversa de A é 1 3 5 1 2 − _{= } −   −   A , como podemos verificar:

1 2 2 5 3 5 2 3 5 1 2 5 5 2 1 0 1 3 1 2 1 3 3 1 1 5 3 2 0 1 − ₌    −  ₌ × − × − × + ×  ₌  ₌   ₋   _{× − ×} _{− × + ×}            AA I T Ó P I C O S Matriz inversa. Método de condensação. Matriz ortogonal.

Propriedades da álgebra matricial.

A

ULA

6

• Note bem: a leitura destes apontamentos não dispensa de modo algum a leitura atenta da bibliografia principal da cadeira

• Chama-se a atenção para a importância do trabalho pessoal a realizar pelo aluno resolvendo os problemas apresentados na bibliografia, sem consulta prévia das soluções propostas, análise comparativa entre as suas resposta e a respostas propostas, e posterior exposição junto do docente de todas as dúvidas associadas.

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6.2. Método de condensação.

Se A é uma matriz quadrada de ordem n invertível, car(A)=n, pelo que, efectuando operações elementares sobre linhas, é possível transformar a matriz

[ ]

A I na matriz

[ ]

I B . Tendo em conta a resolução de sistemas de equações lineares, facilmente se conclui que B= A−1. Este método de determinação da inversa de uma matriz é designado por método de condensação.

Exemplo 2. Seja a matriz: 1 2 1 2 2 4 1 3 3 −     =    −    B

Recorrendo ao método de condensação, podemos calcular a inversa de B

3 1 2 1 1 0 0 2 2 4 0 1 0 1 3 3 0 0 1 1 2 1 1 0 0 0 2 6 2 1 0 0 1 2 1 0 1 1 2 1 1 0 0 0 1 2 1 0 1 0 2 6 2 1 0 1 0 3 3 0 2 0 1 2 1 0 1 0 0 2 4 1 2 1 0 3 3 0 2 0 1 2 1 0 1 0 0 1 2 1 2 1 1 0 0 9 3 2 5 0 1 0 5 1 3 0 0 1 2 1 2 1  −      =      −    −    ₋ ₋     − −    −    ₋ ₋     − −    −    ₋ ₋     −    −    ₋ ₋     −    − −  − −  B I ~ ~ ~ ~ ~ 1 3 −       _   I B  ~ Logo 1 9 3 2 5 5 1 3 2 1 2 1 − − −     = −_ _ − −    B

Cálculo da inversa, inv(A),

>> A=[2 5; 1 3]: 2 1 2 2L L L − → 3 1 3 1L L L − → 3 2 L L ↔ 1 2 1 2L L L − → 3 2 3 2L L L + → 3 3 2 1_{L →}_L 1 3 1 3L L L − → 2 3 2 2L L L + →

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>> inv(A) ans = 3 -5 -1 2 >> B=[1 2 -1; 2 2 4; 1 3 -3] ; >> inv(B) ans = 9.0000 -1.5000 -5.0000 -5.0000 1.0000 3.0000 -2.0000 0.5000 1.0000

Podemos ver o resultado na forma racional com o comando format rat

>> format rat >> inv(B) ans = 9 -3/2 -5 -5 1 3 -2 1/2 1

Para restabelecer o formato decimal usamos o comando format short

Poderíamos calcular a inversa pelo método de condensação (embora não seja necessário dada a existência da função inv)

>> D=[B eye(3)] D = 1 2 -1 1 0 0 2 2 4 0 1 0 1 3 -3 0 0 1 >> D=rref(D) D = 1.0000 0 0 9.0000 -1.5000 -5.0000 0 1.0000 0 -5.0000 1.0000 3.0000 0 0 1.0000 -2.0000 0.5000 1.0000 >> D=D(:,4:6) D = 9.0000 -1.5000 -5.0000 -5.0000 1.0000 3.0000 -2.0000 0.5000 1.0000

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6.3. Matriz ortogonal.

Uma matriz quadrada A_{n n}_× diz-se ortogonal sse a sua inversa for igual à sua transposta T A A =−1 ou seja n T T _A _A _I AA = = Exemplos 3. Seja a matriz: 1 2 3 2 3 2 1 2   =   −     C A transposta de C é 1 2 3 2 3 2 1 2 T _{= } _ −     C Dado que 2 1 2 3 2 1 2 3 2 3 2 1 2 3 2 1 2 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 3 2 3 2 1 2 1 2 _{3 2} 3 2 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 1 0 0 1 T _{= }  _{ } _ − −          _ _  _ _    _ _  _ _{ −}         =  _ _ _ _ _ ₋ __ _ _ ₋ __ _     _ _ _ _₋ __   =     = CC I

, a matriz C é uma matriz ortogonal

1 1 2 3 2 3 2 1 2 T − ₌ _{= } _ −     C C >> C=[1/2 sqrt(3)/2; sqrt(3)/2 -1/2] C = 0.5000 0.8660 0.8660 -0.5000 >> C*C.' ans = 1.0000 0 0 1.0000

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6.4. Propriedades da álgebra matricial

Sempre que as expressões estejam definidas, são demonstráveis as seguintes propriedades: Adição A B B A+ = + (comutativa) C B A C B A+( + )=( + )+ (associativa) + = A 0 A (elemento neutro) ( ) + − = A A 0 (elemento simétrico)

Multiplicação por escalar

A A) ( ) (β = αβ α A A A =α +β β + α ) ( ( ) αA B+ = α + αA B 1 =A A Multiplicação C AB BC A( )=( ) (associativa) A A I AI_n = _m = (elemento neutro) AC AB C B A( + )= + CA BA A C B+ ) = + ( (distributiva) ) ( ) ( ) (AB = αA B=A αB α = = A0 0A 0 (elemento absorvente) Transposição A AT)T = ( T T T _A _B B A+ ) = + ( T T _A A =α α ) ( T T T _B _A AB =) ( k T T k₎ ₍ ₎ (A = A Inversa A A−1)−1 = ( 1 1 1 ) (AB− =B−A− 1 1 1 ) (αA − = α− A− , (α ≠ 0) T T₎ ₍ ₎ (A −1 = A−1 ( ) = ⇒/ = ∨ = AB 0 A 0 B 0 (só se A ou B for invertível) C B AC AB= ⇒/ = (só se A for invertível)

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Exercícios.

6.1. Dada a matriz           − − = 2 0 3 1 2 1 2 1 0 A

Determine a matriz inversa A . −1

Temos 3 0 1 2 1 0 0 1 2 1 0 1 0 3 0 2 0 0 1 1 2 1 0 1 0 0 1 2 1 0 0 3 0 2 0 0 1 1 2 1 0 1 0 0 1 2 1 0 0 0 6 5 0 3 1 1 0 5 2 1 0 0 1 2 1 0 0 0 0 17 6 3 1 1 0 5 2 1 0 0 1 2 1 0 0 0 0 1 6 17 3 17 1 17 1 0 0 4 17 2 17 5 17 0 1 0 5 17 6 17 2 17 0 0 1 6       = −      ₋    −        −    −        −           − − − −           −    − A I ~ ~ ~ ~ ~ 17 3 17 1 17        −    , pelo que 1 4 17 2 17 5 17 4 2 5 1 5 17 6 17 2 17 5 6 2 17 6 17 3 17 1 17 6 3 1 − ₌  ₋  ₌  ₋       −   −      A >> A=[0 1 2 ; 1 -2 1; 3 0 -2]; >> format rat >> inv(A) ans = 4/17 2/17 5/17 5/17 -6/17 2/17 6/17 3/17 -1/17 1 2 L ↔ L 1 3 3 3L L L − + → 2 1 1 2L +L →L 2 3 3 6L L L − + → 3 3 1 17L L − → 3 2 2 2L L L − + → 3 1 1 5L L L − + →

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6.2. Considere o sistema de equações lineares na forma matricial, Ax b ,= 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1      ₋  ₌      −        x

Calcule a inversa da matriz simples do sistema, A , e, com base nesta, determine a −1 solução do sistema.

Recorrendo ao método de condensação temos

3 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 2 0 1 1 0 0 2 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 2 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 2 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 2 0 0 1 1 2 0 2 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 2 1 2 1 0 1 0 1 2 1 2 0 0 0 1 0 1 1       = −     −       ₋ ₋           ₋ ₋        − −    ₋ ₋        − −    ₋ ₋        − −    ₋     A I ~ ~ ~ ~ ~ _  , pelo que 1 1 2_{1 2} 1 2_{1 2} ₀1 1 1₁ 1₁ ₀2 2 0 1 1 0 2 2 − ₌ ₋− −  ₌  ₋− −              A

Conhecida a inversa da matriz simples do sistema, temos

1 1 1 3 1 1 1 2 0 1 1 1 1 0 0 0 2 0 2 2 1 1 − − − − = = = = − − −             = _ − _{    }=             Ax b A Ax A b I x A b x A b 1 2 2 L L L − + → 1 3 3 L +L →L 2 3 3 L +L →L 3 1 1 L L L − + → 2 2 1 1 L + L →L 1 1 1 2 L →L 2 2 1 2 L L − →

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1 2 3 4 5 6 Verdadeira X X Falsa X X X X

>> A=[1 1 1;1 -1 1;-1 1 0]; >> b=[0 0 1]'; >> format rat >> inv(A) ans = 1/2 -1/2 -1 1/2 -1/2 0 0 1 1 >> x=inv(A)*b x = -1 0 1

6.3. Sendo A ,B e C matrizes quadradas quaisquer, diga se as proposições seguintes são verdadeiras ou falsas (admite-se que as operações indicadas estão definidas).

1. (AB =)T ATBT 2. 2AC+BC=C(2A+B) 3. AB 0= ⇒A 0 B 0 = ∨ = 4. (ABC =)T CTBTAT 5. BA+2A =(B+2)A 6. A2A3 =A5

1. (AB)T ≠ATBT. Pode demonstrar-se, isso sim, que (AB)T =B A T T

2. Não esquecer que o produto de matrizes não é comutativo. Podendo verificar-se em particular que 2AC+BC=C(2A+B), caso as matrizes C e (2A +B) sejam permutáveis, em geral, isto é, para quaisquer matrizes quadradas A ,B e C , temos

) 2 ( ) 2 ( 2 B A C C B A BC AC + ≠ + = +

3. AB= 0⇒A=0∨B= 0 apenas nos casos em que A ou B for invertível. Temos nesses casos que

1 1 1 1 − − − − = ⇒ = ⇒ = ⇒ = = ⇒ = ⇒ = ⇒ = AB 0 A AB A 0 IB 0 B 0 AB 0 ABB 0B AI 0 A 0

5. Tenha-se em atenção que BA+2A=(B+2I)A≠(B+2)A. B+2, a soma de uma matriz com um escalar, é uma operação não definida.

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1 2 3 4 5 6 Verdadeira X X

Falsa X X X X

6.4. Sendo A ,B e C matrizes quadradas quaisquer, diga se as proposições seguintes são verdadeiras ou falsas (admite-se que as operações indicadas estão definidas).

CA BA C B A( + )= + B I A B AB+ =( + _n) BA AB = ) ( 2 _AB _A_A _B A + = + 2 2 2 ) (AB =A B C B AC AB= ⇒ =

6.5. Admitindo que A e B são matrizes de ordem n , B é regular, e A e B são permutáveis, mostre que A e B também são matrizes permutáveis. −1

Temos 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ( ) ( ) )( ( ) )( ( ) ( ) ( − − − − − − − − − − − − = = = = = AB A B AB I I A B AB B B BB A B B BA B B AB B BA AB n n

6.6. Admitindo que A e B são matrizes ortogonais de ordem n , mostre que

1 ( ) T T T n − − + − = A B I B A B A 0 Temos 1 1 1 ( ) ( ) ( ) T T T n T T T T n T T T n − − − − + − = − + − = − + − = A B I B A B A 0 A B I B A B A 0 A B I B A B A 0

Sendo A uma matriz ortogonal , A =−1 AT, pelo que

1 ( ) ( ) ( ) T T T n T T T T n T T n n − − + − = − + − = − + − = A B I B A B A 0 A B B I B A B A 0 A B B I B B I 0

Sendo B uma matriz ortogonal , BTB = B−1B = I_n, pelo que

( ) ( ) ( ) T T n n T n n T − + − = − + − = = A B B I B B I 0 A I B B I 0 A 0 0