Conjuntos numéricos I: naturais e inteiros

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Ricardo Ferreira Paraizo e-T ec Br asil – M atemáti ca In strum en tal

Conjuntos numéricos I:

naturais e inteiros

Aula

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31 Aula 2 – Conjun tos n uméri cos I: n atur ais e in teir os

Objetivos

Após o estudo desta aula, você deverá ser capaz de: 1. definir e identificar os elementos de um conjunto; 2. reconhecer e ordenar os números naturais;

3. aplicar o conceito de números consecutivos; 4. relacionar os números naturais com a representação algébrica;

5. identificar os elementos no conjunto dos números inteiros;

6. aplicar o conceito de simetria;

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31 Aula 2 – Conjun tos n uméri cos I: n atur ais e in teir os

Contando com a história

Vamos iniciar a aula viajando pelo tempo. Você consegue se imaginar vivendo no ano 4000 a.C.? Vamos lá! Naquela época, você seria um homem primitivo, mas as coisas estavam melhorando: os homens já usavam ferramentas e armas de bronze, as comunidades situadas às margens dos rios transformavam-se em cidades. E a sua vida ficava cada vez mais complexa!

Novas atividades, como artesãos, comerciantes, sacerdotes e administradores, come-çavam a surgir, e você fazia parte de tudo aquilo. Por conseqüência desse desenvolvimento, surgiu a escrita. Era o fim da Pré-História e o começo da História.

Há muitos e muitos anos... Quando o ser humano não conhecia os números, conferia a quantidade de animais que possuía usando pedrinhas.

Ao longo da história, podemos ver várias situações que demonstram a preocupação

do homem em desenvolver métodos de contagem e de registros numéricos. Além das pedrinhas, o homem primitivo traçava riscos em ossos de animais ou fazia alguns nós para registrar suas contagens. A evolução dos conjuntos numéricos acompanhou essa necessidade de representação da natureza e o desenvolvimento da linguagem matemática.

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32 e-T ec-Br asil – M atemáti ca In strum en tal 33 Aula 2 – Conjun tos n uméri cos I: n atur ais e in teir os

Os progressos que marcaram o fim da Pré-História foram intensificados no Egito. Certamente você já ouviu falar nas pirâmides dos Egito. Agora, imagine você fazendo parte da equipe de projeto e construção dessas pirâmides. Você vai concordar que fazer grandes cálculos usando pedrinhas ou riscos em um osso de animal não seria muito prático!

Partindo dessa necessidade, os estudiosos do antigo Egito passaram a representar a quantidade de objetos de uma coleção por meio de símbolos. A criação dos símbolos para representação da contagem foi um passo muito importante para o desenvolvimento da matemática.

Conhecendo naturalmente os conjuntos e números

O estudo dos CONJUNTOSé tão antigo quanto o dos números. Quando você pensa

em um número, provavelmente o associa a um conjunto de objetos que simbolizam determinada quantidade.

CONJUNTO

Pode ser qualquer coleção de objetos que possuem alguma característica em comum.

Figura 2.1: Estas frutas representam um conjunto.

Ann

e Filip

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e-T ec-Br asil – M atemáti ca In strum en tal Aula 2 – Conjun tos n uméri cos I: n atur ais e in teir os Noções de conjunto O conjunto de vogais do nosso alfabeto, por exemplo, é representado por uma letra maiúscula, e os elementos por letras minúsculas. Qualquer conjunto deve ser representado por chaves, como mostra o exemplo a seguir.

A = {a, e, i, o, u} → Conjunto das vogais

Para associar elementos com conjunto, usamos os símbolos de pertinência, ∈ (pertence) ou ∉ (não pertence). Podemos dizer, por exemplo, que o elemento i

pertence ao conjunto A (i ∈ A). Também podemos afirmar que o elemento h não pertence ao conjunto A (h ∉ A).

Quando pretendemos associar dois conjuntos, usamos os símbolos de inclusão, ⊂ (está contido) ou ⊄ (não está contido). Assim, podemos dizer que o conjunto {a, e, i} está contido no conjunto A ({a, e, i} ⊂ A) ou ainda dizer que ({a, e,

i} é um subconjunto de A. Já o conjunto {a, e, i, o, u, w} não está contido em

A ({a, e, i, o, u, w} ⊄ A). Outros símbolos matemáticos:

∅ → Conjunto vazio – também pode ser representado por { } > → Maior

< → Menor ≥ → Maior ou igual ≤ → Menor ou igual

∪ → União de conjuntos (agrupamento dos elementos do conjunto) ∩ → Interseção de conjuntos (partes que se repetem num conjunto) ∞ → Infinito

Na aula passada, visitamos a fazenda do Zé, está lembrado? Ele nos apresentou o galinheiro, o chiqueiro e o lago. Quantas galinhas vivem naquele galinheiro? Nenhuma, uma, duas, três, quatro galinhas... E os porcos, quantos porcos ele cria na fazenda? Dez, onze, doze, treze porcos... Ah, mas naquele lago deve haver muitos peixes, não acha? Talvez cem, duzentos ou trezentos.

Bem, não sabemos quantos animais vivem na fazenda do Zé, mas, com toda certeza, ele não tem três galinhas e meia ou doze porcos e meio. Certo?

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O mesmo acontece se eu perguntar quantas lâmpadas existem na sua casa. Prova-velmente, o seu procedimento será fazer a contagem das lâmpadas e responder, por exemplo, cinco, seis, sete, oito lâmpadas...

Na minha casa há 8 lâmpadas.

Os números usados na contagem das lâmpadas da sua casa são chamados de números naturais. Em matemática, o conjunto desses números é representado por ¥.

Indicamos:

¥ = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ... }

O conjunto ¥ dos números naturais tem infinitos elementos.

Quando queremos excluir o zero do conjunto dos números naturais, usamos o símbolo * ao lado do ¥.

Representamos assim:

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Deus criou os Números Naturais. O resto é obra dos homens. (Leopoldo Kronecker)

A origem do zero Existem muitas suposições sobre a origem do zero. Uma delas é que tenha surgido ao ser representado como espaço vazio na escrita de uma contagem, tornando-se um símbolo que significava a ausência de algo. Na época medieval, os estudiosos da matemática ficaram confusos com relação ao zero, já que não sabiam quando considerá-lo. Consta que o zero tenha surgido na Índia, onde era usado desde o século II a.C. para representar um espaço vazio, vindo a ser simbolizado como 0 (zero), nesse país, apenas no século III.

A designação em sânscrito – uma das línguas indianas – para o zero era sunya, que significa “vazio”. A tradução para o árabe fez com que a pronúncia passasse para sifr. Com a invasão muçulmana, a palavra sifr chegou à Europa medieval, mas, pela influência da Igreja Católica, o “vazio” passou a ser pronunciado em latim,

zephirum, e sofreu alterações nas diferentes línguas do continente, passando a zero, cifre e cifra, conforme o país.

Seqüência numérica

Agora que você já relembrou os números naturais, faça um rápido exercício: tente lembrar-se de algum jogo ou objeto que possibilite formar uma seqüência de números naturais.

Lembrou-se de algum? Que tal um dado? Como você sabe, o dado possui seis faces numeradas de 1 (um) a 6 (seis). Observando esse objeto, podemos verificar a seguinte seqüência numérica: 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Essa é uma seqüência finita e crescente, pois termina no número 6 (seis). E ainda podemos dizer que o conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6} é um subconjunto de ¥.

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Na seqüência apresentada, você pode perceber que o único número que não tem sucessor é o 6, pois é o fim da seqüência. Já no conjunto dos naturais, podemos afirmar que todo número tem um sucessor, porque o conjunto dos números naturais é infinito. Por exemplo, 1 é sucessor do 0, 2 é sucessor do 1, e assim por diante.

Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são chamados de números consecutivos.

Ainda podemos representar um número natural qualquer usando as letras do alfabeto: n, m, p, x, y, a, b... Para obter o sucessor de um número natural n, basta somarmos 1 (um) a esse número. Assim, o sucessor de um número natural n pode ser representado por n + 1.

Achou difícil? Calma! Veja um exemplo:

Se n é um número natural, seu sucessor é n + 1 e seu antecessor é n - 1. Sendo assim, se n = 7, temos que:

7 - 1 = 6 (antecessor) e 7 + 1 = 8 (sucessor)

Figura 2.2: Os dados podem ser instrumentos para a criação de seqüências numéricas finitas.

Owais Khan

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Vamos fazer mais um rápido exercício. Qual é o número da sua casa? Agora verifique os números dos seus vizinhos da esquerda e da direita. Se o número da sua casa, por exemplo, é 50, provavelmente os seus vizinhos são 48 e 52. Então escolha qualquer casa do outro lado da rua e faça a mesma observação em relação aos vizinhos da casa escolhida. Se você escolheu a casa de número 51, por exemplo, é provável que os vizinhos sejam 49 e 53.

Sendo assim, no seu lado da rua verificamos a seqüência 48, 50, 52. Do outro lado da rua a seqüência é 49, 51, 53. Você consegue perceber alguma regra na formação dessas seqüências que acabou de descobrir? Nelas, cada número é aumentado em 2 (duas) unidades do número anterior.

Observe que o seu lado da rua forma um conjunto de números pares. 48 + 2 = 50 e 50 + 2 = 52

E como podemos representar um número par usando letras? Vejamos: se n é um número natural, então 2n é um número par.

..., 48, 50, 52, ... Ou seja,

Se n = 7, então 2.(7) = 14 (que é um número par).

Se n = 2, então 2.(2) = 4 (que é um número par). Já do outro lado da rua, os números formam um conjunto de ímpares.

49 + 2 = 51 e 51 + 2 = 53 E para representar um número ímpar usando letras?

Vejamos: se n é um número real, então 2n + 1 é um número ímpar, pois o consecutivo de um número par sempre será um número ímpar.

..., 49, 51, 53, ... Ou seja,

Se n = 4, então 2.(4) + 1 = 9 (que é um número ímpar). Se n = 3, então 2.(3) + 1 = 7 (que é um número ímpar).

Depois desses exemplos, que tal organizar em uma reta os números naturais? Primeiramente, escolha algum lugar dessa reta e marque o ponto 0 (zero). Depois, inicie a seqüência como na figura a seguir.

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Depois de tantas informações, a melhor maneira de fixá-las é praticando. Este é um bom momento para você verificar sua aprendizagem, uma vez que a continuação da aula depende disso.

0 1 2 3 4 ...

Escreva o número de elementos de cada conjunto: a. Conjunto dos lados de um quadrado – ... b. Conjunto das cores da bandeira nacional – ... c. Conjunto das faces de um cubo – ...

Escreva a seqüência dos números naturais de 510 a 670 em que cada número é aumentado de dez unidades em relação ao anterior.

Considerando a seqüência dos números naturais, responda:

a. Quais são os números que vêm antes do 7? ... b. Qual o sucessor de 1.209? ...

c. Qual o último número da seqüência dos naturais? ... d. Qual o antecessor do 0? ... Atende ao Objetivo 1 Atividade

1

Atende ao Objetivo 2 Atividade

2

3

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A próxima atividade é um desafi o, e você vai precisar aplicar o conceito de números consecutivos. Não é só isso! A seqüência deve ser representada na forma algébrica, ou seja, utilizando-se as letras do alfabeto.

Se n é um número natural (n ≥ 4), seu sucessor é n + 1 e o seu antecessor é n - 1. Sendo assim, complete a seqüência:

... , ... , ... , n - 1, n , n + 1, ... , ... , ...

A seqüência por inteiro

Imagine uma cidade muito fria. Olhe o termômetro: está marcando - 30° C.

Figura 2.3: Aqui podemos esquiar. É gelo que não acaba mais!

Fonte: www.sxc.hu Bojan Mihailovi c -30º Atende ao Objetivo 4 Atividade

4

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Pense, agora, numa praia em pleno verão. Agora está bem melhor, não acha? Olhe o termômetro: está marcando 30° C.

Você percebeu o contraste de temperatura? Na primeira imagem, vemos - 30° C (trinta graus negativos) e na segunda + 30° C (trinta graus positivos). Pois é, agora vamos incluir em nosso estudo os números negativos, mas não deixaremos de lado os positivos e muito menos o zero. Esse conjunto tem o nome de conjunto dos números inteiros e é representado por

¢

.

¢

= {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

onde o conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} você já conhece, certo? Esse é o conjunto dos números naturais ¥. Então, podemos dizer que o conjunto dos naturais é um subconjunto dos números inteiros. Simbolicamente, temos: ¥ ⊂

¢

(lê-se o conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números inteiros).

Fonte: www.sxc.hu 30º

Figura 2.4: Está fazendo um belo dia.

... -6, -5, -4, -3, -2, -1 0, 1, 2, 3, 4, ...

¢

Emr e N aci gil ¥

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Os números naturais também podem ser representados com o sinal de positivo (+) na frente. Veja: {0, + 1, + 2, + 3, + 4, + 5, + 6...} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6...}

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A simetria dos números inteiros

Lembra-se da aula anterior? O conceito de simetria não é novidade para você, mas, mesmo assim, é bom recordar. Na matemática, a simetria é a semelhança de uma figura, objeto ou animal, em torno de determinada linha reta (eixo), ponto ou plano.

Mas por que estamos retomando esse assunto? Qual é a relação da simetria com os números inteiros? Observe a figura a seguir:

Veja a reta numerada inserida na imagem. Podemos ver que a distância da origem da reta ao ponto + 1 é a mesma distância da origem ao ponto - 1. Vemos, também, que a mesma situação acontece em relação ao + 2 e - 2, e assim por diante. Concluímos, então, que o simétrico (ou oposto) de + 1 é - 1, o simétrico de + 2 é - 2, o simétrico de - 3 é + 3... Assim, o simétrico de n, onde n ∈

_¢

, é – n. Você pode notar que o simétrico (ou oposto) de um número é o próprio número com sinal contrário. Vejamos mais alguns exemplos:

i. O simétrico de - 20 é igual a 20. ii. O simétrico de 100 é igual a - 100.

iii. O oposto do simétrico de 25 é o próprio 25.

Figura 2.5: A matemática na arte: observe a simetria desta linda flor. Autor: Ricardo Ferreira Paraizo

-2 -1 0 +1 +2 origem Ri car do Ferr eir a P ar aizo

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Os chineses e suas barras coloridas Não se sabe exatamente quando se fez uso dos números negativos pela primeira vez. Sabemos que por volta do ano 300 a.C. os chineses já faziam cálculos usando duas coleções de barras de bambu, marfim ou ferro; as barras vermelhas para indicar os números positivos e as barras pretas para indicar os números

negativos. Provavelmente esses cálculos se referiam aos DÉBITOSe CRÉDITOS

resultantes do comércio de mercadorias.

Operando por inteiro

Você já viu um extrato bancário?

DÉBITO Aquilo que se deve; dívida. CRÉDITO Dinheiro posto à disposição de alguém numa casa bancária ou comercial.

Observe que no extrato do banco existem o crédito (+) e o débito (-). Vamos calcular o saldo desse cliente no dia 30/6?

Em primeiro lugar, temos que somar todos os valores positivos (créditos): + 5.000,00 + 800,00 = + 5.800,00

Depois, vamos somar os valores negativos:

- 200 - 300 - 100 - 200= - 800 Para finalizar, calculamos: + 5.800 - 800 = + 5.000.

Então, o saldo desse cliente será de (+) R$ 5.000,00 no dia 30/6. Saldo positivo (+) quer dizer crédito.

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Mas você deve está se perguntando: como calcular - 200 - 300 - 100 - 200? Por que os valores foram somados se todos os sinais são de subtração? Exatamente porque todos os sinais são negativos (-) é que devemos somar esses valores. Agora complicou? Calma!

Lembre-se de que os valores negativos são débitos, ou seja, esses valores estão saindo da conta do cliente. Então, devemos somar todas essas quantias para saber ao todo o quanto saiu da conta. E como saiu menos dinheiro do que havia, o saldo do cliente é positivo, quer dizer que ele não está devendo ao banco.

Mas será que existem regras de sinais nas operações com os números inteiros? É isso mesmo, existem algumas regras para somar, subtrair, multiplicar e dividir números inteiros. Veja a seguir:

I. Quando os sinais forem iguais, nós somamos e conservamos o sinal. Exemplos:

a) - 600 - 900 - 700 - 850 = - 3.050 b) + 7.000 + 800 = + 7.800

II. Quando os sinais forem diferentes, nós subtraímos e repetimos o sinal do maior valor.

Exemplos:

a) + 7.800 - 8.450 = - 650 b) 5.800 - 800 = + 5.000

Podemos também usar a regra do “devo” (-) e “tenho” (+), que funciona de forma mais prática.

Exemplo: se tenho 7.800 e devo 8.450, vou ficar devendo 650. Então: + 7.800 - 8.450 = - 650

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Veja o extrato bancário do sr. “Pakto”. A situação dele não está nada boa. Qual será o seu saldo? Vamos calcular: (- 50) + (- 50) + (- 50) + (- 50) + (- 50) + (- 50)= + 6.(- 50) = - 300. Pode-se ver que o saldo devedor do sr. “Pakto” é de R$ 300,00 ( - ).

III. Para multiplicar um número positivo por outro negativo, em qualquer ordem, multiplicamos os valores e damos ao produto o sinal negativo.

Exemplos:

a) 6 . (- 3) = (- 3) + (- 3) + (- 3) + (- 3) + (- 3) + (- 3) = - 3 - 3 - 3 - 3 - 3 - 3 = -18 b) - 2 . 5 = - 10

Se a situação do sr. “Pakto” fosse o contrário, ou seja,

(+ 50) + (+ 50) + (+ 50) + (+ 50) + (+ 50) + (+ 50) = + 6.(+ 50)= + 300, ele teria um saldo credor de R$ 300,00 (+)

IV. Para multiplicar um número positivo por outro positivo, multiplicamos os valores absolutos e damos ao produto o sinal positivo.

Exemplo: 4. 3 = 3 . 3 . 3 . 3 = 12

E então, o que achou dos números negativos? É muito simples trabalhar com eles. Dê muita atenção ao assunto, pois você vai precisar muito dele para seus estudos. Tenho certeza de que você vai tirar de letra.

Bem, agora chegou a sua vez de colocar em prática tudo o que aprendeu sobre os números inteiros.

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Analisando o gráfi co, responda:

a. Em quais bimestres o hotel obteve lucro?

b. Em qual bimestre o hotel amargou o maior prejuízo?

c. De quanto seria o lucro no 3º bimestre se este fosse exatamente o oposto do indicado no gráfi co?

O gráfi co mostra os lucros e prejuízos de um hotel à beira-mar, em 2006. Análise dos lucros e prejuízos do hotel:

Lu cr os e m R $ 1. 00 0, 00 60 50 40 30 20 10 0 -10 -20 -30 -40 1 2 2 4 5 6 Lucros do hotel Bimestres

Atende aos Objetivos 5 e 6 Atividade

5

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Em 28/5/2008, o sr. “πNico” retirou no caixa eletrônico do banco “Kπtal” o extrato bancário a seguir:

Agora, conhecendo a movimentação bancária do sr. “πNico” no mês de agosto de 2008, responda:

a. Qual é o total de crédito?

b. Qual é o total de débito?

c. Qual é o saldo do sr. “πNico”?

Você saberia escrever uma explicação do resultado do produto (- 3). (- 2)? Atende ao Objetivo 7

Atividade

6

7

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• O homem primitivo usava pedrinhas, traçava riscos em ossos de animais ou fazia nós para representar a quantidade.

• Um conjunto é a coleção de objetos com alguma característica em comum. • As vogais formam um subconjunto do nosso alfabeto.

• Os números usados na contagem de pessoas, por exemplo, são números naturais. Tal conjunto é representado por ¥ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...} ou ¥*= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...} quando o zero não faz parte do conjunto.

• O conjunto dos números naturais é infinito, por isso todos os números do conjunto possuem sucessores e antecessores, exceto o zero, que não tem antecessor.

• Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são chamados de números consecutivos.

• Podemos representar um número natural usando as letras. Por exemplo, se n é um número natural, seu sucessor é n+1 e seu antecessor é n-1. • Qualquer número par pode ser representado por 2n. Já a representação de um número ímpar é 2n+1, pois o conseqüente de um número par é sempre um número ímpar.

• O conjunto dos números inteiros contém os números positivos, negativos e o zero. Esse conjunto é representado por

_¢

= { ..., - 5, - 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} ou

_¢

* = { ..., - 5, - 4, - 3, - 2, - 1, 1, 2, 3, 4, 5, ... } quando o zero não faz parte do conjunto.

• Dizemos que dois números são simétricos (ou opostos) quando estão à mesma distância da origem (zero), um de cada lado.

• Para operações com números inteiros, temos algumas regras. São elas: na adição, quando os sinais são iguais, somamos e conservamos o sinal; com sinais diferentes, subtraímos e repetimos o sinal do maior valor; para a multi-plicação, quando os sinais são diferentes, multiplicamos e damos o sinal nega-tivo; com sinais iguais, multiplicamos e conservamos o sinal.

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Informação sobre a próxima aula

Na próxima aula, vamos continuar o estudo dos conjuntos numéricos.

Atividade 1

A: O conjunto dos lados de um quadrado possui 4 elementos. B: O conjunto das cores da bandeira nacional possui 4 elementos. C: O conjunto das faces de um cubo possui 6 elementos.

Atividade 2

510, 520, 530, 540, 550, 560, 570, 580, 590, 600, 610, 620, 630, 640, 650, 660, 670

Atividade 3

a. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 b. O sucessor de 1.209 é 1.209 + 1= 1.210.

c. Não existe um último número; o conjunto dos naturais é infinito.

d. Não existe antecessor do zero no conjunto dos naturais, pois o zero é o ponto de partida.

Atividade 4

(n - 4), (n - 3), (n - 2), (n - 1), n, (n + 1), (n + 2), (n + 3), (n + 4)

Atividade 5

a. Os lucros ocorreram nos bimestres 1, 2, 4 e 6. b. O maior prejuízo aconteceu no 3º bimestre.

c. O oposto do prejuízo de R$ 35.000 é um lucro de R$ 35.000.

Atividade 6

a. Para se obter o total de crédito, basta somar todos os números com o sinal positivo (+): + 7.000,00 + 800,00 = + 7.800,00 (crédito).

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b. O total de débito é obtido somando-se os números com sinal negativo (-): - 6.000,00 - 900,00 - 700,00 - 850,00 = - 8.450,00 (débito).

c. Para se obter o SALDO, é só pensar no seguinte: se o sr. “πNico” tinha depositado no banco R$ 7.800,00 mas gastou um valor maior do que possuía lá, então ficou devendo ao banco. Nesse caso, o crédito do sr. “πNico” foi de R$ 7.800,00 e o débito foi de R$ 8.450,00. Quer dizer, ele gastou mais do que podia; vai ficar devendo R$ 650,00 ao banco.

Atividade 7

Observe que - 3 = (- 1) . 3

Assim, (- 3) . (- 2) = - 1 . (3) . (- 2) = - 1 . (- 6) = - (- 6); isso é o mesmo que pedir o simétrico de - 6, que é igual a 6.

Referências bibliográficas

GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, Roberto. Uma nova abordagem. São Paulo: FTD, 2000. v. 1.

MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Satiko. Matemática, idéias e desafios. São Paulo: Saraiva, 2006. 5ª série.

Conjuntos numéricos I: naturais e inteiros