Entropia de informação de redes clássicas e complexas

Centro de Ciências Exatas e da Terra

Departamento de Física

Bacharelado em Física

Entropia de Informação de Redes Clássicas e

Complexas

Raabe Melo de Oliveira

Natal, RN, Brasil 2019

Raabe Melo de Oliveira

Entropia de Informação de Redes Clássicas e Complexas

Monografia de Graduação apresentada ao Curso de Bacharelado em Física do Departamento de Física da Universidade Federal do Rio Grande do Norte como requisito parcial para obtenção do grau de Bacharel em Física.

Curso: Bacharelado em Física

Orientador: Prof. Dr. Luciano Rodrigues da Silva

Coorientadora: Dra. Samuraí Gomes de Aguiar Brito

Natal, RN, Brasil 2019

Oliveira, Raabe Melo de.

Entropia de informação de redes clássicas e complexas / Raabe Melo de Oliveira. - 2019.

51f.: il.

Monografia (Bacharelado em Física) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Centro de Ciências Exatas e da Terra, Departamento de Física Teórica e Experimental. Natal, 2019. Orientador: Luciano Rodrigues da Silva.

Coorientador: Samuraí Gomes de Aguiar Brito.

1. Física - Monografia. 2. Grafos aleatórios - Monografia. 3. Redes livres de escala - Monografia. 4. Entropia de von Neumann - Monografia. 5. Redes complexas - Monografia. I. Silva, Luciano Rodrigues da. II. Brito, Samuraí Gomes de Aguiar. III. Título. RN/UF/CCET CDU 53

Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Setorial Prof. Ronaldo Xavier de Arruda - CCET

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Centro de Ciências Exatas e da Terra

Departamento de Física

Bacharelado em Física

A Comissão Examinadora, abaixo assinada, aprova a Monografia de

Graduação:

Entropia de Informação de Redes Clássicas e Complexas

elaborada por

Raabe Melo de Oliveira

Como requisito parcial para o obtenção do título de BACHAREL EM FÍSICA

COMISSÃO EXAMINADORA:

Prof. Dr. Luciano Rodrigues da Silva - Orientador, UFRN

Prof. Dr. Raimundo Silva Jr, UFRN

Prof. Dra. Samuraí Gomes de Aguiar Brito, IIP

Ao meu Deus, aos meus pais, aos meus irmãos, A todos que somaram em minha formação.

Agradecimentos

A Deus, pela força, perseverança e preparo para concluir a primeira etapa dessa jornada científica.

Ao meu orientador, professor Dr. Luciano Rodrigues da Silva, pela confiança e compreensão durante toda a minha graduação.

À minha co-orientadora, Dra. Samuraí Gomes de Aguiar Brito, pelos encontros, paciência e instruções para a construção deste trabalho.

À minha mãe, Marinaide Bezerra de Melo Oliveira, ao meu pai Dixon Borges de Oliveira, à minha irmã gêmea Rute Melo de Oliveira, e ao meu irmão Jônatas Melo de Oliveira. Se não fosse pelo amor, carinho e a paciência em mim depositada, eu não teria chegado até aqui.

Aos meus amigos do Departamento de Física Teórica e Experimental, Rennan Gleyson Souza de Sá, e Zilmar Candido de Santana Junior, pelas risadas e estudos compartilhados.

Aos professores do Departamento de Física e Instituto Internacional de Física, pela com-petência em ensino e compreensão.

Aos funcionários do DFTE. Ao CNPq pelo apoio financeiro.

Resumo

Estudos em redes complexas são essenciais em diversos campos do conhecimento devido a sua capacidade de representar sistemas reais. Alguns estudos mostram que através da discussão das matrizes que compõem uma rede é possível extrair propriedades e analisá-las sob a ótica da Mecânica Quântica. Neste trabalho, discutiremos a entropia de von Neumann como um quantificador de informação presente em grafos aleatórios. Nesta monografia abordaremos três tipos de redes: rede quadrada (rede regular), o modelo de grafo aleatório de Erdös e Rényi, e o modelo livre de escala de Barabási-Albert, onde estudaremos a entropia de von Neumann para três diferentes topologias.

Palavras-chave: Redes complexas, Redes Aleatórias, Grafo aleatório, Entropia, Entropia de von Neumann.

Studies in complex networks are essential in many fields of knowledge (science) because of their ability to represent real systems. Some studies show that through the discussion of the matrices that make up a network it is possible to extract properties and analyze them from the perspective of Quantum Mechanics. In this work, we will discuss the von Neumann entropy as an information quantifier present in random graphs. In this monographwe will study three types of networks: Regular Network with k = 4, Erdös and Rényi random model and Scale-Free network using Barabási-Albert model, we will observe the von Neumann entropy for three different topologies.

key-words: Complex Networks, Random Networks, Random Graph, Entropy, von Neumann Entropy.

Sumário

1 Introdução 10

2 Principais conceitos e modelos de redes 12

2.1 Introdução . . . 12

2.2 Definições . . . 13

2.2.1 Distribuição de conectividade . . . 15

2.2.2 Coeficiente de agregação . . . 16

2.2.3 Menor caminho médio . . . 17

2.2.4 Armazenamento de grafo em memória . . . 18

2.3 Redes Regulares . . . 18

2.4 Modelos Teóricos de Redes . . . 18

2.4.1 Modelo de Erdös e Rényi . . . 19

2.4.2 Propriedades do Modelo de Erdös e Rényi . . . 20

2.4.3 Modelo de Watts e Strogatz . . . 21

2.4.4 Modelo de Barabási e Albert . . . 23

2.4.5 Propriedades do modelo de Barabási-Albert . . . 25

3 Entropia em Redes Clássicas e Complexas 28 3.1 Entropia . . . 28 3.2 Entropia de Informação . . . 29 3.3 Propriedades Importante . . . 30 3.3.1 Matriz Laplaciana . . . 30 3.3.2 Matriz Densidade . . . 31 3.4 Entropia de Shannon . . . 32

3.5 Entropia de von Neumann . . . 32

3.5.1 Máximo e Mínimo da Entropia de von Neumann . . . 33

4 Entropia de von Neumann aplicada em diferentes tipos de Redes 34 4.1 Entropia da Rede Regular Quadrada . . . 34

4.2 Entropia do Grafo Aleatório . . . 35

4.3.1 Algoritmo . . . 40 4.3.2 Entropia . . . 42 4.4 Análise da Entropia de von Neumann para diferentes tipos de Redes . . . 45

5 Conclusões e perspectivas 47

10

1

Introdução

Nos dias atuais, o estudo de sistemas complexos tornou-se fundamental em diversas áreas do conhecimento. Entender e reproduzir o ambiente que nos cerca é um dos maiores objetivos dos pesquisadores. O estudo das Redes Complexas é uma subárea dos sistemas complexos que tem tido bastante atenção. Esse estudo teve início no último século e vem tendo diversas aplicações em várias áreas do conhecimento como na física, biologia, sociologia, entre outros. Graças ao avanço computacional, às ferramentas da mecânica estatística e à teoria dos grafos tem sido possível reproduzir e analisar qualitativamente muitas redes reais.

Historicamente, o estudo das redes teve o seu pilar na matemática discreta com a teoria dos grafos. Desde o seu nascimento em 1736, quando o matemático Suíço Leonard Euler publicou a solução para o problema das pontes de Königsberg [14]. Contudo, foi apenas no início da década de 1960, que análises em sistemas reais, como, por exemplo, no ramo das ciências sociais, começaram a se desenvolver com a modelagem de redes sociais.

As redes complexas tiveram o seu grande progresso em 1950, com os matemáticos Erdös e Rényi. Eles propuseram um modelo para a análise de redes aleatórias. Conceitualmente, uma rede segundo o modelo de Erdös e Rényi, é criada a partir de N vértices fixos, conectados entre si com uma probabilidade p. Para crescer a rede um par de vértices é escolhido e é sorteado um número aleatório entre 0 e 1, se esse número for menor ou igual a probabilidade inicial p, haverá uma ligação (aresta) entres eles. A distribuição de conectividade deste modelo segue uma Poissoniana, consequentemente, é raro encontrar nós com muitas ou poucas ligações, ou seja, tem uma conectividade típica.

No decorrer dos anos muitos outros trabalhos, como, por exemplo, as redes de mundo pe-queno, apresentadas por Watts e Strogatz, e redes livres de escala, popularizadas por Barabási e Albert, também contribuíram para o progresso das redes. Outro fator importante para o avanço da área foi o grande desenvolvimento computacional, possibilitando a simulação de sistemas com um grande número de constituintes e muitas regras de conexões entre esses constituintes. As análises das redes complexas em diferentes campos da ciência têm gerado vários

resul-tados importantes, e, um exemplo deles é a aplicação das redes complexas na Física Quântica. Atualmente, as redes iniciam uma nova era graças aos estudos envolvendo conceitos quânticos. Estudos apresentados por Filippo Passerini e Simone Severini mostram o comportamento da entropia de von Neumann aplicada em redes aleatórias e regulares; conceito no qual iremos tratar nesta monografia.

A entropia é um importante conceito da Física Estatística, além de conter toda a Ter-modinâmica do sistema, ela também indica a medida de desordem no sistema. Inicialmente definida por Rudolf Clausius, a entropia é uma propriedade da Mecânica Estatística, graças aos conceitos apresentados por Boltzmann, Maxwell, Gibbs, entre outros. O cálculo da entropia pode ser realizado em redes a partir das distribuições de probabilidades, que foi estudada por Claude Shannon [25]. O trabalho anunciado por Shannon também foi considerado como sendo pioneiro no surgimento da Teoria da Informação.

Apesar do avanço significativo em redes, o conceito de entropia ainda é um problema, tendo em vista que o cálculo dessa grandeza, até o momento, é inviável para sistemas grandes, N → 106_{. A entropia de von Neumann é definida como sendo S(ˆσ) =}∑N

i=1λilog2λi, onde λi são os autovalores da matriz densidade da rede. Portanto, o custo computacional para o cálculo dos autovalores em matrizes N xN , com N muito grande, é inviável.

Nesta monografia iremos apresentar a entropia de von Neumann para diferentes topologias de redes. As simulações computacionais foram realizadas para diferentes tamanhos de redes e variando-se outros parâmetros, tais como: probabilidade de conexão (modelo de Erdös-Rényi) e parametro da rede (modelo de Barabási-Albert), com o propósito de investigar como cada um desses parâmetros influenciam na entropia de von Neumann. No segundo capítulo estaremos apresentando alguns conceitos básicos e alguns modelos de redes: o modelo de Erdös-Rényi (ER), o modelo de Watts-Strogatz (WS), e o modelo de Barabási-Albert (BA). No terceiro capítulo falaremos sobre entropia em redes clássicas e complexas e exemplificaremos algumas matrizes importantes, como, por exemplo, a matriz Laplaciana e a matriz densidade. No quarto capítulo apresentaremos os resultados encontrados usando alguns dos modelos citados no capítulo dois. E, por fim, no capítulo cinco, abordaremos a conclusão e algumas perspectivas futuras.

2

Principais conceitos e modelos de redes

Redes estão em todos os lugares, desde sistemas macroscópicos como uma sociedade à sistemas que formam o elemento principal desta sociedade: os seres vivos. Atualmente, sistemas conglomerados têm sido estudados graças ao avanço computacional, que torna possível simular sistemas com o número de constituintes cada vez maior. Mas, como uma rede é produzida? Quais os elementos principais que determinam a estrutura da rede? Este capítulo elucida e aborda os principais conceitos que constitui a teoria dos grafos e das redes complexas.

2.1

Introdução

O estudo das redes teve início em 1736, com o matemático suíço Leonard Euler com a solução do famoso problema das sete pontes de Königsberg (ver Fig. 1). Tal problema se passa na cidade de Königsberg, na qual é cortada pelo rio Pregel. O problema consiste em responder a seguinte questão: é possível atravessar as sete pontes da cidade, passando sobre cada ponte somente uma vez, e retornar ao ponto de partida? Euler chamou cada porção de terra de vértice e as pontes de arestas [1]. Essa representação deu origem a teoria dos grafos. E, por meio do grafo, Euler mostrou que tal percurso não seria possível. A afirmação negativa se deu porque todos os vértices do grafo apresentavam um número ímpar de arestas. Para que o percurso fosse

(a) Esquematização das sete pontes de Königsberg (b) Grafo de Euler

Figura 1: a) Esquematização das sete pontes de Königsberg. Figura retirada do endereço eletrônico. http://idm09.wordpress.com/2009/11/01/ its-a-small-world- after-all/. (b) Grafo de Euler para o problema. As pontes são representadas pelas arestas, e as porções de terra, pelos vértices.

possível os vértices de partida e chegada deveriam possuir um número par de arestas [2]. Este tipo de grafo, no qual todos os vértices apresentam o número de arestas ímpar, ficou conhecido como grafo de Euler.

Inicialmente a história das redes foi formulada, basicamente, na teoria dos grafos. Mas, por volta de 1950, as redes passaram a ter avanços significativos com o matemático Húngaro Paul Erdös, apresentando o conceito de grafos aleatórios [3]. Paul Erdös foi o primeiro a produzir uma rede aleatória computacionalmente [4]. Contudo, somente na década de 1990 que o estudo de redes passou a ter mais reconhecimento, quando fenômenos físicos e biológicos passaram a ser descritos por redes [3].

2.2

Definições

De maneira simplificada, uma rede pode ser definida como sendo um conjunto de objetos conectados entre si. Esses objetos são chamados de vértices (nós ou sítios) e as conexões de arestas (ligações). Uma característica importante do vértice é o seu grau ou conectividade k, a qual informa o número de arestas que este contém, ou ainda, também significa o número de vizinhos que o vértice possui (ver Fig. 2). Vértices que apresentam alta conectividade, quando comparado aos demais vértices da rede, são chamados de pólos (ou Hubs).

Figura 2: Representação esquemática de um grafo, contendo 6 vértices e 8 arestas.

1. Topologia: é a forma na qual as conexões e nós estão distribuídas na rede, ou seja, a topologia informa a estrutura da rede. Por exemplo, grafos no qual a conectividade de todos os sítios tem um valor próximo a conectividade média, são chamadas de redes aleatórias.

2. Vizinhança: em uma rede na qual o vértice i compartilha uma ligação com o vértice j define-se que eles são vizinhos ou adjacentes.

14

(a) Vizinhança (b) Grafo direcionado (c) Grafo ponderado

Figura 3: (a) Vizinhança. O vértice 2 é vizinho do vértice 3 que também é vizinho do vértice 6, mas por

exemplo, o vértice 6 não é vizinho do vértice 1. (b) Grafo direcionado com 6 vértices e 8 arestas. (c) Grafo ponderado. Neste grafo o valor de suas arestas são inteiros e correspondem aos seus pesos.

3. Grau do vértice: informa o número de arestas que um vértice contém, isto é, também indica o número de vizinhos que o vértice possui. Essa característica também é nomeada de conectividade e é representada pela letra k. Existe o caso em que alguns vértices apresentam um alto grau de conexões quando comparados aos outros vértices da rede. Estes são chamados de pólos ou hubs da rede (ver Fig. 3(a)).

4. Grafo k-regular: são grafos nos quais todos os vértices apresentam o mesmo grau, ou seja, todos os vértices apresentam o mesmo número de arestas. Portanto um grafo regu-lar apresenta uma reguregu-laridade com relação a sua estrutura (rede trianguregu-lar, quadrada, hexagonal, etc) [4]. Um exemplo na física são os modelos atômicos nos quais são estudados por meio de redes regulares.

5. Grafo conexo: um grafo é definido como conexo quando não existem vértices isolados, ou seja, para qualquer par de vértices existe um caminho que os ligam, caso contrário o grafo é dito desconexo.

6. Grafo direcionado: existem duas formas de classificar grafos: direcionados e não direcio-nados. Para o caso de grafos direcionados existem dois tipo de conectividade, a conectivi-dade de entrada kine a conectividade de saída kout. A soma dessas conectividades informa a conectividade total do vértice. De maneira simplificada, uma rede é dita direcionada quando suas arestas possuem direções, isto é, as arestas definem o sentido de fluxo de informação [3]. Neste trabalho iremos tratar somente com grafos não direcionados (ver Fig. 3(b)).

7. Grafos ponderados: os grafos podem ser classificados em ponderados e não ponderados. Para o caso de grafos não ponderados, o peso da aresta que interliga o vértice i ao vértice j equivale a 1, mas quando não existir ligação entre i e j dizemos que o peso é igual a 0

(ver Fig. 3(c)). De modo geral, um grafo é dito ponderado quando suas arestas possuem pesos. O significado físico disto é, por exemplo, o custo energético do caminho percorrido do vértice i ao vértice j, isto é, não estamos interessados no menor caminho entre os dois vértices, mas na menor soma dos pesos das arestas que conectam os vértices i e j. 8. Grafos estáticos e dinâmicos: um grafo é dito estático quando o número de vértices e

arestas são constantes no tempo. Caso contrário, quando o número de vértices e arestas possuem um crescimento no decorrer do tempo, o grafo é intitulado como dinâmico.

2.2.1

Distribuição de conectividade

Figura 4: Comparação entre a distribuição de Poisson (pontos vermelhos) e a distribuição em lei de potência

(pontos azuis). O gráfico do lado esquerdo foi plotado na escala linear e o gráfico do lado direito foi plotado na escala log-log. Ambos os gráficos possuem o mesmo grau médio⟨k⟩ = 10. Figura retirada da referência [3].

A distribuição de conectividade P (k), também chamada de distribuição de grau, é uma das características mais importantes de uma rede, pois de alguma maneira expressa a sua topologia. A distribuição de conectividade informa a probabilidade de que um vértice escolhido aleatoriamente possua k vizinhos, ou analogamente, define a fração de vértices da rede que contém determinado grau k [8]. Esta propriedade expressa como a rede está configurada, ou seja, como estão distribuídos os vértices da rede. Em geral existem dois tipos de distribuições de conectividade: localizada e não localizada. Um exemplo de distribuição localizada é a distribuição de Poisson, na qual está presente em redes aleatórias. Para uma distribuição não localizada, tem-se o exemplo da distribuição em lei de potência, na qual está presente para o caso de redes sem escala típica.

A distribuição de grau, matematicamente, informa a probabilidade de um vértice, escolhido aleatoriamente em uma rede de tamanho N, tenha exatamente k arestas. Em redes direcionadas

16

é necessário considerar duas classes de distribuições de conectividade, a distribuição de entrada Pin(k) e a distribuição de saída Pout(k). A forma como a conectividade está distribuída na rede pode ser obtida como sendo o cálculo dos seus momentos de ordem n.

1. Distribuição de Poisson: essa distribuição de probabilidade está presente em sistemas no qual o número de constituintes é muito grande, N → ∞, e a probabilidade que os eventos ocorrem é localizada e apresentam pequenas flutuações (ver Fig. 4). É definida pela seguinte equação:

p(k) = e

−⟨k⟩_⟨k⟩k

k! (2.1)

Em que k é a conectividade, e⟨k⟩ é conectividade média. Observe que é uma distribuição discreta e quando a conectividade, k, é muito grande, essa função decai rapidamente. Um exemplo de rede que segue essa distribuição é o Grafo Aleatório Clássico, no qual temos um sistema cujo número de constituintes, isto é, os vértices da rede, tende ao infinito e a maioria dos sítios possuem uma conexão próxima à conectividade média.

2. Distribuição em Lei de Potência: alguns sistemas reais não podem ser descritos por dis-tribuições localizadas, tipo Poisson, pelo contrário, tais sistemas são descritos por uma distribuição larga. Neste tipo de distribuição existem poucos vértices com alta conectivi-dade, chamados hubs, e muitos vértices com baixa conectividade. Sistemas descritos pela distribuição em Lei de Potência são ditos ser livres de escala. Esta distribuição é dada por:

p(k)∝ k−γ (2.2)

sendo γ o expoente característico da distribuição (ver Fig. 4). Para redes livres de escala o expoente γ está entre 2 e 3, na maior parte dos casos.

2.2.2

Coeficiente de agregação

Coeficiente de agregação, ou aglomeração, indica a probabilidade de que os vizinhos de um dado sítio também sejam vizinhos em si. O coeficiente de agregação é um fator bastante estudado em redes reais [8], introduzido por Steven Strogatz e Duncan Watts. Em redes reais, podemos citar como exemplo as redes sociais de amizade, na qual é intuitivo pensar que meus amigos também são amigos entre si, isto é, é comum imaginarmos que a probabilidade dos meus

amigos se conhecerem é alta [5]. O coeficiente de agregação global dá uma ideia de agregação total da rede.

Matematicamente, o coeficiente de agregação local pode ser descrito como sendo:

cj(kj) =

nj kj(kj − 1)/2

(2.3) Na qual kj é a conectividade do sítio j, nj é o número total de conexões dos primeiros vizinhos de j e kj(kj− 1)/2 é o número total de conexões possíveis entre os vizinhos do nó j [3]. Para encontrar o coeficiente de agregação médio da rede dividimos o coeficiente de agregação local pelo número de vértices da rede.

C = 1 N ∑ j cj = 1 N nj kj(kj− 1)/2 (2.4)

2.2.3

Menor caminho médio

Uma grandeza importante que pode ser encontrada em uma rede é o caminho que liga o vérrice i ao vértice j. O caminho entre dois vértices quaisquer pode ser definido como a sequência de vértices e arestas que os ligam. De maneira simplificada, o número de arestas distintas que interligam os vértices de saída e de chegada definem o caminho entre esses dois vértices. Caso não exista arestas que ligam os vértices, dizemos que eles estão desconectados e o caminho entre eles é infinito. O menor caminho é algumas vezes chamado de distância geodésica ou distância química, é definido como sendo a menor sequência de arestas sem repetição que separam dois vértices na rede. O menor caminho médio é uma característica global que mede a eficiência do transporte de informação em uma rede [9].

A distância média se dá pela média aritmética das distâncias geodésica entre todos os N(N-1)/2 pares de vértices da rede:

l = 2

N (N − 1) ∑

i<j

dij (2.5)

Em que dij é a menor distância, o menor número de arestas, entre o vértice i e j. Em algumas redes aleatórias, o menor caminho médio cresce logaritmicamente com o tamanho do sistema N, caracterizando o efeito de mundo pequeno [3].

Outra característica importante é o diâmetro da rede, no qual é o inverso do menor cami-nho médio, ou seja, informa o maior comprimento entre dois vértices escolhidos aleatoriamente

18

em uma rede. O estudo do diâmetro da rede indica a robustez desta, isto é, informa a vulne-rabilidade da rede.

2.2.4

Armazenamento de grafo em memória

Existem diferentes maneiras de representar um grafo computacionalmente, cada uma pos-suindo suas vantagens e desvantagens [5]. Contudo, o fator de maior peso, quando comparadas, é o custo computacional, isto é, o tempo que cada uma leva para executar e a memória arma-zenada de cada algoritmo. As formas mais utilizadas são:

1. Lista de adjacência: um grafo G(N,E) pode ser representado computacionalmente por listas de adjacência, isto é, cada vértice do grafo possuirá uma lista que armazenará todos os seus vizinhos [5]. É o método mais utilizado, pois o espaço de memória ocupado é da ordem de O(N+E), no qual N é o número de vértices e E é o número de arestas da rede.

2. Matriz de adjacência: um grafo G(N,E) pode ser representado computacionalmente por sua matriz de adjacência NxN, na qual é composta por 0’s e 1’s, de modo que se o vértice i compartilha uma ligação com o vértice j, o elemento de matriz Aij recebe o número de ocupação 1, caso contrário, receberá 0. A desvantagem desse método é o espaço de memória que ele ocupa, pois o tamanho da matriz depende sobretudo do número de vértices da rede.

2.3

Redes Regulares

Neste modelo, as redes são bem estruturadas e construídas a partir de N vértices, no qual todos os vértices (exceto os vértices da borda) da rede possuem o mesmo número de arestas, isto é, apresentam o mesmo grau. Exemplos desse modelo de rede são: rede triangular, rede quadrada, rede hexagonal, etc. O modelo de redes regulares é o mais simples, o qual serve para a evolução de modelos mais elaborados [6]. A figura 5 apresenta uma rede regular quadrada.

2.4

Modelos Teóricos de Redes

Um modelo teórico de rede é um conjunto de definições matemáticas que determina a es-trutura da rede, ou seja, um modelo teórico estabelece algumas características da rede. É importante ressaltar que um modelo matemático não pode ser caracterizado como bom ou

ruim, pois trata-se simplesmente de um modelo. Entretanto, podemos dizer que um determi-nado modelo captura ou representa melhor uma determinada característica do que um outro qualquer [11]. Existe na literatura uma vasta gama de modelos teóricos de redes, cada um desempenhando a função de descrever um tipo de interação. Alguns exemplos de interações são: relações de amizades, regulação de gene, referência entre artigos científicos, redes neurais e muitos outros campos. A gama de interações justifica em parte o interesse em sua modela-gem, e, de fato, vários modelos de grafos aleatórios surgiram como resposta às demandas dessas pesquisas [7].

2.4.1

Modelo de Erdös e Rényi

Erdös e Rényi, no final da década de 1950 e início de 1960, propuseram um modelo de grafo aleatório [10]. Em particular, eles provaram diversas características fundamentais da rede gerada por este modelo aleatório [11]. O modelo de Erdös e Rényi pode ser descrito como um conjunto finito não vazio de pontos N = vi, ..., vf e o conjunto E de diferentes pares não ordenados (vi, vf) chamado grafo G; que pode ser descrito como G = (N, E) [20], nos quais vi,...,vf são chamados vértices e os pares (vi, vf), com i diferente de f , são chamados de arestas do grafo [20].

O modelo aleatório de Erdös e Rényi gera redes não dinâmicas, dado que o número de vértices é fixado no início do processo de criação da rede e cada aresta é criada de modo independente com uma certa probabilidade p (ver Fig. 6). A construção de um grafo aleatório é chamada de uma evolução, dado que inicia-se uma rede com N vértices isolados, e o grafo desenvolve-se com a sucessiva adição aleatória de arestas. Dessa forma o papel da teoria dos grafos aleatórios é estudar as propriedades do espaço de probabilidades associada a grafos com N vértices quando N → ∞, com objetivo de determinar para qual probabilidade de conexão p, uma propriedade em particular do grafo irá surgir [18]. Erdös e Rényi mostraram que muitas

20

(a) Exemplos de redes com N = 12 vértices, permutando a probabilidade de conexão p para cada par de vértice.

(b) Exemplos de redes com N = 100, em estágios de evolução distintos, correspondentes a probabilidade p = 0.03.

Figura 6: Evolução de um grafo aleatório. Os nós isolados ao fundo representam os vértices de conectividade

k = 0. Figura retirada da referência [13].

propriedades importantes surgem de forma abrupta, se variada a probabilidade de conexão p. Dessa forma, em redes grandes, todavia finitas, existe uma probabilidade crítica pc, a partir do qual, essa propriedade sempre estará presente no grafo, ou seja, se p > pc, a propriedade existe e quase nunca estará presente se p < pc [14]. Um exemplo de propriedade que surge na rede em pc é a percolação clássica.

2.4.2

Propriedades do Modelo de Erdös e Rényi

1. Subgrafos: seja G1 = (N1, E1) um grafo de N1 vértices e E1 arestas, inteiramente contido em um grafo G = (N, E) de tal modo que todos os N1 vértices e todas as E1 arestas de G1 também são vértices de N e arestas de E, portanto dizemos que G1 é um subgrafo de G [18]. A aparição de subgrafos foi a primeira propriedade de grafos aleatórios estudada por Erdös e Rényi (1959) [19]. Um exemplo de subgrafo pode ser visto na figura 7. Um subgrafo G1(N1, E1) é considerado de ordem k quando, para cada par de arestas consecutivas há somente um nó em comum, existem k arestas. Graficamente um triângulo é um subgrafo de ordem três, e um retângulo é um subgrafo de ordem quatro e assim por diante [18]. Um importante subgrafo a ser apresentado são as árvores, nas quais

são grafos de ordem k com k vértices e k − 1 arestas, uma propriedade relevante das árvores são que elas não formam subgrafos de circuitos fechados. Um exemplo de rede tipo Árvore é a Rede de Cayley. Uma questão a ser frisada no estudo dos grafos aleatórios é a determinação da probabilidade crítica pc(N ), ou seja, estipular matematicamente a probabilidade em que surgem árvores de ordem k em um grafo.

Figura 7: Representação esquemática de um subgrafo induzido.

2. Distribuição de conectividade: A distribuição de conectividade das redes aleatórias é conhecida desde os primeiros trabalhos de Erdös e Rényi [10]. Eles estudaram o limite superior e inferior da distribuição de conectividade e obtiveram que a probabilidade, numa rede aleatória, de um vértice i ter k = ki ligações com outros vértices, segue uma distribuição binomial [14]:

P (ki = k) = CNk−1p

k_{(1− p)}N−1−k _(2.6)

no qual o termo C_Nk₋₁ indica o número de formas distintas em que as arestas podem estar distribuídas, o termo seguinte, Pk_{, informa a probabilidade de existirem k ligações} e, por último, o termo (1− p)(N−1−k) _{é a probabilidade para a inexistência de (N− 1 − k)} ligações. Em um modelo de grafo aleatório, a probabilidade de um vértice, escolhido randomicamente, possuir k ligações é a mesma para todos os outros vértices do grafo. Para N suficientemente grande, essa distribuição é bem ajustada por uma distribuição de Poisson:

P (k) = e−⟨k⟩⟨k⟩ k

k! (2.7)

onde⟨k⟩ é a conectividade média que é dada por ⟨k⟩ = p(N −1). É notável que a maioria dos vértices apresentam o mesmo número de arestas, ki ≃ ⟨k⟩ [14].

2.4.3

Modelo de Watts e Strogatz

Watts e Strogatz propuseram um modelo que descreviam duas propriedades observadas em redes reais; alto coeficiente de agregação e um caminho médio muito pequeno (efeito de mundo

22

(a) Regular (b) Small-Word (c) Random

Figura 8: Processo de reconexão dos vértices para o modelo de Watts-Strogatz, no qual transforma um grafo

regular em um grafo aleatório. Na figura a rede é iniciada com N = 20 vértices, cada vértice é ligado aos seus quatro primeiros vizinhos. Para cada alteração do valor de p a topologia da rede é alterada. Figura retirada da referência [13].

pequeno). A rede gerada pelo modelo de Watts Strogatz apresenta um menor caminho médio ⟨l⟩ ∼ ln N, no entanto, a rede possui um alto coeficiente de agregação, diferente do resultado obtido pelo modelo de Erdös Rényi.

O modelo de Watts e Strogatz pode ser descrito da seguinte maneira:

1. Cria-se uma rede circular e regular com N vértices. Cada vértice está conectado aos seus primeiros k vizinhos, tendo, portanto, uma rede conectada em todos os momentos [18]. 2. Com probabilidade p reescreve-se aleatoriamente cada aresta da rede de tal forma que

as auto conexões e conexões duplas não são permitidas. Assim, tem-se uma rede com pN k/2 ligações de longo alcance as quais conectam vértices de diferentes vizinhos [18].

Ao variarmos p, podemos ver que a rede gerada pode ser completamente regular ou com-pletamente aleatória (ver Fig. 8). Isto é, para o caso de p = 0, tem-se uma rede comcom-pletamente regular e, para o caso de p = 1, observa-se uma rede aleatória. Para um certo valor de 0 < p < 1 a rede apresenta característica de mundo pequeno. Deste modo, pode-se concluir que o parâ-metro p da rede controla a topologia da rede, variando entre um látice regular e uma rede totalmente aleatória, sem estrutura [11].

2.4.4

Modelo de Barabási e Albert

O final da década de 1990 foi o início de uma nova era na área das Redes graças aos es-tudos apresentados por Albert-László Barabási e Réka Albert. Eles perceberam que algumas redes reais possuíam uma distribuição de conectividade que não condizia com o que já havia sido apresentado em grafos aleatórios. Eles observaram que que estas redes apresentavam uma distribuição de conectividade que seguia uma lei de potência, P (k) ∼ k−γ. Buscando uma possível explicação, ambos sugeriram um modelo matemático para a construção de redes com essa característica [11]. Barabási e Albert observaram também que redes não eram estáticas, como estudada nos modelos anteriores, mas o número de constituintes e ligações cresciam con-tinuamente. Outro ponto observado é que nessas redes a ligação parece não ser completamente aleatória, mas sim preferencial, indicando que alguns sítios possuem mais probabilidades de receber ligações do que outros. Eles acreditaram que esses dois mecanismos poderiam ser os responsáveis pelo surgimento da lei de potência [5].

Dessa forma, Barabási e Albert concluíram que em muitas redes reais a distribuição de conectividade em lei de potência surgia por causa de dois mecanismos: crescimento e ligação preferencial. Com isto, eles deram início a uma nova área nos estudos de redes, chamando de Redes Complexas. O algoritmo base deste modelo consiste em adicionar novas arestas à rede com uma maior probabilidade aos vértices mais conectados, criando assim os polos (hubs) na rede. Uma das características mais importantes no modelo de Barabási e Albert é o crescimento da rede, dado que o número de vértices e arestas crescem no decorrer do tempo. Outra característica notável neste modelo é a ligação preferencial, dado que em algumas redes as arestas entre os vértices parece se dar de forma preferencial e não de forma aleatória, ou seja, existe uma tendência de que os vértices mais novos da rede se conectem a vértices altamente conectados [17]. Vale a pena salientar que o modelo proposto por Barabási não foi o primeiro a incluir ligação preferencial e obter uma distribuição de conectividade em lei de potência, acredita-se que a primeira consideração rigorosa de ligação preferencial se deu por volta de 1925 por Yule [12].

Alguns exemplos de redes que possuem a sua distribuição de conectividade em lei de potência são:

1. Em 1991, a Word Wide Web possuía apenas um vértice, o primeiro website construído por Tim Berners-Lee, o criado da Web. Hoje, a WWW possui mais de um trilhão (1012) de hosts, um número extraordinário que foi alcançado ao longo da adição contínua de novos websites na rede por milhões de indivíduos [13].

24

2. A rede de peer-to-peer (ou simplesmente ponto-a-ponto) continua se expandindo com o compartilhamento de músicas, vídeos, dados e qualquer arquivo em formato digital.

O algoritmo para o modelo de Barabási e Albert é o seguinte:

1. Inicia-se a rede com um pequeno número de vértices mo, as arestas entre os vértices iniciais são realizadas de modo aleatório, contudo, não é permitido que existam vértices sem arestas.

2. A cada passo de tempo é adicionado um novo vértice. O novo vértice é ligado a outros m⩽ mo vértices da rede já existente.

3. A probabilidade de uma aresta ser formada com um determinado vértice i é proporcional à sua conectividade, ki, e é dada por:

∏ (ki) = ki ∑ jkj (2.8) Os passos (2) e (3) são repetidos até o tamanho desejado da rede, depois de t passos no tempo, este processo nos dá uma rede com N = t + mo vértices e mt arestas, sendo m a quantidade de ligações que cada vértice realiza ao ser inserido na rede [5].

Figura 9: Exemplo do crescimento de uma rede de Barabási para mo= 3 e a cada passo de tempo adiciona-se um vértice a rede (m = 1).

Esta regra de ligação preferencial favorece os vértices mais antigos da rede, pois a medida que novos vértices são adicionados na rede, eles tendem a conectar-se aos já existentes; fazendo com que os vértices iniciais possuam maior conectividade; e tornem-se os pólos da rede. Pode-se observar isto na figura 9.

2.4.5

Propriedades do modelo de Barabási-Albert

As redes complexas podem ser classificadas de acordo com suas propriedades e podem ser úteis nas análises dos mais diversos aspectos das redes e com os mais variados propósitos [16]. Vejamos seguir algumas propriedades do modelo de Barabási-Albert.

1. Distribuição de conectividade: a distribuição de conectividade das redes segundo o modelo de Barabási-Albert segue uma lei de potência, P (k)∼ k−γ, (ver Fig. 10). Bara-bási e Albert mostraram analiticamente que o expoente da distribuição de conectividade é igual a 3.0.

Figura 10: Distribição de conectividade em lei de potência presente no modelo de rede de Barabási-Albert.

Figura retirada da referência [13].

2. Comprimento do menor caminho médio: Para critérios de comparação, a figura 11 mostra o comprimento do menor caminho médio da rede de Barabási com o tamanho do menor caminho médio de uma rede aleatória, em função de N , na qual foi escolhida a conectividade média, ⟨k⟩ = 4, para ambos os modelos. Observa-se que para o modelo de Barabási, o comprimento do menor caminho médio é menor, quando comparado à rede aleatória. Esse resultado sinaliza que a topologia heterogênea das redes livres de escala é mais eficiente, na criação de proximidades entre os vértices [14]. O crescimento do comprimento do menor caminho médio para uma rede do modelo de Barabási cresce, aproximadamente, com o logaritmo de N .

26

⟨l⟩ (m = 1) ≈ ln(N) (2.9)

⟨l⟩ (m = 1) ≈ ln(N )

lnln(N ) (2.10)

No qual indica a característica de mundo pequeno no modelo de Barabási.

3. Coeficiente de Agregação: Para critérios de comparação, a figura 12 exibe o coeficiente de agregação para uma rede de Barabási-Albert com conectividade média⟨k⟩ = 4, e uma rede aleatória com Crand ≈ ⟨k⟩ /N. Após simulações de redes do modelo de Barabási-Albert, percebeu-se que o coeficiente de agregação diminui com o crescimento da rede, isto é, também obedece uma lei de potência, ou seja, CBA≈ N−0.75. Em redes aleatórias, o coeficiente de agregação é caracterizado por ⟨C⟩ = ⟨k⟩ N−1. Contudo, é necessário lembrar que o modelo de Barabási-Albert não representa todas os sistemas que possuem distribuição de conectividade em lei de potência. Podemos ver que quando N → ∞, o coeficiente de agregação se aproxima de zero, sendo o contrário do que foi observado em redes reais, onde ⟨C⟩ aumenta com N.

Figura 11: Comparação do Menor caminho médio para a Rede Aleatória Clássica e a Rede Livre de Escala.

Figura retirada da referência [17].

Figura 12: Comparação entre o coeficiente de agregação pelo tamanho N da rede para o modelo de

3

Entropia em Redes Clássicas e

Complexas

Neste capítulo iremos apresentar o conceito de entropia de informação, assim como também abordaremos alguns conceitos importantes para o cálculo da entropia de von Neumann.

3.1

Entropia

A princípio, o conceito de entropia surgiu na área termodinâmica em 1824, com o físico e ma-temático alemão Rudolf Clausius, com o estudo do engenho a vapor, desenvolvido inicialmente por Carnot [21]. A entropia clássica é uma grandeza que mensura o grau de irreversibilidade de um sistema. A primeira equação para a entropia, que relaciona calor e energia, foi apresentada como sendo:

∆S = ∆Q

T (3.1)

Contudo, a entropia só era medida na mudança de estado do sistema. Considerando-se uma transformação infinitesimal, onde o sistema recebe uma quantidade de calor dQ a uma temperatura T, tem-se que [21]:

dS = dQ

T (3.2)

Outra revolução no conceito de entropia surgiu na Mecânica Estatística em 1896, com o físico austríaco Ludwig Eduard Boltzmann, no qual relaciona entropia com o número de microestados de um sistema, isto é, Boltzmann apresentou a relação entre entropia e o número de maneiras possíveis que os elementos de um sistema podem ser configurados:

onde kB é a constante de Boltzmann, kB = 1.38065× 10−23J/K, e W é o número de configu-rações possíveis do sistema compatíveis com os vínculos externos .

3.2

Entropia de Informação

Estendendo o conceito de entropia para o campo da teoria de informação, previamente precisamos explicar o significado da palavra informação no contexto contemporâneo. O termo informação passou a ser usado no final da década de 1940 com a publicação do artigo "A Mathematical Theory of Communication" escrito por Claude Shannon. Estima-se, pelo menos, que existam 26 significados distintos para o termo informação, sendo alguns deles: mensagem, dados, conhecimento, entre outros. Por definição, podemos dizer que a informação de um expe-rimento aleatório é obtida quando sua incerteza de ocorrência é máxima, ou seja, a informação indica uma medida probabilística.

Unindo ambos os conceitos, de agora em diante, podemos discorrer sobre Entropia de Infor-mação. É conceituada como sendo uma medida probabilística, consequentemente, proporciona a quantificação da informação extraída do sistema. Assim como em outros contextos, a entropia da informação também está relacionada com o nível de desordem do sistema, isto é, para um sistema completamente ordenado, a entropia é nula, e conforme o sistema se desordena a sua entropia é alterada até atingir seu limite máximo (desordem total). Em Redes, as entropias de Shannon e a entropia de von Neumann, são usadas para extrair algumas informações clássicas e quânticas do sistema. Tradicionalmente, na mecânica estatística, para configurações retiradas de ensembles canônicos, a entropia de Shannon corresponde a entropia de sistemas clássicos, enquanto a entropia de von Neumann fornece a descrição estatística de um sistema quântico [27].

A entropia de informação é caracterizada por ser interdisciplinar, vai da da física até campos da economia e sociologia. Os estudos apresentados por Shannon demonstram que o conceito de entropia pode ser levado para qualquer área que envolva probabilidades, não pertencendo apenas a campos termodinâmicos. Desse modo, a entropia de informação encontrou nas rede complexas uma boa aplicação. A relevância dos estudos em redes envolvendo entropia se dá pela possível análise da propagação total de uma informação, isto é, para o exemplo de uma rede rede real, o cálculo da entropia permite estimular a velocidade com que uma informação se propaga.

30

3.3

Propriedades Importante

Nesta seção apresentaremos algumas propriedades necessárias para o cálculo da entropia de von Neumann em redes.

3.3.1

Matriz Laplaciana

A matriz Laplaciana de um grafo G é construída da seguinte maneira,

L = D− A (3.4)

sendo D a matriz diagonal, na qual é formada a partir da conectividade de cada sítio do grafo G, mais simplificadamente, a matriz diagonal é constituída com elementos somente na diagonal, sendo estes o grau dos vértices, ou seja Dii = ki e Dij = 0, para i ̸= j. A é a matriz de adjacência do grafo G, na qual foi conceituada no capítulo anterior. Um exemplo de matriz diagonal e matriz de adjacência é mostrado a seguir, onde as matrizes foram criadas a partir do grafo da figura 2: A(G) =             0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0             D(G) =             2 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 3            

L(G) =             2 −1 0 0 −1 0 −1 3 −1 −1 0 0 0 −1 2 0 0 −1 0 −1 0 3 −1 −1 −1 0 0 −1 3 −1 0 0 −1 −1 −1 3            

A equação característica do Laplaciano de G é dada pelo polinômio característico que vimos em Álgebra Linear, P (λ) = det(L(G)− λI). A matriz Laplaciana L(G) é simétrica e por conseguinte possui seus autovalores reais e não negativos [21].

3.3.2

Matriz Densidade

Outra matriz importante para o cálculo da entropia de von Neumann é a matriz densidade, σ(G), na qual é construída a partir da matriz Laplaciana do grafo de acordo com a equação 3.5:

σ(G) = ∑L(G) iki

(3.5) A matriz densidade do grafo referente a figura 2 é:

σ(G)=             0.1333 −0.0666 0 0 −0.0666 0 −0.0666 0.2000 −0.0666 −0.0666 0 0 0 −0.0666 0.1333 0 0 −0.0666 0 −0.0666 0 0.2000 −0.0666 −0.0666 −0.0666 0 0 −0.0666 0.2000 −0.0666 0 0 −0.0666 −0.0666 −0.0666 0.2000            

Por definição, uma matriz densidade possui as seguintes propriedades: Hermitiana, semi-positiva definida, simétrica e T r(σ) = 1. E, apesar das matrizes de adjacência e diagonal serem construídas a partir de um grafo não-quântico, a sua matriz densidade apresenta as mesmas propriedades de um operador densidade. Ou seja, a matriz densidade ˆσ é suficiente para caracterizar o estado quântico do sistema. A matriz densidade também serve para caracterizar

32

dois tipos de estados: misto e estado puro. Um sistema é dito puro quando T r(σ2) = 1, caso contrário, T r(σ2)̸= 1, o estado é misto.

3.4

Entropia de Shannon

Na teoria da informação, a entropia corresponde à incerteza probabilística associada a uma distribuição de probabilidade [21]. Em 1948, Claude Elwood Shannon, propôs um novo cálculo da entropia usando a base binária. A equação 3.6 abaixo apresenta a entropia a partir do número de estados possíveis que um sistema pode adquirir.

H(p) =− N ∑

i=1

pilog2(pi) (3.6)

O primeiro termo do lado esquerdo da equação H(p) é a entropia, a qual é não negativa e tem seu valor máximo em H(p) = ln(N ) e mínimo em H(p) = 0.

3.5

Entropia de von Neumann

A entropia quântica, ou, equivalentemente, a entropia de von Neumann, foi definida por von Neumann por volta de 1927 [24]. Ela é definida a partir da matriz densidade da rede e caracteriza o conjunto de misturas de estados quânticos:

S(ˆσ) =−T r(σlog₂σ) (3.7)

Em que T r é a função traço. Usando a notação dos autovalores da matriz densidade, a entropia de von Neumann também pode ser reescrita como sendo:

S(ˆσ) =− n ∑

i=1

λilog2λi (3.8)

no qual λi são os autovalores de ˆσ. Convencionalmente, definimos 0 log20 = 0. Uma caracte-rística importante a ser frisada é o espectro da matriz densidade, que tem um autovalor igual a zero e o restante é positivo. Isto é, os autovalores da matriz densidade são positivos e tem seu ponto mínimo em λ = 0. Outra característica importante é que a entropia de von Neumann é não-negativa e tem seu ponto mínimo em S(ˆσ) = 0, na qual ocorre quando o estado é puro, T r(σ2_{) = 1.}

Se compararmos S(ˆσ) com H(p), nota-se que a entropia de von Neumann é equivalente a entropia de Shannon da distribuição de probabilidade obtida usando os autovalores de ˆσ [26]:

S(ˆσ) = H(λi) (3.9)

3.5.1

Máximo e Mínimo da Entropia de von Neumann

Teorema 1: Seja G um grafo aleatório e conexo de N vértices. Então [23]:

1. maxS(ˆσ(G)) = log₂(N − 1)

4

Entropia de von Neumann aplicada em

diferentes tipos de Redes

Neste capítulo iremos análisar se a entropia de von Neumann depende da estrutura do grafo analisado. Isto é, veremos se a entropia quântica obedece a forma que as arestas estão distribuídas. Neste capítulo iremos apresentar os resultados da entropia de von Neumann para três tipos de redes: Rede Regular Quadrada, Grafos Aleatórios e, por último, Redes Livres de Escala.

4.1

Entropia da Rede Regular Quadrada

Uma rede regular quadrada consiste em N vértices conectados de modo determinístico com k = 4. Contundo, nota-se que os sítios de fronteira não possuem a mesma conectividade que os demais sítios. Primeiro exemplificaremos este modelo de rede com N = 16 (ver Fig. 12).

Figura 13: Exemplo de uma rede regular quadrada com N = 16

As matrizes computadas para a rede regular quadrada são da ordem N × N, portanto, a seguir apresentaremos algumas quantidades importantes. Antes de calcularmos a entropia de von Neumann, podemos verificar se o estado é puro ou misto, fazendo o traço da matriz densidade (referente a figura 13) ao quadrado, T r( ˆσ2 _):

Portanto, como T r( ˆσ2₎̸= 1, dizemos que o estado é misto e sua entropia será diferente de zero. S(ˆσ) =− 5 ∑ i=1 λilog2λi = 3.671205 (4.2) 0 200 400 600 800

N

E

n

tr

o

p

ia

d

e

v

o

n

N

eu

m

a

n

n

Figura 14: Entropia de von Neumann para uma rede regular quadrada um função de N .

A figura 14 apresenta a entropia de von Neumann em função do tamanho da rede, com N variando de 16 a 900. Em [24], Passerini e Severini mostraram que em grafos regulares a entropia de von Neumann, em geral, é alta.

4.2

Entropia do Grafo Aleatório

Vale lembrar que o Modelo de Erdös e Rényi não gera uma rede dinâmica. Mas, ainda é possível calcular algumas propriedades importantes como: distribuição de conectividade, menor caminho médio, entropia, entre outros.

36

4.2.1

Algoritmo

Usando os conceitos já apresentados nos capítulos dois e três, um grafo aleatório pode ser criado pelo seguinte algoritmo:

1. Inicia-se a rede com N (vértices) e p (probabilidade de conexão) fixos. Sendo (0 < p⩽ 1). 2. A cada passo de tempo é definido se ocorre uma ligação entre dois vértices escolhidos aleatoriamente (chamando-os de vértices i e j). Para que isso ocorra é sorteado um número randômico no intervalo [0, 1]. Caso esse número gerado seja menor ou igual a probabilidade definida no passo 1, haverá uma ligação entre esses dois vértices, caso contrário, os vértices i e j não estarão conectados.

3. O passo 2 é repetido até percorrer todos os pares de vértices da rede.

4. São extraídas as matrizes de adjacência e diagonal da rede, A(G) e D(G) respectivamente. 5. Usando a equação 3.1 é calculada a matriz Laplaciana, L(G), da rede.

6. Utilizando a equação 3.2 é determinada a matriz Densidade ˆσ(G) da rede. 7. Aplicamos a equação característica de autovalor na matriz densidade.

8. Usando a equação 3.8, encontramos a entropia de von Neumann, S(ˆσ), da rede.

9. Todos os passos anteriores são repetidos até a quantidade de amostras desejada, visando melhorar a estatística de dados da rede.

Para uma rede de N = 5 e p = 0.2 (ver Fig. 15), o algoritmo apresentado acima pode ser ilustrado com o seguinte exemplo:

As matrizes de adjacência e diagonal da rede são (passo 4): A(G) =          0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0          (4.3) D(G) =          1 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 1          (4.4)

Sua matriz Laplaciana tem a forma (passo 5):

L(G) =          1 −1 0 0 0 −1 3 0 −1 −1 0 0 1 −1 0 0 −1 −1 2 0 0 −1 0 0 1          (4.5)

A matriz densidade da rede é (passo 6):

ˆ σ(G) =          0.125 −0.125 0 0 0 −0.125 0.375 0 −0.125 −0.125 0 0 0.125 −0.125 0 0 −0.125 −0.125 0.250 0 0 −0.125 0 0 0.125          (4.6)

Podemos fazer o traço da matriz densidade ao quadrado, T r( ˆσ2 _{), para descobrirmos se o} estado é puro ou misto. Sendo assim:

Tr          0.015625 0.015625 0 0 0 0.015625 0.140625 0 0.015625 0 0 0 0.015625 0.015625 0 0 0.015625 0.015625 0.062500 0 0 0.015625 0 0 0.015625          = 0.250000

38

Com isso, T r( ˆσ2₎ ̸= 1, podemos dizer que o estado é misto e sua entropia é diferente de zero.

Os autovalores da matriz densidade são (passo 7):

det(ˆσ− λI) = 0 (4.7) λ =          λ1 = 5.212608e−01 λ2 = 2.888885e−01 λ3 = 3.129468e−17∼ 0 λ4 = 1.250000e−01 λ5 = 6.485071e−02          (4.8)

Calculando a entropia de von Neumann (passo 8):

S(ˆσ) =− 5 ∑ i=1 λilog2λi = 1.638413 (4.9)

4.2.2

Entropia

p

S

/N

N

= 100

N

= 200

N

= 400

N

= 700

N

= 1000

Figura 16: Entropia de von Neumann dividida por N para diferentes tamanhos de redes com 0.001≤ p ≤ 0.1.

Análise estatística normalizada para 20 amostras.

A figura 16 apresenta a entropia de von Neumann dividida por N para o modelo de rede de Erdös-Rényi para diferentes tamanhos de redes, N =[100, 200, 400, 700, 1000], em função da

probabilidade p. Podemos ver que que a entropia de von Neumann cresce com a probabilidade de ligação, entretanto, ela satura em um certo valor de p. Este é um resultado interessante, mas já esperado, dado que a partir da probabilidade crítica (pc = 1/N ) (valor no qual ocorre a formação de aglomerado que expande a rede), o sistema está em máxima desordem.

Outro resultado interessante ocorre quando fixamos p e variamos N (ver Fig. 16), onde vemos que a entropia de von Neumann cresce logaritmicamente. Observando as figuras 14 e 15, entendemos que a entropia apresenta uma mudança significativa até a probabilidade crítica, após isso, ela é saturada. Em outras palavras, na probabilidade crítica ocorre a formação de aglomerado na rede, com isso, a desordem no grafo atinge o seu ápice, após isso, ela converge para uma curva finita.

0 200 400 600 800 1000

N

E

n

tr

o

p

ia

d

e

v

o

n

N

eu

m

a

n

n

p

= 0.001

p

= 0.002

p

= 0.005

p

= 0.008

p

= 0.01

Figura 17: Entropia de von Neumann em função do número de sítios na rede para diferentes valores de p.

40

4.3

Entropia da Rede Livre de Escala

Com o intuito de utilizarmos um modelo de rede mais próximo de algumas redes reais, nesta seção apresentaremos a entropia de von Neumann aplicada ao modelo de Barabási-Albert, cuja distribuição de conectividade dos vértices é uma lei de potência.

4.3.1

Algoritmo

A sequência abaixo indica o algoritmo para a construção da rede.

1. Inicia-se a rede com m0 vértices, no qual todos estão conectados de modo aleatório; é importante lembrar que neste modelo não existem vértices sem arestas.

2. A cada passo de tempo um novo vértice é inserido na rede, realizando m ligações com os vértices já existentes da rede.

3. O passo anterior é repetido até o tamanho N da rede.

Semelhantemente ao algoritmo da seção 4.1.1, os passos de quatro a nove, para a obtenção da entropia de von Neumann, são os mesmos para qualquer tipo de rede.

Continuamente, abaixo estaremos apresentando uma rede de N = 5 vértices e m = 1 (ver Fig. 17), para o modelo de Barabási-Albert.

Figura 18: Exemplo de uma rede Livre de Escala com N = 5 e m = 1

A(G) =          0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0          (4.10) D(G) =          1 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1          (4.11)

Sua matriz Laplaciana tem a forma:

L(G) =          1 −1 0 0 0 0 4 −1 −1 1 0 −1 1 0 0 0 −1 0 1 0 0 −1 0 0 1          (4.12)

A matriz densidade da rede é:

ˆ σ(G) =          0.125 −0.125 0 0 0 0 0.500 −0.125 −0.125 0.125 0 −0.125 0.125 0 0 0 −0.125 0 0.125 0 0 −0.125 0 0 0.125          (4.13)

Computando o traço da matriz densidade ao quadrado, T r( ˆσ2_{), iremos verificar se o estado} apresentado é puro ou misto. Portanto:

Tr          0.015625 0.015625 0 0 0 0 0.250000 0.01562 0.015625 0.01562 0 0.015625 0.01562 0 0 0 0.015625 0 0.015625 0 0 0.015625 0 0 0.015625          = 0.312500

42

Vemos que T r( ˆσ2₎ ̸= 1. Portanto podemos dizer que o estado é misto e sua entropia será diferente de zero.

Os autovalores da matriz densidade são:

det(ˆσ− λI) = 0 (4.14) λ =          λ1 = 6.250000e−01 λ2 = 1.250000e−01 λ3 = 5.951436e−18∼ 0 λ4 = 1.250000e−01 λ5 = 1.250000e−01          (4.15)

Calculando a entropia de von Neuman, obtemos:

S(ˆσ) =− 5 ∑ i=1 λilog2λi = 1.548795 (4.16)

4.3.2

Entropia

N

E

n

tr

o

p

ia

d

e

v

o

n

N

eu

m

a

n

n

m

_{= 1}

m

_{= 2}

m

_{= 5}

m

_{= 8}

m

_{= 10}

Figura 19: Entropia de von Neumann para a rede livre de escala em funçao de N e diferentes valores de m.

A entropia de von Neumann para o modelo de rede de Barabási-Albert é apresentada na figura 19, onde mostramos a relação de S(ˆσ) com N para 5 valores distintos de m (número de ligações que um sítio realiza ao ser inserido na rede). Vemos que, apesar de alteramos o valor de m, a entropia de von Neumann é praticamente constante. Mas, uma questão a ser levantada é: por que isto ocorre? Uma possível explicação para tal evidência é que apesar da matriz Laplaciana do sistema ser visivelmente alterada, pois à medida que m cresce a matriz tornar-se mais densa, os elementos ˆσ(G)i,j da matriz densidade decrescem com m. Isto é, o cálculo da matriz densidade também leva em consideração o número de conexões total da rede. Em outras palavras, analisando a matriz densidade, vemos que ela é dada pela seguinte equação:

ˆ

σ(G) = ∑L(G) iki

(4.17)

É notório que outro parâmetro de influência é o número de conexões que a rede apresenta, e, com isto, vemos que quando m muda, o número de conexões na rede também é modificado, fazendo com que os elementos da matriz densidade, ˆσ(G)i,j, sejam menores. Isto é, ˆσ(G)i,j é inversamente proporcional a m. Portanto, se iniciarmos nossos estudos com m = 1, vemos que a matriz Laplaciana de uma rede livre de escala é mais esparsa do que quando m =

2 4 6 8 10

m

E

n

tr

o

p

ia

d

e

v

o

n

N

eu

m

a

n

n

N

_{= 100}

N

_{= 300}

N

_{= 500}

N

_{= 800}

N

_{= 1000}

Figura 20: Entropia de von Neumann para a rede livre de escala em função de m com diferentes valores de

44

10. Consequentemente, apesar da matriz Laplaciana depender explicitamente de m, a matriz densidade decresce com m, fazendo com que os elementos de ˆσ(G) sejam menores, equilibrando o grande número de elementos não nulos da rede. Como resultado, vemos que a entropia de von Neumann permanece quase constante. Podemos ver tal fato com o exemplo a seguir:

Sejam L1 e L3 as matrizes Laplacianas de duas redes livres de escalas para N = 5 e m = 1 e m = 3, respectivamente. L1 =          3 −1 0 −1 −1 −1 2 −1 0 0 0 −1 1 0 0 −1 0 0 1 0 −1 0 0 0 1.          L3 =          2 0 0 −1 −1 0 2 0 −1 −1 0 0 1 −1 0 −1 −1 −1 4 −1 −1 −1 0 −1 3         

Vemos que a matriz L3 é mais densa que a matriz L1. Aplicando a equação 4.16 em ambas as matrizes, temos: ˆ σ1 =          0.375 −0.125 0 −0.125 −0.125 −0.125 0.25 −0.125 0 0 0 −0.125 0.125 0 0 −0.125 0 0 0.125 0 −0.125 0 0 0 0.125          ˆ σ3 =          0.16666667 0 0 −0.08333333 −0.08333333 0 0.16666667 0 −0.08333333 −0.08333333 0 0 0.08333333 −0.08333333 0 −0.08333333 −0.08333333 −0.08333333 0.33333333 −0.08333333 −0.08333333 −0.08333333 0 0.08333333 0.25         

Percebemos que os elementos de matriz ˆσ1i,j são maiores que ˆσ3i,j, mas a matriz L1apresenta mais elementos nulos quando comparada a matriz L3. Portanto, quando a entropia de von Neumann é computada para ambas as matrizes, seus resultados são muito próximos, S1 =

1.638413 e S3 = 1.784159. Se fizermos esses mesmos cálculos para mais amostras, veremos que S1 ∼ S2.

Observando a figura 20, podemos afirmar que a entropia de von Neumann depende somente do número de vértices da rede, e é invariante para o número de ligações que cada novo vértice realiza ao ser inserido na rede.

4.4

Análise da Entropia de von Neumann para diferentes tipos

de Redes

Nesta seção iremos analisar e comparar os resultados da entropia de von Neumann para os modelos de redes estudados. A figura 21 foi construída para três modelos de redes: rede regular quadrada, rede aleatória clássica e rede livre de escala, e, para níveis de comparação com a rede regular quadrada, usamos diferentes valores de p para o grafo aleatório e m = 2 para o modelo de rede de Barabási-Albert, assim todos os três modelos de redes possuem conectividade média próxima a 4, ⟨k⟩ = 4, dado que ⟨k⟩ = 2×E

N , onde E é o número de arestas e N é o número de vértices da rede. Note que, pela figura 21, podemos perceber que a entropia de von Neumann está diretamente ligada a conectividade média da rede, dado que, quando comparamos os modelos de redes apresentadas com ⟨k⟩ = 4, vemos que a entropia de von Neumann é aproximadamente a mesma. Contudo, nota-se, também, que para o modelo de rede livre de escala, a entropia de von Neumann distancia-se dos outros pontos a medida que o número de sítios da rede aumenta.

Em [24], Filippo Passerini e Simone Severini apontaram que a entropia de von Neumann tende a ser maior em redes com muitos sítios conectados, caminhos longos e simetrias não triviais. E, quando comparamos a entropia de von Neumann dos modelos de redes estudados, vemos que tal afirmação faz-se presente neste trabalho. O modelo de rede de Barabási-Albert apresenta muitos sítios com baixa conectividade, consequentemente, quando comparado com os outros modelos de rede apresentados, a sua entropia de von Neumann será menor; dado que um fator de influência na entropia de von Neumann é possuir muitos sítios com alta conectividade. Assim como o seu menor caminho médio também é menor quando comparado ao modelo de Erdös-Rényi e rede regular quadrada. Portanto, verificamos que nossos dados coincidem com os estudos apresentados por Passerini e Severini.

É importante destacar que a entropia de von neumann atinge o seu máximo em grafos conexos, ou seja, para que maxS(ˆσ(G)) = log₂(N − 1) não é permitido que existam vértices isolados na rede; no caso do grafo aleatório temos certeza que o grafo sempre será conexo

46

quando p = 1. A figura 21 também mostra o comportamento esperado para a entropia máxima apresentado pelo teorema 1.

0 200 400 600 800

N

E

nt

ro

p

ia

d

e

vo

n

N

eu

m

an

n

BA

ER

Regular quadrada

S

= 1.4373ln(N ) − 0.33053

Log

_{2(N − 1)}

Figura 21: Entropia de von Neumann para três modelos de redes em função do número de vértices. A primeira

curva apresenta o teorema 1, a segunda curva mostra o comportamento da entropia quântica da rede regular quadrada, a terceira curva exibe a entropia de von Neumann para o modelo de rede aleatório e, por último, a quarta refere-se ao modelo de rede de Barabási-Albert. Todos os modelos apresentam⟨k⟩ = 4.

Nesta monografia apresentamos alguns conceitos e modelos clássicos de rede, sendo eles: modelo de Erdös-Rényi e o modelo de Watts-Strogatz. Vimos, no capítulo dois, que a distri-buição de conectividade das conexões de tais modelos é regida pela distridistri-buição de Poisson, isto é, a conectividade de cada vértice da rede flutua em torno da conectividade média da rede, ki → ⟨k⟩. Ainda no segundo capítulo, apresentamos o modelo de Barabási-Albert, observamos que a distribuição de conectividade das conexões neste modelo varia em lei de potência. Uma propriedade importante a ser frisada do modelo de Barabási-Albert é que a sua distribuição de conectividade em lei de potência apresenta uma cauda larga, fazendo com que também seja conhecido como: modelo livre de escala, este modelo descreve as redes complexas.

Com o objetivo de investigar a quantidade de informações extraídas em redes, computamos a entropia de von Neumann para três topologias distintas. Por meio de simulações numéricas mostramos que a entropia de von Neumann de uma rede cresce com o número de componentes conectados, caminhos longos e estruturas não triviais. Como resultado, vimos que a rede livre de escala, descrita pelo modelo de Barabási-Albert, apresentou a menor entropia quando comparado ao modelo de rede aleatória e rede regular quadrada. Uma explicação para tais ocorrências é que apesar do modelo de rede de Barabási-Albert não permitir sítios sem conexões, os caminhos que ligam dois vértices quaisquer da rede são menores quando comparados com os outros tipos de redes apresentadas nesta monografia. O modelo de Barabási-Albert também apresenta poucos vértices com alta conectividade, sendo outro fator que influência na entropia de von Neumann.

Em [24], Passerini e Severini também explicaram que a entropia de von Neumann é uma medida de regularidade da rede, consequentemente, a entropia de von Neumann tende a ser maior em uma rede quadrada, na qual o número de arestas é fixado para todos os vértices.

Um tópico importante a ser citado é o tempo de execução dos programas computacionais. A entropia de von Neumann é um resultado que exige bastante tempo para se obter, dado que depende do tamanho N e da estrutura da rede. Em outras palavras, o cálculo direto da entropia de von Neumann é inviável para sistemas com muitos constituintes, N ∼ 106_{. Por}