MATEMÁTICA MATEMÁTICA
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1 - NUMEROS (NATURAIS, INTEIROS, NUMEROS (NATURAIS, INTEIROS, RACIONAIS E REAIS):RACIONAIS E REAIS):
DIFERENTES SIGNIFICADOS E RESPRESENTAÇÕES;DIFERENTES SIGNIFICADOS E RESPRESENTAÇÕES;
OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS.OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS.
CONJUNTO DOS NUMEROS NATURAIS: Representado pela letra N. CONJUNTO DOS NUMEROS NATURAIS: Representado pela letra N. N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...} infinitos.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...} infinitos. Para
Pararepresentar o conjunto dos números naturais ou quaisquer dos quatro conjuntosrepresentar o conjunto dos números naturais ou quaisquer dos quatro conjuntos
fundamentais, utilizamos o ‘*’ asterisco após a letra do conjunto, ex.: N*={1,2,3,4,...}. fundamentais, utilizamos o ‘*’ asterisco após a letra do conjunto, ex.: N*={1,2,3,4,...}. CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS: Letra Z.
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS: Letra Z.
Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, ...} Com
Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, ...} Com exceção dos números naturais podemos usar o + e oexceção dos números naturais podemos usar o + e o -:-: Z+ = { 0, 1, 2, 3, ...} Z+ = { 0, 1, 2, 3, ...} Z*+ = { 1, 2, 3, 4, ...} Z*+ = { 1, 2, 3, 4, ...} Z- = { ..., -3, -2, -1, 0} Z- = { ..., -3, -2, -1, 0} Z*- = { ..., -3, -2, -1} Z*- = { ..., -3, -2, -1}
Note que Z+ = N e que Z*+ = N*. Note que Z+ = N e que Z*+ = N*.
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS: São aqueles expressos em forma de fração. Letra CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS: São aqueles expressos em forma de fração. Letra
Q. Q. Q = {0, 35, -Q = {0, 35, -5, ½, 1}5, ½, 1} Q* = { 0,5, 0,6, ...} Q* = { 0,5, 0,6, ...}
CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS:
CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS: Letra I. São todos os números que não Letra I. São todos os números que não podempodem ser representados na forma de fração. Ex.: π, e (euler), e todos que não formam uma dízima ser representados na forma de fração. Ex.: π, e (euler), e todos que não formam uma dízima periódica.
periódica.
I* = { ...,
I* = { ..., ππ,,ββ, e, raiz de 3, ...}, e, raiz de 3, ...}
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS: Letra R e é formado pela união de números Racionais, CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS: Letra R e é formado pela união de números Racionais,
com os Irracionais. Ex: R = { ..., raiz de 7, -3, 4/7,
com os Irracionais. Ex: R = { ..., raiz de 7, -3, 4/7, ππ, ...}, ...} RESUMO: RESUMO: Naturais => N = { 0, 1, 2, 3, ...} Naturais => N = { 0, 1, 2, 3, ...} Inteiros => Z = { ..., -2, -1, 0, 1, 2 , 3, ...} Inteiros => Z = { ..., -2, -1, 0, 1, 2 , 3, ...} Racionais => Q = { ..., -Racionais => Q = { ..., -2, ½, 0,5, ...}2, ½, 0,5, ...} Irracionais+> I = {...,
Irracionais+> I = {..., ππ, Euler, rais de 2, ...}, Euler, rais de 2, ...} Reais=> R = { N, Z, Q, I}
N esta contido em Z que está contido em Q que está contido em R e I que também está
contido em R.
OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS ENTRE CONJUNTOS:
União = A U B Interseção = A ⋂ B
Diferença = A – B
Complementar= Ca, b = A – B
2 – FUNÇÕES;
CONCEITO DE FUNÇÃO: Dados dois conjuntos A e B não vazios, uma função ‘f’ de A em B é uma relação que associa a cada elemento X E Ax| um único elemento Y E B|. Assim, cada
função liga um elemento do domínio (conjunto A de valores de entrada) com um segundo
conjunto, o contra domínio (conjunto B de valores de saída), de tal forma que cada elemento do domínio está associado exatamente a um, e somente um, elemento do contra domínio. O
conjunto dos elementos do contra domínio não relacionados pela função ‘f’ a algum X do domínio é o conjunto Imagem denotado.
f
A B
FUNÇÃO AFIM: São as equações de primeiro grau, ou seja, função afim é toda função f;
R -> R , da forma f(x)=ax+b, em que a e b são números reais. Ou seja Ax+B = Y
As funções afim podem ser linear e constante.
FUNÇÃO QUADRÁTICA: Equação de segundo grau. Uma função chama-se quadrática
quando existem números reais a, b, c com a diferente de zero, tal que f(x) = ax²+ bx+c para
todo x E R.
2x²+1x+0 = y.
FUNÇÃO EXPONENCIAL: a função exponencial ocorre quando temos uma variável no
expoente e o número é determinado como base. E.: Seja um número real a (a maior que zero e
a diferente de 1), denomina-se função exponencial de base ‘a’ a função f: R->R*, definida par f(x) = ax
________ F(x) = (1/3)x
FUNÇÃO LOGARÍTIMICA: Toda função definida pela lei da formação. F(x) = Log x, com a diferente de 1 e a maior que zero, é determinada função logarítmica de base a. Nesse tipo de função o domínio é representado pelo conjunto dos números Reais.
Ex.: f(x)= Log² X f(x)= Log ½ x
f(x)= Log4(x-1)
Conclusões: O gráfico sempre vai passar por x1, y0. O gráfico está todo para a direita do eixo y. Quando a>1, função log crescente. Quando 0<a<1, a função log é decrescente.
3. PROGRESSÕES
Uma sequencia finita é uma função cujo domínio é o conjunto numérico {1,2,3,...,n} e cujo contra domínio é o conjunto dos números reais.
Uma sequencia infinita é uma função cujo domínio é o conjunto dos números naturais positivos
e cujo contra domínio é o conjunto dos números reais. PADRÕES DE SUCESSÃO NUMÉRICA E GEOMÉTRICA
Se os elementos de uma sequencia (sucessão) forem números Reais, a sequencia é denominada SEQUENCIA NUMÉRICA.
Uma sequencia numérica pode ser determinada por:
Umafórmula de recorrência;
Uma propriedade dos seus termos;
Uma fórmula que expressa cada termo em função de sua posição na sequencia.
PROGRESSÃO ARITIMÉTICA (pa) é uma sequencia numérica em que cada termo, a partir do segundo, é obtido pela soma do termo anterior a um valor constante, à RAZÃO DA P.A.
FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.A. {a1,a2,a3,...,a n,...} de razão R, é dado por:
A=a1+(n-1).r
INTERPOLAÇÃO ARITIMÉTRICA – interpolação ou inserir K meios ou termos aritméticos entre 2 números X e Y conhecidos, significa determinar uma P.A. com K+2 elementos, em que, a1=x e a n=Y. Para isso deve-se determinar a razão R da P.A. a partir da fórmula do termo geral:
A n= a 1+(n -1).R => Y=X+(K+2 - 1).R
SOMA DOS n PRIMEIROS TERMOS DE UMA PA. Dada uma PA. (a 1, a 2, a 3,...,a n,...), a
soma S de seus n primeiros termos, isto é, a 1 + a 2 + ...a n, é dada por: Sn=n.(a1+na)/2
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA P.G: É uma sequencia não nula, em que cada termo, a partir do segundo, é obtido pelo produto entre o termo anterior e uma constante, a Razão da P.G.
Em uma PG de razão q, temos as1=na-1*q, n>ou=1. Para que essa PG não seja nula, a1 deve ser sempre diferente de 0.
De acordo com o valor de q, são classificadas em:
CRESCENTE, quando o primeiro termo é positivo e a Razão é maior que 1 ou quando o primeiro termo é negativo e a Razão é menor que 1.
DECRESCENTE, quando o primeiro termo é positivo e a razão é positiva e menor que 1 ou quando o primeiro termo é negativo e a razão é maior que 1.
CONSTANTE, quando a razão é igual a 1 (q=1).
ESTACIONÁRIA, quando a razão é igual a zero (q=0). ALTERNADA, quando a razão é negativa (q=-1).
FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.G.: O termo geral de uma PG (a1, a2, a3, ...a n, )de
razão q, é dado por:
A n=a1.qn-1
Como consequência, para obter um termo qualquer a n, a partir de um termo de ordem p, isto
é, a p, pode-se utilizar a fórmula a n= a p. q n – p, em que n E N* e p E N*.
INTERPOLAÇÃO GEOMÉTRICA: Interpolar ou inserir K termos geométricos entre doi números
X e Y conhecidos significa determinar uma PG. Com k = 2 elementos, em que a 1 = x e a n = y. Para isso, deve-se determinar a razão q da PG, a partir da fórmula do termo geral:
na = a1*qn-1 >>>>
y=x.qk+2-SOMA DOS n PRIMEIROS TERMOS DE UMA PG.: Sejam (a 1, a 2, ..., a n, ...) uma PG, de
razã q e S n a soma de seus n primeiros termos:
Se a PG for constante (q desigual 1) então: Sn=n.a1
Se a PG não for constante (q desigual 1) então: Sn=a1.(qn-1)/q-1.
SOMA DOS TERMOS DE UMA PG INFINITA: Se uma PG infinita tem o primeiro termo a 1 e
sua razão q satisfaz a condição -1 < q < 1, então a soma S dos infinitos termos dessa PG é dada por : S= a1/1-q
4 – GEOMETRIA PLANA:
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS;
RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO; TEOREMA DE PITÁGORAS;
ÁREAS DE SUPERFÍCIE PLANA ESUBCURVAS.
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS: Dois triângulos são semelhantes se possuem os 3 ângulos congruentes e os lados homólogos proporcionais.
Se dois triângulos são semelhantes (K), então, quaisquer outros elementos lineares homólogos desses triângulos (altura, perímetro, mediana) são também proporcionais com razão K.
TEOREMA DA SEMELHANÇA (Toda reta paralela a um lado de um triângulo que intersecta os outros dois lados em pontos distintos, determina outro triângulo semelhante ao primeiro).
RELAÇÕES MÉTRICAS DO TRIÂNGULO RETÂNGULO: A altura relativa a hipotenusa de um triângulo retângulo ABC dividi-o em dois triângulos retângulos semelhantes a ele e
semelhantes entre sí:
Como os três triângulos tem todos os ângulos congruentes, pelo 1° caso de semelhança,
temos:
Δ= ABC ~Δ DBA ~ Δ DAC
AS RELAÇÕES MÉTRICAS: da semelhança entre Δ ABC e Δ DBA, segue que: AB/BC = DB/BA >> C/a = M/c >> C2 = m I
Da semelhança entre Δ ABC EΔ DAC, temos: AB/BC = DA/BA >>>C/a = h/b >>> ah= bc II
AC/BC = DC/AC ... b/a = n/b ... b^2 = na III
Da semelhança entre Δ DBA eΔ DAC, segue que: DA/DB = DC/AC >>> h/m = n/h = h^2 = m n IV
Somando os membros I e II temos:
C^2 = am + b^2 = a n/b^2+c^2=am+na >>>b^2+c^2=a (m+n) = b^2+c^2=a^2 V
Que é O TEOREMA DE PITÁGORAS.
ÁREAS DE SUPERFÍCIE PLANAS E SOB CURVAS. A área sob a curva y=x^2, de x^1 até x^3 é :
Calculo da área de superfície plana sob curva: Sendo essa a área de uma superfície sombreada, sabendo que o quadrilátero dado é um quadrado de lado 8cm:
5 – TRIGONOMETRIA:
Considera-se um triângulo retângulo ABC, com ângulos agudo de medida a. As razões
trigonométricas abaixo são as definições e recebem os nomes de Seno x, Cosseno x e
Tangente x.
SENO, COSSENO E TANGENTE DE UM ÂNGULO AGUDO:
Seno x = cateto oposto a x / hipotenusa = a/c Cosseno x = cateto adjacente / hipotenusa = b/c
Tangente x = cateto oposto x / cateto adjacente x = a/b
A tangente também pode ser obtida pela razão entre o seno e o cosseno de um ângulo:
TABELA DE ÂNGULOS NOTÁVEIS: Angulos 30° 45° 60° Seno ½ raiz2/2 raiz3/2
Cosse raiz3/2 raiz2/2 1/2 Tang raiz 3/2 1 raiz3
LEI DO SENO E DO COSSENO PARA UM TRIÂNGULO QUALQUER: A razão entre a medida de qualquer lado do ângulo oposto é igual diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo.
a/sen x = b/sen b = c/sen y = 2r
LEI DOS COSSENOS: O quadrado da medida de um lado é igual a soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos duas vezes o produto das medidas desses dois lados
pelo cosseno do Ângulo formado por eles. A^2=b^2+c^2-2.b.c.cos x
NOÇÕES DE ESTATISTICA: A palavra estatística significa análise de dados.
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA: Tabelas, gráficos, histogramas e polígonos de frequência. Constitui o tipo de tabela mais importante para a estatística descritiva.
TABELA É um quadro que resume um conjunto de dados dispostos segundo linhas e colunas
de maneira sistemática.
GRAFICOS: São representações visuais dos dados estatísticos que devem corresponder, mas
nunca substituir as tabelas estatísticas.
HISTOGRAMAS: É formado por um conjunto de retângulos justapostos, com bases sob um eixo horizontal de tal modo que seus pontos médios coincidem com os pontos médios dos intervalos de classe. A área de um histograma é proporcional a soma das frequências simples absolutas.
POLÍGONO DE FREQUÊNCIA: É traçado marcando-se as frequências acumuladas sobre retas perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas nos pontos correspondentes aos limites
superiores dos intervalos de classe em um gráfico horizontal.
CONCEITOS INICIAIS: POPULAÇÃO, AMOSTRA, FREQUÊNCIA RELATIVA , FREQUÊNCIA ABSOLUTA, FREQUÊNCIA ACUMULADA.
POPULAÇÃO: Conjunto de pessoas ou objetos com uma característica comum. Ex: Eleitores de Minas.
FREQUÊNCIA ABSOLUTA – indica quantas vezes cada elemento aparece no ROL. Ex: F(160=2).
FREQUÊNCIA RELATIVA - É obtida dividindo-se a frequência de classe pelo somatório da
frequência total (fi). A soma dessa coluna sempre dá 1.
FREQUÊNCIA ACUMULADA - É o total acumulado (soma) de todas as classes anteriores até
a classe atual. Pode ser Frequência acumulada Absoluta FI, Frequência Acumulada Relativa
FrI, ou Frequência acumulada Percentual PI.
COMBINATÓRIA: PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM:
A análise combinatória é usada para resolver problemas de contagem. O princípio fundamental
da contagem diz: Contagem é o produto de duas ou mais etapas independentes.
Utilizando o diagrama em árvore descobrimos a quantidade e combinações possíveis. O que o princípio fundamental da contagem diz é que: Um evento que ocorre em n situações
independentes e sucessivas, tendo a primeira situação ocorrido de m1 maneiras, a segunda
situação ocorrido de m2 maneiras e assim sucessivamente, até a n-ésima situação ocorrendo
de Mn maneiras, temos que o número total de ocorrências será dado pelo produto:
M1.m2. ... .mn.
Boa sorte! E lembre-se: O seu sonho é só seu. Não deixe ninguém interferir na sua meta. É só
