No¸ c˜ oes sobre conjuntos

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Maria L´ucia Torres Villela Instituto de Matem´atica

Universidade Federal Fluminense Junho de 2007

Revis˜ao em Fevereiro de 2008

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(3)

Introdu¸c˜ao . . . 3

Parte 1 - Preliminares . . . 5

Se¸c˜ao 1 - No¸c˜oes sobre conjuntos . . . 7

Se¸c˜ao 2 - Fun¸c˜oes . . . 15

Se¸cão 3 - Rela¸cões de Equivalência . . . 23

Parte 2 - An´eis . . . 31

Se¸c˜ao 1 - Conceito de anel . . . 33

Se¸c˜ao 2 - Propriedades elementares . . . 41

Se¸cão 3 - Polinômios com coeficientes em um anel comutativo 53 Se¸cão 4 - Anéis ordenados e anéis bem ordenados . . . 63

Se¸c˜ao 5 - Indu¸c˜ao . . . 71

Se¸c˜ao 6 - Divis˜ao euclidiana . . . 77

Parte 3 - Dom´ınios Principais . . . 83

Se¸c˜ao 1 - Divisibilidade . . . 85

Se¸c˜ao 2 - Ideais e m´aximo divisor comum . . . 91

Se¸cão 3 - Dom´ınios principais e a fatora¸cão única . . . 99

Se¸c˜ao 4 - Propriedades do Dom´ınio Principal Z . . . 107

Se¸cão 5 - Congruências módulo n e os anéis Z_n . . . 117 Se¸cão 6 - Homomorfismos de anéis comutativos com unidade 137

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(5)

A Matemática faz parte do nosso cotidiano e, em particular, recorremos aos números para descrever diversas situa¸cões do dia a dia.

Contamos com os números naturais, repartimos um bolo usando os números racionais, medimos comprimentos com os números reais, contabili- zamos preju´ızos com números negativos. Comparamos dois números inteiros, dois números racionais e dois números reais. Calculamos ra´ızes de polinômios com coeficientes reais com os números complexos.

Estamos familiarizados com números naturais, inteiros, racionais, reais e complexos, que estão relacionados pelas seguintes inclusões:

N⊂Z⊂Q⊂R⊂C.

Esses conjuntos estão munidos com opera¸cões de adi¸cão e multiplica¸cão, que têm diversas propriedades.

O objetivo deste texto ´e introduzir o estudo de estruturas alg´ebricas, abordando os conceitos de anel, dom´ınio, corpos, dom´ınio ordenado, corpo ordenado e dom´ınio principal.

O conjunto dos inteiros é o primeiro exemplo de dom´ınio principal, será estudado sob o ponto de vista algébrico e aritmético e faremos um estudo detalhado das suas propriedades no contexto dos dom´ınios principais.

Outro exemplo de dom´ınio principal que ser´a introduzido ´e o anel K[x]

de polinˆomios com coeficientes no corpoK.

Estudaremos congruências de inteiros e introduziremos os anéisZ_ndos inteiros módulon.

Mostraremos que Q é um corpo ordenado e é o corpo de fra¸cões de Z e faremos a constru¸cão dos números racionais a partir dos números inteiros no contexto dos dom´ınios ordenados.

Mostraremos que, a menos de isomorfismo, Z ´e o ´unico dom´ınio bem ordenado.

Não faremos a constru¸cão axiomática dos números naturais e dos números inteiros, usaremos apenas as suas no¸cões intuitivas.

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Preliminares

Consideraremos que a linguagem e as nota¸cões da teoria de conjuntos são bem conhecidas, assim como as no¸cões elementares de fun¸cões.

Relembramos alguns conceitos elementares da teoria de conjuntos e propriedades de fun¸c˜oes que faremos uso no texto.

Introduziremos os conceitos de rela¸cão de equivalência e de conjunto quociente, que têm aplica¸cões em diversas áreas da Matemática, desempenham um papel importante no contexto das estruturas algébricas e apresen- taremos muitas aplica¸cões interessantes.

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(9)

No¸ c˜ oes sobre conjuntos

Denotamos conjuntos por letras mai´usculasA,B,C, . . . e elementos de um conjunto por letras min´usculas a,b, c, . . . .

Para dizer que a ´e elemento do conjunto A ou a pertence a A, escre- vemosa∈A.

Para dizer que anão é elemento do conjuntoAouanão pertence a A, escrevemos a6∈A.

Chamamos de conjunto vazio o conjunto que n˜ao tem nenhum elemento e denotamos por ∅ ou{ }.

Descrevemos um conjunto listando os seus elementos entre chaves ou dando a propriedade dos seus elementos.

Exemplo 1

O conjunto dos n´umeros naturais, denotado porN, ´e N={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .}. Exemplo 2

A´e o conjunto dos n´umeros naturais menores do que 5.

A={0, 1, 2, 3, 4}={x ∈N; x < 5}.

Exemplo 3

B´e o conjunto dos n´umeros naturais entre 5 e 11.

B={6, 7, 8, 9, 10}={x ∈N;5 < x < 11}={x∈N; 6≤x≤10}.

Exemplo 4

C´e o conjunto dos n´umeros reais menores ou iguais a 11.

C={x∈R; x ≤11}= (−∞, 11].

Exemplo 5

Dé o conjunto dos números inteiros múltiplos de 2 entre −3 e15.

D = {x ∈Z; −3 < x < 15e2divide x}

= {−2, 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}

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No¸c˜oes sobre conjuntos

Defini¸c˜ao 1

Dizemos queAestá contido emBouAé um subconjunto deBse, e somente se, todo elemento de Aé elemento de B. Nesse caso, escrevemos A⊂B.

A⊂B se, e somente se, para todo a∈A temosa∈B.

O s´ımbolo∀significa para todo.

Tamb´em dizemos que Bcont´em A e escrevemos B⊃A.

Escrevemos A 6⊂ B, para dizer que A n˜ao est´a contido em B. Nesse caso, existe a∈A tal que a6∈B.

O s´ımbolo∃significaexiste. A6⊂B se, e somente, existe a∈Atal que a6∈B.

Também dizemos que Bnão contém A e escrevemos B6⊃A.

Exemplo 6

Temos as seguintes rela¸c˜oes entre os conjuntos dos exemplos anteriores:

A⊂N,A⊂C, B⊂N, B⊂C, A⊂C,D6⊂C, B6⊂D.

Escreva outras rela¸c˜oes usando ⊂ ou6⊂ e os conjuntos dos Exemplos 1 a 5.

Se os conjuntos A e B tˆem exatamente os mesmos elementos, dizemos que A=B.

Para demonstrar a afirma¸c˜ao A=Bdevemos provar, primeiramente, queA⊂Be depois queB⊂A.

Exemplo 7

SejaA={ |x|; x ∈Z}, onde |x|=

x, sex ≥0

−x, sex < 0 Facilmente, verificamos que A=N.

Exemplo 8

SejaAo conjunto dos triângulos retângulos isósceles e sejaBo conjunto dos triângulos retângulos cujos ângulos dos catetos com a hipotenusa são iguais.

Ent˜ao, A=B.

Defini¸c˜ao 2

SeA⊂B, mas A6=B, então Aé chamado um subconjunto própriode B.

Quando consideramos subconjuntos de um conjunto fixado, chamamos esse conjunto de conjunto universo e denotamos por U.

Exemplo 9

Se estamos considerando figuras geom´etricas planas, podemos tomarU como o conjunto dos pontos do plano.

Nos Exemplo 2 e Exemplo 3 podemos considerarU =N.

(11)

As opera¸cões com conjuntos são união, interse¸cão e complementar e são utilizadas para construir outros conjuntos.

Defini¸c˜ao 3

O conjuntoA uni˜ao B, denotado por A∪B, ´e o conjunto dos elementos de pelo menos um dos conjuntos Aou B.

A∪B={x; x∈Aoux ∈B}.

x∈A∪B

⇐⇒

x∈Aoux∈B.

O conjunto A interse¸cão B, denotado por A∩ B, é o conjunto dos elementos que estão, simultaneamente, em ambos os conjuntosA eB.

x∈A∩B

⇐⇒

x∈Aex∈B.

A∩B={x; x ∈Aex∈B}.

Defini¸c˜ao 4

Os conjuntosA e Bs˜ao disjuntos se, e somente se, A∩B=∅.

Defini¸c˜ao 5

Ocomplementar CU(A) de A⊂ U é o conjunto dos elementos de U que não estão em A.

C^U(A) ={x∈ U ; x6∈A}.

O complementar deAemB tamb´em ´e chamado de diferen¸ca deAeB.

OcomplementardeAemB, denotado porA\B(ouA−B), é o conjunto dos elementos de A que não estão em B.

A\B={x∈A; x6∈B}.

Exemplo 10

Sejam A={1, 2, 3, 4, 5, 6},B={−2, 0, 2, 4, 6}eC={−2,−1, 0, 7}. Ent˜ao, A∪B={−2, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6},

A∩B={2, 4, 6}, A\B={1, 3, 5}, B\A={−2, 0}, A∩C=∅,

B∩C={−2, 0}e C\B={−1, 7}.

(12)

Proposi¸c˜ao 1

Valem as seguintes propriedades para as opera¸c˜oes:

(1) Comutativa:

A∪B=B∪A A∩B=B∩A (2) Associativa:

A∪(B∪C) = (A∪B)∪C A∩(B∩C) = (A∩B)∩C) (3) Distributiva:

A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) (4) Leis de Morgan:

C^U(A∪B) =CU(A)∩CU(B) C^U(A∩B) =CU(A)∪CU(B) (5) Idempotente:

A∪A=A A∩A=A (6) Dupla nega¸c˜ao:

C^U(C^U(A)) = A

Demonstra¸c˜ao: Para ilustrar, vamos verificar (3).

x∈A∩(B∪C) ⇐⇒ x ∈Aex ∈B∪C

⇐⇒ x ∈Ae(x∈Boux∈C)

⇐⇒ (x ∈Aex∈B)ou(x∈Aex ∈C)

⇐⇒ x ∈A∩Boux ∈A∩C

⇐⇒ x ∈(A∩B)∪(A∩C) x∈A∪(B∩C) ⇐⇒ x ∈A ou x∈B∩C

⇐⇒ x ∈A ou (x∈Be x∈C)

⇐⇒ (x ∈A ou x∈B) e (x∈Aoux ∈C)

⇐⇒ x ∈A∪B e x∈A∪C

⇐⇒ x ∈(A∪B)∩(A∪C)

Proposi¸c˜ao 2

Valem as seguintes propriedades para o conjunto vazio ∅ e para o conjunto universo U:

Para qualquer conjuntoA temos∅ ⊂A

(i) A∪ ∅=A A∩ ∅=∅. (ii) A∪ U =U A∩ U =A.

(13)

Defini¸c˜ao 6

O produto cartesiano dos conjuntos A e B ´e o conjunto A× B de pares ordenados (a, b), tais que a∈Ae b∈B.

SeAouB´e vazio, ent˜ao A×B=∅

A×B={(a, b) ; a∈Aeb∈B}. Exemplo 11

Sejam A={1, 2, 3}e B={4, 5}. Ent˜ao,

A×B={(1, 4),(1, 5),(2, 4),(2, 5),(3, 4),(3, 5)}e B×A={(4, 1),(4, 2),(4, 3),(5, 1),(5, 2),(5, 3)}.

Exemplo 12

Sejam A={a, b}eB={b, c}. Ent˜ao, A×B={(a, b),(a, c),(b, b),(b, c)}e B×A={(b, a),(b, b),(c, a),(c, b)}.

Os exemplos acima mostram que em geral A×B6=B×A.

Podemos generalizar a defini¸c˜ao acima an conjuntos.

Defini¸c˜ao 7

Sejam n≥2um n´umero natural e A1, A2, . . . , Anconjuntos.

O produto cartesiano A₁× A₂× · · · × A_n ´e o conjunto das n-uplas ordenadas (a1, a2, . . . , an), tais quea1 ∈A1, a2∈A2, . . . , an∈An.

A1×A2× · · · ×An={(a₁, a2, . . . , an) ; a1∈A1, a2∈A2, . . . , an∈An}. Quando A=Aipara i=1, 2, . . . , n, denotamosAⁿ=A× · · · ×A

| {z }

nconjuntos

.

Exemplo 13

Sejam A={a, b}, B={c, d} e C={e}. Ent˜ao, A×B×C={(a, c, e),(a, d, e),(b, c, e),(b, d, e)}.

Sejam I um conjunto n˜ao-vazio e, para cada i ∈ I, Ai um conjunto.

Dizemos que{Ai, i∈I}´e uma fam´ılia de conjuntos indexada por I.

As opera¸cões de união e interse¸cão de conjuntos podem ser generaliza- das a uma fam´ılia de conjuntos.

(14)

Defini¸c˜ao 8

Seja a fam´ılia de conjuntos {Ai, i∈I}. Ent˜ao,

definimos auni˜aodessa fam´ılia como o conjunto dos elementos que est˜ao em algum Ai

[

i∈I

Ai={x; x ∈Ai, para algumi∈I}.

e definimos a interse¸c˜ao dessa fam´ılia como o conjunto dos elementos que est˜ao em todos Ai

\

i∈I

Ai={x ; x ∈Ai, para todoi∈I}.

Uma subdivis˜ao de um conjunto em subconjuntos disjuntos e n˜ao-vazios

´e chamada uma parti¸c˜ao.

Defini¸c˜ao 9

Seja A um conjunto. Uma fam´ılia F de subconjuntos não-vazios de A é chamada umaparti¸cão de Ase, e somente se,

(i)A= [

X∈F

X.

(ii) Se X, Y∈ F eX6=Y, ent˜ao X∩Y =∅. Exemplo 14

Tomando X = {x ∈ Z ; x é par }, Y = {x ∈ Z ; x é ´ımpar }, F = {X, Y} vemos que Z=X∪Y eX∩Y =∅. Logo, F é uma parti¸cão de Z.

Lembre que . . . A∩B=B∩A.

Exemplo 15

Os conjuntos X1 ={1, 2, 4, 5, 6}, X2 ={3, 7, 8} e X3 ={9, 10} definem uma parti¸c˜ao deA={1, 2, . . . , 10}, poisA=

3

[

i=1

XieXi∩Xj=∅, para quaisquer i, jtais que 1≤i < j≤3.

Exerc´ıcio

1. Determine os conjuntos descritos a seguir:

(a) {x∈ N; 2x > 10e3x < 28};

(b) {x∈ Z; 2x =n², para algumn∈N};

(15)

(c) {x; x, y∈Z, x² =2y+1ex+1=4y}. 2. Dˆe uma descri¸c˜ao de cada um dos conjuntos:

(a) {1, 3, 5, 7, . . . , 25}; (b) ₈

2,⁸₃,⁸₄,⁸₅,⁸₆, . . . ; (c) ₁

5,²₄,³₃,⁴₂,⁵₁ .

3. Sejam U = {x ∈ Z ; 0 < x < 8}, A = {1, 3, 5, 7}, B = {2, 3, 5, 6} e C={3, 4, 5, 6}. Determine:

(a) A∪B.

(b) CU(A∩B).

(c) C^U(A∪(B∩C)).

(d) A∩(B∪C).

(e) (A∩B)\(A∩C).

4. Consideremos A= {x ∈ Z ; x divide 40} e B = {x ∈ Z ; x divide 60}. Determine:

(a) A∩B.

(b) A∪B.

(c) A\B.

(d) B\A.

5. Consideremos A = {x ∈ Z ; 2 divide x}, B = {x ∈ Z ; 18 divide x}, C={x∈Z; 12dividex} e D={x∈Z; 36dividex}.

(a) Mostre que B⊂A, C⊂A,D⊂A, D⊂ Be D⊂ C.

(b) Mostre que D=B∩C.

6. Mostre que se A⊂Be B⊂C, ent˜ao A⊂C.

7. Mostre queA∪B= (A\B)∪(B\A)∪(A∩B) e a uni˜ao do lado direito

´e disjunta.

8. Sejam A, Bconjuntos. Mostre que(A\B)∪(B\A) = (A∪B)\(A∩B).

9. Mostre que A⊂B se, e somente se,A∩B=A.

10. Mostre que A⊂B se, e somente se,A∪B=B.

(16)

11. Mostre queA∪B=A∩B se, e somente se, A=B.

12. Indicamos por |A| o n´umero de elementos de um conjunto finito A.

Mostre que se B eC s˜ao conjuntos finitos, ent˜ao

|B∪C|=|B|+|C|−|B∩C|.

13. SejaA um conjunto comn elementos, isto ´e, |A|=n.

SejaP(A) ={B; B⊂A}. Mostre que P(A) tem 2ⁿelementos.

Sugest˜ao: Para cada natural rcom0≤r≤ndetermine o n´umeromrde subconjuntos deAcomrelementos.

Conclua que|P(A)|= Xn

r=0

mr

e determine a soma.

14. Sejam A, B, Cconjuntos.

(a) Mostre que (A∪B)×C= (A×C)∪(B×C).

(b) Mostre que (A∩B)×C= (A×C)∩(B×C).

15. Demonstre as propriedades (1), (2), (4), (5) e (6) da Proposi¸c˜ao 1.

16. Demonstre a Proposi¸c˜ao 2.

17. Mostre que se A e B são subconjuntos não-vazios de U com A 6⊂ B e B6⊂A, entãoA∪Bé um subconjunto não-vazio deU, tal queA∪B6=A eA∪B6=B.

18. Sejam B um conjunto e Ai, i∈I, uma fam´ılia de conjuntos.

(a) Mostre que [

i∈I

Ai

!

×B=[

i∈I

(Ai×B).

(b) Mostre que \

i∈I

A_i

!

×B=\

i∈I

(A_i×B).

(c) Mostre que B\ [

i∈I

A_i

!

=\

i∈I

(B\A_i).

(d) Mostre que B\ \

i∈I

Ai

!

=[

i∈I

(B\Ai).

(17)

Fun¸ c˜ oes

Veremos alguns resultados importantes sobre fun¸c˜oes.

Defini¸c˜ao 10 (Fun¸c˜ao, dom´ınio e contradom´ınio)

SejamAeBconjuntos não-vazios. Umafun¸cãofdeAparaB, denotada por f:A−→B, associa a cada a∈A exatamente um elemento b∈ B; bé dito o valor da fun¸cãofem aou a imagem de a e escrevemos b=f(a).

Tamb´em costumamos denotar a fun¸c˜ao fpor f: A −→ B

a 7−→ f(a)

O conjunto A´e o dom´ınio e o conjunto B´e o contradom´ınio de f.

Defini¸c˜ao 11 (Igualdade de fun¸c˜oes)

Sejam f: A−→ B e g : A−→ B fun¸c˜oes. fe g s˜ao iguais se, e somente se, para cada a∈A temos f(a) = g(a).

Portanto, duas fun¸cões são iguais se, e somente se, têm mesmos dom´ınios e contradom´ınios e têm valor igual em cada elemento do dom´ınio.

Exemplo 16

S˜ao exemplos de fun¸c˜oes:

(1)f:Z−→Z definida por f(x) =2x, para cadax ∈Z.

(2)g:Z−→{0, 1}definida por g(x) =

0 , sex´e par 1 , sex´e ´ımpar

(3)h:Z\{0}−→Q definida por h(x) = ¹_x , para cada x∈Z\{0}. (4)u:R−→R definida por u(x) =4x+3, para cada x∈R. Exemplo 17

A associa¸cão entre os conjuntos A={0, 1, 2} eB={3, 4, 5}definida a seguir não é uma fun¸cão:

0 → 3 ց

5 1 → 4 2 → 3

(18)

Fun¸c˜oes

Nesse caso, o elementox =0 deAest´a associado aos elementos de B y₁=3 ey2=5.

Defini¸c˜ao 12 (Composi¸c˜ao)

Sejam f:A−→B e g:B−→C fun¸cões. A composi¸cão oufun¸cão composta deg e f, indicada por g◦f, é a fun¸cão g◦f:A−→C definida por

(g◦f)(x) = g(f(x)), para cada x ∈A.

Observamos que a fun¸cão g◦f tem o mesmo dom´ınio de f, o mesmo contradom´ınio de g e só está definida quando o contradom´ınio de fcoincide com o dom´ınio deg.

Exemplo 18

(1) Sejam f: R−→ R e g : R−→ R definidas, respectivamente, por f(x) = 3x−5e g(x) =e^(2x+1), para cadax ∈R.

Nesse caso, podemos determinar ambas as compostas.

Temos que f◦g:R−→R eg◦f:R−→R s˜ao dadas por (f◦g)(x) =f(g(x)) =3e^(2x+1)−5, para cadax ∈R e

(g◦f)(x) =g(f(x)) =e(2(3x−5)+1)=e^(6x−9), para cada x∈R.

(2) Sejam f: Z −→ N e g : N −→ {0, 1, 2} dadas por f(x) = |x| e g(x) = r, onde r´e o resto da divis˜ao de x por 3.

S´o faz sentido determinar a composta g◦f:Z−→{0, 1, 2}. Temos (g◦f)(x) = g(f(x)) =







0, sex ∈{0,±3,±6, . . .} 1, sex ∈{±1,±4,±7, . . .} 2, sex ∈{±2,±5,±8, . . .} Defini¸c˜ao 13 (Fun¸c˜ao Identidade)

Seja A um conjunto não-vazio. A fun¸cão I_A : A −→ A definida por IA(a) =a, para cada a∈A, é chamada de fun¸cão identidade.

Proposi¸c˜ao 3

Consideremos as fun¸cões f:A−→B, g:B −→C, h :C−→D e as fun¸cões identidades IA:A−→A e IB:B−→B. Então,

A composi¸cão de fun¸cões é

associativa. (i)h◦(g◦f) = (h◦g)◦f;

(ii) IB◦f=f;

(iii) f◦I_A=f.

(19)

Demonstra¸cão: (i) É claro que o dom´ınio de ambas as fun¸cões éA=Dom(f), assim como o contradom´ınio é D, o contradom´ınio de h. Além disso, para cada x∈A, temos:

(h◦(g◦f))(x) =h((g◦f)(x)) = h(g(f(x))) = (h◦g)(f(x)) = ((h◦g)◦f)(x).

Logo, h◦(g◦f) = (h◦g)◦f.

(ii) A fun¸c˜ao IB◦f tem dom´ınio A, igual ao dom´ınio de f e contradom´ınio B, o mesmo de f. Para cada x ∈ A, temos (IB◦f)(x) = IB(f(x)) = f(x).

Portanto, IB◦f=f.

(iii) A fun¸c˜ao f◦IA tem dom´ınio A, igual ao dom´ınio de f e contradom´ınio B, o mesmo de f. Para cada x ∈ A, temos (f◦I_A)(x) = f(I_A(x)) = f(x).

Portanto, f◦IA=f.

Defini¸c˜ao 14 (Imagem)

Sejaf:A−→B uma fun¸c˜ao.

A imagem de f´e o conjunto Imagem(f) = {f(a);a∈A}=f(A).

A imagem de f´e um subconjunto de B, a saber,

Sef:A−→Bé uma fun¸cão, então

Imagem(f) =f(A)⊂B.

Imagem(f) ={b∈ B; b=f(a)para alguma∈A}. Exemplo 19

Sejah:Z\{0}−→Q definida por h(x) = ¹_x , para cada x ∈Z\{0}. Ent˜ao, Imagem(h) =

±1,±¹₂,±¹₃,±¹₄, . . . . Defini¸c˜ao 15 (Injetora, sobrejetora ou bijetora)

f´einjetorase, e somente se,

paraa, a^′∈A a6=a^′ =⇒f(a)6=f(a^′).

f´e injetora se, e somente se, paraa, a^′∈A,f(a) =f(a^′) implicaa=a^′.

f´e sobrejetora se, e somente se, a imagem def´e o seu contradom´ınio.

f´esobrejetora se, e somente se, B=f(A); em outras palavras, para cada b∈B, existe a∈A tal que b=f(a).

f´ebijetora se, e somente se, ´e injetora e sobrejetora.

Exemplo 20

(1) Segue, imediatamente, das defini¸c˜oes acima, queIA:A−→A´e bijetora.

(2)f : Z −→ Z definida por f(x) =2x, para cada x ∈ Z, é injetora e não é sobrejetora.

De fato, parax, x^′ ∈Z temos

(20)

Fun¸c˜oes

f(x) =f(x^′)⇐⇒2x=2x^′ ⇐⇒x =x^′, mostrando quef´e injetora.

Além disso, qualquer inteiro ´ımpar não está na imagem def, que se constitui dos inteiros pares. Logo, Imagem(f) =2Z6=Z=contradom´ınio(f) efnão é sobrejetora.

(3)g:Z−→{0, 1}definida por

g(x) =

0 , sexé par 1 , sexé ´ımpar claramente, não é injetora e é sobrejetora.

(4)h :Z\{0}−→Q definida por h(x) = ¹_x , para cada x ∈Z\{0}, é injetora e não é sobrejetora.

Essa fun¸cão não é sobrejetora pois, por exemplo, o número racional ²₃ não pertence à imagem de h.

Por outro lado, parax, x^′ ∈Z\{0},

h(x) =h(x^′)⇐⇒ ¹x= _x¹_′ ⇐⇒x=x^′, mostrando queh ´e injetora.

Exemplo 21

A fun¸c˜ao f:Z−→Z definida por f(x) = −x+3´e bijetora.

Dado y ∈ Z, existe x ∈Z tal que y =f(x), pois y = −x+3 se, e somente se, x = 3−y. Logo, dado y, tomamos x = −y+3 e f(x) = f(3−y) =

−(3−y) +3=y. Portanto, f´e sobrejetora.

Da unicidade dex, obtida acima, temos quef´e injetora.

Teorema 1

(i) f ´e injetora se, e somente se, existe uma fun¸c˜ao g : B −→ A, tal que g◦f=IA.

Nesse caso, dizemos queg ´e uma inversa `a esquerda de f.

(21)

(ii) f´e sobrejetora se, e somente se, existe uma fun¸c˜ao h:B−→A, tal que f◦h=IB.

Nesse caso, dizemos que h ´e uma inversa `a direita de f.

Demonstra¸c˜ao:

(i) (⇐=:) Suponhamos que existe g : B −→ A, tal que g◦f = IA. Sejam a, a^′ ∈A, tais que f(a) =f(a^′). Ent˜ao,

a=I_A(a) = (g◦f)(a) =g(f(a)) =g(f(a^′)) = (g◦f)(a^′) =I_A(a^′) = a^′. Logo, f´e injetora.

(=⇒:) Suponhamos que f : A −→ B é injetora. Então, para cada b∈Imagem(f) =f(A) existe um único a∈ A, tal que b=f(a).

Escolhemos a1∈A e definimos g:B−→A por g(b) = a, se b=f(a)

g(b) =a1, se b∈ B\f(A)

Para cada a ∈ A temos (g ◦f)(a) = g(f(a)) = a = IA(a). Logo, g◦f=IA.

(ii) (⇐=:) Suponhamos que existe h : B −→ A, tal que f◦h = IB. Ent˜ao, para cada b ∈ B temos b = IB(b) = (f◦h)(b) = f(h(b)) ∈ Imagem(f), mostrando quef´e sobrejetora.

(=⇒:) Suponhamos que f : A −→ B ´e sobrejetora. Ent˜ao, para cada b∈ B existe a ∈ A, tal que b =f(a). Escolhemos ab∈ A com f(ab) =b.

Sejah :B−→ A definida porh(b) =ab. Portanto, para cada b∈ Btemos (f◦h)(b) =f(h(b)) = f(ab) =b=IB(b), mostrando que f◦h=IB.

Vamos analisar o que ocorre quando f : A −→ B é bijetora. Pelo Teorema 1, f tem uma inversa à esquerda g : B −→ A e uma inversa à direitah:B−→A, tais queg◦f=IA e f◦h=IB. Portanto,

g=g◦IB=g◦(f◦h) = (g◦f)◦h=IA◦h=h.

E claro, pelo mesmo Teorema, que´ g tamb´em ´e bijetora.

Obtivemos parte do seguinte Corol´ario.

(22)

Fun¸c˜oes

Corol´ario 1

Seja f : A −→ B uma fun¸cão. Então, f é bijetora se, e somente se, existe uma fun¸cão g:B−→A tal que g◦f=IA e f◦g=IB.

Demonstra¸cão: Falta apenas mostrar que a condi¸cão é suficiente. Da composi¸cão g◦f = IA e do item (i) do Teorema 1, segue que f é injetora e, da composi¸cãof◦g=IBe do item (ii) do Teorema 1, segue quefé sobrejetora.

Defini¸c˜ao 16 (Fun¸c˜ao inversa)

Seja f:A−→B uma fun¸c˜ao. Dizemos que f´e invert´ıvelse, e somente se, f

´e bijetora.

Nesse caso, a fun¸c˜ao g : B −→ A tal que g◦f = IA e f◦g = IB ´e chamada de inversa def e a denotamos porf⁻¹.

f⁻¹:B−→A, a inversa de f:A−→B, ´e definida por f⁻¹(b) =a⇐⇒f(a) =b

Exerc´ıcio

1. Sejam f:R\{−3}−→ Re g:R\{−3}−→R definidas por f(x) =x−2 eg(x) = ^x²_x+3^+x−6. Mostre quefe g s˜ao fun¸c˜oes iguais.

2. Sejam f :R −→ [0,+∞) e g: [0,+∞)−→ R definidas por f(x) = x², sex ∈R, e g(x) =√

x, se x∈[0,+∞).

(a) Mostre que fnão é injetora e é sobrejetora.

(b) Mostre que g é injetora e não é sobrejetora.

(c) Determine as fun¸c˜oes f◦g e g◦f.

3. Sejam s: [0,+∞)−→[0,+∞)e t: [0,+∞)−→[0,+∞) definidas por s(x) =x² e t(x) =√

x, parax ∈[0,+∞).

(a) Mostre que s ´e bijetora.

(b) Mostre que t ´e bijetora.

(c) Determine as fun¸c˜oes s◦t e t◦s.

4. Sejam r: (−∞, 0]−→[0,+∞) e t: [0,+∞)−→[0,+∞)definidas por r(x) =x², se x ∈(−∞, 0] e t(x) = √

x, se x∈[0,+∞). (a) Mostre que r´e bijetora.

(b) Determine a fun¸c˜ao t◦r.

(c) Determine r⁻¹.

(23)

5. Mostre que a fun¸c˜aof:R−→R definida porf(x) = 3x+2, para cada x ∈R, ´e bijetora.

6. Mostre que a fun¸cão f:Z−→Z definida por f(x) =3x+2, para cada x ∈Z, é injetora e não é sobrejetora. Determine a imagem de f.

7. Sejamf, g, h:Z−→Zdefinidas porf(x) = −x,g(x) =3xeh(x) = x². (a) Mostre que f´e bijetora.

(b) Mostre que gé injetora e não é sobrejetora.

(c) Mostre que h n˜ao ´e injetora nem sobrejetora.

(d) Determine f⁻¹.

8. Sejamf:A−→Beg:B−→Cfun¸c˜oes e considere a fun¸c˜ao composta g◦f:A−→C. Mostre que:

(a) se fe g são injetoras, entãog◦fé injetora;

(b) se fe g são sobrejetoras, então g◦fé sobrejetora;

(c) se g◦fé injetora, então fé injetora;

(d) se g◦fé sobrejetora, entãog é sobrejetora.

9. Seja Aum conjunto n˜ao-vazio comnelementos. Sejaf:A−→Auma fun¸c˜ao. Mostre que :

(a) f´e injetora se, e somente se,f´e sobrejetora;

(b) h´an! fun¸c˜oes bijetorasf:A−→A.

10. Sejam f:A−→Buma fun¸c˜ao e S⊂A. A imagem deS por f´e f(S) ={f(a) ; a∈S}={b∈B; b=f(s)para algums∈S}. Determine f(S), para cada f eS dados:

(a) f:R−→R definida por f(x) =x², S= [−5, 2).

(b) f:R−→R definida por f(x) =|x|,S= (−5, 2).

(c) f:Z\{0}−→Q definida por f(x) = ¹_x, S={−2,−1, 1, 2, 3, . . .}.

(d) f:N−→{0, 1, 2}definida por f(x) =r, onder´e o resto da divis˜ao de x por 3e S={a∈N; a≥6}.

11. Sejam f :A −→ B uma fun¸cão e T ⊂ B. A imagem inversa de T pela fun¸cão fé

(24)

Fun¸c˜oes

f⁻¹(T) ={a∈A; f(a)∈T}. Determinef⁻¹(T), para cada fe T dados.

(a) f:R−→R definida por f(x) =x², T = (−3, 7].

(b) f:R−→R definida por f(x) =|x|, T = (−3,+∞).

(c) f:Z\{0}−→Q definida porf(x) = ¹_x, T ={y∈Q; −³₇ < y≤ ²3}.

(d) f:N−→{0, 1, 2}definida porf(x) = r, onder´e o resto da divis˜ao de x por 3,T ={1}.

12. Sejaf:A−→B uma fun¸c˜ao. Mostre que:

(a) se S⊂A, ent˜ao f⁻¹(f(S))⊃S;

(b) se T ⊂B, ent˜ao f(f⁻¹(T))⊂T;

(c) se {Ti; i∈I}´e uma fam´ılia de subconjuntos de B, ent˜ao f⁻¹ [

i∈I

Ti

!

=[

i∈I

f⁻¹(Ti) e f⁻¹ \

i∈I

Ti

!

=\

i∈I

f⁻¹(Ti).

(25)

Rela¸ c˜ oes de equivalˆ encia

Frequentemente, temos rela¸c˜oes entre dois objetos de um conjunto. Ve- jamos alguns exemplos:

- No conjunto dos n´umeros inteiros: menor ou igual, divide, m´ultiplo.

- Numa fam´ılia de conjuntos: inclus˜ao.

- No conjunto dos triˆangulos: semelhan¸ca, congruˆencia.

- No conjunto das retas no plano: paralelismo, perpendicularismo.

- No conjunto dos moradores de um edif´ıcio: residir no mesmo andar, residir em apartamento de frente, residir na mesma coluna.

Defini¸c˜ao 17

Dados um conjuntoA, denotaremos por∼uma rela¸cão binária emA. Dados a, b∈A indicamos quea está relacionado com b escrevendo a∼b.

Caso contrário, dizemos queanão está relacionado combe escrevemos a6∼b.

Exemplo 22

Sejam A={1, 2, 3}e a, b∈A. Definimos a∼b⇐⇒a≤b.

Ent˜ao, 1∼1,1∼2, 1∼3,2∼2, 2∼3e 3∼3.

Tamb´em, 26∼1, 36∼2 e36∼1.

Exemplo 23

Sejam A={1, 2, 3}e a, b∈A. Definimos a∼b⇐⇒a < b.

Ent˜ao, 1∼2,1∼3, 2∼3.

Tamb´em, 16∼1, 26∼2, 26∼1, 36∼3, 36∼2 e 36∼1.

Exemplo 24

SejaA o conjunto das retas do plano. Sejam r, s∈A.

Definimosr∼s⇐⇒rks.

Nesse caso, duas retas do plano não estão relacionadas se, e somente se, se intersectam em um único ponto.

(26)

Rela¸c˜oes de equivalˆencia

Exemplo 25

SejaZ o conjunto dos n´umeros inteiros. Sejam a, b∈Z.

Definimos a∼b⇐⇒a−b´e par.

Temos que 1∼3,−2∼4 e 135∼−1, enquanto 16∼2 e−26∼3.

Observamos que :

a∼b ⇐⇒

aebs˜ao pares ou aebs˜ao ´ımpares

a6∼b ⇐⇒

aé par ebé ´ımpar ou aé ´ımpar ebé par Exemplo 26

Sejam Π um plano e O um ponto fixado de Π. Para cada ponto P ∈ Π consideramos d(O, P)a distˆancia entre os pontos O eP.

DadosP, Q∈Π definimos P ∼Q⇐⇒d(O, P) = d(O, Q).

O ´unico ponto relacionado a O ´e o pontoO.

Dois pontosP eQ, tais queP6=OeQ6=O, est˜ao relacionados se, e somente se, d(O, P) = d(O, Q) > 0 se, e somente se, P, Q est˜ao situados no mesmo c´ırculo de centro O e raio r=d(O, P) = d(O, Q).

Exemplo 27

Sejam Π um plano er uma reta fixada.

DadosP, Q∈Π, definimos:

P∼Q⇐⇒ existes, uma reta paralela a r, tal queP, Q∈s .

Nesse caso, dois pontos distintos do plano estão relacionados se, e somente se, a única reta determinada por eles é paralela a r.

Fixado um pontoP do plano, sabemos que existe uma ´unica retasparalela a rpassando porP. Todos os pontosQ∈sest˜ao relacionados comP, inclusive P.

A seguir definimos três tipos de propriedades que uma rela¸cão binária pode ter.

Defini¸cão 18 (Rela¸cão reflexiva, simétrica ou transitiva) Seja∼ uma rela¸cão binária no conjunto A. Dizemos que

∼ ´ereflexivase, e somente se, a∼a, para todo a∈A;

(27)

∼ésimétricase, e somente se, para quaisquera, b∈A, tais quea∼b, então b∼a;

∼ ´e transitiva se, e somente se, para quaisquer a, b, c ∈ A, tais que a∼b eb∼c, ent˜ao a∼c.

Exemplo 28

A rela¸cão binária do exemplo 22 é reflexiva e transitiva e não é simétrica.

A rela¸cão binária de exemplo 23 é transitiva e não é reflexiva nem simétrica.

Exemplo 22: 1∼2, mas 26∼1.

Exemplo 23: 16∼1e1∼2, mas26∼1.

Basta exibir trˆes pontos P, Q, R, tais qued(P, Q)≤1 ed(Q, R)≤1com

d(P, R)> 1.

Exemplo 29

A seguinte rela¸cão binária em um plano Πé reflexiva e simétrica, mas não é transitiva:

P, Q∈Π, P ∼Qse, e somente se, d(P, Q)≤1.

Desempenham um papel importante as rela¸cões binárias que têm, simultaneamente, as três propriedades: reflexiva, simétrica e transitiva.

Defini¸cão 19 (Rela¸cão de equivalência)

Dizemos que uma rela¸cão binária ∼ em Aé uma rela¸cão de equivalência se, e somente se, para quaisquer a, b, c∈A

(i) (reflexiva) a∼a;

(ii) (sim´etrica) sea∼b, ent˜ao b∼a;

(iii) (transitiva) se a∼b eb∼c, ent˜ao a∼c.

Exemplo 30

Vamos verificar que a rela¸cão binária ∼ do exemplo 25 é uma rela¸cão de equivalência emZ. De fato, se a, b, c∈Z, então

(i) como 0=a−a´e par, ent˜ao a∼a;

(ii) se a∼b, então a−bé par, logo b−a= −(a−b)é par, provando que b∼a;

(iii) se a ∼ b e b ∼ c, então a − b e b − c são ambos pares e a−c= (a−b) + (b−c)é par, logoa∼c.

Exemplo 31

São rela¸cões de equivalência as rela¸cões binárias dos exemplos 24, 26 e 27.

Não são rela¸cões de equivalência as rela¸cões binárias dos exemplos 22 e 23.

Em geral visualizamos um conjunto pelos seus elementos. Uma rela¸cão de equivalência em um conjunto permite visualizar o conjunto por meio dos seus subconjuntos chamados classes de equivalência. Com esse objetivo, in- troduzimos o conceito de classe de equivalência.

(28)

Defini¸cão 20 (Classe de equivalência) Seja∼ uma rela¸cão de equivalência em A.

Para cada a∈A,a classe de equivalˆencia a dea´e a={x∈A; x∼a}.

Exemplo 32

No exemplo 24, onde A é o conjunto de todas as retas do plano, a classe de equivalência de cada reta r∈Aé

r={s∈A; s kr}. Exemplo 33

No exemplo 25 a rela¸cão de equivalência foi definida no conjunto dos números inteiros, que é a união dos subconjuntos dos inteiros pares com os inteiros

´ımpares, a saber

Z={0,±1,±2,±3, . . .}={0,±2,±4, . . .}∪{±1,±3,±5 . . .}. Para cada a∈Z, temos que: ou a´e par ou a´e ´ımpar. Logo,

a={x∈Z; 2dividex−a} =

{0,±2,±4, . . .}, sea´e par {±1,±3,±5 . . .}, sea´e ´ımpar Exemplo 34

No exemplo 26 o conjunto é um plano Π, onde fixamos um ponto O para definir a rela¸cão de equivalência entre os pontos do plano. Temos:

O={P∈Π; d(O, P) = d(O, O) = 0}={O} e

P =c´ırculo de centro O e raio r=d(O, P), para todo P ∈Π com P6=O.

Exemplo 35

No exemplo 27 o conjunto é um plano Π, onde fixamos uma reta r para definir a rela¸cão de equivalência entre os pontos do plano. Nesse caso, para cada P ∈Π, temos:

P =reta s passando por P e paralela `a reta r.

Exemplo 36

Consideremos um edif´ıcio com 6 andares, 3 apartamentos por andar dis- tribu´ıdos em 3 colunas, sendo a coluna 01 de frente e com trˆes quartos, as colunas02 e 03 de fundos com um e dois quartos, respectivamente.

SejaA o conjunto dos apartamentos desse edif´ıcio.

(29)

Paraa, b∈A, consideremos as seguintes rela¸c˜oes bin´arias em A:

a∼₁ b⇐⇒ae b est˜ao no mesmo andar.

a∼₂ b⇐⇒ae b est˜ao na mesma coluna.

a∼₃ b⇐⇒ae b s˜ao ambos de frente ou ambos de fundos.

Cada uma das rela¸cões binárias acima é uma rela¸cão de equivalência em A.

Sabendo que cada apartamento é identificado por n01, n02 ou n03, onde n=1, . . . , 6 é o andar em que está situado e os dois últimos d´ıgitos corres- pondem à sua coluna, temos que:

601¹ = {x ∈A; x ∼₁601}={601, 602, 603}, 602¹ = {x ∈A; x ∼₁602}={601, 602, 603},

601² = {x ∈A; x ∼₂601}={601, 501, 401, 301, 201, 101}, 602² = {x ∈A; x ∼₂602}={602, 502, 402, 302, 202, 102} 601³ = {x ∈A; x ∼₃601}={601, 501, 401, 301, 201, 101}, 602³ = {x ∈A; x ∼₃602}

= {602, 603, 502, 503, 402, 403, 302, 303, 202, 203, 102, 103}. Observamos que603¹=602¹=601¹, enquanto 601²∩602²=∅. Por quˆe?

As seguintes propriedades de uma rela¸c˜ao de equivalˆencia desempenham um papel muito importante.

Proposi¸c˜ao 4

Seja∼ uma rela¸c˜ao de equivalˆencia em A. Valem as seguintes propriedades:

(i) Se a∩b6=∅, ent˜ao a∼b.

(ii) a∼b se, e somente se, a=b.

(iii) A= [

a∈A

a.

Demonstra¸c˜ao:

(i) Como a∩b 6= ∅, ent˜ao existe c ∈ A tal que c ∈ a∩b. Logo, c ∼ a e c∼b. Pela simetria,a∼c e, pela transitividade, obtemos a∼b.

Lembre que . . . Os conjuntosXeYs˜ao iguais se, e somente se, X⊂YeY⊂X.

(ii) (=⇒ :) Suponhamos que a∼b. Vamos mostrar quea⊂b.

Seja x ∈ a. Ent˜ao, x ∼ a. Como a ∼ b, pela transitividade, temos x∼b. Logo,x ∈b.

A outra inclusão é análoga, usando a simetria.

(⇐= :) Suponhamos a=b. Ent˜ao, a∩b6=∅ e, pelo item (i), a∼b.

(30)

(iii) É claro, por defini¸cão de classe de equivalência, que a ⊂ A. Logo, [

a∈A

a⊂A.

Por outro lado, pela propriedade reflexiva, a ∈ a, mostrando que A⊂ [

a∈A

a.

A propriedade (ii) da proposi¸c˜ao anterior motiva a seguinte defini¸c˜ao.

Defini¸c˜ao 21 (Representante)

Seja A um conjunto e ∼ uma rela¸cão de equivalência em A. Dizemos que b ∈ A é representante de uma classe de equivalência a se, e somente se, b∼a.

As classes de equivalência de uma rela¸cão de equivalência ∼ em A são subconjuntos de A não-vazios, pois para cada a ∈ A temos a ∈ a. Mais ainda, pelo item (iii) da proposi¸cão anterior, cobrem A e, pelo item (ii), classes distintas são conjuntos disjuntos.

Portanto, as classes de equivalência distintas de uma rela¸cão de equi- valência de um conjunto A dão uma subdivisão de A em subconjuntos disjuntos e não-vazios, isto é, definem uma parti¸cão de A.

Com a observa¸c˜ao acima obtivemos a primeira parte do seguinte teorema.

Teorema 2

Se∼ é uma rela¸cão de equivalência no conjunto A, então as classes de equi- valência distintas de ∼ definem uma parti¸cão de A. Reciprocamente, dada uma parti¸cão de A, digamos A = [

i∈I

Ai, onde Ai 6= ∅ e Ai∩Aj = ∅, para quaisqueri, j∈I, i6=j, existe uma única rela¸cão de equivalência∼emA, tal que as classes de equivalência distintas de∼ são os subconjuntos Ai, i∈I.

Demonstra¸cão: Falta apenas demonstrar a rec´ıproca. Digamos que a fam´ılia {Ai; i∈I}é uma parti¸cão do conjunto A.

Como A =[

i∈I

Ai, ent˜ao para cada a∈ A existe i∈ I, tal que a∈Ai, seguindo a unicidade do ´ındice i do fato de Ai e Aj serem disjuntos para i6=j.

Para a, b ∈ A definimos a ∼ b se, e somente se, para algum i ∈ I, a, b∈Ai.

E fácil a verifica¸cão de que´ ∼ é uma rela¸cão de equivalência emA.

(31)

Com a defini¸cão de ∼ temos a = A_i, onde i é o único ´ındice de I tal quea∈Ai.

Defini¸c˜ao 22 (Conjunto quociente)

SejaA um conjunto não-vazio e∼ uma rela¸cão de equivalência em A.

O conjunto quocienteA/∼´e definido por A/∼={a; a∈A}. Exemplo 37

Consideremos emZ a rela¸c˜ao de equivalˆencia

a, b∈Z, a∼b⇐⇒a−b´e m´ultiplo de 2.

Temos apenas duas classes de equivalência, a saber, P a classe dos números pares eI a classe dos números ´ımpares.

Logo, Z/ ∼={P, I}. Exemplo 38

Consideremos a rela¸c˜ao de equivalˆencia no planoΠdo Exemplo 26, dada por P, Q∈Π, P ∼Q⇐⇒d(O, P) = d(O, Q),

onde O´e um ponto fixado em Π.

Vimos que O = {O} e P = c´ırculo de centro O e raio r = d(O, P) }, se P6=O.

Para cada n´umero real r > 0 seja C_r o c´ırculo de centroO e raior. Ent˜ao, Π/∼={ {O}; Cr, r > 0}.

Exerc´ıcios

1. Mostre que são rela¸cões de equivalência as rela¸cões binárias dos Exem- plos 24, 26 e 27.

2. Mostre que não são rela¸cões de equivalência as rela¸cões binárias dos Exemplos 22 e 23, indicando quais das propriedades (reflexiva, simétrica ou transitiva) não têm.

3. Seja A={x ∈N; x ≤15}. Para x, y∈Adefinimos x∼y⇐⇒3divide x−y.

(32)

(a) Mostre que ∼é uma rela¸cão de equivalência em A.

(b) Determine as classes de equivalˆencia: 0, 1 e 2.

(c) H´a quantas classes de equivalˆencia distintas?

4. Seja A o conjunto dos triângulos no plano. Seja ∼ a congruência de triângulos.

Mostre que a congruência de triângulos é uma rela¸cão de equivalência.

5. Seja A o conjunto dos triˆangulos no plano. Seja ∼ a semelhan¸ca de triˆangulos.

Mostre que a semelhan¸ca é uma rela¸cão de equivalência.

6. Seja A=Z×(Z\{0}) ={(a, b) ; a, b∈Zeb6=0}. Para(a, b),(c, d)∈A definimos

(a, b)∼(c, d)⇐⇒a·d=b·c.

(a) Mostre que ∼é uma rela¸cão de equivalência em A.

(b) Determine a classe de equivalˆencia de (a, b).

7. Seja A=R²\{(0, 0)}. Para (x, y),(x^′, y^′)∈Adefinimos

(x, y)∼(x^′, y^′)⇐⇒x =λx^′ e y=λy^′, para algumλ∈R\{0}. (a) Mostre que ∼é uma rela¸cão de equivalência em A.

(b) Interprete, geometricamente, a classe de equivalˆencia de (x, y).

8. Sejam V um espa¸co vetorial real e W um subespa¸co de V.

Parau, v∈V definimos

u∼vse, e somente se, u−v∈W.

(a) Mostre que ∼é uma rela¸cão de equivalência em V.

(b) Determine a classe de equivalˆencia de v, para cadav∈V.

(c) SejamV =R², (a, b)6= (0, 0)e W ={(x, y)∈R²; ax+by=0}. Interprete, geometricamente, a classe de equivalˆenvia de (x0, y0).

(d) Sejam V =R³ e (a, b, c)6= (0, 0, 0).

Consideremos o subespa¸coW ={(x, y, z)∈R³; ax+by+cz=0}. Interprete, geometricamente, a classe de equivalˆenvia de(x0, y0, z0).