C´ alculo Diferencial e Integral I

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C´ alculo Diferencial e Integral I

Prof. Paolo Piccione

Prova REC

23 de julho de 2015

Nome:

N´umero USP:

Assinatura:

Instru¸c˜oes

• A dura¸c˜ao da prova ´e de uma hora e quarenta minutos.

• Assinale as alternativas corretas na folha de respostas que est´a no final da prova. E permitido deixar quest˜´ oes em branco.

• Cada quest˜ao tem apenasuma resposta correta.

• O valor total da prova é de 10 pontos; cada questão correta vale ¹₂ ponto (0.5) ecada questão errada implica num desconto de ₁₀¹ de ponto (0.10).

• No final da prova, deve ser entregue apenas a folha de respostas (na

´

ultima p´agina).

•

Para o cálculo da nota final será feita uma média pesada entre a nota da primeira avalia¸cão e a nota da REC. A nota da primeira avalia¸cão terá peso 1, e a nota da REC terá peso 2.

• Boa Prova!

Terminologia e Nota¸c˜oes Utilizadas na Prova

• R denota o conjunto dos números reais; R² é o conjuntos dos pares ordenados de números reais.

• sinx é a fun¸cão seno de x, lnx é o logaritmo natural de x; log_ax é o logaritmo em base adex,a∈]0,1[S

]1,+∞[; tanx ´e atangente de x;

secx´e asecante de x.

• Para intervalos abertos useremos a nota¸c˜ao: ]a, b[.

N ˜AO ESQUEC¸ A DE POR SEU NOME NA FOLHA DE RESPOSTAS!!!

B

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Questão 1. Quais das afirma¸cões abaixo são verdadeiras?

(i) Sex₀∈]a, b[é um ponto cr´ıtico da fun¸cãof : ]a, b[→R, que admite derivada primeira e segunda em ]a, b[, e f⁰⁰(x0)>0, então x0 é um m´ınimo local para af.

(ii) Sex0 ∈]a, b[é um máximo local para a fun¸cão derivável f : [a, b]−→R,

ent˜aof⁰(x0) = 0.

(iii) Se f : R → R ´e cont´ınua, e lim

x→±∞f(x) = −∞, ent˜ao f admite m´aximo.

(a) Todas;

(b) Somente as afirma¸c˜oes (ii) e (iii);

(c) Nenhuma;

(d) Somente (i) ´e verdadeira;

(e) Somente as afirma¸c˜oes (i) e (iii).

Quest˜ao 2. Determine o dom´ınio da fun¸c˜aof(x) =e

√1+x².

(a) [−1,1[;

(b) ]−∞,−1[S

[1,+∞[;

(c) R; (d) ]1,+∞[;

(e) ]−∞,1[.

Questão 3. Qual é a equa¸cão da reta tangente ao gráfico da fun¸cão f(x) = 2 tanx no ponto de coordenadas (0,0)?

(a) o gr´afico da f n˜ao admite reta tangente em (0,0);

(b) y= 2x;

(c) y−π= 2x;

(d) π y−2x= 1;

(e) y=x+ 2−π.

Quest˜ao 4. Calcule a soma PN

k=1

6k.

(a) ³₂N(N −1);

(b) 3N(N+ 1);

(c) 2N(N+ 1);

(d) ²₃N(N + 1);

(e) 4N(N+ 1).

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Quest˜ao 5. Calcule a derivada da fun¸c˜ao inversaf⁻¹ no puntoy0, sabendo que y₀=f(x₀),f⁻¹(y₀) = 5, f⁰(3) =−2,f(3) = 5, f⁰(5) =−2.

(a) −1 2; (b) 1

3; (c) 1

5; (d) x₀ y₀; (e) 1

y₀.

Questão 6. Calcule a área da região R=

(x, y)∈R² : 0≤x≤1, 0≤y≤3x⁸ . (a) ¹₃;

(b) ²₅; (c) ²₉; (d) 0;

(e) ³₈.

Quest˜ao 7. Calcule a integral R2

1 xe^xdx.

(a) 0;

(b) 1;

(c) e²; (d) 1−e²;

(e) 2e²−1.

Quest˜ao 8. Resolva a desigualdade |x−3|+|x+ 1| ≥6.

(a) x∈]−3,0[;

(b) x∈]−∞,−2]S

[4,+∞[;

(c) x∈]−3,−2[S ]2,4[;

(d) x∈]−∞,−3]S

[2,+∞[;

(e) x∈[−2,2[.

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Questão 9. Seja f(x) = 2−x³+ 3x². Estude f com rela¸cão a máximos e m´ınimos.

(a) 0 ´e um m´aximo local e 2 um m´ınimo global;

(b) 0 é um m´ınimo local e 2 é um máximo local;

(c) 0 e 2 s˜ao m´aximos locais;

(d) 1 e 0 s˜ao m´aximos locais;

(e) 0 e 2 s˜ao m´ınimos locais.

Quest˜ao 10. Usando o Teorema de De L’Hˆopital, calcular o limite

L= lim

x→0

1−cosx ln (1 +x²). (a) L= 1;

(b) L=−1;

(c) L= 0;

(d) L=−∞;

(e) L= ¹₂ .

Questão 11. Qual dos seguintes é o enunciado correto do Teorema Funda- mental do Cálculo Integral?

(a) Se f : [a, b] → R é cont´ınua, então f é uma primtiva da fun¸cão F definida porF(x) =Rx

a f(t) dt;

(b) Sef : [a, b]→Ré derivável, então Rb

af(t) dté a área da região abaixo do gráfico da f;

(c) Sef : [a, b]→R´e cont´ınua, ent˜ao f⁰(x) =R_x

a f(t) dt;

(d) Sef : [a, b]→R´e cont´ınua, ent˜aoF(x) =Rx

a f(t) dt´e a primitiva def em [a, b] que satisfazF(a) = 0;

(e) Sef : [a, b]→R´e cont´ınua, ent˜aoF(x) =Rx

a f(t) dt´e a primitiva def em [a, b] que satisfazF(b) = 0.

Quest˜ao 12. Calcule o limite L= lim

n→∞nsin(2/n).

(a) L= ¹₂; (b) L= 1;

(c) L= 2;

(d) L= +∞;

(e) L=∞ ·sin 0.

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Questão 13. Determinar a equa¸cão da reta tangente ao gráfico da fun¸cão f(x) =e^2x no ponto de absissa x= 2.

(a) y= 2e^2x(x−1);

(b) y=e⁴(2x−3);

(c) y=e⁴(x−2);

(d) y−e=e²(x−2);

(e) y=e^2x(x−1).

Questão 14. Calcule a área da regiãoR dada por:

R=

(x, y)∈R² :−π ≤x≤ −^π₂, sinx≤y ≤0 . (a) 2;

(b) cos 1;

(c) 1;

(d) −cos 1;

(e) −2.

Quest˜ao 15. Calcule o limite L= lim

x→+∞

2x x+ 1

3x

.

(a) L= +∞;

(b) L= 1;

(c) L=e³; (d) L= 1

e; (e) L= 1

e³.

Quest˜ao 16. Seja f:R→R uma fun¸c˜ao que admite derivadas primeira e segunda, e seja x₀ ∈R um ponto onde f(x₀) = 1, f⁰(x₀) = 1, f⁰⁰(x₀) = 3.

Qual das seguintes afirma¸c˜oes ´e verdadeira?

(a) f(x) = 4 + (x−x0)²;

(b) x0 úm ponto de inflexão paraf; (c) x0 é um m´ınimo local daf ; (d) x0 é um máximo local daf;

(e) x₀ n˜ao ´e um ponto cr´ıtico daf.

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Questão 17. Se f : [a, b]→Ré uma fun¸cão tal que f⁰(x)<0 ef⁰⁰(x)<0 para todo x∈[a, b]. Qual das seguintes afirma¸cões sobre af é verdadeira?

(a) f ´e decrescente e com concavidade para cima em [a, b];

(b) f ´e crescente e com concavidade para cima em [a, b] ; (c) f tem concavidade para cima.;

(d) f ´e crescente e com concavidade para baixo em [a, b];

(e) f ´e decrescente e com concavidade para baixo em [a, b].

Questão 18. Quais das fun¸cões F(x) abaixo é uma primitiva da fun¸cão f(x) = 2x−xcosx?

(a) F(x) =x²−sinx−xcosx;

(b) F(x) =xsinx−cosx+x²; (c) F(x) = ¹₂x²−sinx+xcosx;

(d) F(x) =x²−xsinx−cosx;

(e) F(x) = 2x−xsinx−xcosx.

Questão 19. Determine o(s) intervalo(s) onde a concavidade da fun¸cão f(x) = 1−e⁻¹³^x² é para cima:

(a) ]−

√3 2 ,

√3 2 [ ; (b) i^√

3 3 ,+∞h

; (c) ]− ∞,−√

3[ e em ]√

3,+∞[;

(d) R, pois a fun¸c˜ao exponencial ´e crescente;

(e) i

−∞,−

√ 3 2

h

e emi^√

3 2 ,+∞h

.

Quest˜ao 20. Calcule a derivada da fun¸c˜ao F(x) = Z 3x

1

sec²tdt.

(a) F⁰(x) = 3 sec²x;

(b) F⁰(x) =R_3x

1 2 costsintdt;

(c) F⁰(x) = 2 cos³x;

(d) F⁰(x) = sec²(3x);

(e) F⁰(x) = 3 sec²(3x).

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