MAT 1351 : C´ alculo para Fun¸c˜ oes de Uma Vari´ avel Real I
Sylvain Bonnot (IME-USP)
2016
Informa¸c˜ oes gerais
I Prof.:Sylvain Bonnot
I Email:sylvain@ime.usp.br
I Minha sala: IME-USP, 151-A (Bloco A)
I Site:ver o link para MAT 1351 na pagina
http://www.ime.usp.br/~sylvain/courses.html Nessa p´agina: as notas de aulas, informac¸ ˜oes gerais, listas de exerc´ıcios etc...
I Monitor:aguardando para ver se tem um...
I Avalia¸c˜ao:P1 (07/04), P2 (12/05), P3 (16/06), PSub (fechada: 23/06)
Programa resumido
I Equac¸ ˜oes e inequac¸ ˜oes; definic¸˜ao de func¸˜ao e gr´aficos;
func¸ ˜oes polinomiais de primeiro e segundo graus;
I func¸ ˜oes modulares; func¸ ˜oes invers´ıveis; func¸ ˜oes exponenciais e logar´ıtmicas; func¸ ˜oes trigonom´etricas e suas inversas.
I Taxa de variac¸˜ao, velocidade, coeficiente angular da reta tangente; o conceito de derivada em um ponto; a func¸˜ao derivada; aproximac¸ ˜oes e linearidade local;
I conceitos intuitivo e definic¸ ˜oes de limite, de continuidade e de diferenciabilidade;
I regras de derivac¸˜ao. O Teorema do Valor M´edio e suas aplicac¸ ˜oes.
I O comportamento de uma func¸˜ao: um estudo qualitativo;
o gr´afico de uma func¸ ˜oes, comportamento no infinito,
I regras de L’Hospital.
I Problemas de otimizac¸˜ao. Aproximac¸˜ao de func¸ ˜oes:
f ´ormula de Taylor com resto de Lagrange.
Bibliografia
I J. Stewart. C ´ALCULO, volume I, Editora Pioneira - Thomson Learning, S˜ao Paulo 2001.
I Outros textos: Guidorizzi, vol. 1;D. Hughes-Hallett et alii, C´alculo, volume I, Editora Edgard Bl ¨ucher Ltda, S˜ao Paulo, 1999; G.F. Simmons, C´alculo com Geometria Anal´ıtica, volume 1, MacGraw-Hill, S˜ao Paulo, 1987; L. Leithold, O C´alculo com Geometria Anal´ıtica, volume 1, Harbra, S˜ao Paulo, 1977; J. P. Boulos, Introduc¸˜ao ao C´alculo, volume I.
I Qualquer livro que parece ajudar,
I Notas do web,
I Aulas do youtube, artigos da wikipedia,
I Minhas notas de aulas, no meu site...
N´ umeros
I N ´umeros naturais:N={0, 1, 2, 3, . . .}. Podemos definir a adic¸˜aoa+bdos n ´umeros naturais, mas n˜ao podemos definir a subtrac¸˜ao, porque 2−5 n˜ao ´e umnatural.
I N ´umeros inteiros:Z={. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .} (vem da palavra alem˜ao ”Zahlen”). Temos as operac¸ ˜oes de soma, subtrac¸˜ao e multiplicac¸˜ao (o resultado ´e um inteiro).
Problema: n˜ao existe um inteiroxtal que 3x=5. Ent˜ao temos que considerar um conjunto de numeros maior:
I N ´umeros racionais:Q=ab |a∈Z,b∈Zcomb6=0 , ondea∈Zsignifica ”a ´e elemento deZ”.
Agora podemos finalmente definir as 4 operac¸ ˜oes. Na verdade os gregos como Pit´agoras aceitavam somente os n ´umeros racionais. Problema: Hipasus mostrou que tem n ´umeros que n˜ao s˜ao racionais. Os outros estudantes de Pit´agoras expulsaramHipasus da Escola e o afogaram no mar...
Necessidade dos n´ umeros reais
Teorema
√
2n˜ao ´e um n ´umero racional.
Figura : Pit´agoras e o teorema de Pit´agoras
Demonstra¸c˜ao
Vamos supor a existˆencia de um racionalpq tal que
p q
2
=2,
Necessidade dos n´ umeros reais II
Demonstra¸c˜ao
e tal que a fra¸c˜aopq ´ereduzida(significando: que n˜ao tem um inteiro que pode dividir p e q ).
Podemos ver que p2 =2q2, ent˜ao p tem que ser um n ´umero par (porque o quadrado de um n ´umero ´ımpar ´e ´ımpar). Isso significa que eu posso escrever p=2r (isto ´e exatamente a defini¸c˜ao de um n ´umero par), mas ent˜ao p2 = (2r)2 =4r2, e eu obtenho:
4r2 =2q2⇒2r2 =q2(essa flecha significa ”implica”), OK, mas agora eu sei que q ´e um n ´umero par tamb´em, isto ´e, existe um inteiro s tal que q=2s (impossivel! porque eu poderia reduzir a fra¸c˜ao pq = 2r2s = rs).
N´ umeros reais
I Defini¸c˜ao:um n ´umero real ´e dado por um inteiro com sinal mais ou menos, mais uma virgula, mais um n ´umero finito ou infinito de casas decimais depois. Os n ´umeros reais s˜ao os n ´umeros da calculadora, mas com
possibilidade de ter um n ´umero infinito de decimais.
I Examplos-351,121112211122211122 . . . ´e um n ´umero real, π,√
21 tamb´em . . .
I Conven¸c˜ao:vocˆes j´a sabem que 23, 99999999=24. Na verdade, ´e facil mostrar isso:
Demonstra¸c˜ao
Vamos escrever x=23, 99999 . . .. Ent˜ao10x=239, 9999 . . ..
Depois de uma subtra¸c˜ao, temos que9x=239, mas isso significa que x=24.
I Cuidado!O n ´umero 23, 88888888 n˜ao ´e igual a 23, 9!
I Nota¸c˜ao:o conjunto de todos os reais ´eR.
I Rela¸c˜ao com os outros n ´umeros:
√ 2 ´ e um n´ umero real ou n˜ ao?
Teorema
Existe um n ´umero real, escrito√
2, cujo quadrado ´e igual a2.
Demonstra¸c˜ao (id´eia principal)
Vamos simplesmente construir o n ´umero real√
2, com todas as decimais dele:
I ”Parte inteira”:√ ´e claro que12=1<2, mas22 =4>2, ent˜ao 2tem que ter uma parte inteira igual a1.
I Primeira decimal depois da virgula:
(1, 3)2 =1, 69<(1, 4)2 =1, 96<2<(1, 5)2=2, 25 ent˜ao√
2tem que come¸car com1, 4.
I Segunda decimal:√
2tem que come¸car com1, 41porque:
(1, 41)2 =1, 9881<2< (1, 42)2=2, 0164
Conclus˜ ao:
I Conclus˜ao: dessa maneira, a gente pode construir uma sequˆencia infinita de decimais, isto ´e, um n ´umero real que vai ser exatamente√
2.
I Bem melhor: m´etodo de Newton para calcular√ 2:
queremos resolverx2−2=0:
Reconhecer Q dentro de R
Teorema
Os n ´umeros racionais tem uma expans˜ao decimal periodica.
Demonstra¸c˜ao
Vamos ver isso com um exemplo: fra¸c˜oes do tipo n/7(por exemplo 3/7).So tem um n ´umero finito de restos possiv´eis, ent˜ao a sequˆencia de decimais vai se repetir depois de um tempo.
Exerc´ıcio
Dar exemplos de n ´umeros reais que n˜ao s˜ao racionais (e que n˜ao s˜ao raizes).
Depois de R ?N˜ ao ´ e o fim da historia...
Defini¸c˜ao
O conjuntoCdos n ´umeroscomplexos´e
C={a+bi|a∈R,b∈R}, onde i satisfaz i2= −1.
I Adi¸c˜ao:simplesmente
(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
I Produto:
(a+bi).(c+di) =ac+adi+bi.c+ (bi)(di)
=ac+ (ad+bc)i+ (bd)(−1)
= (ac−bd) + (ad+bc)i
Um pouco mais sobre C
Figura : o plano complexo
Um pouco mais sobre C : adi¸c˜ ao e produto em C
N´ umeros e fun¸c˜ oes
Vamos considerar dois conjuntos: o conjuntoXcom elementos xe o conjuntoYcom elementosy.
Defini¸c˜ao
Umafun¸c˜aof :X→Y (leia:”f de X em Y”) ´e uma regra que associa a cada elemento x de X um ´unico elemento y de Y.
I Dom´ınio: o conjuntoX´e odom´ıniodef, tamb´em escrito Df.
I Contradom´ınio: o conjuntoY ´e ocontradom´ıniodef.
I Valor, imagem: o ´unicoydeYassociado ao elementoxde X ´e indicado porf(x)(leia:f dex), ´e o valor def emx.
I Imagem def:o conjunto de todos os valores possiv´eis de f(x) ´e chamado aimagem def.
Fun¸c˜ oes
Visualiza¸c˜ao de uma fun¸c˜ao:
Figura : Func¸˜ao como uma maquina
Figura : Diagrama de flechas
Gr´ afico de uma fun¸c˜ ao
Defini¸c˜ao
Ogr´aficode f consiste em todos os pontos do plano com coordenadas (x,f(x))onde x est´a no dom´ınio de f .
Examplos:f :x7→x2,g:u7→u3...
Figura : Exemplo de gr´afico
Examplos
Examplo 1:Dominio e imagem def(x) =x2
Examplo 2:Encontre o dom´ınio e a imagem def(x) = 2xx−1, de g(x) =√
x−7.
Examplo 3: fun¸c˜ao afimE simplesmente uma func¸˜ao cujo gr´afico ´e uma reta.
y=f(x) =mx+b,
ondem´e ocoeficiente angularouinclina¸c˜aoeb´e ointercepto.
Mais exemplos / Intervalos
Defini¸c˜ao (Intervalo aberto)
O intervalo aberto de a at´e b, denotado pelo s´ımbolo(a,b)´e definido por:
(a,b) ={x|a<x<b} Examplos:dom´ınio de x2x−3
Defini¸c˜ao (Intervalo fechado)
O intervalo fechado de a at´e b, denotado pelo s´ımbolo[a,b]´e definido por:
[a,b] ={x|a≤x≤b}
Desigualdades
Regras para as desigualdades:
I Sea<bent˜aoa+c<b+c
I Sea<bec<dent˜aoa+c<b+d
I Sea<bec>0 ent˜aoac<bc
I Sea<bec<0 ent˜aoac>bc
I Se 0<a<bent˜ao 1/a>1/b Exerc´ıcio
Resolva as desigualdades seguintes e ilustre o conjunto solu¸c˜ao sobre o eixo real:
1. 3x+9>4
2. 5x<2x+1≤3x+4 3. 2x2+x≤1
4. x2+2x+3<1.
Praticar com desigualdades
Exerc´ıcio
Resolva x3+3x2>4x.
Demonstra¸c˜ao
Temos que escrever tudo de um lado
x3+3x2−4x>0
e depois re-escrever como um produto de fatores simples:
x(x−1)(x+4)>0.
Finalmente, podemos determinar as solu¸c˜oes da equa¸c˜ao x(x−1)(x+4) =0e cortar o eixo real em 4 intervalos:
Praticar com desigualdades II
Ent˜ao o conjunto soluc¸˜ao ´e :
Valor absoluto
Defini¸c˜ao
O valor absoluto (tamb´em chamado m´odulo) de um n ´umero a, denotado por|a|, ´e a distˆancia de a at´e0sobre o eixo real.
I Propriedade 1:para todo n ´umeroa,|a| ≥0.
I Propriedade 2: |a|=asea≥0, e|a|=−asea<0.
I Propriedade 3: |a||b|=|ab|.
I Propriedade 4:”Desigualdade triangular”
|a+b| ≤ |a|+|b|.
I Propriedade 5:vamos supora>0, ent˜ao:
|x|=ase e somente sex=±a
|x|<ase e somente se −a<x<a
|x|>ase e somente sex>aoux<−a.
Exercicios sobre gr´ aficos
Exerc´ıcio
O conjunto{(x,y)|3x+4y=5}´e o grafico de uma fun¸c˜ao?
Exerc´ıcio
Grafico de f(x) =|x|, de|x−6|, de2|x|, de|x|+2?
A fun¸c˜ ao valor absoluto
Defini¸c˜ao:
|x|=
(x sex≥0
−x sex≤0.
Gr´afico:
Exerc´ıcio
D´ominio e imagem da fun¸c˜ao valor absoluto? Que dizer da fun¸c˜ao
||x||?
Valor absoluto e desigualdades: como resolver os problemas
Resolva:
Exercicios com o valor absoluto
Exerc´ıcio
Elimine o valor absoluto:
|2x−1|+|x−2|
|x−2| − |x+1|
Exerc´ıcio
Demostrar: √
x2=|x|
Exerc´ıcio
Demostrar que para todos u,v∈Rtemos que:
|u−v| ≥ ||u| − |v||
Exercicios sobre gr´ aficos
Exerc´ıcio
O conjunto{(x,y)|3x+4y=5}´e o grafico de uma fun¸c˜ao?
Exerc´ıcio
Determinar graficamente a interse¸c˜ao e a uni˜ao dos conjuntos {(x,y)|x+y−5>0}e{(x,y)|x−2y+2>0}. Lembra que a uni˜ao de dois conjuntos A e B ´e definida por:
A∪B={x|x∈A ou x∈B}.
Exerc´ıcio
Grafico de f(x) =|x|, de|x−6|, de2|x|, de|x|+2?
Retas e fun¸c˜ oes lineares
Inclina¸c˜aode uma reta n˜ao vertical que passa pelos pontos (x1,y1)e(x2,y2):
m= ∆y
∆x = y2−y1 x2−x1
Equa¸c˜ao de uma reta passando pelo pontoP1(x1,y1)com inclinac¸˜aom:
y−y1=m(x−x1)
Exerc´ıcios
Equa¸c˜ao mais geral de uma reta:
Ax+By+C=0
Exerc´ıcio
Mostrar que se os interceptos x e y de uma reta s˜ao os n ´umeros a e b (6=0), ent˜ao a equa¸c˜ao da reta pode ser escrita como:
x a +y
b =1
Encontrar a equa¸c˜ao de uma reta cujo intercepto x ´e 6 e cujo intercepto y ´e−8.
Tudo sobre as equa¸c˜ oes quadr´ aticas
Equa¸c˜ao quadratica:
ax2+bx+c=0
Teorema As solu¸c˜oes s˜ao:
x= −b±√
b2−4ac 2a
I Observa¸c˜ao 1:quando odiscriminanteD=b2−4ac ´e igual a 0, so tem uma soluc¸˜ao ´unicax=−2ab.
I Observa¸c˜ao 2:quando odiscriminanteD=b2−4ac<0, n˜ao existem soluc¸ ˜oes reais.
I Observa¸c˜ao 3:quando odiscriminanteD=b2−4ac>0, existem duas soluc¸ ˜oes (tamb´em chamados ”zeros”ou
”ra´ızes”) reais distintasx1,x2.
Geometria da equa¸c˜ ao quadr´ atica
Porque? Explica¸c˜ao simples (”completamento de qua- drados”):
x+ b
2a 2
= b
2−4ac 4a2
Caso com 2 solu¸c ˜oes:podemos fatorarx2+ bax+ca como:
(x−x1)(x−x2) =x2−(x1+x2)x+x1x2 Teorema
A soma das ra´ızes ´e−b/a e o produto das ra´ızes ´e c/a.
Exerc´ıcio
Discutir o car´ater das ra´ızes na equa¸c˜ao quadr´atica:
9x2−(m−3)x+1=0
Equa¸c˜ ao quadr´ atica
.
Exerc´ıcio
Resolver y4−y2 =12. Resolver u−2√ u=3.
Exerc´ıcio
Determinar o valor de x tal que3x2+2x+3´e minimo.
Transforma¸c˜ oes de gr´ aficos: transla¸c˜ oes
Transla¸c ˜oes:para cima, para baixo, para esquerda , para direita
Transforma¸c˜ oes de gr´ aficos: esticamento e reflex˜ ao
Esticamento e reflex˜ao:suponhac>1
1. y=cf(x)estique o gr´afico dey=f(x)verticalmente por um fator dec
2. (1/c)f(x)comprima.
3. f(cx)comprima horizontalmente.
4. f(x/c)estique horizontalmente por um fator dec, 5. −f(x)reflita o gr´afico em torno do eixox
6. f(−x)reflita em torno do eixoy.
Exemplos de esticamentos: com a fun¸c˜ ao co-seno / Aplica¸c˜ ao
Exerc´ıcio
Demostrar que o gr´afico de qualquer fun¸c˜ao quadr´atica pode ser obtido a partir do gr´afico de y=x2com transla¸c˜oes, esticamentos e reflex˜oes.
Exemplos
Exerc´ıcio
Esboce o gr´afico de x2+10x+27.
Exerc´ıcio
Esboce o gr´afico de|x3−2x|. Exerc´ıcio
O gr´afico de y= √
3x−x2´e dado. Use as transforma¸c˜oes para criar uma fun¸c˜ao cujo gr´afico ´e mostrado.
Fun¸c˜ ao composta
Imagem def:lembra que a imagem def ´e Imf ={f(x)|x∈Df}.
Defini¸c˜ao
Sejam f e g duas fun¸c˜oes tais que Imf ⊂Dg, ent˜ao a fun¸c˜ao dada por y=g(f(x)),x∈Df
´e chamada fun¸c˜ao composta de g e f , e ´e denotada por g◦f . Pergunta:g◦f =f◦g? ou n˜ao?
Exerc´ıcio
Determine g◦f e f ◦g para f(x) =x+1, g(x) =x2.
Exemplos de composi¸c˜ oes
Encontre as fun¸c ˜oesf◦g,g◦f,f◦f,g◦ge seus dom´ınios