O conjunto dos números naturais:
O surgimento do conjunto dos números naturais deveu-se à necessidade de se contarem os objetos.
Temos então:
{ }
em que representa um número genérico do
conjunto.
O conjunto dos números naturais possui alguns subconjuntos importantes:
Conjunto dos números naturais não
nulos:
{ } ou { }
Conjunto dos números naturais pares:
{ }, em que
Conjunto dos números naturais
ímpares:
{ }, em que
Conjunto dos números naturais primos:
{ }
Operações em
No conjunto dos números naturais são definidas duas operações: a adição e a multiplicação. Quaisquer que sejam os
naturais e , sua soma e seu produto
são números naturais.
Já o mesmo não ocorre com a subtração. Em
só é possível realizar a subtração
quando . Assim, por exemplo, a
operação resulta em um número
natural, mas não existe número natural tal
que . Para que seja possível realizar subtrações, é necessário ampliar o conjunto
, formando o conjunto dos números inteiros.
O conjunto dos números inteiros:
Este conjunto é formado por todos os
elementos de e seus opostos (ou
simétricos).
Assim, vejamos:
{ }
Notamos, portanto, que é um
subconjunto de :
O conjunto dos números inteiros também possui alguns subconjuntos notáveis:
Conjunto dos números inteiros não
nulos:
{ } ou { }
Conjunto dos números inteiros não
negativos:
{ }
é o próprio conjunto dos números
naturais:
Conjunto dos números inteiros
positivos:
{ }
Conjunto dos números inteiros não
positivos:
{ }
Conjunto dos números inteiros
negativos:
{ }
Módulo de um número inteiro
Chamamos módulo, ou valor absoluto, de
um número inteiro à distância entre a
origem e o ponto que representa o número .
Indicamos por .
De modo geral, dado , temos
{
O conjunto dos números Racionais
Definimos como o conjunto das frações
. Desse modo, um número é racional quando
pode ser escrito como uma fração , com e
inteiros e .
Então:
{ }
Quando , temos . Isso
mostra que todo número inteiro é também
número racional, ou seja, é subconjunto de
. Desta forma, podemos construir o diagrama:
Operações em
Adição
Subtração
Multiplicação
Divisão
onde e .
Números racionais na forma decimal
Os elementos de apresentam-se
normalmente como frações, mas há outra forma de representar os números racionais,
chamada forma decimal.
Vejamos as frações e
,
representadas na forma decimal:
Números como esses, que contêm na representação decimal mais simples um número finito de algarismos, são chamados
decimais exatos.
Para passar, por exemplo, a fração para
a forma decimal, basta dividir o numerador 3 pelo denominador 4:
Por outro lado, podemos converter o
decimal exato em fração procedendo
assim:
No entanto, algumas vezes, ao dividirmos o numerador pelo denominador de uma fração, não obtemos resto zero em nenhuma etapa da divisão. Nestes casos, o quociente da divisão apresenta uma repetição infinita de algarismos após a vírgula. Esse tipo de
quociente é chamado dízima periódica.
Represente o número racional na forma
A forma decimal do número racional é uma dízima periódica
Notamos que o algarismo é chamado de
período, pois se repete indefinidamente.
̅
Encontre a forma decimal de
Em cada caso, a fração que dá origem à
dízima é chamada fração geratriz.
Inversamente, a partir de uma dízima periódica, é possível calcular a sua geratriz.
Exemplo 1
Encontre a fração geratriz da dízima periódica
̅.
Exemplo 2
Encontre a fração geratriz da dízima periódica
̅̅̅̅
Oposto e inverso de um número racional
Dado um número racional , chama-se
oposto de o número racional .
O oposto de é ...
O oposto de é ...
O oposto de é ...
É possível verificar que a soma de um número com seu oposto é sempre igual a
.
Dado um número racional , com ,
chama-se inverso de o número .
O inverso de é ...
O inverso de é ...
O inverso de ̅ é ...
O inverso de é ...
É possível verificar que o produto de um
número pelo seu inverso é sempre igual a .
Verifique essa propriedade multiplicando os inversos encontrados na atividade acima.
O conjunto dos números irracionais
Vimos que existem infinitos números racionais, que podem ser escritos na forma de frações com numerador e denominador inteiros. Ao ser representado na forma decimal, um número racional pode ser um decimal exato ou uma dízima periódica.
Existe, entretanto, números cuja
representação decimal é infinita e não
periódica.
Alguns exemplos:
O número
As casas decimais são os números naturais justapostos. Este número não é dízima periódica, pois os infinitos algarismos à direita da vírgula não se repetem periodicamente.
O número √
Não existe um período nas casas decimais.
Todas as raízes não exatas, na sua forma decimal possuem infinitas casas decimais que não se repetem periodicamente.
Outros exemplos
√
Dessa forma, Um número cuja
representação decimal infinita não é periódica
é chamado número irracional. Indicamos o
conjunto dos números irracionais por .
O conjunto dos números reais
Esse conjunto é formado pelos números racionais e pelos números irracionais e é
representado por .
Assim temos:
Por outro lado, se um número real é racional, ele não é irracional; e se um número real é irracional, ele não é racional. Assim:
Já vimos que . Em
consequência, e são subconjuntos de
.
Existem outros subconjuntos de importantes:
Conjunto dos números reais não nulos:
{ }
Conjunto dos números reais não
negativos:
{ }
Conjunto dos números reais não
positivos:
{ }
Conjunto dos números reais positivos:
{ }
Conjunto dos números reais negativos:
{ }
Observação
Também para números reais, utilizamos os conceitos de números opostos, inverso e módulo, apresentados anteriormente.
Atividades
01. Determinar e , sendo
{ } e { }.
02. Descreva por meio de uma propriedade
característica os conjuntos e ,
sendo { } e {
} .
03. Coloque em ordem crescente os números
reais:
√ √ √ ̅
04. Disponha em ordem decrescente os
números reais:
√
√
√ ̅
05. Responda:
a) Qual é o oposto de
?
b) Qual é o inverso de √ ?
c) Qual é o dobro de √ ?
d) Qual é o triplo de √ √ ̅ ?
06. Classifique cada uma das proposições abaixo como verdadeira (V) ou falsa (F) e quando falsa apresente um contraexemplo.
a) A soma de dois números irracionais é necessariamente um número irracional.
b) O produto de dois números irracionais é obrigatoriamente um número irracional.
c) Se e são números racionais, então é
racional.
d) O quociente de dois números irracionais é sempre um número irracional.
07. Calcule:
a) ̅
b) c) ̅ ̅
d) ̅
08. Sendo e , calcule:
a) √
b) √
c)
d)
09. Qual é o inverso de ̅? E de ̅?
10. Encontre a fração geratriz de cada dízima
periódica:
a) ̅
b)
c) ̅̅̅̅
d) ̅
e) ̅
f) ̅
g) ̅̅̅̅
11. Se
sendo e números inteiros positivos primos
entre si, calcule .
12. Apresente na forma decimal o resultado
de
( ̅ )
13. Determine na forma de fração
irredutível o resultado de
Intervalos Reais
O conjunto dos números reais possui também subconjuntos, que se denominam
intervalos e são determinados por meio de
desigualdades. Sejam os números reais e ,
com , temos:
Intervalo aberto de extremos e é o
conjunto { }.
Representação gráfica:
Note as bolinhas vazias.
Intervalo fechado de extremos e é o
conjunto { }.
Representação gráfica:
Note as bolinhas cheias.
Intervalo aberto à direita (ou fechado à
esquerda) de extremos e é o conjunto
{ }. Representação gráfica:
Intervalo aberto à esquerda (ou fechado à
direita) de extremos e é o conjunto
{ }. Representação gráfica:
Existem ainda os intervalos infinitos:
{ }
Representação gráfica:
{ }
Representação gráfica:
{ }
Representação gráfica:
{ }
Representação gráfica:
Na resolução de inequações e de outros problemas em que são necessárias operações como união, intersecção, etc. entre intervalos, a sugestão é utilizar a representação gráfica.
Exemplo
Represente na forma de intervalo os seguintes conjuntos:
a)
b) [ √ ]
