MAT 1351 : C´alculo para Fun¸c˜oes de Uma Vari´avel Real I

MAT 1351 : C´ alculo para Fun¸c˜ oes de Uma Vari´ avel Real I

Sylvain Bonnot (IME-USP)

2016

Informa¸c˜ oes gerais

I Prof.:Sylvain Bonnot

I Email:[email protected]

I Minha sala: IME-USP, 151-A (Bloco A)

I Site:ver o link para MAT 1351 na pagina

http://www.ime.usp.br/~sylvain/courses.html Nessa p´agina: as notas de aulas, informac¸ ˜oes gerais, listas de exerc´ıcios etc...

I Monitor:aguardando para ver se tem um...

I Avalia¸c˜ao:P1 (07/04), P2 (12/05), P3 (16/06), PSub (fechada: 23/06)

Programa resumido

I Equac¸ ˜oes e inequac¸ ˜oes; definic¸˜ao de func¸˜ao e gr´aficos;

func¸ ˜oes polinomiais de primeiro e segundo graus;

I func¸ ˜oes modulares; func¸ ˜oes invers´ıveis; func¸ ˜oes exponenciais e logar´ıtmicas; func¸ ˜oes trigonom´etricas e suas inversas.

I Taxa de variac¸˜ao, velocidade, coeficiente angular da reta tangente; o conceito de derivada em um ponto; a func¸˜ao derivada; aproximac¸ ˜oes e linearidade local;

I conceitos intuitivo e definic¸ ˜oes de limite, de continuidade e de diferenciabilidade;

I regras de derivac¸˜ao. O Teorema do Valor M´edio e suas aplicac¸ ˜oes.

I O comportamento de uma func¸˜ao: um estudo qualitativo;

o gr´afico de uma func¸ ˜oes, comportamento no infinito,

I regras de L’Hospital.

I Problemas de otimizac¸˜ao. Aproximac¸˜ao de func¸ ˜oes:

f ´ormula de Taylor com resto de Lagrange.

Bibliografia

I J. Stewart. C ´ALCULO, volume I, Editora Pioneira - Thomson Learning, S˜ao Paulo 2001.

I Outros textos: Guidorizzi, vol. 1;D. Hughes-Hallett et alii, C´alculo, volume I, Editora Edgard Bl ¨ucher Ltda, S˜ao Paulo, 1999; G.F. Simmons, C´alculo com Geometria Anal´ıtica, volume 1, MacGraw-Hill, S˜ao Paulo, 1987; L. Leithold, O C´alculo com Geometria Anal´ıtica, volume 1, Harbra, S˜ao Paulo, 1977; J. P. Boulos, Introduc¸˜ao ao C´alculo, volume I.

I Qualquer livro que parece ajudar,

I Notas do web,

I Aulas do youtube, artigos da wikipedia,

I Minhas notas de aulas, no meu site...

N´ umeros

I N ´umeros naturais:N={0, 1, 2, 3, . . .}. Podemos definir a adic¸˜aoa+bdos n ´umeros naturais, mas n˜ao podemos definir a subtrac¸˜ao, porque 2−5 n˜ao ´e umnatural.

I N ´umeros inteiros:Z={. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .} (vem da palavra alem˜ao ”Zahlen”). Temos as operac¸ ˜oes de soma, subtrac¸˜ao e multiplicac¸˜ao (o resultado ´e um inteiro).

Problema: n˜ao existe um inteiroxtal que 3x=5. Ent˜ao temos que considerar um conjunto de numeros maior:

I N ´umeros racionais:Q=^a_b |a∈_Z,b∈_Zcomb6=0 , ondea∈_Zsignifica ”a ´e elemento deZ”.

Agora podemos finalmente definir as 4 operac¸ ˜oes. Na verdade os gregos como Pit´agoras aceitavam somente os n ´umeros racionais. Problema: Hipasus mostrou que tem n ´umeros que n˜ao s˜ao racionais. Os outros estudantes de Pit´agoras expulsaramHipasus da Escola e o afogaram no mar...

Necessidade dos n´ umeros reais

Teorema

√

2n˜ao ´e um n ´umero racional.

Figura : Pit´agoras e o teorema de Pit´agoras

Demonstra¸c˜ao

Vamos supor a existˆencia de um racional^p_q tal que

p q

2

=2,

Necessidade dos n´ umeros reais II

Demonstra¸c˜ao

e tal que a fra¸c˜ao^p_q ´ereduzida(significando: que n˜ao tem um inteiro que pode dividir p e q ).

Podemos ver que p² =2q², ent˜ao p tem que ser um n ´umero par (porque o quadrado de um n ´umero ´ımpar ´e ´ımpar). Isso significa que eu posso escrever p=2r (isto ´e exatamente a defini¸c˜ao de um n ´umero par), mas ent˜ao p² = (2r)² =4r², e eu obtenho:

4r² =2q²⇒2r² =q²(essa flecha significa ”implica”), OK, mas agora eu sei que q ´e um n ´umero par tamb´em, isto ´e, existe um inteiro s tal que q=2s (impossivel! porque eu poderia reduzir a fra¸c˜ao ^p_q = ^2r_2s = ^r_s).

N´ umeros reais

I Defini¸c˜ao:um n ´umero real ´e dado por um inteiro com sinal mais ou menos, mais uma virgula, mais um n ´umero finito ou infinito de casas decimais depois. Os n ´umeros reais s˜ao os n ´umeros da calculadora, mas com

possibilidade de ter um n ´umero infinito de decimais.

I Examplos-351,121112211122211122 . . . ´e um n ´umero real, π,√

21 tamb´em . . .

I Conven¸c˜ao:vocˆes j´a sabem que 23, 99999999=24. Na verdade, ´e facil mostrar isso:

Demonstra¸c˜ao

Vamos escrever x=23, 99999 . . .. Ent˜ao10x=239, 9999 . . ..

Depois de uma subtra¸c˜ao, temos que9x=239, mas isso significa que x=24.

I Cuidado!O n ´umero 23, 88888888 n˜ao ´e igual a 23, 9!

I Nota¸c˜ao:o conjunto de todos os reais ´eR.

I Rela¸c˜ao com os outros n ´umeros:

√ 2 ´ e um n´ umero real ou n˜ ao?

Teorema

Existe um n ´umero real, escrito√

2, cujo quadrado ´e igual a2.

Demonstra¸c˜ao (id´eia principal)

Vamos simplesmente construir o n ´umero real√

2, com todas as decimais dele:

I ”Parte inteira”:√ ´e claro que1²=1<2, mas2² =4>2, ent˜ao 2tem que ter uma parte inteira igual a1.

I Primeira decimal depois da virgula:

(1, 3)² =1, 69<(1, 4)² =1, 96<2<(1, 5)²=2, 25 ent˜ao√

2tem que come¸car com1, 4.

I Segunda decimal:√

2tem que come¸car com1, 41porque:

(1, 41)² =1, 9881<2< (1, 42)²=2, 0164

Conclus˜ ao:

I Conclus˜ao: dessa maneira, a gente pode construir uma sequˆencia infinita de decimais, isto ´e, um n ´umero real que vai ser exatamente√

2.

I Bem melhor: m´etodo de Newton para calcular√ 2:

queremos resolverx²−2=0:

Reconhecer Q dentro de R

Teorema

Os n ´umeros racionais tem uma expans˜ao decimal periodica.

Demonstra¸c˜ao

Vamos ver isso com um exemplo: fra¸c˜oes do tipo n/7(por exemplo 3/7).So tem um n ´umero finito de restos possiv´eis, ent˜ao a sequˆencia de decimais vai se repetir depois de um tempo.

Exerc´ıcio

Dar exemplos de n ´umeros reais que n˜ao s˜ao racionais (e que n˜ao s˜ao raizes).

Depois de R ?N˜ ao ´ e o fim da historia...

Defini¸c˜ao

O conjuntoCdos n ´umeroscomplexos´e

C={a+bi|a∈_R,b∈_R}, onde i satisfaz i²= −1.

I Adi¸c˜ao:simplesmente

(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i

I Produto:

(a+bi).(c+di) =ac+adi+bi.c+ (bi)(di)

=ac+ (ad+bc)i+ (bd)(−1)

= (ac−bd) + (ad+bc)i

Um pouco mais sobre C

Figura : o plano complexo

Um pouco mais sobre C : adi¸c˜ ao e produto em C

N´ umeros e fun¸c˜ oes

Vamos considerar dois conjuntos: o conjuntoXcom elementos xe o conjuntoYcom elementosy.

Defini¸c˜ao

Umafun¸c˜aof :X→Y (leia:”f de X em Y”) ´e uma regra que associa a cada elemento x de X um ´unico elemento y de Y.

I Dom´ınio: o conjuntoX´e odom´ıniodef, tamb´em escrito D_f.

I Contradom´ınio: o conjuntoY ´e ocontradom´ıniodef.

I Valor, imagem: o ´unicoydeYassociado ao elementoxde X ´e indicado porf(x)(leia:f dex), ´e o valor def emx.

I Imagem def:o conjunto de todos os valores possiv´eis de f(x) ´e chamado aimagem def.

Fun¸c˜ oes

Visualiza¸c˜ao de uma fun¸c˜ao:

Figura : Func¸˜ao como uma maquina

Figura : Diagrama de flechas

Gr´ afico de uma fun¸c˜ ao

Defini¸c˜ao

Ogr´aficode f consiste em todos os pontos do plano com coordenadas (x,f(x))onde x est´a no dom´ınio de f .

Examplos:f :x7→x²,g:u7→u³...

Figura : Exemplo de gr´afico

Examplos

Examplo 1:Dominio e imagem def(x) =x²

Examplo 2:Encontre o dom´ınio e a imagem def(_x) = _2x^x_{−1, de} g(x) =√

x−7.

Examplo 3: fun¸c˜ao afimE simplesmente uma func¸˜ao cujo gr´afico ´e uma reta.

y=f(x) =mx+b,

ondem´e ocoeficiente angularouinclina¸c˜aoeb´e ointercepto.

Mais exemplos / Intervalos

Defini¸c˜ao (Intervalo aberto)

O intervalo aberto de a at´e b, denotado pelo s´ımbolo(a,b)´e definido por:

(a,b) ={x|a<x<b} Examplos:dom´ınio de _x2^x₋₃

Defini¸c˜ao (Intervalo fechado)

O intervalo fechado de a at´e b, denotado pelo s´ımbolo[a,b]´e definido por:

[a,b] ={x|a≤x≤b}

Desigualdades

Regras para as desigualdades:

I Sea<bent˜aoa+c<b+c

I Sea<bec<dent˜aoa+c<b+d

I Sea<bec>0 ent˜aoac<bc

I Sea<bec<0 ent˜aoac>bc

I Se 0<a<bent˜ao 1/a>1/b Exerc´ıcio

Resolva as desigualdades seguintes e ilustre o conjunto solu¸c˜ao sobre o eixo real:

1. 3x+9>4

2. 5x<2x+1≤3x+4 3. 2x²+x≤1

4. x²+2x+3<1.

Praticar com desigualdades

Exerc´ıcio

Resolva x³+3x²>4x.

Demonstra¸c˜ao

Temos que escrever tudo de um lado

x³+3x²−4x>₀

e depois re-escrever como um produto de fatores simples:

x(x−1)(x+4)>0.

Finalmente, podemos determinar as solu¸c˜oes da equa¸c˜ao x(x−1)(x+4) =0e cortar o eixo real em 4 intervalos:

Praticar com desigualdades II

Ent˜ao o conjunto soluc¸˜ao ´e :

Valor absoluto

Defini¸c˜ao

O valor absoluto (tamb´em chamado m´odulo) de um n ´umero a, denotado por|a|, ´e a distˆancia de a at´e0sobre o eixo real.

I Propriedade 1:para todo n ´umeroa,|a| ≥0.

I Propriedade 2: |a|=asea≥_{0, e}|a|=−asea<_0.

I Propriedade 3: |a||b|=|ab|.

I Propriedade 4:”Desigualdade triangular”

|a+b| ≤ |a|+|b|.

I Propriedade 5:vamos supora>0, ent˜ao:

|x|=ase e somente sex=±a

|x|<ase e somente se −a<x<a

|x|>ase e somente sex>aoux<−a.

Exercicios sobre gr´ aficos

Exerc´ıcio

O conjunto{(x,y)|3x+4y=5}´e o grafico de uma fun¸c˜ao?

Exerc´ıcio

Grafico de f(x) =|x|, de|x−6|, de2|x|, de|x|+2?

A fun¸c˜ ao valor absoluto

Defini¸c˜ao:

|x|=

(x sex≥0

−x sex≤0.

Gr´afico:

Exerc´ıcio

D´ominio e imagem da fun¸c˜ao valor absoluto? Que dizer da fun¸c˜ao

||x||?

Valor absoluto e desigualdades: como resolver os problemas

Resolva:

Exercicios com o valor absoluto

Exerc´ıcio

Elimine o valor absoluto:

|2x−1|+|x−2|

|x−2| − |x+1|

Exerc´ıcio

Demostrar: √

x²=|x|

Exerc´ıcio

Demostrar que para todos u,v∈_Rtemos que:

|u−v| ≥ ||u| − |v||

Exercicios sobre gr´ aficos

Exerc´ıcio

O conjunto{(x,y)|3x+4y=5}´e o grafico de uma fun¸c˜ao?

Exerc´ıcio

Determinar graficamente a interse¸c˜ao e a uni˜ao dos conjuntos {(x,y)|x+y−5>0}e{(x,y)|x−2y+2>0}. Lembra que a uni˜ao de dois conjuntos A e B ´e definida por:

A∪B={x|x∈A ou x∈B}.

Exerc´ıcio

Grafico de f(x) =|x|, de|x−6|, de2|x|, de|x|+2?

Retas e fun¸c˜ oes lineares

Inclina¸c˜aode uma reta n˜ao vertical que passa pelos pontos (x₁,y₁)e(x2,y2):

m= ^∆y

∆x = ^y2−y₁ x₂−x₁

Equa¸c˜ao de uma reta passando pelo pontoP₁(x₁,y₁)com inclinac¸˜aom:

y−y₁=m(x−x₁)

Exerc´ıcios

Equa¸c˜ao mais geral de uma reta:

Ax+By+C=0

Exerc´ıcio

Mostrar que se os interceptos x e y de uma reta s˜ao os n ´umeros a e b (6=0), ent˜ao a equa¸c˜ao da reta pode ser escrita como:

x a +^y

b =1

Encontrar a equa¸c˜ao de uma reta cujo intercepto x ´e 6 e cujo intercepto y ´e−8.

Tudo sobre as equa¸c˜ oes quadr´ aticas

Equa¸c˜ao quadratica:

ax²+bx+c=0

Teorema As solu¸c˜oes s˜ao:

x= −b±√

b²−4ac 2a

I Observa¸c˜ao 1:quando odiscriminanteD=b²−4ac ´e igual a 0, so tem uma soluc¸˜ao ´unicax=−_2a^b.

I Observa¸c˜ao 2:quando odiscriminanteD=b²−4ac<0, n˜ao existem soluc¸ ˜oes reais.

I Observa¸c˜ao 3:quando odiscriminanteD=b²−4ac>0, existem duas soluc¸ ˜oes (tamb´em chamados ”zeros”ou

”ra´ızes”) reais distintasx₁,x₂.

Geometria da equa¸c˜ ao quadr´ atica

Porque? Explica¸c˜ao simples (”completamento de qua- drados”):

x+ ^b

2a 2

= ^b

2−4ac 4a²

Caso com 2 solu¸c ˜oes:podemos fatorarx²+ ^b_ax+^c_{a como:}

(x−x₁)(x−x₂) =x²−(x₁+x₂)x+x₁x₂ Teorema

A soma das ra´ızes ´e−b/a e o produto das ra´ızes ´e c/a.

Exerc´ıcio

Discutir o car´ater das ra´ızes na equa¸c˜ao quadr´atica:

9x²−(m−3)x+1=0

Equa¸c˜ ao quadr´ atica

.

Exerc´ıcio

Resolver y⁴−y² =12. Resolver u−2√ u=3.

Exerc´ıcio

Determinar o valor de x tal que3x²+2x+3´e minimo.

Transforma¸c˜ oes de gr´ aficos: transla¸c˜ oes

Transla¸c ˜oes:para cima, para baixo, para esquerda , para direita

Transforma¸c˜ oes de gr´ aficos: esticamento e reflex˜ ao

Esticamento e reflex˜ao:suponhac>1

1. y=cf(x)estique o gr´afico dey=f(x)verticalmente por um fator dec

2. (1/c)f(x)comprima.

3. f(cx)comprima horizontalmente.

4. f(x/c)estique horizontalmente por um fator dec, 5. −f(x)reflita o gr´afico em torno do eixox

6. f(−x)reflita em torno do eixoy.

Exemplos de esticamentos: com a fun¸c˜ ao co-seno / Aplica¸c˜ ao

Exerc´ıcio

Demostrar que o gr´afico de qualquer fun¸c˜ao quadr´atica pode ser obtido a partir do gr´afico de y=x²com transla¸c˜oes, esticamentos e reflex˜oes.

Exemplos

Exerc´ıcio

Esboce o gr´afico de x²+10x+27.

Exerc´ıcio

Esboce o gr´afico de|x³−2x|. Exerc´ıcio

O gr´afico de y= √

3x−x²´e dado. Use as transforma¸c˜oes para criar uma fun¸c˜ao cujo gr´afico ´e mostrado.

Fun¸c˜ ao composta

Imagem def:lembra que a imagem def ´e Imf ={f(x)|x∈D_f}.

Defini¸c˜ao

Sejam f e g duas fun¸c˜oes tais que Imf ⊂D_g, ent˜ao a fun¸c˜ao dada por y=g(f(x)),x∈D_f

´e chamada fun¸c˜ao composta de g e f , e ´e denotada por g◦f . Pergunta:g◦f =f◦g? ou n˜ao?

Exerc´ıcio

Determine g◦f e f ◦g para f(x) =x+1, g(x) =x².

Exemplos de composi¸c˜ oes

Encontre as fun¸c ˜oesf◦g,g◦f,f◦f,g◦ge seus dom´ınios