Nastasha Salame da Silva
Estima¸c˜ ao de Estados Generalizada e An´ alise de Observabilidade Num´erica via M´etodo de Givens
Curitiba
2010
Nastasha Salame da Silva
Estima¸c˜ ao de Estados Generalizada e An´ alise de Observabilidade Num´erica via M´etodo de Givens
Disserta¸c˜ ao apresentada como requisito parcial ` a obten¸c˜ ao do grau de Mestre em Engenharia El´ etrica, Programa de P´ os-Gradua¸c˜ ao em Engenharia El´ etrica - PPGEE, Departamento de Engenharia El´ etrica, Setor de Tecnologia, Universidade Federal do Paran´ a.
Orientadora: Prof
aDr
aElizete Maria Louren¸co Co-orientador: Prof
oDr. Antonio J. A. Sim˜ oes Costa
Curitiba
Fevereiro de 2010
Agradecimentos
Agrade¸co primeiramente a Deus por me dar for¸cas e me guiar durante toda esta jornada. ` A minha m˜ ae por sempre ter acreditado na minha capacidade.
A minha familia, por seu amor, apoio e encorajamento, pela imensa compreens˜ ` ao durantes os per´ıodos de ausˆ encia e de dedica¸c˜ ao ` a escrita deste documento. Vocˆ es s˜ ao a minha alegria e meu porto seguro! Ao David pelo carinho, insentivo e companhia.
A minha professora e orientadora Elizete Maria Louren¸co pelo carinho, com- ` preens˜ ao, dedica¸c˜ ao e ajuda para concluir esta etapa. Ao professor Antonio Sim˜ oes Costa pela imensa paciˆ encia, dedica¸c˜ ao e sugest˜ oes para fazer deste um documento muito melhor. Aos professores Thelma Solange Piazza Fernandes, Jean Vianei Leite e Ariovaldo Verandio Garcia pelas sugest˜ oes e contribui¸c˜ oes feitas em rela¸c˜ ao a este trabalho.
Enfim, agrade¸co a todos que direta ou indiretamente colaboraram para que eu chegasse at´ e aqui.
iii
Resumo
A desregulamenta¸c˜ ao da ind´ ustria energ´ etica aumentou a necessidade da automatiza¸c˜ ao dos procedimentos relacionados ` a an´ alise de opera¸c˜ ao do sistema de potˆ encia. Para tanto, ´ e necess´ ario estabelecer uma base de dados confi´ avel que permita ao operador conhecer as condi¸c˜ oes de opera¸c˜ ao da rede, para que seja poss´ıvel a execu¸c˜ ao confi´ avel da an´ alise da modelagem de opera¸c˜ ao do sistema el´ etrico.
Trabalhos foram desenvolvidos no n´ıvel de se¸c˜ ao de barras, impulsionando a extens˜ ao de m´ etodos tradicionais para a abordagem generalizada da rede. Con- siderando a importˆ ancia do fluxo de potˆ encia para estudos conectados a estima¸c˜ ao de estados generalizada e para algoritmos de chaveamento, o presente trabalho demons- tra a viabilidade da utiliza¸c˜ ao do m´ etodo de Newton-Raphson Desacoplado R´ apido para solucionar o problema estendido de fluxo de potˆ encia, permitindo a consolida¸c˜ ao do m´ etodo de representa¸c˜ ao de ramos chave´ aveis em estudos de fluxo de potˆ encia.
Um sistema s´ o ´ e observ´ avel se possuir um conjunto de medidas adequada- mente distribu´ıdos na rede. Este trabalho aborda o problema de an´ alise de observa- bilidade da rede, apresentando uma nova metodologia de an´ alise de observabilidade puramente num´ erica via m´ etodo de Givens com trˆ es multiplicadores, capaz de identi- ficar a observabilidade ou n˜ ao de uma rede, e detec¸c˜ ao de ilhas observ´ aveis. Os testes realizados para sistemas modelados no n´ıvel barra-ramo demonstram a validade do m´ etodo ortogonal proposto para an´ alise de observabilidade num´ erica, apresentando
iv
v uma incurs˜ ao ` a observabilidade num´ erica no n´ıvel de se¸c˜ ao de barra.
Palavras-chave: Modelagem no N´ıvel de Se¸c˜ ao de Barra, Fluxo de Potˆ encia, M´ etodo
de Givens, Observabilidade Num´ erica.
Abstract
Energy industry deregulation has increased the needed for automation of power system operation analysis procedures. For this it is necessary to establish a reliable database that allows the operator to know the operational conditions of the network, allowng the implementation of reliable power system operation analysis.
Papers were developed at the section bus, driving the extension of traditional methods for the generalized approach of the network. Considering the importance of power flow studies connected to generalized state estimation algorithms and switch- ing, this study demonstrated the feasibility of using the Newton-Raphson Fast De- coupled method to solve the extended power flow problem, allowing the consolidation of representations of switchable branches in studies of power flow.
A system is only observable if a set of measures appropriately distributed in the network is known. This paper addresses the problem of analyzing the observabil- ity of the network, presenting a new methodology for analysis of observability via purely numerical methods Givens with three multipliers, able to identify the observ- ability or otherwise of a network, and detection of observable islands. The tests for systems modeled on industry-standard busses shows the validity of the method pro- posed for orthogonal analysis of numerical observability, with a foray into numerical observability-level of the section bus.
Keywords: Modeling at Bus Section Level, Power Flow, Givens Method, Numerical Observability,
vi
Sum´ ario
Agradecimentos iii
Resumo iv
Abstract vi
Lista de Figuras xi
Lista de Tabelas xiii
Lista de Siglas xiv
1 Introdu¸ c˜ ao 1
1.1 Introdu¸c˜ ao . . . . 1 1.2 Revis˜ ao Bibliogr´ afica . . . . 5 1.2.1 Modelagem da Rede no N´ıvel de Se¸c˜ ao de Barra . . . . 5 1.2.2 Estima¸c˜ ao de Estados Generalizada e M´ etodos Ortogonais . . 6 1.2.3 Observabilidade Num´ erica . . . . 8 1.3 Contribui¸c˜ oes do Trabalho . . . . 10 1.4 Estrutura da Dissserta¸c˜ ao . . . . 12 2 Fluxo de Potˆ encia para Redes Modeladas no n´ıvel de Se¸ c˜ ao de
Barra 13
2.1 Introdu¸c˜ ao . . . . 13 2.2 Modelagem da Rede . . . . 14
vii
Sum´ ario viii
2.3 Fluxo de Potˆ encia Estendido via M´ etodo de Newton-Raphson . . . . 15
2.4 Solu¸c˜ ao via M´ etodo de Newton-Raphson Desacoplado R´ apido . . . . 20
2.5 Conclus˜ oes . . . . 22
3 Estima¸ c˜ ao de Estados Convencional e Generalizada 23 3.1 Introdu¸c˜ ao . . . . 23
3.2 Estima¸c˜ ao de Estados via M´ etodos N˜ ao-Ortogonais . . . . 24
3.3 M´ etodo sequencial-ortogonal via rota¸c˜ oes de Givens . . . . 28
3.4 Estima¸c˜ ao de Estados Generalizada . . . . 31
3.5 Conclus˜ oes . . . . 36
4 An´ alise de Observabilidade de Redes via Rota¸ c˜ oes de Givens com Trˆ es Multiplicadores 38 4.1 Introdu¸c˜ ao . . . . 38
4.2 Teoria da Observabilidade Num´ erica . . . . 39
4.2.1 An´ alise de Observabilidade Num´ erica em Termos da Matriz Ganho . . . . 40
4.2.2 Identifica¸c˜ ao de Ilhas Observ´ aveis . . . . 42
4.2.3 Aloca¸c˜ ao de pseudo-medidas . . . . 43
4.2.4 Algoritmo Proposto por Monticelli e Wu [1, 2] . . . . 44
4.3 An´ alise de Observabilidade Usando Rota¸c˜ oes de Givens com 3 Multi- plicadores . . . . 45
4.3.1 Algoritmo Proposto . . . . 46
4.3.2 Exemplo . . . . 47
4.4 Analise de Observabilidade Generalizada via Givens com 3 Multipli- cadores . . . . 50
4.5 Conclus˜ oes . . . . 55
5 Resultados 57
5.1 Introdu¸c˜ ao . . . . 57
Sum´ ario ix 5.2 Fluxo de Potˆ encia para Redes Modeladas no N´ıvel de Se¸c˜ ao de Barra
via M´ etodo de Newton-Raphson Desacoplado R´ apido . . . . 58 5.2.1 Sistema IEEE 24 Barras . . . . 58 5.2.2 Sistema Teste IEEE 30 Barras . . . . 62 5.3 Observabilidade N´ umerica Convencional via M´ etodo de Givens . . . . 66 5.3.1 Sistema Teste de 4 barras e 5 ramos . . . . 67 5.3.2 Sistema IEEE 14 Barras . . . . 69 5.3.3 Sistema Teste IEEE 30 Barras . . . . 74 5.4 Observabilidade Num´ erica Generalizada via M´ etodo de Givens . . . . 75 5.5 Conclus˜ oes . . . . 80
6 Conclus˜ oes Gerais 82
6.1 Fluxo de Potˆ encia Desacoplado R´ apido no N´ıvel de Se¸c˜ ao de Barra . 83 6.2 Observabilidade Num´ erica via Givens . . . . 83 6.3 Sugest˜ oes para Trabalhos Futuros . . . . 84
Referˆ encias Bibliogr´ aficas 86
Lista de Figuras
2.1 Chaves/disjuntores conectando uma barra a uma linha. . . . 15 2.2 Sistema teste com 5 n´ os . . . . 21 2.3 Estrutura da matriz B
ext0cor-respondente . . . . 21 3.1 Representa¸c˜ ao da triangulariza¸c˜ ao de U atrav´ es de rota¸c˜ oes de Givens 30 4.1 Triangulariza¸c˜ ao da matriz ganho de um sistema n˜ ao observ´ avel . . . 42 4.2 Representa¸c˜ ao da matriz H reordenada de acordo com as medidas de
fluxo e de inje¸c˜ ao de potˆ encia nas diferentes ilhas . . . . 43 4.3 Fluxograma do algoritmo proposto . . . . 48 4.4 Modelagem barra-ramo . . . . 49 4.5 Modelagem generalizada simplificada do sistema apresentado na Fig.
2.2 . . . . 51 5.1 Sistema IEEE 24 Barras . . . . 59 5.2 Modelagem das Subesta¸c˜ oes 14 e 16 do Sistema IEEE 24 Barras -
Caso A . . . . 59 5.3 Fluxos de Potˆ encia atrav´ es dos Disjuntores da Subesta¸c˜ ao 16 do Sis-
tema IEEE 24 Barras - Caso A . . . . 61 5.4 Modelagem das Subesta¸c˜ oes 14 e 16 do Sistema IEEE 24 Barras -
Caso B . . . . 62 5.5 Modelagem das Subesta¸c˜ oes 12 e 15 do Sistema IEEE 30 Barras . . . 64 5.6 Sistema Teste de 4 barras e 5 ramos . . . . 67
x
Lista de Figuras xi
5.7 Sistema IEEE 14 Barras . . . . 69 5.8 Sistema IEEE 30 Barras . . . . 75 5.9 Modelagem generalizada simplificada do sistema apresentado na Fig.
2.2 . . . . 76
Lista de Tabelas
4.1 Parˆ ametros e medidas do sistema da Figura 4.4 . . . . 49 5.1 Resultado do Fluxo de Carga para o Sistema IEEE 24 Barras - Caso A 60 5.2 Distribui¸c˜ ao de Fluxos atrav´ es dos Ramos Chave´ aveis para o Sistema
IEEE 24 Barras - Caso A . . . . 61 5.3 Resultado do Fluxo de Carga para o Sistema IEEE 24 Barras - Caso B 63 5.4 Distribui¸c˜ ao de Fluxos atrav´ es dos Ramos Chave´ aveis para o Sistema
IEEE 24 Barras - Caso B . . . . 64 5.5 Resultado do Fluxo de Carga para o Sistema IEEE 30 Barras . . . . 65 5.6 Distribui¸c˜ ao de Fluxos atrav´ es dos Ramos Chave´ aveis para o Sistema
IEEE 30 Barras . . . . 66 5.7 Resultados da An´ alise de Observabilidade Num´ erica do Sistema - Caso A 67 5.8 An´ alise de Observabilidade Num´ erica do Sistema - Caso A . . . . 68 5.9 Resultados da An´ alise de Observabilidade Num´ erica do Sistema - Caso B 68 5.10 An´ alise de Observabilidade Num´ erica do Sistema - Caso B . . . . 68 5.11 Plano de Medi¸c˜ ao para o Sistema IEEE 14 barras Caso A . . . . 70 5.12 Resultados da An´ alise de Observabilidade Num´ erica do Sistema - Caso A 70 5.13 An´ alise de Observabilidade Num´ erica do Sistema - Caso B . . . . 71 5.14 Resultados da An´ alise de Observabilidade Num´ erica do Sistema - Caso B 71 5.15 Plano de Medi¸c˜ ao para o Sistema IEEE 14 barras Caso C . . . . 72 5.16 An´ alise de Observabilidade Num´ erica do Sistema - Caso C . . . . 73 5.17 Resultados da An´ alise de Observabilidade Num´ erica do Sistema - Caso C 73
xii
5.18 Plano de Medi¸c˜ ao para o Sistema IEEE 14 barras Caso D . . . . 73 5.19 An´ alise de Observabilidade Num´ erica do Sistema - Caso D . . . . 74 5.20 Resultados da An´ alise de Observabilidade Num´ erica do Sistema - Caso D 74 5.21 An´ alise de Observabilidade Num´ erica do Sistema IEEE 30 Barras . . 76 5.22 Plano de Medi¸c˜ ao para o Sistema IEEE 30 Barras . . . . 77 5.23 Resultados da An´ alise de Observabilidade Num´ erica do Sistema IEEE
30 barras . . . . 78 5.24 Plano de Medi¸c˜ ao para o Sistema Teste da Figura 5.9 . . . . 78 5.25 Resultados da An´ alise de Observabilidade Num´ erica do Sistema - Caso
A1 . . . . 79 5.26 An´ alise de Observabilidade Num´ erica do Sistema - Caso A1 . . . . . 79 5.27 Resultados da An´ alise de Observabilidade Num´ erica do Sistema - Caso
A2 . . . . 79
5.28 An´ alise de Observabilidade Num´ erica do Sistema - Caso A2 . . . . . 80
Lista de Siglas
EESP: Estima¸c˜ ao de Estados em Sistemas de Potˆ encia EEG: Estima¸c˜ ao de Estados Generalizada
MO: M´ etodos Ortogonais
MQP: M´ınimos Quadrados Ponderados IO: Ilhas Observ´ aveis
MIF: Medidas de Inje¸c˜ ao de Fronteira MI: Medidas Irrelevantes
xiv
1
Introdu¸ c˜ ao
1.1 Introdu¸ c˜ ao
A desregulamenta¸c˜ ao da ind´ ustria energ´ etica aumentou a necessidade da automatiza¸c˜ ao dos procedimentos relacionados ` a an´ alise de opera¸c˜ ao do sistema de potˆ encia. Para tanto, ´ e necess´ ario estabelecer uma base de dados confi´ avel que permita ao operador conhecer as condi¸c˜ oes de opera¸c˜ ao da rede, para que seja poss´ıvel a execu¸c˜ ao confi´ avel da an´ alise da modelagem de opera¸c˜ ao do sistema el´ etrico.
A estima¸c˜ ao de estados em sistemas de potˆ encia (EESP) ´ e uma ferramenta fundamental para an´ alise da modelagem e opera¸c˜ ao do sistema em tempo real, sendo utilizada para an´ alise de seguran¸ca. Tradicionalmente, a EESP utiliza a modelagem barra-ramo da rede, onde os arranjos das subesta¸c˜ oes s˜ ao previamente identificados e um conjunto de n´ os/se¸c˜ oes de barra eletricamente conectados atrav´ es de chaves seccionadoras e disjuntores fechados s˜ ao definidos como uma barra do sistema. Este procedimento evita a representa¸c˜ ao expl´ıcita de dispositivos chave´ aveis e os conse- quentes problemas num´ ericos advindos da utiliza¸c˜ ao de valores significativamente pequenos e grandes de impedˆ ancias para representar os status dos mesmos. Al´ em disso, as matrizes de rede b´ asicas empregadas em estudos de regime permanente,
1
1.1. Introdu¸c˜ ao 2
podem ser diretamente contru´ıdas a partir deste modelo.
No entanto, o uso da modelagem barra-ramo nos estudos de estima¸c˜ ao de es- tados impede a representa¸c˜ ao dos arranjos das subesta¸c˜ oes e informa¸c˜ oes relacionadas a dispositivos internos das mesmas, como medida de fluxo de potˆ encia atrav´ es de disjuntores, s˜ ao perdidas.
Em vista dessas dificuldades, Monticelli e Garcia [3, 4] propuseram uma mo- delagem exata para representar chaves e disjuntores na EESP. Nessa abordagem, os fluxos atrav´ es dos ramos chave´ aveis s˜ ao inclu´ıdos como novas vari´ aveis de estado, juntamente com as tens˜ oes complexas em todas as barras do sistema. Adicional- mente, informa¸c˜ oes operacionais relativas aos status dos dispositivos s˜ ao inclu´ıdas ao problema de forma similar ` as barras de inje¸c˜ ao nula, ou seja, como restri¸c˜ oes de igualdade ou pseudomedida. Com isso, deve-se acrescentar novos n´ os ao sistema para a inclus˜ ao dos ramos chave´ aveis, aumentando assim a dimens˜ ao da rede modelada.
Essa nova abordagem deu origem ` a Estima¸c˜ ao de Estados Generalizada (EEG) [5], que permite que subesta¸c˜ oes selecionadas da rede sejam representadas no n´ıvel de se¸c˜ ao de barras, onde chaves e disjuntores s˜ ao explicitamente repre- sentados. Este trabalho foi muito importante para a continuidade dos estudos em estima¸c˜ ao de estados, em especial para o processamento de erros de topologia, uma vez que possibilita a modelagem integral da rede, utilizando artif´ıcios j´ a existentes no problema de estima¸c˜ ao.
A partir dos esfor¸cos apresentados em [3, 5], novos trabalhos foram desen- volvidos no n´ıvel de se¸c˜ ao de barras, impulsionando a extens˜ ao de m´ etodos tradi- cionais para a abordagem generalizada da rede [6–9] e subsidiando uma s´ erie de novos algoritmos de identifica¸c˜ ao de erros de topologia [7, 10–12].
Mais recentemente, a modelagem no n´ıvel de se¸c˜ ao de barra foi estendida para estudos de fluxo de potˆ encia [13–15], possibilitando a representa¸c˜ ao de chaves e disjuntores, ou ramos chave´ aveis, na formula¸c˜ ao do problema.
O problema de fluxo de potˆ encia estendido foi abordado incialmente con-
siderando a solu¸c˜ ao via m´ etodo de Newton-Raphson [13–15]. Considerando a im-
1.1. Introdu¸c˜ ao 3
portˆ ancia da ferramenta para estudos conectados a EEG e para algoritmos de chavea- mento [15] o presente trabalho demonstra a viabilidade da utiliza¸c˜ ao do m´ etodo de Newton-Raphson Desacoplado R´ apido para solucionar o problema estendido de fluxo de potˆ encia, permitindo a consolida¸c˜ ao do m´ etodo de representa¸c˜ ao de ramos chave´ aveis em estudos de fluxo de potˆ encia.
Retornando ao t´ opico referente ` a estima¸c˜ ao de estados, para garantir que os estados do sistema possam ser estimados ´ e necess´ ario haver um conjunto redundante e bem distribu´ıdo de medidas. Os estudos para garantir que as medidas dispon´ıveis ao estimador possibilitam a estima¸c˜ ao de estados s˜ ao referidos como an´ alise de ob- servabilidade. Um sistema s´ o ´ e observ´ avel se possuir um conjunto de medidas ade- quadamente distribu´ıdos na rede, com os quais ´ e poss´ıvel realizar a EESP.
Os sistemas el´ etricos de potˆ encia operam em sua maioria em condi¸c˜ oes ob- serv´ aveis de opera¸c˜ ao. Estudos sobre a an´ alise de observabilidade de uma rede focam na importˆ ancia desta ferramenta para condi¸c˜ oes cr´ıticas de opera¸c˜ ao, falhas nos me- didores e equipamentos, nas quais o sistema perde sua observabilidade, tornando invi´ avel a estima¸c˜ ao de estados. Ramos observ´ aveis s˜ ao aqueles nos quais existe ao menos uma medida de fluxo de potˆ encia e/ou inje¸c˜ ao de potˆ encia nas extremidades da linha.
Historicamente, existem duas vertentes para an´ alise de observabilidade: a vertente topol´ ogica e a num´ erica. A vertente topol´ ogica foi a que primeiro apre- sentou resultados consistentes e operacionais. Em 1975, Clements e Wollenberg [16]
introduziram conceitos te´ oricos importantes e propuseram o primeiro algoritmo, de base heur´ıstica, capaz de resolver o problema.
Posteriormente, Allemong et al. [17] apontaram que o algoritmo proposto
em [16] poderia apresentar resultados conservadores e sugeriram um novo algoritmo,
ainda de base heur´ıstica, na tentativa de corrigir o problema. O primeiro m´ etodo
topol´ ogico de base te´ orica realmente s´ olida surgiu em 1980, quando Krumpholz,
Clements e Davis [18] apresentaram um arcabou¸co te´ orico consistente para o pro-
blema, introduziram o conceito de ´ arvore geradora observ´ avel, e propuseram a a-
1.1. Introdu¸c˜ ao 4
plica¸c˜ ao de um algoritmo de fluxo em redes para a busca de ´ arvores com estas caracter´ısticas para determinar a observabilidade topol´ ogica de uma rede el´ etrica.
Um algoritmo alternativo para an´ alise da observabilidade topol´ ogica, por´ em baseado na teoria de interse¸c˜ ao de matr´ oides e apresentando melhor desempenho computacional foi proposto por Quintana, Sim˜ oes Costa e Mandel [19, 20], sendo posteriormente estendido para tratar o problema de medidas e conjuntos cr´ıticos [21].
Em [22], Van Cutsem e Gailly mostraram estens˜ oes de algoritmos de observabilidade topol´ ogica visando o tratamento de medidas de magnitude de tens˜ ao.
O primeiro algoritmo para an´ alise de observabilidade num´ erica com funda- mentos te´ oricos s´ olidos foi apresentado em [1, 2]. Posteriormente, os mesmos autores estenderam a sua metodologia aplicando m´ etodos ortogonais [23]. Neste particu- lar, entretanto, Monticelli e Wu n˜ ao exploraram todas as propriedades das rota¸c˜ oes de Givens, j´ a que utilizaram estas rota¸c˜ oes basicamente para a fatora¸c˜ ao da matriz ganho, em substitui¸c˜ ao ` a elimina¸c˜ ao de Gauss.
Mais recentemente, os m´ etodos num´ ericos de observabilidade voltaram a ser abordados pela literatura [24–27] ou de forma h´ıbrida [28, 29], demostrando que este
´ e um t´ opico relevante e que apresenta possibilidades de aprimoramento.
Os m´ etodos de an´ alise de observabilidade topol´ ogica propostos em [19–21]
foram estendidos para o contexto da EEG [7,30], onde a rede ´ e representada no n´ıvel de se¸c˜ ao de barra.
Este trabalho aborda o problema de an´ alise de observabilidade da rede, pro-
pondo o desenvolvimento de uma nova metodologia de an´ alise de observabilidade
puramente num´ erica via m´ etodo de Givens com trˆ es multiplicadores, capaz de iden-
tificar a observabilidade ou n˜ ao de uma rede, e detec¸c˜ ao de ilhas observ´ aveis. A
metodologia proposta considera inicialmente a modelagem barra-ramo da rede, a-
presentando tamb´ em estudos iniciais a respeito da extens˜ ao da ferramenta proposta
para a an´ alise de observabilidade generalizada. Testes e simula¸c˜ oes apresentados na
literatura com os sistemas-teste de 14 e 30 barras do IEEE s˜ ao reproduzidos para
validar o algoritmo proposto.
1.2. Revis˜ ao Bibliogr´ afica 5
1.2 Revis˜ ao Bibliogr´ afica
Nesta se¸c˜ ao ´ e apresentada uma revis˜ ao bibliogr´ afica mais detalhada sobre os aspectos estudados em sistemas el´ etricos de potˆ encia que motivaram o desenvolvi- mento desta disserta¸c˜ ao. Referˆ encias bibliogr´ aficas relevantes envolvendo a repre- senta¸c˜ ao da rede no n´ıvel de se¸c˜ ao de barras, a estima¸c˜ ao de estados generalizada e, por fim, a an´ alise da observabilidade do sistema para estudos de estima¸c˜ ao de estados s˜ ao brevemente discutidos.
1.2.1 Modelagem da Rede no N´ıvel de Se¸ c˜ ao de Barra
A modelagem no n´ıvel de se¸c˜ ao de barras foi abordada no in´ıcio da d´ ecada de 90 por Monticelli e Garcia [3, 31]. Nela, a modelagem de ramos de impedˆ ancia nula ´ e analisada para a solu¸c˜ ao de problemas de estima¸c˜ ao de estados, tornando poss´ıvel a representa¸c˜ ao expl´ıcita destes dispositivos no modelo da rede, atrav´ es do uso de restri¸c˜ oes operacionais do sistema.
Depois da estima¸c˜ ao de estados generalizada, a formula¸c˜ ao estendida do pro- blema de fluxo de potˆ encia foi abordada em 2005 por Ribeiro [13,14]. Esses trabalhos propuseram a an´ alise no n´ıvel de se¸c˜ ao de barras na modelagem da rede el´ etrica para estudos de fluxo de potˆ encia, utilizando como base o M´ etodo de Newton-Raphson, sendo adaptada ` as novas condi¸c˜ oes do modelo, ou seja, aplicando as restri¸c˜ oes opera- cionais impostas pela presen¸ca de ramos de impedˆ ancia nula ao sistema. Esta mode- lagem evitou os problemas num´ ericos causados pela inclus˜ ao de ramos chave´ aveis no sistema, modificando a solu¸c˜ ao do fluxo de potˆ encia via M´ etodo de Newton-Raphson.
A ferramenta proposta resolveu o problema de fluxo de potˆ encia incluindo a repre- senta¸c˜ ao detalhada de determinadas subesta¸c˜ oes (escolhidas pelo operador), sem que seja necess´ ario a aplica¸c˜ ao de etapas adicionais de p´ os processamento como acontece quando se aplica a formula¸c˜ ao convencional do Fluxo de Potˆ encia.
Os resultados obtidos em [13, 14] motivaram a continuidade dos estudos
quanto a aplica¸c˜ ao da modelagem de redes no n´ıvel de subesta¸c˜ oes em outras fer-
ramentas de an´ alise em regime permanente [15, 32–34]. Em [32, 33], a modelagem
1.2. Revis˜ ao Bibliogr´ afica 6
no n´ıvel de se¸c˜ ao de barras foi utilizada para estudos de fluxo de potˆ encia ´ otimo, no qual os status dos dispositivos chave´ aveis s˜ ao tratados como novas vari´ aveis de estados al´ em de sua modelagem ser incluida no conjunto de restri¸c˜ oes de igualdade.
Em 2009, mais duas extens˜ oes sobre a modelagem no n´ıvel de se¸c˜ ao de barra foram apresentadas [15, 34]. Louren¸co, Sim˜ oes Costa e Ribeiro [15] abordaram a viabilidade da modelagem para estudos de estima¸c˜ ao de estados generalizada de forma a provar a validade da ferramenta para estudos de fluxo de potˆ encia. A abordagem proposta gerou uma ferramenta eficiente para a determina¸c˜ ao direta da distribui¸c˜ ao do fluxo de potˆ encia em uma determinada subesta¸c˜ ao da rede, utilizando uma extens˜ ao da solu¸c˜ ao via M´ etodo de Newton-Raphson. A metodologia proposta abordou ainda o tratamento de configura¸c˜ oes particulares da rede, envolvendo la¸cos formados por disjuntores fechados.
Louren¸co, Silva e Sim˜ oes Costa [34] desenvolveram uma ferramenta que ´ e uma continua¸c˜ ao dos estudos anteriores, propondo uma abordagem via M´ etodo De- sacoplado R´ apido para a modelagem generalizada do sistema. Sendo assim, o vetor de estados foi expandido de forma a incluir as novas vari´ aveis de estado provenientes da modelagem dos ramos chave´ aveis, e informa¸c˜ oes relativas aos status dos disposi- tivos foram colocadas como novas equa¸c˜ oes lineares a serem resolvidas junto com as equa¸c˜ oes convencionais de fluxo de potˆ encia.
1.2.2 Estima¸ c˜ ao de Estados Generalizada e M´ etodos Orto- gonais
A abordagem adotada nesse trabalho baseia-se em esfor¸cos pr´ evios apre- sentados na literatura relacionados a representa¸c˜ ao de dispositivos chave´ aveis na es- tima¸c˜ ao de estados de sistemas el´ etricos de potˆ encia (EESP) [3, 31], que deu origem ao conceito de Estima¸c˜ ao de Estados Generalizada (EEG) [5], j´ a bem difundido na literatura.
Em [6], Monticelli tratou da EESP de modo amplo, abordando a estima¸c˜ ao
convencional e generalizada. Nele a estima¸c˜ ao foi abordada em todos seus aspectos,
1.2. Revis˜ ao Bibliogr´ afica 7
trabalhando com estimador baseado no m´ etodo MQP. As vari´ aveis de estado foram apresentadas, levando ` a formula¸c˜ ao matem´ atica do problema, com suas restri¸c˜ oes representadas por equa¸c˜ oes e inequa¸c˜ oes. Com isso, o autor abordou as diferentes metodologias para solu¸c˜ ao do problema, entre elas o uso de m´ etodos ortogonais, que ser˜ ao usados neste trabalho. Aspectos relacionados ` a observabilidade do sistema tamb´ em foram abordados.
Seguindo a linha da maior parte dos artigos estudados durante o desen- volvimento deste trabalho, a referˆ encia [8] apresentou um algoritmo robusto para estima¸c˜ ao de estados generalizada, fazendo uso de vari´ aveis de decis˜ ao bin´ arias. A rede apresentada como exemplo neste artigo ser´ a usada para a modelagem e testes de valida¸c˜ ao para o algoritmos propostos nesta disserta¸c˜ ao.
O uso de m´ etodos ortogonais (MO) para estudos de EESP ´ e motivado prin- cipalmente pela robustez num´ erica que estes apresentam [35]. Monticelli e Wu [23]
apresentaram um estudo sobre a an´ alise de observabilidade baseado no uso de MO para estima¸c˜ ao de estados h´ıbrida (combina¸c˜ ao das caracter´ısticas de esparsidade apresentadas pela equa¸c˜ ao normal e a robustez num´ erica apresentada pelos MO).
Como em problemas de EESP, a matriz de observa¸c˜ ao armazena em cada linha as informa¸c˜ oes referentes a cada uma das medidas, o uso de MO se torna atraente, por operar com linhas ao inv´ es de trabalhar com colunas. Em [36], Sim˜ oes Costa e Salgado descreveram detalhadamente os MO, focando nas rota¸c˜ oes de Givens.
A aplica¸c˜ ao dos MO a estudos de EEG foi proposta em [11], onde foram
apresentadas as vantagens de se usar um estimador ortogonal baseado nas rota¸c˜ oes
de Givens, uma vez que este opera por linhas e n˜ ao por variantes que operam por col-
unas. Este m´ etodo foi aplicado ` a matriz de observa¸c˜ ao, pois ela cont´ em informa¸c˜ oes
de cada medida ou restri¸c˜ ao de igualdade com respeito ` as vari´ aveis de estado. Outro
ponto relevante, foi o uso das rota¸c˜ oes de Givens sem ra´ızes quadradas, que reduz o
esfor¸co computacional para estima¸c˜ ao de estados.
1.2. Revis˜ ao Bibliogr´ afica 8
1.2.3 Observabilidade Num´ erica
A formula¸c˜ ao do problema de observabilidade num´ erica de redes el´ etricas e a proposi¸c˜ ao de algoritmos de an´ alise num´ erica de observabilidade com resultados consistentes foram inicialmente abordados por Monticelli e Wu [1, 2]. Em [1] ´ e apre- sentada a teoria sobre observabilidade da rede, desde os conceitos b´ asicos relaciona- dos a ramos n˜ ao-observ´ aveis e ilhas observ´ aveis. Tamb´ em s˜ ao apresentadas maneiras simples e eficientes para se desenvolver em algoritmos de an´ alise de observabilidade da rede, identifica¸c˜ ao de ilhas observ´ aveis e adi¸c˜ ao de pseudo-medidas para garan- tir a observabilidade. J´ a em [2] s˜ ao apresentados dois algoritmos, um para an´ alise de observabilidade da rede e outro para identifica¸c˜ ao de ilhas observ´ aveis quando o sistema ´ e n˜ ao observ´ avel, ambos baseados na triangulariza¸c˜ ao da matriz ganho.
Devido a problemas de condicionamento num´ erico apresentados por vezes pela matriz ganho, Monticelli e Wu [23] desenvolvem uma metodologia baseada no uso de m´ etodos ortogonais para an´ alise de observabilidade num´ erica da rede.
Para tal, utiliza uma abordagem h´ıbrida, onde combinam-se a esparsidade apresen- tada pelo M´ etodo da Equa¸c˜ ao Normal de Gauss e a robustez num´ erica das trans- forma¸c˜ oes ortogonais. Com isso, pode-se resolver as equa¸c˜ oes normais atrav´ es das transforma¸c˜ oes ortogonais da matriz Jacobiana e tamb´ em realizar a an´ alise de ob- servabilidade do sistema.
Em seu livro [37], Monticelli apresenta detalhadamente a an´ alise da ob- servabilidade, abordando esta quest˜ ao tanto do ponto de vista topol´ ogico quanto num´ erico. O algoritmo desenvolvido para a observabilidade num´ erica ´ e baseado na fatora¸c˜ ao triangular da matriz ganho e identifica¸c˜ ao de pivˆ os nulos durante tal fa- tora¸c˜ ao. De acordo com o m´ etodo, a existˆ encia de um ´ unico pivˆ o nulo indica que o sistema ´ e observ´ avel. Em caso contr´ ario, tais pivˆ os s˜ ao substitu´ıdos por pseudo- medidas de ˆ angulo para a determina¸c˜ ao das ilhas n˜ ao-observ´ aveis.
Gou e Abur [24] apresentam um m´ etodo alg´ ebrico direto com uso de trian-
gula¸c˜ ao da matriz ganho para a determina¸c˜ ao das ilhas observ´ aveis do sistema de
potˆ encia. Ele ´ e baseado em um algoritmo n˜ ao-iterativo cuja dificuldade se encontra
1.2. Revis˜ ao Bibliogr´ afica 9
na fatora¸c˜ ao triangular esparsa e procedimentos de substitui¸c˜ ao ”direta/inversa”. A metodologia ´ e estendida para determinar pseudo-medidas capazes de tornar o sistema observ´ avel.
Dando continuidade ao artigo citado acima, Gou e Abur [25] desenvolvem uma ferramenta mais r´ apida para trabalhar com sistemas ditos n˜ ao-observ´ aveis. Para tal, utiliza-se um teste para matriz cuja dimens˜ ao ´ e determinada pela deficiˆ encia da matriz ganho, dada por D oriunda da transforma¸c˜ ao G = LDL
t. Com isso, ´ e criada uma matriz teste para identificar as ilhas observ´ aveis. Em seguida ´ e criada uma lista de candidatas, que s˜ ao pseudo-medidas geradas pelo posto de D, onde as medidas de inje¸c˜ ao que conectam duas diferentes ilhas observ´ aveis s˜ ao alocadas ao sistema de forma a tornar a matriz ganho com posto completo. O algoritmo proposto pelos autores contorna o problema de se adicionar mais itera¸c˜ oes, permitindo aloca¸c˜ oes si- multˆ aneas do menor n´ umero poss´ıvel de pseudo-medidas capazes de tornar o sistema novamente observ´ avel.
Em [28], Korres e Katsikas prop˜ oem um m´ etodo h´ıbrido (topol´ ogico-nu- m´ erico) para an´ alise de observabilidade. Primeiramente, o sistema ´ e particionado em ´ areas observ´ aveis, representando cada ´ area por n´ os e as linhas que interligam as
´
areas como ramos. Sendo assim, apenas os n´ os de fronteira e as inje¸c˜ oes potˆ encia nas ilhas s˜ ao mantidos para o processamneto num´ erico. Ap´ os este pr´ e-processamento, ´ e realizado um teste de observabilidade das ilhas atrav´ es do escalonamento da matriz teste retangular, que ´ e baseada nas propriedades da teoria de redu¸c˜ ao dos grafos.
Como a matriz teste ´ e geralmente mais esparsa que a matriz ganho reduzida, o m´ etodo proposto ´ e mais r´ apido tanto no teste de observabilidade do sistema quanto na aloca¸c˜ ao de m´ ultiplas medidas.
Seguindo a metodologia h´ıbrida proposta acima, [29] prop˜ oe uma an´ alise da
observabilidade num´ erica baseada na teoria de grafos. Tal metodologia prop˜ oe o
processamento topol´ ogico das medidas de fluxo nos ramos e remo¸c˜ ao das medidas
de inje¸c˜ ao redundantes nos n´ os que s˜ ao incidentes a ramos com medidas de fluxo
ou a ramos que formam loops com ramos que possuem fluxo. Isso gera uma matriz
1.3. Contribui¸c˜ oes do Trabalho 10
teste com menos elementos nulos que a Jacobiana ou a matriz ganho, resultando em menor esfor¸co computacional.
Posteriormente, Bei Gou [27] volta a tratar da an´ alise de observabilidade num´ erica com algoritmos para determina¸c˜ ao de ilhas observ´ aveis e aloca¸c˜ ao m´ınima de pseudo-medidas para transformar um sistema n˜ ao-observ´ avel observ´ avel. Para tal, faz uso da matriz Jacobiana e o esfor¸co computacional se limita a M´ etodos de Elimina¸c˜ ao de Gauss, tornando o processo de an´ alise de observabilidade do pro- blema simples e efetiva. Dando continuidade a seu trabalho, [26] apresenta o estudo de an´ alise de observabilidade do sistema, estendendo a metodologia proposta ante- riormente para o uso da Matriz Aumentada de Hachtel.
Quando tratamos da estima¸c˜ ao de estados generalizada, tem-se que o vetor de estados ´ e estendido de modo a incluir as tens˜ oes nas se¸c˜ oes de barras e tamb´ em os fluxos de potˆ encia atrav´ es dos disjuntores. Se seus valores podem ser estimados, podemos dizer que o sistema ´ e observ´ avel [38].
Tomando como base o que foi dito nesta se¸c˜ ao, em [39] ´ e proposta uma abordagem baseada na estima¸c˜ ao de estados generalizada para determinar a ob- servabilidade ou n˜ ao de um sistema, incluindo pontos como identifica¸c˜ ao do n´ umero m´ aximo de ilhas observ´ aveis de um sistema ou ainda a restaura¸c˜ ao da observabilidade quando o sistema ´ e n˜ ao observ´ avel. Para tal, o autor faz uma breve revis˜ ao sobre estima¸c˜ ao de estados convencional, aprofundando a quest˜ ao da estima¸c˜ ao de estados generalizada e detalhando, atrav´ es de um exemplo ilustrativo, a montagem da matriz Jacobiana associada [39]. Al´ em disso, o autor utiliza t´ ecnicas de redu¸c˜ ao do modelo e introduz o conceito de ilha de f luxo.
1.3 Contribui¸ c˜ oes do Trabalho
Os trabalhos relacionados ao problema de fluxo de potˆ encia estendido abor-
dam apenas a solu¸c˜ ao pelo m´ etodo de Newton-Raphson. Considerando a importˆ ancia
do m´ etodo desacoplado r´ apido, este trabalho investigou a viabilidade da aplica¸c˜ ao da
metodologia proposta em [13–15] considerando a solu¸c˜ ao pelo m´ etodo desacoplado
1.3. Contribui¸c˜ oes do Trabalho 11
r´ apido.
Sendo assim, esta disserta¸c˜ ao aborda a an´ alise em regime permanente do sistema el´ etrico de potˆ encia, apresentando uma nova proposta para o c´ alculo de fluxo de potˆ encia no n´ıvel de se¸c˜ ao de barra, estendendo o m´ etodo desacoplado r´ apido para torn´ a-lo capaz de analisar redes modeladas com a representa¸c˜ ao expl´ıcita de ramos chave´ aveis.
Com rela¸c˜ ao a an´ alise de observabilidade, observa-se que a maior parte da literatura trabalha com a abordagem topol´ ogica, e a revis˜ ao apresentada na se¸c˜ ao anterior mostra que para a an´ alise de observabilidade num´ erica faz uso da matriz ganho e m´ etodos n˜ ao-ortogonais ou h´ıbridos. A partir desta constata¸c˜ ao, este tra- balho prop˜ oe ainda uma metodologia para observabilidade puramente num´ erica ba- seada nas Rota¸c˜ oes de Givens com trˆ es mutiplicadores, aproveitando assim, todos os recursos e a robustez num´ erica que caracterizam estes m´ etodos.
A metodologia proposta apresenta ainda duas caracter´ısticas importantes: a primeira delas diz respeito ` a realiza¸c˜ ao da an´ alise de observabilidade sobre a matriz de observa¸c˜ ao do problema de EESP (que, no caso n˜ ao-linear, corresponde ` a matriz Jacobiana) ao inv´ es da matriz ganho, utilizada pela maioria das t´ ecnicas apresentadas na literatura. A segunda ´ e a apresenta¸c˜ ao da formula¸c˜ ao do m´ etodo de Observabili- dade via Givens para redes modeladas no n´ıvel barra-ramo e sua extens˜ ao para redes modeladas no n´ıvel de se¸c˜ ao de barras, tornando-a capaz de subsidiar estudos de estima¸c˜ ao de estados generalizada.
Objetivos
- Extender o Fluxo de Potˆ encia Desacoplado R´ apido para modelagem de redes el´ etricas no n´ıvel de se¸c˜ ao de barra;
- Desenvolver uma ferramenta de an´ alise de observabilidade num´ erica in-
teiramente baseada nas rota¸c˜ oes de Givens com trˆ es multiplicadores.
1.4. Estrutura da Dissserta¸c˜ ao 12
1.4 Estrutura da Dissserta¸ c˜ ao
O Cap´ıtulo 2 apresenta uma revis˜ ao a respeito da an´ alise generalizada do sistema de potˆ encia. Ele ´ e dividido em duas partes que refletem o caminho percor- rido para a compreens˜ ao do estudo da an´ alise generalizada da rede. Primeiramente, ´ e abordada a modelagem convencional do sistema el´ etrico seguida pela inclus˜ ao de dis- positivos chave´ aveis, modelando a rede no n´ıvel de se¸c˜ ao de barra. Em seguida ´ e feita uma revis˜ ao sobre a extens˜ ao do c´ alculo de fluxo de potˆ encia utilizando ferramentas cl´ assicas. Este cap´ıtulo ´ e finalizado com a apresenta¸c˜ ao de uma nova abordagem para an´ alise de fluxo de potˆ encia no n´ıvel de se¸c˜ ao de barra.
O Cap´ıtulo 3 trata da estima¸c˜ ao de estados convencional e generalizada, apresentando algumas de suas caracter´ısticas. Por fim, a quest˜ ao da observabilidade n´ umerica generalizada ´ e discutida, mostrando que h´ a muito a ser trabalhado nesta
´ area.
O Cap´ıtulo 4 apresenta a primeira contribui¸c˜ ao deste trabalho na quest˜ ao de observabilidade num´ erica. Nele ´ e feita a an´ alise num´ erica da observabilidade da rede via M´ etodo Ortogonal (neste caso, via Givens com 3 multiplicadores), considerando as medidas relevantes e irrelevantes do sistema. O cap´ıtulo apresenta ainda uma extens˜ ao do m´ etodo proposto para a an´ alise generalizada do sistema. S˜ ao descritas as t´ ecnicas computacionais utilizadas para a implementa¸c˜ ao do problema, sendo finalizado com a apresenta¸c˜ ao do algoritmo proposto para a solu¸c˜ ao do problema.
No Cap´ıtulo 5 s˜ ao apresentados os resultados num´ ericos relativos ` as duas contribui¸c˜ oes desta disserta¸c˜ ao, ou seja: fluxo de potˆ encia estendido e ao n´ıvel de se¸c˜ ao de barra e observabilidade num´ erica via rota¸c˜ ao de Givens com 3 multipli- cadores.
Por fim, o Cap´ıtulo 6 apresenta as conclus˜ oes gerais obtidas por este tra-
balho, bem como sugest˜ oes para trabalhos futuros.
2
Fluxo de Potˆ encia para Redes Modeladas no n´ıvel de Se¸ c˜ ao de
Barra
2.1 Introdu¸ c˜ ao
A crescente reestrutura¸c˜ ao da ind´ ustria energ´ etica nos ´ ultimos anos fez aumentar a necessidade de automatizar as an´ alises dos sistemas el´ etricos de potˆ encia.
O modelo tradicional de modelagem do sistema, tamb´ em conhecido como modelo barra-ramo, omite informa¸c˜ oes relativas aos ramos chave´ aveis presentes no sistema, ficando nas m˜ aos do operador decis˜ oes relativas ` as configura¸c˜ oes das subesta¸c˜ oes existentes e, em situa¸c˜ oes de emergˆ encia, deixando o operador decidir por conta pr´ opria, sem que haja ferramentas para auxili´ a-lo.
No sentido de contornar essa falta de ferramentas de apoio ao operador, surge a formula¸c˜ ao estendida do problema de fluxo de potˆ encia (FP), que permite o processamento de redes modeladas no n´ıvel de se¸c˜ ao de barras.
Assim, este cap´ıtulo descreve o FP solucionado pelo m´ etodo de Newton-
13
2.2. Modelagem da Rede 14
Raphson, conforme apresentado em [13, 14]. Na sequˆ encia, s˜ ao apresentadas as t´ ecnicas propostas nesse trabalho que permitem estender os algoritmos de fluxo de potˆ encia via m´ etodo desacoplado r´ apido.
2.2 Modelagem da Rede
Os m´ etodos tradicionais de an´ alise em regime permanente para sistemas el´ etricos de potˆ encia baseiam-se na modelagem convencional da rede el´ etrica, conhe- cida como modelagem barra-ramo. Nesses modelos, os arranjos das subesta¸c˜ oes s˜ ao previamente identificados e um conjunto de n´ os/se¸c˜ oes de barra eletricamente conec- tados atrav´ es de chaves seccionadoras e disjuntores fechados s˜ ao definidos como uma
“barra” do sistema. Este procedimento evita a representa¸c˜ ao expl´ıcita de chaves e disjuntores e os consequentes problemas num´ ericos advindos da utiliza¸c˜ ao de valo- res significantemente pequenos e grandes de impedˆ ancias para representar posi¸c˜ oes abertas e fechadas desses dispositivos. Al´ em disso, as matrizes de rede b´ asicas empre- gadas em estudos de regime permanente, tais como a matriz admitˆ ancia de barras, matrizes de incidˆ encia barra-ramo, etc., podem ser diretamente constru´ıdas a par- tir desse modelo. Entretanto, nessa abordagem todas as informa¸c˜ oes relacionadas com a topologia das subesta¸c˜ oes bem como as informa¸c˜ oes operacionais referentes aos componentes das subesta¸c˜ oes, tais como o fluxo de carga atrav´ es de disjuntores, magnitude e ˆ angulo das tens˜ oes em se¸c˜ oes de barras, n˜ ao podem ser diretamente de- terminados a partir das ferramentas de an´ alise que se utilizam desse modelo. Como o conhecimento dessas grandezas ´ e necess´ ario em diversas situa¸c˜ oes de opera¸c˜ ao, os operadores precisam lan¸car m˜ ao de procedimentos adicionais para determinar esses valores.
A necessidade de uma representa¸c˜ ao mais detalhada da rede el´ etrica, onde o arranjo e a topologia de determinadas subesta¸c˜ oes possam ser explicitamente re- presentadas, j´ a ´ e verificada na modelagem em tempo real, em estudos de estima¸c˜ ao de estados. [3, 5, 31].
Mais recentemente, esfor¸cos preliminares no sentido de estender a aplica¸c˜ ao
2.3. Fluxo de Potˆ encia Estendido via M´ etodo de Newton-Raphson 15
da representa¸c˜ ao de dispositivos chave´ aveis apresentados em [3] para estudos de fluxo de potˆ encia foram apresentados na literatura [14, 15, 34].
A modelagem generalizada da rede ´ e feita quando se modelam ramos cha- ve´ aveis. Tais elementos podem ser chaves ou disjuntores, que s˜ ao dispositivos que permitem ligar ou desligar duas barras pertencentes ` a rede el´ etrica. Apesar de apre- sentarem a mesma fun¸c˜ ao do ponto de vista l´ ogico, possuem condi¸c˜ oes de opera¸c˜ ao bem distintas, pois disjuntores s˜ ao dispositivos ligados ao sistema de prote¸c˜ ao da rede e operam automaticamente quando algum evento ´ e detectado. J´ a as chaves, podem ser manuais ou mecˆ anicas e utilizadas em sua maioria para reconfigurar o sistema, inclusive para quando h´ a atividades relacionadas ` a manuten¸c˜ ao da rede. A Figura 2.1 [40] mostra a representa¸c˜ ao deste elementos no sistema.
Fig. 2.1: Chaves/disjuntores conectando uma barra a uma linha.
Se uma das chaves ou o disjuntor estiverem abertos, o conjunto todo tamb´ em estar´ a. Por isso, os trˆ es dispositivos podem ser vistos como um ´ unico dispositivo l´ ogico, que estar´ a fechado apenas se os trˆ es elementos estiverem fechados.
Este fato ´ e importante para se entender o porquˆ e se representa apenas um dispositivo chave´ avel quando se pode ter mais do que um elemento presente no ramo.
2.3 Fluxo de Potˆ encia Estendido via M´ etodo de Newton-Raphson
Em [13], Ribeiro mostra que ´ e poss´ıvel expandir o modelo convencional
barra-ramo da rede para uma an´ alise generalizada, onde chaves e disjuntores podem
ser explicitamente modelados. Esse trabalho teve como objetivo apresentar o c´ alculo
2.3. Fluxo de Potˆ encia Estendido via M´ etodo de Newton-Raphson 16
do fluxo de potˆ encia para a an´ alise de opera¸c˜ ao em regime permanente de um sistema el´ etrico de potˆ encia incluindo ou n˜ ao subesta¸c˜ oes.
Tal abordagem ´ e apresentada em [14] de maneira mais objetiva. Um estudo mais aprofundado para solu¸c˜ ao do fluxo de potˆ encia em redes modeladas no n´ıvel de subesta¸c˜ oes ´ e apresentado em [15]. Nesse artigo, detalha-se a formula¸c˜ ao do pro- blema desde a modelagem barra-ramo da rede, representrada pelas equa¸c˜ oes nodais cl´ assicas, at´ e estudos de casos particulares, como forma¸c˜ ao de loops nas subesta¸c˜ oes.
Relembrando, as equa¸c˜ oes de inje¸c˜ ao de potˆ encia ativa e reativa s˜ ao:
P
k= V
kX
mK
V
m(G
kmcos θ
km+ B
kmsen θ
km) (2.1) Q
k= V
kX
mK
V
m(G
kmsen θ
km− B
kmcos θ
km) (2.2) onde:
K : conjunto de barras adjacentes ` a barra k, incluindo a barra k;
V
k, V
m: magnitude das tens˜ oes nos terminais das barras do ramo k − m;
θ
k, θ
m: ˆ angulos das tens˜ oes nas barras k e m;
G
km+ jB
km= Y
km: entrada (k, m) da admitˆ ancia nodal;
P
k: inje¸c˜ ao de potˆ encia ativa na barra k;
Q
k: inje¸c˜ ao de potˆ encia reativa na barra k.
Sendo que as equa¸c˜ oes 2.1 e 2.2 podem ser representadas da seguinte forma:
P
k= X
mΩk
P
km(V
k, V
m, θ
k, θ
m) (2.3)
Q
k= −Q
shk+ X
mΩk
Q
km(V
k, V
m, θ
k, θ
m) (2.4) onde:
Ω
k: conjunto de barras adjacentes ` a barra k (barra k n˜ ao est´ a inclusa);
Q
shk: componente da inje¸c˜ ao de potˆ encia reativa referente ao elemento shunt da barra k, dado por:
Q
shk= b
shkV
k2(2.5)
b
shk: susceptˆ ancia da barra k.
2.3. Fluxo de Potˆ encia Estendido via M´ etodo de Newton-Raphson 17
Resumidamente, a formula¸c˜ ao b´ asica do fluxo de potˆ encia ´ e dada por um conjunto de equa¸c˜ oes n˜ ao lineares representadas por 2.1 e 2.2 (ou ainda 2.3 e 2.4) e inequa¸c˜ oes devido aos limites superior e inferior de gera¸c˜ ao e transmi¸c˜ ao das barras.
Na abordagem convencional, que considera a modelagem barra-ramo da rede, tem-se que o vetor de vari´ aveis de estado do problema de fluxo de potˆ encia ´ e dado por:
x = [ θ
TV
T] (2.6)
onde:
θ: vetor dos ˆ angulos das tens˜ oes;
V : vetor das magnitudes das tens˜ oes.
O conjunto de equa¸c˜ ao n˜ ao-lineares do fluxo de potˆ encia, representado pelos desvios de potˆ encia ativa e reativa, pode ser expresso por:
f (x) =
∆P
∆Q
=
P
esp− P (V, θ) Q
esp− Q(V, θ)
= 0 (2.7)
onde P
espe Q
esps˜ ao os valores especificados das inje¸c˜ oes de potˆ encia ativa e reativa, e P e Q s˜ ao os vetores das equa¸c˜ oes n˜ ao-lineares de potˆ encia ativa e reativa repre- sentadas nas equa¸c˜ oes 2.3 e 2.4, respectivamente, de acordo com a classifica¸c˜ ao da barras da formula¸c˜ ao cl´ assica de fluxo de potˆ encia.
A an´ alise via M´ etodo de Newton-Raphson aplicada ` a equa¸c˜ ao 2.7, resulta
em:
∆P
∆Q
= J (x
υ)
∆θ
∆V
(2.8)
onde a matriz Jacobiana ´ e dada por:
J (x
υ) =
H N
M L
υ
=
δP δθ
δP δV δQ δθ
δQ δV
υ
(2.9)
Com isso, o fluxo de potˆ encia pode ser resolvido iterativamente resolvendo-
se a equa¸c˜ ao 2.8, onde as vari´ aveis de estado s˜ ao atualizadas por θ
υ+1= θ
υ+ ∆θ e
V
υ+1= V
υ+ ∆V , at´ e que a condi¸c˜ ao de convergˆ encia seja atingida.
2.3. Fluxo de Potˆ encia Estendido via M´ etodo de Newton-Raphson 18
Ao se fazer a an´ alise generalizada do sistema, deve-se fazer as modifica¸c˜ oes necess´ arias para permitir a modelagem expl´ıcita de chaves e disjuntores na for- mula¸c˜ ao do fluxo de carga. Isso ´ e feito adicionando-se os fluxos de potˆ encia ativa e reativa atrav´ es dos ramos chave´ aveis, bem como as diferen¸cas de tens˜ ao e ˆ angulo nas barras correspondentes ao dispositivo que se deseja modelar, como novas vari´ aveis de estado. Resultando no seguinte vetor de estados estendido:
¯
x = [θ
tV
tt
tu
t]
t(2.10)
onde θ e V s˜ ao os vetores dos ˆ angulos e magnitude das tens˜ oes nas barras, respec- tivamente, e t e u s˜ ao os vetores dos fluxos de potˆ encia ativa e reativa dos ramos chave´ aveis, respectivamente.
Adicionalmente, as informa¸c˜ oes referentes aos status desses dispositivos cha- ve´ aveis s˜ ao inclu´ıdas na forma¸c˜ ao do problema de fluxo de potˆ encia como novas equa¸c˜ oes, que s˜ ao resolvidas simultaneamente com as equa¸c˜ oes est´ aticas do problema convencional de fluxo de potˆ encia. Desta forma, se um ramo chave´ avel conectado entre os n´ os k e m est´ a fechado, ent˜ ao a diferen¸ca angular f
θ,kme a diferen¸ca de potencial f
υ,kmentre seus terminais ser˜ ao nulas, ou seja:
f
θ,km= θ
k− θ
m= 0 e f
υ,km= υ
k− υ
m= 0 (2.11) onde o conjunto de equa¸c˜ oes acima representam as condi¸ c˜ oes de opera¸ c˜ ao de disjun- tor fechado. Assumindo que N
f dramos chave´ aveis explicitamente modelados est˜ ao fechados, essas condi¸c˜ oes podem ser expressas pelo vetor de dimens˜ ao 2N
f dabaixo:
f
of d(θ, V ) =
f
θf d(θ) f
υf d(V )
= 0 (2.12)
onde f
θf d(θ) e f
υf d(V ) s˜ ao os vetores correspondentes ` as express˜ oes das condi¸c˜ oes de disjuntor fechado representadas pela equa¸c˜ ao 2.11.
De forma similar, se o dispositivo estiver aberto, os fluxos de potˆ encia ativa e reativa atrav´ es dele ser˜ ao nulos, ou seja:
t
km= 0 e u
km= 0 (2.13)
2.3. Fluxo de Potˆ encia Estendido via M´ etodo de Newton-Raphson 19
Se N
at´ e o n´ umero de dispositivos abertos, as condi¸ c˜ oes de opera¸ c˜ ao de disjuntor aberto podem ser compactamente expressas pelo seguinte vetor de dimens˜ ao 2N
at:
f
oat(t, u) =
t
at(t) u
at(u)
= 0 (2.14)
onde t
at(t) e u
at(u) s˜ ao vetores de dimens˜ ao N
atcorrespondentes ` as condi¸c˜ oes opera- cionais ativa e reativa de disjuntores abertos, respectivamente.
A modelagem da rede no n´ıvel de se¸c˜ ao de barra atrav´ es das altera¸c˜ oes propostas no conjunto de vari´ aveis de estado (2.10), e da inclus˜ ao das novas equa¸c˜ oes (2.12 e 2.14), tˆ em impacto direto nas equa¸c˜ oes est´ aticas do problema de fluxo de potˆ encia.
De acordo com a nova modelagem, os fluxos de potˆ encia atrav´ es de ramos convencionais e ramos chave´ aveis s˜ ao calculados de forma distinta. O fluxo de potˆ encia atrav´ es dos ramos convencionais ´ e calculado da mesma forma adotada na formula¸c˜ ao barra-ramo, por´ em, os fluxos de potˆ encia atrav´ es de ramos chave´ aveis, s˜ ao expressos diretamente em fun¸c˜ ao das novas vari´ aveis de estado. Sendo assim, as equa¸c˜ oes de inje¸c˜ ao de potˆ encia ativa e reativa em uma dada barra k, na modelagem estendida, s˜ ao expressas por:
P
k= X
mΩk
t
km(V
k, V
m, θ
k, θ
m) + X
lΓk
t
kl(2.15)
Q
k= X
mΩk
u
km(V
k, V
m, θ
k, θ
m) + X
lΓk
u
kl+ Q
shk(V
k) (2.16) onde Ω
k´ e o conjunto de barras que est˜ ao conectadas a barra/se¸c˜ ao de barra k atrav´ es de ramos convencionais; Γ
k´ e o conjunto de barras conectadas a barra/se¸c˜ ao de barra k atrav´ es de ramos chave´ aveis; e Q
shk´ e o fluxo de potˆ encia reativo atrav´ es de elementos shunt (banco de capacitores ou reatores) incidentes ` a barra k.
Dessa forma, a nova fun¸c˜ ao para o problema generalizado se d´ a da mesma
forma que do m´ etodo convencional, aplicando as devidas modifica¸c˜ oes ` a matriz Jaco-
biana, que agora cont´ em tamb´ em as derivadas em rela¸c˜ ao ` a t e u, conforme ilustrado
2.4. Solu¸c˜ ao via M´ etodo de Newton-Raphson Desacoplado R´ apido 20
na equa¸c˜ ao 2.17.
f ¯ (¯ x) =
P
esp− P (θ, V, t) Q
esp− Q(θ, V, u)
f
of d(θ, V ) f
oat(t, u)
= 0 (2.17)
Ao se aplicar o m´ etodo de Newton-Raphson ` a equa¸c˜ ao 2.17, obtem-se:
J ¯ (¯ x
υ)
∆θ
∆V
∆t
∆u
=
∆P (θ
υ, V
υ, t
υ)
∆Q(θ
υ, V
υ, u
υ) f
of d(θ
υ, V
υ)
f
oat(t
υ, u
υ)
(2.18)
onde:
J ¯ (¯ x
υ) =
H N T 0
M L 0 U
C D 0 0
0 0 O P
υ
,
δP δθ
δP δV
δP δt
δP δu δQ
δθ δQ δV
δQ δt
δQ δu δfof d
δθ
δfof d
δV
δfof d
δt
δfof d
δu δfoat
δθ δfoat
δV
δfoat δt
δfoat δu
(2.19)
As vari´ aveis s˜ ao atualizadas do mesmo modo proposto pela convencional.
2.4 Solu¸ c˜ ao via M´ etodo de Newton-Raphson De- sacoplado R´ apido
Este trabalho demonstra as altera¸c˜ oes necess´ arias nos algoritmos existentes para que o problema de fluxo de potˆ encia estendido representado pela equa¸c˜ ao 2.17 possa ser resolvido pelo M´ etodo Desacoplado R´ apido.
Considera-se que as condi¸c˜ oes b´ asicas para o desacopalmento P − θ/Q − V s˜ ao satisfeitas, ou seja, a rela¸c˜ ao X/R para os ramos convencionais ´ e suficiente- mente elevada. Al´ em disso, sup˜ oe-se que as condi¸c˜ oes de opera¸c˜ ao requeridas para a aplica¸c˜ ao da vers˜ ao r´ apida do m´ etodo desacoplado [41] s˜ ao igualmente satisfeitas.
Dessa forma, a solu¸c˜ ao para o sistema da equa¸c˜ ao 2.17 pode ser obtida atrav´ es de
2.4. Solu¸c˜ ao via M´ etodo de Newton-Raphson Desacoplado R´ apido 21
um algoritmo iterativo que resolve sequencialmente dois sistemas lineares correspon- dentes aos problemas P − θ e Q − V , expressos por:
B
ext0
∆θ
∆t
=
∆P (θ
υ, V
υ, t
υ)/V
υf
θf d(θ
υ)
f
at(t
υ)
(2.20)
B
ext00
∆V
∆u
=
∆Q(θ
υ+1, V
υ, u
υ)/V
υf
υf d(V
υ)
u
at(u
υ)
(2.21)
onde B
ext0e B”
exts˜ ao as matrizes de coeficiente (constantes) do m´ etodo desacoplado r´ apido [41], utilizando a estrutura matricial XF DP F , estendidas de forma a con- templar as restri¸c˜ oes operacionais impostas pela inclus˜ ao dos ramos chave´ aveis. As Figuras 2.2 e 2.3 ilustram as modifica¸c˜ oes necess´ arias nas matrizes para a solu¸c˜ ao deste problema [34].
Fig. 2.2: Sistema teste com 5 n´os
Fig. 2.3: Estrutura da matriz Bext0 cor- respondente
