Erlon Cristian Finardi UFSC

(1)

ξξξξ

UFSC/CTC/EEL/LabPlan, Campus Universitário, Trindade, CEP – 88040-900, Florianópolis, SC.

RESUMO

Este artigo tem por objetivo descrever a representação das unidades hidráulicas no problema de comissiona- mento de unidades geradoras de sistemas hidrotérmi- cos. A atenção é concentrada na modelagem do con- junto turbina-gerador mediante a apresentação de suas características operativas e a representação das mesmas no problema. Além disso, é apresentado um algoritmo que determina o número ótimo de unidades para uma usina hidrelétrica quando é fornecida uma meta hidráu- lica para a mesma.

PALAVRAS-CHAVE: Função de Produção das Uni- dades Hidráulicas, Comissionamento de Unidades Ge- radoras, Branch and Bound, Gradiente Projetado.

1.0 - INTRODUÇÃO

Um problema enfrentado pelos planejadores da opera- ção de um sistema de energia elétrica consiste na defi- nição, para um período de operação, de quais unidades deverão operar, com os respectivos despachos, de modo a se minimizar o custo total de produção ao lon- go desse período. Esse problema é denominado de Comissionamento de Unidades Geradoras (CUG), cuja tarefa de resolução é um tanto complexa, uma vez que trata-se de problema de natureza combinatorial, não- linear e de grande porte. A forte predominância hi- dráulica do sistema brasileiro requer cuidados na for- mulação e solução desse problema, sob pena de se in- correr na perda da otimização do sistema.

De modo a evitar essa perda de eficiência é necessário considerar as características operativas individuais das unidades hidráulicas, tais como uma modelagem preci- sa da função de produção e das curvas de desempenho (curvas-colina) das mesmas. A função de produção de

uma unidade hidráulica depende da altura de queda e da sua vazão turbinada. Por sua vez, a altura de queda é função não-linear do volume e da vazão defluente da usina. A curva-colina de uma unidade hidráulica ca- racteriza o inter-relacionamento entre vazão turbinada, queda líquida e rendimento e sua representação é de fundamental importância para que sejam utilizados os recursos hidráulicos da melhor maneira possível. Além dos aspectos relacionados ao desempenho, outros fato- res precisam ser considerados na formulação tais como as chamadas zonas proibidas de geração. A presença de tais zonas exige que o modelo de CUG indique a zona mais adequada de operação para cada unidade. Devido ao grande número de unidades hidráulicas de nosso sistema, a consideração de zonas proibidas aumenta significativamente o espaço de estados a ser avaliado, exigindo um tratamento que seja viável computacio- nalmente e ao mesmo tempo não cause perda de quali- dade dos resultados.

Neste artigo é apresentado um algoritmo que, a partir de uma meta hidráulica fornecida (volume médio, va- zão vertida e turbinada) para cada usina do sistema, em cada período, determina a combinação ótima de unida- des (e zonas operativas) de tal forma que a potência produzida em cada usina seja a máxima possível. A proposta consiste da seguinte estratégia: inicialmente determina-se as combinações viáveis que atendem a meta fornecida, resolvida através de um algoritmo ba- seado na técnica de Branch and Bound [1]. Após, utili- za-se um algoritmo de Programação Não-Linear (PNL) [2-3] para resolver os problemas resultantes, determi- nando-se assim, qual a combinação que maximiza a potência da usina, para cada período.

GRUPO IX

GRUPO DE ESTUDOS DE OPERAÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS

COMISSIONAMENTO DE UNIDADES HIDRÁULICAS NO PROBLEMA DA PROGRAMAÇÃO ENERGÉTICA

ξξξξ

Edson Luiz da Silva UFSC

ξξξξ

Erlon Cristian Finardi UFSC

Maria Elvira P. Macedo

CEPEL

(2)

Neste último problema, o rendimento das unidades ge- radoras é modelado por uma função quadrática da va- zão turbinada e da queda líquida na unidade.

O artigo está estruturado da seguinte maneira: o pro- blema do CUG é formulado na próxima seção. A mo- delagem hidráulica utilizada é apresentada na Seção 3.

A Seção 4 apresenta a estratégia de solução proposta para o problema. Finalizando, na Seção 5 são apresen- tadas as conclusões.

2.0 PROBLEMA DE CUG

No sistema brasileiro, a etapa da Programação da Ope- ração Eletroenergética (POE) é a responsável pela so- lução do problema de CUG. Esta parte é integrante da cadeia de modelos utilizada para a otimização centrali- zada do sistema pelo ONS [4,5]. De forma simplifica- da, a formulação do problema da POE é dada por:

) ( ) (

min f

_T

u , GT + f

_H

GH (1)

:

s.a. u GT GH D

J j

t jt zt

Z z

zt

∑

∈ ∈

=

+ (2)

u GT GH D R

J j

t t max j max

z Z z

zt

∑

∈ ∈

+

≥

+ (3)

Restrições das usinas termelétricas:

• limites de geração;

• minímos uptime e downtime;

• restrições de rampa.

(4)

Restrições das usinas hidrelétricas:

• conservação da água nos reservatórios;

• limites de turbinamento e vertimento;

• limites de defluência;

• aproximação linear por partes da função de custo futuro.

(5)

onde:

f

_T

é a função que representa o custo operativo das termelétricas;

f

_H

é a função de custo futuro. Esta função é forneci- da pelo modelo de curto-prazo [5] da operação energética e é acoplada POE no último estágio de planejamento;

Z é o total de usinas termelétricas;

J é o total de usinas hidrelétricas;

T é o horizonte de planejamento;

GT

_zt

é a geração da termelétrica z no estágio t;

u

_zt

é uma variável binária que indica se a termelétri- ca z está on ou off no estágio t;

GH

_jt

é a geração da hidrelétrica j no estágio t;

D

_t

é a demanda de energia no estágio t;

R

_t

é a reserva de energia no estágio t.

Uma abordagem mais detalhada da formulação da POE pode ser encontrada em [6]. No caso brasileiro algumas simplificações são utilizadas para reduzir o esforço

computacional do problema, com destaque para as usi- nas hidrelétricas cujas funções de produção são repre- sentadas por funções lineares para a usina como um todo. Portanto, além da representação simplificada da produção de energia tem-se como resultados apenas os níveis de geração ótimo por usina, isto é, a modelagem não fornece quais unidades hidráulicas devem estar operando e quais seus respectivos níveis de geração.

Assim, o objetivo do presente trabalho consiste em re- alizar essa tarefa, para cada usina hidrelétrica, levando- se em consideração uma modelagem mais realista para as funções de produção das unidades hidráulicas e con- siderando também as diversas restrições do conjunto turbina-gerador, tais como a representação das curvas- colinas e zonas proibidas de geração, não representadas pelo modelo linear.

3.0 MODELAGEM DO CONJUNTO TURBINA- GERADOR

O processo de produção de energia elétrica, em uma usina hidrelétrica, pode ser encarado de forma simplifi- cada como a transformação da energia potencial da água, através do conjunto turbina-gerador:

g t i

i

Ep

E = ⋅ η ⋅ η (6)

onde:

E

_i

é a energia produzida pelo i-ésimo gerador ao longo de um período ∆ t;

Ep

_i

é a energia potencial da massa d’água que aciona a turbina acoplada ao i-ésimo gerador durante ∆t;

η

t

é o rendimento médio da turbina do i-ésimo gera- dor ao longo de ∆t;

η

g

é o rendimento médio do i-ésimo gerador ao lon- go de ∆t.

Dado que, para o caso de usinas hidrelétricas, energia potencial é o produto da massa d’água pela aceleração da gravidade e pela altura de queda líquida, hl

_i

, a Equação (6) pode ser reescrita como:

g t i i

i

, q t hl

E = 9 81 ⋅ 10

⁻³

⋅ ( ⋅ ∆ ) ⋅ ⋅ η ⋅ η (7) onde:

(q

_i

⋅∆t) é o volume da água correspondente à vazão turbinada, q

_i

, associado à i-ésima turbina du- rante o intervalo de tempo considerado ∆t;

Como P = dE/dt:

i i g t

i

, hl q

p = 9 81 ⋅ 10

⁻³

⋅ η ⋅ η ⋅ ⋅ (8)

onde:

p

i

é a potência ativa do i-ésimo gerador, em MW;

q

_i

é a vazão turbinada pela turbina i durante ∆t.

A fim de se avaliar de forma mais detalhada a influên-

cia de cada variável sobre a potência de saída da uni-

dade, descreve-se a seguir, uma análise das mesmas.

(3)

3.1 Altura de queda líquida

Define-se como altura de queda bruta, h

_b

, de uma usi- na, a diferença entre as cotas dos níveis de montante e de jusante. Matematicamente:

) ( )

( x fcj q , s fcm

h

_b

=

_med

− (9)

onde:

fcm é a Função de Cota de Montante da usina, a qual expressa a relação entre a cota de montante da usina e o volume armazenado no reservatório. Em termos gerais, essa função é representada por um polinômio de quarta ordem. x

_med

representa o volume associado à cota média para o intervalo

∆t. Considerando que o reservatório esteja com um armazenamento de x

_med

hm

³

, o valor do nível de montante (em metros) é dado por:

4 4 1

)

0

( x

_med

A A x

_med

... A x

_med

fcm = + + + ⁽¹⁰⁾

A

₀

,...,A

₄

são constantes.

fcj é a Função de Cota de Jusante da usina. Esta fun- ção relaciona o valor da cota de jusante da usina e a vazão defluente (vazão turbinada total na usina, q, mais o vertimento, s). Assim como no caso montante, a cota de jusante em sua maioria, é re- presentada por um polinômio de ordem quatro.

4 4 1

0

( ) ( )

)

( s , q B B s q ... B s q

fcj = + + + + + ⁽¹¹⁾

B

₀

,...,B

₄

são constantes.

Define-se como altura de queda líquida de uma usina a diferença entre a altura de queda bruta menos as perdas associadas à trajetória da água entre as cotas de mon- tante e de jusante. Em estudos de operação energética consegue-se uma boa aproximação assumindo que tais perdas se restringem àquelas relacionadas com as per- das nos condutos forçados (perdas hidráulicas). As perdas hidráulicas podem ser modeladas por uma fun- ção proporcional ao quadrado da vazão turbinada na unidade geradora e/ou na usina. Matematicamente, são aproximadas por:

2 2 i i usina h

i

k q k q

p = ⋅ + ⋅ (12)

onde:

p

_i^h

é a perda hidráulica nos condutos forçados da i- ésima unidade geradora, em metros;

k

_usina

constante característica do conduto forçado da usina (comum a todas as unidades), em s

²

/m

⁵

; k

_i

é a constante característica do conduto forçado da

i-ésima unidade (adutores individuais das unida- des), em s

²

/m

⁵

.

Assim, a altura de queda líquida, é dada por:

)

(

_i

h i

i

hb p q , q

hl = − ⁽¹³⁾

3.2 Rendimento do grupo turbina-gerador

Define-se como rendimento do grupo turbina-gerador ( η ), o produto dos rendimentos da turbina e do gerador,

η

t

. η

g

. Para uma operação realista que considere o ren- dimento de uma turbina hidráulica, deve-se levar em consideração o inter-relacionamento das seguintes va- riáveis: a altura de queda líquida e a sua vazão turbina- da. Esse inter-relacionamento é bastante complexo, sendo expresso através das curvas de desempenho da turbina (curvas-colina). O rendimento é assim dado pela localização na curva-colina, definido pelo par altu- ra líquida e vazão turbinada. Sua função pode ser mo- delada por uma quadrática dada por:

2 5 2 4 3

2 1

0 i i i i i i

i

= ρ + ρ hl + ρ q + ρ hl q + ρ hl + ρ q

η ⁽¹⁴⁾

ρ

0,

ρ

1,

ρ

2,

ρ

3,

ρ

4

e ρ

5

são constantes.

Outras características operativas podem ser obtidas das curvas-colina. Exemplificando, cada turbina tem um limite superior (e inferior) de potência causado por li- mitações mecânicas de engolimento, que depende da altura de queda líquida na qual a turbina esteja subme- tida. Já os geradores possuem limites superiores fixos, ditados pela potência de saída. Além disso, deve-se atentar para o fato que uma diminuição (ou até mesmo elevação) na vazão turbinada, além de certos limites, pode conduzir à ocorrência do fenômeno de cavitação e, em certos casos, vibrações mecânicas de graves con- seqüências para a turbina. Estes fenômenos estão liga- dos às chamadas zonas proibidas de geração, nas quais a turbina não pode ser operada devido ao comprometi- mento do funcionamento da mesma. Assim, além de se considerar o comportamento do rendimento, explicita- do pelas curvas de desempenho das turbinas, faz-se ne- cessário também, representar no problema de CUG, as restrições relacionadas com as zonas proibidas de gera- ção.

4.0 COMISSIONAMENTO HIDRÁULICO

O objetivo do problema de CUG hidráulicas consiste em determinar a alocação ótima das unidades de uma usina hidrelétrica para uma meta volumétrica (volume, vazão turbinada e vertimento) fornecida. Matematica- mente, isso pode ser representado por:

∑ ∑

∈ ∈

=

I

i k K

ik i

*

h

p u

P max (15)

∑ ∑

∈ ∈

=

I

i k K

ik

i

u q

q :

s.t. (16)

∑ ∑

∑

∈ ∈ ∈

≤

K

k k K

ik ik ik i K k

ik

u

ik

p u P u

P (17)

r P u p r P

K k

ik I

i

i ≤ +

≤

+

∑ ∑

∈

(18)

onde:

( )

∑ ∑

∈ ∈ 









 ∈







= 

I i

ik K

k

ik min P k K

u

P ;

( )

∑ ∑

∈ ∈ 









  ∈









= 

I i

ik J

j

ij max P k K

u

P ;

(4)

Na fomulação, u

_ik

é uma variável binária que indica se a unidade i está ou não comissionada em sua k-ésima faixa operativa. A Restrição (16) corresponde ao aten- dimento da vazão turbinada meta, q, para a usina. A Restrição (17) apresenta os limites operativos para cada unidade i quando a mesma opera na sua faixa k.

Finalizando, (18) representa a restrição de reserva gi- rante estabelecida para tomada e redução de potência pela usina.

Algumas considerações se fazem necessárias no tocante ao Problema (15)-(18). Uma vez fornecida a meta hi- dráulica para a usina, pode-se calcular a altura de que- da bruta, h

_b

. Com isso hl

_i

pode ser descrita como fun- ção apenas de q

_i

. A função η

i

de cada unidade também pode ser expressa em função apenas de q

_i

, dado que hl

_i

depende apenas desse parâmetro. Portanto, como η

i

e hl

_i

são funções apenas de q

_i

, é possível expressar p

_i

como função apenas da sua própria vazão turbinada.

Substituindo as expressões de η

i

e de hl

_i

como funções de q

_i

em (8) obtém-se a expressão final de p

_i

para a i- ésima unidade:

7 6 6 5 2

1

0i i i i i i i i

i

p q p q ... p q p q

p = + + + + ⁽¹⁹⁾

p

_0i

,...,p

_6i

são constantes para uma dada meta.

Neste artigo é adotada a seguinte estratégia:

• inicialmente são determinadas as combinações viáveis para o atendimento da meta hidráulica fornecida através de um algoritmo baseado no método de Branch and Bound;

• após serem eliminadas as combinações inviáveis, os problemas de PNL são resolvidos para deter- minar quais unidades (e quais faixas operativas) devem ser comissionadas de tal forma que a po- tência da usina seja a máxima possível.

4.1 Determinação das combinações viáveis

Dado que uma usina com n unidades (distintas), cada uma com k faixas operativas, tem-se que o espaço de estados do problema é dado por (k+1)

ⁿ

. Quando o es- paço de estados é reduzido, uma simples enumeração das combinações pode ser utilizada para encontrar as soluções viáveis. Contudo com o crescimento do núme- ro de unidades, o espaço de estados cresce exponenci- almente. Considerando duas faixas operativas por uni- dade geradora, tem-se para:

1 unidade ⇔ 3

¹

= 3 estados;

2 unidades ⇔ 3

²

= 9 estados;

20 unidades ⇔ 3

²⁰

= 3,487⋅10

⁹

estados.

Desta forma faz-se necessário utilizar uma técnica que possa buscar as soluções viáveis dentro do espaço de estados, sem que seja necessária fazer uma enumeração explícita dos estados do problema. Uma metodologia amplamente utilizada neste tipo de problema é a técni- ca de Branch-and-Bound, a qual possibilita que um grande número de estados possa ser excluído da inves-

tigação enumerativa, sem que seja necessário examinar as possíveis soluções relativas à esses estados. Assim, é proposto um algoritmo de solução baseado na técnica de Branch-and-Bound. Para tanto, desenvolveremos o algoritmo com apoio de um exemplo ilustrativo. Con- sidere a Tabela 1, mostrada a seguir. Além disso, con- sidere que seja fornecida uma vazão meta, q, de 1000 m

³

/s. O objetivo consiste em determinar quais unidades (e as respectivas faixas) são viávies para o atendimento da vazão q.

TABELA 1 – CARACTERÍSTICAS DAS UNIDADES.

Zona 1 (m

³

/s) Zona 2 (m

³

/s)

Mín Máx Mín Máx

1 180 480 0 100

2 220 400 0 80

3 150 330 0 50

Deve-se notar que os valores apresentados na Tabela 1 são de vazões turbinadas e não de potência, conforme mostrado em (17). Entretanto, associado à potência máxima (mínima) da unidade, numa determinada altura de queda, tem-se um engolimento máximo (mínimo).

Desta forma, é possível transformar as restrições (17) em restrições lineares do tipo caixa:

i i

i

q q

q ≤ ≤ (20)

Essa transformação da natureza das restrições é possí- vel através da solução das seguintes equações, para cada faixa operativa da i-ésima unidade:

0 )

(

_i

=

₀_i _i

+ +

₅_i _i⁶

+

₆_i _i⁷

−

_ik

=

i

q p q ... p q p q P

p (21)

0 )

(

i

=

₀i i

+ +

₅i i⁶

+

₆i i⁷

−

^ik

=

i

q p q ... p q p q P

p (22)

Assim, com técnicas iterativas de cálculo de raízes de polinômios pode-se determinar facilmente os valores limites de vazão para cada zona operativa em questão.

O problema representado na Tabela 1 tem um total de 3

³

=27 estados. Entretanto, para uma meta q prevista, nem todas as combinações são viáveis. Uma combina- ção viável é aquela que apresenta um número de uni- dades, tal que é respeitada a seguinte restrição:

p max p

min

q q

q ≤ ≤ (23)

q

_max^p

e q

_min^p

representam os engolimentos máximo mí- nimo da usina para a combinação p.

Inicialmente selecionaremos a unidade com maior en-

golimento da usina, q

_max

, que no caso é 480 m

³

/s da

Unidade 1. Agora selecionaremos a unidade com en-

golimento máximo imediatamente inferior a q

_max

, que

no caso é a Unidade 2, com 400 m

³

/s. A primeira rami-

ficação, do Branch and Bound proposto, acontece a

partir da Unidade 1; isto é, tem-se três ramos, cada um

correspondendo a um estado operativo da unidade (não

operando, zona 1 e zona 2). Cada um desses ramos,

origina um novo nó, a partir do qual tem-se uma nova

ramificação correspondente aos estados operativos da

(5)

Unidade 2. Supondo que a Unidade 1 esteja desligada, deseja-se calcular o engolimento máximo da usina.

Para tanto, assumiremos que as demais unidades pos- suem engolimentos máximos iguais a 400 m

³

/s, dado que esta unidade é a que possui engolimento máximo imediatamente inferior ao da Unidade 1. Veja que esta hipótese está estimando o engolimento máximo da usi- na para maior; isto é (0+400+400)=800 m

³

/s. Este va- lor corresponde ao limite superior, Z

^upper

, do Nó 2, da Figura 1.

Como a vazão meta de engolimento para a usina é igual 1.000 m

³

/s, verifica-se que qualquer estado da usina onde a unidade 1 esteja desligada é um estado não fac- tível, indicando não ser necessário realizar ramifica- ções a partir do nó 2. O mesmo procedimento é repeti- do para as demais faixas operativas da unidade 1, cujos resultados são apresentados na mesma figura. Portanto, tem-se apenas uma ramificação viável, a qual é origi- nada da unidade 1 operando na faixa 1, o que possibi- lita reduzir o espaço de busca sem examinar os estados que contêm os nós 2 e 4 da figura. Procedimento se- melhante se aplica para a avaliação do limite inferior, Z

^lower

, de cada nó.

q

₁₀

q

₁₁

q

₁₂

1

Z^upper= 800 m³/s Z^lower = 0 m³/s

2 4

3

FIGURA 1 – PRIMEIRA RAMIFICAÇÃO.

A partir do nó 3 realiza-se uma nova ramificação ten- do-se como referência a unidade 2 e assim repetindo a estratégia apresentada até que sejam encontradas as combinações viáveis. Assim, pode-se chegar a conclu- são que a única combinação factível para a vazão meta de 1000 m

³

/s é q

₁₁

-q

₂₁

-q

₃₁

, ou seja, operar as três uni- dades na faixa 1.

4.2 Solução dos problemas viáveis

Uma vez selecionados os estados viáveis, tem-se um conjunto de problemas de Programação Não-Linear (PNL) para determinar qual ou quais deles maximi- za(m) a potência. Neste artigo, a solução é baseada no Método do Gradiente Projetado de Rosen (GPR) [7]. O Método do GPR é conhecido com um Método de Dire- ções Viáveis [8]. A seguinte estratégia é típica deste método. Dado um ponto viável, x

^(k)

, uma direção de busca d

^(k)

é determinada tal que, para λ>0, verifica-se:

(i) x

^(k+1)

=x

^(k)

+λd

^(k)

é viável; e (ii) f(x

^(k+1)

)<f(x

^(k)

). Após d

^(k)

ter sido calculada, resolve-se um problema de oti- mização unidimensional para determinar quanto pode- se avançar em tal direção.

Sabe-se que uma direção de decréscimo de f(x) é a do negativo do gradiente de f(x), -∇f(x). Entretanto, na presença de restrições, o movimento nesta direção pode conduzir para pontos inviáveis. Em essência, o Método do GPR projeta -∇f(x) sobre as restrições ativas do PNL de tal forma que (i) e (ii) são atendidas. Em Baza- raa [9] pode-se encontrar um algoritmo do Método do GPR para solucionar um PNL cujas restrições são line- ares. A forma como o GPR é aplicado ao problema de comissionamento de unidades hidráulicas é ilustrado para o seguinte PNL:

min − ( p

₁

( q

₁

) + p

₂

( q

₂

)) :

s.a. q

₁

+ q

₂

= 700 258 ≤ q

₁

≤ 418 271 ≤ q

₂

≤ 395

266 ≤ ( p

₁

( q

₁

) + p

₂

( q

₂

)) ≤ 304

(24)

Os dados relacionados com a função de produção das unidades são apresentados na Tabela 2.

TABELA 2 – FUNÇÃO DE PRODUÇÃO DAS UNIDADES.

p

_ni

Unid. 1

Unid. 2 p

_3i

-2,428⋅10

^-10

-2,439⋅10

^-10

p

_0i

0,1190

0,1384 p

_4i

2,994⋅10

^-13

3,101⋅10

^-13

p

1i

0,0016

0,0018 p

5i

2,189⋅10

^-18

2,295⋅10

^-18

p

_2i

-2,124⋅10

^-6

-2,523⋅10

^-6

p

_6i

9,515⋅10

^-23

5,544⋅10

^-23

A idéia consiste resolver (24) ignorando-se inicial- mente as restrições de reserva. Uma vez resolvido pro- blema desta maneira, são realizadas as correções ne- cessárias, a fim de encontrar uma solução viável. A Fi- gura 2, a seguir, ilustra a região viável do problema.

Deve-se notar que esta região é sempre determinada sobre a restrição de igualdade, responsável pelo aten- dimento da meta q. A região sobre tal restrição será li- mitada pelas restrições de limites de turbinamento e pelas restrições de reserva.

Na Figura 2 x

⁽⁰⁾

é o ponto inicial viável. Neste ponto

tem-se apenas duas restrições ativas (engolimento má-

ximo da Unidade 1 e a restrição de atendimento a meta

q). A primeira análise a ser feita consiste em verificar

se x

⁽⁰⁾

é um ponto ótimo, ou seja, se atende as condi-

ções de Karush-Kuhn-Tucker (KKT) [9]. É possível

verificar que as mesmas não são atendidas, através do

cálculo dos Multiplicadores de Lagrange em x

⁽⁰⁾

, con-

forme feito em [10].

(6)

q₂

q₁ 395

271

258 418

266 MW

304 MW q₂=700-q₁

) (x⁽⁰⁾

∇f

) 0

d( ) 0

x( )

1

x(

x* ) 1

x(

FIGURA 2 – REGIÃO VIÁVEL - EXEMPLO.

Assim, como x

⁽⁰⁾

não é ótimo, o GPR calcula d

⁽⁰⁾

atra- vés da projeção do gradiente na restrição de igualdade do problema. Feito isso, realiza-se uma otimização unidimensional para determinar o tamanho de passo ótimo λ, que pode ser dado na direção d

⁽⁰⁾

, desconside- rando as restrições de reserva, na qual encontra-se o valor mínimo da função objetivo. Isso nos que fornece, o ponto x* da Figura 2. Neste ponto a potência de saída é de 305,3 MW. Entretanto, pode-se notar que x* é um ponto inviável, pois viola uma restrição de reserva, uma vez que nesse ponto a potência de saída é de 305,3 MW. Assim, deve-se fazer uma nova busca para achar um novo tamanho de passo λ que pode ser dado, de tal forma que nenhuma restrição seja violada.

Isso pode ser feito através de um novo passo cuja res- trição violada se torne ativa, ou seja, encontrar o ponto x

⁽¹⁾

ou x

⁽¹⁾

da Figura 2. Em ambos os pontos pode-se verificar que as condições de KKT são respeitadas, e portanto, ambos são pontos ótimos do problema. A potência ótima de saída é 304 MW podendo ser obtida com x

⁽¹⁾

=(369,795;330;205)

^t

ou x

⁽¹⁾

=(311,985;

318;015)

^t

.

4.3 Estratégia de Solução

Os passos a seguir ilustram de forma esquemática o al- goritmo proposto para o problema do UC hidráulico:

• conhecidos x

_med

, q e s para a usina, calcula-se a altura de queda bruta, h

_b^*

, (a qual já incorpora as perdas hidráulicas comuns a todas as unidades), a partir da expressão:

h

_b^*

= fcm ( x

_med

) − fcj ( q , s ) − k

_usina

q

²

⁽²⁵⁾

• calcula-se para todas as faixas operativas da usina os limites de engolimento associadas as mesmas, conforme (21) e (22);

• determinar o número de unidades factíveis para a meta fornecida, q. Isso é feito de acordo com o exemplo apresentado na Seção 4.1;

• uma vez eliminados os estados inviáveis utiliza-se a metodogia proposta na Seção 4.2 para definir

qual combinação de unidades e faixas operativas maximiza a potência para a meta hidráulica forne- cida.

5.0 CONCLUSÕES

Este artigo apresentou uma proposta para a determina- ção do comissionamento de unidades geradoras hi- dráulicas no problema da programação de operação eletroenergértica utilizada no setor elétrico brasileiro.

A proposta é baseada em uma representação detalhada das funções de produção das unidades hidráulicas e das características operativas individuais das mesmas tais como as restrições relacionadas as zonas proibidas de geração. Tal abordagem se faz necessária uma fez que essas características são fundamentais para definir de forma mais precisa as estratégias operativas no setor elétrico brasileiro.