Medição de coordenadas tridirecionais atraves da digitalização de imagens

UN IVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

CURSO DE PóS BRADUACSO EM E N GE NH AR I A MECfiNICA

M E D I C 2 S O D E C O O R D E N A D A S T R I D I R E C I O N A I S A T R A V É S D A D I G I T A L ! Z A C S O D E I M A G E N S

DI S SE RT AÇ SO SUBMETIDA h UNIVER S ID AD E FEDERAL DE SANTA CA T ARINA PARA A OBTENCSO DO GRAU DE MESTRE EM

ENGENHARIA MECÔNICA

JÚLIO CÉSAR DE LUCA

M E D I C Z S O D E C O O R D E N A D A S T R I D I R E C I O N A I S A T R A V É S

D I G I T A L I Z A C S O D E I M A G E N S

ESTA D ISSERTAÇÃO FOI ADEQUADA PARA OBTENÇSO DO TÍTULO DE MESTRE EM ENGENHARIA

ESPECIALIDADE E NGENHARIA MECSNICA, tíREA DE CONCENTRAÇSO M ETROL OG IA E A U T O M A Ç B O , APROVADA EM SUA F ORMA FINAL PELO C UR S O DE PóS-GRAE 1 E C S NI C A.

J ÚLIO CÉSAR DE LUCA

P R O F . CARLOS ALBERTO S C H N E I D E R , D r f - I n g . ’ OrFeNTADOR

PROF. BEREf COORDENADOR

BANCA EXAMINADORA:

P R Q F _ C ARLOS -Ing., PRESIDENTE

PROF. HER

AGRADECIMENTOS

A D e u s .

Ao Departamento de Engenharia Mecânica da UFSC e ao CERFI/LABMETRO pelo apoio técnico.

Aos meus pais e irmãos pelo apoio.

Ao P r o f . C a r los Alberto Schneider pela orientação.

Ao Prof. Norbert Goepp pela orientação em óptica.

As secretarias do CERTI, em especial, Rosiane pelo apoio na digitação deste texto.

Aos valorosos amigos que apoiaram direta ou indiretamente este trabalho.

SUMtíRIO página RESUMO ... . ... ... ... i ABSTRACT ... ... ..iti GLDSStíRIO ... ... ..v i. INTRODUÇÃO ... ..í 1.1 MEDICaO POR COORDENADAS ... ... ..i 1.2 OBJETIVOS DO TRABALHO ... ..3

E. O SISTEMA DE MEDIÇSO DE COORDENADAS TRIDIRECIONAIS POR

DIGIT A L IZ AÇSO DE IMAGENS E SEUS MÓDULOS COMPONENTES ... 7 E.i MÓDULO DE AQUISIÇSO DE IMAGENS (IAM) ... ..9

E. 1.1 Conjunto óptico do IAM .... ... ..1 1

E.l.E Câmara escura ... ... ...1 7

E.E MÓDULO DE DIGITALIZAÇBO DE IMAGENS <IDM) ... ..19 E.E.i Sensores de aquisição de imagens 19 E.3 MÓDULO DE PROCESSAMENTO DE IMAGENS (IPM) ... ..£4

2.4 DETERM INAÇSO DE ALGUNS PARÕMETROS DO ICMS ... ... E5 E.4.1 Metodologia para obtenção da função p'(Z) ... ..26 E.4.E Metodologia para a determinação dos erros

sistemáticos ... ... .. 28 2.4.3 Exemplo de um experimento para a determinação da

função p ' (Z ) ... ..E8

3.1 EQUAÇÕES DO MÉTODO DA TRIANGULAÇÃO ... . 32

3.2 AVALIAÇÃO DOS ERROS ATRAVÉS DE SIMULAÇÃO NUMÉRICA ... 3 5 4. CÁLCULO DAS COORDENADAS TRIDIRECIONAIS DE UM PONTO A PARTIR DAS IMAGENS DIGITALIZADAS .... ... 3 9 4.1 METODOLOGIA DE MEDIÇÃO DE COORDENADAS E SEU MODELO MATEMÁTICO ... 3 9 4.1.1 Direcionamento espacial dos CS-Li ... ... 42

4.1.2 Transformação das coordenadas dos pontos referenciados no CS-Li para o CS-G . . ... 4 9 4.1.3 Determinação das retas para a triangulação tridimensional ... ... 50

4.2 SOLUÇÃO COMPUTACIONAL ... ... 52

5. ANÁLISE DE ERROS DO ICMS POR SIMULAÇÃO NUMÉRICA ... 54

5.1 MODELO DE SIMULAÇÃO ADOTADO ... ... ... 54

5.2 CARACTERIZAÇÃO ESPACIAL DOS SISTEMAS SIMULADOS .... 57

5.3 ANÁLISE DOS RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES ... 61

6 . TRABALHO EXPERIMENTAL ... 67

6.1 MONTAGEM DO EXPERIMENTO E MEDIÇÃO DOS PARÂMETROS DO ICMS E DOS PONTOS NAS IMAGENS .... ... 6 8 6 .2 PROCESSAMENTO DOS DADOS DE ENTRADA . . . ... ... 74

6.3 ANÁLISE DOS RESULTADOS ... ... 74

7 . CONCLUSÕES ... ... ... 78

RESUMO

A tecnologia de m e dição por coordenadas, teve um grande a va n ç o com a incorporação d o computador às máqui n as de m e d i ç ã o por coordenadas. Estas, usualmente se utili za m de a palpadores eletro- m ec â ni co s no p r ocesso de localização/medição das c o o r de n ad as de pontos. 0 surgimento dos sistemas de d ig italização de imagens, proporcionou uma outra -forma de localizar pontos e medir suas c o o r d e n a d a s .

O sistema de medição de coordenadas por imagens, efetua a m e dição das coord e na da s de pontos sobre um objeto, a partir de suas imagens digita l iz a da s e de parâmetros do sistema, e e mp r eg a n d o a m etodo lo gi a da triangulação tridimensional.

C aract er iz a- se o sistema em três módulos operacionais m ód u lo de a qu i si çã o de imagens, m ó dulo de d ig it al i za çã o de imagens e m odulo de p r o c es sa m en to de imagens. Para cada m o du lo sao c a ra c t er iz ad as / mo de la da s suas -fontes de erros e influência d estas nos erros das coordenadas dos pontos medidos.

E fe t uo u- se o d esenvolvimento do m od e l o matem át ic o para o c a lculo das c o or de na da s dos pontos em q uestão e, a partir d este m od el o e la b o ro u -s e um programa para computador.

A análise de erros do sistema de m ed i çã o de c oordenadas por imagens é efetuada através de simulações numéricas, que utilizam o p ro gr am a

de computador para o cálculo das coordenadas, de pontos selecionados, e dispersões destas.

É realizado um trabalho experimental, onde o sistema utiliza uma máquina fotográfica como módulo de aquisição de imagens. Os resultados experimentais comprovaram a potencialidade do sistema e do modelo de simulações numéricas utilizado.

ABSTRACT

The coordinate measuring technology, has had a considerable improvement with the incorporation of computer to the coordinate measuring machines. These machines, usually utilize electro mechanical touchers in order to localize/measure point coordinates. The image digitalization systems appearance, has been promoting a new option to localize and measure the point coordinates.

The image coordinate measuring system, realizes the coordinate measurings of points in an object, using its digitalized images and other system parameters, and applies the tridimentional triangulation method.

This system is divided into three operational modules, as follow : image acquisition module or camera, image digitizing module and image processing module. The error sources of each module and its influences at the measured point coordinates are analyzed.

The mathematical model for any point tridirectiona1 coordinate calculation was developed and from this model it was elaborated a software in Pascal programming language.

The image coordinate measuring system error analysis was made by numerical simulations, that used the developed software for the calculation of selected points coordinates and its dispersion.

It was realized an experimental work, where the system setup utilized a photographic machine as an image acquisition module. The experimental results have confirmed the system capability and the reliability of those results reached by utilizing the proposed numerical simulations method.

V

GLOSStíRIO

CCD Charge Coupled Device

CMM Coordinate Measuring Mach i ne CS-G Coordinate System General CS-L Coordinate System Loca 1 El Error of Linearity

IAM Image Acquisition Module

ICMS Image Coordinate Measuring System

IDM Image Digitizing Module

IPM Image Processing M o d u 1e

MTF Modulation Transfer Funct ion

Dispositivo de Carga Assoe iada

Máquina de Medição por Coordenadas Sistema de Coordenadas Geral Sistema de Coordenadas Local Erro de Linearidade Módulo de Aquisição de Imagens Sistema de Medição de Coordenadas por Imagens

Módulo de Digitalização de Imagens Módulo de Processamento de Imagens Função Transferencia de Modulação

1

i. INTRODUÇÃO

O aper-feiçoamento tecnológico dos sistemas mecânicos vem a exigir uma melhor performance dos sistemas de medição no controle de qualidade daqueles e/ou seus módulos. Com o advento dos sistemas de medição por coordenadas, tornou-se mais fácil e confiável o controle dimensional de peças com geometrias complexas. Os sistemas de medição por coordenadas vem sofrendo um processo de transformação tecnológica no sentido de se obter melhores características metrológicas e o máximo grau de automação no processo de medição.

O surgimento das câmeras de digitalização de imagens abre novas perspectivas à evolução dos sistemas de medição por coordenadas. Estes instrumentos possibilitam a medição de coordenadas bidirecionais de um ponto em uma imagem, sobre o plano de projeção, de uma forma rápida e automática. Isto fornece um ponto de partida para a medição das coordenadas de um ponto qualquer num sistema tridimensional de coordenadas. Trata-se de uma técnica inovadora e bastante promissora para a evolução dos sistemas de medição por coordenadas.

1.1 MEDIÇHO POR COORDENADAS

O processo de medição por coordenadas caracteriza-se pela medição das coordenadas de pontos sobre uma peça e a partir destas

2

d et e rm in a- se as dimensões de elementos geomét r ic o s da peca. A medição das coorde na d as de pontos que c ar ac t er i z a m um de t er m in ad o el e mento geométrico, ou p o sição deste numa peca, pode ser vista como uma d i scretização grosseira deste. A partir das informações desta discretização pode-se caracterizar estes e l em entos g eomét ri co s num espaco tridimensional.

Os p ro cessos clássicos de medição de pecas de geometria complexa (fig. l.i), u ti li z a m —se da técnica de m e dição por c o or de na da s u sando sistemas convencionais de medição, ou seja: escalas, paquímetros, micrômetros, medidores difere n ci ai s e instrumentos auxiliares para estas medições. Nestes processos, os corpos a serem medidos são posicionados sobre uma s uperfície p adrão ou desempeno, e todas as medições de interesse são realizadas segundo um sistema de referência que tem como um dos p l anos coorde n ad os aquela superfície / i/. Trata-se de um p r ocesso moroso, c a ns at iv o e cujos resultados das medições depende sobre m a neira das m e dições r ealizadas pelo metrologista e da q ua lidade dos instrumentos de m e dição utilizados.

\

E x is t em o utros sistemas de medição por coorde na da s que se utilizam de um feixe de luz na localização e medição das coordenadas de

3

pontos sobre uma peça / 3 / • A trian g ul aç ão tridimensional com t eo d olito laser é um exemplo de um sistema deste tipo <-fig. i.3).

F i gura i.i - Medição por c oordenadas com instrumentação convencional

Í.S OBJET I VO S DO TRABALHO

0 presente trabalho tem por o b jetivo a apresentação e a v a l ia çã o de uma m e to do lo g ia /s is te ma de medição tridirecional de c o o r de n ad as de pontos através da digitalização da imagem de um corpo qualquer.

Figura 1.2 - Medição em m á q u i n a de medição por c o o r d e n a d a s ( c omputadorizada objeto teodoli to J aser --- ---- D módulo de process. de dados

5

Nesta metodologia, p r etende-se utilizar do método da t ri angulação tridimensional na d e terminação das c oordenadas de um ponto q u a l q u e r .

Este m étodo permite a d et er mi na çã o das coordenadas do ponto repres e nt at i vo do cruza m en to de duas ou mais retas. Para a d et e rm in aç ão das retas necess á ri as ao p r ocesso da t r i a ng ul aç ão p re t en de ~s e utilizar de c â meras de d i gi ta li za çã o d e imagens que d ef inem estas retas a partir dos feixes de p ro jeção do p o nt o cujas c oo r de na da s devem ser medidas.

A aprese nt aç ão e avaliação da metodo l og ia /s is te ma em q ue st ã o é realizada nos seguintes passos:

- r evisão bibliográfica sobre sistemas de d i g i ta li za çã o de imagens;

- a p resentação de uma metodologia para a solução da t r ia ng ul aç ã o tridimensional;

- desen vo lv im en to s analíticos n ecessários para a d e t e rm in aç ão das retas envolvidas na triangulação tridimensional;

- análise dos erros de cada m ódulo que compõem o sistema de m edição e dos resultados das medições;

- trabalho experimental.

Objeti v a- s e também obter um sistema de medição de c o ordenadas com as seguintes características:

- rápido p ro cesso de medição;

- result a do s com p equenos erros de medição; - faixa de operação flexível;

6

- medições sem contato e automáticas; - possibilidade de medições em campo;

- aplicável ao controle dimensional em processos automáticos de fabricação;

- facilidade operacional.

O desenvolvimento de uma estação de medição de coordenadas tridirecionais através da digitalização de imagens, como a que este trabalho se objetiva a apresentar, proporcionará mais um sistema de medição de coordenadas de ótimas características metrológicas e com uma vasta gama de aplicações.

7

2. 0 S I STEMA DE MEDIÇ&O DE COORDE N AD AS T R I D I R E C I O N A IS POR D I GI TA LI ZA ÇB O DE IMAGENS E SEUS M Ó DULOS C O MPONENTES

O Sistema de Medição de C oordenadas por Imagens (ICMS) é dividido em três módulos -funcionais (figs 2.1 e 2.2) :

a) 0 Módulo de Aquisição de Imagens (IAM) é responsável pela aquisição da imagem de um objeto, projetando-a através de um c on junto de lentes no plano de projeção.

b) O Módulo de Digitalização de Imagens (IDM) efetua a discre t iz a çã o (digitalização) das imagens adquiridas pelos IAM, p o s s i b i 1 itando a determinação das coordenadas (x,y) de qualquer ponto projetado no plano de projeção do IAM.

c) 0 M ódulo de Processamento de Imagens (IPM) e fe t ua os p roces sa me nt os necessários para o c á lculo das c oo rd en ad a s t ridir ec io na is de um ponto P qualquer no espaço com r elação a um s is t em a de c oordenadas p ré -d ef i ni do (fig 2.2).

Nos itens subsequentes, faz-se uma análise de cada m ódulo c o mp on e nt e do ICMS, sendo enfocadas suas p rincipais fontes de erros e carac t e rí st ic as operacionais.

Além dos erros inerentes a cada m ó du lo c onsti t ui n te do ICMS, existe um e r ro d evido a propagação não retilinea dos feixes luminosos no meio. Este erro se deve a m u danças no indice de refração d o meio em que o feixe luminoso se propaga, contudo, este n ã o será aqui considerado, visto que o ICMS será consi de ra do como o pe ra n d o em ambientes sem grandes g radientes de indices de refração. Desta

8

Modulo de

Aquis ição

de Imagem

Modulo

de

Digitalização

de

Imagem

Modulo

de

Processamento

de

Imagem

ICMS

forma, o caminho óptico do feixe de p r o j e ç ã o será C o nsideraC|0 como ret i 1 í n e o .

9

Figura S.E — ICMS c on st it uí do por 3 IAM,

2.1 M ÓDULO DE A Q U ISIÇÃO DA IMAGEM (IAM)

O IAM ou câmera, é c on st it uí do (figs 2.3 e 2.4) b a si ca me nt e por um c on j u nt o óptico (objetiva), câmara e scura e p l an o de p r oj eç ão da imagem. Este módulo efetua a c a pt aç ão /a qu is iç ão dos feixes luminosos, provenientes de um objeto, cujo c a mi nh o óptico esteja c o nt id a no cone de captação da objetiva do IAM (fig 2.3). Estes feixes incidem, desta forma, no plano de p ro je çã o da imagem dos IAM (fig 2.5). Na sequência são c a ra cterizados os e le mentos que compõem o IAM.

camara escura

Figura 2.3 - Projeção da imagem em um IAM

sensor e plano

de projeção

conjun

lentes

ii

Figura S .5 - Projeção de uma imagem no p lano de projeção

S.l.i Conjunto óptico do IAM

A q ua l id ad e da imagem projetada no plano de projeção da câmera d ep e n d e sobremaneira da qualidade da o b je ti va utilizada. A per-formance de uma objetiva /5, 15,19, 20, SI f 22/ pode ser c aract er iz ad a por uma série de p arâmetros MTF, linearidade, aberrações, -função p'(Z) e n úmero -f, que na sequência são abordados:

a) A F unção Trans-ferência de Modul a çã o (MTF) /4,8,16/ é o p a râ metro que melhor caracteriza a performance de um conjunto óptico, e sp e cialmente em termos de resolução. 0 valor ideal de MTF, n ormalizada para uma frequência espacial igual a zero, é igual

ia

podra-se levantar o gráficò do MTF versus frequencia espacial - em linhas/mm (fig 2.6). 0 MTF é utilizado também para descrever a resolução de -filmes fotográficos e outros sensores que efetuam

a aquisição de imagens, sendo um parâmetro importante na ca r ac te ri za çã o da resolução destes elementos.

linhas/m m

Figura 2.6 - Curva tipica de MTF

b) O E r r o de L inearidade (El) no p r oc es so de projeção de uma imagem, pode ser caracterizado a partir das equações da óptica paraxial /5,16/. Num conjunto óptico, este erro é c a racterizado pela variação da magnificação (M) de uma imagem para diferentes arranjos espaciais objeto/câmera.

13

A seguir apresenta-sé o equacionamenta que permite a determinação da posição da imagem com relação a posição do objeto gerador desta (fig S.7), segundo a óptica geométrica, e reduzindo-se o conjunto óptico para uma lente e-fetiva

1 1 + 1 / P P* (E. 1) / • P P' = _{p - / (S.S)} M = - P ’ = - ^ (E.3) P CP ~

Como a posição de uma imagem focalizada pode ser calculada pelas equações que regem a óptica geométrica, tem-se pelo princípio de Scheimpfug /41/ P t gQ = , o t (E . 4) de E . E e 2.4 obtém-se c p - /;> ... ... ' _ t g6 = ---- —— — o t ga ( E . 5 ) /

/

no»

da figura E.7 obtém-se

l»sin& l’ ( E . é>) p ’+ l «COS0 p ’ <E ,7) logo, p ’ o i (s 8 ) e? p' + l ® cosO 1> = /cij> = *cl;> (e 9)

Figura 2.7 - Geometria da projeção no p l an o de p ro je çã o de um IAM e s e gu nd o a óptica paraxial

A partir da equação 2.B obtém-se, como exemplo, os gráficas (fig E . 8) 1' versus L para duas con-figuraçõeS distintas, (a) e <b), do sistema o b jeto/imagem (-fig E . 7). G El pode ser d ef inido como

o máximo desvio entre a c u rv a g(L) e a reta r(L) ajustada aos pontos desta curva / £ 7 / . Para o ajuste desta reta de refer ê nc ia u tiliza-se o método dos mínimos quadrados. Para as c o nf ig u ra çõ es (a) e <b), apresenta-se também os gráficos da diferença e ntre as curvas g(L) e r(L) (fig E . 9).

c) As aberrações causam imperfeições nas imagens projetadas. C o m os a v anços da óptica geométrica, estas aberrações foram corrig i da s de modo a causarem defeitos menores que os grãos dos filmes fo t o g r á f icos mais comuns, portanto, causando erros desprezíveis. d) A função ponto de o bservação p'(Z), onde Z é a d is tancia do

p l an o de projeção ao objeto, define a distância entre o p l an o de p r oj eç ão da imagem e o E° p l an o principal da objetiva, pode ser d e duzida a partir da utiliz a çã o de equações obtidas da óptica geomé t ri ca / 3 9 / .

g(L) nun --- 90 a 5 ---8 \ „ ^ — — a 3 ' 2 ^ 1 ■ 70 7 Ss*v f = 50 m m --- -- p - 2000 m m p = 10 00 m m 0 o o o c CD tO 'T OJ 1 1 1 1 _j -2 . -3 . -4 . -5 . *- *o o o o ar to cd

Figura S.8 - Curvas de magnificação imagem/objeto

g(L)-r(L) nun

Figura S.9 - Di-ferença entre a curva de magn i-f icação g(L) e a reta ajustada r(L)

A seguir a p resenta-se a fórmula /39/ desta função para o sistema, óptico, por exemplo, de uma objetiva de m á quina fotográfica

e?) Q número de abertura <f#) é um p ar âm et ro importante na espec i fi ca çã o de uma objetiva, que é caract e ri za d o pela razão entre a distância focal e o d i âmetro da mesma. Um n ú m er o f pe queno é desejável visto que isto caract er iz a uma menor atenuação da luz captada pela objetiva, p o ss ib il i ta nd o com isto uma maior flexibilidade de operação da câmera (IAM), e sp e cialmente em ambientes com menor nível de iluminação.

Um outro parâmetro importante, o defocus /2i/, c ar ac te r iz ad o pela ineficiente focalização de um objeto, é uma outra fonte de erros, ca r acterizada pela falta de nitidez da imagem projetada. 0 plano onde a imagem é focalizada, u s ua lm en t e não é coinci de nt e com o plano de projeção (fig 2.7).

Em depen dê nc ia da abertura do diafragma da objetiva, e x is te o que se conhece por "profundidade de foco" ou "campo focal". Esta p r o f u nd id ad e de foco é inversamente proporcional a a be rtura do d i af ra gm a e deve ser s uficiente para que todo o o bjeto esteja a p ar en te me nt e focalizado no plano de p r ojeção do IAM. Isto se deve ao fato de que, ao se diminuir a q uantidade de feixes que a t in ge m o p l a n o de projeção, c onsegue-se uma melhor nitidez doe p o ntos da imagem que a priori não estão c o n tidos no p l an o de focalização desta.

• / . Z

p ’ c z ; > = CS. 103

onde i — distância entre os planos princi pa is das lentes f - distância focal do sistema óptico

quando Z >> f, pode-se aproximar 2.11 para

17

2.1.2 Cârnara escura

Na câmara escura do IAM, localiza-se o plano onde é p r o j et ad a a imagem captada pela objetiva.

Esta câmara tem por -função evitar a in-fi 1 tração de feixes luminosos que não aqueles que p assam pela objetiva do IAM, proporcionar o alinhamento entre o eixo óptico da o b jetiva e o vetor normal do plano de projeção e alojar os m e ca ni sm os /c ir cu it os de medição da luminosidade (fotometria) que chega ao p l a n o de p rojeção e de r e g u l a ge m do tempo de exposição desta imagem, entre O u t r a s .

G ponto de intersecção do eixo óptico com o plano de p ro je ç ão (fig 2.10) define a origem do sistema de referê nc ia de cada IAM. Um erro na d e terminação deste ponto leva ao a pa recimento de erros sistemáticos nos valores das c oo rd en ad as x e y, expre ss os pelos parâme t ro s Esx e E s y , respectivamente.

0 ângulo ideal entre o vetor eixo ó ptico e o vetpir normal ao plano de p ro je çã o é igual a 0o , uma não coinci d ên ci a entre estes v e tores leva a erros sistemáticos de c osseno na m edição das c o or de na da s x e y, expressos pelos parâmetros Ecx e Ecy, respectivamente.

Da figura 2.10 tem-se que :

Q - angulo de incidência de um feixe luminoso;

Aa - erro angular no plano, com referê nc ia ao eixo Xj

Ap - erro angular no plano, com referê nc ia ao eixo Y; xi e yi - c oordenadas <x,y> no sensor qdo Acx e Aft- O; xm e ym - coord en a da s (x,y> no sensor q do A a e A/?# 0; v - vetor eixo óptico;

1B

vp — vetor normal ao plano de projeçaoi c — c entro ideal do plano de projeção;

c' — intersecção entre v e o plano do sensor; Es m e Esy - erro na p osição do c entro do s e n so r ._

Figura S . 10 - Erros c a us ad os pelo p os ic io n a m en t o incorreto do p la no de projeção com relação ao e i x o

óptico

N e st e caso, tem-se como erros de c o sseno :

y i = y m ^ C ç o s à f t + sináfi ° t g 9J> xi = xrft®CcosAct + s i n A a »tgQ}

o n d e ,

E x = E c x + E s x E y = E c y + E s y

19

logo,

E c y = y m ° C 1 -(coshft + sinÁft *tg9)S> Ecx = xrooC 1 -(cosàa + sinAa °tg9}J>

• para A a = A/3 = O, t e m —s© E c x = £ c y = O.

Logo, define-se o erro sistemático total (Ex.Ey) na medição das coordenadas dos pontos projetados, causada pela posição incorreta do plano de projeção em relação ao eixo óptico da objetiva

Ex = Ecx + Esx Ey = Ecy + Esy

2.2 MÓDULO DE DIGITALIZAÇÃO DE IMAGENS ( IDM)

O IDM efetua a digitalização de imagens /35,3&/, o que fornece as informações a medição das coordenadas (x,y) de qualquer ponto projetado no plano de projeção. A maneira com que a imagem é digitalizada /35,3í>/ pelo IDM, depende basicamente do tipo de sensor utilizado. O plano de projeção dá imagem (fig S .1 1 ) é usualmente corporificado pelo plano do sensor.

2.H.l Sensores de aquisição de imagens

Definem-se aqui dois tipos de sensores de aquisição de imagens:

a) ü Fotosensor de Carga Associada (CCD), que transforma a energia luminosa dos feixes luminosos incidentes em niveis proporcionais de tensão elétrica (fig 2 .1 2).

Estes sensores funcionam continuamente, ou seja, são controlados por um circuito que efetua sua varredura (scanning), de tempos em tempos, em função da intensidade média de luz incidente.

sensor ENTRADA

(imagem projetada)

proj eçao

Figura S . il - I DM com sensor c or po rificando o plano de proj eçao CCD

imagem

digital

objeto

pixel

Figura S .15 - Imagem projetada e d igitalizada em um sensor CCD

21

b) Os -filmes -fotográficos, r e gi st r am p er ma ne nt em en te a imagem sobre eles p r oj etada pela, t ra ns fo rm aç ão de e le mentos quími co s s en s íveis a luz, como os sais de prata, por isâo são d e única e x p o s i ç ã o .

A q u al id ad e de uma imagem digitalizada, d ep en de b a s i ca me n te da r e so lução e da capacidade de distinção dos niveis de intensidade

luminosa do sensor do IDM (fig 2.13)..

imagem projetada

sobre o plano

registro em um

F i gura 2.13 - Caracterização da r e s o lu ç ã o nos sensores CCD e filme f otográfico

Nos C C D s , a menor u n idade sensora é conhecida por pixel e g e ra lm en te possui forma retangular. O t amanho da menor aresta de um pixel, graças as tecnologias de m i n i a t u r i z a ç ã o fo t o q u í m i c a , pode cheçjar a ordem de 5 um /13,i4/.

ea

Nos filmes fotográficos esta unidade sensora é conhecida por grão e seu tamanho é caracterizado pelo número ISO do -filme.

Num sensor, quanto maior o número de unidades sensoras e maior a capacidade que estas possuem em distinguir niveis de intensidade luminosa, também denominados niveis de cinza (fig E.Í4), maior será a capacidade deste em distinguir as imagens em termos de -formas e tons .

512 x 512

64 x 64

32 x 32

64 niveis

(512 x 512)

8 niveis

2 níveis

(512 x 512)

(512 x 512)

Figura 2.14 - Imagens digitalizadas em CCDs com diferentes níveis de cinza e unidades sensoras (pixel)

03

A d ig it al iz aç ão de imagens, utiliz an do como sensor um filme fotográfico, pode ser realizada com difere n te s recursos

- p r ojeção da imagem registrada, sobre uma mesa digita li z ad or a /43/ e posterior m edição manual das coord en ad a s (x ,y ) dos pontos de interesse nesta;

- m e dição das coordenadas dos pontos de interesse, d ir et am en te sobre o filme onde esta registrada a imagem, utilizando, por exemplo, um microscópio de medição;

p r ojeção da imagem registrada, sobre a mesa de uma plota d or a <fig 2.15) e posterior varredura desta por um fotodetector adaptado em uma pena / 4 S / .

projetor diapositiv conversor A/D lente de p r o jeção fotosensor 71 PC imagem p r o j etada L

F igura S . 15 - Digitalização de uma imagem projetada sobre a mesa de uma plotadora

E4

Para os IDMs que u ti lizam de s e nsores do tipo CCD, a d ig it a li za çã o é efetu a da por circuitos eletrô ni co s que e fe tuam a c on versão analógica/digital das informações c on tidas em cada pixel / 1 3 , ±4/, e as medições das coordenadassão e fe t uadas por um cursor que é posici o na do sobre o ponto de interesse, na tela do monitor acoplado a câmera.

No proce ss o de d i gitalização de uma imagem, os sensores do tipo CCD a presentam uma grande vantagem sobre os filmes fotográficos. Enqua n to o CCD efetua _* a d i gi ta li z aç ão de imagens p r a t ic am en te em tempo real, os filmes fotográficos n ec es si ta m de um tempo b asta n te grande que envolve revelação e leitura das c oordenadas d o s pontos projetados, num processo b a stante moroso. Além disto, os IDMs que se u t ilizam de sensores CCD p o de m ser acoplados a u ni dades de chaveamento que permitem a u t il iz a çã o de um único c i rc ui to de tratamento das informações d ig it al iz ad as n estes CCDs (figs S.i e a . ü >.

S . 3 M ÓDULO DE PROCESSAMENTO DE IMAGENS (IPM)

Este módulo recebe as informações obtidas das imagens digita l iz a da s /34/ pelo IDM, e com outros dados suplementares de entrada , processa /34/ estas informações u ti lizando-se de um software especifico, e fornece como saídas os resultados das c o ordenadas t ri d irecionais de pontos P selecionados no objeto.

No caso de utilizar um IDM com sensor do tipo CCD, que forneça um grande n úmero de informações digitais, o IPM deve ser c o ns ti t uí do por um microcomputador com grande velocidade de p ro ce s sa me nt o (com

E5

coprocessador aritmético), grande c ap ac id ad e de m e mó ri a e per i fér icos para apresentação dos result a do s da m e dição plotadora., impressora e vídeo.

Na utiliz aç ão de IDM com sensor do tipo -filme fotográfico, onde são medidas somente as c o ordenadas <x,y> dos p ontos de interese regist r ad o s neste, pode-se utilizar um microcomputador de menor, v elocidade de p ro ce ss am en to e capacidade de memória, contudo, é

interesante que este possua um coproceseador a ritmético para que sejam reduzidos ao m áximo os erros de t r un ca me nt o nos cálculos.

Os resultados das medições são a pr es en ta do s em t ermos de coorde n ad a s t ri di recionais (X,Y,Z> dos p on to s P medidos em vários ciclos, acompanhadas da incerteza da m edição / 2 7 / .

S . 4 DETERMINAÇSO DE ALGUNS P ARSMETROS DO ICMS

Os erros nas medições efetuadas pelo ICM5 são o casionados pelos erros do IAM e do IDM, visto que o IPM efetüa s om en t e o p ro c essamento das informações levantadas por estes.

Em virtude da c o mplexidade da d e terminação dos erros do ICMS pela teoria da propagação de erros /S7/, estes s ão obtidos a partir de simulações numéricas (capítulo 5).

Na s eq uência a p resenta-se a metodologia de o b te nç ão da -função p'(Z) e dos erros sistemáticos (Ex,Ey), e o e xe mp lo da o b te nç ão experimental da função p'(Z) para a câmera que será utili za d a no trabalho experimental.

E . 4.1 M e t o d o l o g i a para obtenção da função p'(Z)

No e xp er im en to para o levantamento da função p'(Z) - (fig S . 16), a câmera do ICMS é fixada a uma d i st ância Z (distância o b j e to /p l an o de projeção) de um reticulado padrão. Esta deve ser fixada de tal forma que o plano do reticulado fique o mais perpendicular possível em r e lação ao eixo óptico da objetiva, evitan d o- se assim erros de c o s s e n o .

Para alguns valores de Z, dentro da faixa de operação em que a câmera será utilizada, e fe tua-se uma ou mais aquisições da imagem do reticulado.

87

Na monta ge m experimental são utilizados - suporte de fixação da câmera*

- trilho de -fixação do suporte da camera;

- reticulado padrão (quadriculada de d im en sõ es conhecidas); - escala ou outro sistema de m e dição dimensional.

A seguir, apresenta-se o p r ocedimento algébrico para a o bt en çã o experimental da função p\(Z) (fig 8.17)

- d etermina-se a distância entre dois pontos quaisquer no reticulado;

- d e termina-se a distância entre estes mesmos pontos, proje ta do s no plano de projeção;

~ procede-se ao cálculo de p '( Z> — (fig S . 16), usando a e q ua ç ão que segue

p 1

(Z)

ab .

Z

£8

S 4.2 Metodologia para a d e terminação dos erros sistemáticos

Para a obtenção dos erros sistemáticos (Ex,Ey), determ in a- se te o ricamente as coordenadas (x,y) de um ponto qualquer p ro jetado e efetua-se a medição das c oordenadas deste mesmo ponto com relação ao centro geométrico do plano de projeção do IAM. A diferença entre a média de várias medições efetuadas e o valor teórico fornecerá os valores de Ex e E y .

• *,*

2.4.3 Exemplo de um e xperimento para a d et er mi n aç ão da função p ’(Z)

Como reticulado padrão, é utilizado um reticulado, desenhado numa folha de trariparência por uma plotadora /38/ com um erro m áximo de + /-- 85 um, segundo manual de instruções do fabricante,

R e al i z ou -s e o levantamento da função p'(Z> d a objetiva de uma câmera fotográfica dentro da faixa de o p er aç ão em que esta será u ti l izada no trabalho experimental, (distância Z variando de 700 a i S O O m m ) . Nesta faixa de operação, regist r ou -s e a imagem do re t ic ul a d o padrão em filme diapositivo, para três valores de Z

(700, 1000 e 1160 mm).

Para cada posição Z (distância plano de projeção/objeto), foram m ádidos alguns vetores sobre o diapos i ti vo r e ve la d o (com a ux íl i o de um m i cr os c óp io de medição), e sobre o reticu la d o padrão.

A partir destas medições (fig S . 18), e u t il izando-se a equação S . 12, obteve-se os valores p'(Z> para cada vetor, e calculou-se as médias e dispersões (fig 2.19).

29

dist.obj./inagen (rara) 700 1000 1160 vet no ret (rara) no diopositivo (rara)

AC 83.74 7.03 4.69 3.97 JC 118.76 10.08 6.72 5.69 IC 85.20 7.23 4.82 <53 CO NC 118.80 10.06 6.71 5.68 EC 82.80 7.00 4.68 3.95 nc 118.95 10.06 6.73 5.68 FC 85.40 7.23 4.84 4.09 QC 118.90 10.08 6.74 5.69

Figura 2.18 - Vetores medidos no reticulado padrão e no sensor do IDM Nydist.obj/inageni (nn) vetores 700 1000 1160 AC 54.78 53.64 53.05 JC 54.77 53.55 53.04 IC 54.75 53.54 53.01 NC 54.65 53.46 52.93 EC 54,57 53.44 52.82 MC 54.58 53.55 52.87 FC 54.64 53.63 53.02 QC 54.71 53.65 52.98 flÊDIA 54.68 53.56 52.97 DIK95JO 0.19 0.19 0.19

30

Pelos pontos calcul ad os p'(Z), ajusto u- se uma -funçrão do tipo p ’<Z) = A + B/Z, que caracteriza o compor ta me nt o de sistemas ópticos segundo a equação 2.11

Com a função experimental p'(Z>, e l a bo r o u -s e um gráfico com a dispersão da medição (fig 2.20) , para v a lores de Z entre 700 e 1EOO mm. Ainda na figura 2.20, traçaram-se dois gráficos t e ór ic os da função p ' (Z ) obtida por ajuste n u mé ri co segundo a equação 2.11, obtendo-se um parâmetro de compa ra çã o e nt re o c om portamento das curvas teóricas e a experimental.

Observ o u- se um compo rt am en to semelh a nt e entre estas curvas, o que vem a confirmar a validade dos resultados experimentais.

P ' ( Z ) nun

Z- distância objeto/plano de projeção (na)

31

3. M ÉT OD O DA TRIANG UL AÇ ÃO TRIDIMENSIONAL

A triang ul aç ã o tridimencional é um m étodo que p er mi te a d e te rm in aç ão das c oordenadas de um ponto, caract e ri za do pela

intersecção de duas ou mais retas, num espaço tridimensional (3D).

A a pl icação do método da t ri angulação tem sido intensificada nos ú l timos anos, e sp ecialmente dentro da metrologia óptica / 1 0 , 18,17,18/, com o surgim en t o de sistemas de discre ti za çã o de

imagens.

0 m é todo básico utilizado /9,11/, tem uma -formulação b as ea da no m étodo dos mínimos quadrados, para a s ol uç ão do p ro b le ma da t riang ul aç ão tridimensional, e pode ser aplic ad o t âmbém no c a s o das retas envolvidas não se interseccionarem no e spaço 3D, ou seja, serem reversas.'

A seguir, apresenta-se uma breve r evisão sobre o m é t od o de trian g ul aç ão tridimensional a ser u ti li za do na d e te rm in aç ão das c oo r de na da s de um ponto P num e spaço 3D. Efetua m- se t ambém s i mu la çõ es numéricas para a avaliação dos erros inerentes ao p ro c e ss o de localização de um ponto, q ua nd o e xi st e m e r ro s nos p ar â me t ro s que caract er iz am as retas envolvidas na triang u la çã o 3D.

32

3.1 E QU AÇ Õ ES Dü MÉTODO DE T R IANGULAÇKO

A solução do problema da triang u la çã o tridimensional, leva á deter m in aç ão das coordenadas do p o nt o repre se nt at iv o do cruzamento, reverso ou não, de duas ou mais retas.

Num e s pa ço bidimensional (SD), duas retas <rl e rS) de coef icientes angular (01 fe 08) diferentes, p os su em um ponto de intersecção P (X P ,Y P ) - (fig 3.1) bem definido e facilmente determinável, da seguinte forma

X P

₌

_{+ X •}

_z

YP =

₊

_•

CYBz ~ YBi.5 »c o se* - CXB* - XBi2 »sinõi.

K =

---s i n C O i - 02}

Quando extende-se o problema da triangulação para um espaço 3D, a menos de se tratar de um caso ideal, as duas ou mais retas envolvidas, não terão um ponto de intersecção, por serem reversas.

Nos casos em que as N retas se cru za m reversamente, determina-se, com bons resultados, as coordenadas do ponto representativo do cruzam ent o reverso, aplicando o método dos mínimos quadrados

(fig 3.2) / 9 / .

O equaci ona me nto do método de triangulação' tridimensional, pelo método dos mínimos quadrados, segue os seguintes passos de cálculo: a) det er min aç ão analítica da distância (di) de um ponto

P(XP,YP,ZP) a uma reta (ri), a partir dos parâmetros que carac te riz am esta (vetor direção a i ( A X i ,A Y i ,A Z i ) e ponto B i ( B X i , B Y i , B Z i ) ) j

33

Figura 3.1 - Determinação das coordenadas de um ponto P pela triangulação bidimensional

Figura 3.2 - Determinação das coordenadas de um ponto P pela triangulação tridimensional

34

b) determinação analítica do somatório quadrático (D) das distancias di das N retas ao ponto arbitrado ;

N

i=± (3.1)

c) determinação do ponto de mínimo D, com relação as coordenadas (X ,Y ,Z ), obtido quando iguala-se a zero a primeira derivada parcial de D, com relação a cada coordenada no espaço 3D V

a

ax

a d

= o

dZ (3.2)

d) organização das equações obtidas a partir de 3.2, na forma de matriz coeficiente CS], matriz coordenada do ponto CP3 e matriz solução CR3 . A solução deste sistema fornece as coordenadas do ponto P representativo do cruzamento reverso. Analiticamente, a partir de 3.2, tem-se : CS3*CP3 = CR3 onde CS3 = EAXi2 - N £AXv.AYi

£AXv.AZi

EAXv

.AYv

EAXv

.AZv

£AYi* - N EAYi . AZv EAYv . AZv £AZi* - N

(3.3) (3.4) CP3 = XP YP ZP (3.5) [R3 =

EABv . AX\, - BXi

£AB»..AYi - BYi

J]ABv . AZv ” BZi (3.6)

logo, obtem-se a matriz solução CP3 como segue

3.H AVALIACSO DOS ERROS ATRAVÉS DE S I MU LA Ç S O NUMÉRICA

A simulação numérica objetiva a a v a liação da influência dos erros aleatórios dos parâmetros que c ar ac te ri z am uma reta <ai e Bi), nos erros das coordenadas do ponto P(XP,YP,ZP), calculadas pelo método da t r iangulação tridimensional.

Para as simulações em questão, utili z ou -s e uma c onfiguração espacial com N retas que se interceptam, idealmente, em um ponto P H f i g 3.3), estimando-se um erro máximo (Em a x> para os parâmetros que caract er iz am as retas e calcu l ou -s e as coordenadas do ponto P, em vários ciclos, pelo método da t riangulação tridimensional. Por simplicidade, adotou-se o ponto de intersecção PI das N retas como sendo a origem do C S - B .

35

Figura 3 *3 - Intersepção de q u a tr o r etas na origem do sistema de c oordenadas

36

Os erros (E) são obtidos a partir de números randômicos da seguinte maneira:

E = Em«.* . (1 — (Nirand + N2rand>) (3.9) onde :

Nirand e NSrand são números randômicos g er ados em computador. Com este procedimento, obtém-se os valores do E entre +/- E„ljr»«, segundo uma d istribuição normal.

Foram realizadas s imulações para dois s i stemas distintos, a partir de quatro retas que se interceptam idealmente em um ponto.

Os dados de entrada que c a racterizam as retas utilizadas nas simulações foram os seguintes:

a) sistema .1

vetor direção (ai) ponto (Bi) retai: A i (S O O ,E 0 0 ,-200) , B I (S OO ,2 0 0 ,-SOO) retaE: A S (200,200,E 0 0 ) , B S (S 0 0 ,200,200) reta3: A 3 (200,-200,-200), B 3 (200,-200,-200) reta4: A4(S00,-200,200) , B 4 (200,-200,200) ponto de intersecção: P I (0,0,0) b) sistema S

vetor direção (ai) ponto (Bi) retal A l (200, 0 , 0 ) B I (200, 0 ,0 ) reta2 A S (0, 200 , 0 ) B2(0, 200 , 0) reta3 A 3 (0, 0 , -SOO) , B3(0, 0 ,--200) reta4 A 4 (0, 0 , 200 ) B4 (0, 0 , 200) ponto de intersecção: P I (0,0,0)

37

As simulações foram efetuadas utilizando-se um programa de computador específico, cujas informações de entrada são o número N de retas utilizadas na triangulação, a caracterização espacial de cada reta, a estimativa dos limites máximos dos erros dos parâmetros de entrada e o número de ciclos de simulação.

Obteve-se como resultados das simulações (fig 3.4) a posição média de P e as dispersões dos resultados para 30 ciclos de c á 1 c u 1 o .

EHfiX estinados

Coord. Sistema 1 S istena 2

Pts B vet a Hédia 30

va lo re s Dispersão Hédia 30 v a lo re s Dispersão

X 0.0001 0,0024 0.0001 0.0032 0.005 0.000 V 0.0002 0.0028 0.0002 0.0028 Z H3.0003 0.0028 -0.0003 0.0024 X 0.0009 0.0044 0.0001 0.0060 0.010 0.000 V -0.0006 0.0052 -0.0003 0.0054 z -0.0006 0.0054 -0.0004 0.0054 X -0.0025 0.0480 H3.0004 0.0650 0.100 0.000 V 0.0005 0.0414 0.0039 0.0662 z 0.0027 0.0560 0.0001 0.0494 X 0.0345 0.2448 0.0229 0.3242 0.500 0.080 u1 -0.0175 0.2034 0.0392 0.2892 z -0.0447 0.2950 -0.0329 0.2146 - X 0.0001 0.0028 0.0001 0.0032 0.000 0.005 V -0.0002 0.0022 -0.0002 0.0026 z -0.0003 0.0028 0.0001 0.0022 X 0.0005 0.0042 -0.0004 0.0060 0.000 0.010 V -e.0006 0.0048 -0.0005 0.0064 z 0.0001 0.0064 0.0009 0.0038 X -«.0020 0.0440 0.0080 0.0528 0.000 0.100 V -0.0031 0.0488 0.0146 0.0506 z -0.0020 0.0588 -e.0061 0.0400 X -0.0043 0.2114 0.0342 0.2106 0.000 0.500 V -0.0167 0.2200 0.0460 0.3134 z 0.0189 0.0189 0.0096 0.2506

Analisando-se? os resultados das simulações observou-se que:

- os erros nas coordenadas do ponto P são linearmente proporcionais as amplitudes dos erros máximos dos parâmetros de e n t r a d a .

- os erros nas coordenadas do ponto P, possuem grande dependência do arranjo espacial das retas envolvidas.

39

4. CÓLCULO DAS COORDENADAS TRIDIRECIONAIS DE UM PONTO A PARTIR DAS

IMAGENS DIGITALIZADAS

O e qu ac io na me n to proposto, tem por o b je ti vo o c álculo das c oo r de na da s de um ponto P sobre um o bjeto o b se rv ad o por duas ou mais c â meras (IAM).

N este equacionamento, a p r e se nt a— se o m o delo m a t em át i c o e mp re g ad o na o bt e n çã o das retas definidas pelos feixes de p ro je çã o do p on t o P em cada IAM. Para a o bt en çã o destas retas, são utiliz ad as as informações obtidas a partir das imagens digita li z ad as e de outros dados suplementares de entrada.

Definidas as retas, de c r uz am en to r ep re se nt at iv a do p on to P, aplica-se o método da triangulação tridimensional para o b tenção das c oorde na da s deste.

4.1 M E TODOLOGIA DE MEDIÇÊiO DE C OORDENADAS E SEU MODELO MATEMtíTICO /S3,S4/

Para a d et erminação das c o ordenadas de um p o nt o qualquer no e spaço 3D pelo método da triangulação t r i d i m e n c i o n a l , e n e ce ss ár io determinar os parâmetros que definem, pelo menos, duas retas que se c ruzem , reversamente ou não, de forma a representar este ponto P.

.40

Pelo método proposto# estas retas sao d e terminadas a partir das informações obtidas pelo sistema de d i gi t al iz aç ão de imagem (IAM + IDM) .

No d es en vo lv im e nt o do método, são definidos dois s i stemas de coordenadas

a) Sistema Global de Coordenadas ( C S - G ) : é o sistema de c o or de na da s ao qual são referenciadas as coorde na da s do p onto P a ser medido. Com relação a este sistema são localizados os IAMi.

b) Sistema Local de Coordenadas (CS-L): é o sistema de coorde na d as de cada IAMi, e segundo o qual são referenciadas as c o or de na da s (x ,y ) i do ponto projetado pi e a fUnção ponto de observ aç ão P ' (Z ) i .

A d e te rm in aç ão dos parâmetros que caract er iz am as retas e n vo lv i da s na triangulação, exige que se c o nheça a p o sição espacial de cada IAMi rio CS-G e as coordenadas <x,y> dos p ontos P projetados, com referência ao CS-Li.

O modelo matemático desenvolvido (fig 4.1) tem a seguinte s eq uência de cálculos:

a) D e te rm i na çã o dos vetores xi, yi e zi que carac te ri za m as di r eções dos eixos coordenados do iésimo sistema de coorde n ad as

local (CS-Li) e da origem Oi deste com referência ao C S -6 ;

b) Transf or ma ç ão das coordenadas (x ,y )i /25,86/ do ponto p r oj et a do pi, no plano de projeção de cada IAMi, do CS-Li para o CS-G, u t il iz an do -s e a matriz de transf or ma ç ão CTli, que é d ef inida pelas compo n en te s dos vetores normal i za do s x i , yi e zi;

c) Escolha do p o n t o P no objeto e d e te rm in a çã o das i retas que r epresentam os feixes de p r ojeção deste ponto no p l an o de projeção de cada I A M i . Cada reta é c ar acterizada geomet r ic am e nt e por dois pontos c on ti do s na mesma, a saber: ponto projetado pi - (x,y)i e ponto de obser va çã o (P'i), cujas c oordenadas devem ser referenciadas ao CS-G;

d) Utiliz a nd o- se as i retas procede-se ao c á lculo das c o o r d e n a d a s do ponto P pelo método da triangulação t r i d i m e n c i o n a l .

41

CS-LL

Figura 4.1 - E l em entos geométricos envolv id os na localização dos CS-Li com referê n ci a ao CS-G

O método proposto necessita dos seguintes dados de entrada:

- coordenadas do ponto de observação <P'i> de cada câmera (IAM) com referência ao CS-G;

4a

- coord e na da s de três ou mais pontos auxili ar es (Qj), com r eferê nc ia ao CS-G, que serão utiliz a do s no c ál cu l o da localização espacial do CS-Li de cada IAMi, como será visto adiante;

- c oordenadas qij - <x,y)ij dos pontos auxiliares Qj p rojetados no plano de projeção de cada IAMi, com referência ao CS-Li;

- função ponto de observação <p'(Z)i) de cada IAMi, com r eferência ao C S - L i ;

- coorde n a da s (x,y)i dos pontos P projet a do s (pi), com referência aos C S —L i .

4.1.1 Direcionamento espacial dos CS-Li

A p o sição espacial de cada câmera (IAMi) com referência aa CS-G, é g eo m et ri ca me n te definida por seu respectivo CS-Li e pelas c oo r de na da s de seu ponto de observ aç ão <P'i). Para a d ef in iç ão g eométrica dos CS-Li com referência ao CS-6, é necess á ri o que sejam d e t e r mi na do s seus vetores eixos c oordenados (xi, y i e zi) e a o r ig e m Oi destes.

O p r o c ed i me nt o geométrico para a d et er mi na çã o dos vetores eixos c o o r de na do s utiliza-se dos seguintes cálcu l os (fig 4.1)

a) C ál c ul o dos vetores n ormais (nuij) que d efinem a d i re çã o das retas que ligam os p ontos Qj aos pontos P'i

fJij P ' i - Q j

f X i - Q X j , y t - _QYj . Z i “ _QZi ->

(4.1)

n o r m a l iz a n d o fjtj

(4.2) rifj ij - fji j / |£ij|

b > c ál cu lo do módulo do vetor v i j , que é definido pela dista n ci a entre o P'i e qij de cada IAMi

|vij| = <| xi j2 + yi j2 + p*<Z> (4.3) como a direção do vetor vij é a mesma do vetor normal nuij, defin e -s e g eometricamente

vij = n/jij « | vij | (4.4)

c > O bt en çã o das c oordenadas dos p ontos p rojetados qij com referê n ci a ao C S —G.

A partir dos vetores vij, pode-se obter as coorde n ad as dos pontos qij com referência ao CS-G:

qij (CS-Li) — transformação — > Qij (CS-G) sabe-se que:

vTj = Qij - P *i = <vx , vy . ^ i j (4.5) Qij = P* i + vij

logo:

Qij = C Xi + i"*xij , yi + v»yij » Zi + wsij 2 (4.6) d) D eterminação geométrica do plano de projeção (figs 4.2 e 4.3.) de

cada IAMi com relação ao CS-G, a partir das c o ordenadas dos pontos Qij

Com, pelo menos, três pontos c onhecidos Qij no plano de p ro jeção de cada IAMi, pode-se caracterizar geometricamente este com referência ao CS-G. A c a ra cterização espacial deste plano (fig 4.2) é obtida determinando-se um vetor normal (ni 55 zi) e um ponto (qualquer ponto Qij) pertencente ao mesmo.

Figura 4.2 - Método para a localização do plano de projeção de cada IAMi

CS-Li

yi

qia

\

«i

/

\

xi

qis

plano de projeção

Figura 4.3 - Pontos qij projetados no plano de projeção do IAMi

45

Da figura 4.2, d e termina-se o vetor zi a partir do p roduto vetorial n ormalizado de ul por u 2 :

zi =

Pelo produto vetorial dos vetores ul e u2 p o d e — se obter os vetores zi ou - zi, depend e nd o da ordem em que o p r od u to é feito. Para determinar a d i reção c o rreta de zi, adoto u -s e a seguinte? metodologia (fig 4.4)

- determinam-se os vetores zi e - zij c a lc ul an do -s e o primeiro e fazendo-se o segundo na d ir eção oposta a este

(giro de 180°);

- como os vetores eixos c o ordenados são u n i tários e as funções p'(Z)i são conhecidas, c a lc u la -s e a origem (Oi) de cada CS-Li para zi e - zi, o btendo-se desta forma dois pontos diferentes (Oi e Oi') para a origem.

- utiliz a nd o- se de um ponto auxiliar Qj qualquer, que pode ser observado pelos IAMi , calcul a- se os vetores definidos por este ponto e os dois pontos origem, tendo-se desta forma dois vetores (QOi e Q O i ') diferentes. - da figura 4.4, observa-se que se o módulo do vetor 0 0 ' i for

maior que o módulo do vetor QOi, a origem correta do CS-Li será o ponto Oi', senão, será o ponto Oi. Na sequência deste trabalho, a origem carreta será denominada por Oi.

Esta metodologia baseia-se no fato de que o feixe de p r ojeção de um p on to Q qualquer só pode atingir o plano de projeção de um

Qj 4 b

Figura 4.4 - Metodologia para determinação da direção do vetor z i

e) Determinação dos vetores eixos coordenados xi e yi

Utilizando-se as coordenadas dos pontos de observação P'i, o vetor zi e a função p'(Z)i, pode-se calcular os vetores xi e yi de cada IAMi com referência ao CS-G (fig 4.1)

P' i - Oi = p'CZ>i*Ti (4.9)

1 o g o,

Oi = P'i - p*CZ2i o Si

oi = c x t . n . z o - czxi,zyi,zzoop'cz;>i

Um exemplo de direcionamento espacial de 3 CS-Li pelo método descrito, é visto na figura 4.5

47

s abe-se que :

x i »

si = 0

xi»<TQü -

|xi | |Qii -

| «cosSi

xi»CQi

- 0 0 =

|xï |

o n d e , xi 4 y i ï cosGi = --- sin&i = --- ---- — J x i i 2 + y i i Z -|xià2 + yi i2 xi 2 yi 2 cosa i = --- sina i = ---l ! 1 2~~’ i i ~ r ^ x i z + y i2 <| x i 2 + y i2

como xi e yi sao vetores unitários :

|xiI = |z i| = i

montando-se o sistema de 4.11, tem-se

ZXi. XXi 4- Z Y i . x n 4-ZZi. XZi = o

CQXu-Ov 1^ XXi + CQ/ii-Oia.? X /i + CQZü-Oia^ ZZii = 4 x ü +I 2 2

CQXia-OuJ> XXi + <QY\,t*-CK*> XYi. + CQZi&-CK*> ZZi = <|xla + y la

C4. 115

C4. 123