UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DO SERIDÓ
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E APLICADAS
GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA
JONAS JUSCELINO MEDEIROS DOS SANTOS
TEOREMA DE PITÁGORAS: UMA PROPOSTA DE ENSINO PARA A
EDUCAÇÃO BÁSICA
Caicó 2015
JONAS JUSCELINO MEDEIROS DOS SANTOS
TEOREMA DE PITÁGORAS: UMA PROPOSTA DE ENSINO PARA A
EDUCAÇÃO BÁSICA
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado à coordenação do Curso de Matemática do CERES, da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, como exigência parcial para obtenção do título de graduação em Licenciatura em Matemática.
Orientadora: Profª. Ma. Maria Maroni Lopes
Caicó 2015
Santos, Jonas Juscelino Medeiros Dos.
Teorema de Pitágoras: uma proposta de ensino para a educação básica / Jonas Juscelino Medeiros Dos Santos. - Caicó-RN: UFRN, 2016.
62f: il.
Orientadora: Ms. Maria Maroni Lopes.
Monografia (Licenciatura em Matemática) Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro de Ensino Superior do Seridó -Campus Caicó.
1. Teorema de Pitágoras. 2. História da Matemática. 3. Jogos educativos. 4. Software GeoGebra. I. Lopes, Maria Maroni. II. Título.
Dedico este trabalho a toda minha família, principalmente aos meus pais que sempre me incentivaram a estudar e sempre estão comigo me ajudando nos momentos em que penso em desistir e sempre me apoiam.
AGRADECIMENTOS
A Deus, o meu criador, que me abençoa sempre, me deu forças para continuar nesta jornada e nunca me abandona.
Aos meus pais, Maria José de Medeiros e Francisco Epitácio dos Santos, por todo incentivo, apoio e carinho que sempre me deram. Sem vocês eu não estaria aqui.
Aos meus irmãos, Patrícia e José, por estarem ao meu lado. A toda minha família, pois amo todos vocês.
À Profª Ma. Maria Maroni Lopes, minha orientadora, pela paciência e atenção que me foi dada ao longo da realização deste trabalho.
A todos os meus professores pelo conhecimento e sabedoria que me passaram ao longo da minha vida acadêmica.
A mente que se abre a uma nova ideia jamais voltará ao seu tamanho original.
RESUMO
Cada vez mais se faz necessário que o professor aproprie-se de diferentes metodologias de ensino que possibilite ao aluno um maior interesse pelo conhecimento matemático. O presente estudo objetiva analisar a relevância de diferentes metodologias de ensino e ferramentas pedagógicas que poderão auxiliar o professor em sala de aula tendo como perspectiva, promover uma aprendizagem significativa para o aluno. Assim, no presente estudo trata-se em específico da História da Matemática, dos jogos educativos, do material concreto e das Tecnologias de Informação e Comunicação – por meio de alguns dos recursos do software GeoGebra – no ensino e na aprendizagem do Teorema de Pitágoras. Investigou-se a história da Escola Pitagórica, onde se mesclava matemática e religiosidade, e algumas das demonstrações do Teorema de Pitágoras. Verificou-se por meio de estudos que a História da Matemática revela-se como uma importante ferramenta de auxílio ao professor em suas aulas, que por meio do jogo, o aluno passa a usar a matemática de maneira natural e lúdica permitindo-o encará-la como algo que está presente em seu cotidiano, não só na escola, mas em diversas situações do seu dia a dia e que o uso do GeoGebra pode facilitar o processo e visualização das demonstrações.
Palavras-chave: Teorema de Pitágoras. História da Matemática. Jogos educativos. Software GeoGebra.
ABSTRACT
Increasingly it is necessary that the teacher get hold of different teaching methodologies that allows the student a greater interest in mathematical knowledge. This study aims to analyze the relevance of different teaching methodologies and pedagogical tools that can help the teacher in the classroom acting as an instrument to promote a meaningful learning for the student. In the present study it deals in particular the history of mathematics, educational games, the concrete material and Information and Communication Technologies – through some of the features of the GeoGebra software – in teaching and learning the Pythagorean theorem. It was investigated the history of the Pythagorean School, where mathematics and religiosity were mingled, and some of the Pythagorean theorem proofs. It has been found through studies that the history of mathematics is revealed as an important support tool for teachers in their classes, that through the game, the student begins to use mathematics in a natural and playful way allowing you to approach it as something that is present in their daily lives, not only at school but in various situations of their everyday life and that the use of GeoGebra can facilitate the process and visualization of proofs.
Keywords: Pythagorean Theorem. History of Mathematics. Educational games. GeoGebra software.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 – Pentagrama... 13
Figura 2 – Teorema de Pitágoras... 15
Figura 3 – Plimpton 322... 15
Figura 4 – Triângulo retângulo e seus ângulos... 17
Figura 5 – Quadrado de lado (b + c) e triângulos... 18
Figura 6 – Triângulo retângulo... 19
Figura 7 – Trapézio retângulo... 19
Figura 8 – Triângulo retângulo e sua altura... 20
Figura 9 – Jogo Corrida Pitagórica... 33
Figura 10 – Jogo Trilha Pitagórica... 36
Figura 11 – Jogo Roleta Pitagórica... 39
Figura 12 – Triângulos sobre o quadrado I... 42
Figura 13 – Triângulos sobre o quadrado II... 42
Figura 14 – Triângulo retângulo com quadrados sobre os seus lados... 43
Figura 15 – Quebra-cabeça Pitagórico I... 43
Figura 16 – Quebra-cabeça Pitagórico II... 44
Figura 17 – Quatro triângulos retângulos e um quadrado... 45
Figura 18 – Quadrado formado pela junção das peças I... 45
Figura 19 – Quadrado formado pela junção das peças II... 45
Figura 20 – Triângulo retângulo ABC no software GeoGebra... 46
Figura 21 – Triângulo retângulo ABC e seus ângulos no GeoGebra... 47
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO... 10
2 BREVE HISTÓRIA: ESCOLA PITAGÓRICA E TEOREMA DE PITÁGORAS... 12
2.1 A ESCOLA PITAGÓRICA... 12
2.2 O TEOREMA DE PITÁGORAS... 14
3 ALGUMAS DEMONSTRAÇÕES DO TEOREMA DE PITÁGORAS... 17
3.1 A PROVÁVEL DEMONSTRAÇÃO DE PITÁGORAS... 17
3.2 A DEMONSTRAÇÃO DO PRESIDENTE GARFIELD... 18
3.3 DEMONSTRAÇÃO POR SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS... 20
4 O TEOREMA DE PITÁGORAS: INVESTIGANDO DIFERENTES METODOLOGIAS... 22
4.1 HISTÓRIA DA MATEMÁTICA COMO ESTRATÉGIA DIDÁTICA... 22
4.2 JOGOS E MATERIAL CONCRETO NA SALA DE AULA DE MATEMÁTICA... 26
4.3 O SOFTWARE GEOGEBRA COMO FERRAMENTA DE ENSINO... 29
5 ATIVIDADES PROPOSTAS... 32 5.1 CORRIDA PITAGÓRICA... 32 5.2 TRILHA PITAGÓRICA... 35 5.3 ROLETA PITAGÓRICA... 38 5.4 TRANSPOSIÇÃO DE TRIÂNGULOS... 41 5.5 QUEBRA-CABEÇA PITAGÓRICO... 42
5.6 O QUADRADO E OS QUATRO TRIÂNGULOS RETÂNGULOS... 44
5.7 CONSTRUINDO UM TRIÂNGULO RETÂNGULO ABC NO GEOGEBRA... 46
5.8 CONSTRUINDO QUADRADOS SOBRE OS LADOS DO TRIÂNGULO RETÂNGULO... 48
5.9 PESQUISA E DISCUSSÃO SOBRE PITÁGORAS E A ESCOLA PITAGÓRICA... 49
5.10 PESQUISA E DISCUSSÃO SOBRE O TEOREMA DE PITÁGORAS... 50
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS... 51
REFERÊNCIAS... 53
ANEXO A – TRANSPOSIÇÃO DE TRIÂNGULOS... 56
ANEXO B – QUEBRA-CABEÇA PITAGÓRICO... 57
ANEXO C – O QUADRADO E OS QUATRO TRIÂNGULOS RETÂNGULOS... 58
APÊNDICES... 59
APÊNDICE A – CORRIDA PITAGÓRICA... 60
APÊNDICE B – TRILHA PITAGÓRICA... 61
1 INTRODUÇÃO
A matemática é uma disciplina de grande relevância no processo de formação do aluno. Ela está presente em diversas situações do nosso cotidiano, embora muitos não a vejam com bons olhos. Ao longo da sua história, a matemática influenciou no desenvolvimento e aperfeiçoamento das outras áreas de conhecimento. A matemática está presente na tecnologia, na economia, na construção de um edifício, em uma ida ao supermercado. Onde quer que olhamos, encontramos matemática. No formato dos objetos, na natureza, no despertador que nos acorda, enfim, em quase tudo. Infelizmente, alguns alunos ainda a veem como a pior disciplina de todas e acham as aulas chatas e cansativas, perdendo a oportunidade de descobrir o quão incrível ela é.
Um importante e conhecido teorema é o “Teorema de Pitágoras”. Embora seu aprendizado seja primordial e de fácil compreensão, alguns alunos acabam o esquecendo. De grande aplicação na matemática, esse teorema é pré-requisito necessário ao aprendizado de outros conteúdos. Mas, de que modo poderia o professor promover a aprendizagem do aluno sem que este o esquecesse? Como estimular no aluno o interesse pela matemática e em específico por estudos que tratem do Teorema de Pitágoras? Alguns questionamentos tem nos inquietado na nossa prática enquanto professor em formação inicial.
Diversas metodologias têm sido estudadas, procurando-se orientar o professor para inovar em suas aulas e facilitar o aprendizado do assunto que está sendo ministrado. A História da Matemática, os jogos educativos, o material concreto e o uso dos recursos das Tecnologias de Comunicação e Informação são algumas dessas metodologias.
Assim, no presente estudo pretende-se fazer uma análise sobre que potencialidades esses recursos metodológicos poderiam desenvolver no aluno e de que modo isso ajudaria no aprendizado do Teorema de Pitágoras. Enfatizaremos a história do referido teorema e do matemático Pitágoras, com destaque para a Escola Pitagórica.
Sabe-se que os jogos educativos – com abordagem matemática – são importantes ferramentas pedagógicas no processo de ensino e de aprendizagem de conteúdos matemáticos, nesse sentido, elaborou-se um bloco de atividades tendo como ferramenta metodológica os jogos, como propostas para sala de aula do Ensino Fundamental. Nesta mesma perspectiva, investigou-se a importância e aplicabilidade do uso dos recursos do software GeoGebra, como ferramenta que possibilite o processo de visualização dos conceitos e propriedades, por meio de construções geométricas.
O presente trabalho não pretende apresentar recursos para substituir as aulas expositivas, mas sim, recursos para auxiliar o professor e tornar essas aulas mais atrativas.
De acordo com o exposto acima, elaborou-se os objetivos que direcionam o foco de nosso estudo.
1.1 OBJETIVOS
Objetivo Geral
Analisar a importância da utilização de metodologias diversificadas – História da Matemática, jogos e Tecnologias de Informação e Comunicação e material concreto – no processo de ensino e de aprendizagem do Teorema de Pitágoras.
Objetivo específico
Elaborar um bloco de atividades, com sugestões de uso para sala, utilizando os recursos da História da Matemática, dos jogos, do material concreto e do software GeoGebra no ensino e na aprendizagem do Teorema de Pitágoras.
O nosso estudo está organizado da seguinte forma: o primeiro capítulo é constituído da introdução, uma breve apresentação do trabalho a qual destaca o que será abordado ao longo do trabalho; o segundo capítulo abordará a história de Pitágoras, do Teorema de Pitágoras e da Escola Pitagórica; no terceiro capítulo são apresentadas algumas demonstrações do Teorema de Pitágoras; o quarto capítulo apresenta novas metodologias de ensino que poderão auxiliar o professor em suas aulas. Embasada nas concepções e estudos de pesquisadores que adotam como abordagem teórica a História da Matemática como recurso para sala de aula de matemática, dos jogos matemáticos e da tecnologia, com enfoque especial ao software GeoGebra, no aprendizado dos alunos; o quinto capítulo se constitui de algumas atividades propostas que os professores de matemática poderão utilizar em suas aulas, tanto de modo como estão apresentadas quanto de forma adaptada e no sexto capítulo são apresentadas as considerações finais.
2 BREVE HISTÓRIA: ESCOLA PITAGÓRICA E TEOREMA DE PITÁGORAS
2.1 A ESCOLA PITAGÓRICA
Pitágoras foi um grande matemático que viveu por volta do século V a.C. e nasceu na ilha egeia de Samos na Grécia. Segundo a tradição, Pitágoras esteve no Egito. Conforme Eves (2004, p. 97) “é possível que Pitágoras tenha sido discípulo de Tales, pois era 50 anos mais novo do que este e morava perto de Mileto, onde vivia Tales”.
Em Crotona, colônia grega situada na então Magna Grécia, atual Itália, fundou a famosa Escola Pitagórica, sociedade secreta cujos membros viviam uma vida dedicada aos estudos. Seus membros seguiam regras ditadas por seu mestre Pitágoras. A sociedade mantinha regras vegetarianas, pois, devido a sua crença na metempsicose (transmigração de almas), onde acreditava que uma pessoa poderia reencarnar tanto em um animal quanto em um ser humano, Pitágoras proibia os seus membros de matar animais ou, pelo menos, aconselhava-os a não fazer isso, uma vez que se poderia estar matando a nova morada da alma de um ente querido de uma vida anterior. Pitágoras é envolto em misticismo, na verdade, nem se sabe se ele ao menos existiu, uma vez que os documentos que falam de sua existência foram escritos bastante tempo depois.
A principal fonte que menciona Pitágoras é o Sumário Eudemiano de Proclo. Proclo viveu por volta de um milênio depois da existência de Pitágoras, mas teve acesso a muitos trabalhos históricos que se perderam ao longo do tempo. De acordo com Eves (2004),
Nossa principal fonte de informações a respeito dos primeiros passos da matemática grega é o chamado Sumário Eudemiano de Proclo. Esse sumário consiste nas páginas de abertura do Comentário sobre Euclides, Livro I, de Proclo e é um breve resumo do desenvolvimento da geometria grega desde seus primeiros tempos até Euclides. Embora Proclo tivesse vivido no século V d.C., mais de um milênio depois do início da matemática grega, ele ainda teve acesso a muitos trabalhos históricos e críticos que de então para cá se perderam, salvo alguns fragmentos e alusões preservados por ele próprio e outros. (p. 97)
Nesse sentido, alguns historiadores destacam que Proclo pode ter sido responsável por uma síntese que mistura as ideias de Eudemo sobre a pureza dos métodos pitagóricos com as atribuições desse feito a um homem, Pitágoras. Assim, não se pode afirmar ao certo que o Teorema de Pitágoras seja do próprio Pitágoras. De acordo com Roque (2012) a historiografia
da matemática costuma analisar, entre as épocas de Tales e de Euclides as contribuições da Escola Pitagórica do século V a.C. Os ensinamentos dessa escola teriam influenciado um outro matemático importante desse período, Hipócrates de Quios. Encontra-se na literatura também algumas referências a Pitágoras como um dos primeiros matemáticos gregos. Contudo, essas afirmações são hoje fortemente questionadas pelos historiadores.
A Escola Pitagórica era uma espécie de seita, onde eram realizados ritos secretos e cerimônias. O símbolo da irmandade era o pentagrama, estrela de cinco pontas formada pelas diagonais de um pentágono regular.
Figura 1: Pentagrama Fonte: Elaborada pelo autor.
Os pitagóricos estudavam o quadrivium (aritmética, geometria, música e astronomia). Para Pitágoras tudo era número, mais especificamente, números inteiros positivos, uma vez que na época tinha-se conhecimento apenas desses números e dos números fracionários, também positivos.
A filosofia pitagórica baseava-se na suposição de que a causa última das várias características do homem e da matéria são os números inteiros. Isso levava a uma exaltação e ao estudo das propriedades dos números e da aritmética (no sentido de teoria dos números), junto com a geometria, a música e a astronomia, que constituíam as artes liberais básicas do programa de estudos pitagórico. Esse grupo de matérias tornou-se conhecido na Idade Média como quadrivium, ao qual se acrescentava o trivium, formado de gramática, lógica e retórica. Essas sete artes liberais vieram a ser consideradas como a bagagem cultural necessária de uma pessoa educada. (EVES, 2004, p. 97).
Os Pitagóricos cultuavam os números. Eles dividiam os números em pares e ímpares, se referindo aos ímpares como masculinos e pares como femininos. Eles descobriram os números perfeitos, abundantes, amigáveis e deficientes. De acordo com Boyer (1996),
O número um, diziam eles, é o gerador dos números e o número da razão; o dois é o primeiro número par, ou feminino, o número da opinião; três é o primeiro número masculino verdadeiro, o da harmonia, sendo composto de unidade e diversidade; quatro é o número da justiça ou retribuição indicando o ajuste de contas; cinco é o
número do casamento, união dos primeiros números verdadeiros feminino e masculino; e seis é o número da criação. Cada número, por sua vez, tinha seus atributos peculiares. O mais sagrado era o dez ou o tetractys, pois representava o número do universo, inclusive a soma de todas as possíveis dimensões geométricas. (p. 36)
As descobertas da Escola Pitagórica eram mantidas em segredo. Em um de seus estudos, os pitagóricos descobriram a existência de √ , um número que não podia ser escrito como a razão de dois números inteiros, abalando a crença dos pitagóricos.
O número hoje conhecido por √ pode ter sido obtido de duas formas distintas. De uma maneira geométrica, ao se calcular a diagonal do quadrado de lado 1. Ou ainda, de uma forma puramente aritmética, obtendo-se a média geométrica entre a unidade e duas vezes a unidade, ou seja, 1/x = x/2. O número assim produzido e a unidade são incomensuráveis, ou seja, inexiste uma unidade básica a partir da qual ambos podem ser obtidos como múltiplos inteiros. Tal descoberta, talvez a mais importante descoberta matemática da época, entrou em choque com a visão mística que Pitágoras tinha dos números, a ponto de colocar em dúvida a adequação de sua concepção numérica do universo. Pela primeira vez na história a matemática viveu uma crise em seus fundamentos. (MOL, 2013, p. 34)
A descoberta deveria ser mantida em segredo, mas conta-se a lenda que um dos membros deixou vazar a informação, o que lhe custou a morte, sendo lançado ao mar por revelar o segredo a estranhos. A influência da irmandade se tornou tão grande que teve seu templo destruído, mas permaneceu ainda existindo por anos, com seguidores espalhados por diversos lugares.
Com o tempo, a influência e as tendências aristocráticas da irmandade tornaram-se tão grandes que forças democráticas do sul da Itália destruíram os prédios da escola fazendo com que a confraria se dispersasse. Segundo um relato, Pitágoras fugiu para Metaponto onde morreu, talvez assassinado, com uma idade avançada entre 75 e 80 anos de idade. A irmandade, embora dispersa, continuou a existir por pelo menos mais dois séculos. (EVES, 2004, p. 97)
A Escola Pitagórica trouxe grandes contribuições à matemática, uma das mais importantes com certeza é o conhecido Teorema de Pitágoras que será discutido a seguir.
2.2 O TEOREMA DE PITÁGORAS
Várias descobertas foram feitas na irmandade, mas a mais famosa, e talvez mais importante, foi o conhecido Teorema de Pitágoras. Todo aluno do 9º ano do Ensino Fundamental estuda que “em qualquer triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é igual à
soma dos quadrados dos catetos” (GARBI, 2007, p. 27), mas detalhadamente, num triângulo retângulo de lados a, b e c, temos que a2 = b2 + c2, como está ilustrado na figura abaixo:
Figura 2: Teorema de Pitágoras Fonte: Elaborada pelo autor
Como posto, não se sabe ao certo se esse teorema foi realmente descoberto por Pitágoras, uma vez que era comum atribuir ao mestre as descobertas.
Conhecimento e propriedade eram comuns, por isso a atribuição de descobertas não era feita a um membro específico da escola. É melhor, por isso, não falar na obra de Pitágoras mas antes das contribuições dos pitagóricos, embora na antigüidade [sic] fosse usual dar todo o crédito ao mestre. (BOYER, 1996, p.33)
No Plimpton 322, um tablete de argila da era babilônica que se encontra na Universidade de Columbia localizada na cidade de Nova Iorque nos Estados Unidos, podemos encontrar registros de que os babilônios já tinham conhecimento desse teorema. Esses registros são números gravados em escrita cuneiforme no sistema sexagesimal, interpretados pela maioria dos historiadores como sendo ternos pitagóricos, ou seja, lados de um triângulo retângulo.
Figura 3: Plimpton 322
Conforme Berlingoff e Gouvêa (2008),
Se procurarmos evidência de que as pessoas sabiam o teorema, entretanto, nós o encontramos, de uma forma ou de outra, em todo o mundo antigo – na Mesopotâmia, no Egito, na Índia, na China e, sim, na Grécia. Algumas das referências mais antigas são da Índia, no Sulbasutras, que data de algum período durante o primeiro milênio a.C.. Nelas podemos ler que a diagonal de um retângulo “produz tanto quanto é produzido individualmente pelos dois lados”. Enunciados parecidos são encontrados em todas as culturas antigas. [...] Assim, a evidência sugere que o Teorema de Pitágoras era realmente conhecido por todas as culturas matemáticas bem antes da época do próprio Pitágoras. E essas culturas sabiam também encontrar trios de números inteiros que se “ajustariam” ao teorema. (p. 144)
A importância desse teorema é incontestável. A descoberta do mesmo trouxe grandes contribuições à matemática. Devido a sua descoberta, novos estudos foram iniciados provocando um “efeito dominó” de importantes realizações matemáticas que não seriam possíveis sem a existência desse teorema.
O Teorema de Pitágoras permanece extremamente importante. Ele é um dos resultados mais utilizados na geometria elementar, tanto teoricamente quanto na prática. [...] Uma fórmula bem conhecida da geometria cartesiana também segue diretamente desse teorema: a distância entre dois pontos com coordenadas e é: √ (BERLINGOFF; GOUVÊA, 2008, p.
148).
Encontra-se em Mendes (2009) afirmações que comungam com esse pensamento:
O teorema de Pitágoras é [...] um fato memorável, visto que a partir de sua elaboração desencadeou-se o estudo da distância, levando à criação do sistema de coordenadas, até a elaboração da geometria analítica, o que nos conduziu ao cálculo diferencial, provocando assim, finalmente, o aparecimento da análise, entre outros. (MENDES, 2009, p. 72)
Muitas demonstrações desse teorema já foram feitas. Desde demonstrações simples até demonstrações mais complexas. “E. S. Loomis, na segunda edição de seu livro, The
Pythagorean Proposition, coletou e classificou nada menos que 370 dessas demonstrações.”
(EVES, 2004, p. 104). Strathern (1998) afirma que o Teorema de Pitágoras possui mais provas conhecidas do que qualquer outro Teorema.
A grande importância do Teorema de Pitágoras é evidente. No capítulo seguinte, serão apresentadas algumas demonstrações desse teorema.
3 ALGUMAS DEMONSTRAÇÕES DO TEOREMA DE PITÁGORAS
Apresentaremos a seguir três demonstrações do Teorema de Pitágoras. A primeira demonstração é aquela que provavelmente foi feita por Pitágoras, a segunda foi dada pelo Presidente Garfield e a terceira é uma demonstração por semelhança de triângulos.
3.1 A PROVÁVEL DEMONSTRAÇÃO DE PITÁGORAS
Segundo Strathern (1998), a demonstração apresentada a seguir é uma versão simplificada da prova chinesa encontrada no Chou pei suan ching. Segundo Garbi (2007), o
Chou pei suan ching é um célebre livro, a primeira obra chinesa inteiramente dedicada à
Matemática e, provavelmente, é do século XII a.C.. Ainda, segundo Garbi (2007), a demonstração apresentada a seguir pode ter sido aquela dada por Pitágoras.
Seja um triângulo retângulo de catetos b e c e hipotenusa a, cujos ângulos internos agudos são e , conforme a Figura 4.
Figura 4: Triângulo retângulo e seus ângulos Fonte: Elaborada pelo autor
Considere um quadrado de lado (b + c) e construam-se nele quatro triângulos retângulos iguais ao triângulo dado, conforme Figura 5.
Figura 5: Quadrado de lado (b + c) e triângulos Fonte: Elaborada pelo autor
Inicialmente, mostremos que o quadrilátero de lado a também é um quadrado. Sabemos que a soma dos ângulos internos agudos de um triângulo retângulo é igual a 90º. Assim, + = 90º. Daí segue que cada ângulo interno do quadrilátero de lado a deve ser reto. Portanto, o quadrilátero de lados medindo a é um quadrado.
Temos que a área do quadrado maior é (b + c)2, a do quadrado menor é a2 e cada triângulo tem área igual a . Perceba que a área do quadrado de lado (b + c) é igual à soma das áreas dos quatro triângulos retângulos de catetos b e c com a área do quadrado de lado a. Logo,
a2 + = (b + c)2 a2 + 2bc = b2 + 2bc + c2
a2 = b2 + c2.
3.2 A DEMONSTRAÇÃO DO PRESIDENTE GARFIELD
A demonstração apresentada a seguir foi dada por James Abram Garfield (1831-1881) em 1876. James A. Garfield foi o vigésimo presidente dos Estados Unidos, governando de 4 de março a 19 de setembro de 1881, quando veio a falecer. A demonstração é dada a partir de um trapézio retângulo formado pela junção de três triângulos retângulos.
Seja um triângulo retângulo de catetos b e c e hipotenusa a, cujos ângulos internos agudos são e (ver Figura 6).
Figura 6: Triângulo retângulo Fonte: Elaborada pelo autor
Considere um trapézio de bases b e c e altura (b + c) e construam-se nele dois triângulos retângulos iguais ao triângulo dado e um triângulo isósceles com dois de seus lados iguais a a, como mostra a Figura 7.
Figura 7: Trapézio retângulo Fonte: Elaborada pelo autor
Inicialmente, mostremos que o triângulo isósceles é retângulo. Sabemos que a soma dos ângulos internos agudos de um triângulo retângulo é igual a 90º. Assim, + = 90º. Temos que + + = 180º. Daí, = 90º. Portanto, o triângulo isósceles com dois de seus lados medindo a é um triângulo retângulo.
A área do trapézio é , dois triângulos retângulos têm área igual a e o outro tem área igual a . Perceba que a área do trapézio é igual à soma das áreas dos três triângulos retângulos. Logo,
bc + bc + a2 = (b + c)2 2bc + a2 = b2 + 2bc + c2
a2 = b2 + c2.
3.3 DEMONSTRAÇÃO POR SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
A próxima demonstração parte de um triângulo retângulo dividido pela altura em dois triângulos retângulos. A partir daí, são usados os critérios de semelhança de triângulos para mostrar que os triângulos são semelhantes e, então, chegar a demonstração do teorema.
Tracemos a altura h de um triângulo retângulo ABC com AB = c, BC = a e AC = b. Seja H o ponto de intersecção da altura com o segmento ̅̅̅̅. Tem-se que BH = m e HC = n, como mostra a Figura 8.
Figura 8: Triângulo retângulo e sua altura Fonte: Elaborada pelo autor
Inicialmente mostraremos que . Temos que ̂ ̂ , pois ambos são ângulos retos e ̂ ̂ por serem coincidentes. Assim, pelo critério de semelhança de triângulos AA (Ângulo, Ângulo), .
Agora, mostraremos que . Temos que ̂ ̂ , pois ambos são ângulos retos e ̂ ̂ por serem coincidentes. Desse modo, pelo critério de semelhança de triângulos AA (Ângulo, Ângulo), .
Como e , então . Pelas semelhanças de triângulo apresentadas acima, temos e . Daí, c2 = a m e b2 = a n. Assim,
b2 + c2 = a m + a n
b2 + c2 = a (m + n), mas (m + n) = a, então b2 + c2 = a2.
Visando mostrar ao professor de Matemática novas ferramentas educacionais para este ensinar o Teorema de Pitágoras, serão apresentadas, no capítulo seguinte, metodologias diferenciadas para se trabalhar esse teorema.
4 O TEOREMA DE PITÁGORAS: INVESTIGANDO DIFERENTES METODOLOGIAS
Este capítulo constitui-se da apresentação e investigação de diferentes metodologias que podem orientar o professor de matemática em suas aulas. Tendo como base as pesquisas de diferentes estudiosos, analisaremos o quanto essas metodologias podem contribuir com as aulas de matemática de modo a torná-las mais atrativas.
4.1 HISTÓRIA DA MATEMÁTICA COMO ESTRATÉGIA DIDÁTICA
Muitos alunos estudam o Teorema de Pitágoras e não sabem ao menos quem foi Pitágoras, o matemático ao qual esse teorema é atribuído. Eles não conseguem ver sentido nesse aprendizado e isso às vezes gera um desinteresse. A História da Matemática poderia possibilitar nesse aluno uma maior identificação com o conteúdo que está sendo estudado de modo que gerasse um interesse por parte do mesmo de entender um pouco mais esse teorema e sua origem. Instigar a curiosidade do aluno possibilita um maior entusiasmo. A História da Matemática permite que o aluno crie um vínculo maior com o conteúdo.
Alguns matemáticos, historiadores matemáticos e educadores matemáticos defendem a História da Matemática como meio para motivar o ensino-aprendizagem desta disciplina. Segundo Miguel (1997, p. 75), “os partidários desse ponto de vista acreditam que o conhecimento histórico dos processos matemáticos despertaria o interesse do aluno pelo conteúdo que está sendo ensinado”.
Esse novo modelo de ensino permite uma ruptura no antigo modelo de ensino tradicional baseado apenas em fórmulas e cálculos que por muitas vezes não tem significado algum para os alunos. Mendes (2009) afirma que:
Pode-se considerar, inicialmente, que o uso da história como um recurso pedagógico tem como principal finalidade promover um ensino-aprendizagem da Matemática que busque dar uma ressignificação ao conhecimento matemático produzido pela sociedade ao longo dos tempos. Com essa prática, considero ser possível imprimir maior motivação e criatividade cognitiva às atividades de sala de aula durante nossa ação docente, pois esse modo de conceber o ensino da matemática pode constituir-se em um dos agentes provocadores de ruptura na prática tradicional educativa vivida até hoje nas aulas de matemática. (p. 76)
Miguel (1997) destaca 12 potencialidades pedagógicas da História da Matemática:
1. A História como sendo uma fonte de motivação para o ensino-aprendizagem da matemática;
2. A História constituindo-se como fonte de objetivos para o ensino da matemática;
3. A História como uma fonte de métodos adequados de ensino da matemática; 4. A História como sendo uma fonte para a seleção de problemas práticos,
curiosos, informativos e recreativos a serem incorporados nas aulas de matemática;
5. A História como instrumento que possibilita a desmistificação da matemática e a desalienação de seu ensino.
6. A História como instrumento de formalização de conceitos matemáticos; 7. A História como instrumento de promoção do pensamento independente e
crítico;
8. A História como instrumento unificador dos vários campos da matemática; 9. A História como instrumento promotor de atitudes e valores;
10. A História como instrumento de conscientização epistemológica;
11. A História como instrumento de aprendizagem significativa e compreensiva da matemática;
12. A História como instrumento que possibilita o resgate da identidade cultural.
São várias as potencialidades que essa ferramenta pedagógica pode desenvolver no aluno e são diversas as formas de se trabalhar com a mesma. Algumas dessas potencialidades são citadas nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) de Matemática (BRASIL, 1998), dentre elas, a promoção de atitudes e valores e o resgate da identidade cultural.
Segundo os PCN,
A História da Matemática pode oferecer uma importante contribuição ao processo de ensino e aprendizagem dessa área do conhecimento. Ao revelar a Matemática como uma criação humana, ao mostrar necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, ao estabelecer comparações entre os conceitos e processos matemáticos do passado e do presente, o professor cria condições para que o aluno desenvolva atitudes e valores mais favoráveis diante desse conhecimento. Além disso, conceitos abordados em conexão com sua história constituem veículos de informação cultural, sociológica e antropológica de grande valor formativo. A História da Matemática é, nesse sentido, um instrumento de resgate da própria identidade cultural. (BRASIL, 1998, p. 42)
Assim sendo, essa metodologia de ensino vai além de um mero instrumento de aprendizagem de conteúdos, mas, além disso, desenvolve atitudes e valores no aluno, onde o mesmo passa a aceitar esse saber de maneira mais favorável, propiciando também ao mesmo, conhecimentos culturais, sociológicos e antropológicos.
Esse recurso também permite ao educando conhecer a importância de conteúdos matemáticos, em nosso estudo em específico, do Teorema de Pitágoras e suas contribuições ao desenvolvimento da sociedade atual e da tecnologia, de modo que se mude a visão de alguns alunos que não dão importância ao referido conteúdo que está sendo ensinado por não perceber o seu real valor.
Ao verificar o alto nível de abstração matemática de algumas culturas antigas, o aluno poderá compreender que o avanço tecnológico de hoje não seria possível sem a herança cultural de gerações passadas. Desse modo, será possível entender as razões que levam alguns povos a respeitar e conviver com práticas antigas de calcular, como o uso do ábaco, ao lado dos computadores de última geração. (BRASIL, 1998, p. 42-43)
A matemática não foi criada por uma única pessoa, ela foi se desenvolvendo ao longo da história e diversas pessoas e civilizações com diferentes culturas deram suas contribuições à matemática. É importante que os alunos percebam a grandeza da matemática e que todos esses conhecimentos estão interligados e o quanto contribuíram para o desenvolvimento das civilizações. A matemática não surgiu à toa, ela surgiu das diferentes necessidades encontradas em determinadas épocas. As grandes descobertas matemáticas não surgiram sem grandes matemáticos e a dedicação que os mesmos tiveram a determinados conteúdos. Segundo Berlingoff e Gouvêa (2008),
Uma maneira de usar a história é fornecer uma visão mais ampla. É muito comum que os estudantes pensem na matemática da escola como uma coleção arbitrária de pedaços de informação. Mas não é assim que a matemática é criada. As pessoas agem por uma razão, e tipicamente constroem seu trabalho sobre outros anteriores em uma vasta rede de colaboração entre gerações. A informação histórica nos permite compartilhar essa “grande figura” com os estudantes. Também serve para explicar por que certas ideias foram desenvolvidas. (p. 3)
É essa matemática que o professor precisa que o aluno veja que o aluno aprenda, não apenas mais um conteúdo curricular para se usar em provas ou em processos seletivos como o ENEM (Exame Nacional do Ensino Médio).
Não servindo apenas como um meio para se ter um conhecimento histórico sobre o conteúdo, a História da Matemática também pode servir para dar respostas a alguns porquês levantados pelos discentes, um meio de esclarecer ideias.
Em muitas situações, o recurso à História da Matemática pode esclarecer idéias [sic] matemáticas que estão sendo construídas pelo aluno, especialmente para dar respostas a alguns porquês e, desse modo, contribuir para a constituição de um olhar mais crítico sobre os objetos de conhecimento. Assim, a própria história dos conceitos pode sugerir caminhos de abordagem deles, bem como os objetivos que se pretendem alcançar com eles. (BRASIL, 1998, p. 43)
Mas isso não deve ser dado de forma desmotivadora e monótona, mas de forma que desperte a atenção do aluno. O importante é os alunos não apenas memorizarem o conteúdo
como, às vezes, os mesmos fazem na disciplina de História, mas realmente se envolverem com o tal. Isso é enfatizado pelos PCN que mencionam que
[...] essa abordagem não deve ser entendida simplesmente que o professor deva situar no tempo e no espaço cada item do programa de Matemática ou contar sempre em suas aulas trechos da história da Matemática, mas que a encare como um recurso didático com muitas possibilidades para desenvolver diversos conceitos, sem reduzi-la a fatos, datas e nomes a serem memorizados. (BRASIL, 1998, p. 43)
Uma forma de se alcançar esse objetivo é sempre fazer uma relação da história que está sendo contada com a realidade do aluno, sempre regada de questionamentos que os alunos devem tentar responder e, até mesmo, de forma divertida e engraçada. Cabe ao professor buscar o melhor meio para se fazer isso.
Alguns autores dão sugestões de como a História da Matemática pode ser usada em sala de aula de modo a envolver o aluno mais ativamente. Berlingoff e Gouvêa (2008) sugerem atividades de pesquisa para que o aluno aumente a apropriação da matemática.
A história é também boa fonte para atividades escolares. Elas podem ser tão simples como pedir aos estudantes que pesquisem a vida de um matemático, ou elaboradas como um projeto que procure levar os alunos a reconstruir o caminho histórico que conduziu os matemáticos à descoberta. Às vezes, podem envolver que estudantes (os mais velhos) tentem ler fontes originais. Esses são modos de aumentar a apropriação da matemática por eles, fazendo com que fiquem ativamente envolvidos. (BERLINGOFF; GOUVÊA, 2008, p. 4)
Essas atividades também podem ser investigatórias permitindo que o aluno participe efetivamente na construção de seu conhecimento como sugere Mendes (2009).
[...] proponho que a história da Matemática seja encarada como o princípio unificador das faces cotidiana, escolar e científica da Matemática, cujo ensino deve ser praticado por meio de atividades investigatórias focadas em seu desenvolvimento histórico. Pressupõe-se, com isso, uma reconstrução dos aspectos matemáticos a serem abordados na sala de aula, visto que as informações históricas raramente são utilizadas como elemento gerador da aprendizagem da Matemática, quer seja na ação pedagógica do professor, quer seja nos livros didáticos adotados por ele. (MENDES, 2009, p. 7)
O uso da investigação histórica no ensino da Matemática por meio de atividades pressupõe que a participação efetiva do aluno na construção de seu conhecimento escolar constitui-se um aspecto preponderante nesse procedimento didático, pois o ato de ensinar/aprender ocorre nas relações interativas entre professor e alunos e entre os alunos, que podem ser integradas na exploração de atividades investigatórias. (MENDES, 2009, p. 9).
No próximo capítulo, serão sugeridas algumas atividades propostas envolvendo a história da matemática. A seguir, veremos a importância do uso do jogo nas aulas de matemática.
4.2 JOGOS E MATERIAL CONCRETO NA SALA DE AULA DE MATEMÁTICA
Diversos educadores defendem o uso de jogos e de material concreto na sala de aula de matemática. Essas atividades lúdicas são consideradas bastante eficazes para o aprendizado do aluno, visto que, assim como a História da Matemática, possibilita um novo olhar do mesmo para essa disciplina. Através do jogo e do material concreto, o aluno passa a usar a matemática de maneira natural e lúdica permitindo-o encará-la como algo que está presente em seu cotidiano, não só na escola, mas em diversas situações do seu dia a dia.
Para Rêgo e Rêgo (2009),
[...] o material concreto tem fundamental importância. A partir de uma utilização adequada do mesmo os alunos passam a ter uma nova visão do que seja Matemática, vencendo os mitos e preconceitos negativos e superando os obstáculos surgidos destas crenças. O ensino é complementado através de formação de ideias, imagens e esquemas surgidos das ações executadas sobre o material e os professores de Matemática passam a executar seu trabalho enfrentando uma menor reação do aluno, tornando a aprendizagem mais eficaz. (p. 29)
Como a matemática é uma disciplina vista de forma negativa por uma parte dos alunos, usar esse recurso poderia possibilitar uma melhor assimilação do conteúdo e uma quebra de conceitos pré-concebidos pelos mesmos, mostrando-os que a matemática também pode ser divertida.
Por meio da utilização do material concreto, o professor pode fazer demonstrações visuais de alguns teoremas de modo a permitir um melhor entendimento da validade dos mesmos. Esse tipo de atividade conduz a uma maior interação entre os alunos, onde os mesmos podem discutir seus pontos de vista sobre a atividade apresentada e levantar hipóteses.
Não se pode excluir o caráter abstrato da matemática, mas sempre que possível, é interessante tornar o conteúdo o mais concreto possível. O ideal seria partir do concreto para se chegar ao abstrato, visto que ambas as dimensões matemáticas – a dimensão abstrata e a dimensão concreta – são essenciais para o aluno. A manipulação de materiais por parte desses
alunos possibilita a utilização da matemática de forma mais concreta. Alguns alunos só acreditam no que veem e essa seria uma alternativa para não excluí-los desse aprendizado.
Para Rêgo e Rêgo (2009, p. 28), “através de experiências realizadas com material concreto, o aluno desenvolve o gosto pelo prazer da descoberta, para enfrentar desafios e de vencê-los, desenvolvendo hábitos e costumes que o conduzirão mais tarde a ser um indivíduo autônomo e capacitado a agir”.
Assim como o material concreto, os jogos educativos também têm considerável valor pedagógico. Para Emerique (1991 apud, RÊGO; RÊGO, 2009),
(o) jogo é ordem e cria ordem, pois aponta para os limites a serem aceitos e superados; pode diminuir resistências, pois rompe com a rigidez, com o autoritarismo, o controle e o mando, democratizando as relações; não se confunde com fetiches metodológicos, fórmulas mágicas ou modismo; exige uma postura consciente e uma abertura para o risco, a ambivalência e o incerto; ao mesmo tempo, pode tornar real o prazer da descoberta, o encantamento que seduz, a entrega ao novo. (p. 27)
O jogo permite uma visão diferenciada da matemática. Ela deixa de ser vista apenas como aquela disciplina abstrata que – pensam alguns alunos – nunca se pode aplicar à realidade. Os alunos reagiriam de forma mais positiva e se interessariam mais pelo conteúdo. O jogo em si atrai parte dos alunos. Alguns amam jogos e isso faz parte de sua realidade. Alguns jogam todos os dias, competem com os amigos, sabem todas as regras de cor e estão sempre em busca de novas estratégias para vencer seus adversários. A substituição que precisa ocorrer no jogo matemático, é que as regras desse jogo precisam envolver matemática, possibilitar um aprendizado significativo, mas não pode, de modo algum, perder seu caráter lúdico e deixar de ser atrativo. Se as regras do jogo forem matemáticas e se os alunos realmente de interessarem por esse jogo, eles irão aprendê-las e, se essas regras envolveram matemática, então os mesmos não estarão apenas aprendendo regras de um jogo, eles estarão aprendendo um conhecimento significativo, estarão aprendendo matemática.
Todo jogo por natureza desafia, encanta, traz movimento, barulho e uma certa alegria para o espaço no qual normalmente entram apenas o livro, o caderno e o lápis. Essa dimensão não pode ser perdida apenas porque os jogos envolvem conceitos de matemática. Ao contrário, ela é determinante para que os alunos sintam-se chamados a participar das atividades com interesse. (SMOLE et al., 2008, p. 10)
Com o jogo, o aluno vai aprendendo matemática à medida que vai jogando e seus erros não são vistos tão negativamente pelo mesmo como ocorre quando ele está fazendo o
exercício e erra a resposta de uma questão. Ele vai errando e corrigindo seu erro em seguida sem ao menos perceber. Conceitos e ideias vão sendo adquiridos na medida em que o aluno vai transformando seus erros em aprendizado. Segundo os PCN,
Os jogos constituem uma forma interessante de propor problemas, pois permitem que estes sejam apresentados de modo atrativo e favorecem a criatividade na elaboração de estratégias de resolução e busca de soluções. Propiciam a simulação de situações-problema que exigem soluções vivas e imediatas, o que estimula o planejamento das ações; possibilitam a construção de uma atitude positiva perante os erros, uma vez que as situações sucedem-se rapidamente e podem ser corrigidas de forma natural, no decorrer da ação, sem deixar marcas negativas. (BRASIL, 1998, p. 46)
Quando o aluno perde a partida de um jogo, ele não se dá por vencido, ele quer jogar de novo, quer revanche, quer vencer. Se o jogo for capaz de desenvolver essa atitude no aluno, ele poderá corrigir possíveis erros que o levaram a perda, erros matemáticos, perceber que não tem problema errar desde que esses erros sejam corrigidos posteriormente. Para isso, o jogo precisa ser bem planejado e o professor deve orientar o aluno eficazmente de modo que ele o entenda e aprenda a jogá-lo. Segundo Smole et al. (2008),
Em se tratando de aulas de matemática, o uso de jogos implica uma mudança significativa nos processos de ensino e aprendizagem que permite alterar o modelo tradicional de ensino, que muitas vezes tem no livro e em exercícios padronizados seu principal recurso didático. O trabalho com jogos nas aulas de matemática, quando bem planejado e orientado, auxilia o desenvolvimento de habilidades como observação, análise, levantamento de hipóteses, busca de suposições, reflexão, tomada de decisão, argumentação e organização, as quais são estreitamente relacionadas ao assim chamado raciocínio lógico.
[...] ao jogar, os alunos têm a oportunidade de resolver problemas, investigar e descobrir a melhor jogada; refletir e analisar as regras, estabelecendo relações entre os elementos do jogo e os conceitos matemáticos. Podemos dizer que o jogo possibilita uma situação de prazer e aprendizagem significativa nas aulas de matemática. (p. 9)
O jogo nem sempre foi bem aceito nas escolas, até mesmo nos dias atuais alguns professores não conseguem ver o jogo como uma ferramenta de aprendizado devido ao seu caráter lúdico. O jogo, às vezes, é visto apenas como ferramenta de diversão, entretenimento. Smole et al. (2008, p. 10) afirma que “[...] o jogo na escola foi muitas vezes negligenciado por ser visto como uma atividade de descanso ou apenas como um passatempo”. Se o jogo não for bem planejado, ele realmente pode se tornar apenas um passatempo divertido e é por isso que o jogo escolhido e o planejamento feito pelo professor são fundamentais para que esse jogo seja uma ferramenta que transmita conceitos matemáticos aos seus alunos e que não sirva
apenas como um jogo divertido sem nenhum objetivo de aprendizado, apenas tomando o tempo precioso da aula.
Mas é importante que esses docentes não apenas joguem o jogo em uma aula, esse jogo precisa ser atrativo a ponto de os alunos jogarem com seus amigos, torná-lo um jogo como os outros que eles estão acostumados a jogar. Esse conhecimento matemático só será adquirido efetivamente se o aluno continuar jogando o jogo, torná-lo parte de seu dia a dia, não esquecê-lo.
4.3 O SOFTWARE GEOGEBRA COMO FERRAMENTA DE ENSINO
O desenvolvimento da tecnologia é algo notável nos dias atuais. Ao longo dos anos, a humanidade evoluiu e cada vez mais foram surgindo novas tecnologias para facilitar as nossas vidas. O tempo inteiro, vemos notícias de novos aparelhos tecnológicos que estão surgindo e
softwares com diferentes finalidades. Aplicativos são desenvolvidos a todo o momento para smartphones e tablets. A nova geração de alunos está habituada a esta tecnologia e convive
com isso, até mesmo os professores convivem com esse desenvolvimento tecnológico. Grandes lojas de aplicativos como a App Store e o Google Play hospedam um grande número de aplicativos. Segundo dados divulgados em janeiro deste ano e publicados em uma reportagem do site Olhar Digital, a App Store hospeda 1,21 milhão de aplicativos e o Google Play hospeda 1,43 milhão. Vários desses aplicativos são gratuitos e alguns deles são educacionais. Na internet, também podemos encontrar vários softwares para download gratuito para serem instalados no computador. Esse avanço tecnológico trouxe várias possibilidades de novas ferramentas educacionais para auxiliar o professor em sala de aula. Mas mesmo os PCN de 1998 tendo enfatizado a importância do uso de recursos tecnológicos em sala de aula, alguns professores parecem ainda estar alheios a essas tecnologias, mesmo a escola em que lecionam possuindo computadores, data shows e outras ferramentas. Segundo os PCN (BRASIL, 1998),
As tecnologias, em suas diferentes formas e usos, constituem um dos principais agentes de transformação da sociedade, pelas modificações que exercem nos meios de produção e por suas conseqüências [sic] no cotidiano das pessoas. Estudiosos do tema mostram que escrita, leitura, visão, audição, criação e aprendizagem são influenciados, cada vez mais, pelos recursos da informática. Nesse cenário, insere-se mais um desafio para a escola, ou seja, o de como incorporar ao seu trabalho,
tradicionalmente apoiado na oralidade e na escrita, novas formas de comunicar e conhecer. (p. 43)
Dezessete anos se passaram desde a publicação desses PCN, a tecnologia se desenvolveu cada vez mais e novas ferramentas facilitadoras do aprendizado surgiram. Mas, mesmo assim, alguns professores ainda permanecem dando suas aulas apoiadas exclusivamente na oralidade e na escrita. Simplesmente não levaram em conta essa orientação dos PCN. Alguns deles usam softwares e outras ferramentas para auxiliá-los em suas atividades diárias, mas esquecem deles quando vão planejar suas aulas. Elas parecem aquelas mesmas aulas de anos atrás quando o acesso a esses recursos era limitado. O desenvolvimento tecnológico só é percebido em sala de aula devido aos smartphones que alguns alunos possuem.
O computador pode auxiliar o professor de diferentes formas. No que se refere às aulas de Matemática, os computadores podem ser usados com várias finalidades.
[...] como fonte de informação, poderoso recurso para alimentar o processo de ensino e aprendizagem; como auxiliar no processo de construção de conhecimento; como meio para desenvolver autonomia pelo uso de softwares que possibilitem pensar, refletir e criar soluções; como ferramenta para realizar determinadas atividades - uso de planilhas eletrônicas, processadores de texto, banco de dados etc. (BRASIL, 1998, p. 44)
Mas, não basta inserir recursos tecnológicos em suas aulas, o professor deve planejá-las de modo que não sejam apenas auplanejá-las inovadoras, mas auplanejá-las inovadoras que contribuirão para o aprendizado do aluno. No caso do uso de softwares, os PCN (BRASIL, 1998, p. 44) recomendam que os mesmos devem ser bem escolhidos, pois “o bom uso que se possa fazer do computador na sala de aula também depende da escolha de softwares, em função dos objetivos que se pretende atingir e da concepção de conhecimento e de aprendizagem que orienta o processo”.
Diferentes conteúdos matemáticos poderão ser ensinados com auxílio de softwares, nossa atenção estará voltada ao aprendizado do Teorema de Pitágoras com o auxílio desse recurso. Segundo os PCN (BRASIL, 1998),
Em Matemática existem recursos que funcionam como ferramentas de visualização, ou seja, imagens que por si mesmas permitem compreensão ou demonstração de uma relação, regularidade ou propriedade. Um exemplo bastante conhecido é a representação do teorema de Pitágoras, mediante figuras que permitem “ver” a relação entre o quadrado da hipotenusa e a soma dos quadrados dos catetos. (p. 45)
Com base nisso, abordar-se-á a importância do software GeoGebra como uma excelente ferramenta para a visualização da relação entre o quadrado da hipotenusa e a soma dos quadrados dos catetos no Teorema de Pitágoras. Segundo o próprio site do software, www.geogebra.org, “O GeoGebra é um software de matemática dinâmica para todos os níveis de ensino que reúne Geometria, Álgebra, Planilha de Cálculo, Gráficos, Probabilidade, Estatística e Cálculos Simbólicos em um único pacote fácil de se usar”. O GeoGebra é disponibilizado gratuitamente para usuários não comerciais no site www.geogebra.org/download. Além do próprio software, pode-se fazer nesse site o download de diversos materiais gratuitos. O software está disponível para tablets, desktops e para
smartphones com o sistema operacional Android.
O software GeoGebra possibilita ao professor de matemática trabalhar de forma mais dinâmica o conteúdo matemático, principalmente, de Geometria, uma vez que permite aos alunos visualizar as figuras e testar determinadas propriedades de maneira mais eficaz e de forma mais precisa do que seria se fossem mostradas com outras ferramentas. Além disso, alguns professores não são bons em desenhar determinadas figuras e o mesmo acontece com alguns alunos. Portanto, o GeoGebra se configura como uma poderosa ferramenta facilitadora do trabalho do professor e aprendizagem dos alunos.
Ao desenvolver atividades com o auxílio do GeoGebra, por exemplo, é possível construir figuras, avaliar se suas propriedades estão sendo verificadas, fazer conjecturas e justificar os seus raciocínios. As figuras podem ser arrastadas na tela do computador sem perder os vínculos estabelecidos na construção. Além disso, é possível realizar construções que com lápis, papel, régua e compasso seriam difíceis, ou no mínimo gerariam imprecisões. (LOVIS; FRANCO, 2013, p. 153)
Com o GeoGebra, o professor de matemática dispõe de diversas ferramentas e possibilidades para se trabalhar com figuras geométricas como o triângulo retângulo. Ele poderá desenvolver atividades de acordo com as dificuldades apresentadas pelos seus alunos ou de acordo com o que ele mais quer que seu aluno aprenda dentro daquele conteúdo que está sendo estudado. Como já mencionado, o software GeoGebra está disponível em diversas plataformas tecnológicas, o que torna o seu acesso bem mais fácil a todos os alunos.
5 ATIVIDADES PROPOSTAS
Neste capítulo serão apresentadas algumas atividades propostas com o objetivo de oferecer ao professor subsídios para a aplicação de atividades com as metodologias apresentadas anteriormente. As atividades podem ser aperfeiçoadas pelo professor de acordo com as necessidades de sua turma. A partir dessas atividades, o professor pode desenvolver outras com jogos, material concreto, História da Matemática e o software GeoGebra.
5.1 CORRIDA PITAGÓRICA
A atividade a seguir foi feita tendo como base uma atividade apresentada em Rêgo e Rêgo (2009, p. 82) sendo feitas apenas pequenas alterações.
5.1.1 Apresentação
Este é um jogo de tabuleiro que pode ser jogado por vários participantes. Para seu desenvolvimento, é necessário que os alunos já saibam o Teorema de Pitágoras. O jogo pode ser aplicado em sala de aula ou no laboratório de Matemática.
5.1.2 Objetivos
Desenvolver o raciocínio, fixar os conceitos e aplicações do Teorema de Pitágoras e fazer estimativa.
5.1.3 Indicação
Este jogo é indicado para alunos a partir do 9º ano do Ensino Fundamental, visto que, esse conteúdo é estudado nesse ano.
5.1.4 Material
O material necessário para esse jogo é um tabuleiro como o mostrado na figura abaixo que pode ser confeccionado em cartolina ou madeira; marcadores de diferentes cores, sendo que cada jogador deve ficar com uma cor diferente; dois dados comuns e cartões com questões relacionadas ao Teorema de Pitágoras. Observação: na Figura 9, os nomes indicam apenas quais cores devem ser as cores dos círculos, não precisando ser colocados no tabuleiro. A quantidade de casas de cada cor no tabuleiro, bem como sua ordem pode variar, não precisando ser necessariamente as mesmas da ilustração.
Figura 9: Jogo Corrida Pitagórica Fonte: Elaborada pelo autor
5.1.5 Desenvolvimento do Jogo
O círculo preto é o ponto de partida e chegada da “corrida pitagórica”, por isso, os jogadores devem colocar seus marcadores nesse círculo. Os cartões de questões são empilhados, com a face voltada para baixo, ao lado do tabuleiro.
Na sua vez de jogar, cada participante lança os dois dados. Os números obtidos representarão as medidas dos catetos de um triângulo retângulo. O jogador moverá seu
marcador, o número de círculos correspondentes à parte inteira da medida da respectiva hipotenusa. Por exemplo: se os números sorteados foram 3 e 6, a hipotenusa seria dada por: √ , isto é, √ 6,71. Logo, o jogador avançaria 6 círculos do tabuleiro. Se o jogador cair em um círculo verde, adianta mais dois; em um vermelho, volta dois círculos; em um círculo amarelo, lança um dado e volta o número de círculos correspondente ao valor obtido com o lançamento e em um azul, sorteia uma questão. Acertando a resposta, lança um dado e avança o número de círculos correspondente ao valor sorteado. Se errar, permanece onde está até a próxima rodada. Vence o jogo quem primeiro chegar de volta ao círculo preto (pode-se, como variação, aumentar o número de voltas em torno do tabuleiro).
5.1.6 Sugestões para os Cartões de Questões
Os cartões podem conter questões que envolvam apenas cálculos mais diretos, mas é interessante incluir questões de caráter conceitual e histórico. Desse modo, essa atividade pode associar o jogo e a História da Matemática.
O Teorema de Pitágoras se aplica a que tipo de triângulos?
Verdadeiro ou falso?
Pitágoras viveu por volta do ano 500 a.C.
Um triângulo retângulo pode ter um ângulo interno obtuso?
Enuncie o Teorema de Pitágoras.
A diagonal de um quadrado mede 5 cm, quanto medem seus lados?
Os números 16, 20 e 25 podem ser medidas dos lados de um triângulo
O aluno pode usar lápis e papel ou calculadora para responder as questões. Outras questões relativas ao Teorema de Pitágoras podem ser elaboradas pelo professor ou, até mesmo, pelos alunos, ou ainda retiradas do livro texto.
5.2 TRILHA PITAGÓRICA
5.2.1 Apresentação
Este é um jogo de tabuleiro que pode ser jogado por vários participantes. Para seu desenvolvimento, é necessário que os alunos já saibam o Teorema de Pitágoras e saibam
Um triângulo isósceles pode ter um ângulo reto?
Os catetos de um triângulo retângulo medem 7 e 9 unidades. Quanto medirá,
aproximadamente, sua hipotenusa?
Quanto mede a diagonal de um retângulo cujos lados medem 5 e 12 cm?
Qual o valor da soma dos ângulos agudos de um triângulo retângulo?
Nome dado ao lado oposto ao ângulo reto em um triângulo retângulo.
Nome dado aos dois lados que formam o ângulo reto de um triângulo retângulo.
Um triângulo retângulo pode ser equilátero?
Qual o valor dos ângulos agudos de um triângulo retângulo se um for o triplo do
calcular a área de um triângulo. O jogo pode ser aplicado em sala de aula ou no laboratório de Matemática.
5.2.2 Objetivos
Desenvolver o raciocínio, fixar os conceitos e aplicações do Teorema de Pitágoras, fazer estimativa e calcular a área de triângulos.
5.2.3 Indicação
Este jogo é indicado para alunos a partir do 9º ano do Ensino Fundamental, visto que, esse conteúdo é estudado nesse ano.
5.2.4 Material
O material necessário para esse jogo é um tabuleiro como o mostrado na figura abaixo que pode ser confeccionado em cartolina ou madeira; marcadores de diferentes cores, sendo que cada jogador deve ficar com uma cor diferente; um dado comum e cartões com questões relacionadas ao Teorema de Pitágoras.
Figura 10: Jogo Trilha Pitagórica Fonte: Elaborada pelo autor
5.2.5 Desenvolvimento do jogo
Cada jogador coloca seu marcador junto ao triângulo com a palavra “saída” (ponto de partida da “trilha pitagórica”). Os cartões de questões são empilhados, com a face voltada para baixo, ao lado do tabuleiro.
Na sua vez de jogar, cada participante lança um dado. O número obtido será o número de triângulos retângulos que o jogador deverá percorrer com seu marcador. Por exemplo: se o jogador estiver na “saída” e o número obtido com o lançamento do dado for o número 6, o jogador deverá avançar seis triângulos e colocar o seu marcador no triângulo 6. Logo em seguida, o jogador deverá dizer as medidas dos catetos e da hipotenusa de um triângulo retângulo cuja área seja igual ao número do triângulo em que ele caiu. Por exemplo: Se ele cair no triângulo 6, deverá dizer as medidas dos catetos e da hipotenusa de um triângulo retângulo cuja área seja 6. A unidade de medida da área fica a critério do professor. Se outro jogador também cair nesse mesmo triângulo, deverá dizer valores distintos. Caso não consiga responder ou, aparentemente, as opções já tenham se esgotado, ele sorteia uma questão. Se acertar, permanece onde está até a próxima rodada, caso contrário, ele lança um dado e volta o número de triângulos correspondente ao valor sorteado. Vence o jogo quem primeiro chegar ao triângulo com a palavra “chegada”.
5.2.6 Sugestões para os Cartões de Questões
Os cartões podem conter questões com cálculos mais diretos envolvendo o Teorema de Pitágoras, problemas contextualizados e outras de caráter histórico ou conceitual. As questões de caráter histórico possibilitam a utilização de duas metodologias ao mesmo tempo.
Como se chamava a irmandade criada por Pitágoras?
Verdadeiro ou Falso?
O aluno pode usar lápis e papel ou calculadora para responder as questões. Outras questões relativas ao Teorema de Pitágoras podem ser elaboradas pelo professor ou, até mesmo, pelos alunos, ou ainda retiradas do livro texto.
5.3 ROLETA PITAGÓRICA
5.3.1 Apresentação
Este é um jogo de tabuleiro que pode ser jogado por vários participantes. Para seu desenvolvimento, é necessário que os alunos já saibam o Teorema de Pitágoras. O jogo pode ser aplicado em sala de aula ou no laboratório de Matemática.
5.3.2 Objetivos
Desenvolver o raciocínio, fixar os conceitos e aplicações do Teorema de Pitágoras e fazer estimativa.
Verdadeiro ou Falso?
O símbolo da Escola Pitagórica era o pentagrama.
Verdadeiro ou Falso?
O Teorema de Pitágoras não se aplica a alguns triângulos retângulos.
Como eram chamados os membros da Escola Pitagórica?
Quanto mede aproximadamente a diagonal de um quadrado cujos lados medem 6 cm?
Um garoto está em frente a um prédio. A distância entre ele e a base do prédio é de 8
metros e a distância de seu pé ao topo do prédio é de 17 metros. Qual é a altura desse
prédio?
Quanto mede a diagonal de um retângulo cujos lados medem 3 e 5 cm?
5.3.3 Indicação
Este jogo é indicado para alunos a partir do 9º ano do Ensino Fundamental, visto que, esse conteúdo é estudado nesse ano.
5.3.4 Material
Uma roleta como a da figura abaixo e cartões com questões relacionadas ao Teorema de Pitágoras. Observação: na Figura 11, os nomes indicam apenas quais cores devem ser as cores dos setores circulares, não precisando ser colocados no tabuleiro. As cores da roleta podem variar, não precisando ser necessariamente as mesmas da ilustração.
Figura 11: Jogo Roleta Pitagórica Fonte: Elaborada pelo autor
5.3.5 Desenvolvimento do jogo
5.3.5.1 Sugestão I
A turma será dividida em dois grupos ou mais dependendo do número de alunos. Serão empilhados no birô, com a face voltada para baixo, cartões de questões com cores correspondentes às cores da roleta.
Os grupos terão o mesmo número de chances de girar a roleta. Um participante de cada grupo, na sua vez, girará a roleta. Quando a roleta parar em uma das cores, os componentes daquele grupo escolherão uma questão de um dos cartões daquela cor para responder. Exemplo: se a roleta parar na cor azul, o participante escolherá um cartão de cor azul e terá que responder a pergunta que está nele com a ajuda de seu grupo. Se acertar, o grupo ganha um ponto; se errar, o grupo adversário é que ganha um ponto.
O grupo vencedor será aquele que tiver o maior número de pontos ao final do jogo. O número de jogadas fica a critério do professor.
5.3.5.2 Sugestão II
A turma será dividida em oito grupos. Cada grupo será representado por uma das cores da roleta, o que pode ser decidido por meio de sorteio. Serão empilhados no birô, com a face voltada para baixo, cartões de questões com cores correspondentes às cores da roleta.
Os grupos terão o mesmo número de chances de girar a roleta. Um participante de cada grupo, na sua vez, girará a roleta. Quando a roleta parar em uma das cores, os componentes do grupo correspondente àquela cor escolherão uma questão de um dos cartões daquela cor para responder. Exemplo: se a roleta parar na cor verde, um participante do grupo da cor verde escolherá um cartão dessa mesma cor e terá que responder a pergunta que está nele com a ajuda do seu grupo. Se acertar, o grupo ganha um ponto; se errar, o grupo adversário que girou a roleta terá a chance de responder a pergunta. Se o grupo acertar, ganha um ponto; se errar, o próximo grupo gira a roleta.
O grupo vencedor será aquele que tiver o maior número de pontos ao final do jogo. O número de pontos será obtido ao se fazer a razão entre o número de perguntas que o grupo respondeu e o número de acertos. O número de jogadas fica a critério do professor.
