Prova Grupos, representações 14/05/2020

Prova – Grupos, representa¸c˜

oes

14/05/2020

1. a) (0.5 ponto) Dˆe a defini¸c˜ao de grupo e ordem de elemento de grupo.

b) (1.5 ponto) Seja ' : G _{! H um homomorfismo de grupos. Demonstre que | '(g) |} divide | g |. Se | G |= 100 e | H |= 81, demonstre que Im ' = {1H}.

2. Seja G um grupo com dois subgrupos normais N e M tais que G = N M e N_{\ M = 1.} a) (0.5 ponto) Mostre que nm = mn para todos n_{2 N, m 2 M.}

b) (1.5 ponto) Mostre que ' : N⇥M ! G dado por '((n, m)) = nm ´e um isomomorfismo de grupos.

3. a) (1 pt) Dˆe as defini¸c˜oes dos grupos Sne An. Calcule|Sn| e |An|. Quais dos elementos (1 2 3)(4 5 6) e (1 2)(3 4)(1 2 3) s˜ao elementos de A6?

b) (1 pt) Demonstre que (i1 i2 . . . ik) 1 = ( (i1) (i2) . . . (ik)). Ache 2 S10 tal que ⇢ 1 _{= ⇢}0 _para ⇢ = ✓ 1 2 3 4 5 6 3 1 2 4 6 5 ◆ , ⇢0 = ✓ 1 2 3 4 5 6 2 1 3 5 6 4 ◆ .

4. a) (0.5 pt) Enuncie a primeira parte do teorema de isomorfismos.

b) (1.5 pt) Seja G = GL5(R) = {A 2 M5(R) | det(A) 6= 0} e H = SL5(R) = {A 2 GL5(R) | det(A) = 1}. Demonstre que H ´e subgrupo normal de G e G/H ´e um grupo abeliano.

5. (2 pt) Seja G = _{{g 2 C | g}36 _{= 1}, consideramos como um grupo com respeito} a opera¸c˜ao produto de n´umeros complexos. Mostre que G ´e grupo c´ıclico de ordem 36. Escreva todos os geradores de G. Escreva um elemento de G de ordem 9.

Todas respostas devem ser justificadas!

Boa Sorte!

More

:

Felipe

Augusto

Castro

Silva

1)

a)

_seja

G um

conjunto

não

vazio

munida com u m a

operação

binária

GXG -a G

(_{g., ga}) ta

giga

↳

matraca

genérica

com as

seguintes

propriedades

:

(I) Arrematados ✓ _Gi,Jo ,rgz EG , cf,*(Go*g.3) = Kyi* ga)#_grz (E) Escute r e G t -q.

RJ

= g.e = g , tt g.E G (II₎

FGEG

, 7h e G tal que G.h=h -g.= e . Casa a

dupla

(o

,*)

satisfaça

LII ICI) _, # _,

dizemos

que G e

-grupo .

Seja

_G e G

qualquer

.

Definimos

lgt

como a

menor inteiro

pontua

K tal que

seja

= a = lo

.

Ainda

, podemos entender

1Gt

como o número

de _elementos do _subgrupo cíclica _{gerada por} rg , esta é , 1Gt = Kg> I.

b-

₎

₄

: G. → H

e-u m

homamafmmo

de

grupos . Então

dada _g EG

, qtenha ordem

furuta

myrstaé,

1Gt

= n . Então ,

qm

= 1g . Como

y

e- hcerncemanfez mae _,

lflgn

) = YCIa)= 1H d. propriedade de homomorfurma

Por outro lado

,

lflgn

) =

fugir

= La

.

Fogo

,

lycgslln

= >

14cg

)

111Gt

Agora

, suponha que 1Gt

= _{100 e} IHI--81 T.de Im (G) E H

IIMCGIII

81 => " QCGS

datqrande

IIMCG

) I ⇐

{

L , 3,9,

27,811

G

_§

_H

, pois 81 não durou 100

|

_que

-rath = HAAIMIGS

4-YH) e G

-Kor

_(e)

=

{

Hehe

) I

_Imy

POE

pt

-RESOLUCAEO

LEÔ

Sejam

161--100

e 1H 1=81 . Coma para

G.

e G

qualquer

temos

lglt

lol e

IQIGJIIH

,

então

lrgl

1100 e 1.4cg>1 181 . Mars anda

,

tylgsltlgl

de onde _{segue que} 14cg)) darde 100 _{e 81}

.

Logo

, como mde 1100,81) = d

, temos que

14cg

)) = L =>

4cg

) = 1

µ ,

kg

e G .

Logo

2)

a)

como Nao _, nao _, a- um e msn.ws

segue que

G

-produto

dentro de N _por

M .

Sejam

m e Nem EM _quaisquer .

Dez

celsa _que

n.m.lm-nt-t-n.m.si?m-t=(n.m.n-Y.m-b

EM conde

_cnn.mm.ms

) e M _{, pois} na G , e m -tem , ~ C-NEG ENEG

pais M e- subgrupo .

Logo

n.mlm.ms

" EM. Ainda , EN EN ~

msn.sn/m.nJ-t-n.m.m-d.m-t--mlm-n-d.m-h

) onde cnn.n-a.sn- t ) e N ,

afinal

No G .

Logo

, www. EMEG EN C- ME _G m.mlm.mil E N .

Portanto

n.mlm.nl -de _{NNM =LLo}} = _> n.mlm.mil = 1o . Dai ,

pela

remendada da inversa , sim) =

@

mil -d = m - _n

b.)

q : Nxm → G (_msm) 1-a _mim

•

lfémzetceraseycrm

Cnn_, mi) _, (ma ,ma) e NX M g caem na

,naEN

lmnmae M.

, tais que lfllnn.mil)

= 4( insumos) => ns.msn = ma -ma => _mimimi'= mjmjm

}

- -C- G--NM C- G.=NM m_,_ na- ma.mil mil -me

mil

.na-

mimá

=3 =_> do =

ln-i.ndlma.mil

lniinaid-ma.mil

- -EN _e M

Como N e-

fechada

pela

inverso

, o único

elemento de N _cuja anverso está e m M é

a elemento neutro 1g_, onde

Kate

da C- MAN .

Assim_{, segue que} mil. na =L _a

{

ma -mi - La =>

/

nem_' (_nema) = ( mama) mt= _msm

e essa prova

Yamato

•

4

_e-

sahreseteera

-Realmente , sopa nem e G-- NM . Então , tomando Cn , m) E NXM , temos 44mm)) a-mim .

Isso

_prova

_q

_sobrestar

O

e-

ahanvormonfemma

.

Com

efeito

_{, sejam} (ns, ma) _, Cna ,mas E NXM.

Dai , Q

(

cnn.mn)(ma,ma)) =

Y

(

mina_,mima) = _mimimi -Mp = = _n ,(mama).mg = n , (mi ma) mt =

(

_{nsma) (mama}) to pela _rtemla) =

y Km

,mas

)

.

44mmol

)

fogo

como

f

e- uma

hamarmãfmma

huzetor

, Me

- usamarlusma

}

)

a.)

sn e-o _{grupo simetria} das

permutações

de X=L_1,2, .. -, n 3 . mais esperta comente , Sn = da :X → X 1 x

e-biseçãe

}

Já

An e-o

grupo alternado de

permuta

cães de X e comeste de

permutarão

em

Sn _que são _pares

, esta é,

permutações

que

podem

ser escutas com o

produto

de u m número par de

transposição

. Mais

espertamente

: An=

{

de Sn

)

D= de ida. ... . data ,rende ai e-transposição e k7 b

/

Cama escutem nmaneiras! de

_permutar

os

elementos de lan

, segueque lsnl = m

!

.

Agora

, toda

permutarão

em Sn e- por

que úmpor . Ainda

, podemos construir f-: Sm → _sn A 1-a tx onde c-=

cij

) e Sn . te

-motora

por se tlxd-flash

→ _{c- da} = E _da => de =_ora

, pois vale a lei da

sahrgetaro cancelamento (Sn e

-grupo) , f- e-

bagaço

pois

dada de Sn , × = Lsn . × = T.lt . x) e dai , flexJ = -C- _Sn

= c-⇐ a) =D .

Logo

5-e-

break

. Casa a

for

por , então f- cas -ta e-mmm. Caso x

por

semper , f- (x ) será por .

Logo

, temos u m a

barcaça de Sm - sm _que leva

permutamos

pares a ímpares e leva

permutarão

úmeros

a _pares .

Logo

, Sm possui o mesmo

numero

de

permutações

pares e Árvores.

Como toda

_permutarão

emsn e- um

par ou entrar

, segue que

IAnt-S.LI

=

das

Outra

_{srrstufrcatuvoé}

, conforme vestia e m aula , Lsn: An) = ₂ . droga , pelo Teorema de

Lagrange

, IANI =

lsnt

= (Sn: AM 2

Agora

, mate que

(_12311ns6) = (Iss Cna) ( 461 Cns) E

A

_g

-numero _par de

transpomos

( u)

(A)Cdu) (123J = (A)(3h)(13×12) C-

Au

C- Ag

-numero

par

de

_transporão

b)

Devemos

mostra _que

⑨ _{Cis ia} ..- ra) o

"

= (Ecu₎ Oceas

.-- oecir

)

Treme _p = ( rs rs - .- la) e

defina

suplp) =

= dia

,ia ,...

, intatos elementos movidas por

p; e treme X=L 1,2

, -

-,n} .

Dai , suponha _que í e XD oocsuplpt). Então

o}_i) e Xlsupcp₎ .

Logo

, o -' ci) é

fixada

pelo

permutarão

p , esta é , pCO -Yis) = o -_' ci ) . Daí ,

Opódli

)= ocp co -Yi₎)) = olcttci₎) = i

Agora

_, suponha que i e a- Csupcpss .

Saga

, i

= _{ocj )}

, para algum pe supcpl .

Suponho

, s e m perda de

generalidade

, que

j = iz . Nessa casa , p . ctci) = pljs = ia. Assim , o portis = o ( p co -dcisl) = a- _Cia) .

Joga

opo- envia a- (iss) a ociss . Isso

mostra _que

o _{car in} -..

ra) o

-'

= ( Miss Mia) . .- Mans)

Agora

, queremos encontrar o c-Sra A-q.

Opo -É _p' , onde p =

(

l 2 3 n s 6 = 3 1 24 6 s

)

= ( 132) (4) ISG) e p ' =

(

e 2 3 u s

6)

= (12)13314561 4 2 1 3 S 6 Y _y → (u) (_s 6) ( 132₎ cubos_duzentos (3)11211456₎ permutam

Nate _que

pep) eSm possuem tupeeciãeuca,

pois a sequencia 141 _, ICSGJI

,113211 = 1,2, 3

e a _sequencia ICZJI

, krasl , Ilusos) = 1 , 2,3 ne

-a m e s m a . Por teorema visto _em aula

,

mãe garante o escutaria de OES,o tal

que opo

-te

p

"

.

Tome o c- Sn tal _que • (41=3

, o _{(5) =L} , G- ₍₆₎ = 2 , oc↳ = 4 , oczs= S e ocas = _G . Então • =

(

I 2 3 h S

6)

=

(

143 5) 1263 4 6 S ₃ 1 2 e ÓL = ( S 3 4 11 (26 J = (_{L S 3} 4)126) Dai , o. p . oh = (14353126) (u) ISG) (13231113_u) (26) ₌ = 121 ) _{(64 5) (3)} = (3) (12_{) (} Us _{6) =p})

µ

)

_a)

_seja

_a: G.→H u m

homamarfuura

de

grupos . Então a primeira

parte

de

teorema

de _{rscemãrfrsnmos}

_garante

_que

escuta

u m

usonnarfusma

4-

:

bru

, → Imke) dada por

G

Clarice) -g) = 4cg)

b-

₎

_G = GLSCIR) = LA e Mscirs : detlt) #o} e A= SL s CIR)= 1 A c-GLSCR) : datas=L } .

Vamos mostrar _que H e G .. Com

efeito

,

seja h E H . Então he GALscrr) e detlh) =L

. Dai

, como

detona _# O

, h

-desastre

e está bem definido . Aleãn

dessa

, por propriedade de determinante ,

detceis-

1-detca,

=

f-

= d .

Logo

h .>

e H .

Agora

usam hs , ha e H . Então detona)= detonar=L.

Como hee ha são _matrizes Sxs seu produto está

bem difimda e hr.hr e-matriz Sxs. Além dessa

,

por propriedade de determinante , detlh,.hr)=

detona). detonar ₌ 1

. L ₌ 1

.

fogo

h,

- ha e H

. Como

Hé

_fechado

_{por produto} e anverso

, HSG .

Falta _{provar que} H o G.

Seja

g. e G qualquer-e h e H

qualquer. Dai

g- h.

g-

te

-matriz

sxs e

detlg.h.gs

J =

=

detcg

₎. detona detcg

-s ) =

detngs.de#--detOn=1.detY

Assim ,

ghg

-se H _, de onde

GH

_g-de tt , tt g.EG.

Logo

, Ha G .

Agora

considere

_GIH

= GLSIR

AR

₎

=

=

{ Hgi

ge G

}

sendo

g.,

greco

.

Sejam

Hg

, ,

Hg

, e GIH . Então

Hg

,

-Hga =

Hg

,.gr e Hga.Hg , = kga.gs . . Noteque G.

galgo

grid

= giga -gi' -

gás

=

Cg

_, gag

}

)

-gãd

e

detcg

, -

go.gih.gfs-detcgi.detcq.rs

.

1-detcgn

)

detcgj

= 1 .

Logo

,

rgsgsigigj

' = g.gol

go.g.ie

H . Portanto _,

_Hg

,g_, -

Hgzg

, = >

Hg

,

Hgo

=

Agr

Agr

_, tt

Hg

. _,H

go.GG/it

.

Logo

GIH e

5-

₎

G-

_lge

E

1

go.tl

_quero

_multarei

cataneo (_{produto complexo}) .

Nesse caso

G--

hg

C- E :

g" = _s

)

=

lge

G _:

g-

Isso

}

Então Ge

-o conjunto complexo das

raízes 36-eãimes da umidade . G=

1H36

=

{

q= @ itã¥36) ; K ezç

)

= =

{

₁ , & ""↳a) , . .. . ,

citá

Bce)

)

,

afinal

, se K736, w - -Go Y L Gas

então tornamo K módulo36 _e vemos _que os

elementos começam a s e

repetem

:

Por_escamoso , para K -36 , ai AF36/36 ) = @ ist =

= coalaT ) _{ti sem} 12T)= L tio =L

Logo

, e

- claro

que IGI =36 _{e como} rio.rios

e to" (_{propriedade complexa} vista no curso

de matemáticaN) . Dai , como =

É

+

¥

, e ..- e E

itkez

, segue que 36 -K- vezes K -veys -@idtklza) =

@ildTI3at---.t

2H30) =

@idM36.jidTbce.a

.. . ei 36 = = @ i_#36 )K ,f la C-3

Isso mostra _que todo elemento em

G

_pode

_pertence

mostra _que G E Cge> . Como já vemos que

que Cge> _E G

, segue que G = Cg,> _, de onde

G e- _grupo círculo .

Nate_que

_Gio

= _@intacta = ein=L e 36 e-a

menor antena

pontua

t.q.ge

" =L.

Afinal

, se K a ₃₆ =

-¥

as e entra ar .

}

não é

multada

de _2T.

fogo

, & iãtktzco _f- L . Com u s o , concluímos

que

1gal

=L agir1--36--101 .

Seja

a E G . Como G-= Cgi

, escute ter

t.ae , a =

gi

. Então

lgil-lg.tn

= E. .

mdelk_,Igp) mdelk

,36)

Se _{queremos que}

_GF

_{seja gerador} de G _,

devemos obter l

girl

- lol =1gal = 36

, isto é _,

|

_Gil

= 36 = 36ns

mdelk_,36)

"

Então devemos ter mdelk _,

zà

) =L

, este é_,

queremos os enterros

prestavas

K _{que sejam}

caprinos c o m 36 .

Logo

, ke

{

L ,

5,7

, 11,13 , 17,19, 23 , 25 ,

29,31

, 35

}

Assim , os geradores de a sã é 36 = gs , g.g-- ei causa ) , gz = eita " "30 ' , gp, = ri "" "_"" , g,_} , Giz_, 419, Gaz I

Gdg

/ 4.291 73_, ' GIS

Se queremos b. =

GÍ

e GA -q .

IBKIGFI

-9 , então 9 = _3£ => meretriz 61--4 mdc.lk,36)

K _pode ser 4 .

Day

b.

= ei

"""_Ba)

→

-um elemento de _ordem 9 em G