educação de jovens e adultos
9
o
ano
Manual do professor matemática - 9o anoÍndIce
Introdução do Autor ... 02
Conteúdo Programático ... 02
Abordagem dos Assuntos
Potências ... 03
Radicais ... 03
Médias ... 03
Equações de 2
ograu ... 04
Polígonos ... 04
Segmentos Proporcionais ... 05
Triângulo Retângulo ... 05
Triângulo Qualquer ... 05
Gabarito ... 06
Caro Professor (a),
Chegamos à 4a e última fase do Curso de Educação para Jovens e Adultos, na qual encontramos um universo quase homogêneo,
resultado de um ano e meio de trabalho árduo seu e dos alunos.
Os dois capítulos iniciais — Potências e Radicais — são praticamente uma revisão de tudo que já foi visto sobre os assuntos ao longo das fases anteriores. A novidade é a roupagem algébrica dada aos temas.
Depois, em Médias, procuramos mostrar a eficiência das mesmas como instrumento de comparação entre grandezas cotidianas, tais como consumo médio de combustível, velocidade média em um percurso, preço médio e, principalmente, o cálculo de médias envolvendo avaliações e trabalhos escolares.
O assunto seguinte, Equações de 2o grau, foi tratado com objetividade. Sabemos da importância dessa ferramenta para aqueles
que decidirem — e todos deverão ser estimulados — continuar os estudos e encarar o Ensino Médio.
O segundo bimestre inteiro foi dedicado à Geometria. Iniciamos com Polígonos, seguidos por Segmentos Proporcionais, onde incluímos o Teorema de Tales e a Semelhança de Triângulos. Optamos pela simplicidade, pois sabemos que o assunto tem de importante o mesmo tanto que tem de abstrato.
E, finalmente, encerramos nosso trabalho com o estudo do Triângulo Retângulo e do Triângulo Qualquer. No primeiro, apresentamos as relações métricas (com ênfase para o Teorema de Pitágoras) e as relações trigonométricas, ambas de maneira objetiva e sempre procurando enfatizar a utilidade das mesmas na obtenção de medidas impossíveis ou difíceis de medir, mas possíveis de calcular. No segundo, optamos por trabalhar a determinação de triângulos, algo bastante prático e concreto, incluindo o cálculo de áreas. Da mesma forma que nas fases anteriores, as séries de exercícios são bastante simples, calcadas no cotidiano e adequadas ao tempo que o professor dispõe em aula e ao tempo que o aluno dispõe extra-aula. Naturalmente, visando facilitar a preparação de sua aula, todos os exercícios propostos — tanto os de aula como os de casa — virão com seus respectivos gabaritos; porém, havendo necessidade, você poderá utilizar a internet para enviar a sua consulta quanto a um esclarecimento do mesmo. E mais: acompanham a presente edição duas sugestões de avaliações: uma para cada bimestre.
Para qualquer esclarecimento adicional que se fizer necessário, mantemos um canal de comunicação com os conveniados, via telefone e e-mail.
Bom trabalho. O autor
conteúdo PrograMátIco
Potências
Potências de expoente inteiro
Conceito e Propriedades Operatórias Potências de expoente racional
Notação Científica
Radicais
Raiz n-ésima aritmética Propriedades Operatórias Simplificação de radicais Racionalização de denominadores Médias Introdução Média Aritmética Equações de 2o grau Introdução Equação de 2o grau
Equação incompleta de 2o grau
Equação de 2o grau com b = 0
Equação de 2o grau com c = 0
Soma e Produto das raízes Forma fatorada
Problemas de 2o grau
Polígonos
Definição Elementos
Vértice, Lados, Perímetro, Diagonais Ângulos internos Ângulos externos Polígonos regulares Segmentos Proporcionais Introdução Razão de segmentos Teorema de Tales Semelhança de triângulos Razão de semelhança Triângulo Retângulo Definição Relações métricas Teorema de Pitágoras Relações Trigonométricas Ângulos Notáveis Triângulo Qualquer
Lei dos senos Lei dos cossenos Área do triângulo Área do polígono regular
Orientações gerais
O objetivo deste manual é contribuir para o trabalho pedagógico desenvolvido em sala de aula.
Aqui apresentamos sugestões para dinamizar os temas tratados nesta apostila. Sabemos que nem sempre é possível colocar sugestões em prática, pois cada instituição, cada classe e cada professor tem suas próprias características. Mas acreditamos que cada um, a seu modo, pode tirar algum proveito.
Considerando que nos cursos semestrais, estão previstas, em média, 100 aulas de matemática, planejamos o nosso para ser dado em 72 aulas.
Para tirar o máximo de vantagens do uso da apostila, é fundamental que você:
a) selecione os aspectos que considere mais relevantes dentro do tema tratado;
b) faça na lousa um quadro-resumo da aula;
c) resolva apenas os exercícios que julgar conveniente, deixando os demais como tarefa de casa;
d) peça aos alunos que marquem na apostila os tópicos e exercícios que você considere mais importantes, pois estes, certamente, é que serão cobrados na prova.
Assunto: PotêncIas
Finalidade:
● Revisar potência de expoente inteiro;
● Apresentar as propriedades operatórias na visão algébrica; ● Definir potência de expoente racional;
● Apresentar a notação científica. Sugestão de Planejamento:
● Potências de expoente inteiro ... 2 aulas ● Potências de expoente racional ... 2 aulas ● Notação Científica ... 2 aulas 1. Revise potência de expoente inteiro enfatizando a diferença
entre base negativa e potência negativa;
2. Apresente as propriedades operatórias na visão algébrica (como fórmulas);
3. Peça aos alunos que resolvam os exercícios; 4. Defina potência de expoente racional; 5. Peça aos alunos que resolvam os exercícios; 6. Apresente a notação científica;
7. Mostre como representar números nesta notação; 8. Peça aos alunos que resolvam os exercícios. Sugestão adicional para todos os assuntos:
Entre no Google (www.google.com.br) com a chave "matemática essencial". Clique no primeiro resultado e no site, clique no link "fundamental"; um menu se abrirá.
Assunto: radIcaIs
Finalidade:
● Apresentar raiz n-ésima na visão algébrica;
● Apresentar as propriedades operatórias na visão algébrica; ● Mostrar as técnicas de simplificação de radicais;
● Mostrar as técnicas e os casos de racionalização de denominadores.
Sugestão de Planejamento: ● Raiz n-ésima aritmética e
Propriedades operatórias... 2 aulas ● Simplificação de radicais... 2 aulas ● Racionalização de denominadores... 4 aulas Abordagem dos Assuntos:
1. Apresente raiz n-ésima na visão algébrica (como fórmula) enfatizando a unicidade da raiz n-ésima;
2. Apresente as propriedades operatórias na visão algébrica (como fórmulas);
3. Mostre como simplificar radicais;
4. Peça aos alunos que resolvam os exercícios;
5. Mostre as técnicas e os casos de racionalização de denominadores;
6. Peça aos alunos que resolvam os exercícios.
Assunto: MédIas
Finalidade:
● Conceituar média aritmética;
● Mostrar as aplicações do cálculo de médias. Sugestão de Planejamento:
● Introdução... 1 aula ● Média aritmética ... 3 aulas Abordagem dos Assuntos:
1. Conceitue média aritmética;
2. Peça aos alunos que resolvam os exercícios 1 a 4; 3. Mostre como calcular médias resolvendo na lousa, com
auxílio da calculadora, os exercícios 5 a 8;
4. Peça aos alunos que resolvam, em grupo, com auxílio da calculadora, os exercício 9 a 12.
Correlação Interdisciplinar / Transversal: Trabalho / Consumo e Pluralidade Cultural. Estes dois temas transversais poderão ser abordados no estudo do tema Médias, uma vez que o aluno frequentemente precisa, no seu cotidiano, fazer uso de médias para fazer levantamentos, previsões, cálculos etc.
Assunto: equações de 2
ograu
Finalidade:
● Definir equação de 2o grau;
● Apresentar a fórmula de Bháskara;
● Relacionar a existência das raízes com o sinal do discriminante;
● Apresentar as equações incompletas;
● Relacionar a soma e o produto das raízes com os coeficientes da equação;
● Apresentar a forma fatorada;
● Exercitar a resolução de problemas de 2o grau.
Sugestão de Planejamento:
● Introdução... 1 aula ● Equação de 2o grau ... 6 aulas
● Equação incompleta de 2o grau... 2 aulas
● Soma e Produto das raízes... 4 aulas ● Forma fatorada... 1 aula ● Problemas de 2o grau... 4 aulas
Abordagem dos Assuntos: 1. Defina equação de 2o grau;
2. Apresente a fórmula de Bháskara;
3. Relacione a existência das raízes com o sinal do discriminante;
4. Peça aos alunos que resolvam os exercícios;
5. Apresente as equações incompletas, enfatizando a resolução simplificada;
6. Peça aos alunos que resolvam os exercícios;
7. Relacione a soma e o produto das raízes com os coeficientes da equação, enfatizando a resolução de equações “de cabeça”;
8. Apresente a forma fatorada;
9. Peça aos alunos que resolvam os exercícios. 10. Resolva na lousa os problemas 31 a 36; 11. Peça aos alunos que resolvam os demais;
12. Peça aos alunos que resolvam o problema 48 em grupos.
Assunto: PolÍgonos
Finalidade:
● Definir polígonos; ● Definir seus elementos;
● Deduzir a fórmula do número de diagonais;
● Deduzir as fórmulas da soma dos ângulos internos e soma dos ângulos externos;
● Definir polígonos regulares;
● Particularizar as fórmulas da soma dos ângulos internos e externos para os polígonos regulares.
Sugestão de Planejamento:
● Definição, elementos e diagonais... 2 aulas ● Ângulos internos e ângulos externos... 2 aulas ● Polígonos regulares... 2 aulas Abordagem dos Assuntos:
1. Defina polígonos; 2. Defina seus elementos;
3. Deduza a fórmula do número de diagonais; 4. Peça aos alunos que resolvam os exercícios;
5. Deduza as fórmulas da soma dos ângulos internos e da soma dos ângulos externos;
6. Peça aos alunos que resolvam os exercícios; 7. Defina polígonos regulares;
8. Particularize as fórmulas da soma dos ângulos internos e externos para os polígonos regulares;
9. Peça aos alunos que resolvam os exercícios.
Assunto: segMentos ProPorcIonaIs
Finalidade:
● Revisar as propriedades das proporções; ● Definir razão de segmentos;
● Apresentar o Teorema de Tales; ● Definir semelhança de triângulos;
Sugestão de Planejamento:
● Introdução e Razão de segmentos... 2 aulas ● Teorema de Tales... 2 aulas ● Semelhança de triângulos e
Razão de semelhança... 2 aulas Abordagem dos Assuntos:
1. Revise as propriedades das proporções; 2. Defina razão de segmentos;
3. Peça aos alunos que resolvam os exercícios; 4. Apresente o Teorema de Tales;
5. Resolva na lousa os exemplos da apostila; 6. Peça aos alunos que resolvam os exercícios; 7. Defina semelhança de triângulos;
8. Defina razão de semelhança e medidas lineares homólogas; 9. Resolva na lousa os exemplos da apostila;
10. Peça aos alunos que resolvam os exercícios.
Assunto: trIângulo retângulo
Finalidade:
● Estabelecer as convenções no triângulo retângulo; ● Deduzir as relações métricas;
● Deduzir o Teorema de Pitágoras; ● Definir as relações trigonométricas;
● Deduzir as relações trigonométricas dos ângulos notáveis. Sugestão de Planejamento:
● Convenções e Relações Métricas... 2 aulas ● Teorema de Pitágoras ... 4 aulas ● Relações Trigonométricas... 4 aulas ● Ângulos Notáveis... 2 aulas Abordagem dos Assuntos:
1. Estabeleça as convenções no triângulo retângulo; 2. Deduza as relações métricas;
3. Deduza o Teorema de Pitágoras;
Comentário: O título “Teorema de Pitágoras” foi mal posicionado e deve ser deslocado para antes da 5a linha
do texto.
4. Resolva na lousa os exercícios 1 a 4; 5. Peça aos alunos que resolvam os demais; 6. Defina as relações trigonométricas; 7. Resolva na lousa os exemplos da apostila;
8. Peça aos alunos que resolvam, com auxílio de calculadora, os exercícios;
9. Deduza as relações trigonométricas dos ângulos notáveis.
Assunto: trIângulo qualquer
Finalidade:
● Apresentar a Lei dos Senos e os requisitos para sua aplicação;
● Apresentar a Lei dos Cossenos e os requisitos para sua aplicação;
● Apresentar as diversas fórmulas para cálculo da área de triângulos e os requisitos para a aplicação de cada uma; ● Apresentar a fórmula para cálculo da área de um polígono
regular.
Sugestão de Planejamento:
● Lei dos Senos... 3 aulas ● Lei dos Cossenos... 3 aulas ● Área do triângulo... 4 aulas ● Área do do polígono regular... 2 aulas Abordagem dos Assuntos:
1. Apresente a Lei dos Senos, enfatizando os requisitos para sua aplicação;
2. Resolva na lousa os exemplos da apostila;
3. Peça aos alunos que resolvam, com auxílio de calculadora, os exercícios;
4. Apresente a Lei dos Cossenos, enfatizando os requisitos para sua aplicação;
5. Resolva na lousa os exemplos da apostila;
6. Peça aos alunos que resolvam, com auxílio de calculadora, os exercícios;
7. Apresente as diversas fórmulas para cálculo da área de triângulos, enfatizando os requisitos para aplicação de cada uma;
8. Resolva na lousa os exemplos da apostila;
9. Peça aos alunos que resolvam, com auxílio de calculadora, os exercícios;
10. Apresente a fórmula para cálculo da área de um polígono regular;
11. Peça aos alunos que resolvam, com auxílio de calculadora, os exercícios.
gabarito
Potências 01. a) 32 b) 1 c) –1 d) 0,008 e) 0 02. a) –4 b) 4 c) –1 8 d) 27 e) –4 9 03. a) a12 b) a–2 = 1 2 a c) a35 d) a3 e) a8 f) a1 = a g) a–4 = 1 4 a 04. b c 05. a3 4 06. a) –0,000001 b) 1 c) 1 16 d) 13,69 e) 5 4 07. a) 1 8 b) –1 9 c) 8 d) 4 9 e) 3 08. a) 1 3 a b) 1 c) a d) 15 a e) a60 f) 1 a g) a6 09. 64 30 c 10. 1 2 11. a) 2 b) 729 c) 1 25 d) 0,5 12. a) 1 2 b) 10 c) 1 3 d) 0 9, 13. a) 1 4 b) 27 c) 1 4 d) 25 14. a) 64 b) 125 c) 1 4 d) 8 15. a) 4,8 . 105 b) 7,2 . 10–3 c) 2,3 . 108 d) 7 . 10–7 16. a) 6,4 . 1014 b) 4 . 1011 c) 3 . 10–11 d) 1,44 . 10–13 17. 3,5 . 1010 grãos 18. a) 5 . 109 b) 8,2 . 10–7 c) 1,2 . 106 d) 4 . 10–10 19. a) 1,8 . 1017 b) 3 . 1013 c) 3 . 10–13 d) 6 20. 1,6 . 105 grãos Radicais 01. a) 15 b) 16 c) 12 2 02. a) 7 2 b) 6 3 c) 32 03. a) 4 b) 3,2 c) 5 . 33 04. a) 8 b) 9 c) 2 . 24 05. a) 5 3 b) 5 06. a) 2 2 b) 3 2 c) 5 2 d) 10 e) 10 2 07. a) 5 b) 4 3 c) 5 5 d) 25 e) 30 08. a) – 2 b) 10 09. a) 2 3 b) 2 93 c) 6 2 10. a) 2 2 b) 3 2 c) 4 43 11. a) –2 (1 + 2 ) b) 2 ( 2 + 1) c) 2 3 3 3 -12. a) 6 2 2 + b) 5 – 10 13. a) 2 2 b) 5 c) 3 9 2 3 14. a) 2 ( 6 + 2) b) 2 – 2 c) 3 + 3 15. a) 3 ( 6 – 3 ) b) –2 3 – 3 2 Médias 01. 14 02. 1,5 03. a) 7,47 reais b) A c) B 04. 16 anos e 7 meses 05. 72,9 kg 06. a) 264 km/dia b) 86,00 reais/dia c) 0,32 reais/km 07. 1069,20 reais/mês 08. a) 1o trecho = 58 km/h 2o trecho = 64 km/h 3o trecho = 72 km/h b) 64,33 km/h 09. Ana Maria → 5,5 Beatriz → 6,0 Fernando → 7,5 Ilda → 7,0 Leandro → 3,5 Luiz Augusto → 5,0 10. Ana Maria → 5,5 José Paulo → 8,0 11. Everaldo → 8,5 João Carlos → 3,7 12. a) 6,76 b) 6,37 c) 7,50 d) 6,95 e) 8a Α → 7,14 8a Β → 6,69 13. 62,4 14. 2,5 15. 10 16. 4,00 reais/dia 17. 1,70 m 18. a) 4,41 L/dia b) 83 km/dia c) 18,8 km/L 19. 2,10 reais o quilo 20. São PauloEquaçÕEs dE 2o GRau 01. a) x1 = 2 x2 = –4 b) x1 = –1 x2 = 3 02. a) x1 = 1 x2 = – 1 2 b) x1 = –3 2 x2 = –3 2 03. Não existe x real. 04. x1 = 2 x2 = –6 05. a) x1 = –0,4 x2 = –0,4 b) x1 = 32 x2 = 1 2 06. a) x1 = 7 e x2 = –2 b) x1 = 10 e x2 = 10 07. x1 = 3 x2 = –5
08. Não existe x real. 09. a) x1 = 2 e x2 = 1 4 b) x1 = 23 e x2 = –34 10. x1 = 2 x2 = 23 11. x1 = 1 2 x2 = – 1 2 12. x1 = –2 x2 = 2
13. Não existe x real. 14. Não existe x real. 15. x1 = 1 x2 = –1 16. x1 = 0 x2 = 54 17. x1 = 43 x2 = 0 18. x1 = 0 x2 = –10 19. x1 = 12 x2 = 0 20. x1 = 0 x2 = –0,01 21. a) S = – 1 2 P = –3 b) S = 0 P = –254 c) S = 3 P = 0 d) S = 45 P = 15 e) S = 1 P = 1 4 22. a) x2 – 11x + 28 = 0 b) x2 – 2x – 80 = 0 c) x2 + 3x – 40 = 0 d) x2 – 6x + 9 = 0 e) x2 + 5x = 0 23. a) 6x2 + 11x – 10 = 0 b) 8x2 + 6x + 1 = 0 c) 4x2 – 25 = 0 d) x2 – 10x = 0 e) 4x2 – 3x – 10 = 0 24. a) (x – 3) . (x + 2) = 0 b) (x + 1 – 2 ) . (x + 1 + 2 ) = 0 c) Não existe x real.
d) –(2x + 3 ) . (2x – 3 ) = 0 e) x (5x + 3) = 0 25. a) (4x – 5) (4x – 3) = 0 b) (x – 1) (2x + 1) = 0 c) (x – 0,4) (x – 0,1) = 0 d) (3x + 2) (4x + 3) = 0 e) (5x + 12) (2x + 5) = 0 26. a) S = 32 P = 2 b) S = 0 P = –32 c) S = –3 P = 0 d) S = 25 P = 15 e) S = 3 P = 32 27. a) x2 – 9x + 20 = 0 b) x2 + 3x – 4 = 0 c) x2 – 3x – 10 = 0 d) x2 + 8x + 16 = 0 e) x2 – 7x = 0 28. a) 12x2 – x – 6 = 0 b) 9x2 + 9x + 2 = 0 c) 2x2 + 5x + 2 = 0 d) x2 + 3x = 0 e) 16x2 – 9 = 0 29. a) (x – 2) (x + 1) = 0 b) (x – 1) (x + 3) = 0 c) Não existe x real. d) –3 (x + 2) (x – 2) = 0 e) 5x (x – 2) = 0 30. a) (5x – 4) (5x – 3) = 0 b) 2 (x – 3) (x + 1) = 0 c) (x – 0,2) (x – 0,1) = 0 d) (3x + 4) (2x + 3) = 0 e) (7x + 12) (2x + 7) = 0 31. 5 ou –2 32. 7 ou –15 33. 2 ou –5 3 34. 45 metros 35. 35 ou –35 36. 20 e 25 37. 6 ou –6 38. 144 cm2 39. 21 e 15 metros 40. 3,9 cm 41. os números são 6 e 7 ou –7 e –6 42. 4 43. 12 e 30 m 44. 11 ou –7 45. a soma é 18. 46. 21 anos 47. 13 anos 48. a) 5 litros b) 4 litros
PolíGonos 01. 20 02. heptágono 03. decágono 04. pentágono 05. x = 112 y = 58 06. 54 07. eneágono 08. octógono 09. Não 10. a = 11,5 b = 2,5 11. 1260° 12. 90° 13. 126°40’ 14. 45° 15. 60° 16. 900° 17. 91° 18. 70° 19. 40° 20. 24° 21. 140° 22. 108 cm 23. 132° 24. hexágono 25. 252 26. ai = 162° ae = 18° 27. 20 28. 5 lados 29. 30 lados 30. 2,5 cm sEGMEntos PRoPoRcionais 01. 3 2 02. 40 cm 03. 577,5 m 04. 5,58 cm 05. 12,60 m2 06. 3 5 07. 7,5 cm 08. 7 5 750 000 , cm 09. 20,4 m 10. 6 mm 11. 6 12. 14 13. x = 15 y = 21 14. 1 15. 10 16. 8 17. AB = 25,333... 18. 3,75 19. 7,5 20. 0,5 21. 21 13 22. 19 23. x = 20 e y = 30 24. AB = 20 25. 9 26. BD = 6 27. 10049 28. 6 29. x = 4 30. A = 100 3 cm 2 tRiânGulo REtânGulo 01. a = 13 m = 14413 n = 1325 h = 1360 02. m = 485 cm n = 275 cm h = 365 cm 03. 48 m 04. 48 cm2 05. 5 2 cm 06. 4 3 cm2 07. 20 10 m 08. 2 m 09. 60 10. 5 11. a = 20 m = 7,2 n = 12,8 h = 9,6 12. 24 cm 13. 10 m 14. 60 m2 15. 8 2 cm 16. SABC = 30 cm2 SACD = 24 cm2 17. 50 cm 18. 60 m2 19. 29,6 cm 20. 11 4 21. sen x = 135 cos x = 1213 tg x = 125 22. x = 2 21 23. a) 7,62 b) 8,1 c) 17,44 d) 11,333... 24. 93 metros 25. distância percorrida: 1104 m velocidade: 5,52 km/h 26. sen x = 0,8 cos x = 0,6 tg x = 1,333... 27. sen α = 1 2 cos α = 23 28. a) 3,525 b) 3,486 c) 22,979 d) 14,287 29. Telhado B 30. 71,5 metros tRiânGulo qualquER 01. 3,2 02. 5,4 03. 57,6 04. x = 4,48 e y = 8,81 05. x = 58,7 e y = 66,3 06. 13,4 07. 9,7 08. 13,69 09. x = 12,6 y = 34,6 10. x = 173,2 y = 197,0 11. 6,25 12. 5,85 13. 2,57 14. 5 15. x = 10 ou x = 6 16. 7,02 17. 29,83 18. 2,54 19. 16 20. 6,21 ou x = 1,45 21. 120 22. 68 m 23. 128,6 m2 24. 60 cm2 25. 19,15 26. 108 m2 27. 78,44 m2 28. 15,59 cm2 29. 18 cm2 30. 108 cm2 31. 32,15 32. 6 cm2 33. 240 34. 32,15 m2 35. área = 480 m2 perímetro = 92 m 36. 374,11 cm2 37. 181 cm2 38. 24,6 cm2 39. 519,6 cm2 40. 300 cm2
