Relatório 2 - Circuitos Elétricos e Fotônica

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Fernanda Tavares Gabriela Abdul Ghani

Kamila Mota Yasmin Marcos

RELATÓRIO 2 – MEDIDAS DE SINAIS SENOIDAIS EM CIRCUITO RC

Santo André 2016

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Gabriela Abdul Ghani RA: 11106713

Kamila Mota RA: 11108513

Yasmin Marcos RA: 11125611

RELATÓRIO 2 – MEDIDAS DE SINAIS SENOIDAIS EM CIRCUITO RC

Relatório apresentado à Universidade Federal do ABC como parte dos requisitos para aprovação na disciplina Circuitos Elétricos e Fotônica.

Prof. Dr. Jorge Diego Marconi

Santo André 2016

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1. RESULTADOS E DISCUSSÕES ... 4

1.1. Familiarização com o Osciloscópio e medidas de amplitude e frequência ... 4

1.2. Medidas com o Circuito RC em Série ... 5

1.3. Obtenção da forma de onda de corrente ... 7

1.4. Cálculo teórico dos valores das amplitudes e defasagens ... 8

1.5. Comparação entre valores experimentais e calculados teoricamente ... 8

1.6. Aplicação das Leis de Kirchhoff às amplitudes de pico-a-pico ... 9

1.7. Frequência (Hz) x Vr (V) ... 9

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ... 11

APÊNDICES ... 12

APÊNDICE A - Cálculo de Vpp a partir do Vef medido através do multímetro e incerteza ... 12

APÊNDICE B - Incertezas das medidas no osciloscópio ... 13

APÊNDICE C - Equação para cálculo da Frequência e sua respectiva incerteza ... 13

APÊNDICE D - Equações para cálculo da incerteza da resistência e capacitância ... 14

APÊNDICE E – Equações para cálculo da defasagem em graus e incerteza ... 14

APÊNDICE F – Equações para cálculo teórico de amplitude e defasagem e incertezas ... 14

APÊNDICE G – Equação para cálculo de Erro Normalizado ... 17

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1. RESULTADOS E DISCUSSÕES

A seguir encontram-se relacionados os dados obtidos experimentalmente e calculados de forma teórica.

1.1. Familiarização com o Osciloscópio e medidas de amplitude e frequência Na Tabela 1 encontram-se relacionados os dados de amplitude Vpp, período T e frequência f obtidos de três formas estipuladas diferentes, descritos abaixo, e suas respectivas incertezas, estimadas de acordo com o que se encontra no Apêndice B.

Também foi medido com o multímetro, na função VAC, o valor eficaz (tensão eficaz True RMS) de valor (1.773 ± 0.02)V. A tensão de pico a pico (Vpp) foi calculada através da Equação 1 e sua respectiva incerteza a partir da equação no Apêndice A.

(Eq. 1)

Tabela 1: Resultados de medidas do sinal senoidal

Vpp ± µVpp (V) T ± µT (µs) f ± µf (kHz) Osciloscópio/visual 5.0 ± 0.1 1.00 ± 0.03 1.00 ± 0.03 Osciloscópio/cursores 5.1 ± 0.1 1.00 ± 0.02 1.00 ± 0.02 Osciloscópio/automático 5.0 ± 0.1 1.0 ± 0.1 1.0 ± 0.1

Multímetro 5.02 ± 0.06

_-

-Comparando-se os valores lidos, é possível notar que os valores tensão, período e frequência são todos próximos, apesar da mudança na forma de leitura dos resultados.

Quando foram lidos de forma visual, a tensão foi obtida contando a quantidade de divisões verticais, mostradas na tela do osciloscópio. Cada divisão representava 1V. O período foi lido de maneira semelhante, porém foram lidas as

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divisões horizontais, cada uma representava 200μs. A frequência foi calculada como sendo, um sobre o período.

Utilizando-se os cursores, simplesmente foram usados os cursores verticais e horizontais do equipamento. Para fazer a leitura da tensão, foram posicionados entre dois picos e para ler o período posicionou-se entre uma onda. A frequência novamente foi calculada pela expressão f = 1/P, porém com o valor do período referente a esse tipo de leitura.

A leitura automática foi feita pelo multímetro, apenas foi utilizada uma função do equipamento e os valores foram obtido automaticamente.

O valor eficaz foi lido utilizando o multímetro Minipa ET-2510. 1.2. Medidas com o Circuito RC em Série

Os valores da capacitância e resistência foram medidos utilizando um multímetro Minipa ET - 2510 antes do início da prática e foram obtidos os resultados relacionados na Tabela 2. No entanto, foram medidos valores que divergem bastante dos valores nominais destes, de 12kΩ para o resistor e 15nF para o capacitor. As equações para os cálculos das incertezas encontram-se no Apêndice D.

Tabela 2: Valores da capacitância e resistência medidos com o multímetro

C ± µC (nF) R ± µR (kΩ)

9.86 ± 0.27 9.90 ± 0.09

Os valores obtidos experimentalmente através do circuito RC e suas respectivas incertezas podem ser observados na Tabela 3.

Tabela 3: Resultados de medidas do circuito RC

CH1 - Vpp (V) CH2 - Vpp (V) CH1 - CH2

Vf - Vr (V) Δt (µs) Defasagem θ (°) 500 Hz 5.0 ± 0.1 1.47 ± 0.03 4.78 ± 0.02 440.0 ± 0.1 79.20 ± 0.02

1 kHz 5.03 ± 0.01 2.64 ± 0.16 4.25 ± 0.02 166.0 ± 0.2 58.76 ± 0.07 10 kHz 5.04 ± 0.01 4.97 ± 0.12 0.81 ± 0.02 3.2 ± 0.2 11.5 ± 0.7

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É possível observar nas Figuras 1, 2 e 3 as formas de ondas senoidais obtidas no osciloscópios para frequências de 500 Hz, 1 kHz e 10 kHz, respectivamente.

Figura 1: Onda senoidal obtida no osciloscópio (500Hz). Fonte: Acervo pessoal.

Figura 2: Onda senoidal obtida no osciloscópio (1kHz). Fonte: Acervo pessoal.

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Figura 3: Onda senoidal obtida no osciloscópio (10kHz). Fonte: Acervo pessoal.

1.3. Obtenção da forma de onda de corrente Sabemos que a tensão do capacitor é dada por:

(Eq. 2)

Pelo circuito RC série da Figura 1 do item 3.2b) do Roteiro, sabemos também que:

(Eq. 3)

Onde ic é a corrente referente ao capacitor e ir é a corrente referente ao resistor. Como o resistor obedece a lei de ohm, podemos substituir “ir” por V/R e podemos também substituir o valor (2) em (3), assim temos:

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(Eq. 4) Utilizando o resultado (4) na equação (1), temos:

(Eq. 5)

1.4. Cálculo teórico dos valores das amplitudes e defasagens

Os valores teóricos de amplitudes e defasagens para o circuito RC calculados e suas respectivas incertezas encontram-se na Tabela 4. As equações utilizadas nestes cálculos encontram-se no Apêndice F.

Tabela 4: Resultados calculados para o circuito RC

Vf (V) Vr (V) Vf - Vr (V) Defasagem θ (°)

500 Hz 5.0 ± 0.1 1.47 ± 0.03 4.8 ± 0.1 72.95¹

1 kHz 5.1 ± 0.1 2.64 ± 0.06 4.3 ± 0.1 58.48¹

10 kHz 5.0 ± 0.1 4.97 ± 0.12 0.81 ± 0.02 9.26¹

¹ Os valores de incerteza são bastante pequenos, da ordem de 10-4

1.5. Comparação entre valores experimentais e calculados teoricamente Os valores medidos de Vf, Vr e Vf-Vr durante o experimento e os calculados teoricamente para todas as frequências (500 Hz, 1 kHz e 10 kHz) foram bastantes semelhantes. No entanto, os valores de defasagem θ, para todas as frequências, apresentaram incompatibilidade mesmo apesar da proximidade entre os valores.

Utilizando o conceito de erro normalizado, cuja equação utilizada para o cálculo encontra-se no Apêndice G, foi possível confirmar que os valores de Vf, Vr e Vf-Vr medidos experimentalmente (Tabela 3) e calculados (Tabela 4) são compatíveis (εn<1) e que os valores de defasagem θ são incompatíveis (εn>1) para todas as frequências. Na Tabela 5 constam os valores de erro normalizado calculados.

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Tabela 5: Valores de Erro Normalizado (εn) para cada frequência εn (500Hz) εn (1kHz) εn (10kHz) Vf 0.27 0.17 0.02 Vr 0.09 0.004 0.17 Vf-Vr 0.003 0.62 0.003 θ 347.15 17.80 3.14

É possível justificar a pequena disparidade entre os valores de defasagem medidos e calculados devido à fontes de incerteza de tipo B, podendo justificar como principal incerteza experimental a inexperiência dos operadores na utilização do osciloscópio e possíveis desvios nos cursores do equipamento.

1.6. Aplicação das Leis de Kirchhoff às amplitudes de pico-a-pico

A segunda Lei de Kirchhoff diz que a soma algébrica das tensões (f.e.m.s e quedas de tensões) ao longo de uma malha elétrica é igual a zero. Portanto, se uma corrente de malha é uma senoide com uma certa frequência, só poderá ser satisfeita se todas as outras correntes da malha do circuito forem senoides com a mesma frequência. No caso deste circuito, é possível concluir que a Segunda Lei de Kirchhoff poderá ser aplicada às amplitudes pico a pico dos sinais, uma vez que a corrente que passa em cada elemento do circuito (gerador, capacitor e resistor) é a mesma.

1.7. Frequência (Hz) x Vr (V)

Os dados utilizados para a construção do Gráfico 1, que encontra-se no Apêndice H, estão na Tabela 6.

Tabela 6: Dados de frequência e de tensão no resistor (Vr)

F (Hz) Vr (V)

2272.73 ± 0.52 1.47 ± 0.03

6024.1± 7.3 2.64 ± 0.06

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O circuito passa-altas é um circuito que permite a passagem das frequências altas com facilidade, porém, atenua a amplitude das frequências abaixo das frequências de corte. O entendimento desse tipo de circuito envolve saber que o capacitor leva um determinado tempo para carregar e descarregar através de um resistor, e que em baixas frequências existe muito tempo para que o capacitor se carregue até atingir a mesma voltagem que a tensão de entrada, de modo que a tensão no resistor R se aproxima do zero (ALMEIDA, 2010).

Analisando o gráfico, é possível observar este comportamento, já que em frequências mais baixas a tensão no resistor (Vr) também se mostra baixa. Já para frequências mais altas, o capacitor tem tempo apenas para uma pequena carga antes as entradas invertam suas polaridades, sendo que quando a frequência é dobrada, existe tempo apenas para que o capacitor se carregue metade do que poderia carregar antes, de modo que a tensão no resistor se aproxima ao valor de entrada. E analisando novamente gráfico, é possível notar que em frequências maiores a tensão no resistor (Vr) é próxima a tensão de entrada (5 V).

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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ALMEIDA, A. R. Laboratório de circuitos- elétricos (Prática 1: Filtro RC - Passa-baixa/ Passa- alta) [Relatório na internet]. Piauí; 2010. Disponível em: <http://www.ebah.com.br/content/ABAAABkB8AJ/relatorio-filtro-rc#>. Acesso em 07 de agosto de 2016.

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APÊNDICES

APÊNDICE A - Cálculo de Vpp a partir do Vef medido através do multímetro e incerteza

O cálculo de Vpp a partir do valor eficaz (True RMS) medido pode ser realizado através da dedução da seguinte equação:

                            _ _ _    



           ) cos( ) ( 2 1 2 ) cos( ) ( 2 4 ) 0 ( 2 0 4 ) 2 ( 2 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( 0 2 0 2 2 0 2 0 2 2 0 0 2 2 0 T T sen T T V Vef T T sen T T V Vef sen T sen T V T Vef dt t sen V T Vef dt t V T Vef t sen V t V T T Para T=2π e ω=2πf, sendo f= T 1 , ω=2 1 T  . Vef Vpp V Vpp Vef V V Vef V V Vef V sen V Vef                  _  2 2 2 2 2 2 1 4 2 ) 0 2 ( 4 1 1 ) 2 cos( ) 2 ( 2 4 1 0 0 0 0 0 0 0         Onde:

ω: velocidade angular (rad/s); f: freqüência (Hz);

T: período (s);

Vpp: tensão de pico a pico (V);

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A incerteza do valor eficaz (Vef) é calculada através da informação fornecida pelo fabricante no manual do multímetro, através da equação a seguir.



D



Vef  0.9%5



E a incerteza de Vpp é calculada através da propagação de incertezas, conforme deduzido abaixo.





Vef Vpp Vef Vpp Vef Vpp Vef Vpp                 _    2 2 2 2 2 2 Onde:

µVpp: incerteza da tensão de pico a pico (V); µVef: incerteza da tensão eficaz (V);

Vpp: tensão de pico a pico (V);

Veff: valor de tensão eficaz (True RMS) (V).

APÊNDICE B - Incertezas das medidas no osciloscópio

Foi definido como incerteza das medidas visuais realizadas no osciloscópio como a metade da menor medida na tela. E para as medidas realizadas com os cursores, a incerteza foi estimada pela espessura do sinal na tela do osciloscópio.

APÊNDICE C - Equação para cálculo da Frequência e sua respectiva incerteza Para calcular a frequência, foi utilizada a equação a seguir.

f

T 1 

E, para o cálculo da incerteza da frequência, foi realizada propagação de incertezas e o resultado encontra-se abaixo.

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2 2 2 1                _    T f T f p T f



Onde: µf: incerteza da frequência (Hz); f: frequência (Hz); T: período (s).

APÊNDICE D - Equações para cálculo da incerteza da resistência e capacitância µC = ± (1.9% + 8D) µR = ± (0.7% + 2D) Onde: µC: incerteza da capacitância (F); µR: incerteza da resistência (Ω).

APÊNDICE E – Equações para cálculo da defasagem em graus e incerteza Para o cálculo da defasagem foi utilizada a equação a seguir.

t f  360 

E para a incerteza, foi realizada a propagação de incertezas.





t t t f f t           360 * * 360 * 2 2            Onde: θ: defasagem (°); µθ: incerteza da defasagem (°).

APÊNDICE F – Equações para cálculo teórico de amplitude e defasagem e incertezas

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f





2 Reatância capacitiva 2 2 2 * 1 * 1 2 1                    C X C c X c C C X C fC X c c        Onde: Xc: reatância capacitiva; C: capacitância;

µXc: incerteza da reatância capacitiva;

ω: velocidade angular. Impedância                                     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 * * * * C C X C C R C Z X C R Z C X R X X R R X Z R Z X R Z       Onde: Z: impedância; R: resistência (Ω); XC: reatância capacitiva; µZ: incerteza da impedância; µR: incerteza da resistência (Ω);

µXc: incerteza da reatância capacitiva.

Corrente do Circuito RC 2 2 2 2 2 * ) ( * * ) ( ) (                                   z V I Z V I Z t V Z Z I V I Z t V t I      

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Onde:

I(t): corrente do circuito RC (A); V(t): tensão (V);

Z: impedância;

µI: incerteza da corrente (A);

µV: incerteza da tensão (V);

µZ: incerteza da impedância.

Tensão sobre o resistor









2 ) ( 2 2 ) ( 2 * * ) ( * ) ( ) ( ) ( ) ( t I R Vr t I R Vr R t I t I Vr R Vr Z t V R t I R t Vr                        _        Onde:

Vr(t): tensão sobre o resistor (V); R: resistência (Ω);

V(t): tensão (V);

I(t): corrente do circuito RC (A);

µVr: incerteza da tensão sobre o resistor;

µR: incerteza da resistência (Ω);

µI(t): incerteza da corrente do circuito RC (A).

Tensão sobre o capacitor









2 ) ( 2 2 ) ( 2 * * ) ( * ) ( * ) ( ) ( t I C X Vc t I X C Vc C X t I t I Vc X Vc t I X t Vc C C                             Onde:

Vc(t): tensão sobre o capacitor (V); Xc: reatância capacitiva;

I(t): corrente do circuito RC (A);

µVc: incerteza da tensão sobre o capacitor;

µXc: incerteza da reatância capacitiva;

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Defasagem 2 2 2 2 2 2 2 2 * 1 * 1 * * 1                                                  R C R C R C C R C R R C R C arctg             Onde: Θ: defasagem (°);

ω: velocidade angular (rad/s); C: capacitância (F);

R: resistência (Ω);

µθ: incerteza da defasagem (°);

µC: incerteza da capacitância (F);

µR: incerteza da resistência (Ω).

APÊNDICE G – Equação para cálculo de Erro Normalizado

2 2 2 1 2 1





   n Onde: εn: erro normalizado;

ε1: valor medido experimentalmente;

ε2: valor calculado teoricamente;

µ1: incerteza do valor medido experimentalmente;

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APÊNDICE H – Gráfico de tensão sobre o resistor versus frequência