TESTE DE HIPÓTESES PARA PROPORÇÕES

TESTE DE HIPÓTESES PARA PROPORÇÕES

Este resumo visa auxiliar aos candidatos que farão a prova para Fiscal ISS-SP, cujo programa, no Edital, contempla Teste de Hipóteses para Médias e Proporções. Vem, assim, complementar a aula disponibilizada em 09.08.06 (Toque 14) sobre Teste de Hipóteses, na qual foram abordados os conceitos sobre o que seja um Teste de Hipóteses, tipos de erro, tipos de teste (bilateral ou unilateral), cálculo da estatística teste, etc. Estes conceitos valem também para o Teste de Hipóteses para Proporções.

Tal aula objetivou munir de conhecimentos básicos sobre o assunto os candidatos que, em agosto, prestariam o concurso para Fiscal-RS e cujo programa, no Edital, previa apenas o Teste de Hipóteses para a Média e, conforme pode ser lido na página 10 da referida aula: "Os mesmos princípios descritos no início deste resumo aplicam-se aos demais testes. O que muda é a forma de cálculo da estatística teste e as tabelas a serem utilizadas." ... "Em outra oportunidade poderei vir a falar especificamente dos outros Testes de Hipóteses, mas com a tarefa facilitada por este resumo. Quem o entender bem, não terá dificuldade em entender os demais Testes." Assim, é fundamental, para quem ainda não estudou o assunto "Teste de Hipóteses", ler primeiramente a aula do Toque 14.

No presente resumo não abordaremos novamente os conceitos já vistos, apenas mostraremos as principais diferenças do Teste de Hipóteses para Proporções em relação ao Teste de Hipóteses para a Média, que deverá estar perfeitamente assimilado pelo candidato. Também, assim como na aula anterior, será demonstrada a parte prática de resolução de questões através de exemplos.

Definição: Assim como no Teste de Hipóteses para a Média, é uma regra de decisão utilizada para aceitar ou rejeitar uma hipótese estatística com base em elementos amostrais. A diferença é que, enquanto no Teste para Médias os dados amostrais se apresentam através de medidas, no Teste para Proporções os dados se apresentarão na forma de percentagem (ou proporção) de elementos com uma determinada característica, que será testada em relação à percentagem alegada para a população. Por exemplo: proporção para uma determinada doença, proporção de peças defeituosas, proporção de eleitores de um candidato, proporção de pessoas que possuem DVD em uma cidade, etc.

Teremos então nos Testes para Proporções as seguintes Hipóteses: 1) Para o teste Bicaudal ou Bilateral:

Hipótese Nula Æ H0: p = p0 Hipótese Alternativa Æ H1: p ≠ p0

2) Para o teste Unicaudal ou Unilateral à direita Hipótese Nula Æ H0: p = p0

Hipótese Alternativa Æ H1: p > p0

3) Para o teste Unicaudal ou Unilateral à esquerda Hipótese Nula Æ H0: p = p0

Hipótese Alternativa Æ H1: p < p0

A principal diferença entre os dois testes é que no Teste de Hipóteses para a Média precisávamos nos preocupar com o tamanho da amostra e se era conhecida ou não a variância populacional para decidir se usávamos a Tabela Normal ou a Tabela t-Student. Já no Teste de Hipóteses para Proporções não precisamos nos preocupar com isso, pois para encontrar o valor tabulado a ser comparado com o valor calculado (estatística teste) usaremos sempre a TABELA DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO. Penso que este tipo de teste fica até mais fácil do que o anteriormente visto, pois é um detalhe a menos para se preocupar.

Cálculo da estatística teste (ZCALC):

Para quem assimilou bem o cálculo da estatística teste para a média, dado por:

n X

ZCALC = _σ−μ, ficará fácil assimilar o cálculo da estatística teste para proporções.

Basta entender que substituiremos, no numerador da fração:

X (média amostral) por f (proporção ou freqüência relativa na amostra);

μ (média alegada para a população) por p0 (proporção alegada para a população); No denominador da fração, tínhamos, na estatística teste para a média,

n σ

.

Mas, σ (sigma) é o desvio padrão populacional. Relembremos então que a variância, na Distribuição de Bernoulli (sucesso ou fracasso), é dada pelo produto p⋅q, onde p é a probabilidade de sucesso e q é a probabilidade de fracasso igual a (1−p), pois p e q são complementares, ou seja, p + q = 1. Logo, o desvio padrão será p⋅q.

Se p0 é a proporção favorável (sucesso) na população, (1−p0) será a proporção desfavorável (fracasso). Então substituindo σ por p₀⋅

(

)

(

)

n p 1

p0⋅ − 0 _{e colocando ambos sob um radical único fica:}

(

)

n p 1 p₀⋅ − ₀

.

Assim, o cálculo da estatística teste para proporções será:

(

)

Relembrando, da aula anterior, os critérios de aceitação ou rejeição de H0:

1) No teste bilateral

Se – ZTAB < ZB CALC < ZTABB, aceitaremos H0.

Caso ZCALC < - ZTAB, ou ZTAB < ZCALC, rejeitaremos H0. ZTAB

- ZTAB

2) No teste unilateral à direita

Se ZCALC < ZTAB, aceitaremos H0.

Se ZTAB < ZB CALC, rejeitaremos H0.

3) No teste unilateral à esquerda:

Se –ZTAB < ZB CALC, aceitaremos H0.

Se ZCALC < −ZTAB, rejeitaremos H0. -ZTAB

Relembrando também o roteiro para resolução de questões de Teste de Hipóteses (que no de proporções é menor) para a seguir aplicá-lo em alguns exemplos:

1º Passo: Pelo enunciado do problema, estabelecer a Hipótese Nula (H0) e a Hipótese Alternativa (H1);

2º Passo: Utilizando a Tabela Normal Padrão, encontrar o valor de ZTAB; B

3º Passo: Fazer o desenho da curva, plotando no eixo das abscissas o valor tabelado, o qual será a fronteira entre a área de aceitação (RA) e a(s) área(s) de rejeição (RC-Região Crítica);

4º Passo: Calcular a estatística teste (ZCALC), utilizando a fórmula dada anteriormente.

5º Passo: Comparar o valor calculado com o valor tabelado e concluir pela aceitação ou rejeição da Hipótese Nula.

Vamos aos exemplos:

EXEMPLO 1: As condições de mortalidade de uma região são tais que a proporção de nascidos que sobrevivem até 60 anos é de 0,6. Testar essa hipótese ao nível de 5% se em 1.000 nascimentos amostrados aleatoriamente, verificou-se 530 sobreviventes até 60 anos.

Resolução: Seguindo o roteiro, temos: 1º passo: Enunciar as hipóteses.

H0: p = 0,6;

2º passo: o teste é bilateral, com α = 0,05. Logo, para uma área de 0,475 teremos, na Tabela da Distribuição Normal Padrão: ZTAB =1,96;

3º passo: desenhar a curva, plotando ZTAB;

α 2 α 2

α

4º passo: Calcular a estatística teste. Antes, veremos qual a proporção na amostra. Têm-se 530 sobreviventes em 1.000 nascimentos (tamanho da amostra), então a proporção ou freqüência relativa de sobreviventes na amostra será de: 0,53

1000 530 f = = .

(

)

(

)

5º passo: Comparando, vemos que ZCALC < −ZTAB. B

Conclusão: ao nível de significância de 5%, REJEITAMOS H0: p = 0,6. Logo, p ≠ 0,6.

EXEMPLO 2: Uma pesquisa conclui que 90% dos médicos recomendam aspirina a pacientes que têm filhos. Teste a afirmação, ao nível de significância de 0,05, contra a alternativa de que a percentagem é inferior a 90%, se numa amostra aleatória de 100 médicos, 80% recomendam aspirina.

Resolução: Novamente seguindo o roteiro, temos: 1º passo: Enunciar as hipóteses.

H0: p = 90%;

H1: p < 90% (teste unilateral à esquerda);

2º passo: Encontrar o valor de ZTAB. O teste é unilateral à esquerda, com α = 0,05. Logo, para

3º passo: desenhar a curva, plotando ZTAB;

α = 0,05

4º passo: Calcular a estatística teste. A proporção na amostra é 80%, então f = 0,8;

(

)

(

)

5º passo: Comparando, vemos que ZCALC < −ZTAB. B

Conclusão: ao nível de significância de 5%, REJEITAMOS H0 e concluímos que a percentagem de médicos que recomendam aspirina é inferior a 90%.

EXEMPLO 3: Um fabricante de doces afirma que a percentagem de sacos de pastilhas de chocolate mal cheios é, no máximo, igual a 3%. Uma pesquisa aleatória acusa 4 sacos mal cheios em 50. A amostra foi extraída de uma remessa de 400 sacos. Considerando uma significância de 0,05, a evidência amostral refuta a alegação do fabricante (isto é, mais de 3% mal cheios)?

Resolução: Antes de seguirmos o roteiro, temos que atentar para um detalhe importante no enunciado da questão. Ao contrário das outras, que não mencionavam o tamanho da população da qual foi extraída a amostra, nesta temos: uma amostra de 50 (n=50) extraída de uma população de 400 (N=400). Então, temos que observar que (n/N) > 5%, pois (50/400) = 12,5%. Sempre que isto ocorrer, deveremos, no denominador da estatística teste, utilizar o Fator de Correção para População Finita, dado por:

1 N n N − − .

Então, no presente caso, o nosso FCPF será:

1 400 50 400 − − = 399 350 .

Este critério é válido também para o Teste de Hipóteses para a Média, observando que em ambos os testes, se não for mencionado o tamanho da população, não há necessidade de usar o referido fator, pois consideraremos a população como infinita.

Agora sim, seguindo o roteiro, temos: 1º passo: Enunciar as hipóteses.

H0: p ≤ 3%;

H1: p > 3% (teste unilateral à direita);

2º passo: Encontrar o valor de ZTAB. O teste é unilateral à direita, com α = 0,05. Logo, para uma

área de 0,45 (0,95 − 0,50), encontraremos, na Tabela Normal

B

64 , 1 ZTAB = .

3º passo: desenhar a curva, plotando ZTAB;

α

4º passo: Calcular a estatística teste aplicando, no presente caso, o Fator de Correção para População Finita, pois a população é finita, de tamanho conhecido e o tamanho da amostra é superior a 5% da população. A proporção (ou freqüência relativa) na amostra é de: 0,08

50 4 f = = .

(

)

(

)

5º passo: Comparando, vemos que ZCALC > ZTABB.

Conclusão: ao nível de significância de 5%, REJEITAMOS H0. Logo, o fabricante está enganado, a proporção de sacos mal cheios é superior a 3%.

EXEMPLO 4: O Serviço de Imigração e Naturalização Americano relatou que 79% dos viajantes estrangeiros que visitaram os Estados Unidos declararam que o objetivo principal de suas visitas foi desfrutar férias (América by the Numbers, 1995). Como um estudo de acompanhamento realizado em 2005, suponha que uma amostra de 500 visitantes é selecionada e que 360 dizem que suas razões principais para visitar os Estados Unidos são desfrutar férias. A proporção de viajantes estrangeiros que tiraram férias nos Estados Unidos em 2005 é menor do que a proporção relatada em 1995? Considere um nível de significância de 5%.

Resolução: Novamente seguindo o roteiro, temos: 1º passo: Enunciar as hipóteses.

H0: p = 79%;

H1: p < 79% (teste unilateral à esquerda);

2º passo: Encontrar o valor de ZTAB. O teste é unilateral à esquerda, com α = 0,05. Logo, para

uma área de 0,45 (0,95 − 0,50), encontraremos, na Tabela Normal −ZTAB =−1,64. 3º passo: desenhar a curva, plotando ZTAB;

α = 0,05

4º passo: Calcular a estatística teste. A proporção na amostra é de: 0,72 500 360 f = = ;

(

)

(

)

5º passo: Comparando, vemos que ZCALC < −ZTAB. B

Conclusão: ao nível de significância de 5%, REJEITAMOS H0 e concluímos que a proporção de visitantes estrangeiros que buscam desfrutar férias, diminuiu entre 1995 e 2005.

EXEMPLO 5: (Questão da prova para Auditor Fiscal da Receita Estadual-MG em 2005, elaborada pela ESAF) Æ Um fabricante afirma que pelo menos 95% dos equipamentos que fornece à indústria encontram-se dentro de suas especificações. Uma amostra de 200 itens escolhidos ao acaso revelou 10 itens fora de especificação. Assinale a opção que corresponde ao valor probabilístico (p-valor) do teste de H: θ ≥ 0,95 contra A: θ < 0,95, sendo θ a proporção populacional de itens dentro de especificação.

a) 0,500 b) 0,050 c) 0,025 d) 0,010 e) 0,100

A questão trata do assunto Teste de Hipóteses para uma proporção.

Para encontrar o p-valor, precisaremos calcular a estatística teste dada por:

n ) p 1 ( p p f z 0 0 0 CALC − ⋅ −

= _{, onde:} f é a proporção favorável ao evento na amostra; p0 é o valor da hipótese nula;

n é o número de elementos amostrais. O enunciado fornece:

n = 200, pois a amostra tem 200 itens; p0 = 0,95, dado por θ; f =

200

190 _{= 0,95, pois se 10 itens estão fora da especificação, 190 estarão dentro;}

A estatística teste: 200 05 , 0 95 , 0 95 , 0 95 , 0 z_CALC ⋅ − = = 0.

Nem calcularemos, nesta questão, o denominador, pois como o numerador é igual a zero, então zCALC = 0. Sabemos que na normal padrão de média 0 e variância 1, a abscissa em z = 0 divide a área da curva em duas partes iguais (50% de cada lado), conforme a figura abaixo:

Portanto, o p-valor será de 0,50.

Gabarito oficial: A

EXEMPLO 6: (Questão da prova para Gestor Fazendário-MG em 2005, elaborada pela ESAF) Æ Lança-se uma moeda 20 vezes e observa-se a ocorrência de 7 caras. Seja θ a probabilidade de cara. Assinale a opção que dá o valor da estatística teste correspondente ao teste da hipótese H: θ ≥ 0,5 contra a alternativa A: θ < 0,5.

a) −0,3 20 b) −0,2 20 c) 0,3 20 d) 0,2 20 e) 0,5 20

O valor da estatística teste é dada por: n ) p 1 ( p p f z 0 0 0 CALC − ⋅ −

= _{, onde:} f é a proporção favorável ao evento na amostra; p0 é o valor da hipótese nula;

n é o número de elementos amostrais. O enunciado fornece:

p0 = 0,5 = θ;

n = 20 (número de lançamentos da moeda); f =

20

7 _{= 0,35;}

Calculando a estatística teste:

20 5 , 0 5 , 0 5 , 0 35 , 0 z_CALC ⋅ − = = 20 25 , 0 15 , 0 − = 80 1 15 , 0 − = −0,15⋅ 80 = −0,15⋅2 20 ⇒ z_CALC= −0,30⋅ 20 Gabarito oficial: A OBSERVAÇÕES:

1) As questões dos exemplos 5 e 6 constarão da próxima edição (3ª Edição) do livro ESTATÍSTICA - Provas Comentadas da ESAF, que deverá ser lançado muito em breve pela Editora Ferreira, agora com 28 provas resolvidas e comentadas (mais 13 novas provas em relação às edições anteriores).

2) Mesmo considerando que a prova para Fiscal ISS-SP terá poucas questões de Estatística, considero como pedida certa uma questão sobre o assunto Teste de Hipóteses. De qualquer forma, os resumos sobre o assunto servirão para futuros concursos.

Desejo bons estudos e excelente prova de estatística a todos!

PROFESSOR PEDRO BELLO

TABELA DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO