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O conjunto dos números Racionais

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Academic year: 2019

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Texto

(1)

O conjunto dos números naturais:

O surgimento do conjunto dos números naturais deveu-se à necessidade de se contarem os objetos.

Temos então:

{ }

em que representa um número genérico do

conjunto.

O conjunto dos números naturais possui alguns subconjuntos importantes:

 Conjunto dos números naturais não

nulos:

{ } ou { }

 Conjunto dos números naturais pares:

{ }, em que

 Conjunto dos números naturais

ímpares:

{ }, em que

 Conjunto dos números naturais primos:

{ }

Operações em

No conjunto dos números naturais são definidas duas operações: a adição e a multiplicação. Quaisquer que sejam os

naturais e , sua soma e seu produto

são números naturais.

Já o mesmo não ocorre com a subtração. Em

só é possível realizar a subtração

quando . Assim, por exemplo, a

operação resulta em um número

natural, mas não existe número natural tal

que . Para que seja possível realizar subtrações, é necessário ampliar o conjunto

, formando o conjunto dos números inteiros.

O conjunto dos números inteiros:

Este conjunto é formado por todos os

elementos de e seus opostos (ou

simétricos).

Assim, vejamos:

{ }

Notamos, portanto, que é um

subconjunto de :

(2)

O conjunto dos números inteiros também possui alguns subconjuntos notáveis:

 Conjunto dos números inteiros não

nulos:

{ } ou { }

 Conjunto dos números inteiros não

negativos:

{ }

é o próprio conjunto dos números

naturais:

 Conjunto dos números inteiros

positivos:

{ }

 Conjunto dos números inteiros não

positivos:

{ }

 Conjunto dos números inteiros

negativos:

{ }

Módulo de um número inteiro

Chamamos módulo, ou valor absoluto, de

um número inteiro à distância entre a

origem e o ponto que representa o número .

Indicamos por .

De modo geral, dado , temos

{

O conjunto dos números Racionais

Definimos como o conjunto das frações

. Desse modo, um número é racional quando

pode ser escrito como uma fração , com e

inteiros e .

Então:

{ }

Quando , temos . Isso

mostra que todo número inteiro é também

número racional, ou seja, é subconjunto de

. Desta forma, podemos construir o diagrama:

Operações em

Adição

(3)

Subtração

Multiplicação

Divisão

onde e .

Números racionais na forma decimal

Os elementos de apresentam-se

normalmente como frações, mas há outra forma de representar os números racionais,

chamada forma decimal.

Vejamos as frações e

,

representadas na forma decimal:

Números como esses, que contêm na representação decimal mais simples um número finito de algarismos, são chamados

decimais exatos.

Para passar, por exemplo, a fração para

a forma decimal, basta dividir o numerador 3 pelo denominador 4:

Por outro lado, podemos converter o

decimal exato em fração procedendo

assim:

No entanto, algumas vezes, ao dividirmos o numerador pelo denominador de uma fração, não obtemos resto zero em nenhuma etapa da divisão. Nestes casos, o quociente da divisão apresenta uma repetição infinita de algarismos após a vírgula. Esse tipo de

quociente é chamado dízima periódica.

Represente o número racional na forma

(4)

A forma decimal do número racional é uma dízima periódica

Notamos que o algarismo é chamado de

período, pois se repete indefinidamente.

̅

Encontre a forma decimal de

Em cada caso, a fração que dá origem à

dízima é chamada fração geratriz.

Inversamente, a partir de uma dízima periódica, é possível calcular a sua geratriz.

Exemplo 1

Encontre a fração geratriz da dízima periódica

̅.

Exemplo 2

Encontre a fração geratriz da dízima periódica

̅̅̅̅

Oposto e inverso de um número racional

Dado um número racional , chama-se

oposto de o número racional .

O oposto de é ...

O oposto de é ...

O oposto de é ...

É possível verificar que a soma de um número com seu oposto é sempre igual a

.

(5)

Dado um número racional , com ,

chama-se inverso de o número .

O inverso de é ...

O inverso de é ...

O inverso de ̅ é ...

O inverso de é ...

É possível verificar que o produto de um

número pelo seu inverso é sempre igual a .

Verifique essa propriedade multiplicando os inversos encontrados na atividade acima.

O conjunto dos números irracionais

Vimos que existem infinitos números racionais, que podem ser escritos na forma de frações com numerador e denominador inteiros. Ao ser representado na forma decimal, um número racional pode ser um decimal exato ou uma dízima periódica.

Existe, entretanto, números cuja

representação decimal é infinita e não

periódica.

Alguns exemplos:

 O número

As casas decimais são os números naturais justapostos. Este número não é dízima periódica, pois os infinitos algarismos à direita da vírgula não se repetem periodicamente.

 O número

Não existe um período nas casas decimais.

Todas as raízes não exatas, na sua forma decimal possuem infinitas casas decimais que não se repetem periodicamente.

Outros exemplos

Dessa forma, Um número cuja

representação decimal infinita não é periódica

é chamado número irracional. Indicamos o

conjunto dos números irracionais por .

O conjunto dos números reais

Esse conjunto é formado pelos números racionais e pelos números irracionais e é

representado por .

Assim temos:

(6)

Por outro lado, se um número real é racional, ele não é irracional; e se um número real é irracional, ele não é racional. Assim:

Já vimos que . Em

consequência, e são subconjuntos de

.

Existem outros subconjuntos de importantes:

 Conjunto dos números reais não nulos:

{ }

 Conjunto dos números reais não

negativos:

{ }

 Conjunto dos números reais não

positivos:

{ }

 Conjunto dos números reais positivos:

{ }

 Conjunto dos números reais negativos:

{ }

Observação

Também para números reais, utilizamos os conceitos de números opostos, inverso e módulo, apresentados anteriormente.

Atividades

01. Determinar e , sendo

{ } e { }.

02. Descreva por meio de uma propriedade

característica os conjuntos e ,

sendo { } e {

} .

03. Coloque em ordem crescente os números

reais:

√ √ √ ̅

04. Disponha em ordem decrescente os

números reais:

√ ̅

05. Responda:

a) Qual é o oposto de

?

b) Qual é o inverso de ?

c) Qual é o dobro de √ ?

d) Qual é o triplo de √ √ ̅ ?

(7)

06. Classifique cada uma das proposições abaixo como verdadeira (V) ou falsa (F) e quando falsa apresente um contraexemplo.

a) A soma de dois números irracionais é necessariamente um número irracional.

b) O produto de dois números irracionais é obrigatoriamente um número irracional.

c) Se e são números racionais, então é

racional.

d) O quociente de dois números irracionais é sempre um número irracional.

07. Calcule:

a) ̅

b) c) ̅ ̅

d) ̅

08. Sendo e , calcule:

a)

b) √

c)

d)

09. Qual é o inverso de ̅? E de ̅?

10. Encontre a fração geratriz de cada dízima

periódica:

a) ̅

b)

c) ̅̅̅̅

d) ̅

e) ̅

f) ̅

g) ̅̅̅̅

11. Se

sendo e números inteiros positivos primos

entre si, calcule .

12. Apresente na forma decimal o resultado

de

( ̅ )

13. Determine na forma de fração

irredutível o resultado de

(8)

Intervalos Reais

O conjunto dos números reais possui também subconjuntos, que se denominam

intervalos e são determinados por meio de

desigualdades. Sejam os números reais e ,

com , temos:

 Intervalo aberto de extremos e é o

conjunto { }.

Representação gráfica:

Note as bolinhas vazias.

 Intervalo fechado de extremos e é o

conjunto { }.

Representação gráfica:

Note as bolinhas cheias.

 Intervalo aberto à direita (ou fechado à

esquerda) de extremos e é o conjunto

{ }. Representação gráfica:

 Intervalo aberto à esquerda (ou fechado à

direita) de extremos e é o conjunto

{ }. Representação gráfica:

Existem ainda os intervalos infinitos:

{ }

Representação gráfica:

{ }

Representação gráfica:

{ }

Representação gráfica:

{ }

Representação gráfica:

Na resolução de inequações e de outros problemas em que são necessárias operações como união, intersecção, etc. entre intervalos, a sugestão é utilizar a representação gráfica.

Exemplo

Represente na forma de intervalo os seguintes conjuntos:

a)

b) [ √ ]

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