Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Francisco Beltrão

Interpola¸c˜

ao

Universidade Tecnol´ogica Federal do Paran´a Campus Francisco Beltr˜ao

Disciplina: C´alculo Num´erico Professor: Jonas Joacir Radtke

Neste cap´ıtulo apresentamos a aproxima¸c˜ao de uma fun¸c˜ao de uma vari´avel real por outras fun¸c˜oes mais simples, de modo que

opera¸c˜oes em geral sejam realizadas com mais facilidade. Considere uma fun¸c˜ao f (x ) definida em x0, x1, ..., xn, (n + 1)

pontos distintos de um intervalo [a, b], e denotamos yi = f (xi),

i = 0, 1, ..., n conforme a representa¸c˜ao na figura abaixo.

Interpolar esta fun¸c˜ao f (x ) definida em x0, x1, ..., xn, (n + 1)

pontos distintos de um intervalo [a, b] consiste em aproximar esta fun¸c˜ao por um polinˆomio P(x ) de grau menor ou igual a n, tal que este coincida com a fun¸c˜ao nestes pontos, isto ´e,

P(xi) = f (xi) = yi, i = 0, 1, ..., n Teorema: Existˆencia e Unicidade

Seja f (x ) definida em x0, x1, ..., xn, (n + 1) pontos distintos de

um intervalo [a, b], ent˜ao existe um ´unico polinˆomio P(x ) de grau menor ou igual a n tal que

P(xi) = f (xi) = yi, i = 0, 1, ..., n

Prova: Considere o polinˆomio de grau n,

P(x ) = anxn+ an−1xn−1+ ... + a1x + a0 tal que

P(xi) = f (xi) = yi, i = 0, 1, ..., n

Desta forma temos:          anx0n + an−1x₀n−1 + . . . + a1x0 + a0 = y0 anx1n + an−1x₁n−1 + . . . + a1x1 + a0 = y1 .. . ... ... ... anxnn + an−1xnn−1 + . . . + a1xn + a0 = yn

Podemos observar que temos um sistema de equa¸c˜oes lineares A ~x = ~b, onde A =      x₀n x₀n−1 . . . x0 1 x₁n x₁n−1 . . . x1 1 .. . ... ... ... x_nn x_nn−1 . . . xn 1      ~x =        an an−1 .. . a1 a0        ~_{b =}      y0 y1 .. . an     

O det A, chamado de determinante de Vandermonde, ´e dado por:

det A =Y

i <j

(xi − xj)

Como os pontos xi, i = 0, 1, ..., n, s˜ao distintos, segue que

det (A) 6= 0, o que significa que o sistema linear possui uma ´unica solu¸c˜ao e, portanto, os coeficientes a0, a1, ..., an do polinˆomio s˜ao

´

unicos calculados pela resolu¸c˜ao deste sistema. Em resumo, o polinˆomio P(x ) existe e ´e ´unico.

Defini¸c˜ao

Denominamos polinˆomio interpolador de uma fun¸c˜ao f (x ) definida em x0, x1, ..., xn (n + 1) pontos distintos de um intervalo

[a, b], ao polinˆomio P(x ) de grau menor ou igual a n, que coincide com a fun¸c˜ao nos pontos xi, i = 0, 1, ..., n, isto ´e,

P(xi) = f (xi) = yi, i = 0, 1, ..., n

Embora o polinˆomio interpolador P(x ) coincida com a fun¸c˜ao nos pontos de interpola¸c˜ao x0, x1, ..., xn, espera-se que P(x ) ≈ f (x )

para x 6= xi, i = 0, 1, ..., n, ou seja, estimamos f (x ) pelo

polinˆomio interpolador e cometemos um erro E (x ) nesta aproxima¸c˜ao.

Nos casos em que tivermos apenas a fun¸c˜ao tabelada em um n´umero finito de pontos, sabemos que estamos cometendo um erro no ponto a ser avaliado, mas n˜ao ´e poss´ıvel estim´a-lo.

Exemplo

Considere a fun¸c˜ao f (x ) definida nos pontos, conforme tabela abaixo. Determine o polinˆomio interpolador e estime f (0,8).

xi 0 0,5 1,0

f (xi) 1,3 2,5 0,9

Solu¸c˜ao: Com 3 pontos distintos temos um polinˆomio interpolador de ordem 2, ou seja,

P(x ) = a2x2+ a1x + a0 Logo:    a2· 02 + a1· 0 + a0 = 1,3 a2· 0,52 + a1· 0,5 + a0 = 2,5 a2· 12 + a1· 1 + a0 = 0,9

Na forma matricial: A =   0 0 1 0,25 0,5 1 1 1 1   ~x =   a2 a1 a0   ~b =   1,3 2,5 0,9  

Resolvendo este sistema obtemos:

~ x =   −5,6 5,2 1,3  

Substituindo no polinˆomio interpolador temos: P(x ) = −5,6x2+ 5,2x + 1,3

Para estimar f (0,8) substituimos x = 0,8 em P(x ), logo, f (0,8) ≈ P(0,8) = −5,6 · 0,82+ 5,2 · 0,8 + 1,3 = 1,876

Exerc´ıcio 1

Considere a fun¸c˜ao f (x ) = _{(x +1)}1 tabelada nos pontos conforme tabela abaixo. Determine o polinˆomio interpolador e estime f (1,3) e determine o erro da aproxima¸c˜ao.

xi 0 1 2

f (xi) 1 1/2 1/3

Resposta: P(x ) = 0,16667x2− 0,66667x + 1, P(1,3) = 0,415 e E = 0,01978

Exerc´ıcio 2

Mostre que existe um ´unico polinˆomio de grau ≤ 2 tal que P(1) = 3, P(2) = 5 e P(3) = 12.

Usando o polinˆomio interpolador avalie P(1,5). Resposta: P(x ) = 2,5x2_{− 5,5x + 6 e P(1,5) = 3,375}

Exerc´ıcio 3

Seja f (x ) = 2 ex+ 3 definida no intervalo [0,1].

(a) Aproxime f (0,35) utilizando interpola¸c˜ao linear com x0 = 0 e

x1= 0,5.

(b) Aproxime f (0,85) utilizando interpola¸c˜ao linear com x0 = 0,5

e x1= 1.

(c) Aproxime f (0,35) e f (0,85) utilizando um polinˆomio de grau 2, com os pontos x0 = 0, x1= 0,5 e x2 = 1.

(d) Em qual dos casos obtemos melhor aproxima¸c˜ao no ponto desejado? Justifique suas afirma¸c˜oes.

Respostas:

(a) P(x ) = 2,5948x + 5; E = 0,07

(b) P(x ) = 4,2782x + 4,1583; E = 0,1155

(c) P(x ) = 1,6834x2+ 1,7532x + 5; E = 0,0183; E = 0,0272

Exerc´ıcio 4

Considere uma fun¸c˜ao f (x ) tabelada nos pontos conforme tabela abaixo. Determine o polinˆomio interpolador e estime f (0,6).

xi 0,5 0,7 0,9 1,1

f (xi) 5,8 7,9 10,1 12,3

Resposta: P(x ) − 2,0833x3+ 5,6250x2+ 6,0208x + 1,6437 e P(0,6) = 6,8313

Exerc´ıcio 5

Implementar um programa computacional para determinar o polinˆomio interpolador de um conjunto de pares ordenados.