N´umeros Complexos Professores Jorge Aragona e Oswaldo R. B. de Oliveira

(1)

N´umeros Complexos

Professores Jorge Aragona e Oswaldo R. B. de Oliveira

(2)

Cap´ıtulo 1

N ´ UMEROS COMPLEXOS

(3)

Cap´ıtulo 2

POLIN ˆ OMIOS

(4)

Cap´ıtulo 3

SEQUˆ ENCIAS E TOPOLOGIA

(5)

Cap´ıtulo 4

O TEOREMA FUNDAMENTAL DA ´ ALGEBRA E OUTROS

TEOREMAS POLINOMIAIS

(6)

Cap´ıtulo 5

S´ ERIES/CRIT´ ERIOS DE

CONVERGˆ ENCIA

(7)

Cap´ıtulo 6

S´ ERIES ABSOLUTAMENTE

CONVERGENTES E SOMAS

N ˜ AO ORDENADAS

(8)

Cap´ıtulo 7

SEQUˆ ENCIAS E S´ ERIES DE FUNC ¸ ˜ OES E, S´ ERIES DE

POTˆ ENCIAS

7.1 - Introdu¸c˜ao

(9)

7.2 - Sequˆencias de Fun¸c˜oes

Neste cap´ıtuloX indica um subconjunto de K, com K=R ouK=C. 7.1 Defini¸cão. Para uma sequência de fun¸cões, (fn), fn∶X →K, temos:

(a) (fn) converge simplesmente a f ∶X→K se, limfn(x) =f(x),∀x∈X.

(b) (fn) converge uniformemente a f ∶ X → K se, para todo ǫ > 0, existe um natural N tal que ∣fn(x) −f(x)∣ <ǫ , ∀n≥N, ∀x∈X.

f f

_n

f + ǫ

f − ǫ X ǫ

ǫ

Figura 7.1: Convergˆencia Uniforme sobre X⊂R.

Se(fn) converge uniformemente a f ent˜ao (fn) converge simplesmente a f.

7.2 Exemplo. Dado n∈N, seja fn(x) =

⎧⎪

⎪⎨⎪⎪

⎩

xⁿ, se 0≤x<1, 1, se 1≤x≤2 . E claro que´

f(x)= lim

n→+∞fn(x)=⎧⎪⎪

⎨⎪⎪⎩

0, se 0≤x<1, 1, se 1≤x≤2 .

A sequência (fn) é de fun¸cões cont´ınuas mas f(x), x∈[0,2], não é cont´ınua.

(10)

1 1

f

₁

f

₂

f

₃

f

₄

Figura 7.2: Ilustra¸c˜ao ao Exemplo 7.2.

7.3 Proposi¸cão. Sejam (fn) e (gn) duas sequências de fun¸cões definidas em X e a valores em C, convergindo uniformemente às fun¸cõesf e g, respectivamente.

Seja ainda λ uma constante em C. Então, as sequências de fun¸cões (fn+gn) e (λfn) convergem uniformente sobre X às fun¸cões f+g e λf, respectivamente.

Prova. E f´acil e a deixamos ao leitor´ ∎

7.4 Teorema. Se (fn) é uma sequência de fun¸cões, em X, cont´ınuas em x0 e convergindo uniformemente a f ∶X →K então, f é cont´ınua em x0.

Prova.

Seja x0 ∈ X e ǫ > 0. Por hipótese, existe um natural N tal que para todo n ≥ N temos ∣fn(x)−f(x)∣ < ǫ para todo x ∈ X. Desta forma, como fN é cont´ınua, existe δ > 0 tal que, se ∣x−x0∣ < δ então ∣fN(x)−fN(x0)∣ <ǫ. Logo,

∣f(x)−f(x⁰)∣≤∣f(x)−fN(x)∣+∣fN(x)−fN(x⁰)∣+∣fN(x⁰)−f(x⁰)∣<ǫ+ǫ+ǫ ∎ 7.5 Corolário. Se (fn) é uma sequência de fun¸cões cont´ınuas, em X, conver- gindo uniformemente a f ∶X→K então f é cont´ınua.

Prova. Imediata consequˆencia do teorema acima ∎

7.6 Teorema. Se (fn) é uma sequência de fun¸cões cont´ınuas em [a.b] ⊂ R, a valores reais e convergindo uniformemente a f ∶[a, b]→R então,

nlim→+∞∫_a^bfn(x)dx=∫_a^bf(x)dx .

(11)

Prova.

Pelo Teorema 7.4, f é cont´ınua e, assim, integrável como todafn. Dadoǫ>0, por hipótese, existe N ∈N tal que, se n≥N, ∣fn(x)−f(x)∣<ǫ ,∀x∈[a, b]. Assim sendo, para todo n≥N temos

∣∫_a^bfn(x)dx−∫_a^bf(x)dx∣≤∫_a^b∣fn(x)−f(x)∣dx≤∫_a^bǫ dx=ǫ(b−a) ∎

A hipótese da convergência uniforme para a validade da afirma¸cão no Teorema 7.6 acima é mostrada necessária pelo exemplo abaixo.

7.7 Exemplo. Seja fn∶[0,1]→R, n∈N, a sequˆencia de fun¸c˜oes dada por,

fn(x)=⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

2n²x , 0≤x≤ ₂¹_n 2n−2n²x , ₂¹_n ≤x≤ ¹_n 0, _n¹ ≤x≤1 .

Temos lim

n→+∞fn(x) = 0, para todo x ∈[0,1]. Computando áreas de triângulos é fácil verificar que ∫⁰¹fn(x)dx= ¹₂, para todo n∈N. Vide Figura 7.3 a seguir.

1 1

2 3

1 3 1 8

f₁ f₃

f₈

Figura 7.3: Ilustra¸c˜ao ao Exemplo 7.7

(12)

7.8 Defini¸cão. Seja Cⁿ([a, b],R) o espa¸co vetorial das fun¸cões f ∶[a, b]Ð→R tais que para todok∈N, com0≤k≤n, ak-ésima derivadaf⁽^k⁾existe no intervalo aberto (a, b) e se estende cont´ınuamente ao intervalo fechado [a, b].

7.9 Teorema. Seja (fn)⊂C¹([a, b],R) tal que (f_n^′) converge uniformemente a f ∶[a, b]→R e, ainda, (fn) converge simplesmente a uma fun¸cão F ∶[a, b]→R. Então, F é derivável e F^′=f. Isto é,

( lim

n→+∞fn(x))^′= lim

n→+∞f_n^′(x). Prova.

Pelo Primeiro Teorema Fundamental do C´alculo temos, fn(x)=fn(a)+∫_a^xf_n^′(t)dt , ∀x∈[a, b].

Pelas hip´oteses e pelo Teorema 7.6, tomando o limite para n→+∞, temos F(x)=F(a)+∫_a^xf(t)dt .

Logo, pelo 2^º Teorema Fundamental do Cálculo, F é derivável e F^′=f ∎ O exemplo a seguir mostra que não é suficiente a convergência uniforme da sequência de fun¸cões (fn) à fun¸cão f, com f e fn de classe C¹, para todo n∈N, para concluirmos que a sequência (f_n^′) converge simplesmente a f^′.

7.10 Exemplo. A sequência de fun¸cões fn(x) = ¹_nsinnx, com x ∈ R e n ∈ N, converge uniformemente à fun¸cão nula dada por f(x)=0, para todo x∈R. Verifica¸cão. De fato, dado ǫ > 0 existe um natural N tal que _N¹ < ǫ e assim temos ∣fn(x)−0∣≤ _n¹ ≤ _N¹ <ǫ se n ≥N. Mas, a sequência de fun¸cões (f_n^′), onde f_n^′(x)=cosnx, não converge simplesmente pois a sequência (cosn^π₂)_n_∈N diverge.

7.11 Critério (de Cauchy, para convergência uniforme de uma sequência de fun¸cões). A sequência (fn) de fun¸cões definidas em X e a valores em K converge uniformemente a f ∶X →K se e somente se para todo ǫ>0 existe um natural N tal que

∣fn(x)−fm(x)∣<ǫ ,∀n, m≥N,∀x∈X .

(13)

Prova.

(⇒) Dadoǫ>0, sejaN ∈Ndado pela convergˆencia uniforme. Ent˜ao, sen, m≥N e x∈X, temos ∣fn(x)−f(x)∣<ǫ e ∣fm(x)−f(x)∣<ǫ. Portanto,

∣fn(x)−fm(x)∣ ≤ ∣fn(x)−f(x)∣ + ∣fm(x)−f(x)∣ < ǫ+ǫ=2ǫ .

(⇐) Neste caso, para todo x ∈X, a sequência numérica (fn(x)) é de Cauchy e, convergente. Seja f(x) = lim

m→+∞fm(x). Dado ǫ >0 consideremos N ∈N tal que ∣fn(x)−fm(x)∣ <ǫ, ∀n, m ≥N, ∀x ∈ X. Tomando o limite nesta desigualdade para m→+∞temos ∣fn(x)−f(x)∣≤ǫ,∀n>N,∀x∈X ∎

7.3 - S´eries de Fun¸c˜oes

7.12 Defini¸cão. Seja (fn) uma sequência de fun¸cões em X e a valores em K. Então, ^+∞∑

n=1

fn é a série de fun¸cões cujas somas parciais são as fun¸cões

sn=f1+...+fn=

∑n j=1

fj ∶ X →K, n∈N .

7.13 Defini¸cão. Asérie de fun¸cões ^+∞∑

n=1

fn converge, sobre seu dom´ınioX, para a

fun¸c˜ao s∶X →K se, para cada x∈X temos, ^+∞∑

n=1fn(x)=s(x). 7.14 Defini¸cão. Dada a série de fun¸cões ^+∞∑

n=1fn, definidas no conjunto X, a fun¸c˜ao s(x)=^+∞∑

n=1

fn(x)definida sobre o conjunto dos pontos x∈X em que a série de fun¸cões converge é chamada a soma da série ^+∞∑

n=0fn. 7.15 Defini¸cão. A série de fun¸cões ^+∞∑

n=0fn, definidas em X e a valores em K, converge uniformemente à fun¸cão s ∶ X →K se a sequência (sn) de suas somas parciais, onde sn=f1+...+fn, n∈N, converge uniformemente a s∶X→K.

(14)

7.16 Teorema. (Integra¸c˜ao termo a termo)Sejas(x)=^+∞∑

n=1fn(x),∀x∈[a, b], uma série de fun¸cões em C([a, b],R), uniformemente convergente. Então, a fun¸cão s∶[a, b]→R é cont´ınua e

∫_a^bs(x)dx=^+∞∑

n=1∫_a^bfn(x)dx .

Prova. Consequência imediata do Corolário 7.5 e do Teorema 7.6 ∎ 7.17 Teorema. (Deriva¸cão termo a termo)Seja s(x)=^+∞∑

n=1fn(x),∀x∈[a, b], uma série de fun¸cões de classe C¹, a valores reais, tal que a série ^+∞∑

n=1f_n^′ converge uniformemente em [a, b]. Então, a fun¸cão s∶[a, b]→R é de classe C¹ e,

s^′(x)=(^+∞∑

n=1

fn(x))^′=^+∞∑

n=1

f_n^′(x),∀x∈[a, b] .

Prova. Segue trivialmente do Teorema 7.9 aplicado à sequência de fun¸cões(sn)= (f1+...+fn)∎

7.18 Teorema (Critério de Cauchy para convergência uniforme de uma série de fun¸cões). A série de fun¸cões ^+∞∑

n=1fn, definidas em X e a valores em K, converge uniformemente `a fun¸c˜ao s(x)= ^+∞∑

n=1fn se e somente se para todo ǫ >0 existir N ∈N tal que

∣∑^m

k=1

fk(x)−

∑n k=1

fk(x)∣<ǫ , ∀n, m≥N , ∀x∈X .

Prova. Consequência imediata do critério de Cauchy para sequências de fun¸cões aplicado à sequência (sn)=(f1+...+fn)das somas parciais da série ^+∞∑

n=1fn pois,

∣∑^m

k=1

fk(x)−

∑n k=1

fk(x)∣=∣sm(x)−sn(x)∣ ∎ 7.19 Teorema (Teste M de Weierstrass). Seja ^+∞∑

n=1fn uma s´erie de fun¸c˜oes, definidas em X e a valores em K, satisfazendo

∣fn(x)∣≤Mn,∀n∈N,∀x∈X , e ^+∞∑

n=1

Mn< ∞ .

Ent˜ao, a s´erie ^+∞∑

n=0

fn converge uniformemente, em X, `a fun¸c˜ao s(x)=^+∞∑

n=1

fn(x).

(15)

Prova. Pelo Critério 5.16 (Critério de Cauchy para uma série numérica), dado ǫ >0 existe N ∈N tal que ∀n >N e p∈ N temos Mn+1+Mn+2+...+Mn+p <ǫ.

Logo, a sequˆencia (sn) das somas parciais de ^+∞∑

n=1fn satisfaz: se n>m>N ent˜ao,

∣sn(x)−sm(x)∣=∣fm+1(x)+fm+2(x)+....+fn(x)∣<Mm+1+Mm+2+....Mn<ǫ . Tomando o limite na expressão acima para m tendendo a +∞ obtemos então, é fácil ver, ∣sn(x)−s(x)∣≤ǫ, para todo n>N, para todox∈X ∎

7.4 - Derivada Complexa

A derivada complexa é definida através do limite de quocientes de Newton, como no caso real. Voltaremos a este tópico na se¸cão dedicada às equa¸cões de Cauchy-Riemann. Abaixo, os conjuntos Ω, Ω1 e Ω2 são abertos em C, f ∶Ω→C

é uma fun¸cão na variável complexa z e z0 um ponto em Ω.

7.20 Defini¸cão. Dada f ∶Ω→C, e z0 ∈Ω, f éderivável em z0 se existir o limite abaixo, dito então a derivada de f em z0,

f^′(z0)= lim

z→z0

f(z)−f(z0) z−z0

.

Analogamente ao caso real, a fun¸cão f(z)=z², z∈C, é derivável em todo ponto e f^′(z) = 2z. Mas, f(z) = z, z ∈ C, não é derivável em nenhum z0. Se z0 =0, os quocientes ^z_z, z ≠ 0, não tendem a nenhum número se z → 0, o que é óbvio escolhendo z =x,x≠0 e z=iy, y≠0. Sez0 ≠0 a argumenta¸cão é similar.

7.21 Proposi¸cão. Se f ∶Ω→Cé derivável em z0∈Ω entãof é cont´ınua emz0. Prova. Trivial pois,

zlim→z0[f(z)−f(z0)]= lim

z→z0

f(z)−f(z0)

z−z0 (z−z0)=f^′(z0)(z−z0)=0 ∎

(16)

7.22 Proposi¸cão. Se f, g∶Ω→C são deriváveis em z0 então, as fun¸cões f+g, f g, λf (λ∈C), e ^f_g (supondo g(z0)≠0) são deriváveis em z0. Ainda mais,

(a) (f+g)^′(z0)=f^′(z0)+g^′(z0). (b) (λf)^′(z0)=λf^′(z0).

(c) (f g)^′(z0)=f^′(z0)g(z0)+f(z0)g^′(z0). (d)(^fg)^′(z0)= ^f^′⁽^z⁰⁾^g⁽^z_g⁰²⁾⁻₍_z^f₀⁽₎^z⁰⁾^g^′⁽^z⁰⁾. Prova.

(a) e (b) Seguem da Defini¸c˜ao 7.20 e Proposi¸c˜ao 3.57 (a) e (b), respectivamente.

(c) Dividindo f(z)g(z)−f(z0)g(z0)=[f(z)−f(z0)]g(z)+f(z0)[g(z)−g(z0)]

por z−z0,z ≠z0, e ent˜ao computando o limite para z→z0 da equa¸c˜ao f(z)g(z)−f(z0)g(z0)

z−z0

=f(z)−f(z0) z−z0

g(z)+f(z0)g(z)−g(z0) z₋z0

,

obtemos pela Defini¸c˜ao 7.20 e Proposi¸c˜ao 7.21 o resultado desejado.

(d) Se f =1, dividindo _g₍¹_z₎−_g₍¹_z₀₎ = −^g_g⁽₍^z_z⁾⁻₎_g^g₍⁽_z^z₀⁰₎⁾ por z−z0,z ≠z0, obtemos,

1

g(z)−_g₍¹_z₀₎ z−z0

= −g(z)−g(z0) z−z0

1 g(z)g(z0),

cujo limite para z → z0 é, pela Defini¸cão 7.20 e Proposi¸cão 7.21, −_g^g²^′⁽₍^z_z⁰₀⁾₎. Aplicando tal fórmula e o ´ıtem (c) à fatora¸cão ^f_g =f.¹_g obtemos (d) ∎ Evidentemente então, como p(z)=z é derivável, todo polinômio é derivável.

7.23 Proposi¸cão. Sejam f ∶ Ω1 → C e g ∶ Ω2 → C com f(Ω1) ⊂ Ω2. Se f é derivável em z0 e g é derivável em f(z0) então g○ f é derivável em z0 e,

(g○f)^′(z⁰)=g^′(f(z⁰))f^′(z⁰) .

Prova. Comog é derivável em w0=f(z0), é cont´ınua em w0=f(z0)a fun¸cão h(w)=⎧⎪⎪

⎨⎪⎪⎩

g(w)−g(w0)

w−w0 −g^′(w0) se w≠w0,

0 sew=w0 .

Escrevendo g(w)−g(w0) = [h(w)+g^′(w0)](w−w0), e substituindo w = f(z), w0 =f(z0)e dividindo porz−z0,z≠z0, obtemos o quociente de Newton deg○f,

g(f(z))−g(f(z0)) z−z0

= [h(f(z))+g^′(f(z0))]f(z)−f(z0) z−z0

, z≠z0 .

(17)

Analisemos o limite do segundo membro quando z → z0. Utilizando que f é derivável emz0 [logo,fé cont´ınua emz0 e(h○f)é cont´ınua emz0] conclu´ımos que

zlim→z0(h○ f)(z)=h(f(z0))=h(w0)=0. Logo, o limite citado é g^′(f(z0))f^′(z0) ∎ 7.5 - Séries de Potências e Propriedades Operatórias

7.24 Defini¸cão. Dada uma sequência (an) ⊂ C e z⁰ ∈ C, a série de fun¸cões complexas ^+∞∑

n=0an(z −z0)ⁿ, z ∈ C, é a série de potências com coeficientes (an), centrada em z0, ou em torno de z0.

A s´erie de potˆencias^+∞∑

n=0

an(z−z⁰)ⁿé convergente (divergente) no pontoz=w∈Cse a série numérica ^+∞∑

n=0an(w−z0)ⁿé convergente (divergente). Através da transla¸cão w =z−z0 passamos da série ^+∞∑

n=0

an(z−z0)ⁿ para a s´erie ^+∞∑

n=0

anwⁿ. Desta forma, simplificamos a exposi¸c˜ao supondo a s´erie centrada em z⁰ =0.

Doravante z denotará tanto a variável z como o número z ∈C. O contexto indicará o sentido.

7.25 Teorema. Seja ^+∞∑

n=0anzⁿ uma s´erie de potˆencias centrada na origem e

ρ= 1

lim sup √ⁿ

∣an∣ ∈[0,+∞], com ρ= +∞ se lim sup √ⁿ

∣an∣=0 e ρ=0 se lim sup √ⁿ

∣an∣= +∞.

(a) Se ∣z∣<ρ a s´erie converge absolutamente.

(b) Se ∣z∣>ρ a s´erie diverge.

(c) Se ∣z∣=ρ o critério é inconclusivo sobre a convergência ou divergência.

(d) A s´erie converge absolutamente e uniformemente em todo disco fechado D(0 ;r) tal que 0<r<ρ.

Prova. Notemos que, se z≠0 ent˜ao

√∣ ∣ ∣ ∣ √

∣ ∣ [ ] ∣ ∣ [ ]

(18)

(a) Se ∣z∣<ρ ent˜ao lim sup √ⁿ

∣anzⁿ∣<1 e pelo Crit´erio da Ra´ız^+∞∑ ∣anzⁿ∣< ∞.

(b) Se∣z∣>ρent˜ao lim sup √ⁿ

∣anzⁿ∣>1 e pelo Crit´erio da Ra´ız,^+∞∑ ∣anzⁿ∣= +∞.

(c) Deixamos ao leitor encontrar exemplos ilustrativos.

(d) Segue do ´ıtem (a) e do Teste M de Weierstrass pois ´e f´acil ver que temos

∣anzⁿ∣≤∣an∣rⁿ, para todo z ∈Dr(0), e∑∣an∣rⁿ< ∞ ∎

D(^0;^ρ)

Figura 7.4: O Disco (aberto) de Convergˆencia.

7.26 Defini¸cão. (Hadamard) O raio de convergência da série ^+∞∑

n=0anzⁿ ´e

ρ= 1

limsup√ⁿ

∣an∣ ∈ [0,+∞] .

Observa¸cão. Dada uma sequência(an)emC∗=C∖{0}tal que existe lim∣â_aⁿ⁺_n¹∣, pelo Teorema 5.28 existe lim √ⁿ

∣an∣ e ρ= _lim ¹

∣^an+_an¹∣ = _limn√¹

∣a_n∣.

Fixada uma série de potências indicamos por ρo seu raio de convergência.

7.27 Defini¸cão. Dada a série de potências ^+∞∑

n=0

anzⁿ, com raio de convergência ρ>0, o disco aberto D(0;ρ) é o disco de convergência da série.

Se ρ = 0 temos o disco degenerado {z = 0}. Se ρ > 0 e z pertence ao disco D(0;ρ), pelo Teorema 7.25, a série ^+∞∑anzⁿ converge absolutamente e portanto a sequência (anzⁿ)^n∈N é somável. Assim sendo, escrevemos brevemente ∑anzⁿ para indicarmos a série de potências ^+∞∑anzⁿ.

A seguir mostramos que toda série de potências pode ser desenvolvida como uma série de potências em torno de cada ponto em seu dom´ınio. É importante observar que este fato não é evidente.

(19)

7.28 Teorema (Transla¸cão). Seja f(z)=∑anzⁿ convergente emD(0;ρ), com ρ>0. Então, fixadoz0 ∈D(0;ρ), existe uma sequência complexa (bn) tal que

f(z)=∑bn(z−z0)ⁿ, ∀z∈D(z0;ρ−∣z0∣).

z0

ρ− ∣z₀∣ 0

ρ

Figura 7.5: Transla¸c˜ao.

Prova. Seja z, com ∣z0∣+∣z−z0∣ <ρ. Como a série de potências dada converge absolutamente emDρ(0), são iguais e finitos os valores das somas (não ordenadas)

∑n ∣an∣(∣z0∣+∣z−z0∣)ⁿ = ∑

n ∑

0≤p≤n∣an∣(n

p)∣z0∣ⁿ⁻^p∣z−z0∣^p. Pela associatividade para somas (n˜ao ordenadas) seguem as identidades

∑n ∑

0≤p≤n

an(n

p)zⁿ0⁻^p(z−z0)^p =

⎧⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

∑n an(z0 +z−z0)ⁿ=∑

nanzⁿ=f(z)

+∞∑

p=0(^+∞∑

n=pan(ⁿp)z0ⁿ⁻^p)(z−z0)^p ∎

Analogamente aos polinômios podemosmultiplicar e comporséries de potências.

Ainda, vantajosamente, podemos computar orec´ıprocode uma s´erie de potˆencias.

7.29 Teorema (Produto de Cauchy). Sejam ∑anzⁿ e ∑bnzⁿ convergentes no disco D(0;R), com R>0. A s´erie

n≥0∑

cnzⁿ, com cn= ∑

j+k=n

ajbk, ∀n∈N,

´e convergente em D(0;R) e satisfaz ∑cnzⁿ=(∑anzⁿ)(∑bnzⁿ) . Prova. Sejaz ∈D(0;R). Como

∑∣ ⁿ ^m∣ = (∑∣ ⁿ∣) (∑∣ ^m∣)< ∞

(20)

pela associatividade para somas (n˜ao ordenadas) segue,

n,m∑

anzⁿbmz^m =

⎧⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎩ (∑

n

anzⁿ)(∑

m

bmz^m)

∑n( ∑

j+k=n

ajbk)zⁿ ∎

7.30 Corolário (Potencia¸cão). Sejaf(z)=∑anzⁿconvergente no discoD(0;R) e p fixo em N. Então, para todo z ∈D(0;R) vale

f(z)^p = ∑bnzⁿ, com bn= ∑

n1+...+np=n

an1...anp .

Prova. Sejaz ∈D(0;R). Ent˜ao temos

∞ >(∑∣an∣∣z∣ⁿ)^p = ∑

n1∈N...,np∈N

∣an1∣∣z∣ⁿ¹...∣anp∣∣z∣ⁿ^p . Logo, pela Lei Associativa para somas n˜ao ordenadas segue,

n1∈N∑,...,np∈N

an1zⁿ¹...anpzⁿ^p =

⎧⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎩ (∑_n

1

an1zⁿ¹)...(∑_n

p

anpzⁿ^p) = (∑_n anzⁿ)^p

∑n( ∑

n1+...+np=nan1...anp)zⁿ ∎

7.31 Teorema (Composi¸c˜ao). Sejam f(z)=∑anzⁿ e g(z)=∑bmz^m conver- gentes em D(0;R), R>0. Se ∣g(0)∣<R, ent˜ao existe r>0 tal que

f(g(z))=∑cmz^m, ∀z∈D(0;r) .

r 0

g R g₍z₎ f

R

C

Figura 7.6: Teorema (Composi¸c˜ao).

(21)

Prova. Por hipótese temos ∣b0∣= ∣g(0)∣<R. Logo, por continuidade podemos escolher 0<r <R, tal que ∑∣bm∣∣z∣^m <R se z ∈D(0;r). Assim, fixando um tal z, devido à convergência absoluta da série ∑anzⁿ em D(0;R) obtemos

∞ >∑

n ∣an∣(∑

m ∣bm∣∣z∣^m)ⁿ = ∑

n∈N

∣an∣ ∑

m1∈N,...,mn∈N

∣bm1∣∣z∣^m¹...∣bmn∣∣z∣^mⁿ . Ent˜ao, pela associatividade para somas n˜ao ordenadas segue,

∑n

an ∑

m1,...,m_n

bm1z^m¹...bmnz^mⁿ =

⎧⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎩

∑nan(∑

mbmz^m)ⁿ = f(g(z))

∑m(∑

n

an ∑

m1+...+mn=m

bm1...bmn)z^m ∎ 7.32 Proposi¸cão (Rec´ıproco). Seja f(z) =∑anzⁿ, z ∈ Dr(0), r > 0, tal que a0≠0. Então, existe δ>0 tal que vale o desenvolvimento em série de potências

1

f(z) =∑bnzⁿ,∀z∈Dδ(0) . 1^ª Prova.

Dividindo f =f(z) por a⁰ se necess´ario, supomos a⁰ =1. Por continuidade, existe δ > 0 tal que ∑ⁿ^≥1∣anzⁿ∣ < 1 se ∣z∣ < δ. Indiquemos cn = −an, ∀n ≥ 1, e

−∑ⁿ^≥1anzⁿ=∑cnzⁿ. Assim, se ∣z∣<δ, temos as identidades finitas 1+∑∣cnzⁿ∣+(∑∣cnzⁿ∣)²+...=∑

p (∑

n ∣cn∣∣z∣ⁿ)^p=∑

p ∑

(n1,n2,...,np)∈N^p

∣cn1∣∣z∣ⁿ¹...∣cnp∣∣z∣ⁿ^p. Ent˜ao, pela associatividade para somas (n˜ao ordenadas) seguem as identidades,

∑p ∑

(n1,n2,...,np)∈N^p

cn1zⁿ¹...cnpzⁿ^p =

⎧⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

+∞∑

p=0( ∑cnzⁿ)^p= ₁₋_∑¹_c

nzⁿ = ₁₊_∑¹_a

nzⁿ = _f₍¹_z₎,

+∞∑

N=0

bNz^N, bN = ∑

n1+...+nj=N

cn1...cn_j .

2^ª Prova.

Suponhamos a0=1. Então, g(z)=1−f(z)=∑^n≥1anzⁿ e h(z)= ₁₋¹_z =∑^n≥0zⁿ estão definidas em torno de zero e g(0) =0. Pelo Teorema 7.31 existe δ >0 tal que h(g(z))= ₁₋_[₁₋¹_f_(z)] =_f_(z)¹ é uma série de potências sobre o discoDδ(0) ∎

Abusando da nota¸c˜ao escrevemos por praticidade ∑nanzⁿ⁻¹ para uma s´erie

(22)

7.33 Teorema (Deriva¸cão). As séries f(z) =∑anzⁿ e g(z) =∑nanzⁿ⁻¹ tem mesmo disco de convergência D(0;ρ). Se ρ>0 temos,

f^′(z)=g(z), ∀z ∈D(0;ρ) . Prova. Dividamos a prova em duas partes complementares.

(a) Da desigualdade∑^n≥1∣anzⁿ∣≤∣z∣∑^n≥1∣nanzⁿ⁻¹∣segue: o disco de convergência de g está contido no disco de convergência de f. Ainda, se o disco de con- vergência de f é degenerado então o de g também o é (fim do caso trivial).

(b) Suponhamos f convergente em D(0;τ), τ >0. Fixemos R >0 e z satisfazendo ∣z∣<R<τ. Seja h tal que 0<∣h∣<r=R−∣z∣. Para n≥2 obtemos

(z+h)ⁿ−zⁿ

h = nzⁿ⁻¹ + h

∑n p=2(n

p)zⁿ⁻^ph^p⁻² e portanto,

∣(z+h)ⁿ−zⁿ

h − nzⁿ⁻¹∣ ≤ ∣h∣ r²

∑n p=2(n

p) ∣z∣ⁿ⁻^pr^p ≤ ∣h∣ r²Rⁿ .

Logo, ∑nanzⁿ⁻¹ converge absolutamente e g converge emD(0;τ). Por fim,

∣∑an(z+h)ⁿ−zⁿ

h − ∑nanzⁿ⁻¹∣ ≤ ∣h∣

r² ∑∣an∣Rⁿ ÐÐ→^h^→⁰ 0 ∎ 7.34 Corol´ario. Seja f(z)= ∑

n≥0anzⁿ com raio de convergˆencia ρ>0. Ent˜ao, f

é infinitamente derivável no seu disco de convergência e, (a) f^(k)(z)= ∑

n≥k

n(n−1)....(n−k+1)anzⁿ⁻^k= ∑

n≥k n!

(n−k)!anzⁿ⁻^k. (b) f ´e dada por sua s´erie de Taylor centrada em 0,

f(z)=∑

n≥0

f⁽ⁿ⁾(0) n! zⁿ .

(c) Se f(z)=0,∀z∈Dρ(0), ent˜ao an=0, ∀n∈N.

Prova. Do Teorema 7.33 segue, por recursão, quef é infinitamente derivável no seu disco de convergência e também o ´ıtem (a).

(b) Substituindo z=0 em (a) obtemos f^(k)(0)=k!ak. Logo, ak=f^(k)(0)/k!.

(c) Segue de (b) ∎

(23)

7.35 Teorema (Taylor). Seja f(z)=^+∞∑

n=0anzⁿ com raio de convergˆencia ρ>0.

Dado z0∈D(0;ρ), ´e v´alida a propriedade f(z)=^+∞∑

n=0

f⁽ⁿ⁾(z0)

n! (z−z0)ⁿ , ∀z ∈D(z0;ρ−∣z0∣).

ρ_{− ∣}z₀_∣ 0

z₀ ρ

Figura 7.7: Teorema de Taylor.

Prova.

Segue do Teorema 7.28 (Teorema de Transla¸cão) e do Corolário 7.34 ∎ A série ^+∞∑

n=0

f⁽ⁿ⁾(z⁰)

n! (z−z0)ⁿ ´e a s´erie de Taylor de f em torno dez0.

7.36 Corolario. Seja f(z)=∑anzⁿ uma série de potências com disco de con- vergência D(0;ρ), ρ>0, e z0 ∈D(0;ρ) tal que f⁽ⁿ⁾(z0)=0, ∀n≥0. Então, f é identicamente nula e an=0,∀n≥0.

Prova. Consideremos X={w∈Dρ(0)∶f⁽ⁿ⁾(w)=0,∀n≥0}.

Sew∈X, pelo Teorema 7.35 temosf(z)=∑^f⁽ⁿ⁾n^(w)! (z−w)ⁿ=0, sez ∈D(w;r), para algum r>0. Portanto segue queD(w;r)⊂X e, assim, X ´e aberto.

TambémD(0;ρ)∖X é aberto: seω∈D(0;ρ)∖X existem tal quef^(m)(ω)≠0 e então, pela continuidade de f^(m), existe ǫ >0 tal que f^(m)(z) ≠0, ∀z ∈Dǫ(ω) e portanto Dǫ(ω)⊂D(0;ρ)∖X. Logo, o conexo Dρ(0)é união disjunta de dois abertos e assim um deles é o conjunto vazio. Como z0 ∈X, temos X =Dρ(0) e f =0. Por último, sendo f⁽ⁿ⁾(0)=ann!, ∀n∈N, conclu´ımos an=0, ∀n∈N ∎

(24)

A seguir mostramos dois resultados para séries de potências análogos a co- nhecidos resultados para polinômios. O primeiro corresponde ao fato de que um polinômio de grau n ≥ 1 tem zeros isolados. O segundo corresponde ao fato de que um polinômio é determinado pelo seu valor em n+1 pontos distintos.

7.37 Corolario (Princ´ıpio dos Zeros Isolados para s´eries de potˆencias).

Consideremos f(z) =∑anzⁿ com raio de convergência ρ > 0 e f não nula. Se f(z0)=0, z0 ∈D(0;ρ), existem m≥1, m∈N, e uma série de potênciasg definida em um disco D(z0;δ), δ>0, tais que para todo z ∈D(z0;δ) vale,

f(z)=(z−z0)^mg(z) e g(z)≠0 .

Prova. Sejaf(z)=∑^f⁽ⁿ⁾n^(z! ⁰⁾(z−z⁰)ⁿ, comz ∈D(z0;ρ^′)eρ^′>0, o que ´e garantido pelo Teorema 7.35. Como f ≠0 e f⁽⁰⁾(z0)=f(z0)=0, pelo Corol´ario 7.36 existe o primeiro natural m≥1 tal que f^(m)(z0)≠0.

Assim, indicando bn= ^f⁽ⁿ⁾_n^(z_! ⁰⁾,n∈N, temos f(z)=^+∞∑

n=0

bn(z−z0)ⁿ=(z−z0)^m[bm+bm+1(z−z0)+bm+2(z−z0)²+....] donde, notando que para z−z0 ≠0 a série no lado esquerdo converge se, e só se, a série no lado direito converge, conclu´ımos que ambas convergem em Dρ^′(z0). Desta forma, g(z)=∑[bm+bm+1(z−z0)+bm+2(z−z0)²+....]é tal que

f(z)=(z−z0)^mg(z) e g(z0)=bm ≠0 se z ∈D(z0;ρ^′).

Para finalizar, escolhemos δ>0 tal que 0<δ<ρ^′ e g(z)≠0 se z∈D(z0;δ) ∎ 7.38 Corolário (Princ´ıpio da Identidade para séries de potências). Se- jam ∑anzⁿ e ∑bnzⁿ convergentes em D(0;R) e X ⊂D(0;R) um conjunto com ponto de acumula¸cão em D(0;R). É válida a propriedade abaixo:

se ∑anzⁿ=∑bnzⁿ,∀z∈X , ent˜ao temos an=bn,∀n∈N .

Prova. Efetuando a subtra¸cão∑anzⁿ−∑bnzⁿ=∑(an−bn)zⁿvemos que podemos supor bn=0,∀n. Suponhamos então que z0 é um ponto de acumula¸cão de zeros def(z)=∑anzⁿ. Pela continuidade def temosf(z0)=0. Então, sef não é nula, pelo Princ´ıpio dos Zeros Isoladosz0é o único zero def em algumD(z0;r), r>0, o que contradiz a hipótese. Conclu´ımos então que f(z)=∑anzⁿ=0,∀z∈D(0;R), e portanto an=f⁽ⁿ⁾(0)(n!)⁻¹ =0,∀n∈N ∎

(25)

EXERC´ICIOS - CAP´ITULO 7

1. Determine o dom´ınio de convergência da série e esboce o gráfico de f:

(a) f(x)=^+∞∑

n=1

xⁿ (b) f(x)=^+∞∑

n=1

nxⁿ

2. Para t∉2πZ e n∈N valem as identidades (a) eît+e²ît+e³ît+...+e^nit= e^nit−1

1−e⁻^it = sen(n₂^t)

sen(2^t) eⁱ⁽ⁿ⁺¹⁾²^t . (b) cos t+cos 2t+...+cos nt= sen^nt₂ cos(n+1)2^t

sen2^t

= −1

2 +sen(2n+1)2^t

2sen^t2

,

este é o n-ésimo núcleo de Dirichlet.

(c) sent+...+sennt= cos₂^t −cos(n+¹₂)t

2sen₂^t =sen^nt₂sen(n+1)2^t

sen₂^t , este é o n-ésimo núcleo conjugado de Dirichlet .

Sugestão: compute as partes real e imaginária da expressão em (a).

3. Mostre que as s´eries ^+∞∑

n=1 cosnx

n e ^+∞∑

n=1 sennx

n convergem, para todox∈R. Sugest˜ao: Utilize o exerc´ıcio anterior e o crit´erio de Dirichlet.

4. Determine o limitef(x)=limfn(x), ∀x∈X, e mostre que a sequˆencia (fn) n˜ao converge uniformemente a f, nos casos abaixo.

(a) fn(x)= ^sen₁₊_n^(nx)²_x², X =R. Dica: analise o que ocorre nos pontos xn= ₂^π_n. (b) _xⁿ₊_n, X=[0,+∞). Dica: analise o que ocorre nos pontosxn=n.

(c) fn(x)=(^senx^x)ⁿ, se x≠0 efn(0)=1, ondeX =R. (d) fn(x)=(1−2nx²)e⁻^nx², com X=R.

(e) fn(x)= ₁₊^x²_xⁿ²n, com X=R. (f) X=[0,1] e

fn(x)=⎧⎪⎪

⎨⎪⎪⎩

(n−1)x , 0≤x≤ _n¹ 1−x ,¹_n≤x≤1.

(26)

5. Mostre a convergˆencia uniforme de (fn) em X⊂R nos casos abaixo.

(a) fn(x)= ^sen_n⁷^nx, onde X=R.

(b) fn(x)=e⁻^nxsinx, onde X=[0,+∞). (c) fn(x)=xe⁻^nx², ondeX =R.

6. Determine o limite f(x)= lim

n→+∞fn(x), onde x∈[0,1], e mostre que

nlim→+∞∫

1

0 fn(x)dx≠∫

1 0 ( lim

n→+∞fn(x))dx , supondo

fn(x)=⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

n²x , 0≤x≤ 2¹n, n²(_n¹ −x),₂¹_n ≤x≤ _n¹, 0,_n¹ ≤x≤1.

7. Sendo fn(x)= ₁₊ⁿ_n²^x²²_x², x∈[−1,1], mostre que fn converge simplesmente af (determine f) mas n˜ao uniformemente. Ainda assim,

nlim→+∞∫

1

−1 fn(x)dx=∫

1

−1 lim

n→+∞fn(x)dx .

8. Para cadan≥1, sejafn(x)= _nx^nx²₊₁, x∈R. Consideremosf(x)= lim

n→+∞fn(x). (a) Determine o dom´ınio de convergˆencia da sequˆencia (fn). Esboce os

gr´aficos de f e das fun¸c˜oes fn.

(b) A convergência da sequência (fn) à fun¸cão f é uniforme sobre R ? E sobre o intervalo [r,+∞), r >0 ?

9. Para cadan≥1, sejafn(x)=₁₊^nx_n²_x⁴, x∈R. Consideremosf(x)= lim

n→+∞fn(x). (a) Determine o dom´ınio de convergˆencia. Esboce os gr´aficos de f e das

fun¸c˜oes fn.

(b) A convergência é uniforme sobre [0,1]? Justifique. Vide sugestão no livro.

(d) Mostre que ∫⁰¹[ lim

n→+∞fn(x)]dx ≠ lim

n→+∞∫⁰¹fn(x)dx .

(27)

10. Mostre que a s´erie dada converge uniformemente no intervalo dado.

(a) e^x=^+∞∑

n=0 xⁿ

n! em[−r, r], r >0. (b)^+∞∑

n=1 xⁿ

2n+1, em[−r, r],0<r<1.

11. Mostre que a fun¸c˜ao dada ´e cont´ınua.

(a) f(x)=^+∞∑

n=1 cosnx³

n⁴ ,x∈R. (b) f(x)=^+∞∑

n=1 1

2^nx,x∈[1,+∞). 12. Sejaf(x)=^+∞∑

n=1 x

x²+n². Justifique a igualdade: ∫⁰¹f(x)dx= ¹₂^+∞∑

n=1log(1+_n¹²). 13. Sejam (an)^n≥0 e (bn)^n≥1 duas sequˆencias em R. Suponhamos que

F(x)=a0

2 + ^+∞∑

n=1[ancosnx + bnsennx], x∈[−π,+π], a convergˆencia sendo uniforme. Mostre que:

(i) an= ¹_π∫−⁺π^πF(x)cosnx dx ,∀n≥0.

(ii) bn= _π¹∫−⁺π^πF(x)sennx dx ,∀n≥1,

A série é acima é a série de Fourier de F e os númerosan, n≥0, ebn, n≥1, são os coeficientes de Fourier de F.

14. Determine os coeficientes de Fourier de f(x)=x², −π≤x≤π.

15. Determine os coeficientes de Fourier de f(x)=∣x∣, −π≤x≤π.

16. (a) Descreva o dom´ınio da fun¸c˜ao g(z)= ^y_x+₁₋¹_yi, (z=x+iy).

(b) Seja Ω={x+iy∶x>0 e∣y∣<1} e considere a fun¸c˜aof ∶Ω→C, f(z)=y∫₀^+∞e⁻^xtdt+i^+∞∑

n=0

yⁿ, z=x+iy ∈Ω. Mostre que Ω⊂Dom(g) e que f(z)=g(z), ∀z∈Ω.

17. Mostre que a fun¸cão Re: z ∈ C ↦Re(z) ∈ C não é derivável em nenhum ponto de C.

(28)

18. Considerando o isomorfismo canˆonico entre R² e C, dado Ω aberto em C indiquemos por ˜Ω⊂R²o aberto identificado a Ω por tal isomorfismo. Ainda, dada f ∶Ω→C indiquemos por ˜f ∶Ω˜ →R² a fun¸c˜ao:

f˜(x, y)=(Re(f(z)), Im(f(z))), z =x+iy .

Suponha que existe f^(k), ∀k ∈N [em breve veremos que se existe f^′ ent˜ao existe f^(k), ∀k∈N]. Ent˜ao, verifique os itens abaixo.

(a) Mostre que ˜f ´e de classeC².

(b) Compute a matriz jacobiana de ˜f e mostre que o determinante jaco- biano de ˜f no ponto (x, y)∈Ω ´e˜ ∣f^′(z)∣, com z=x+iy.

19. Mostre que para uma fun¸cão L∶C→C são equivalentes : (i) Lé C-homogênea [isto é, L(zw)=zL(w), ∀z, w∈C].

(ii) L´e C-linear.

(iii) L´e uma homotetia; isto ´e, existe λ∈C tal que L(z)=λz ,∀z ∈C.

(29)

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