UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CENTRO DE TECNOLOGIA E GEOCIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
GUSTAVO DE NOVAES PIRES LEITE
DIAGNÓSTICO DE FALHAS EM COMPONENTES DE TURBINAS EÓLICAS ATRAVÉS DA APLICAÇÃO DE QUANTIFICADORES DA TEORIA DA
INFORMAÇÃO.
RECIFE 2018
GUSTAVO DE NOVAES PIRES LEITE
DIAGNÓSTICO DE FALHAS EM COMPONENTES DE TURBINAS EÓLICAS ATRAVÉS DA APLICAÇÃO DE QUANTIFICADORES DA TEORIA DA
INFORMAÇÃO.
Tese submetida ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica como requisito para obtenção do grau de Doutor em Engenharia Mecânica.
Área de concentração: Energia.
Orientador: Prof. Dr. Alex Maurício Araújo. Coorientador: Prof. Dr. Pedro André Carvalho Rosas.
RECIFE 2018
Catalogação na fonte
Bibliotecária Margareth Malta, CRB-4 / 1198
L533d Leite, Gustavo de Novaes Pires.
Diagnóstico de falhas em componentes de turbinas eólicas através da aplicação de quantificadores da teoria da informação / Gustavo de Novaes Pires Leite. – 2018.
161 folhas, il., gráfs., tabs.
Orientador: Prof. Dr. Alex Maurício Araújo.
Coorientador: Prof. Dr. Pedro André Carvalho Rosas.
Tese (Doutorado) – Universidade Federal de Pernambuco. CTG. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica, 2018.
Inclui Referências e Anexos.
1. Engenharia Mecânica. 2. Teoria da informação. 3. Entropia da informação. 4. Divergência. 5. Turbina eólica. 6. Manutenção preditiva. I. Araújo, Alex Maurício. (Orientador). II. Rosas, Pedro André Carvalho. (Coorientador). III. Título.
UFPE
19 de junho de 2018.
“DIAGNÓSTICO DE FALHAS EM COMPONENTES DE TURBINAS EÓLICAS ATRAVÉS DA APLICAÇÃO DE QUANTIFICADORES DA TEORIA DA
INFORMAÇÃO”
GUSTAVO DE NOVAES PIRES LEITE
ESTA TESE FOI JULGADA ADEQUADA PARA OBTENÇÃO DO TÍTULO DE DOUTOR EM ENGENHARIA MECÂNICA
ÁREA DE CONCENTRAÇÃO: ENERGIA APROVADA EM SUA FORMA FINAL PELO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA/CTG/EEP/UFPE
_______________________________________________________ Prof. Dr. ALEX MAURÍCIO ARAÚJO
ORIENTADOR/PRESIDENTE
_______________________________________________________ Prof. Dr. PEDRO ANDRÉ CARVALHO ROSAS
COORIENTADOR
_______________________________________________________ Prof. Dr. CEZAR HENRIQUE GONZALEZ
COORDENADOR DO PROGRAMA BANCA EXAMINADORA:
________________________________________________________________ Prof. Dr. ALEX MAURÍCIO ARAÚJO (UFPE)
_________________________________________________________________ Prof. Dr. PEDRO ANDRÉ CARVALHO ROSAS (UFPE)
_________________________________________________________________ Prof. Dr. ALVARO ANTONIO OCHOA VILLA (IFPE)
_________________________________________________________________ Prof. Dr. TIAGO LEITE ROLIM (UFPE)
_________________________________________________________________ Prof. Dr. BORKO STOSIC (UFRPE)
_________________________________________________________________ Profª Drª TATIJANA STOSIC (UFRPE)
_________________________________________________________________ Prof. Dr. OSVALDO ANIBAL ROSSO (UFAL)
Dedico o presente trabalho a Deus, aos meus pais, à minha esposa e às minhas filhas por sempre confiarem em mim e me motivar. Vocês são a razão e o motivo do meu empenho e das minhas vitórias.
AGRADECIMENTOS
Inicialmente a Deus por seu imenso amor para comigo e por me permitir realizar mais este sonho.
Aos meus pais pela paciência e dedicação na minha formação como pessoa, por todo o esforço para me dar a melhor educação possível e, juntamente com minhas irmãs, por me motivar sempre a realizar meus sonhos.
À minha esposa, Maria Karla, que está sempre do meu lado me dando força e me confortando em todos os momentos que necessito. Sem você essa vitória não seria possível, Fu. Eu te amo!
Às minhas filhas, Sophia e Beatriz, que independentemente da pouca idade, tiveram paciência e compreensão nos momentos em que estive ausente por conta do doutorado. Amo vocês, filhas!
Aos queridos tios, Gilberto e Liu, que foram fonte de inspiração e suporte ao longo de toda minha formação. O apoio de vocês foi fundamental para acreditar que poderia chegar tão longe.
Aos meus orientadores Alex e Pedro pelos ensinamentos e companheirismo que me foram dedicados ao longo de todo o meu doutorado.
Aos professores Tatijana, Borko, Osvaldo, Álvaro e Tiago pela orientações técnicas e exemplo acadêmico.
A todos os meus amigos, em especial aos compadres Karina e Hélder, pela paciência, companheirismo e por me escutar. Cabe também agradecer ao amigo Vanilson que me escutou e me motivou no período mais tenso do trabalho.
A todos os meus familiares e às famílias Harmonia e Gerardus pelo apoio e pelas orações.
Aos colegas da Eólica, em especial Guilherme e Franciele que compartilharam comigo tantos momentos de descontração e discussões técnicas.
Aos colegas do IFPE cujo apoio e exemplos foram fundamentais para o êxito do meu doutorado.
Por fim, à UFPE que foi minha fonte do saber e onde termino mais um ciclo. Obrigado a todos os professores e servidores.
“Learning is the beginning of wealth. Searching and learning is where the miracle process all begins. The great breakthrough in your life comes when you realize it that you can learn anything you need to learn to accomplish any goal that you set for yourself. This means there are no limits on what you can be, have or do.” (Albert Einstein)
RESUMO
As restrições ambientais mundiais devido ao aquecimento global exigem que a nova energia elétrica demandada seja provida por fontes renováveis. A energia eólica é atualmente uma das fontes mais utilizadas para suprir a essa demanda, devido a fatores como elevado fator de capacidade, baixo impacto ambiental e custo competitivo. Dessa forma, milhares de turbinas eólicas vem sendo instaladas no mundo todo e o Brasil vem ocupando um lugar de destaque na lista (6º lugar capacidade adicional instalada em 2017 e 8º lugar em capacidade instalada total) das maiores capacidades instaladas totalizando mais de 12.000 MW. Isso implica que, apenas no Brasil mais de 6.500 turbinas se encontrem em operação. A operação manutenção dessas máquinas impõem um grande desafio técnico, pois as turbinas eólicas estão entre as maiores máquinas rotativas em operação na atualidade e operam em condições bastante severas. A manutenção preditiva por análise de vibração vem se tornando padrão no setor, porém estudos recentes mostram que ainda não existem técnicas consolidados para o monitoramento dessas máquinas seja pela complexidade operacional das mesmas, seja pela dificuldade de representação precisa e confiável de modelos físicos que modelem o seu funcionamento. Este trabalho tem por objetivo propor novas técnicas de monitoramento dos equipamentos críticos de turbinas eólicas (rolamento principal, caixa de engrenagens e gerador) através da detecção e diagnóstico de falhas através do uso de quantificadores baseados na teoria da informação, como entropia da informação, divergência, complexidade estatística e informação de Fisher. Para o cálculo desses quantificadores é necessária a determinação prévia de uma função de massa de probabilidade e nesse trabalho foram propostas técnicas oriundas do domínio do tempo, método da permutação de padrões, domínio da frequência, espectro de potência, e do domínio tempo-frequência, wavelet packet tree e ensenmble empirical mode decomposition. A metodologia proposta foi aplicada a quatro diferentes bancos de dados, partindo-se de dados totalmente sintéticos sem ligação com a falha, passando por dados sintéticos gerados a partir do conceito de cicloestacionariedade, e finalmente aplicando-a a dados reais de teste de bancada de final de vida de rolamentos e a dados reais de uma caixa de engrenagem de uma turbina eólica. Os resultados mostram que os quantificadores propostos foram capazes de identificar as falhas em seu estágio incipiente em todos os conjuntos de dados. O estudo mostrou que essas novas técnicas são efetivas na identificação de mudança no comportamento dinâmico das séries temporais, que estão intimamente ligadas a ocorrência de falhas nos componentes mecânicas. Dessa forma, a utilização das técnicas propostas de forma complementar às técnicas padrão no domínio do tempo e no domínio da frequência potencializaria a detecção das falhas em estágio incipiente fornecendo tempo suficiente para o planejamento das ações corretivas.
Palavras-chave: Teoria da informação. Entropia da informação. Divergência. Turbina eólica. Manutenção preditiva.
ABSTRACT
Environmental restrictions due to global warming effects require the installation of renewable energy sources to meet the new demanded electrical energy. Wind energy is one of the most used sources due to factors such as high capacity factor, low environmental impacts and competitive costs. Thousands of wind turbines are installed yearly worldwide, and Brazil is taking an important role in the new installations (the country occupied the 6th place on the 2017 new added capacity and is actually the 8th in the list of the countries with more wind energy installed capacity). Only in Brazil, which has more than 12.000 MW installed capacity, more than 6.500 are up and running. Operation and maintenance of wind turbine is a technically challenging task because they are amongst the biggest rotating machines and run in very harsh conditions. Predictive maintenance through vibration analysis is becoming the standard in the area. However, there is still no consolidated technique for its monitoring either due to its complex operation or due to the difficulties in representing models for detection of faults in a precise and reliable way. This work aims to present new techniques for the monitoring of the critical wind turbine components (main bearings, gearbox and generator) through the use of information theory quantifiers, such as entropy, divergence, statistical complexity and Fisher’s information. The probability mass function is the required input for the calculation of these quantifiers, and this work has extracted these functions from the time domain, via ordinal pattern distribution method, the frequency domain, via power spectral density technique and from the time-frequency domain, wavelet packet tree and ensemble empirical mode decomposition methods. The proposed methodology has been applied to four different datasets, ranging from synthetic one without link the physics of the phenomenon, then another one from the cyclostationarity techniques which present a link to the physics of the faults in bearings, and later to real datasets from a whole life benchmarking test of a rolling bearing and finally to wind turbine gearbox data. Results show that the proposed quantifiers were able to detect faults in its incipient stage in all datasets types. This study shows that these new techniques are effective in identifying changes in the dynamical behaviour of time waveforms. Thus, the use of the proposed quantifiers would complement the standard time and frequency domain techniques to potentialize the detection and diagnosis of faults in mechanical components providing ahead sufficient time to plan the correction actions.
Keywords: Information theory. Information entropy. Divergence. Wind turbine. Predictive maintenance.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 – Linha do tempo da evolução e aplicação da manutenção corretiva,
preventiva e preditiva baseada nas condições de máquinas em geral... 20
Figura 2 – Evolução da capacidade instalada de energia eólica no mundo e no Brasil. ... 23
Figura 3 – Taxa e tempo médio para correção de falhas separados por componentes das turbinas eólicas. ... 24
Figura 4 – Série temporal, função de massa de probabilidade e entropia de Shannon calculados para o caso de uma série de dados aleatórios e uma série constante. ... 30
Figura 5 – Entropia de Rényi para vários valores de 𝜶 aplicada a uma distribuição de Bernoulli. ... 32
Figura 6 – Curvas 𝓒𝒎𝒊𝒏 e 𝓒𝒎𝒂𝒙 para diferentes valores do parâmetro 𝜶 de Rényi e 𝑵 = 𝟔. ... ... 35
Figura 7 – Informação de Fisher para a distribuição de Bernoulli através da discretização de Olivares, Plastino e Rosso. ... 37
Figura 8 – Diagrama de bifurcação do mapa logístico. ... 39
Figura 9 – Séries temporais mapa logístico provenientes das três regiões do mapa logístico. ... 40
Figura 10 – PMF a partir do método do espectro de potência. ... 41
Figura 11 – PMFs a partir do método do espectro de potência das séries temporais do mapa logístico com 𝒓 = 𝟐, 𝟖, 𝒓 = 𝟑, 𝟓 e 𝒓 = 𝟑, 𝟗. ... 42
Figura 12 – Exemplo da extração da PMF baseada no método de Bandt e Pompe para um sinal senoidal e um sinal aleatório com ruído branco para uma palavra de comprimento 3. ... 43
Figura 13 – PMFs a partir do método de Bandt e Pompe das séries temporais do mapa logístico com 𝒓 = 𝟐, 𝟖, 𝒓 = 𝟑, 𝟓 e 𝒓 = 𝟑, 𝟗. ... 44
Figura 14 – Diferentes tipos da função wavelet-mãe. ... 45
Figura 15 – Decomposição através da técnica wavelet packet tree da série temporal proveniente das séries do mapa logístico para os valores de 𝒓 = 𝟑, 𝟓 e 𝒓 = 𝟑, 𝟗. ... 46
Figura 16 – PMFs a partir do método WPT das séries temporais do mapa logístico com 𝒓 = 𝟐, 𝟖, 𝒓 = 𝟑, 𝟓 e 𝒓 = 𝟑, 𝟗. ... 48
Figura 17 – Decomposição através da técnica EEMD da série temporal proveniente das séries do mapa logístico para os valores de 𝒓 = 𝟑, 𝟓 e 𝒓 = 𝟑, 𝟗. ... 49
Figura 18 – PMFs a partir do método EEMD das séries temporais do mapa logístico com 𝒓 = 𝟐, 𝟖, 𝒓 = 𝟑, 𝟓 e 𝒓 = 𝟑, 𝟗. ... 51
Figura 19 – Pesquisa realizada na base de dados SCOPUS como a palavra chave “prognostics”, específica para o campo das engenharias. ... 52
Figura 20 – Técnicas para predição da vida útil residual. ... 53
Figura 21 – Análise de envelope de um sinal de vibração... 63
Figura 22 – Análise de envelope de um sinal de vibração... 63
Figura 23 – Taxa de falhas típicas em máquinas rotativas na indústria petroquímica (a) em caixas de engrenagens de turbinas eólicas (b). ... 65
Figura 24 – Componentes dos rolamentos e as séries temporais de suas falhas características. ... 66
Figura 25 – Inclusão do deslizamento dos elementos rolantes no sinal de vibração dos rolamentos. ... 67
Figura 27 – Transferência de potência e velocidade através da interação de um par de
engrenagens. ... 69
Figura 28 – Série temporal e espectro de frequência de falhas locais e globais de engrenagens. ... 70
Figura 29 – Etapas da caracterização de falhas em componentes mecânicos de máquinas rotativas. ... 71
Figura 30 – Ilustração do tempo de detecção de falhas em componentes mecânicos para vários tipos de sinais mostrando que os sinais de vibração são os que possibilitam a detecção mais antecipada das falhas... 72
Figura 31 – Diferentes tipos de dados utilizados no presente trabalho. ... 74
Figura 32 – Séries temporais dos dados sintéticos aleatório-periódicos. ... 75
Figura 33 – Fase inicial do desenvolvimento de uma falha na pista externa de um rolamento simulado através da metodologia cicloestacionária. Série temporal (a), espectro de frequência (b) e espectro de envelope (c). ... 77
Figura 34 – Modelagem de falha localizada em rolamentos através de princípios de cicloestacionariedade proposta por d’Elia e Antoni. ... 78
Figura 35 – Configuração da bancada de testes da NASA/Cincinatti. ... 79
Figura 36 – Rolamento Rexnord ZA-2115. ... 80
Figura 37 – Acelerômetro PCB 355B33... 81
Figura 38 – Caracterização das séries temporais dos dados da NASA/IMS através da plotagem dos valores máximos e mínimos para todos os rolamentos que apresentaram defeitos nos bancos de dados 1 e 2. Na figura (a) ocorreu uma falha na pista interna, na figura (b) ocorreu uma falha nos elementos rolantes e na figura (c) ocorreu uma falha na pista externa. ... 83
Figura 39 – Vista explodida da caixa de engrenagens usada no estudo. ... 84
Figura 40 – Cadeia cinemática da caixa de engrenagens da turbina eólica analisada.. 85
Figura 41 – Localização dos sensores da caixa de engrenagens utilizada. ... 86
Figura 42 – Fotos dos componentes da caixa de engrenagens danificados durante o teste. (a) Abrasão dos dentes das engrenagens, (b) corrosão dos dentes da engrenagem, (c) têmpera superficial da superfície da pista interna do rolamento em decorrência da elevada temperatura e (d) deformação plástica da pista interna decorrentes do processo de montagem. ... 87
Figura 43 – Monitoramento de vibrações de componente utilizando-se técnicas baseadas na entropia da informação. ... 90
Figura 44 – Evolução de uma falha de um componente mecânico no plano complexidade estatística-entropia. ... 91
Figura 45 – Metodologia proposta para o diagnóstico de falhas de rolamentos. ... 92
Figura 46 – Dados aleatório-randômicos: sinal completamente periódico. Gráficos da esquerda para a direita: série temporal, espectro de envelope, PMF-PSD, PMF-BP, PMF-WPT e PMF-EEMD... 98
Figura 47 – Dados aleatório-randômicos: sinal periódico com SNR = 10 dB. Gráficos da esquerda para a direita: série temporal, espectro de envelope, PMF-PSD, PMF-BP, PMF-WPT e PMF-EEMD... 99
Figura 48 – Dados aleatório-randômicos: sinal periódico com SNR = 5 dB. Gráficos da esquerda para a direita: série temporal, espectro de envelope, PMF-PSD, PMF-BP, PMF-WPT e PMF-EEMD... 100
Figura 49 – Dados aleatório-randômicos: sinal periódico com SNR = 0 dB. Gráficos da esquerda para a direita: série temporal, espectro de envelope, PMF-PSD, PMF-Permutação de padrões, PMF-WPT e PMF-EEMD. ... 101
Figura 50 – Dados aleatório-randômicos: sinal puramente aleatório. Gráficos da esquerda para a direita: série temporal, espectro de envelope, PMF-PSD, PMF-BP, PMF-WPT e PMF-EEMD... 102 Figura 51 – Cálculo da entropia e divergência para os dados aleatório-periódicos: (a) Entropia de Shannon: PMF.PS, PMF.BP, PMF.WPT, PMF.EEMDE; (b) Entropia de Rényi: PMF.PS, PMF.BP, PMF.WPT, PMF.EEMDE; (c) JRD: PMF.PS, PMF.BP, PMF.WPT, PMF.EEMDE. ... 104 Figura 52 – Plano entropia-complexidade estatística para os dados aleatório-periódicos: espectro de potência (a), BP (b), WPT (c) e EEMD (d). ... 105 Figura 53 – Séries temporais de simulação na pista externa do rolamento em função dos cenários apresentados na Tabela 13. ... 107 Figura 54 – Séries temporais, espectro de Fourier e espectro de envelope para cada cenário da Tabela 13. ... 108 Figura 55 – Cálculo da entropia e divergência para os dados sintéticos de simulação de falhas em rolamentos: (a) Entropia de Shannon: PMF.PS, PMF.BP, PMF.WPT, PMF.EEMDE; (b) Entropia de Rényi: PMF.PS, PMF.BP, PMF.WPT, PMF.EEMDE; (c) JRD: PMF.PS, PMF.BP, PMF.WPT, PMF.EEMDE. ... 110 Figura 56 – Valores de Z-score modificado para as medidas de entropia e divergência para o rolamento 3 do banco de dados 1... 113 Figura 57 – Valores de Z score modificado para as medidas de entropia e divergência para o rolamento 4 do banco de dados 1... 114 Figura 58 – Valores de Z score modificado para as medidas de entropia e divergência para o rolamento 1 do banco de dados 2... 115 Figura 59 – Boxplot da entropia (PMF.PS_S, PMF.BP_S, PMF.WPT_S, PMF.EEMD_S, PMF.PS_R, PMF.BP_R, PMF.WPT_R, PMF.EEMD_R) e divergência (PMF.PS_D, PMF.BP_D, PMF.WPT_D, PMF.EEMD_D) para os estados “com falha”(dados acima de 70% da vida) e “sem falha” (dados abaixo de 70% da vida) para o rolamento 3 do banco de dados 1 que apresentou falha na pista interna. ... 117 Figura 60 – Boxplot da entropia (PMF.PS_S, PMF.BP_S, PMF.WPT_S, PMF.EEMD_S, PMF.PS_R, PMF.BP_R, PMF.WPT_R, PMF.EEMD_R) e divergência (PMF.PS_D, PMF.BP_D, PMF.WPT_D, PMF.EEMD_D) para os estados “com falha”(dados acima de 70% da vida) e “sem falha” (dados abaixo de 79% da vida) para o rolamento 4 do banco de dados 1 que apresentou falha nos elementos rolantes... 117 Figura 61 – Boxplot da entropia (PMF.PS_S, PMF.BP_S, PMF.WPT_S, PMF.EEMD_S, PMF.PS_R, PMF.BP_R, PMF.WPT_R, PMF.EEMD_R) e divergência (PMF.PS_D, PMF.BP_D, PMF.WPT_D, PMF.EEMD_D) para os estados “com falha”(dados acima de 72% da vida) e “sem falha” (dados abaixo de 72% da vida) para o rolamento 1do banco de dados 2 que apresentou falha na pista externa. ... 118 Figura 62 – Plano entropia de Shannon-complexidade para o rolamento 3 do banco de dados 1. ... 120 Figura 63 – Plano entropia de Shannon-complexidade para o rolamento 4 do banco de dados 1. ... 121 Figura 64 – Plano entropia de Shannon-complexidade para o rolamento 1 do banco de dados 2. ... 122 Figura 65 – Plano entropia de Rényi-complexidade para o rolamento 3 do banco de dados 1. ... 123
Figura 66 – Plano entropia de Rényi-complexidade para o rolamento 4 do banco de
dados 1. ... 124
Figura 67 – Plano entropia de Rényi-complexidade para o rolamento 1 do banco de dados 2. ... 125
Figura 68 – Plano entropia Shannon-informação de Fisher para o rolamento 3 (a) e 4 (b) do banco de dados 1 e rolamento 1 (c) do banco de dados 2. ... 126
Figura 69 – Índice de separação de estados em função dos quantificadores. ... 128
Figura 70 – Índice de separação de estados em função da localização dos sensores. .. 128
Figura 71 – Boxplot da entropia de Shannon (PMF.PS_S) dos estados com falha e sem falha da caixa de engrenagens da turbina eólica... 129
Figura 72 – Boxplot da divergência de Shannon (JSD) para a PMF.PS dos estados com falha e sem falha da caixa de engrenagens da turbina eólica. ... 129
Figura 73 – Boxplot da entropia de Rényi (PMF.PS_R) dos estados com falha e sem falha da caixa de engrenagens da turbina eólica... 130
Figura 74 – Boxplot da divergência de Rényi (JRD) para a PMF.PS dos estados com falha e sem falha da caixa de engrenagens da turbina eólica. ... 130
Figura 75 – Boxplot da entropia de Shannon (PMF.BP_S) dos estados com falha e sem falha da caixa de engrenagens da turbina eólica... 131
Figura 76 – Boxplot da divergência de Shannon (JSD) para a PMF.BP dos estados com falha e sem falha da caixa de engrenagens da turbina eólica. ... 131
Figura 77 – Boxplot da entropia de Rényi (PMF.BP_R) dos estados com falha e sem falha da caixa de engrenagens da turbina eólica... 132
Figura 78 – Boxplot da divergência de Rényi (JRD) para a PMF.BP dos estados com falha e sem falha da caixa de engrenagens da turbina eólica. ... 132
Figura 79 – Boxplot da entropia de Shannon (PMF.WPT_S) dos estados com falha e sem falha da caixa de engrenagens da turbina eólica... 133
Figura 80 – Boxplot da divergência de Shannon (JSD) para a PMF.WPT dos estados com falha e sem falha da caixa de engrenagens da turbina eólica. ... 133
Figura 81 – Boxplot da entropia de Rényi (PMF.WPT_R) dos estados com falha e sem falha da caixa de engrenagens da turbina eólica... 134
Figura 82 – Boxplot da divergência de Rényi (JRD) para a PMF.WPT dos estados com falha e sem falha da caixa de engrenagens da turbina eólica. ... 134
Figura 83 – Boxplot da entropia de Shannon (PMF.EEMD_S) dos estados com falha e sem falha da caixa de engrenagens da turbina eólica. ... 135
Figura 84 – Boxplot da divergência de Shannon (JSD) para a PMF.EEMD dos estados com falha e sem falha da caixa de engrenagens da turbina eólica. ... 135
Figura 85 – Boxplot da entropia de Rényi (PMF.EEMD_R) dos estados com falha e sem falha da caixa de engrenagens da turbina eólica... 136
Figura 86 – Boxplot da divergência de Rényi (JRD) para a PMF.EEMD dos estados com falha e sem falha da caixa de engrenagens da turbina eólica. ... 136
Figura 87 – Plano entropia Shannon-Complexidade para a PMF.PS. ... 137
Figura 88 – Plano entropia Rényi-Complexidade para a PMF.PS. ... 138
Figura 89 – Plano entropia Shannon-Complexidade para a PMF.BP. ... 138
Figura 90 – Plano entropia Rényi-Complexidade para a PMF.BP... 139
Figura 91 – Plano entropia Shannon-Complexidade para a PMF.WPT. ... 139
Figura 92 – Plano entropia Rényi-Complexidade para a PMF.WPT... 140
Figura 93 – Plano entropia Shannon-Complexidade para a PMF.EEMD. ... 140
Figura 94 – Plano entropia Rényi-Complexidade para a PMF.EEMD. ... 141
Figura 96 – Zoom do plano entropia de Shannon-complexidade para o rolamento 3 do banco de dados 1. ... 155 Figura 97 – Zoom do plano entropia de Shannon-complexidade para o rolamento 4 do banco de dados 1. ... 156 Figura 98 – Zoom do plano entropia de Shannon-complexidade para o rolamento 1 do banco de dados 2. ... 157 Figura 99 – Zoom do plano entropia de Rényi-complexidade para o rolamento 3 do banco de dados 1. ... 158 Figura 100 – Zoom do plano entropia de Rényi-complexidade para o rolamento 4 do banco de dados 1. ... 159 Figura 101 – Zoom do plano entropia de Rényi-complexidade para o rolamento 1 do banco de dados 2. ... 160 Figura 102 – Zoom do plano entropia de Shannon-Informação de Fisher para os rolamentos 3 e 4 do banco de dados 1 e rolamento 1 do banco de dados 2. ... 161
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 – Níveis de severidade em função da amplitude RMS para diferentes classes de máquinas de acordo com a norma ISO 10816-1. ... 59 Tabela 2 – Limites operacionais estabelecidos pela VDI 3834 para cada componente da turbina eólica. ... 60 Tabela 3 – Os vários tipos de sinais monitorados em uma turbina eólica e suas características. ... 72 Tabela 4 – Características da simulação de falha na pista interna de um rolamento. 76 Tabela 5 – Dimensões geométricas e frequências características do rolamento Rexnord ZA-2115. ... 80 Tabela 6 – Características técnicas do acelerômetro PCB 353B33. ... 81 Tabela 7 – Visão geral dos bancos de dados 1 e 2. ... 82 Tabela 8 – Principais características da turbina eólica utilizada no presente estudo. 84 Tabela 9 – Características da caixa de engrenagem da turbina eólica utilizada no presente estudo. ... 85 Tabela 10 – Localização dos acelerômetros da caixa de engrenagens da turbina eólica.
... 86 Tabela 11 – Principais bibliotecas do R utilizadas no presente trabalho. ... 95 Tabela 12 – Características dos métodos para extração das PMF.PS, PMF.BP, PMF.WPT e PMF.EEMD. ... 96 Tabela 13 – Sumário dos cenários de simulação para os dados sintéticos a partir da representação física de falha em pista externa em rolamento. ... 106 Tabela 14 – Sumário dos parâmetros da simulação dos dados reais de rolamento do teste de final de vida da NASA/IMS. ... 111 Tabela 15 – Sumário dos parâmetros da simulação dos dados reais de turbinas eólicas.
... 127 Tabela 16 – Resultados da aplicação da metodologia proposta nos conjuntos de dados do presente trabalho. ... 143
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS BP método de Bandt e Pompe
BPFI Ball pass frequency of the inner race BPFO Ball pass frequency of the outer race BSF Ball spin frequency
CBM Condition based maintenance DFT Discrete Fourier transform
EITD Ensemble intrinsic time-scale decomposition EMD Empirical mode decomposition
EEMD Ensemble empirical mode decomposition FFT Fast Fourier transform
GMF Gear mesh frequency
IELMD Integral extension load mean decomposition IEMD Improved empirical mode decomposition IMF Intrinsic mode function
FTF Fundamental train frequency JRD Jensen-Rényi divergence JSD Jensen-Shannon divergence MAD Median absolute deviation
NREL National Renewable Energy Laboratory O&M Operação e manutenção
PDF Probability density function PMF Probability mass function
PMF.BP Probability mass function baseado na técnica do Bandt e Pompe
PMF.EEMD Probability mass function baseado na técnica do ensemble empirical mode
decomposition
PMF.PS Probability mass function baseado na técnica do power spectrum PMF.WPT Probability mass function baseado na técnica do wavelet packet tree
PS Power spectrum
PSD Power spectrum density RMS Root mean square RPM Rotações por minuto RUL Remaining useful life SDOF Single degree of freedom SNR Signal to noise ratio SVM Support vector machine STFT Short time Fourier transform VMD Variational mode decomposition WPT Wavelet packet tree
SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO ... 20 1.1 Objetivos ... 24 1.1.1 Objetivo geral ... 24 1.1.2 Objetivos específicos ... 25 1.2 Contribuição científica ... 25 1.3 Organização da tese ... 26 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ... 28 2.1 Fundamentação teórica ... 29 2.1.1 Entropia da informação ... 29 2.1.2 Divergência ... 32 2.1.3 Complexidade estatística ... 33 2.1.4 A informação de Fisher ... 35
2.2 Métodos para obtenção da PMF ... 37
2.2.1 O mapa logístico ... 38
2.2.2 Extração de PMF via espectro de potência ... 40
2.2.3 Extração de PMF via permutação de padrões – Método de Bandt e Pompe ... 42
2.2.4 Extração de PMF via wavelet packet tree ... 44
2.2.5 Extração de PMF via ensemble empirical mode decomposition ... 48
2.3 Estado da arte ... 51
2.4 Técnicas padrão utilizadas na análise de vibração de componentes mecânicos ... 57
2.4.1 Domínio do tempo ... 57
2.4.2 Domínio da frequência ... 60
2.4.2.1Transformada rápida de Fourier ... 60
2.4.2.2Análise de envelope ... 62
2.5 Caracterização da vibração em rolamentos ... 64
2.6 Caracterização da vibração em engrenagens ... 68
2.7 Métodos de diagnóstico de falhas de componentes mecânicos ... 71
2.8 Conclusões da revisão bibliográfica ... 73
3 DESENVOLVIMENTO DE BASE DE DADOS PARA VALIDAÇÃO DE SISTEMAS DE DIAGNÓSTICO DE FALHAS EM MÁQUINAS ROTATIVAS .. ... 74
3.1 Dados sintéticos: aleatório-periódicos ... 75
3.2 Dados sintéticos-cicloestacionários: representação física de falhas de rolamentos .. .. ... 76
3.3 Dados reais de rolamentos: teste bancada de final de vida da NASA/IMS ... 78
3.4 Dados reais de turbinas eólicas ... 84
3.5 Conclusões da base de dados utilizados na tese ... 88
4 MODELAGEM MATEMÁTICA-COMPUTACIONAL DO DIAGNÓSTICO DE FALHAS EM COMPONENTES MECÂNICOS ... 89
4.1 Diagnóstico de falhas em componentes mecânicos através de quantificadores da teoria da informação ... 89
4.2 Modelagem do diagnóstico de falhas ... 91
4.3 O ambiente de programação ... 94
4.4 Conclusões da modelagem matemática-computacional do diagnóstico de falhas em componentes mecânicos ... 95
5 RESULTADOS E DISCUSSÕES ... 96
5.1 Dados sintéticos: aleatório-periódicos ... 96
5.2 Dados sintéticos: representação física de falhas de rolamentos ... 106
5.3 Dados reais de rolamentos: teste de bancada de final de vida da NASA/IMS .... 111
5.4 Dados reais de turbinas eólicas ... 127
5.5 Conclusões do capítulo resultados e discussões ... 141
6.1 Trabalhos futuros ... 145 6.2 Artigos publicados ... 145 REFERÊNCIAS ... 147 ANEXO A ... ROTINAS DESENVOLVIDAS ... 154 ANEXO B ... ZOOM DOS PLANOS COMPLEXIDADE E ENTROPIA-INFORMAÇÃO DE FISHER ... 155
1 INTRODUÇÃO
Atualmente o mercado extremamente acirrado e competitivo exige máquinas cada vez mais modernas, produtivas, inteligentes e que não agridam o meio ambiente. Por um lado, o aperfeiçoamento dos métodos de fabricação e a descoberta de novos materiais permitem o desenvolvimento de máquinas maiores e com enorme capacidade produtiva, por outro, o avanço constante da potência computacional permite a otimização dos métodos de monitoramento e de operação e manutenção (O&M) para que falhas sejam detectadas em seu estado incipiente permitindo que haja um perfeito planejamento das atividades corretivas.
Nesse ambiente, as técnicas de O&M de máquinas rotativas foram evoluindo ao longo dos anos. Antes de 1975 a manutenção corretiva era a filosofia empregada nas máquinas rotativas em geral, ou seja, conserta-se quando quebra. A partir de 1980, a manutenção preventiva, que tem como princípio a inspeção e troca periódica dos componentes, independentemente de sua condição operacional, passa a ser empregada. Só a partir do ano 2000 é que surge a manutenção preditiva que é a manutenção baseada nas condições operacionais das máquinas (CBM). Nesta filosofia de manutenção, grandezas físicas da máquina são monitoradas a fim de estimar a condição operacional dos seus componentes, sendo estes apenas substituídos quando há uma degradação no desempenho da máquina. A Figura 1 apresenta uma linha do tempo da evolução e aplicação das filosofias de manutenção em máquinas rotativas em geral.
Figura 1 – Linha do tempo da evolução e aplicação da manutenção corretiva, preventiva e preditiva baseada nas condições de máquinas em geral.
As técnicas preditivas atuais utilizam dados de diferentes sensores, como transdutores de vibração (deslocamento, velocidade e aceleração), câmera termográfica, sensores de análise de óleo, ultrassom, entre outros (RUIZ-GONZALEZ et al., 2014). Entre as técnicas de monitoramento, a vibração mecânica é uma das mais empregadas na prática.
As técnicas de monitoramento podem ser classificadas como paramétricas, quando é necessário conhecer as características físicas e mecânicas dos componentes, e não paramétricas, quando essas informações não são necessárias obrigatoriamente. Muitas vezes, na prática, essas características não podem ser obtidas, seja porque é impossível de se medir ou porque o fabricante não as disponibiliza por questões confidenciais.
Segundo Sharma e Mahto (2013), alguns dos objetivos e benefícios da CBM são:
i. Identificar a falha no componente monitorado; ii. Identificar a origem da falha;
iii. Determinar o tempo o qual a máquina pode operar antes da completa quebra (RUL); iv. Determinar possíveis efeitos colaterais em função da ocorrência da falha;
v. Planejar todas as ações necessárias antes da ocorrência da falha; vi. Reduzir os custos de manutenção;
vii. Realizar ações de manutenção unicamente quando necessário; viii. Reduzir o número de paradas e taxa de ocorrência de falhas.
Mais recentemente, a CBM vem sendo bastante empregada na O&M de turbinas eólicas a fim de auferir os benefícios aportados pela aplicação desta filosofia de manutenção.
As turbinas eólicas são máquinas extremamente complexas do ponto de vista operacional e isso impõe desafios significativos à O&M das mesmas pelos seguintes motivos:
i. As turbinas eólicas são máquinas rotativas de enormes proporções. As maiores em operação na atualidade podem apresentar as seguintes dimensões: 150 m de altura do cubo, 160 m de diâmetro e 8 MW de potência instalada;
ii. Elas funcionam em um regime operacional de 24 horas por dia, todos os 7 dias da semana e, portanto, todos 365 dias ao ano;
iii. Por estarem geograficamente distribuídas e, atualmente, em função do esgotamento dos locais para instalação dessas máquinas em terra firme, muitas delas são instaladas no mar (offshore);
iv. Operação eventual em condições ambientais adversas, como por exemplo, tempestades, furacões, temperaturas extremas (positivas e negativas), etc;
v. Funcionamento com cargas extremamente dinâmicas devido a assimetrias da carga de baixa frequência devido ao wind shear vertical e sombra da torre, cargas de alta frequência devido a efeitos de turbulência do vento, eventos extremos de rajada de vento, elevada carga média de fadiga, para o caso dos locais com velocidade de vento média elevada, cargas devido à operação sobre influência de outras turbinas (efeito esteira), etc;
vi. Do ponto de vista da reposta de frequência de seus componentes, as turbinas atuais possuem componentes bastante flexíveis, de baixa rigidez e que possuem baixa frequência natural, como pás e torres, e que precisam estar preparadas para operarem nas regiões de ressonância;
vii. Mudança brusca das condições operacionais de geração de energia, por exemplo, em poucos minutos pode-se ter uma variação de mais de 1.000 kW na potência do gerador (BARSZCZ, 2009);
viii. Operação com velocidade variável, o que quase impossibilita a utilização de técnicas convencionais (domínio do tempo e domínio da frequência) para diagnóstico de falhas; ix. Finalmente, os componentes mecânicos da turbina eólica estão enclausurados em um ambiente compacto, em relação às dimensões da máquina, a nacele. Na medição dos sinais de vibração dentro da nacele, foco do trabalho, podem-se observar sinais bastante ruidosos devido ao grande atravessamento de frequência entre componentes da máquina. Dessa forma, em uma mesma série temporal, medida em um determinado componente, podem-se encontrar frequências de outros componentes, tanto em baixíssima frequência, da ordem de 0,5 Hz, até frequências mais elevadas, da ordem de 2 kHz. Isso impõe um desafio ainda maior ao monitoramento de vibração dos componentes de turbinas eólicas.
A geração de energia a partir da fonte eólica representa uma importante parcela da matriz energética global. Até o final do ano de 2017, o mundo atingiu uma capacidade instalada de aproximadamente 540 GW, enquanto o Brasil atingiu 12,7 GW, de acordo com dados da Associação Mundial de Energia Eólica (WORLD WIND ENERGY ASSOCIATION, 2018) e do Conselho Global de Energia Eólica (GLOBAL WIND ENERGY COUNCIL, 2018). A Figura 2 apresenta a evolução da capacidade instalada no mundo e no Brasil entre os anos de 2013 e 2017. Nela é possível verificar também que o Brasil cresce com uma taxa maior que o
mundo e esse crescimento constante e sustentável mostra que, no Brasil, existe uma clara tendência da evolução para uma matriz energética mais limpa e sustentável no futuro e, dessa forma, mais e mais turbinas eólicas estarão em operação. Apenas como estimativa, considerando-se a capacidade total instalada e uma potência individual média de 1,5 MW, existiriam aproximadamente 360 mil turbinas instaladas no mundo e 8,5 mil no Brasil o que demonstra a necessidade do desenvolvimento de técnicas robustas para otimização da O&M.
Figura 2 – Evolução da capacidade instalada de energia eólica no mundo e no Brasil.
Fonte: Adaptado de http://www.wwindea.org/2017-statistics/.
Apesar do crescente número de máquinas instaladas e do desenvolvimento tecnológico recente, a indústria eólica ainda enfrenta um significativo número de falhas prematuras. Isso indica que, as técnicas convencionais apresentam inconsistências e não conseguem detectar as falhas dos componentes das turbinas eólicas em seu estágio incipiente, e, que por este motivo, é muito importante a identificação e proposta de técnicas complementares, que junto com as técnicas convencionais, consigam aumentar a potencialidade da detecção dos defeitos.
A Figura 3 apresenta o resultado de dois estudos realizados para centrais eólicas em operação na Europa1. Na referida figura é possível verificar que os componentes do trem de acionamento
(caixa de engrenagens, gerador e outros) são os que possuem os mais elevados tempo médio
1 Estudo 01: Wissenschaftliches Mess und Evaluierungsprogramm (WMEP) que é um banco de dados com dados de falhas de cerca de 1.500 turbinas eólicas entre os anos de 1989 até 2006. Estudo 02: relatório de estatística de falhas publicado pela Landwirtschaftskammer Schleswig-Holstein (LWK), que é um banco de dados de mais de 650 turbinas eólicas entre os anos de 1993 e 2006.
318.577 371.374 435.259 486.661 539.291 3.399 5.962 8.715 10.800 12.763 0 2.000 4.000 6.000 8.000 10.000 12.000 14.000 0 100.000 200.000 300.000 400.000 500.000 600.000 2013 2014 2015 2016 2017 C apa cidade inst alada no B ra sil (MW ) C apa cidade inst sa lada no mundo (MW ) Mundo Brasil
para reparo. É importante ressaltar que os componentes responsáveis pelas falhas individuais dos sistemas críticos são rolamentos e engrenagens, objetos de estudo do presente trabalho. Esses são considerados como componentes os críticos das turbinas eólicas, ou seja, aqueles cujas falhas inesperadas levam a um elevado tempo para reparo. (MÁRQUEZ et al., 2016; TAVNER, 2011).
Figura 3 – Taxa e tempo médio para correção de falhas separados por componentes das turbinas eólicas.
Fonte: (TAVNER, 2011).
O presente trabalho vem propor a aplicação de técnicas não paramétricas em componentes (rolamentos e engrenagens) de máquinas rotativas e, mais especificamente, de turbinas eólicas, baseadas em quantificadores oriundos da teoria da informação. Cabe salientar que o intuito da utilização dessas técnicas é complementar o resultado das análises padrão estacionárias, seja do domínio do tempo, como do domínio da frequência e potencializar a detecção de falhas ainda em estágio incipiente.
1.1 Objetivos
1.1.1 Objetivo geral
Aplicar técnicas oriundas da teoria da informação aos sinais de vibração de componentes críticos de máquinas rotativas, especificamente de turbinas eólicas, a fim de diagnosticar falhas
no seu estágio incipiente possibilitando um planejamento da manutenção mais efetivo, além de mitigar riscos operacionais e maximizar o desempenho destas máquinas.
1.1.2 Objetivos específicos
O presente trabalho tem os seguintes objetivos específicos:
i. Pesquisar, implementar e aplicar técnicas de detecção, monitoramento e diagnóstico de falhas baseados em ferramentas oriundas do campo da teoria da informação, como: entropia, divergência, complexidade estatística e informação de Fisher;
ii. Ampliar e complementar as ferramentas de análise de vibrações já disponíveis na área da engenharia mecânica, com técnicas já consolidadas em outras áreas como medicina, economia e hidrologia que possuem comportamento semelhante aos sinais de vibração das máquinas rotativas;
iii. Desenvolver um sistema capaz de detectar e diagnosticar falhas no seu estágio inicial dos componentes críticos das turbinas eólicas (rolamentos e engrenagens), através de técnicas não paramétricas, propiciando suficiente tempo de reação que permita o correto planejamento da ação corretiva;
iv. Divulgar este trabalho em congressos e periódicos científicos qualificados pela CAPES de circulação nacional e internacional.
1.2 Contribuição científica
A principal contribuição foi o estudo, análise, adequação e implementação de ferramentas complementares às técnicas de detecção padrão para detecção e diagnóstico de falhas de componentes mecânicos de turbinas eólicas através da análise de vibração não paramétrica. No presente trabalho foram utilizados quantificadores oriundos da teoria da informação, que é uma área de pesquisa da física, que teve seus princípios aplicados em várias áreas do conhecimento, como medicina, economia, etc. As técnicas ora propostas se mostraram bastante promissoras no que se refere à distinção de estados normais e de falhas de componentes mecânicos.
Uma contribuição não menos importante foi a pesquisa e apresentação estruturada de um conjunto de dados para avaliação e validação qualitativa das novas técnicas como as
apresentadas nesta tese. O conjunto de dados vai desde dados sintéticos (que permitem um maior controle da emulação do defeito), até dados reais de uma bancada de testes e dados reais de turbinas eólicas. Todos esses dados foram obtidos de forma gratuita, seja através do acesso direto através da internet, como no caso dos dados da NASA, ou através dos contatos direto com os pesquisadores e coordenadores dos laboratórios, como no caso do NREL (National
Renewable Energy Laboratory).
1.3 Organização da tese
• No Capítulo 1 é realizada a introdução, com a motivação para realização do presente trabalho tanto no âmbito geral das máquinas rotativas, como especificamente aplicado às turbinas eólicas. Em seguida são apresentadas as contribuições científicas, o objetivo geral e os objetivos específicos;
• No Capítulo 2 é apresentada uma revisão bibliográfica, através da fundamentação teórica para permitir o nivelamento e o entendimento das técnicas implementadas para a obtenção dos resultados e do estado da arte do monitoramento de turbinas eólicas a partir da utilização de técnicas oriundas da teoria da informação;
• No Capítulo 3 são apresentados o conjunto de dados utilizado no trabalho. Dados sintéticos foram utilizados para avaliar as potencialidades e limitações das técnicas propostas e dados reais para a teste da ferramenta em condições normais de operação; • No Capítulo 4 é apresentada a ferramenta desenvolvida a partir das técnicas da teoria da
informação para detecção de falhas em componentes mecânicos, assim como os algoritmos propostos para o monitoramento de componentes mecânicos, seus respectivos inputs e outputs;
• No Capítulo 5 são apresentados os resultados e as discussões da aplicação da metodologia ao conjunto de dados (dados sintéticos e reais);
• No Capítulo 6 são apresentadas as conclusões finais do trabalho e sugestões para trabalhos futuros;
• No ANEXO A podem ser verificados os artigos publicados em periódicos e congressos, assim como os artigos que se encontram em estágio de elaboração;
• No ANEXO C são apresentadas figuras com zoom do plano entropia-complexidade e entropia-informação de Fisher.
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Esse capítulo tem como objetivo introduzir os conceitos teóricos que serão utilizados ao longo deste trabalho. Inicia-se abordando conceitos da teoria da informação como: entropia, divergência, complexidade estatística, planos causais entropia-complexidade e informação de Fisher. Ao longo da seção são feitas várias aplicações das ferramentas com dados sintéticos a fim de elucidar os conceitos apresentados.
A fim de prosseguir com a análise de séries temporais através de conceitos da teoria da informação é preciso representar as séries temporais por meio de uma função de densidade de probabilidade (PDF), para o caso de funções contínuas, e por meio de uma função de massa de probabilidade (PMF), para o caso discreto, que será sempre o caso no presente trabalho. Quatro métodos, provenientes de diferentes metodologias foram considerados para extração da PMF: método do espectro de potência (PS), método da permutação de padrões ou método de Bandt e Pompe (BP), método da wavelet packet tree (WPT) e método do ensemble empirical mode
decomposition (EEMD).
Cabe também ressaltar que pelo fato do presente trabalho tratar sempre com dados discretos, procurou-se manter a modelagem matemática condizente com as aplicações e em um nível que permita o entendimento, mesmos para leitores que não estejam habituados com a ferramenta. Contudo, existem obras como Yeung (2002), Cover e Thomas (2006) e Pardo (2006) e onde os conceitos da teoria da informação são detalhados com o rigor matemático necessário.
O estado da arte da aplicação das técnicas de diagnóstico e prognóstico de falhas em componentes de turbinas eólicas também é apresentado assim como as aplicações mais recentes de métodos da teoria da informação em turbinas eólicas.
Finalmente, as técnicas padrão utilizadas na análise de vibração de componentes mecânicos no domínio do tempo, domínio da frequência e domínio tempo-frequência são apresentados e discutidas e é apresentada a caracterização da vibração em rolamentos e engrenagens.
2.1 Fundamentação teórica
Historicamente, a teoria da informação surge com o trabalho de Shannon (1948) e a partir daí muitos cientistas recorrem e aprimoram os conceitos inicialmente propostos por Shannon com o intuito de reconstruir todos os conceitos da física teórica a partir da teoria da informação (ZAMORA, 2013).
Com o passar do tempo, essas técnicas foram adaptadas para permitir a aplicação às séries temporais e, a partir disso, as aplicações explodiram em várias áreas, como medicina, através da análise de sinais de eletroencefalograma (BLANCO et al., 1998), econofísica (ZANIN et al., 2012), música (RIBEIRO et al., 2012), hidrología (STOSIC et al., 2016), engenharia mecânica (BOSKOSKI; JURICIC, 2012; SINGH; DARPE; SINGH, 2017; YAN; LIU; GAO, 2012)(YAN; LIU; GAO, 2012;SINGH; DARPE; SINGH, 2017), hidrologia (STOSIC et al., 2016), entre outras.
A definição de entropia proposta por Shannon é o pilar principal para o desenvolvimento dos conceitos da teoria da informação. Nas seções a seguir o conceito de entropia e os conceitos correlatos são explicitados em detalhe.
2.1.1 Entropia da informação
Entropia é um conceito amplo e multidisciplinar. Na termodinâmica, o conceito embasa a segunda lei da termodinâmica, que estabelece que a entropia, 𝑆, de um processo irreversível sempre aumenta e para processos reversíveis ela se mantem constante, dessa forma, ela nunca diminui. A Equação 1 representa a segunda lei da termodinâmica e mostra que com o tempo, a entropia de um dado processo irreversível aumenta
∆𝑆(𝑡) ≥ 0 (1)
A fim de determinar a quantidade de informação contida em um dado conjunto de dados, Claude Shannon conceituou a entropia da informação, 𝑆(𝑃), de acordo com a Equação 2.
𝑆(𝑃) = − ∑ 𝑝𝑖log(𝑝𝑖)
𝑁
𝑖=1 ( 2)
onde 𝑃 = {𝑝1, 𝑝2, 𝑝3, … , 𝑝𝑁}, 𝑖 = 1 … 𝑁 , representa a PMF de uma determinada série temporal
e 𝑁 é o número total de amostras.
Neste caso, a entropia é, especificamente, uma medida da falta de informação ou da incerteza em se prever um determinado estado contido no conjunto de dados. Assim, para o caso de séries temporais, um sinal perfeitamente aleatório pode ser representado por uma distribuição equiprovável de eventos, distribuição uniforme, ou seja, onde todos os eventos têm a mesma probabilidade de ocorrer, 𝑝𝑖 = 1
𝑁. A entropia, neste caso, atinge o valor máximo, igual a log 𝑁,
conforme pode ser obtido pela Equação 2.
Já para um determinado evento totalmente previsível, onde todos os eventos têm probabilidade nula de ocorrer e apenas um evento com probabilidade igual a um, a entropia de Shannon assumiria o valor 0, que também pode ser verificado pela Equação 2. Por convenção, quando a probabilidade 𝑝𝑖 = 0, o valor da entropia 0 log 0 = 0. A Figura 4 apresenta a série temporal, a PMF e o valor de entropia calculado para o caso de uma série de dados aleatórios e uma série de dados com valor constante.
Figura 4 – Série temporal, função de massa de probabilidade e entropia de Shannon calculados para o caso de uma série de dados aleatórios e uma série constante.
Fonte: O próprio autor.
𝑆(𝑃) = 1
Como pode ser observado através da Equação 2, a entropia de Shannon é uma medida não paramétrica e que traz informações globais sobre as características da série temporal. Sabe-se que a entropia de Shannon é mais sensível na região com maiores valores de probabilidades. Contudo, como o objetivo é detectar as falhas dos componentes, que não fazem parte do comportamento mais provável, o foco na PMF é na “cauda” das distribuições e não na região com maior probabilidade de ocorrência. Foi devido a esse fato que Rényi (1961) propôs uma medida de entropia onde a sensibilidade pode ser ajustada por meio de um parâmetro, 𝛼, conforme Equação 3. 𝑅𝛼(𝑃) = 1 1 − 𝛼𝑙𝑜𝑔 ∑ 𝑝(𝑖) 𝛼 𝑁 𝑖=1 (3)
onde 𝛼 corresponde ao expoente de Rényi.
É importante ressaltar-se que 𝛼 = 1 é um caso especial e quando 𝛼 → 1, 𝑅𝛼(𝑃) → 𝑆(𝑃). Essa relação pode ser demonstrada aplicando-se a regra de l'Hôpital a lim
𝛼→1( 1 1−𝛼𝑙𝑜𝑔 ∑ 𝑝(𝑖) 𝛼 𝑁 𝑖=1 ).
A fim de explicitar o efeito do parâmetro 𝛼 no valor resultante da entropia de Rényi, considere uma distribuição de Bernoulli, 𝑃𝐵, representada a partir da Equação 4.
𝑃𝐵 = {1 − 𝑝 , ∀ 𝑝 ∈ [0,1] 𝑝 (4)
A Figura 5 apresenta os valores da entropia de Rényi aplicada à distribuição de Bernoulli (Equação 4) para vários valores de 𝛼 ∈ [0,1]. Como pode ser verificado na figura, o valor da entropia de Rényi é mínimo para 𝛼 = 1 (valor correspondente à entropia de Shannon) e cresce com a diminuição do parâmetro 𝛼, atingindo um máximo quando 𝛼 = 0.
Figura 5 – Entropia de Rényi para vários valores de 𝜶 aplicada a uma distribuição de Bernoulli.
Fonte: O próprio autor.
No presente trabalho, será utilizado o conceito de entropia normalizada com valores contidos no intervalo [0,1], onde para o valor 0 tem-se o valor mínimo e para o valor 1, o valor máximo. Dessa forma, as Equações 5 e 6 apresentam os valores normalizados das entropias de Shannon e Rényi, respectivamente. ℋ𝑆 = 𝑆(𝑃) 𝑆𝑚𝑎𝑥 = 𝑆(𝑃) log 𝑁 (5) ℋ𝑅 = 𝑅𝛼(𝑃) 𝑅𝑚𝑎𝑥 = 𝑅𝛼(𝑃) log 𝑁 (6) 2.1.2 Divergência
Enquanto a medida de entropia foca na incerteza associada à previsibilidade de uma série temporal, a divergência objetiva medir a distância que existe entre duas ou mais PMFs, ou seja, a divergência é uma medida de dissimilaridade entre duas ou mais distribuições. Existem várias medidas de divergência (BASSEVILLE, 2013), porém em função de suas características e, conforme recomendado por diversos autores (BOSKOSKI; JURICIC, 2012; SINGH; DARPE; SINGH, 2017), as funções de divergência de Jensen-Shannon e Jensen-Rényi foram escolhidas
para o monitoramento de vibração de componentes mecânicos, conforme Equação 7 e Equação 8, respectivamente. 𝐽𝑆𝐷𝜔(𝑃𝑀𝐹1, 𝑃𝑀𝐹2, … , 𝑃𝑀𝐹𝑁𝑝𝑚𝑓) = 𝑆 ( ∑ 𝜔𝑖𝑃𝑀𝐹𝑖 𝑁𝑝𝑚𝑓 𝑖=1 ) − ( ∑ 𝜔𝑖𝑆(𝑃𝑀𝐹𝑖) 𝑁𝑝𝑚𝑓 𝑖=1 ) (7) 𝐽𝑅𝐷𝛼𝜔(𝑃𝑀𝐹1, 𝑃𝑀𝐹2, … , 𝑃𝑀𝐹𝑁𝑝𝑚𝑓) = 𝑅𝛼( ∑ 𝜔𝑖𝑃𝑀𝐹𝑖 𝑁𝑝𝑚𝑓 𝑖=1 ) − ( ∑ 𝜔𝑖𝑅𝛼(𝑃𝑀𝐹𝑖) 𝑁𝑝𝑚𝑓 𝑖=1 ) (8)
onde 𝑃𝑀𝐹1, 𝑃𝑀𝐹2, … , 𝑃𝑀𝐹𝑁𝑝𝑚𝑓 correspondem a diferentes PMFs, 𝜔 = 𝜔1, 𝜔2… 𝜔𝑁𝑝𝑚𝑓 o conjunto de pesos da divergência de Jensen, 𝑆 corresponde à entropia de Shannon, 𝑅𝛼 corresponde à entropia de Rényi e 𝑁𝑝𝑚𝑓 corresponde ao número de PMFs.
No presente trabalho serão sempre utilizadas duas PMFs e uma delas será a PMF de referência, especificamente a distribuição uniforme, 𝑃𝑒. Nesse caso, as divergências de Jensen-Shannon e Jensen-Rényi podem ser representadas pela Equação 9 e Equação 10.
𝒥𝑆[𝑃, 𝑃𝑒] = 𝐽𝑆𝐷𝜔(𝑃𝑀𝐹1, 𝑃𝑒) = 𝑆(𝜔1𝑃𝑀𝐹1+ 𝜔2𝑃𝑒) − (𝜔1𝑆(𝑃𝑀𝐹1) + 𝜔2𝑆(𝑃𝑒)) (9) 𝒥𝑅[𝑃, 𝑃𝑒] = 𝐽𝑅𝐷𝛼𝜔(𝑃𝑀𝐹 1, 𝑃𝑒) = = 𝑅𝛼(𝜔1𝑃𝑀𝐹1 + 𝜔2𝑃𝑒) − (𝜔1𝑅𝛼(𝑃𝑀𝐹1) + 𝜔2𝑅𝛼(𝑃𝑒)) (10)
A Equação 9 é um caso particular da Equação 10 quando 𝛼 → 1.
2.1.3 Complexidade estatística
O conceito de complexidade estatística foi inicialmente proposto por López-Ruiz, Mancini e Calbet (1995) em uma tentativa de criar uma relação causal entre a dinâmica da série temporal
e seu respectivo valor de complexidade. Isso foi possível a partir do momento em que se passou a fazer a análise das séries temporais no plano entropia-complexidade. Segundo os autores, de forma bem básica, um sistema é classificado como complexo quando não pode ser representado por padrões simples. Por exemplo, a estrutura de um cristal, que é um sistema completamente ordenado, e um gás perfeito, sistema perfeitamente desordenado, podem ser classificados como simples (não complexo). Matematicamente, a complexidade estatística é definida através da Equação 11 e relaciona uma distância 𝒬𝐽, que no presente caso é determinado a partir da divergência de Jensen, e uma medida da quantidade de informação, ou falta dela, representado pela entropia ℋ𝑘.
𝒞[𝑃, 𝑃𝑒] = 𝒬𝐽[𝑃, 𝑃𝑒] . ℋ𝑘[𝑃, 𝑃𝑒] (11)
onde 𝑘 = 𝑆 𝑜𝑢 𝑅 para a entropia de Shannon e de Rényi, respectivamente.
A normalização da distância 𝒬𝐽 é dada pela Equação 12.
𝒬𝐽[𝑃, 𝑃𝑒] = 𝒬0 . 𝒥𝑘[𝑃, 𝑃𝑒] (12)
onde 𝒬0 ⊂ [0,1] é uma constante de normalização, dada pelo inverso do valor máximo 𝒥𝑘[𝑃, 𝑃𝑒], representada matematicamente pela Equação 13 quando a entropia de Shannon é utilizada e Equação 14 quando a entropia de Rényi é utilizada. (MARTIN; PLASTINO; ROSSO, 2006). 𝒬0𝑆 = −2 {(𝑁 + 1 𝑁 ) ln(𝑁 + 1) − 2 ln(2𝑁) + ln 𝑁} −1 (13) 𝒬0𝑅 = 2(𝛼 − 1) {𝑙𝑛 ((𝑁 + 1) (1−𝛼)+ (𝑁 − 1) 2(1−𝛼)𝑁 ) + (1 − 𝛼)𝑙𝑛 ( 𝑁 + 1 2𝑁 )} −1 (14) onde 𝑁 é o número de bins da PMF considerada.
2.1.3.1 O plano entropia-complexidade estatística
A utilização da complexidade estatística para a análise de séries temporais tem sua utilização reforçada quando é utilizado o plano entropia-complexidade estatística. Nesse plano é possível representar uma relação causal da dinâmica dos padrões para cada série temporal considerada. (ROSSO et al., 2012). Todos os possíveis valores dos pontos 𝒫(ℋ, 𝒞) estão limitados por duas
curvas, 𝒞𝑚𝑖𝑛 e 𝒞𝑚𝑎𝑥. Essas curvas são determinadas essencialmente em função da medida de
entropia, parâmetro 𝛼, medida de complexidade e do número de bins da PMF, 𝑁. (MARTIN; PLASTINO; ROSSO, 2006). A Figura 6 apresenta as curvas 𝒞𝑚𝑖𝑛 e 𝒞𝑚𝑎𝑥 para diferentes valores do parâmetro 𝛼 de Rényi para 𝑁 = 6.
Figura 6 – Curvas 𝓒𝒎𝒊𝒏 e 𝓒𝒎𝒂𝒙 para diferentes valores do parâmetro 𝜶 de Rényi e 𝑵 = 𝟔.
Fonte: Adaptado de Martin, Plastino e Rosso (2006).
2.1.4 A informação de Fisher
O conceito da informação de Fisher (FISHER, 1922) foi inicialmente concebido no campo da inferência estatística. Diferentemente da complexidade estatística, a informação de Fisher pode ser interpretada como uma medida de informação local, sendo sensível a pequenas perturbações da PMF. (ZAMORA, 2013).
Várias foram as tentativas de modelar a informação de Fisher para o caso discreto. As Equações 15 e 16 são algumas formas de discretização da informação de Fisher, a discretização de Frieden (2004) e de Ferri, Pennini e Plastino (2009), respectivamente.
ℱ[𝑃] = ∑(𝑝𝑖+1− 𝑝𝑖) 2 𝑝𝑖 𝑁 𝑖=1 (15) ℱ[𝑃] =1 4∑ 2 (𝑝𝑖+1− 𝑝𝑖)2 (𝑝𝑖+1+ 𝑝𝑖) 𝑁−1 𝑖=1 (16)
Após uma observação mais cautelosa da Equação 15, pode-se perceber que existe uma indefinição da informação de Fisher, ℱ[𝑃], quando 𝑝𝑖 = 0, no caso da discretização de Frieden.
Esse foi um dos fatores que levou Ferri, Pennini e Plastino (2009) a propor a discretização da Equação 16. Entretanto, apesar dessa discretização reduzir bastante a probabilidade de um denominador nulo, ainda existe a possibilidade de (𝑝𝑖+1+ 𝑝𝑖) = 0. Isso levou Olivares, Plastino e Rosso (2012) a propor uma nova discretização, onde não existe a possibilidade da divisão por zero e as premissas e características da informação de Fisher são mantidas. Tal discretização é apresentada na Equação 17.
ℱ[𝑃] = 𝐹0∑ [(𝑝𝑖+1) 1 2− (𝑝𝑖) 1 2] 2 𝑁−1 𝑖=1 (17)
Na Equação 17, 𝐹0 corresponde a constante de normalização que é dada pela Equação 18.
𝐹0 = { 1, 𝑠𝑒 𝑁 = 2 1, 𝑠𝑒 𝑝𝑖∗ = 1 𝑜𝑢 𝑝𝑖∗ = 𝑁, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑁 > 2 𝑒 𝑝𝑖 = 0 ∀𝑖 ≠ 𝑖∗ 1 2, 𝑞𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑟 𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 (18)
A discretização de Olivares, Plastino e Rosso será utilizada nesse trabalho por não estar susceptível a possíveis bins nulos na PMF.
A Figura 7 apresenta os valores da informação de Fisher para a distribuição de Bernoulli (Equação 4). Como pode ser verificado na figura, o valor da informação de Fisher é mínimo para 𝑝 = 0,5 (distribuição uniforme) atingindo um valor máximo igual a um quando 𝑝 = 1 ou 𝑝 = 0 (caso em que se tem 𝑝 = 1 para um dos possíveis estados).
Figura 7 – Informação de Fisher para a distribuição de Bernoulli através da discretização de Olivares, Plastino e Rosso.
Fonte: O próprio autor.
Da mesma forma que o plano entropia-complexidade estatística (ℋ𝑥𝒞) pode representar uma relação causal que pode caracterizar e diferenciar os fenômenos que acontecem nas séries temporais, Zamora (2013) propôs a utilização de um plano entropia-informação de Fisher (ℋ𝑥ℱ). Enquanto o plano entropia-complexidade estatística representa as características globais da PMF associadas a uma determinada série temporal, o plano entropia-informação de Fisher representa as características locais da referida PMF.
Na seção 2.1.3.1, foi discutido que todos os possíveis valores no plano ℋ𝑥𝒞 estão envelopados pelas curvas 𝒞𝑚𝑎𝑥 e 𝒞𝑚𝑖𝑛. Esse envelope não está presente no caso do plano ℋ𝑥ℱ e a variação
dos possíveis valores se dá no espaço ℋ ∈ [0,1] 𝑥 ℱ ∈ [0,1], o que claramente facilita a distinção entre as diferentes dinâmicas, pois o plano não está restrito. (ZAMORA, 2013).
2.2 Métodos para obtenção da PMF
Conforme verificado nas medidas de entropia, divergência, complexidade estatística e informação de Fisher, detalhados na Seção 2.1, o primeiro passo necessário é a determinação da PMF para representação de uma dada série temporal.
A PDF, para funções contínuas, ou a PMF, para dados discretos, é uma função que estabelece um valor de probabilidade de ocorrência 𝑃𝑟(𝑥) para um determinado valor 𝑥. Para o caso discreto, a PMF pode ser representada a partir da Equação 19.
𝑃𝑀𝐹(𝑥) = Pr(𝑋 = 𝑥) = Pr({𝑠 ∈ 𝑆 ∶ 𝑋(𝑠) = 𝑥}) (19)
onde X é uma variável discreta, contida em um espaço amostral S e a probabilidade Pr(𝑋 = 𝑥) ∈ [0,1].
A 𝑃𝑀𝐹(𝑥) precisa atender a seguinte premissa:
∑ 𝑃𝑀𝐹(𝑖)
𝑁
𝑖=1
= 1
(20) onde 𝑁 é o número de pontos no espaço amostral.
O presente trabalho tem por objetivo a avaliação do desempenho de quantificadores oriundos da teoria da informação para detecção e diagnóstico de falhas em componentes mecânicos, como rolamentos e engrenagens. A fim de verificar diferentes metodologias para obtenção da PMF, foram escolhidas as seguintes técnicas no domínio do tempo, domínio da frequência e domínio tempo-frequência:
• Domínio do tempo: permutação de padrões; • Domínio da frequência: espectro de potência;
• Domínio tempo-frequência: wavelet packet tree e ensemble empirical mode
decomposition.
Ao longo dessa seção, a fim de ilustrar os métodos para extração da PMF, será utilizado o mapa logístico, um modelo matemático bastante simples, mas de comportamento bastante dinâmico.
2.2.1 O mapa logístico
O mapa logístico é um modelo matemático determinístico que associa um dado número ao seu antecessor através da Equação 21.
𝑥𝑛+1 = 𝑟 𝑥𝑛(1 − 𝑥𝑛) (21)
onde 𝑟 representa a taxa de crescimento.
A Equação 21 foi inicialmente proposta pelo biólogo May (1976) como um modelo para representar o crescimento de populações de insetos. Essa equação, apesar de matematicamente simples, apresenta como resultante séries temporais com comportamentos distintos desde uma dinâmica estável, até bifurcações e comportamento não linear e caótico.
O mapa logístico pode ser representado a partir de um diagrama de bifurcação (Figura 8). O gráfico representa a órbita, que representa todos os possíveis valores da série, para cada valor específico da taxa de crescimento 𝑟. Esse diagrama pode ser obtido numericamente, assumindo um valor inicial para a série temporal e calculando-se as séries para cada valor de r. No presente caso, o valor inicial da série temporal utilizado foi 𝑥(0) = 0,1, a taxa de crescimento 𝑟 está contida no intervalo 2,5 ≤ 𝑟 ≤, 4 e 𝑟 foi incrementado com ∆𝑟= 0,0001.
Figura 8 – Diagrama de bifurcação do mapa logístico.
Fonte: O próprio autor.
Na Figura 8 é possível verificar-se diferentes regiões. Na região I, as séries temporais apresentam comportamento estável. Na região II, são observadas as bifurcações que representam uma mudança na dinâmica das séries temporais e, finalmente, na região III pode-se obpode-servar um comportamento caótico. Dessa forma, nessa pode-seção para cada método de extração da PMF, serão apresentados três exemplos de séries temporais, 𝑟 = 2,8, 𝑟 = 3,5 e 𝑟 = 3,9, uma para cada região, conforme apresentado na Figura 9. Na figura é possível se verificar o comportamento constante da série com 𝑟 = 2,8, periódico para 𝑟 = 3,5 e caótico para 𝑟 = 3,9.
