Álgebra Booleana para Lógica Proposicional

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Álgebra Booleana

para Lógica Proposicional

Bruno Hott

UFOP

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Álgebra Booleana

Aálgebra booleana consiste de um conjunto de leis que estabelecem quando duas fórmulas podem ser consideradas logicamente equivalentes.

Dizemos que duas fórmulas α e β sãoequivalentes,α ≡ β, se estas possuem o mesmo

valor lógico para uma mesma atribuição de valores às suas variáveis (tabela verdade). A álgebra booleana é uma forma de raciocínio algébrico sobre fórmulas que permite:

1 _{mostrar que duas fórmulas são iguais por meio de uma sequência de igualdades e,} 2 _{se x ≡ y e você possui uma expressão que possui ocorrências de x, você pode substituir}

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Leis da Álgebra Booleana

⊥, > α ∧ ⊥ ≡ ⊥ {∧ − null} α ∨ > ≡ > {∨ − null} α ∧ > ≡ α {∧ − identidade} α ∨ ⊥ ≡ α {∨ − identidade} ¬ ¬> ≡ ⊥ {negação − >} ¬⊥ ≡ ⊥ {negação − ⊥} α ∧ ¬α ≡ ⊥ {complemento − ∧} α ∨ ¬α ≡ > {complemento − ∨} ¬(¬α) ≡ α {dupla-negação} ∧, ∨ α ∧ α ≡ α {∧ − idempotente} α ∨ α ≡ α {∨ − idempotente} α ∧ β ≡ β ∧ α {∧ − comutativo} α ∨ β ≡ β ∨ α {∨ − comutativo} α ∧ (β ∧ γ) ≡ (α ∧ β) ∧ γ {∧ − associativo} α ∨ (β ∨ γ) ≡ (α ∨ β) ∨ γ {∨ − associativo} ∧, ∨, ¬ α ∧ (β ∨ γ) ≡ (α ∧ β) ∨ (α ∧ γ) {∧ − distribui − ∨} α ∨ (β ∧ γ) ≡ (α ∨ β) ∧ (α ∨ γ) {∨ − distribui − ∧} ¬(α ∧ β) ≡ ¬α ∨ ¬β {DeMorgan − ∧} ¬(α ∨ β) ≡ ¬α ∧ ¬β {DeMorgan − ∨} →, ↔ α → β ≡ ¬α ∨ β {implicação} α ↔ β ≡ (α → β) ∧ (β → α) {bicondicional}

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Exemplo 28. (A ∨ ⊥) ∧ (B ∨ >) ≡ A

(A ∨ ⊥) ∧ (B ∨ >) ≡ {∨ − identidade}

A ∧ (B ∨ >) ≡{∨ − null}

A ∧ > ≡ {∧ − identidade} A

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Exemplo 29. (⊥ ∧ A) ∨ B ≡ B

(⊥ ∧ A) ∨ B ≡ {∧ − comutativo} (A ∧ ⊥) ∨ B ≡ {∧ − null} ⊥ ∨ B ≡ {∨ − comutativo} B ∨ ⊥ ≡ {∨ − identidade} B

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Exemplo 30. A ∧ ¬(B ∨ A) ≡ ⊥

A ∧ ¬(B ∨ A) ≡ {DeMorgan − ∨} A ∧ ¬B ∧ ¬A ≡ {∧ − comutativo} A ∧ ¬A ∧ ¬B ≡ {complemento − ∧} ⊥ ∧ ¬B ≡ {∧ − comutativo} ¬B ∧ ⊥ ≡ {∧ − null} ⊥

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Exemplo 31. A → B ≡ ¬B → ¬A

A → B ≡ {implicação} ¬A ∨ B ≡ {dupla-negação} ¬A ∨ ¬(¬B) ≡ {∨ − comutativo} ¬(¬B) ∨ ¬A ≡ {¬B = X; ¬A = Y } ¬X ∨ Y ≡ {implicação} X → Y ≡ {X = ¬B; Y = ¬A} ¬B → ¬A

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Conjunto Completo de Conectivos

Seja C ⊆ {⊥, ¬, ∨, ∧, →, ↔} um conjunto de conectivos. Dizemos que C écompleto para

{⊥, ¬, ∨, ∧, →, ↔} se é possível expressar todos os conectivos não presentes em C em termos dos conectivos presentes no conjunto C e variáveis.

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Exemplo 32. Mostre que o conjunto {¬, ∨} é completo.

> ≡ α ∨ ¬α ⊥ ≡ ¬(α ∨ ¬α) α ∧ β ≡ ¬¬α ∧ ¬¬β ≡ ¬(¬α ∨ ¬β) α → β ≡ ¬α ∨ β α ↔ β ≡ (α → β) ∧ (β → α) ≡ (¬α ∨ β) ∧ (¬β ∨ α) ≡ ¬(¬(¬α ∨ β) ∨ ¬(¬β ∨ α))

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Formas Normais

Forma Normal Conjuntiva (FNC)

1 ⊥, > ∈ F N C 2 A, ¬A ∈ F N C (literal L) 3 _ l∈L l ∈ F N C (cláusula C) 4 ^ c∈C c ∈ F N C

Forma Normal Disjuntiva (FND)

1 ⊥, > ∈ F N C 2 A, ¬A ∈ F N C (literal L) 3 ^ l∈L l ∈ F N C (cláusula C) 4 _ c∈C c ∈ F N C

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Convertendo para as Formas Normais (FNC ou FND)

Para cada uma das subfórmulas α, β γ, aplique:

1 α ↔ β ≡ (α → β) ∧ (β → α) 2 α → β ≡ ¬α ∨ β 3 ¬(α ∧ β) ≡ ¬α ∨ ¬β ¬(α ∨ β) ≡ ¬α ∧ ¬β 4 ¬¬α ≡ α 5 _{FNC: α ∨ (β ∧ γ) ≡ (α ∨ β) ∧ (α ∨ γ)} FND: α ∧ (β ∨ γ) ≡ (α ∧ β) ∨ (α ∧ γ)

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Exemplo 35.

Converta a fórmula ¬(A ↔ B) para a forma normal conjuntiva (FNC)

¬(A ↔ B) ≡ ¬[(A → B) ∧ (B → A)] ≡ ¬[(¬A ∨ B) ∧ (¬B ∨ A)] ≡ ¬(¬A ∨ B) ∨ ¬(¬B ∨ A) ≡ (¬¬A ∧ ¬B) ∨ (¬¬B ∧ ¬A) ≡ (A ∧ ¬B) ∨ (B ∧ ¬A) ≡ [(A ∧ ¬B) ∨ B] ∧ [(A ∧ ¬B) ∨ ¬A] ≡

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Exemplo 36.

Converta a fórmula ¬(A ↔ B) para a forma normal conjuntiva (FND)

E para transformar em FND? ¬(A ↔ B) ≡ ¬[(A → B) ∧ (B → A)] ≡ ¬[(¬A ∨ B) ∧ (¬B ∨ A)] ≡ ¬(¬A ∨ B) ∨ ¬(¬B ∨ A) ≡ (¬¬A ∧ ¬B) ∨ (¬¬B ∧ ¬A) ≡ (A ∧ ¬B) ∨ (B ∧ ¬A) ≡ FND! [(A ∧ ¬B) ∨ B] ∧ [(A ∧ ¬B) ∨ ¬A] ≡ [(A ∨ B) ∧ (¬B ∨ B)] ∧ [(A ∨ ¬A) ∧ (¬B ∨ ¬A)] ≡