INTEGRAÇÃO INDEFINIDA

Capítulo 6

INTEGRAÇÃO INDEFINIDA

6.1 Introdução

Na primeira parte do capítulo mostraremos como obter uma função conhecendo apenas a sua derivada. Este problema é chamado de integração indefinida.

Definição 6.1. Uma função F (x) é chamada uma primitiva da função f(x) no intervalo I se para todo

x ∈ I, tem-se:

F′_{(x) = f (x)}

Muitas vezes não faremos menção ao intervalo I, mas a primitiva de uma função sempre será definida sobre um intervalo.

Definição 6.2. Seja F (x) uma primitiva da função f(x) no intervalo I. A expressão F (x) + c, c ∈ R

é chamada a integral indefinida da função f e é denotada por:

Z f(x) dx = F (x) + c Logo: Z f_{(x) dx = F (x) + c ⇐⇒ F}′_{(x) = f (x)} em particular: Z f′_{(x) dx = f (x) + c.}

Assim, a integral indefinida permite que encontremos uma família de primitivas de f(x). A sintaxe para o cálculo da integral indefinida de uma função é:

>int(função,variável)+C;

ou de forma mais didática:

>Int(função,variável)=int(função,variável)+C;

Exemplo 6.1. 1. Calcule Z dx x2_{+ a}2, a 6= 0. >f:=1/(xˆ2 +aˆ2): >Int(f,x)=int(f,x)+C; Z ₁ x2_{+ a}2 dx= arctan(x) a + C Note que: >diff(arctan(x)/a +C,x); 1 x2_{+ a}2 2. Calcule Z _sec2 (√x) √_x dx. >f:=sec(sqrt(x))ˆ2/sqrt(x): >Int(f,x)=int(f,x)+C; Z _sec2₍√_x) √ x dx= 2 sin(√x) cos(√x) + C

Figura 6.1: Gráficos de algumas primitivas de f, exemplo 2. Note que:

6.1. INTRODUÇÃO 173 sec2(√x) √ x 3. Calcule Z _dx x2_{+ 2x + 5}. >f:=1/(xˆ2 +2*x+5): >Int(f,x)=int(f,x)+C; Z _dx x2_{+ 2x + 5} = 1 2arctan 1 2x+ 1 2
+ C Note que: >diff(arctan(x/2 +1/2)/2 +C,x); 1 x2_{+ 2x + 5} 4. Calcule Z eaxsen(b x) dx_{; a, b 6= 0.} >f:=exp(a*x)*sin(b*x): >Int(f,x)=int(f,x)+C; Z eaxsen(bx) dx = e ax_{(−cos(b x) b + a sin(b x))} a2_{+ b}2 + C Note que: >diff(exp(a*x)*(-cos(b*x)*b+a*sin(b*x))/(aˆ2 +bˆ2) +C,x); eaxsen(bx)

Muitas vezes o MAPLE não consegue calcular de forma eficiente uma integral. Por exemplo, considere:

Z

x(x + 1)3000dx

O Maple, antes de calcular a integral, desenvolve o binômio, o utiliza uma grande parte da memória do computador. Convidamos ao leitor a digitar:

Veja o último exemplo do próximo parágrafo.

Existem funções cujas primitivas não podem ser expressas em termos de funções elementa-res. Veja o seguinte exemplo:

Exemplo 6.2. 1. Calcule Z e−x2_dx. >f:=exp(xˆ2): >Int(f,x)=int(f,x)+C; Z e−x2_dx= 1 2 √ π erf(x) + C,

onde erf(x) é a chamada função erro, que não é elementar, a qual será revista nos próximos capítulos.

É interessante e importante entender os passos intermediários que o MAPLE realiza para calcular as integrais indefinidas.

6.2 Método de Substituição

Sejam F uma primitiva de f num intervalo I e g uma função derivável tal que F ◦ g esteja definida. Usando a regra da cadeia; temos:

F(g(x))
′

= F′_{(g(x)) · g}′_{(x) = f (g(x)) · g}′_(x).

Logo, F (g(x)) é uma primitiva de f(g(x)) · g′_{(x), então:}

Z

f_{(g(x)) · g}′_{(x) dx = F (g(x)) + c;}

fazendo u = g(x), tem-se du = g′_{(x) dx; substituindo na expressão anterior:}

Z f_{(g(x)) · g}′_{(x) dx =} Z f(u) du = F (u) + c A sintaxe é: >with(student): >f:=função: >a:=Int(f,variável);

>a1:=changevar(equação que define a mudança=u,a,u); >a2:=value(a1);

6.2. MÉTODO DE SUBSTITUIÇÃO 175 Exemplo 6.3. 1. Calcule Z _{2 x} x2_{+ 1}dx. >with(student): >f:=2*x/(xˆ2 +1): >a:=Int(f,x); a:= Z 2 x x2_{+ 1}dx >a1:=changevar(xˆ2 +1 =u,a,u); a1 := Z 1 udu integral imediata: >a2:=value(a1); a2 := ln(u) >Int(f, x) = subs(u = xˆ2+1, a2)+C;

Z _{2 x} x2_{+ 1}dx= ln(x 2_{+ 1) + C} 2. Calcule Z _sec2 (√x) √_x dx. >with(student): >f:=sec(sqrt(x))ˆ2 /sqrt(x)): >a:=Int(f,x); a:= Z _sec2₍√_x) √ x dx >a1:=changevar(sqrt(x)=u,a,u); a1 := Z 2 sec(u)2du integral imediata: >a2:=value(a1); a2 := 2 sin(u) cos(u)

>Int(f, x) = subs(u = sqrt(x), a2)+C; Z sec2(√x) √ x dx= 2 sin(√x) cos(√x) + C 3. Calcule Z x cos(x2) sen(sen(x2)) dx. >with(student): >f:=x*cos(xˆ2)*sin(sin(xˆ2)): >a:=Int(f,x); a:= Z x cos(x2) sen(sen(x2)) dx >a1:=changevar(sin(xˆ2 )=u,a,u); a1 := Z 1 2sin(u) du integral imediata: >a2:=value(a1); a_{2 := −}1 2cos(u) >Int(f, x) = subs(u =sin(xˆ 2), a2)+C;

Z x cos(x2) sen(sen(x2_{)) dx = −}1 2cos(sin(x 2_{)) + C} 4. Calcule Z x(x + 1)3000dx >with(student): >f:=x*(x+1)ˆ3000: >a:=Int(f,x); a:= Z x(x + 1)3000dx >a1:=changevar(x+1=u,a,u); a1 := Z (−1 + u) u3000du >a2:=value(a1);

6.3. MÉTODO DE INTEGRAÇÃO POR PARTES 177 a_{2 := −}u 3001 3001 + u3002 3002 >Int(f, x) = subs(u =x+1, a2)+C;

Z x(x + 1)3000dx_{= −}(x + 1) 3001 3001 + (x + 1)3002 3002 + C

6.3 Método de Integração por Partes

Sejam f e g funções deriváveis no intervalo I. Derivando o produto f · g: f(x) g(x)
′

= f′_{(x) g(x) + f (x) g}′_(x),

ou, equivalentemente, f(x) g′_{(x) = (f (x) g(x))}′_{− f}′_{(x) g(x). Integrando ambos os lados:}

Z

f(x) g′_{(x) dx = f (x) g(x) −}

Z

f′_{(x) g(x) dx;}

fazendo: u = f(x) e dv = g′_{(x) dx, temos: du = f}′_{(x) dxe v = g(x). Logo:}

Z f(x) g′_{(x) dx =} Z u dv _{= u v −} Z v du

Este método de integração nos permite transformar a integração de u dv na integração de v du. É importante saber “escolher” a substituição u e dv na integral de partida. Devemos escolher v′ _{tal que permita determinar v. As expressões de u}′_{e v devem ser mais simples que as de u e}

v′_{, respectivamente.}

A sintaxe que utilizaremos é:

>with(student): >f:=função:

>a:=Int(f,variável);

>a1:=intparts(a, função que foi chamada de u); >a2:=value(a1); >Int(f,x)=a2+C; Exemplo 6.4. 1. Calcule Z ln(x) dx. >with(student): >f:=ln(x): >a:=Int(f,x);

a:= Z ln(x) dx >a1:=intparts(a,ln(x)); a_{1 := x ln(x) −} Z (1) dx >a2:=value(a1); a_{2 := x ln(x) − x} >Int(f,x)=a2+C; Z ln_{(x) dx = x ln(x) − x + C} 2. Calcule Z x sen(x) dx. >with(student): >f:=x*sin(x): >a:=Int(f,x); a:= Z x sen(x) dx >a1:=intparts(a,x); a_{1 := −x cos(x) −} Z (−cos(x)) dx >a2:=value(a1); a_{2 := −x cos(x) + sin(x)} >Int(f,x)=a2+C; Z

x sen_{(x) dx = −x cos(x) + sin(x) + C} 3. Calcule Z (x3+ 5) ln(x) dx. >with(student): >f:=(xˆ3 +5)*ln(x): >a:=Int(f,x); a:= Z (x3+ 5) ln(x) dx

6.4. MÉTODO PARA INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS 179 >a1:=intparts(a,ln(x)); a1 := ln(x) 1 4x 4_{+ 5 x
−}Z 1 4x 4_{+ 5 x} x dx >a2:=value(a1); a2 := ln(x) 1 4x 4_{+ 5 x
−} 1 16x 4 − 5 x >Int(f,x)=a2+C; Z (x3+ 5) ln(x) dx = ln(x) 1 4x 4_{+ 5 x
−} 1 16x 4 − 5 x + C

6.4

Método para Integração de Funções Racionais

Um polinômio P (x) não constante de coeficientes reais pode ser sempre expresso como um produto de fatores lineares e/ou quadráticos, sendo que os fatores quadráticos são irredutíveis sobre os reais. Naturalmente esta decomposição depende essencialmente do grau de P (x).

P(x) = (a1x2+ b1x+ c1)s1(a2x2+ b2x+ c2)s2...(alx2+ blx+ cl)sl(x − d1)r1. . .(x − dn)rn,

onde ri, sj ∈ N, i = 1 . . . n e j = 1 . . . l tais que não todos os rie sjsejam nulos.

Exemplo 6.5. [1] P (x) = x2_{− 3 x + 2 = (x − 2) (x − 1).} [2] P (x) = x3_{+ 4 x}2_{+ 5 x + 2 = (x + 1)}2_{(x + 2).} [3] P (x) = x3_{− x}2_{+ x − 1 = (x}2_{+ 1) (x − 1).} [4] P (x) = x8_{+ x}7_{− 9 x}6_{+ 3 x}5_{− 33 x}4_{+ 3 x}3_{− 35 x}2_{+ x − 12 = (x}2_{+ 1)}5_{(x − 3) (x + 4).} [5] P (x) = x4_{+ x}3_{+ 2 x}2_{+ x + 1 = (x}2_{+ 1) (x}2_{+ x + 1).}

Seja uma função racional:

P(x) Q(x).

A decomposição de uma função racional em frações mais simples, depende da fatoração do polinômio Q(x). Se numa função racional o grau de P (x) é maior ou igual ao grau de Q(x), então podemos dividir os polinômios. De fato, se grau(P (x)) ≥ grau(Q(x)) então

P(x) = Q(x) A(x) + R(x), onde grau(R(x)) < grau(Q(x)); então, P(x)

Q(x) = A(x) + R(x)

Q(x).Logo, basta estudar o caso em que:

pois, caso contrário efetuamos a divisão dos polinômios. Essencialmente temos os seguintes casos:

Caso 1: Q(x) se decompõe em fatores lineares distintos.

Caso 2: Q(x) se decompõe em fatores lineares, alguns deles repetidos.

Caso 3: Q(x) se decompõe em fatores lineares e fatores quadráticos irredutíveis, sendo que os fatores quadráticos não se repetem.

Caso 4: Q(x) se decompõe em fatores lineares e fatores quadráticos irredutíveis, sendo que alguns dos fatores quadráticos se repetem.

A sintaxe utilizada para decompor uma função racional em frações mais simples é:

>with(student): >f:=função racional: >a:=Int(f, x); >b:=convert(integrand(a), parfrac, x); >a1:=Int(b, x); >Int(f,x)=value(a1)+C; Exemplo 6.6. 1. Calcule Z _x3 + 3 x − 1 x4_{− 4 x}2 dx. >with(student): >f:=(xˆ3+3*x-1)/(xˆ4 -4*xˆ2): >a:=Int(f,x); a:= Z _x3 + 3 x − 1 x4_{− 4 x}2 dx >b:=convert(integrand(a), parfrac, x); b:= 15 16 (x + 2) + 1 4 x2 − 3 4 x+ 13 16 (x − 2) >a1:=Int(b,x); a1 := Z  15 16 (x + 2) + 1 4 x2 − 3 4 x + 13 16 (x − 2)  dx >Int(f,x)=value(a1)+C;

6.4. MÉTODO PARA INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS 181 Z _x3 + 3 x − 1 x4_{− 4 x}2 dx= 13 16 ln(x − 2) − 1 4 x − 3 4 ln(x) + 15 16 ln(x + 2) + C 2. Calcule Z _{3 x}2_{+ 4 x + 2} x3_{+ 2 x}2_{+ x} dx. >f:=(3*xˆ2+4*x+2)/(xˆ3+2*xˆ2+x): >a:=Int(f,x); a:= Z _{3 x}2_{+ 4 x + 2} x3_{+ 2 x}2_{+ x}dx >b:=convert(integrand(a), parfrac, x); b:= 2 x − 1 (x + 1)2 + 1 x+ 1 >a1:=Int(b,x); a1 := Z _{ 2} x − 1 (x + 1)2 + 1 x+ 1  dx >Int(f,x)=value(a1)+C; Z _{3 x}2_{+ 4 x + 2} x3_{+ 2 x}2_{+ x} dx= 2 ln(x) + 1 x+ 1+ ln(x + 1) + C 3. Calcule Z 3 x3− 12 x2+ 13 x − 7 x4_{− 4 x}3_{+ 5 x}2_{− 4 x + 4}dx. >f:=(3*xˆ3-12*xˆ2 +13*x-7)/(xˆ4 -4*xˆ3+5*xˆ2 -4*x+4): >a:=Int(f,x); a:= Z 3 x3− 12 x2+ 13 x − 7 x4_{− 4 x}3_{+ 5 x}2_{− 4 ∗ x + 4}dx >b:=convert(integrand(a), parfrac, x); b:= 2 x − 1 x2_{+ 1} − 1 (x − 2)2 + 1 x − 2 >a1:=Int(b,x); a1 := Z  2 x − 1 x2_{+ 1} − 1 (x − 2)2 + 1 x − 2  dx >Int(f,x)=value(a1)+C; Z _{3 x}3 − 12 x2+ 13 x − 7 x4_{− 4 x}3_{+ 5 x}2_{− 4 ∗ x + 4}dx= ln(x 2 + 1) − arctan(x) + 1 x − 2+ ln(x − 2) + C

6.5 Exercícios

1. Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição: (a) Z _x 5 √ x2_{− 1}dx (b) Z 3x x2_{+ 1}dx (c) Z √ x+ 5 dx (d) Z _dy √ b − ay (e) Z y_{(b − ay}2) dy (f) Z _4x2 √ x3_{+ 8}dx (g) Z _6x (5 − 3x2₎2dx (h) Z _dy (b + ay)3 (i) Z x3pa+ bx4_dx (j) Z _{ln(x) + 2} x dx (k) Z sen(2x) cos2(2x) dx (l) Z tg(x 2) sec 2₍x 2) dx (m) Z cos(ax)dx pb + sen(ax) (n) Z 1 x(ln(x))2 dx (o) Z _x3 √ 1 + x4 dx (p) Z x2ex3dx (q) Z arcsen(y) 2p1 − y2 dy (r) Z ex e2x_{+ 16}dx (s) Z sen(θ) (5 − cos(θ))3dθ (t) Z _{x+ 3} (x2_{+ 6x)}2dx (u) Z _dx x ln(x) (v) Z _earcsen(x) √ 1 − x2 dx (w) Z sen(ln(x)) x dx (x) Z _cos(√_{x+ 1)} √ 1 + x dx (y) Z _x5 3 √ x6_{+ 4}dx (z) Z 3xcos(3x) dx

2. Calcule as seguintes integrais, usando as substituições dadas: (a) Z _dx x√x2_{− 2}, use x = √ 2 sec(t) (b) Z _dx ex_{+ 1},use x = −ln(t) (c) Z _{x dx} √ x+ 1, use t = √ x+ 1 (d) Z _{x dx} √ 1 − x2, use x = sen(t) (e) Z dx 1 +√x,use z = 1 + √ x (f) Z _dx q 1 + x13 , use z = 1 +√3 x

6.5. EXERCÍCIOS 183 (a) Z 3xcos(x) dx (b) Z x arctg(x) dx (c) Z _e1_x x3 dx (d) Z _x3 √ 1 − x2dx (e) Z x cosec2(x) dx (f) Z x sec(x) tg(x) dx (g) Z x3sen(5 x) dx (h) Z x4cos(2x) dx (i) Z x4e−x_dx (j) Z x arcsen(x) √ 1 − x2 dx (k) Z x sec2(x) dx (l) Z ln3(x) dx (m) Z sen2(x) cos4_(x) dx (n) Z tg5(x)sec3(x) dx (o) Z _cos4_(x) sen6_(x)dx (p) Z sen4(ax) dx (q) Z

sen3(y) cos4(y) dy (r)

Z

sen4(x) cos6_(x) dx

4. Calcule as seguintes integrais:

(a) Z √ 16 − x2 x2 dx (b) Z _dx x3√_x2_{− 9} (c) Z _dx (4x − x2₎32 (d) Z p x2_{+ 2 dx} (e) Z _dx (1 + x2₎√_{1 − x}2 (f) Z _dx (1 − x2₎√_{1 + x}2 (g) Z _dx x2√_x2_{− 4} (h) Z 7x3 (4x2_{+ 9)}32 dx (i) Z (p1 + x2_{+ 2x) dx} (j) Z _ex √ ex_{+ 1}dx (k) Z _{x+ 1} √ x2_{− 1}dx (l) Z _dx x2√_x2_{+ 4} (m) R sen(x) (25−cos2 (x))32 dx (n) R dx x((ln(x))2 −4) 3 2 (o) R _√cos(x) 4+sen2_(x)dx (p) Z _dx √ −3 + 8x − 4x2 (q) Z _x √ 1 − x + 3x2 dx (r) Z 2x (x2_{+ 3x + 4)}2 dx (s) Z _dx √ x2_{+ 3 x + 5} (t) Z _dx √ x2_{− x − 1} (u) Z 5 x + 3 √ 4 x2_{+ 3 x + 1}dx

(v) Z _dx √ 4 x − x2_{− 3} (w) Z 1 − 2 x √ 2 x − x2_{+ 3}dx (x) Z _x √ x2_{− 3 x + 4}dx (y) Z _x + 2 √ x2_{+ 6 x + 34}dx

5. Calcule as seguintes integrais, usando frações parciais: (a) Z _dx x3_{+ 8} (b) Z 4dx x4_{− 1} (c) Z _x5_{+ 4x}3 (x2_{+ 2)}3 dx (d) Z x3+ 3x (x2_{+ 1)}2 dx (e) Z _dx x4_{+ x}2 (f) Z x3_{+ x − 1} (x2_{+ 1)}2 dx (g) Z _x4 + 8x3− x2+ 2x + 1 (x2_{+ x)(x}3_{+ 1)} dx (h) Z _dx x3_(x2_{+ 1)} (i) Z _{x+ 1} (x2_{+ 4x + 5)}2 dx (j) Z _x3_{+ x + 1} x(1 + x2₎ dx (k) Z x3+ 1 (x2_{− 4x + 5)}2 dx (l) Z _dx (x + 1)(x2_{+ x + 1)}2 (m) Z _dx x8_{+ x}6 (n) Z 3x + 1 x2_{− x + 1}dx (o) Z dx x4_{− 3x}3_{+ 3x}2_{− x} (p) Z _x x4_{− 1}dx (q) Z 5x3_{− 3x}2_{+ 2x − 1} x4_{+ 9x}2 dx (r) Z _x5 + 4x3+ 3x2− x + 2 x5_{+ 4x}3_{+ 4x} dx (s) Z 2x + 2 x(x2_{+ 2x + 2)}2 dx (t) Z _dx x3_{+ 3x}2_{+ 7x + 5} (u) Z _x2 − 3 x + 2 x3_{+ 6 x}2_{+ 5 x}dx (v) Z _{3 x}3_{+ x}2 + x − 1 x4_{− 1} dx

6. Calcule as seguintes integrais: (a) Z cos(x) ln(sen(x)) dx (b) Z x5xdx (c) Z x5cos(x3) dx (d) Z tg(x) sec3(x) dx (e) Z cos(3 x) cos(4 x) dx (f) Z _x p(x2_{+ 4)}5dx (g) Z √ dx x2_{+ 4 x + 8} (h) Z etp_{9 − e}2t_dt (i) Z x2+ 2 x x3_{+ 3 x}2_{+ 4}dx (j) Z x − 3 (x2_{+ 2 x + 4)}2dx

6.5. EXERCÍCIOS 185 (k) Z _x4 + 1 x(x2_{+ 1)}dx (l) Z sen(x) cos2(x) 5 + cos2_(x) dx (m) Z x2 (x + 1)3dx (n) Z _dx 4 x2_{+ 12 x − 7} (o) Z _{2 x + 3} x3_{+ 3 x}dx (p) Z 3 x2− 4 x + 5 (x − 1) (x2_{+ 1)}dx (q) Z _x3 3 √ x2_{+ 1}dx (r) Z √_x x+ 1dx (s) Z _dx (x2_{+ 9)}√_x2_{+ 4} (t) Z _dx (x − 1)√x2_{+ 2 x − 2} (u) Z _dx

1 + 2 sen(x) cos(x) + sen2_(x)

(v) Z _{2 cos}2₍x 2) x+ sen(x)dx (w) Z 1 − tg2_(x) sec2_{(x) + tg(x)}dx (x) Z _dx (x + 3)√_{x − 1}dx