+ 6(p + 6)x – 5(p + 6) (– 5 + 6p + 36)x + q – 5p – 30Resto. – 5x + q – (p + 6)x + 6x – 5xx + (p + 6) (p + 6)x x + px + 0x + qx – 6x + 5– x  a...xaxa)x(P

COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III 3ª SÉRIE – MATEMÁTICA I – PROF. WALTER TADEU

www.professorwaltertadeu.mat.br Polinômios e Operações – (CP2 – Campus Realengo II) - 2013 - GABARITO

1. O resto da divisão de P(x) = ax³ – 2x + 1 por Q(x) = x – 3 é 4. Nessas condições, o valor de a é:

a) 1/3 b) 1/2 c) 2/3 d) 3/2 e) 7 Solução. Pelo teorema do resto, P(3) = 4. Substituindo, temos:

3 1 27 a 9 9a 27 41 6a 4) 27

3(P

1)3 .(2 )3(a

)3(P











 

 









.

2. A divisão do polinômio p(x) = x⁵ – 2x⁴ – x + m por q(x) = x – 1 é exata. O valor de m é:

a) – 2 b) – 1 c) 0 d) 1 e) 2 Solução. Pelo teorema do resto, P(1) = 0, pois a divisão é exata. Substituindo, temos:

2 m 0 m 2 0 m 12 0) 1

1(P

m) 1(

)1.(2 )1(

)1(P















 

 











3. Sejam P(x) = 2x³ – 2x² – x + 1 e Q(x) = x – a dois polinômios com valores de x em IR. Um valor de a para que o polinômio P(x) seja divisível por Q(x) é:

a) 1 b) – 2 c) – 1/2 d) 2 e) 3

Solução. Dado um polinômio 0

1 n 1 n n

nx a x ... a

a ) x (

P   _ ^   , se a soma dos coeficientes for nula, então P(1) é raiz e P(x) é divisível por (x – 1).

Basta ver que P(1)a_n(1)ⁿa_n1(1)^n1...a₀ a_na_n1...a₀.

Se P(1) = 0, então a soma dos coeficientes será nula. No caso da questão, temos:

0 1 1 2 2 1 ) 1 ( ) 1 .(

2 ) 1 .(

2 ) 1 (

P  ³  ²        . Logo, um valor para a será 1.

4. Se o polinômio x³ + px² + q é divisível pelo polinômio x² – 6x + 5, então p + q vale:

a) – 1 b) 3 c) 5 d) – 4 e) 10 Solução 1. Efetuando a divisão e igualando o resto à zero, temos:

x³ + px² + 0x + q x² – 6x + 5

– x³ + 6x² – 5x x + (p + 6)

(p + 6)x² – 5x + q

– (p + 6)x² + 6(p + 6)x – 5(p + 6)

(– 5 + 6p + 36)x + q – 5p – 30 Resto.

Resto = 0.

1

6 6 6 25 6 q 31 p 6 25 6

180 30 155

6 .5 31 q 0 30 p5 q)ii

6 p 31 31 p6 0 36 p6 5 )i













 



 



 

 

 

 

 



























.

Solução 2. Observe que x² – 6x + 5 = (x – 1).(x – 5). Logo, x³ + px² + q é divisível por x – 1 e x – 5.

Pelo teorema do resto, vem: (1)³ p(1)² q01pq0pq1.

5. Um polinômio é tal que P(1) = 4. O quociente da divisão de P(x) por (x – 1) é dividido por (x – 2) e obtém-se resto 3. Qual o resto da divisão de P(x) por (x – 1).(x – 2)?

Solução. Considere q(x) o quociente de P(x) por (x – 1). Temos: P(x) = (x – 1).q(x) + r.

Como P(1) = 4, r = 4. Na divisão de q(x) por (x – 2), temos resto 3. Logo, q(x) = (x – 2).q’(x) + 3.

Substituindo em P(x), vem: P(x) = (x – 1).[ (x – 2).q’(x) + 3] + 4 = (x – 1).(x – 2).q’(x) + 3. (x – 1) + 4.

P(x) = (x – 1). x – 2).q’(x) + 3x – 3 + 4 => P(x) = (x – 1).(x – 2).q’(x) + 3x + 1. Resto = 3x + 1.

6. Qual o valor de m para que o polinômio x³ + 2x² – 3x + m ao ser dividido por x + 1, deixe resto 3?

Solução 1. Pelo teorema do resto, P(– 1) deve ser igual a 3. Substituindo, temos:

1 43 m 3 m 4 3 m 32 3) 1

1(P

m) 1(3 )1.(

2 )1(

)1(

P















 

 















Solução 2. Utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini, temos:

– 1 1 2 – 3 m 1 1 – 4 4 + m

Como o resto deve ser 3, temos: 4 + m = 3 => m = 3 – 4 = – 1.

7. Calcular a, b e c para que os polinômios P(x) = (a – 1)x³ + bx + c – 3 e Q(x) = x³ + (2 – b)x + 5 sejam idênticos.

Solução. Polinômios idênticos são os polinômios onde os coeficientes dos termos de mesmo grau são iguais.

8c;1b

;2a 853 c53 c

1b2 b2b2 b

211 a 53c x2b 11a )x(Q)x(

P  

 

 













 



 











8. (PUC) Estudar o grau do polinômio P(x) na indeterminada x por:

P(x) = (2a² + a – 3)x³ + (a² – 1)x² + (a + 1)x – 3, (a  IR).

Solução. Analisando os caso, temos:

i) Para que o grau de P(x) seja 3, o coeficiente do termo x³ deverá ser diferente de zero.



 









 

 





 







 









2 3 4 a 6

1 a 4

5 1 4

24 1 1 )2

.(2

)3 ).(

2.(

4 )1(

a 1 0 3 a a2

2 2 1

2 .

Logo, P(x) é de grau 3, se

2 a 3 e 1

a  .

ii) Para que o grau de P(x) seja 2, o coeficiente do termo x² deverá ser diferente de zero e o coeficiente de x³ deverá ser nulo: a² 10(a1).(a1)0a1ea1.

Como é necessário que o coeficiente de x³ seja nulo, se

3

a2 , P(x) será de grau 2.

iii) Para que o grau de P(x) seja 1, o coeficiente do termo x deverá ser diferente de zero e os coeficiente de x² e de x³ deverão ser nulos: a10a1. Logo a = 1, anula os termos de 2º e 3º graus, ficando P(x) com grau 1.

9. (PUC) Os valores das constantes reais a e b para os quais

3 x

b 2 x

a 6 x 5 x

1

2  

 



 , x ≠ 2 e x ≠ 3,

são tais que o produto a.b vale:

a) – 2 b) – 1 c) 0 d) 1 e) 2 Solução. Como x² – 5x + 6 = (x – 2).(x – 3), igualando os denominadores, temos:

1 )1 ).(

1 ( )b.

a(

oduto Pr .a b a, Logo

1 b 1 b2 b3 1 b2 )b 1 (3

b2 a3

b a 0 b a 6 x5 x

1 x0 6

x5 x

b2 a3 x) b a(

6 x5 x

b2 bx a3 ax 6 x5 x

1 6

x5 x

)2 x(

b )3 x(

a 6 x5 x

1

2 2

2 2

2 2





























 

 













 





 









 

 







 



 









 





.

10. Utilizando o algoritmo da divisão, efetue:

a) [D(x) = 4x⁵ – 2x³ + x² + 2] ÷ [d(x) = 2x³ + 1] b) [D(x) = 2x³ – 3x² + 1] ÷ [d(x) = x² – x + 2]

Solução. Utilizando o método da Chave, temos:

a) Completando com o coeficiente zero os termos inexistentes, temos:

4x⁵ + 0x⁴ – 2x³ + x² + 0x +2 2x³+ 0x² + 0x + 1 – 4x⁵ – 0x⁴ – 0x³ – 2x² 2x² – 1

– 2x³ – x² + 0x + 2 2x³ + 0x² + 0x + 1 – x² + 0x + 3

Q(x) = 2x² – 1 ; Resto = – x² + 3 .

b) Completando com o coeficiente zero os termos inexistentes, temos:

2x³ – 3x² + 0x + 1 x² – x + 2 –2x³ + 2x² – 4x 2x – 1 – x² – 4x + 1

– x² – x + 2 – 5x + 3

Q(x) = 2x – 1; Resto = – 5x + 3.

11. (CESGRANRIO) O polinômio x³ + px + q é divisível por x² + 2x + 5. Os valores de p e q são respectivamente:

a) 2 e 5 b) 5 e 2 c) 1 e 5 d) 1 e -10 e) 3 e 6 Solução. Efetuando a divisão e igualando o resto à zero, temos:

x³ + 0x² + px + q x² + 2x + 5

– x³ – 2x² – 5x x – 2 – 2x² + (p – 5)x + q

2x² + 4x + 10

(p – 5 + 4)x + q + 10 Resto.

Resto = 0.

 





























10 q 0 10 q )ii

1 p 0 1 p 0 4 5 p) i

.

12. Determine o polinômio P(x) que satisfaz à igualdade (3x + 2).P(x) = 3x³ + x² - 6x - 2 + P(x) Solução. Resolvendo, temos:

1 x 3

2 x 6 x x ) 3 x ( P 2 x 6 x x 3 ) 1 x 3 ).(

x ( P 2 x 6 x x 3 ) 1 2 x 3 ).(

x ( P

2 x 6 x x 3 ) x ( P ) x ( P ).

2 x 3 ( ) x ( P 2 x 6 x x 3 ) x ( P ).

2 x 3 (

2 3 2

3 2

3

2 3 2

3







 

























































.

Efetuando a divisão, temos:

3x³ + x² – 6x – 2 3x + 1 – 3x³ – x² x² – 2 – 6x – 2

6x + 2

0 Resto.

O polinômio é P(x) = x² – 2.

13. (PUC) O resto da divisão do polinômio P(x) = x⁴ - 2x³ + x² - x + 1 por x + 1 é igual a : a) 3 b) 4 c) 7 d) 5 e) 6 Solução. Utilizando o teorema do resto, temos:

6 1 1 1 2 1 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 .(

2 ) 1 ( ) 1 ( P sto

Re     ⁴   ³   ²          .

14. (IBMEC) O resto da divisão de um polinômio P(x) por (x – 2)² é 3x + 7. Assim, o resto da divisão de P(x) por x – 2 é igual a:

a) 22 b) 19 c) 16 d) 15 e) 13 Solução. Expressando P(x), temos:

P(x) = (x – 2)².q(x) + 3x + 7 = (x – 2).[(x – 2).q(x)] + 3x + 7. Considerando q’(x) = [(x – 2).q(x)], temos:

P(x) = (x – 2).q’(x) + 3x + 7. Pelo teorema do resto, calculamos P(2).

Resto da divisão de P(x) por (x – 2) = P(2) = (2 – 2).q’(2) + 3.(2) + 7 = 0 + 6 + 7 = 13. Logo, resto = 13.

15) Um polinômio P(x) quando dividido por x + 2 deixa resto 5, quando dividido por x - 2 deixa resto 13 e quando dividido por x² - 4 deixa um resto R(x). Encontre o valor de R(x) no ponto x = 1.

Solução. Quando dividimos P(x) por x² – 4 (grau 2), o resto poderá ser constante ou de grau 1.

Logo, representamos o resto como R(x) = ax + b. Temos:

i) Se P(x) deixou resto 5 na divisão por (x + 2), então P(– 2) = 5.

ii) Se P(x) deixou resto 13 na divisão por (x – 2), então P(2) = 13.

Expressando a divisão de P(x) por x² – 4, temos:

   

 

11 92 9)1 (2) 1(R 9x 2) x(R) ii

2a 4a 2 13 9a 2 Logo 2 .9 b 18

18 13 b2 ba 2

5b a2 13

ba 13 2

)2(P

ba 2b )2(a )2(q.

4 2) 2(P

5b 5) a2

2(P

ba 2 b) 2(a )2(

q.4 )2(

)2(

P )i

b ax )x(q.

4 x) x(P

2 2 2

































 

 





 

 



 







 

 















 

 

























.

R(x) no ponto x = 1 vale R(1) = 11.