Cálculo ADS Lista 2.2

Material de estudo: Cap. 5, 6, 9, 11 e 20 de [3], Cap. 5, 6, 9 e 10 de [4], Cap. 10, 11, 12, 13 e 14 de [5].

Integral

1. Se f(x) =x2 ent˜ao mostre que as seguintes fun¸c˜oesg1(x) = x 3

3 ,g2(x) = x 3

3 + 8,g3(x) = x 3 3 −70, g4(x) = x

3

3 +c, c∈R s˜ao as primitidas def(x).

2. Se f(x) = cos(x) ent˜ao mostre que as seguintes fun¸c˜oes g1(x) = sen(x), g2(x) = sen(x) + 4₉, g₄(x) = sen(x) +c, c_∈R s˜ao as primitidas def(x).

3. Verifique as seguintes integrais, usando a no¸c˜ao de primitivas: a)

Z

1 √

1₋x2dx=arcsen(x) +c,−1< x <1 b)

Z

1

1 +x2dx=arctg(x) +c

4. Sobre uma part´ıcula que se desloca sobre o eixo 0x atua uma for¸ca paralela ao deslocamento e de componente f(x) =_x12. Calcule o trabalho realizado pela for¸ca no deslocamento dex= 1 at´e

x= 2 (dw =f(x)dx).

5. Uma part´ıcula desloca-se sobre o eixo 0x com velocidade v(t) = t+ 3, t _≥ 0. Sabe-se que no instante t= 0, a part´ıcula encontra-se na posi¸c˜ao x= 2.

a) Qual a posi¸c˜ao da part´ıcula no instantet?

b) Determine a posi¸c˜ao da part´ıcula no instante t= 2. c) Determine a acelera¸c˜ao a(t).

6. Verificar as seguintes integrais indefinidas, usando a no¸c˜ao de primitivas. a)

Z

urdu= u r+1

r+ 1 +C, r6=−1 er∈Q b)

Z

1

udu= ln|u|+C c)

Z

eudu=eu+C d)

Z

audu= a u lna+C e)

Z

sen(u)du=₋cos(u) +C f)

Z

cos(u)du= sen(u) +C

g)

Z

sec2(u)du=tg(u) +C h)

Z

cossec2(u)du=₋cotg(u) +C

i)

Z

sec(u)tg(u)du= sec(u) +C j)

Z

cossec(u)cotg(u)du=₋cossec(u) +C

k)

Z

tg(u)du=₋ln_|cos(u)_|+C l)

Z

cotg(u)du= ln_|sen(u)_|+C

m)

Z

sec(u)du= ln_|sec(u) +tg(u)_|+C n)

Z

cossec(u)du= ln_|cossec(u)₋cotg(u)_|+C

o)

Z

1

a2_−u2 du= 1 2aln

u+a u₋a

+C p)

Z

1 √

u2_−a2 du= ln|u+

p

u2_−a2_|+C 7. Determine a integral das seguintes fun¸c˜oes:

a) f(x) =x b)g(x) =x3 c)h(x) = _x12 d)p(x) =

√_{x e)q(x) =} 1 3

8. Determinar a seguintes integrais indefinidas:

1)

Z

(x2₋sen(x) +ex

)dx 2)

Z

(3x5+ 2x3+x₋3)dx 3)

Z

(cos(x) + 3)dx 4)

Z

(x₋3 x+ sec

2

(x))dx

5)

Z

(3sec(x)tg(x) +cossec2(x))dx 6)

Z _sec2

(x)

cossec(x)dx 7)

Z

(√3

x2₊ 1

3x)dx 8)

Z

(2ex

−

sen(x) cos2_(x) +

2

x7)dx

9)

Z

x4_{+ 3}

x−

1 2 + 4 3 √

x dx 10)

Z

(3√u+√1

u)du 11)

Z

(√u3 −

1 2u

−2_{+ 5)du 12)}

Z ₍√

t+ 2)2

t3 dt

13)

Z

(√3

t2

−sent)dt 14)

Z ₁

sen2_tdt 15)

Z ₁

cosucotgudu 16)

Z

(5x3+ 2 cosx)dx

17)

Z

(8t3−6 √

t+ 1

t3)dt 18) Z ₍

x2−1) 2

x2 dx 19) Z ₈

x−5 3 √

x dx 20)

Z ₍

t2+ 3)2

t6 dt

21)

Z

(3x2+x+ 1

x3)dx 22) Z

(1

x+e x

)dx 23)

Z

(4x+ 3)dx 24)

Z

(4x2−8x+ 1)dx

33)

Z _sec

t

costdt

9. Uma part´ıcula desloca-se sobre o eixo 0x com velocidade v(t) = 2t₋t, t _≥ 0. Sabe-se que no instantet= 0, a part´ıcula encontra-se na posi¸c˜ao x= 5. Determine o instante em que a part´ıcula estar´a mais pr´oxima da origem.

10. Determine a fun¸c˜ao y=y(x), x_∈Rou x >0, tal que

a) dy_dx = 3x₋1 ey(0) = 2 b) dy_dx=x3₋x+ 1 e y(1) = 1 c) dy_dx = sen(3x) e y(0) = 1 d) dy_dx = _x12 ey(1) = 1 e)

dy dx =x+

1 √

x e y(1) = 0 f) dy dx =

1 x +

1

x2 ey(1) = 1

11. Uma part´ıcula desloca-se sobre o eixo OX com posi¸c˜ao x = x(t), t _≥ 0. Determinar x = x(t), sabendo que:

a) dx

dt = 2t+ 3 e x(0) = 2 b)v(t) =t

2_{−1 ex(0) =−1 (v(t) =} d(x(t)) dt ) c)

d2_x

M´etodo da substitui¸c˜ao

1. Use o m´etodo de Substitui¸c˜ao para calcular as seguintes integrais: a)

Z

e3xdx b)

Z

sen(x

2)dx c)

Z

(sen(3x) +cos(5x))dx

d)

Z

(2e2x+ sen(x

3))dx e)

Z

sen(x) cos(x)dx f)

Z

excos(ex_)dx

g)

Z

x(x2+ 1)5dx h)

Z _x

(1 +x2₎3dx i)

Z √

5x+ 7dx

j)

Z

(2x3+ 1)7x2dx k)

Z

cos(4x)dx l)

Z

xp3 7₋6x2_dx

m)

Z _x2

−1

(x3_{−3x+ 1)}6dx n)

Z _x3

−1

x₋1dx, x6= 1 o)

Z

(x+e3x)dx

p)

Z

cos(x

2)dx q)

Z

(sen(7x)₋cos(10x))dx r)

Z

(√3

x+cos(3x))dx

s)

Z

(2e2x+ sen(x

3))dx t)

Z

(e

x_−e−x

2 )dx u)

Z

(x

3_{+ 3x}2_−9x−2

x₋2 )dx, x6= 2

Integra¸c˜ao por partes

1. Use o m´etodo de integra¸c˜ao por partes para calcular as seguintes integrais: a)

Z

xe−2x_{dx b)}Z _{ln(x)dx c)}Z _{xcos(x)dx d)}Z _xsen(x)dx

e)

Z

xln(x)dx f)

Z

x2ln(x)dx g)

Z _√

xln(x)dx h)

Z

xe−x_dx

i)

Z

xe2xdx j)

Z

excos(x)dx k)

Z

xexdx l)

Z

x2exdx

m)

Z

x2−x_{dx n)}

Z

x2e3xdx o)

Z _ln(x)

Integral definida

1. Determinar as seguintes integrais definidas:

a) 3 Z 1 xdx b) π 2 Z 0

cos(t)dt c)

3 Z

1

(x3−4x 2

+ 1)dx

d)

1 Z

0

x

x2_{+ 1}dx e) 2 Z

1

xe−x2+1

dx f)

2 Z

1

(3x+ 2)2dx

g) 8 Z −1 3 √

x+ 1dx h)

7 Z

2

1

(x+ 3)2dx i)

a

Z

0 p

a2

−x2dx, a >0

j)

3 Z

1

(x2+ 1

x2)dx k) 9 Z

4

t₋3

√

t dt l)

8 Z

−8

(√3s2_{+ 2)ds}

m)

1 Z

0

(x+ 3)dx n)

2 Z

0

(x2+ 3x₋3)dx o)

−1

Z

−2

( 1

x2 +x)dx

p)

2 Z

1

1 +t2

t4 dt q)

π 2 Z − π 3

cos(2x)dx r) π

3 Z

0

(cos(x) + sen(2x))dx

s)

1 Z

−1

x3ex4

dx t)

1 Z 0

(5x3₋1

2)dx u)

2 Z

−1

(x3+ 1)2dx

v)

4 Z 1

5x₋2√x+32

x3 dx w) 10 Z 2 3 √

5x₋1dx x)

π

4 Z 0

1 + sen(2x)

3

cos(2x)dx

2. Determinar λ_∈Rtal que

Z b

a

f(x)dx=f(λ)(b₋a) para as seguintes integrais: a) f(x) =x+ 1, x_∈[0,1] b)f(x) = 2x+ 1, x_∈[0,2]

3. Determine a ´area da regi˜ao limitada pelos gr´aficos das equa¸c˜oesy =x2 e y=√x.

4. Determine a ´area da regi˜ao limitada pelos gr´aficos das equa¸c˜oesy+x2 = 6 e y+ 2x₋3 = 0. 5. Determine a ´area da regi˜ao limitada pelos gr´aficos das equa¸c˜oesy₋x= 6,y₋x3 = 0 e 2y+x= 0. 6. Determine a ´area da regi˜ao limitada pelos gr´aficos das equa¸c˜oes 2y2 _{=x+ 4 e x=y}2_.

7. Determine a ´area da regi˜ao limitada pelos gr´aficos das equa¸c˜oesy =x2 e y= 4x. 8. Determine a ´area da regi˜ao limitada pelos gr´aficos das equa¸c˜oesy =x2+ 1 e y= 5.

9. A regi˜ao delimitada pelo eixo X, pelo gr´afico da equa¸c˜ao y=x2+ 1 e pelas retasx=₋1 ex= 1 gira em torno do eixo X. Determine o volume do s´olido resultante.

10. A regi˜ao delimitada pelo eixo X e pelos gr´aficos de y =x3, y = 1 e y = 8 gira em torno do eixo Y. Determine o volume do s´olido resultante.

11. A regi˜ao delimitada pelos gr´aficos das equa¸c˜oesx2=y₋2 e 2y₋x₋2 = 0 e pelas retas verticais x= 0 e x= 1, gira em torno do eixo X. Determine o volume do s´olido resultante.

12. Determine o volume do s´olido gerado pela revolu¸c˜ao da regi˜ao em torno do eixo X delimitada pelas retas y=x,y= 0 ex= 4.

13. Determinar o volume do s´olido de revolu¸c˜ao gerado pela rota¸c˜ao da regi˜ao delimitada pelas retas y= 1₄x2,x= 1,x= 4 em torno do eixo X.

14. Calcular a ´area da superf´ıcie de revolu¸c˜ao obtido pela rota¸c˜ao da curva y = √x, x _∈ [1,4], em torno do eixo X.

15. Calcular a ´area de superf´ıcie gerada pela rota¸c˜ao do arco de curva dado, em torno do eixo dado. a) y= 2x3,0_≤x_≤2, eixoX b)y=√4x,0_≤x_≤1, eixoX

Exerc´ıcios de aprofundamento

1. Confira as seguintes propriedades de somas finitas: a)

n

X

i=1

c=nc, c_∈R b) n

X

i=1

i= n(n+ 1)

2 c)

n

X

i=1

i2 = n(n+ 1)(2n+ 1)

6 d)

n

X

i=1 i3 =

n(n+ 1) 2

2

Integral Impr´opria

1. Determine se a integral converge ou diverge; se convergir ache seu valor. a)

∞

Z

2 1

(x₋1)2dx b) ∞

Z

2 1

x₋1dx c) ∞

Z

0 1

1 +x2dx d) ∞

Z

1 1 x43

dx

e) ∞

Z

−1 1 x34

dx f)

∞

Z

0 xe−x2

dx g)

Z 1

−∞

exdx h)

Z +_∞

−∞ xe−x2

dx= 0, considere a= 0

Equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias(EDO)

1. D´e a ordem da EDO e verifique se a fun¸c˜ao dada ´e solu¸c˜ao (A e B s˜ao constantes arbitr´arias): a) y′ _{=y, y=e}x _b)y′_=y,y=Aex _c)y′ _=y,y=ln(x)

d)y′′_{−y= 0, y=e}−x _e)y′′_{−y = 0,y=Ae}−x_+Bex _f)y′_−4x3_y2_{= 0, y=−x}− g) 2x2_y′′_{+ 3xy}′_{−y= 0,y=}√_{x, x >0 h)x}3_y′′′_+x2_y′′_{−1 = 0,y=ln(x)}

2. Determine as solu¸c˜oes das seguintes EDO’s:

a) y′ _{= 2x b)y}′ _{= 3x}2 _c)y′ _{= sen(x) d)y}′₌ 1

1+x2 e)y′ =ex

3. Determine as solu¸c˜oes das EDO (EL de 1ra ordem) a seguir:

a) y′ _{= 2xy+x b)y}′_+y=xex _c)y′ _=−y+x3 _d)xy′_{−2y=−x e) xy}′_{−y= (x−1)e}x 4. Determine as solu¸c˜oes n˜ao constantes das EDO (V.S.) a seguir:

a) y′ _{=y b)y}′_{=−2xy c)y}′_{=y−3 d)y}′ ₌₋ x

3y2 e)eyy′ = 2x

f)y′ _{= (4x}3_{+ 1)y}2 _{g) y}′_{= 4x}3_y2 _h)y′₌₋1

3exy4 i) y′ =−31ex(y−2)4 j) y′= 4x 3 3y2

8. Resolver a equa¸c˜ao diferˆencial exata: 2x+y2+ 2xyy′ _{= 0.} 9. Determine as solu¸c˜oes das EDO (E.E.) a seguir:

a) (x+ 2y)y′_{= 2x−y b) 3x}2_{y−6x+ (x}3_{+ 2y)y}′_{= 0}

[1] Flemming, D. M., Gon¸calves, M. B.: C´alculo A: Fun¸c˜oes, Limite, Deriva¸c˜ao e Integra¸c˜ao. 6a

Edi¸c˜ao Ampliada. Pearson Prentice Hall, 2006.

[2] Hazzan, S; Morettin, P; Bussab, W.: Introdu¸c˜ao ao C´alculo para Administra¸c˜ao, Economia. Saraiva, 2009.

[3] Leithold, L.: O C´alculo com Geometria Anal´ıtica. Volume I e II, Ed. Harbra, 1994.

[4] Swokowski, E. W.: C´alculo com Geometria Anal´ıtica. Volume I e II, Ed. Makron Books, 1995.

[5] Guidorizzi, H. L.: Um Curso de C´alculo. Volume I, Ed. LTC, 2000.

[6] Boulos, P.: C´alculo Diferencial e Integral. Volume I e II, Ed Makron Books 1999.

[7] Silva, E. M.; Silva, E. M.; Silva, S. M.: Matem´atica B´asica para Cursos Superiores. Ed. Atlas 2002.

[8] Stewart, J.: C´alculo. Volume I, Ed Pioneira/Thomson Learning, 2005.