SequênciaseSériesdeFunções

(1)

NOTAS DE AULA

SEQ ¨

UENCIAS E S´

ERIES DE FUNC

¸ ˜

OES

Cl´audio Martins Mendes

(2)

Sum´

ario

1 Seqüências e Séries de fun¸cões 2

1.1 Seqüências de Fun¸cões . . . 2

1.2 S´eries de Fun¸c˜oes . . . 13

1.3 S´eries de Potˆencias . . . 19

1.4 Representa¸cão de fun¸cões como séries de potências . . . 28

(3)

Cap´ıtulo 1

Seq¨

uˆ

encias e S´

eries de fun¸c˜

oes

1.1 Seq¨

uˆ

encias de Fun¸c˜

oes

Defini¸c˜ao 1.1.1. Seja A um subconjunto de R_{. Se a cada natural} _n _{fizermos corresponder}

uma fun¸cãofn, definida emA( isto é, fn:A→R), então(fn)será ditaseqüência de fun¸cões

.

Exemplo 1. Considere A= [0,_∞) e fn :A → R dadas por fn(x) =

x

n, cujos gr´aficos dos quatro primeiros termos est˜ao na figura a seguir.

x0

y

x f4

f3

f2

f1

¡¡ ¡¡

¡ ¡

✲ ✻

Exemplo 2. Considere A=R_e _f_n _:R_→R _{dadas por} _f_n_{(x) =}_xn_,_x_∈R _{cujos gr´aficos de}

(4)

1

y

x f3

f2

f1

¡¡

¡ ¡

¡¡ ¡¡

¡¡ ¡

✲ ✻

Observa¸cão: Para cada x0 ∈ A fixado, obtemos uma seqüência numérica (fn(x0)) que

pode ou não ser uma seqüência numérica convergente.

Defini¸cão 1.1.2. Seja (fn) uma seqüência de fun¸cões definidas em A, subconjunto de R.

Seja B _⊂ A e f uma fun¸cão com valores reais, definida em um conjunto contendo B. Di-zemos que a seqüência (fn) converge sobre B para f se para cada x ∈ B, fixo, a seq¨uência

num´erica(fn(x))converge para f(x). Neste caso chamaremos a fun¸c˜aof de limite, sobre B,

da seq¨uˆencia (fn).

Nota¸c˜ao: (fn)→f sobre B ou lim

n→∞fn =f sobre B.

Observa¸cão 1: Notemos quef está univocamente determinada, isto é, é de fato uma fun¸cão.

Observa¸c˜ao 2: [(fn) → f sobre B ] ⇔ [ Para cada x ∈ B e para cada ǫ > 0, ∃N0 ∈ N,

N0 =N0(ǫ, x), tal que para n≥N0 temos |fn(x)−f(x)|< ǫ ]

Observa¸cão 3: Este tipo de convergência de seqüência de fun¸cões é chamado também de

convergˆencia ponto a ponto.

Exemplo 1. Consideremos A=R_e _f_n_:R_→R _{dadas por}_f_n_{(x) =} x

n. Fixado x _∈ R _{temos que lim}

n→∞fn(x) = limn→∞

x

(5)

¡ ¡ ¡ ¡

¡¡ ¡¡

¡ ¡

f f1

✲ ✻

f2

f3

f4

x y

x0

Exemplo 2. Consideremos A= [0,1] e fn:A→R dadas por fn(x) =xn.

Fixado x_∈A temos que (i) Se x= 1 ent˜ao lim

n→∞fn(1) = limn→∞1

n _{= 1.}

(ii) Se 0_≤x <1 ent˜ao lim

n→∞fn(x) = limn→∞x

n _{= 0.}

Logo, tomando-se f :A_→R _{dada por}_f_{(x) =}

 



0 , se x₆= 0 1 , se x= 1 temos que (fn)→f sobre B =A= [0,1], ponto a ponto.

x0

f1

f2

f3

¡¡ ¡¡

¡¡ ¡¡ y

x 1 1

✲ ✻

Exemplo 3. Consideremos A=R_e _f_n_:R_→R _{dadas por}_f_n_{(x) =} x

2 ₊_nx

n . Fixado x _∈ R _{temos que lim}

x2

(6)

x0

f2

f1

f y

x ¡

¡ ¡ ¡ ¡

¡¡ ¡¡

✲ ✻

Exemplo 4. Consideremos A=R_e _f_n_:R_→R _{dadas por}_f_n_{(x) =} 1

nsen (nx+n). Fixadox_∈R _{temos que lim}

1

nsen (nx+n) = 0. Logo, tomando-sef :R→R dada porf(x) = 0, temos que (fn)→f em B =R, ponto a ponto.

x0 x

f3

f2

f1

f _✲

Trabalharemos agora com um outro tipo de convergência para seqüências de fun¸cões.

Defini¸cão 1.1.3. Uma seqüência de fun¸cões (fn)definidas em A⊂R( isto é, fn:A→R),

converge uniformente em B _⊂A para uma fun¸c˜ao f :B _→R _{se para cada} _{ǫ >}₀ _{dado, existe}

N0 =N0(ǫ)∈N tal que sen ≥N0 ent˜ao |fn(x)−f(x)|< ǫ, ∀x∈B.

Observa¸c˜ao 1. Notemos que escrever _|fn(x)−f(x)|< ǫ´e equivalente a escrever

−ǫ < fn(x)−f(x) < ǫ ou aindaf(x)−ǫ < fn(x)< f(x) +ǫ. Assim, fn satisfaz a condi¸c˜ao

(7)

ǫ

fn

f y

x ✻

❄ ✻

❄

✲ ✻

Observa¸cão 2. Segue imediatamente das defini¸cões que convergência uniforme implica em convergência ponto a ponto. A rec´ıproca é falsa, como mostram os exemplos a seguir.

Exemplo 1. Sejam A=R _e _f_n_:R_→R _{dada por}_f_n_{(x) =} x

n.

Observemos que (fn) → 0 quando n → ∞, isto é, a seqüência (fn) converge ponto a ponto

para a fun¸cão f(x) = 0 em R_{. Porém a convergência não é uniforme em} R_{. De fato,}

suponhamos, por absurdo, que (fn) → 0 uniformemente em R. Ent˜ao, dado por exemplo,

ǫ= 1, deveria existir um N0 ∈N tal que sen≥N0 ent˜ao |

x

n −0|<1, para todox∈R. Em particular _| x

N0|

< 1, _∀x _∈ R _{ou equivalentemente} _|_x_| _{< N}₀_, _∀_x _∈ _{R, o que ´e um absurdo.}

Portanto n˜ao existe umN0 ∈N tal que|fn(x)−f(x)|< ǫ= 1, ∀x∈R. Logo a convergˆencia

n˜ao ´e uniforme.

x ǫ

ǫ x0

nǫ

✻ ❄ ❄ ✻

fn

f2

f1

y

¡¡ ¡¡

¡¡

✲ ✻

Exemplo 2. Consideremos A= [0,10] e fn:A→R dada por fn(x) =

x n.

Observemos que como no caso anterior (fn) → f = 0, ponto a ponto sobre A = [0,10].

(8)

N0 >

10

ǫ . Ent˜ao, se n > N0 temos |fn(x)−f(x)| = | x n| ≤

10 n ≤

10 N0

< ǫ mostrando que (fn)→f, uniformemente sobre A= [0,10].

Notemos aqui que o mesmo tipo de racioc´ınio poderia ser usado para o caso deA = [a, b] qualquer.

x ǫ

ǫ

10

✻ ❄

❄ ✻ fn

f3

f2

f1

y

¡¡ ¡¡

¡¡¡

✲ ✻

Exemplo 3. Consideremos A = [0,1], fn : A → R, dada por fn(x) = xn e f : A → R,

definida por f(x) =

 



0 , se x <1 1 , se x= 1

Observemos que (fn)→f pontualmente em A= [0,1], mas a convergência não é uniforme.

De fato, suponhamos, por absurdo, que a convergˆencia seja uniforme. Dadoǫ tal que 0< ǫ <1.

Por maior que seja n tomamos x0 ∈[0,1] tal queǫ1/n < x0 <1

Logo, _|fn(x0)−f(x0)|=|xn0 −0|=xn0 > ǫ

Portanto, a convergência não é uniforme.

¡¡¡

✒ fn(x) =x

n

x0

ǫ1/n

❄ ✻ ǫ

✲ ✻

1

1 x

y

¡¡ ¡¡

(9)

Mais adiante, usando outro argumento, veremos que esta convergˆencia n˜ao pode ser uni-forme.

Exemplo 4. Consideremos A = R_, _f_n _: R _→ R _{dada por} _f_n_{(x) =} x

2₊_nx

n e f : R → R definida por f(x) = x.

Observemos que (fn)→f ponto a ponto emRmas n˜ao converge uniformemente (exerc´ıcio).

x0

f1

fn

f y

x ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

¡¡ ¡¡

¡¡

¡¡ ¡¡

¡¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

¡¡ ¡¡

¡¡

❄

❄ ✻ ✻

ǫ ǫ

✲ ✻

Exemplo 5. Consideremos A=R_,_f_n_:R_→R_{, dada por}_f_n_{(x) =} 1

nsen (nx+n) ef :R_→R_{, definida por}_f_{(x) = 0.}

Ent˜ao (fn)→f uniformemente em A=R (exerc´ıcio).

Sugest˜ao: _|1

nsen (nx+n)| ≤ 1

n,∀x∈R.

x fn

f2

f1

✻

❄ ✻

❄ ǫ

ǫ

✲ f

Exemplo 6. Sejam A = [0,_∞), fn : A → R, dadas pelos gr´aficos a seguir e f : A → R

definida por f(x) =

 



(10)

Neste caso, (fn)→f ponto a ponto sobreA, mas a convergência não é uniforme (Tente

veri-ficar). Mais adiante teremos uma outra maneira de comprovar que neste caso a convergˆencia n˜ao pode ser uniforme.

1

x0

f x y

ǫ

ǫ ❄ ✻ ❄ ✻

f3

f2

f1

❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ✻

✲

1

1 2 1 3

Exemplo 7. Sejam A=R _e _f_n_:R_→R_{, definida por}_f₍_{x) =}

 



1₋ _n1_|x_| , se _|x_|< n 0 , se _|x_{| ≥}n

ef : R_→R _{dada por} _{f(x) = 1,} _∀_x_∈R_.

Ent˜ao (fn)→f ponto a ponto sobre R, mas n˜ao uniformemente em R. (Tente resolver)

−n −2 −1 1

n

2 1

fn

f2

f1

y

x ǫ ✻ ❄ ✻ ❄ ǫ

x0

f ¡

¡ ¡

¡ ❅❅

❅ ❅ ✻

✲

Exemplo 8. Consideremos A = (0,1], fn : A → R, dada por fn(x) =

1

nx e f : A → R, definida por f(x) = 0, para todo x_∈A.

Ent˜ao (fn)→f pontualmente em A, mas n˜ao converge uniformemente em A.

De fato, suponhamos, por absurdo, que a convergˆencia fosse uniforme. Logo, dado por exemploǫ= 1

2, existiria umN0 ∈Ntal que para todon ≥N0 ter´ıamos |fn(x)−f(x)|<1/2, para todox_∈A= (0,1], isto ´e, _| 1

nx|< 1

2, ∀x∈A= (0,1]. Assim, em particular,_| 1

N0x|

< 1

(11)

Logo, 0 < 1 xx <

N0

2 , ∀x ∈ (0,1], o que é um absurdo. Portanto não existe tal N0, isto é, a convergência não é uniforme.

1

f

x0

✻ ❄ ✻ ❄ ǫ ǫ

x fn

f2

f1

y

✲ ✻

A seguir vamos apresentar algumas resultados baseados na no¸c˜ao de convergˆencia uni-forme.

Teorema 1.1.4. Suponhamos que (fn)seja uma seqüência de fun¸cões integráveis sobre [a, b]

e que (fn)→f uniformemente sobre [a, b], com f integr´avel sobre [a, b]. Ent˜ao

Z b

a

f(x)dx = lim

n→∞

Z b

a

fn(x)dx

ou seja

Z b

a

lim

n→∞fn(x)dx= limn→∞

Z b

a

fn(x)dx

Prova:

Dado ǫ > 0, como (fn) → f uniformemente sobre [a, b], existe N0 = N0(ǫ) ∈ N tal que se

n_≥N0 ent˜ao |fn(x)−f(x)|<

ǫ

b₋a para todox∈[a, b]. Logo, se n≥N0, temos:

|

Z b

a

fn(x)dx−

Z b

a

f(x)dx_|=_|

Z b

a

(fn(x)−f(x))dx|

≤

Z b

a |

fn(x)−f(x)|dx≤

Z b

a

ǫ

b₋adx=ǫ Assim,

lim

n→∞

Z b

a

fn(x)dx=

Z b

a

f(x)dx

(12)

Teorema 1.1.5. Suponhamos que (fn) seja uma seqüência de fun¸cões cont´ınuas sobre [a, b]

convergindo uniformemente sobre [a, b] para f. Então f é também cont´ınua sobre [a, b].

Prova:

Precisamos mostrar que f é cont´ınua para cada x_∈ [a, b]. Faremos a demonstra¸cão quando x _∈ (a, b). Os casos x = a ou x = b são simples adapta¸cões do caso que faremos,por isso serão deixados como exerc´ıcio.

Dadoǫ >0, do fato quefn→f uniformemente em [a, b], segue que existeN0 =N0(ǫ)∈N

tal que sen _≥N0 temos |fn(y)−f(y)|<

ǫ

3 ,∀y ∈[a, b]. Em particular, _|fN0(y)−f(y)|<

ǫ

3 ,∀y ∈[a, b].

ComofN0 ´e cont´ınua emx, existe δ >0 tal que se |h|< δ ent˜ao |fN0(x+h)−fN0(x)|<

ǫ 3. Assim, se _|h_|< δ temos:

|f(x+h)₋f(x)_|=_|f(x+h)₋fN0(x+h) +fN0(x+h)−fN0(x) +fN0(x)−f(x)|

≤ |f(x+h)₋fN0(x+h)|+|fN0(x+h)−fN0(x)|+|fN0(x)−f(x)|

< ǫ 3 +

ǫ 3 +

ǫ 3 =ǫ.

Portanto, lim

h→0f(x+h) = f(x), isto ´e, f ´e cont´ınua emx. ¤

Observa¸cão: Tendo em vista os dois teoremas anteriores, podemos pensar que algo se-melhante vale para fun¸cões diferenciáveis. Isto é: se (fn) é uma seqüência de fun¸cões

dife-renciáveis sobre [a, b] convergindo uniformemente para f sobre [a, b] então f é diferenciável em [a, b] e f′ _{= lim}

n→∞f ′

n . Isto n˜ao ´e verdadeiro em geral, como mostram os dois exemplos a

seguir.

Exemplo 1. Consideremos a seqüência (fn) dadas pelos seus gráficos a seguir, definidas

em R _e _{f(x) =}_|_x_| _, _x_∈R_.

Observemos que (fn) → f uniformemente sobre R e que apesar das fn serem todas

(13)

y x f ǫ ǫ✻ ❄ ✻ ❄ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅_❅ fn f3 f2 f1 ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ✲ ✻

Exemplo 2.Mesmo sef for diferenci´avel, podemos n˜ao ter a igualdadef′_{(x) = lim}

n→∞f ′

n(x).

De fato, consideremos fn : R → R dada por fn(x) =

1

n.sen (n

2_{x) e} _f _: _R

→ R _definida

porf(x) = 0, x_∈R_.

Observemos que apesar de fn→f uniformemente em R e f ser diferenci´avel, n˜ao temos

lim

n→∞f ′

n(x) = f

′

(x), pois f′

n(x) = ncos(n2x) e este limite nem sempre existe ( por exemplo,

ele n˜ao existe quando x= 0).

fn y ǫ ǫ ❄ ✻ ❄ ✻ f2 f1 x ✲ f ✻

Vejamos ent˜ao qual ´e o resultado que permanece para o caso da diferenciabilidade.

Teorema 1.1.6. Suponhamos que (fn) seja uma seqüência de fun¸cões diferenciáveis sobre

[a, b] e que (fn) converge ponto a ponto sobre [a, b] para f. Suponhamos ainda que (fn′)

converge uniformemente sobre [a, b] para alguma fun¸c˜ao g e que f′

n seja cont´ınua, ∀n ∈ N.

Então f é diferenciável sobre [a, b] e

f′_{(x) = lim}

n→∞f ′

(14)

ou seja,

[ lim

n→∞fn(x)]

′ _{= lim}

n→∞f ′

n(x)

Prova:

Do teorema anterior, g ´e cont´ınua sobre [a, b]. Aplicando o teorema 1.2.4 ao intervalo [a, x] temos:

Z x

a

g(t)dt= lim

n→∞

Z x

a

f_n′(t)dt= lim

n→∞[fn(x)−fn(a)]

=f(x)₋f(a)

onde, na segunda igualdade aplicamos o Teorema Fundamental do C´alculo. Agora,

f(x)₋f(a) =

Z x

a

g(t)dt =G(x)₋G(a) onde G(x) ´e tal que G′_{(x) =}_{g(x) (Teorema Fundamental do C´alculo).}

Assim

f′_{(x) =} _G′_{(x) =} _{g(x) = lim}

n→∞f ′

n(x), ∀x∈[a, b]

. ¤

1.2 S´

eries de Fun¸c˜

oes

Defini¸cão 1.2.1. Dada a seqüência de fun¸cões (fn) definidas em A⊂ R podemos construir

uma outra seqüência de fun¸cões (Sn(x)) tal queSn(x) = f1(x) +· · ·+fn(x) = n

X

k=1

fk(x). Tal

seqüência é denominada série de fun¸cões associada à seqüência (fn) e indicada por

∞

X

n=1

fn.

Observa¸cão: Para cadax0 ∈A a série (Sn(x0)) é uma série numérica.

Defini¸cão 1.2.2. Diremos que a série de fun¸cões

∞

X

n=1

fn converge pontualmente para

f em A se a seqüência de fun¸cões (Sn) converge pontualmente para f, isto é, se para cada

x_∈A a s´erie num´erica

∞

X

n=1

fn(x) converge para f(x).

Defini¸cão 1.2.3. Diremos que a série de fun¸cões

∞

X

n=1

fn converge uniformemente para

(15)

Antes de exibirmos alguns exemplos de convergência de séries de fun¸cões daremos alguns resultados que serão úteis em várias situa¸cões. O primeiro deles é conseqüência imediata dos teoremas anteriores, a saber:

Corol´ario 1.2.4. Seja

∞

X

n=1

fn s´erie de fun¸c˜oes uniformemente convergente sobre [a, b] para

f , isto ´e, f =

∞

X

n=1

fn.

(i) Se cada uma das fun¸cões fn for cont´ınua sobre [a, b] então f é cont´ınua sobre [a, b].

(ii) Se f e as fn forem integr´aveis em [a, b], ent˜ao

Z b

a

f(t)dt=

∞

X

n=1

Z b

a

fn(t)dt

isto ´e,

Z b

a

∞

X

n=1

fn(t)dt =

∞

X

n=1

Z b

a

fn(t)dt

ou seja, a s´erie pode ser integrada termo a termo.

Ainda:

(iii) Se

∞

X

n=1

fn converge (ponto a ponto) para f sobre [a, b] e

∞

X

n=1

f_n′ converge uniformemente sobre [a, b] para alguma fun¸c˜ao, com f′

n cont´ınuas sobre [a, b], ent˜ao

f′(x) =

∞

X

n=1

fn′(x),∀x∈[a, b]

isto ´e,

(

∞

X

n=1

fn)′(x) =

∞

X

n=1

f′

n(x)

ou seja, a s´erie pode ser derivada termo a termo.

Prova:

De (i):

f será o limite uniforme da seqüência de fun¸cões cont´ınuasf1, f1+f2, f1+f2+f3,· · ·. Pelo

teorema 1.1.5 f ser´a cont´ınua.

De (ii):

(16)

Z b

a

f(t)dt=

Z b

a

∞

X

n=1

fn(t)dt =

Z b

a

lim

k→∞

k

X

n=1

fn(t)dt

Teo.1.1.4

=

= lim

k→∞

Z b

a k

X

n=1

fn(t)dt= lim k→∞

k

X

n=1

Z b

a

fn(t)dt=

=

∞

X

n=1

Z b

a

fn(t)dt

De (iii):

Cada fun¸cão f1+· · ·+fn é diferenciável, com derivada f1′ +· · ·+fn′ cont´ınua.

Por hipótese, a seqüência f′

1, f1′ +f2′, f1′ +f2′ +f3′,· · · converge uniformemente sobre [a, b]

para uma fun¸c˜ao. Pelo Teorema 1.1.6:

f′(x) = lim

n→∞(f ′

1(x) +f

′

2(x) =· · ·+f

′

n(x)) =

∞

X

1

f_n′(x) isto ´e,

(

∞

X

n=1

fn)′(x) =

∞

X

n=1

f′

n(x)

¤

Observa¸cão: Até aqui este corolário pode ter restri¸cões em suas aplica¸cões, desde que temos dificuldades para dizer quando a seqüência f1, f1 +f2, f1 +f2 +f3,· · · converge

uniforme-mente. O resultado a seguir fornecerá a mais importante condi¸cão que assegura convergência uniforme.

Teorema 1.2.5. (Crit´erio de Weierstrass ou Teste M de Weierstrass)

Seja (fn) uma seqüência de fun¸cões definidas em A ⊂ R. Suponhamos que exista uma

seqüência numérica (Mn), tal que

|fn(x)| ≤Mn , ∀x∈A

Se a s´erie num´erica

∞

X

n=1

Mnfor convergente, então a série de fun¸cões

∞

X

n=1

fnconverge absoluta

(17)

Prova:

Como a s´erie num´erica

∞

X

n=1

Mn converge, segue, do crit´erio da compara¸c˜ao, que para cada

x _∈ A a s´erie

∞

X

n=1

|fn(x)| converge. Logo, a s´erie

∞

X

n=1

fn converge absolutamente para uma

fun¸c˜ao f em A, isto ´e,f(x) =

∞

X

n=1

fn(x).

Para todo x_∈A temos:

|f(x)₋SN(x)|=|

∞

X

n=1

fn(x)− N

X

n=1

fn(x)|=|

∞

X

n=N+1

fn(x) |

≤

∞

X

n=N+1

|fn(x)| ≤

∞

X

n=N+1

Mn

Como

∞

X

1

Mn converge, o n´umero

∞

X

n=N+1

Mn pode ser tomado arbitrariamente pequeno,

to-mandoN suficientemente grande. (

∞

X

n=1

Mn−(M1+· · ·+Mn) =

∞

X

n=N+1

Mn )

ou seja: dadoǫ >0 existeN0 ∈Ntal que sen ≥N0, ent˜ao

∞

X

n=N+1

Mn < ǫ, assim, paran≥N0

temos:

|f(x)₋SN(x)| ≤

∞

X

n=N+1

Mn < ǫ , ∀x∈A

o que implica que a s´erie

∞

X

n=1

fn converge uniformemente paraf em A. ¤

Exemplo 1. Consideremos A= [₋1,1] e fn:R →R dada porfn(x) = x

n

2n, n= 0,1,2,· · ·.

Observemos que para todo x_∈A= [₋1,1] temos

|fn(x)|=|

xn

2n| ≤

1 2n

Mas a série numéricaP∞_n=0 ₂1n converge (série geométrica de razão

1

2). Ent˜ao, pelo Crit´erio de

Weierstrass, a s´erie de fun¸c˜oesP∞_n=0 xn

2n converge uniforme e absolutamente para uma fun¸c˜ao

f em [₋1,1].

Neste caso particular podemos obter a fun¸c˜ao f explicitamente observando que

∞

X

n=0

xn

2n =

∞

X

n=0

(x 2)

n₌ 1

(18)

Exemplo 2. A s´erie de fun¸c˜oes

∞

X

n=1

xn

n! converge uniformemente em qualquer intervalo da forma [₋a, a].

De fato, se fn(x) = x

n

n! temos

|fn(x)|=|

xn

n!| ≤ an

n! , ∀x∈[−a, a] Do Critério da razão a série numérica

∞

X

n=1

an

n! converge. Assim segue do Critério de Weiers-trass que a série de fun¸cões P∞_n=1 xn

n! converge uniformemente em [−a, a].

Exemplo 3. A s´erie

∞

X

n=1

sen (nx)

3n converge uniformemente em R.

De fato, se fn(x) =

sen (nx)

3n temos:

|sen (nx)₃n | ≤

1

3n , ∀x∈R e ∀n∈N

A s´erie num´erica

∞

X

n=1

1

3n converge ( série geométrica de razão 1/3). Logo, do Critério de

Weierstrass, segue que a s´erie de fun¸c˜oes

∞

X

n=1

sen (nx)

3n converge uniformemente em R.

Exemplo 4. A s´erie

∞

X

n=1

sen (nx)

n3 pode ser derivada termo a termo emR.

Consideremosfn(x) =

sen (nx)

n3 , x∈R.

Observemos que as fn s˜ao diferenci´aveis emR e que fn′(x) =

cos(nx)

n2 , s˜ao cont´ınuas emR.

Observemos tamb´em que a s´erie

∞

X

n=1

sen (nx)

n3 converge sobre R. Para tal, notemos que

|sen (nx)_n3 | ≤

1

n3 , ∀x∈R.

e que

∞

X

n=1

1

n3 converge. Assim, pelo Crit´erio de Weierstrass, temos que a s´erie

∞

X

n=1

sen (nx) n3

converge (absolutamente) em R_.

Ainda, a s´erie

∞

X

n=1

cos(nx)

n2 converge uniformemente sobre R.

De fato:

|cos(nx)

n2 | ≤

1

(19)

Sabemos tamb´em que a s´erie

∞

X

n=1

1

n2 converge. Assim, pelo Cri´erio de Weierstrass, a s´erie

∞

X

n=1

cos(nx)

n2 converge uniformemente sobreR

Com todas estas verifica¸c˜oes, a s´erie dada inicialmente pode ser derivada termo a termo, ou seja

(

∞

X

n=1

sen (nx) n3 )

′ ₌ ∞

X

n=1

(sen (nx) n3 )

′ ₌ ∞

X

n=1

cos(nx) n2

para todox_∈R_.

Exerc´ıcios propostos

1. Seja (fn) sequˆencia de fun¸c˜oes definidas em [0,1] de tal modo que:

fn(x) =

    

   

2n2_{x, se} ₀_≤_x_≤_1/2n −2n2_(x₋ 1

n), se 1/2n ≤x≤1/n 0, se 1/n_≤x_≤1

(a) Desenhe o gr´afico de fn

(b) Mostre que lim

n→∞fn(x) existe para cada x∈[0,1], fixo arbitrariamente.

(c) Calcule lim

n→∞(

Z 1

0

fn(x) dx) e

Z 1

0

( lim

n→∞fn(x)) dx

(d) Deduza de (c) que a convergência de (fn(x)) não é uniforme em [0,1]

2. Verifique a convergência e a convergência uniforme da série

S(x) =

∞

X

0

x

(1 +x)n, x≥0

3. Seja F(x) =

∞

X

1

sen (nx)

n3 . Prove que:

(a) F(x) ´e cont´ınua, para todox_∈R

(b) lim

x→0F(x) = 0.

(c) F′_{(x) =} ∞

X

1

cos(nx)

n2 ´e cont´ınua, para todox∈R

4. Seja Sn(x) = nxe−nx

2

, x_∈[0,1]. (a) Verificar se lim

n→∞(

Z 1

0

Sn(x)dx) =

Z 1

0

( lim

n→∞Sn(x))dx

(20)

5. Seja fn(x) =

nx

1 +n2_x2 , x∈[0,1]. Pede-se:

(a) lim

n→∞(

Z 1

0

fn(x)dx)

(b)

Z 1

0

( lim

n→∞fn(x))dx)

(c) Mostre que a convergência não é uniforme.

1.3 S´

eries de Potˆ

encias

Nesta se¸cão iremos trabalhar com um tipo especial de séries de fun¸cões, chamadas séries de

potˆencias.

Vimos que: 1 +x+x2+_{· · ·}+xn+_{· · ·}= 1

1₋x , |x|<1. Fazendo f(x) = 1

1−x, ent˜ao f(x) = 1 +x+· · ·+x

n₊_{· · ·} _.

Dizemos: f é representada por esta série de potências. Por exemplo:

f

µ

1 2

¶

= 1 +1

2 +· · ·+

µ

1 2

¶n

+_{· · ·}= 1

1₋ 1₂ = 2.

Defini¸cão 1.3.1. Uma série de fun¸cões da forma

∞

X

n=0

an(x −c)n, x ∈ R ´e dita uma

série de potências centrada em c. c é dito centro da série e a0, a1, . . . são ditos

coeficientes da s´erie.

Por comodidade iremos trabalhar com séries de potências centradas em 0, mas os resultados que obteremos serão gerais. Temos então

∞

X

0

anxn.

Teorema 1.3.2. Se

∞

X

0

anxn converge em x1, x1 6= 0, ent˜ao ela ´e absolutamente

conver-gente em todo x tal que _|x_|<_|x1|.

Prova: Sejax fixado tal que |x|<|x₁|.

−|x1| 0 |x1|

❄ x

∞

X

0

(21)

0_{≤ |}anxn|=

¯ ¯ ¯ ¯anx

nxn1

xn 1

¯ ¯ ¯

¯=|anx

n 1| ·

¯ ¯ ¯ ¯

x x1

¯ ¯ ¯ ¯

n

< M

¯ ¯ ¯ ¯

x x1

¯ ¯ ¯ ¯

n

.

Ainda

∞

X

0

M

¯ ¯ ¯ ¯

x x1

¯ ¯ ¯ ¯

n

converge (série geométrica de razão com módulo <1).

Pelo Crit´erio da Compara¸c˜ao X_|anxn| converge. Assim

X

anxn converge

absoluta-mente. ¤

Corol´ario 1.3.3. Se Xanxn diverge em x1 ent˜ao ela diverge para todo xtal que |x|>|x1|.

Prova: Por absurdo

−|x_1| 0 _|x_1| ❄ x

Se fosse convergente no pontox, pelo Teorema anterior, tamb´em seria no pontox1(contra

hip´otese). _¤

Pelos 2 resultados anteriores temos ent˜ao 3 possibilidades:

(a) A série Xanxn só é convergente em x= 0 .

Exemplo:

∞

X

0

n!xn = 1 +x+ 2!x2+ 3!x3+ 4!x4+_{· · ·} para x= 0

1 + 0 + 0 + 0_{· · ·} temos convergˆencia.

para x₆= 0

(n+ 1)!_|xn+1_|

n!_|xn_| = (n+ 1)· |x|

|{z}

6

= 0

→ ∞.

Pelo Critério da Razão Geral temos que a série é divergente em x, _∀x₆= 0 . Portanto só é convergente emx= 0 .

(b) A s´erie

∞

X

0

anxn converge em R.

Exemplo:

∞

X

0

xn

(22)

Sejax fixo, x₆= 0 (o casox= 0 ´e trivial)

|xn+1_|

(n+ 1)!

|xn_|

n!

= |x|

n+ 1 →0.

Pelo Critério da Razão temos convergência absoluta e então convergência. Portanto converge emR_.

(c) Existe um n´umero real R tal que a s´erie converge sobre (₋R, R) e diverge sobre (_−∞,₋R)_∪(R,_∞).

Exemplo:

∞

X

0

xn

Série Geométrica de razão x. Logo:

convergente se _|x_|<1 divergente se _|x_{| ≥}1.

No caso (a) dizemos que a série de potências temraio de convergênciazero ou intervalo de convergência reduzido a um ponto

Nota¸c˜ao: R= 0

No caso (b) dizemos que a série de potências tem raio de convergência infinito ou intervalo de convergência igual a reta toda

Nota¸c˜ao: R=_∞

No caso (c) temos que o conjunto _{x; Panxn converge} ´e limitado e ainda cont´em um

ponto₆= 0.

Seja R= sup_{x; Panxn converge}. Dizemos queR ´e o raio de convergˆencia.

❆❆✁✁

div. conv. abs. div. ❆❆✁✁

−R 0 R

R >0

❄

0 conv. abs.

R = 0

0 conv. abs.

✛ ✲

(23)

Obs. Não temos informa¸cão sobre o comportamento da série em ₋R e R. Temos que verificar isto diretamente, se quisermos concluir alguma coisa a este respeito.

Exemplos:

1.

∞

X

0

xn. R= 1 . Emx=_±1 diverge.

2.

∞

X

1

xn

n . Sejax fixo arbitrariamente.

|x_|n+1

n+ 1

|x_|n

n

= n

n+ 1 · |x| → |x| quando n → ∞.

Assim, pelo Crit´erio da Raz˜ao Geral, temos:

|x_|<1 - s´erie absolutamente convergente.

|x_|>1 - s´erie divergente. Emx= 1 temos a s´erie X1

n - divergente. Emx=₋1 temos a s´erie X(−1)

n

n - convergente.

Portanto, raio de convergˆencia: R= 1 ; intervalo de convergˆencia: [₋1,1) .

3.

∞

X

1

(₋1)nx

n

n . An´alogo ao anterior. Intervalo de convergˆencia: (₋1,1] .

4.

∞

X

1

xn

n2 . R= 1 .

Emx= 1 temos a s´erie X 1

n2 - absolutamente convergente.

Emx=₋1 temos a s´erie X(−1)

n

n2 - absolutamente convergente.

Intervalo de convergˆencia: [₋1,1] .

Exerc´ıcios:

1. Encontre o intervalo de convergˆencia da s´erie

∞

X

0

4n_x2n_.

Resolu¸c˜ao: Sejax fixo arbitrariamente.

Temos uma s´erie num´erica de termos _≥0 , 4

n+1_x2(n+1)

4n_x2n = 4x 2 _.

(24)

4x2 _<_{1 - s´erie absolutamente convergente.}

4x2 _>_{1 - s´erie divergente.}

Logo, R= 1

2. Em x=± 1 2 :

∞

X

0

4n

µ

±1

2

¶2n

=

∞

X

0

1 - divergente.

Portanto, intervalo de convergˆencia:

µ

−1

2, 1 2

¶

.

Obs. Poderia ter sido feito assim:

∞

X

0

4n_x2n ₌

∞

X

0

¡

4x2¢n _{- série geométrica de razão}

4x2_{. Logo convergente} _{⇔ |}_4x2

|<1_{⇔ |}x_|< 1 2.

2. Determine o intervalo de convergˆencia da s´erie

∞

X

1

(₋1)n 1

n5n(2x+ 1) n_.

Resolu¸c˜ao: Fa¸camos a mudan¸ca 2x+ 1 =y.

Ent˜ao:

∞

X

1

(₋1)n y

n

n5n.

Sejay_∈R_{, fixado.}

|y_|n+1

(n+ 1)_·5n+1 |y_|n

n_·5n

= n

n+ 1

|y_|

5 →

|y_|

5 , com n→ ∞.

Pelo Crit´erio da Raz˜ao Geral temos:

• S´erie absolutamente convergente se |y| 5 <1 ,

• S´erie divergente se |y| 5 >1 ,

mas y = 2x+ 1 e assim _|2x+ 1_| <5 _{⇔ −}5 < 2x+ 1 <5 _{⇔ −}6 <2x < 4 _⇔

−3< x <2 .

Logo:

−3< x < 2 - temos s´erie absolutamente convergente. x <₋3 ou x >2 - temos s´erie divergente.

Emx=₋3 temos a s´erie P(₋1)n(−1)n

n =

P1

n - divergente. Emx= 2 temos a s´erie P(−1)

n

(25)

/ / / /

A soma de uma série de potências é uma fun¸cãof(x) =

∞

X

0

an(x−c)n, cujo dom´ınio ´e o

intervalo de convergˆencia da s´erie.

Podemos perguntar: f é integrável ? f é cont´ınua ? f é diferenciável ? Os Teoremas a seguir fornecem as respostas.

Teorema 1.3.4. Se a s´erie de potˆencias

∞

X

0

anxn tem raio de convergˆencia R >0, ent˜ao ela

converge uniformemente em qualquer intervalo limitado [a, b] contido em (₋R, R).,

Prova

´

E poss´ıvel escolher x0 ∈(−R, R ) tal que|x|<|x0| ,∀x∈[a, b]

Assim: _|anxn| < |anxn0|, ∀x ∈ [a, b]. Como

∞

X

0

anxn0 converge temos, pelo Crit´erio de

Weierstrass, que

∞

X

0

anxn converge uniformemente sobre [a, b]. ¤

∞

X

0

anxn tem raio de convergˆencia R >0, ent˜ao a

sua fun¸c˜ao soma S(x) =

∞

X

0

anxn ´e cont´ınua em (−R, R ).

Prova

Fixemosx0 ∈(−R, R ).Existe h >0 tal queI = [x0−h, x0+h]⊂(−R, R ).

Pelo Teorema anterior, a convergˆencia ´e uniforme em I.

Pelo Corol´ario 1.2.4 S(x) ´e cont´ınua em I, em particular em x0. Como x0 foi tomado

arbi-trariamente em (₋R, R) temos que S(x) ´e cont´ınua em (₋R, R ). ¤

Teorema 1.3.6. (Integrabilidade da soma)

Se

∞

X

0

anxn tem raio de convergência R > 0 então a sua fun¸cão soma S(x) =

∞

X

0

anxn ´e

integr´a vel sobre qualquer intervalo [a, b] contido em (₋R, R) e

Z b

a

(

∞

X

0

anxn) dx=

∞

X

0

an

n+ 1(b

n−1

(26)

Prova

Basta aplicarmos o corol´ario 1.2.4 e o teorema anterior. ¤

∞

X

0

anxn converge para |x| < R ent˜ao

∞

X

1

nanxn−1

tamb´em converge para _|x_|< R

Prova

Sejax0 fixado tal que 06=|x0|< R. Tomemos x1 tal que |x0|<|x1|< R

Consideremosr = |x0|

|x_1| <1

Observemos que (nrn₎_→_{0, uma vez que}

∞

X

0

nxn tem raio de convergˆencia R= 1

Logo existeN0 ∈N tal que n ≥N0 ⇒(

nrn |x0| ≤

1 )

Assim: _|nanxn0−1| =

¯ ¯ ¯ ¯

nanxn1

x0

. (x0 x1

)n

¯ ¯ ¯ ¯ =

nrn |x0|

. _|anxn1| < |anxn1|, para n≥N0

Como ainda

∞

X

0

|anxn1| converge, temos pelo Crit´erio da Compara¸c˜ao que

∞

X

1

nanxn0−1

con-verge absolutamente. ¤

Teorema 1.3.8. (Diferenciabilidade da soma)

Se

∞

X

0

anxn tem raio de convergência R > 0 então a fun¸cão soma S(x) =

∞

X

0

anxn ´e

dife-renci´avel em (₋R, R ) e

S′(x) =

∞

X

1

nanxn−1, ∀x∈(−R, R )

Prova

Sejax0 ∈(−R, R ). Tomemos I = [x0−h, x0+h]⊂(−R, R ).

Ent˜ao

∞

X

0

anxne

∞

X

1

nanxn−1 s˜ao uniformemente convergentes emI e assim podemos derivar

termo a termo emI, em particular em x0. Portanto, temos diferenciabilidade em I. ¤

(27)

Exemplo: Considere f(x) =

∞

X

1

xn

n2 .

Encontre o intervalo de convergˆencia para f,f′

e f′′

.

/ / / /

Suponhamos quef seja uma fun¸cão que possa ser representada por uma série de potências com centro emc_∈R_. _{(Voltaremos a trabalhar com séries de potências de centro em} _c₎

(_∗) f(x) =a0+a1(x−c) +a2(x−c)2+a3(x−c)3+· · · , |x−c|< R

Perguntamos: an = ?

Vejamos:

Colocando x=c, obtemos f(c) = a0.

Derivando (_∗):

(_∗∗) f′

(x) =a1 + 2a2(x−c) + 3a3(x−c)2+· · · ; |x−c|< R

Colocando x=c, obtemos f′(c) =a1.

Derivando (_∗∗):

f′′(x) = 2a2+ 2·3a3(x−c) +· · · ; |x−c|< R

Colocando x=c, obtemos f′′

(c) = 2a2.

Assim sucessivamente, teremos f(n)_{(c) = 2}_·₃_{· · ·}_n_·_a

n =n! an, ou seja : an=

f(n)_(c)

n!

express˜ao que continua v´alida mesmo para n = 0 se convencionarmos que 0 ! = 1 e f(0) ₌_f_.

Temos assim provado o:

Teorema 1.3.9. Se f(x) =

∞

X

0

an(x−c)n, |x−c|< R ent˜ao an=

f(n)_(c)

n! .

Corolário 1.3.10. (unicidade de representa¸cão por séries de potências)

Se S(x) =

∞

X

0

an(x − c)n e S(x) =

∞

X

0

bn(x − c)n em (c− R , c +R) ent˜ao an = bn;

n= 0,1,2,_{· · ·}

Prova:

an=

S(n)_(c)

(28)

¤

Exerc´ıcios resolvidos

1. A partir da s´erie geom´etrica 1 1 +t =

1

1₋(₋t) =

∞

X

0

(₋1)ntn, _kt_| < 1, obter uma representa¸cão por meio de série de potências de ln(1 +x) ,_|x_|<1

Resolu¸cão: Temos uma série de potências, centrada em 0, com ráio de convergência

igual a 1. Considerando o intervalo [0, x], onde _|x_|<1 e aplicando o Teorema de Inte-gra¸c˜ao Termo a Termo obtemos:

ln(1 +x) =

Z x

0

dt 1 +t =

∞

X

0

(₋1)n

Z x

0

tn dt =

∞

X

0

(₋1)n.x

n+1

n+ 1, |x|<1

2. Use a série geométrica do exerc´ıcio anterior para obter uma representa¸cão de 1 (1 +x)2

em s´erie de potˆencias.

Resolu¸c˜ao:

1

1 +x = 1−x+x

2

−x3 =_{· · ·}+ (₋1)nxn+_{· · ·} , _|x_|<1

Sejaf(x) = 1

1 +x , |x|<1. Ent˜ao f

′_{(x) =} −1

(1 +x)2

Pelo Teorema de Deriva¸c˜ao termo a termo:

−1

(1 +x)2 = −1 + 2x−3x 2₊

· · ·(₋1)n.nxn−1+_{· · ·} , _|x_|<1. Assim:

1

(1 +x)2 = 1−2x+ 3x 2₊

· · ·(₋1)n+1.nxn−1+_{· · ·} , _|x_|<1. 3. Determine uma representa¸cão de arctg x em série de potências.

Resolu¸c˜ao: Observemos que

1 1 +t2 =

1

1₋(₋t2₎ =

∞

X

0

(₋1)n_·t2n ; _|t_|<1.

(29)

Integra¸c˜ao Termo a Termo no intervalo [0, x], _|x_|<1 obtemos:

arctg x=

Z x

0

dt 1 +t2 =

∞

X

0

(₋1)n

Z x

0

t2ndt =

∞

X

0

(₋1)n x

2n+1

2n+ 1 , |x|<1 .

Assim: arctg x=

∞

X

0

(₋1)n x

2n+1

2n+ 1 , |x|<1 .

4. A partir da s´erie (_∗) 1

1₋x = 1 + x+x

2 ₊ · · · =

∞

X

0

xn, _|x_| < 1, encontre representa¸cão em série de potências para as fun¸cões:

(a) 1

(1₋x)2 (b) ln(1−x)

(c) Encontre também uma série numérica cuja soma seja ln 2

Resolu¸c˜ao:

Diferenciando (_∗) membro a membro:

1

(1₋x)2 = 1 + 2x+· · ·=

∞

X

1

n xn−1, _|x_|<1 Integrando (_∗) membro a membro:

−ln(1₋x) =

Z

dx

1₋x =C+x+ x2

2 + x3

3 +· · ·=C+

∞

X

0

xn+1

n+ 1 =C+

∞

X

n=1

xn

n , |x|<1.

Para determinarC : Seja x= 0

−ln(1₋0) =C _⇔C= 0.

Assim: ln(1₋x) =₋

∞

X

1

xn

n , |x|<1 .

Em particular, colocandox= 1

2 e usando ln

µ

1 2

¶

=₋ln 2 temos

ln 2 = 1 2 +

1 8 +

1 24 +

1

64 +· · ·=

∞

X

1

1 n2n .

1.4 Representa¸c˜

ao de fun¸c˜

oes como s´

eries de potˆ

encias

(30)

Defini¸cão 1.4.1. f : I _⊂ R_→ R_, _I _{intervalo aberto.} _f _{se diz} anal´ıtica num ponto c_∈I quandof é soma de uma série de potências de centro emc, em algum intervalo(c₋δ , c+δ), δ >0.

Sef ´e anal´ıtica em todo ponto de I diremos que f ´eanal´ıtica em I. Assim:

f ´e anal´ıtica em c_⇔f(x) =

∞

X

0

an(x−c)n, ∀x∈(c−δ , c+δ).

Observa¸cão 1: Pelo Teorema 3.5.5 da seçcão anterior, se f é anal´ıtica emc então

f(x) =

∞

X

0

f(n)_(c)

n! (x−c)

n_{, x}

∈(c₋δ , c+δ).

Ainda: f tem derivadas de todas as ordens em (c₋δ , c+δ) - (Teo. 3.5.4)

Observa¸cão 2: A rec´ıproca não é verdadeira, isto é, existem fun¸cões que possuem derivadas de todas as ordens em certo intervalo (c₋δ , c+δ) e que, no entanto, não são anal´ıticas.

y=e−x12

x y

1

✻

✲

Exemplo:

f(x) =

 



e−x12 , x6= 0

0 , x= 0

Tem-se:

f′_{(0) = lim}

x→0

e−x12 −0

x₋0 = limx→0 1 x

ex12

.

A ´ultima express˜ao tem a forma ∞

∞ (limites laterais).

Aplicando L’Hˆopitall:

lim

x→0 1 x2

ex12

¡₋₂

x3

¢ = lim_x_→₀

x 2ex12

= 0 .

Assim f′_{(0) = 0 .}

(31)

Logo

∞

X

0

f(n)₍₀₎

n! x

n _{= 0 ,}

∀x_∈R_.

Assim f(x)₆=

∞

X

0

f(n)₍₀₎

n! x

n _para _x

6

= 0 .

Defini¸c˜ao 1.4.2. f : I _⊂ R _→ R _{com derivadas de todas as ordens num ponto} _c _∈ _I_.

A s´erie de potˆencias

∞

X

0

f

(n)

(c)

n! (x−c)

n _{´e chamada} _S´_{erie de Taylor de} _f _{no ponto} _c _.

Quando c= 0, a série anterior é também dita Série de Mac Laurin.

Observa¸cão 3: Sef é anal´ıtica emc, entãof(x) é soma de sua série de Taylor no ponto c.

Observa¸cão 4: Não é necessariamente verdadeiro que a soma da série de Taylor seja o valor da fun¸cão.

Colocamos agora uma quest˜ao: que condi¸c˜oes f deve satisfazer a fim de que

f(x) =

∞

X

0

f(n)_(c)

n! (x−c)

n_{, x}

∈(c₋δ , c+δ) ?

A f´ormula de Taylor diz que

∗ f(x) = f(c) +f′_(c)(x

−c) +_{· · ·}+f

(n)_(c)

n! (x−c)

n₊f(n+1)(ξ)

(n+ 1) ! (x−c)

n+1_,

onde ξ=ξ(x, n) e ξ _∈(c, x) ou ξ_∈(x, c)

ξ x c ✻

ξ c

x ✻

Nota: O Cason = 0 ´e o Teorema do Valor M´edio: f(x) = f(c) +f′_(ξ)(x

−c).

ConsideremosSn(x), o reduzido de ordem n da s´erie de Taylor def no ponto c.

Ent˜ao (_∗) pode ser reescrita:

f(x) =sn(x) +

f(n+1)_(ξ)

(n+ 1)! (x−c)

(32)

f(x)₋sn(x) =

f(n+1)_(s)

(n+ 1)! (x−c)

n+1 ₌_R n(x)

Assim:

lim

n→∞sn(x) = f(x)⇔nlim→∞Rn(x) = 0

Acabamos de provar:

Teorema 1.4.3. f : I _⊂ R _→ R_, _I _intervalo, _f _{com derivadas de todas as ordens em}

algum intervalo (c₋δ , c+δ)_⊂I. Seja Rn(x) =

f(n+1)_(ξ)

(n+ 1)! (x−c)

n+1_{, o resto de Lagrange}

do desenvolvimento de Taylor de f(x). Ent˜ao:

f(x) =

∞

X

0

f(n)_(c)

n! (x−c)

n_{, x}

∈(c₋δ , c+δ)_⇔

·

Rn(x)→0, ∀x∈(c−δ , c+δ)

¸

.

Na pr´atica fazemos uso de outro resultado que facilita a obten¸c˜ao do nosso objetivo, o qual passamos a enunciar e provar:

Teorema 1.4.4. f : I _⊂ R _→ R_, _I _intervalo, _f _{com derivadas de todas as ordens em}

algum intervalo (c₋δ , c+δ)_⊂I. Se existe M >0 tal que ¯¯f(n)(x)¯¯< M , ∀n ∈N_, _∀_x_∈

(c₋δ , c+δ) ent˜ao

f(x) =

∞

X

0

f(n)_(c)

n! (x−c)

n_{, x}

∈(c₋δ , c+δ).

Em particular: f ´e anal´ıtica em c.

Prova

0_≤

¯ ¯ ¯ ¯

f(n+1)_(s)

(n+ 1)! (x−c)

n+1

¯ ¯ ¯ ¯=

¯

¯f(n+1)(ξ)¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯

(x₋c)n+1

(n+ 1)!

¯ ¯ ¯ ¯≤M

|x₋c_|n+1

(n+ 1)! vide

−→

(_∗) 0 AssimRn(x)→0 e pelo Teorema anterior temos o resultado.

(_∗) A s´erie

∞

X

0

|x₋c_|n+1

(n+ 1)! converge , ∀x∈R⇒

·µ

|x₋c_|n+1

(n+ 1)!

¶

→0

¸

Exemplos:

(1) ex=

∞

X

0

xn

n! = 1 +x+ x2

2 !+· · · , ∀x∈R . De fato:

S´erie de Taylor de ex :

∞

X

0

f(n)₍₀₎

n! =

∞

X

0

xn

(33)

( )

−δ 0 ✻_x δ

Logo

∞

X

0

xn

n! =e

x _{no intervalo (}

−δ , δ) - qualquer.

Assim

∞

X

0

xn

n! =e

x _{na reta toda.}

(2) sen x=

∞

X

0

(₋1)n x

2n+1

(2n+ 1)! , x∈R

(3) cosx=

∞

X

0

(₋1)n x

2n

(2n)! , x∈R .

/ / / /

Exerc´ıcios resolvidos

1. Calcular

Z 1

0

sen x x dx .

Resolu¸c˜ao: Consideremosf(x) =

  

 

sen x

x , x6= 0 1 , x= 0 .

Sabemos que senx=

∞

X

0

(₋1)n x

2n+1

(2n+ 1)! , ∀x∈R. Assim:

f(x) =

∞

X

0

(₋1)n x

2n

(2n+ 1)! - série de potências com intervalo de convergência a reta toda.

Podemos Integrar Termo a Termo, obtendo:

Z 1

0

sen x x dx=

∞

X

0

(₋1)n

(2n+ 1)!

Z 1

0

x2ndx=

∞

X

0

(₋1)n

(2n+ 1)! 1 (2n+ 1) .

2. Mostre que

Z 1

0

e−x2dx=

∞

X

0

(₋1)n

n!(2n+ 1) e que 1− 1 3 +

1

(34)

Resolu¸c˜ao: Sabemos queey =

∞

X

0

yn

n! , ∀y∈R. Logo e−x2

=

∞

X

0

(₋x2₎n

n! =

∞

X

0

(₋1)n x

2n

n! , ∀x∈R. Pelo Teorema de Integra¸c˜ao Termo a Termo:

Z 1

0

e−x2dx=

∞

X

0

(₋1)n

n!

Z 1

0

x2ndx=

∞

X

0

(₋1)n

n! · 1

2n+ 1 = 1− 1 1!3 +

1 2!5 −

1

3!7 +· · ·

Temos uma série alternada nas condi¸cões do Critério de Leibniz

·

bn+1 =

1 n!(2n+ 1)

¸

. Assim

|S₋s3| ≤b4 =

1 3!7 =

1 42 <

1

40 = 0,025.

Logos3 = 1−

1 1!3+

1

2!5 d´a uma aproxima¸c˜ao da integral com erro menor que 0,025 em valor absoluto

S ✻

✲

✛0,025 ✛0,025✲

0,7666

s3 =

23

30 ≃0,7666

3. Qual é o raio e o intervalo de convergência da série

∞

X

1

xn

n2₃n ?

Resolu¸c˜ao: lim

n→∞ ¯ ¯ ¯ ¯ xn+1

(n+ 1)2₃n+1

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ xn

n2₃n

¯ ¯ ¯ ¯ = lim n→∞

n2₃n

(n+ 1)2₃n+1 · |x|= |x_|

3 .

|x_|

3 <1 - s´erie absolutamente convergente.

|x_|

3 >1 - s´erie divergente.

Logo o raio de convergência éR= 3 . Parax= 3 temos a série

∞

X

1

n2 - convergente.

Parax=₋3 temos a s´erie

∞

X

1

(₋1)n

n2 - convergente.

(35)

4. Considere a s´erie

∞

X

1

sen (nx) n3 .

Prove que Z π 0 ∞ X 1 sen (nx)

n3 dx = 2

∞

X

1

1 (2n₋1)4

Resolu¸cão: Inicialmente vamos registrar que esta não é uma série de potências.

Pretendemos aplicar o Teorema de Integra¸cão Termo a Termo. Para tanto verifiquemos se as suas hipóteses estão satisfeitas.

(a) Convergˆencia uniforme

| sen (nx)

n3 | ≤

1

n3, ∀x ∈ R. Ainda,

∞

X

1

n3 converge. Logo, pelo Crit´erio de

Weierstrass, a s´erie

∞

X

1

sen (nx)

n3 converge uniformemente em R.

(b) sen (nx)

n3 s˜ao cont´ınuas, logo integr´aveis, ∀n ∈N. Assim:

Z π 0 ( ∞ X 1 sen (nx)

n3 dx =

∞ X 1 Z π 0 sen (nx)

n3 dx =

∞ X 1 1 n3 Z π 0

sen (nx) dx =

=

∞

X

1

n4 (1−cos(nπ)) =

∞

X

1

n4 (1−(1)

n_{) = 2}

∞

X

1

1 (2n₋1)4

5. Dar o intervalo de convergˆencia das s´eries:

(a)

∞

X

1

(x+ 1)n √

n (b)

∞

X

1

(x₋2)n

n (c)

∞

X

1

(x+ 3)n

n2

Resolu¸c˜ao:

(a) lim n→∞ ¯ ¯ ¯ ¯

(x+ 1)n+1 √

n+ 1

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

(x+ 1)n √ n ¯ ¯ ¯ ¯

=_|x+ 1_|= distˆancia de x `a ₋1 .

|x+ 1_|<1 - s´erie absolutamente convergente.

|x+ 1_|>1 - s´erie divergente.

Logo o raio de convergˆencia ´eR = 1 .

(36)

Para x=₋2 temos a s´erie

∞

X

1

(₋1)n √

n - convergente.

Para x= 0 temos a s´erie

∞

X

1

√

n - divergente. Portanto o intervalo de convergˆencia ´e [₋2,0) .

(b) lim

n→∞

¯ ¯ ¯ ¯

(x₋2)n+1 n+ 1

¯ ¯ ¯ ¯ ¯

¯ ¯ ¯

(x₋2)n

n

¯ ¯ ¯ ¯

=_|x₋2_|= distˆancia de x `a 2 .

|x₋2_|<1 - s´erie absolutamente convergente.

|x₋2_|>1 - série divergente. Logo o raio de convergência éR = 1 .

1 2 3

∞

X

1

(₋1)n

n - convergente.

∞

X

1

n - divergente. Portanto o intervalo de convergˆencia ´e [1,3) .

(c) Fica como exerc´ıcio Resposta: [-4,-2]

6. Determinar a soma da s´erie

∞

X

0

x2

(1 +x2₎n .

Resolu¸cão: Primeiramente vamos observar que esta não é uma série de potências.

(i) Seja x₆= 0 , fixado

S(x) =

∞

X

0

x2

(1 +x2₎n =x 2

∞

X

0

1 (1 +x2₎n

(_∗)

= x2 1

1₋ 1 1+x2

= 1 +x2 .

Em (_∗) estamos usando o fato de ser uma série geométrica de razão 1

1 +x2 <1

(37)

(ii) Seja x= 0 S(0) = 0

Assim: S(x) =

 



1 +x2_, _se _x₆_{= 0}

0, se x= 0

x y

Note: S(x) n˜ao ´e cont´ınua.

y =S(x)

r ✻

✲

7. Mostre que a convergência da série do exerc´ıcio anterior não é uniforme no intervalo [₋1, 1 ] e que é uniforme no intervalo [1, 2 ]

Resolu¸c˜ao: Em [−1, 1 ] :

fn(x) =

x2

(1 +x2₎n ´e cont´ınua em [−1, 1 ], ∀n∈N

S(x) ´e descont´ınua em [₋1, 1 ]

Logo, pelo Corolário 1.2.4, a convergência não é uniforme em [₋1, 1 ] Em [1, 2 ]:

¯ ¯ ¯ ¯

x2

(1 +x2₎n

¯ ¯ ¯ ¯≤

4

(1 +x2₎n ≤

4

(1 + 1)n = 4.(

1 2)

n_,

∀x_∈[1, 2 ]

Ainda,

∞

X

0

4.(1 2)

n _{converge. Assim, pelo Crit´erio de Weierstrass, temos convergˆencia}

uniforme em [1, 2 ]

8. Dar o raio de convergˆencia de

∞

X

1

n! (x+ 3)

n

nn

Resolu¸c˜ao:

lim

n→∞

(n+ 1)!

(n+ 1)n+1 · |x+ 3| n+1

n!

nn |x+ 3| n

= lim

n→∞

(n+ 1)!nn

(n+ 1)n+1_n!· |x+ 3|=

= lim

n→∞

µ

n n+ 1

¶n

|x+ 3_|= lim

n→∞

µ

1

n+1 n

¶n

· |x+ 3_|=

= lim

n→∞

1

¡

1 + 1 n

¢n · |x+ 3|= |

(38)

|x+ 3_|

e <1 - s´erie absolutamente convergente.

|x+ 3_|

e >1 - série divergente. Logo o raio de convergência éR=e.

9. Determinar o intervalo onde a s´erie de potˆencias

∞

X

1

n2

2n (x+ 2)

n _converge

absoluta-mente.

Resolu¸c˜ao: lim

n→∞

(n+ 1)2

2n+1 · |x+ 2| n+1

n2

2n · |x+ 2| n

= lim

n→∞

(n+ 1)2

2n2 · |x+ 2|=

|x+ 2_| 2

|x+ 2_|

2 <1 - s´erie absolutamente convergente.

|x+ 2_|

2 >1 - série divergente. Logo o raio de convergência éR= 2 .

−4 ₋2 0

Parax=₋4 ou x= 0 obtemos a s´erie

∞

X

1

n2 2n | ±2|

n₌

∞

X

1

n2 - divergente.

Assim o intervalo de convergˆencia absoluta ´e (₋4,0) .

10. Dada a s´erie

∞

X

0

xn(1₋x), x_∈[0,1] (a) Calcular sua soma.

(b) Mostrar que a convergência não é uniforme.

Resolu¸c˜ao: (a)

(i)x= 1

∞

X

0

1n.(1₋1) = 0 = S(1) (ii) 0 _≤x < 1

∞

X

0

xn(1₋x) = (1₋x)

∞

X

0

xn = (1₋x). 1

(39)

Assim: S(x) =

 



1, se 0_≤x <1 0, se x= 1

(b) As fun¸cõesxn₍₁₋_{x) são cont´ınuas em [0,}_{1]. Se a converência fosse uniforme a fun¸cão}

soma seria cont´ınua, o que não acontece. Portanto a convergência não é uniforme.

11. Encontre a soma da s´erie

∞

X

0

(x₋1)n

(n+ 1)! .

Resolu¸c˜ao: Seja f(x) =

∞

X

0

(x₋1)n

(n+ 1)! .

Assim: (x₋1)f(x) =

∞

X

0

(x₋1)n+1

(n+ 1)! =e

x−1 −1 .

Logo f(x) =

  

 

ex−1₋₁

x₋1 , x6= 1

1 , x= 1

12. Sabemos que arctg x =

∞

X

0

(₋1)n x

2n+1

2n+ 1, |x| < 1 . Use esta s´erie para calcular a terceira derivada de arctgx em x= 0 .

Resolu¸c˜ao:

Temos que f

(3)₍₀₎

3! =a3 = (−1)

1

· ₂ 1

·1 + 1 =− 1 3.

Assim:

·

d3

dx3 arctg x

¸

x=0

= 3!

µ

−1₃

¶

=₋2 .

13. Suponha que a s´erie de potˆencias

∞

X

0

anxn converge em x = −4 e diverge em x = 8 .

O que podemos dizer sobre a convergência ou divergência das seguintes séries: (a)

∞

X

0

an2n (b)

∞

X

0

(₋1)nan9n.

Resolu¸c˜ao:

Se Xanxr converge em x = −4 ent˜ao

X

anxn ´e absolutamente convergente em x

tal que _|x_| < 4 . Se Xanxn diverge em x = 8 ent˜ao

X

anxn ´e divergente em x tal

(40)

div. abs. conv.

div.

8 4

-9 2

0 -4

-8 ✻

✻

✲ ✛

Assim

∞

X

0

an2n ´e absolutamente convergente e

∞

X

0

(₋1)nan9n =

∞

X

0

an(−9)n ´e

diver-gente.

14. Considere f(x) = x

2

1₋x2 , |x|<1 .

(i) Determine uma série de potências em x que represente f e dê seu intervalo de convergência.

(ii) Calcule f(10)_{(0) e} _f(11)_{(0) .}

Resolu¸c˜ao:

(i) Lembremos que 1 1₋r =

∞

X

0

rn, _|r_|<1 . Assim

1 1₋x2 =

∞

X

0

(x2)n, _|x_|<1

x2

1₋x2 =

∞

X

0

x2n+2, _|x_|<1 Intervalo de convergˆencia: (-1,1)

(ii) an =

f(n)₍₀₎

n! ⇔f

(n)_{(0) =}_n!_a n

Assim: f(10)_{(0) = 10!}_a

10= 10! 1 = 10!

f(11)_{(0) = 11!}_a

11= 11! 0 = 0 .

15. Seja f(x) =x e−x2

, x_∈R_.

(i) Encontre uma s´erie de potˆencias em xque represente f.

(ii) Usando (i) encontre a soma da s´erie num´erica

∞

X

0

(₋1)n₃2n+1

n! .

(41)

(i) Sabemos que ey =

∞

X

0

yn

n! , ∀y ∈R. Ent˜ao: e−x2

=

∞

X

0

(₋x2₎n

n! =

∞

X

0

(₋1)nx

2n

n! , ∀x∈R. Assim: f(x) =x_·e−x2

=

∞

X

0

(₋1)nx2n+1

n! , ∀x∈R.

(ii)

∞

X

0

(₋1)n3

2n+1

n! =f(3) = 3·e

−9 ₌ 3

e9 .

16. (i) Encontre a s´erie de Mac Laurin de f(x) = e

x₋_e−x

2 , x∈R. (ii) Usando o item (i) encontre a soma da s´erie num´erica

∞

X

0

1 (2n)!. (iii) Encontre f(21)_{(0) e} _f(12)_{(0) .}

Resolu¸c˜ao:

(i) Sabemos que ey =

∞

X

0

yn

n! , ∀y ∈R. Ent˜ao:

f(x) =

∞

X

0

xn

n! −

∞

X

0

(₋1)n_xn

n!

2 =

∞

X

0

(1₋(₋1)n₎

2n! x

n₌

=

∞

X

0

2x2n+1

2(2n+ 1)! =

∞

X

0

x2n+1

(2n+ 1)! , ∀x∈R .

(ii) f′(x) =

∞

X

0

(2n+ 1) (2n+ 1)! ·x

2n ₌

∞

X

0

x2n

(2n)! .

Assim: e1₊_e−1

2 =f

′_{(1) =} ∞

X

0

1 (2n)! .

(iii) f(21)(0) =a21·(21)! =

1

(21)!(21)! = 1

(42)

1.5 S´

erie Binomial

O Teorema Binomial afirma: Se k_∈N_{, ent˜ao}

(a+b)k=ak+k ak−1_b₊k(k−1)

2! a

k−2_b2₊

· · ·+bk .

Fazendo a = 1 e b =x temos

(1 +x)k = 1 +kx+k(k−1)

2! x

2₊

· · ·+ k(k−1)· · ·(k−n+ 1) n! x

n₊

· · ·+xk .

Se k _6∈ N _{vamos estudar a s´erie de potˆencias}

∞

X

0

anxn com a0 = 1 e

an=

k(k₋1)_{· · ·}(k₋n+ 1)

n! , para n≥1 , ou seja:

(_∗) 1 +kx+k(k−1)

2! x

2 ₊

· · ·+k(k−1)· · ·(k−n+ 1) n! x

n₊ · · ·

chamadaS´erie Binomial.

Se k _∈N _{- a s´erie se reduz a uma soma finita.}

Se k_6∈N _{- temos uma s´erie infinita.}

Consideremos a nota¸c˜ao

Ã

k n

!

=

nfatores

z }| {

k(k₋1)_{· · ·}(k₋n+ 1) n! .

Ainda vamos convencionar:

Ã

k 0

!

= 1 .

Ent˜ao podemos reescrever (_∗) como

∞

X

0

Ã

k n

!

xn .

Afirma¸cão: O raio de convergência da série binomial éR= 1 . De fato:

lim

n→∞

|an+1xn+1| |anxn|

= lim

n→∞

|k₋n_|

|n+ 1_| · |x|=|x| . Pelo Crit´erio da Raz˜ao Geral:

A série é absolutamente convergente se _|x_|<1 . A série é divergente se _|x_|>1 .

Assim, seja f(x) =

∞

X

0

Ã

k n

!

(43)

J´a vimos que se k _∈N_, _f_{(x) = (1 +}_x)k _.

Provaremos agora que isto ´e verdadeiro para qualquer k_∈R_, _|_x_|_<_{1 .}

Seja ent˜ao:

f(x) = 1 +kx+k(k−1)

2! x

2₊

· · ·+ k(k−1)· · ·(k−n+ 1) n! x

n₊ · · ·

Diferenciando:

f′(x) = k+k(k₋1)x+_{· · ·}n k(k−1)· · ·(k−n+ 1)

n! x

(n−1)₊(n+ 1)k(k−1)· · ·(k−n)

(n+ 1)! x

n₊ · · ·

Logo

xf′(x) = kx+k(k₋1)x2+_{· · ·}n k(k−1)· · ·(k−n+ 1)

n! x

n₊ · · ·

Somando os termos correspondentes das duas s´eries precedentes, o coeficiente dexn _ser´a:

(n+ 1)k(k₋1)_{· · ·}(k₋n)

(n+ 1)! +

n k(k₋1)_{· · ·}(k₋n+ 1)

n! =

= k(k−1)· · ·(k−n) n! +

n k(k₋1)_{· · ·}(k₋n+ 1)

n! =

= [(k₋n) +n]_· k(k−1)· · ·(k−n+ 1)

n! =k·an Assim:

f′_{(x) +}_x

·f′_{(x) =} ∞

X

0

k anxn =k f(x)

ou seja:

f′_{(x) (1 +}_x)

−k f(x) = 0 (_△)

Definimos agora a fun¸c˜ao g(x) por g(x) = f(x) (1 +x)k .

Ent˜ao:

g′_{(x) =} (1 +x)

k_f′_(x)₋_f_{(x)k(1 +}_x)k−1

(1 +x)2k =

(1 +x)k−1_{[(1 +}_x)_f′_(x)₋_{k f}_(x)]

(1 +x)2k =

= (1 +x)f

′_(x)

−k_·f(x) (1 +x)k+1

(△)

= 0 .