Repositório Institucional UFC: Continuidade ótima do gradiente para equações elípticas degeneradas.

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a CENTRO DE CIˆENCIAS

DEPARTAMENTO DE MATEM ´ATICA

PROGRAMA DE P ÓS-GRADUAÇ ÃO EM MATEM ÁTICA

JANIELLY GONC¸ ALVES ARA ´UJO

CONTINUIDADE ÓTIMA DO GRADIENTE PARA EQUAÇ ÕES ELÍPTICAS DEGENERADAS

FORTALEZA

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Disserta¸cão apresentada ao Programa de Pós-gradua¸cão em Matemática do Departa-mento de Matemática da Universidade Fede-ral do Ceará, como parte dos requisitos ne-cessários para a obten¸cão do t´ıtulo de Mes-tre em Matemática. Área de concentra¸cão: Análise.

Orientador: Prof. Dr. Gleydson Chaves Ri-carte

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Biblioteca Universitária

Gerada automaticamente pelo módulo Catalog, mediante os dados fornecidos pelo(a) autor(a)

A689c Araújo, Janielly Gonçalves.

Continuidade ótima do gradiente para equações elípticas degeneradas / Janielly Gonçalves Araújo. – 2014. 53 f.

Dissertação (mestrado) – Universidade Federal do Ceará, Centro de Ciências, Programa de Pós-Graduação em Matemática, Fortaleza, 2014.

Orientação: Prof. Dr. Gleydson Chaves Ricarte.

1. Regularidade ótima. 2. Degenerecência.. 3. Gradiente. I. Título.

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Disserta¸cão apresentada ao Programa de Pós-gradua¸cão em Matemática do Departamento de Matemática da Universidade Federal do Ceará, como parte dos requisitos necessários para a obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Ma-temática. Área de concentra¸cão: Geometria Diferencial.

Aprovada em: 29/04/2014.

BANCA EXAMINADORA

Prof. Dr. Gleydson Chaves Ricarte (Orientador) Universidade Federal do Cear´a (UFC)

Prof. Dr. José Fábio Bezerra Montenegro Universidade Federal do Ceará (UFC)

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Primeiramente agrade¸co à Deus por me aben¸coar e me dar sabedoria. Aos meus pais Júlio e Lourdes, aos meus irmãos Damião Junio e Jane Kelly por estarem sempre presentes em todas etapas da minha vida.

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Neste presente trabalho estudaremos importantes propriedades anal´ıticas de solu¸cões de equa¸cões diferenciais parciais el´ıpticas totalmente não-lineares do tipo

|∇u|γF(X, D2u) = f(X).

Iremos obter a regularidade ótima para este tipo de equa¸cão, as quais tem como principal caracter´ıstica a degenerescência do seu gradiente ao longo do conjunto em que tal taxa de varia¸cão se anula. Faremos aplica¸cões relacionando os resultados obtidos às teorias de supercondutividade, ∞-laplaciano e p-laplaciano.

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In this work we study important analytic properties of solutions of fully nonlinear elliptic partial differential equations type

|∇u|γF(X, D2u) = f(X).

We obtain optimal regularity for this type of equation which has as its main characteristic the degeneracy of its gradient along the whole in which this rate of change is canceled. We will make applications relating to the results theories of superconductivity, ∞-Laplacian and p-Laplacian.

(10)

1 INTRODUC¸ ˜AO . . . 10

2 PRELIMINARES . . . 13

2.1 Espa¸cos de H¨older e solu¸c˜oes no sentido da viscosidade . . . 15

2.2 Teoremas Importantes . . . 18

3 COMPACIDADE UNIVERSAL . . . 20

4 REGULARIDADE C1,α _{. . . .} ₂₅

5 O RESULTADO PRINCIPAL . . . 30

5.1 Regularidade local sob o regime de pequenez . . . 32

6 APLICAC¸ ˜OES E PERSPECTIVAS . . . 37

6.1 Equa¸c˜oes da teoria de supercondutividade . . . 37

6.2 Visitando a teoria do ∞-laplaciano . . . 39

6.3 Outras equa¸c˜oes el´ıpticas degeneradas . . . 42

7 SOLUÇ ÕES MINIMAIS E GEOMETRIA N ÃO DEGENERADA 45 8 CONCLUS ÃO . . . 51

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1 INTRODUC¸ ˜AO

A teoria de regularidade, na qual busca propriedades intr´ınsecas de solu¸cões de equa¸cões diferenciais parciais, se torna relevante desde a funda¸cão da teoria de análise moderna de EDPs, por volta do século XVIII. Esse estudo se torna necessário na mode-lagem matemática de fenômenos f´ısicos e sociais, por exemplo, que são governados por equa¸cões diferenciais parciais el´ıpticas de segunda ordem.

Suavidade de solu¸cões fracas para equa¸cões uniformente el´ıpticas de segunda ordem, tanto da forma divergente quanto não divergente, é hoje em dia bastante bem estabelecida. A parte central no desenvolvimento desta teoria, destacamos a busca de um módulo de continuidade universal de solu¸cões de tais equa¸cões. Podemos destacar a teoria de DeGiorgi-Nash-Moser para equa¸cões da forma divergente, onde encontramos a obten¸cão do módulo universal de continuidade para solu¸cões da equa¸cão linear homogênea Lu= 0 e a desigualdade de Harnack Krylov-Safonov para operadores da forma não divergente.

Apesar da distinta importância das obras supra-citadas acima, um grande número de modelos matemáticos, envolvem operadores cuja a elipticidade se degenera ao longo de uma região desconhecida a priori, que depende de sua própria solu¸cão. Tais modelos são chamados de problemas de fronteira livre. Este fato diminui a eficácia das caracter´ısticas de difusão próximo dessa região, e portanto a teoria de regularidade para solu¸cões se torna, para este caso, mais sofisticada do ponto de vista matemático.

Outro avan¸co destacável, está na teoria de regularidade para solu¸cões de vis-cosidade de equa¸cões uniformemente el´ıpticas não lineares,

F(D2u) = 0 (1.1)

que atraiu a aten¸cão da comunidade matemática nessas últimas três décadas. É sa-bido que solu¸cões da equa¸cão homogênea (1.1) são localmente de classe C1,α0 _{para um}

expoente universal α0, isto ´e, que depende apenas das constantes d-dimens˜ao e λ,

Λ-constantes de elipticidade, veja ROBERTS, CAFFARELLI, and CABRÉ (1995). Caso nenhuma hipótese estrutural seja imposta para o operador F, a regularidade C1,α0 _{é de}

fato ótima, veja NADIRASHVILI (2007, 2008) e NADIRASHVILI and VLADUTS (2011). Sob hipótese de concavidade ou convexidade emF, um teorema devido a Evans e Krylov, estabelece que solu¸cões são C2,α_{. A teoria de regularidade para o caso não-homogêneo}

F(X, D2u) = f(X) (1.2)

(12)

operador F uma hipótese do tipo VMO para seus coeficientes. Recentemente, E. Tei-xeira em TEIXEIRA (2014), fornece um módulo de continuidade universal ótimo para equa¸cões totalmente não-lineares de coeficientes variáveis, baseado nas propriedades de fraca-integrabilidade que o potencialf em (1.2) pode assumir.

Nosso trabalho tem como objetivo obter estimativas ´otimas interiores para equa¸c˜oes el´ıpticas degeneradas da forma:

H(X,∇u)F(X, D2u) = f(X) em B1 ⊂Rd, (1.3)

onde f ∈L∞₍_B

1) e o operador H: B1×Rd →R degenera com uma taxa compar´avel a

uma potˆencia da magnitude do gradiente, isto ´e,

λ|p|γ ≤ H(X, p)≤Λ|p|γ, (1.4)

para algum γ > 0. O operador de 2a _ordem _F_: _B

1 ×Sym(N) → R na equa¸c˜ao (1.3) ´e

o responsável pela difusão, ou seja, F é um operador uniformemente el´ıptico totalmente não-linear.

Em diversos modelos matem´aticos, a degenerescˆencia el´ıptica ocorre ao longo do conjunto singular:

S₍_u_{) :=}_{_X _:_∇_u₍_X_{) = 0}}_,

de uma solu¸cão existente. De fato, um certo número de equa¸cões el´ıpticas degeneradas tem seus graus de degenerescência comparados a

f(∇u)|D2u| ≈1, (1.5)

para alguma fun¸c˜ao f: Rd _→ R_{, com Zero(}_f_{) =} _{{0}. Assim, para compreendermos o}

efeito preciso sobre a falta de suavidade imposta pela equa¸cão modelo (1.5) nos guia a uma melhor compreensão sobre a teoria de regularidade ótima para uma quantidade razoável de operadores el´ıpticos degenerados.

Notemos que pela estrutura da equa¸cão (1.3) nenhuma teoria de regularidade universal para tal equa¸cão pode ir além da regularidade C1,α0_{, para} _α

0 em (1.1), ou

seja, essa regularidade é ótima. De fato, o termo de degenerescência H(X,∇u) for¸ca as solu¸cões a serem menos regulares que solu¸cões do problema uniformemente el´ıptico próximo de seu conjunto singular. Esta caracter´ıstica particular indica que a obten¸cão de estimativas de regularidade ótima para solu¸cões de (1.3) não deve seguir de técnicas de pertuba¸cão, pois isto exige novas ideias envolvendo uma intera¸cão de equil´ıbrio entre a teoria de regularidade universal para equa¸cões uniformemente el´ıpticas e o efeito de degenerescência atribu´ıdos pelo operador difusão (1.4).

(13)

viscosidadeu, de (1.3), ´e localmente de classeC0,min{α−0,1+1θ}.O expoente ´otimo de

H¨older-continuidade para o gradiente de solu¸c˜oes,

β := min

α−₀, 1

1 +θ

, (1.6)

nos dá precisamente a regularidade ótima e universal de equa¸cões degeneradas do tipo (1.3).

(14)

2 PRELIMINARES

No presente trabalho, iremos fazer uso da nota¸cão padrão utilizada na li-teratura. As equa¸cões e problemas estudados neste trabalho são modelados no espa¸co euclidiano d-dimensional, Rd_{. A bola aberta de raio} _{r >} _{0 centrada no ponto} _X₀ _será

denotada por Br(X0) e simplesmente Br para as bolas de raio r, centradas na origem.

Denotaremos Ω como um dom´ınio limitado em Rd_{. Para um dom´ınio} _{A ⊂} Rd_, _∂_O

será entendido como o bordo do dom´ınio A. Além disso, para cada k > 0, iremos de-notar kBr(X0) := Bkr(X0). Já o produto escalar usual em Rd será representado por

h·,·i . Dado um vetor α = (α1,· · ·, αd) ∈ Rd, sua norma euclideana ser´a denotada por

|α|:= p

hα, αi. O produto tensorial ξ⊗ψ denota a matriz cuja entradas s˜ao dadas por

ξiψj onde, 1≤i, j ≤d. Seja A= (Aij)d×d e B = (Bij)d×d duas matrizes, denotaremos

kAk =sup|X|=1|Ax|. (2.1)

Para uma fun¸c˜aou: Ω→R_{, seu gradiente e sua Hessiana em um ponto}_X _∈_Ω

ser˜ao denotados respectivamente por

∇u(X) := (∂ju)1≤j≤d e D2u(X) := (∂iju)1≤i,j≤d,

onde ∂ju e ∂iju representam a j-´esima derivada direcional de u e a i-´esima derivada direcional de ∂ju, respectivamente. Denotaremos por Lp_{(Ω) =} _{_u _{: Ω} _→ _R_;_k_u_k

Lp_(Ω) <

∞}, onde

kukLp_(Ω)=

Z

Ω

|u|pdx

1_p

, 1≤p <∞,

eL∞_{(Ω) =}_{_u_{: Ω}_→_R_; _k_u_k

L∞_(Ω) <∞}, onde kukL∞_(Ω)= ess sup

Ω

|u|.

A oscila¸c˜ao deu em um dom´ınio Ω ser´a dada por;

oscΩu:= sup Ω

u−inf

Ω u.

O espa¸co de todas matrizes simétricas d×d será denotado por S(d). Dizemos que um operadorF: Ω×S(d)→R_é_{uniformemente el´ıptico}_{, se existem duas constantes positivas}

0< λ≤Λ tais que, para cada M ∈S(d) e X ∈Ω,

λkNk ≤F(X, M+N)−F(X, M)≤ΛkNk, ∀N ≥0. (2.2)

(15)

F(X, M +N)≤F(X, M) + ΛkN+k −λkN−k (2.3) para todo x ∈Ω e M, N ∈ S(d), onde kN+_k _{representa o m´aximo da parte positiva dos}

autovalores de N, ekN−_k₌_k(−_N₎+_k.

Para uma fun¸c˜aou: Ω→R_{, seu gradiente e sua Hessiana em um ponto}_X _∈_Ω

ser˜ao denotados respectivamente por

∇u(X) := (∂ju)1≤j≤d e D2u(X) := (∂iju)1≤i,j≤d,

onde ∂ju e ∂iju representam a j-´esima derivada direcional de u e a i-´esima derivada direcional de ∂ju respectivamente. Denotaremos por Lp_{(Ω) =} _{_u _{: Ω}_→ _R_; _k_u_k

Lp_(Ω) <

∞}, onde

kukLp_(Ω)=

Z

Ω

|u|pdx

1_p

, 1≤p <∞,

eL∞_{(Ω) =}_{_u_{: Ω}_→_R_; _k_u_k

L∞_(Ω) <∞}, onde kukL∞_(Ω)= ess sup

Ω

|u|.

A oscila¸c˜ao deu em um dom´ınio Ω ser´a dada por;

oscΩu:= sup Ω

u−inf

Ω u.

O espa¸co de todas matrizes simétricas d×d será denotado por S(d). Dizemos que um operadorF: Ω×S(d)→R_é_{uniformemente el´ıptico}_{, se existem duas constantes positivas}

0< λ≤Λ tais que, para cada M ∈S(d) e X ∈Ω,

λkNk ≤F(X, M+N)−F(X, M)≤ΛkNk, ∀N ≥0. (2.4)

Equivalentemente, um operador (λ,Λ)-el´ıptico pode ser definido sob a seguinte condi¸c˜ao:

F(X, M +N)≤F(X, M) + ΛkN+k −λkN−k (2.5) para todo x ∈Ω e M, N ∈ S(d), onde kN+_k _{representa o m´aximo da parte positiva dos}

autovalores de N, ekN−_k₌_k(−_N₎+_k.

Observa¸cão 2.1. A defini¸cão acima nos diz que o operador F é monótono crescente e Lipschitz em M ∈S(d).

De fato, sejam M, N ∈ S(d) tais que M ≤ N (isso significa que a matriz N −M ´e positiva). Pela elipticidade uniforme de F temos,

(16)

Ent˜ao,

0< λkN −Mk ≤F(X, N)−F(X, M)⇒F(X, M)≤F(X, N).

Isso conclui a monotonicidade de F(X, M) em S(d).

Agora, sejamA, B ∈S(d). A elipticidade uniforme do operador F nos d´a que

F(X, B)−F(X, A) = F(X, A+ [B−A])−F(X, A) ≤ Λk(B−A)+k −λk(B−A)−k ≤ Λk(B−A)+k

≤ ΛkB−Ak.

F(X, A)−F(X, B) = F(X, B+ [A−B])−F(X, B) ≤ Λk(A−B)+k −λk(A−B)−k ≤ Λk(A−B)+k

≤ ΛkA−Bk = ΛkB−Ak.

Portanto,

|F(X, B)−F(X, A)|= max{F(X, B)−F(X, A), F(X, A)−F(X, B)} ≤ΛkB−Ak,

ou seja, o operador F ´e Lipschitz emS(d).

Dizemos queF é um operador côncavo quando este é uma fun¸cão côncava no espa¸co das matrizes simétricas reaisSd_{. Para cada} _{ε >}_{0, definamos}

Fε(X, M) :=εF

X,1 εM

∀ X ∈Ω. (2.6)

Escrevemos f =o(g) quando x→x0 para significar que limx→x0

|f(x)| |g(x)| = 0. 2.1 Espa¸cos de H¨older e solu¸c˜oes no sentido da viscosidade

A continuidade Hölder é uma medida quantitativa de continuidade que é es-pecialmente apropriada para o estudo de equa¸cões diferenciais parciais. Isso sugere uma amplia¸cão dos espa¸cosCk_{(Ω), onde}

(17)

Sendo Ω um aberto, fun¸c˜oes emCk_{(Ω) (e suas derivadas) n˜ao precisam ser limitadas em}

Ω, por isso n˜ao podemos adotar a norma do sup para transformar Ck_{(Ω) em um espa¸co}

normado. Mas sabendo que fun¸cões limitadas e uniformente cont´ınuas em Ω possuem uma única extensão cont´ınua para ¯Ω podemos considerar o espa¸co

Ck( ¯Ω) ={u∈Ck(Ω) :Dγu ´e uniformemente cont´ınua em Ω para todo |γ| ≤k},

com a norma kukCk_{( ¯}_Ω)= max

|α|≤kkD α_u_k

L∞_(Ω).

Defini¸cão 2.2. Uma fun¸cão u : Ω → R _{é dita ser} _α_{-Hölder cont´ınua em um ponto} _X₀_,

com 0< α <1, se existe uma constante C >0 tal que

|u(X)−u(X0)| ≤C|X−X0|α, para todo X 6=X0 ∈Ω

Quando u: Ω →R_´e _α_{-H¨older cont´ınua em todo Ω, e escrevemos} _u _∈_Cα_(Ω),

temos que

|u(X)−u(Y)| ≤C|X−Y|α, para todo X 6=Y ∈Ω.

Defini¸cão 2.3. Os espa¸cos de Hölder Ck,α_{(Ω) são subespa¸cos de} _Ck_{(Ω) consistindo de}

fun¸cões cujas derivadas parciais até a ordem k são todas α-Hölder cont´ınuas em Ω, ou seja,

Ck,α(Ω) ={u∈Ck(Ω) : Dγu∈Cαpara todo|γ| ≤k}.

Definimos tamb´em

Ck,α( ¯Ω) ={u∈Ck( ¯Ω) : Dγu∈Cα(Ω) para todo|γ| ≤k}

e consideramos a norma

kukCk,α_{( ¯}_Ω)=kuk_Ck_{( ¯}_Ω)+ max

|γ|≤k[D γ_u_]

Cα_(Ω),

onde

[Dγ_u_]

Cα_(Ω) = sup X,Y∈Ω

X6=Y

|Dγ_u₍_X₎₋_Dγ_u₍_Y_)|

|X−Y|α .

Defini¸cão 2.4. u:Br →R_é _C1,α _{na origem se, e somente se, existe um polinômio} _ℓ _de

grau 1 tal que

|u(X)−ℓ(X)| ≤C|X|1+α, para alguma constante C > 0.

(18)

no sentido da viscosidade foi dada por Evans no ano de 1980. Depois disso, importantes propriedades foram refinadas em um trabalho feito em conjunto por Crandall, Evans e Lions, em 1984. A principal dificuldade em definir solu¸cão fraca de equa¸cões totalmente não lineares é a ausência de uma estrutura divergente. Daremos agora o conceito de solu¸cão no sentido da viscosidade para a equa¸cão el´ıptica de segunda ordem totalmente não linear,

|∇u|γF(X, D2u(X)) =f(X), (2.7) onde X∈Ω, u ef s˜ao fun¸c˜oes definidas no dom´ınio limitado Ω⊂Rn_.

Defini¸cão 2.5. Uma fun¸cão u definida em Ω tem um máximo local em X0 ∈ Ω quando u(X)≤u(X0) para qualquerX em uma vizinhan¸ca de X0.

De maneira análoga, com algumas modifica¸cões precisas, temos a defini¸cão de m´ınimo local.

Defini¸cão 2.6. Uma fun¸cão cont´ınuauem Ω é uma subsolu¸cão no sentido da viscosidade para a equa¸cão (2.7) se sempre que u−ϕ atingir máximo local em um ponto X0 ∈ Ω,

onde ϕ∈C2_{(Ω), tivermos}

|∇u|γF(X0, D2ϕ(X0))≥f(X0).

Dizemos que uma fun¸cão cont´ınua u em Ω é uma supersolu¸cão no sentido da viscosidade para a equa¸cão (2.7) quando sempre que u−ϕ atingir m´ınimo local em um pontoX0 ∈Ω, onde ϕ ∈C2(Ω), tivermos

|∇u|γF(X0, D2ϕ(X0))≤f(X0).

Finalmente, dizemos que u é solu¸cão no sentido da viscosidade para a equa¸cão (2.7) quando ufor subsolu¸cão e supersolu¸cão no sentido da viscosidade para a equa¸cão (2.7).

Uma motiva¸cão para esta defini¸cão vem das seguintes observa¸cões:

Observa¸cão 2.7. Suponha queué uma supersolu¸cão da equa¸cão (2.7) no sentido clássico, ou seja,

|∇u|γF(X, D2u(X))≤f(X) pontualmente.

Assuma queu−ϕatinge um m´ınimo local em um pontoX0 ∈Ω, para algumaϕ ∈C2(Ω).

Do curso de C´alculo, segue que a matriz sim´etricaD2₍_u₋_ϕ₎₍_X

0) ´e n˜ao negativa, ou seja,

D2ϕ(X0)≤D2u(X0).

A monotonicidade de F nos d´a que

(19)

Isso nos diz que ué supersolu¸cão da equa¸cão (2.7) no sentido da viscosidade.

Observa¸cão 2.8. Reciprocamente, suponha que u∈C2_{(Ω) é uma supersolu¸cão da equa¸cão}

(2.7) no sentido da viscosidade. Dado qualquer ponto X0 ∈ Ω, defina a fun¸cão teste ϕ(X) =u(X)−ǫkX−X0k2 (claramente ϕ é de classe C2). Então,

(u−ϕ)(X0) = 0 ≤ǫkX−X0k2 = (u−ϕ)(X).

Portanto, u−ϕ atinge m´ınimo local no ponto X0, e sendo u uma supersolu¸c˜ao de (2.7)

no sentido da viscosidade, segue da defini¸c˜ao que

|∇u|γF(X0, D2ϕ(X0))≤f(X0). (2.8)

´

E f´acil ver que

D2ϕ(X) =D2u(X)−2ǫId.

Segue da´ı que

D2ϕ(X0)→D2u(X0), quando ǫ→0.

Portanto, a continuidade deF em M ∈S(d) nos d´a que

|∇u|γF(X0, D2ϕ(X0))→ |∇u|γF(X0, D2u(X0)) quando ǫ→0. (2.9)

Portanto, a partir de (2.8) e (2.9) conclui-se que

|∇u|γF(X0, D2u(X0))≤f(X0) pontualmente (classicamente).

2.2 Teoremas Importantes

Nessa se¸c˜ao citaremos alguns teoremas que tiveram importˆancia significativa no desenvolvimento dessa teoria.

Teorema 2.9. (Ascoli-Arzel´a) Seja{fn :K _→R_}

n∈Numa sequˆencia de fun¸c˜oes definida

em um compactoK _⊂Rn_{. Assuma que exista uma constante}_M _{tal que}_|_fn₍_x_{)| ≤}_M _para

todon ∈N _{e para todo} _x_∈K _{. Al´em disso, assuma que a sequˆencia} _{_fn _:K _→R_}

n∈N ´e

equicont´ınua em todo ponto de K _{. Ent˜ao existe uma subsequˆencia que converge}

unifor-memente em K _.

Os teoremas a seguir encontram-se no artigo do Imbert e Silvestre IMBERT (2013) com suas devidas demostra¸c˜oes.

Teorema 2.10. (Estimativa Lipchitz para p’s grandes). Seja u solu¸c˜ao no sentido da viscosidade de,

|p+∇u|γF(D2u) =f em B1 (2.10) onde oscB1u ≤ 1 e ||f||L∞(B1) ≤ ε0 < 1. Se |p| ≥

1

α0

(20)

qualquer solu¸c˜ao no sentido da viscosidadeu ´e Lipschitz cont´ınua em Br e,

[u]1,Br ≤C

onde C =C(λ,Λ, γ, d, r).

Teorema 2.11. (Estimativa Lipchitz para p’s pequenos). Seja u solu¸c˜ao no sentido da viscosidade de,

|p+∇u|γF(D2u) =f em B1 (2.11) onde oscB1u≤1 e ||f||L∞(B1) ≤ε0 <1. Se |p| ≤

1

α0

, com a0 =a0(λ,Λ, d, γ, r), então ué β-Hölder cont´ınua em Br e,

[u]β,Br ≤C

onde β =β(λ,Λ, d, r, a0) e C =C(λ,Λ, a0, d, r).

Teorema 2.12. Seja u uma solu¸c˜ao de viscosidade de

|p+∇u|γF(D2u) = 0 em B1

então ué uma solu¸cão de viscosidade de F(D2_u_{) = 0} _em _B 1.

A prova do seguinte resultado pode ser encontrada em ROBERTS, CAFFA-RELLI, and CABR´E (1995).

Teorema 2.13. Seja u solu¸c˜ao de

F(D2u) = 0 em B1

no sentido da viscosidade.Ent˜ao u∈C1,α₍_B₁

2) e

kukC1,α₍_B₁

2)

≤C(kukL∞₍_B

1)+|F(0)|)

(21)

3

COMPACIDADE UNIVERSAL

A partir desta se¸cão come¸caremos a desenvolver a prova da principal estimativa de regularidade ótima apresentada no Teorema 5.1. Nesta primeira etapa, iremos obter um tipo compacidade universal que nos dará acesso à teoria de regularidade ótima para solu¸cões da equa¸cão (5.1). Na prova que iremos apresentar, faremos uso da principal ferramenta técnica obtida no recente trabalho de Imbert e Silvestre, IMBERT (2013). Lema 3.1. Seja q∈Rd _{um vetor arbitrário e} _u_∈_C₍_B₁₎_{, uma solu¸cão de viscosidade de}

|q+∇u|γF(X, D2u) = f(X), (3.1)

satisfazendo kukL∞₍_B

1) ≤ 1. Dado δ >0, existe ε > 0, dependendo somente de d, λ,Λ, e

γ, tal que se

kMk−1· kF(X, M)−F(0, M)kL∞₍_B

1)+kfkL∞(B1) < ε, (3.2)

então podemos encontrar uma fun¸cão h, solu¸cão de uma equa¸cão (λ,Λ)-uniformemente el´ıptica de coeficientes constantes

F(D2h) = 0, B1/2 (3.3)

tal que

ku−hkL∞₍_B

1/2) ≤δ. (3.4)

Demonstra¸c˜ao. Suponhamos por contradi¸c˜ao que exista umδ0 >0 tal que o lema falha.

Portanto podemos encontrar sequˆencias,Fj(X, M),fj, qj e uj, satisfazendo • Fj(X, M) ´e (λ,Λ)-el´ıptico,

• kMk−1_{· k}_F₍_{X, M}₎₋_F₍₀_{, M}_)k L∞₍_B

1) = o(1),

• kfjkL∞₍_B

1)= o(1),

• kujkL∞₍_B

1) ≤1 e

• |qj +∇uj|γFj(X, D2uj) = fj(X),

com,

sup

B1/2

|uj−h| ≥δ0, (3.5)

para quaisquer h eF satisfazendo (3.3).

Sejaq∈Rd_{arbitr´ario, pelo teorema 2.10, existe uma constante universalmente}

grandeA0 >0, tal que, se para alguma subsequˆencia{qjk}k∈N, tivermos,

|qjk| ≥A0, ∀k ∈N,

então, a sequência de solu¸cões correspondentes,{ujk}j∈N, é limitada emC

0,1₍_B

(22)

tenhamos,

|qj|< A0, ∀j ≥j0,

ent˜ao, pelo teorema 2.11, {uj}j≥j0 ´e limitado em C

0,β₍_B

2/3) para algum 0 < β < 1

universal. Portanto{uj}j∈dé uma sequência de fun¸cões equicont´ınuas e como por hipótese

auj é limitada, pelo Teorema de Arzelá-Ascoli 2.9, a menos de uma subsequência temos,

uj →u∞ localmente uniforme em B2/3,

para algum u∞ ∈ C0,β(B2/3). Nosso objetivo final é provar que a fun¸cão limite u∞ é solu¸cão de uma equa¸cão do tipo (3.3). Para isso, analisaremos dois casos.

Suponha que|qj|é limitado,então pelo Teorema de Bolzano Wiestress podemos extrair uma subsequência de {qj}, que converge para algum q∞ ∈ Rd. Além disso, pela elipticidade uniforme e pelo segundo ´ıtem das propriedades listadas acima, para cada

x ∈ B1 a menos de uma subsequˆencia Fj(X,·) → F∞(X,·) localmente uniforme em subconjunto compacto S(d), e pela observa¸c˜ao 3.2 segue que

|q∞+∇u∞|γF∞(D2u∞) = 0

em B1 no sentido da viscosidade.

Pelo Teorema 2.12, conclu´ımos que F∞(D2u∞) = 0 em B1

2, assim tomando

F=F∞ eu∞ =hgera uma contradi¸c˜ao com (3.5).

Se |qj| é ilimitado, então a menos de subsequência, |qj| → ∞. Neste caso, defina~ej =qj/|qj|, então uj será solu¸cão de

~ej+

∇uj

|qj|

γ

Fj(X, D2uj) =

fj(X) |qj|γ .

De fato, j´a temos que

|~qj +∇uj|γFj(X, D2uj) =fj(X).

Multiplicando os dois membros da equa¸c˜ao acima por 1

|qj|γ obtemos o desejado. Como uj ∈ C0,1₍_B

2/3) temos que o ∇uj ´e limitado, assim tomando j → ∞ tem-se |qj| → ∞,

portanto

∇uj

|qj| →0 e

fj(x)

|qj|γ →0 pois fj ∈L

∞₍_B

1).

Com isso,encontramos uma fun¸c˜ao limiteu∞, satisfazendoF∞(D2_u_{∞) = 0. Como no caso}

anterior, tome F = F∞ e h = u∞, isto nos leva a uma contradi¸c˜ao com (3.5). Assim, o Lema est´a provado.

(23)

fj(X) no sentido da viscosidade, ent˜ao

|~qj+∇uj|γF∞(0, D2u0) = 0 em B1 (no sentido da viscosidade).

De fato, para mostrarmos isso, é suficiente mostrar que u∞ é uma subsolu¸cão no sentido da viscosidade (aplicamos o mesmo procedimento para −|~qj +~b|γ_F_∞(0_,₋_D2₍₋_u

0)) = 0

para mostrar o caso que u∞ é uma supersolu¸cão no sentido da viscosidade). Para isso, sejaP um parabolóide que tocau0 por cima em uma vizinhan¸caAdeX0 ∈B1. Devemos

mostrar que |~qj +~b|γF∞(0, D2P(X0))≥0. Suponha por contradi¸c˜ao que

|~qj+~b|γF∞(0, D2P(X0)) =−η <0.

Sejaǫj >0 tal que

|~qj+~b|γ(Fj(0, D2P)−F∞(0, D2P))≤ǫj ∀j, com ǫj →0 quando j →+∞.

Agora, seja ψj ∈ C0(B1) uma solu¸c˜ao no sentido da viscosidade (que ´e garantida pelo

m´etodo de Perron) de

M+₍_D2_{ψj, λ}∗_,_{1) =}_|_fj₍_X_{)| − |}_βF

j(X)| −ǫj =:gj(X) em B1,

para algumλ∗ _<_{1 a ser escolhido a posteriore. Desde que}_M+_{´e convexo (veja}_{?) tem-se}

queψj ∈C2,γ _em _B

1, para algum γ ∈(0,1). Portanto, ψj ∈C2(B1) e satisfaz

1

nλ∗ k(D

2_ψj₎+_k₊_|_fj_|₊_|_βF

j|+ǫj

≤ k(D2ψj)−k em B1. (3.6)

|~qj +~b|γ 1

nλ∗ k(D

2_ψj₎+_k₊_|_fj_|₊_|_βF

j|+ǫj

≤ k(D2ψj)−k em B1. (3.7)

Agora, observe que

|~q+~b|γ

|Fj(X, D2P)−Fj(0, D2P)|

kD2_P_k

≤ |~q+~b|γ sup

M∈S(n)\{0}

|Fj(X, M −Fj(0, M)|

kMk = |~q+~b|γβF_j,

logo temos que

(24)

Sabemos que,

λ||N+||−Λ||N−|| ≤Fj(X, M+N)−Fj(X, M)≤Λ||N+||−λ||N−|| para quaisquer M, N ∈S(n).

portanto,

|~q+~b|γ₍_λ_||_N+_{|| −}_Λ||_N−_||) _{≤ |}_~q₊_~b_|γ_[_F

j(X, M +N)−Fj(X, M)]

≤ |~q+~b|γ(Λ||N+|| −λ||N−||) para quaisquer M, N ∈S(n).

Assim, usando (3.7) e (3.8) temos

|~qj +~b|γFj(X, D2[P +ψj]) ≤ |~qj +~b|γFj(X, D2P) +|~qj+~b|γΛk(D2ψj)+k − |~qj+~b|γλk(D2ψj)−k = |~qj +~b|γFj(X, D2P)− |~qj +~b|γF∞(0, D2P) +|~qj +~u|γF∞(0, D2P)

+|~qj +~b|γΛk(D2ψj)+k − |~qj+~b|γλk(D2ψj)−k ≤ |~q+~b|γF∞(0, D2P) +|~q+~b|γΛkD2PkβFj +|~q+~b|

γ_Λk(_D2_ψj₎+_k

−|~q+~b|γλk(D2ψj)−k

≤ |~q+~b|γF∞(0, D2P) +|~q+~b|γkD2PkβFj(X) +|~q+~b|

−|~q+~b|γλ||(D2ψj)−|| − |~q+~b|γ λ

nλ∗ k(D

2_ψj₎+_k₊_|_fj_|₊_|_βF

j|+ǫj

≤ |~q+~b|γF∞(0, D2P) +|~q+~b|γkD2PkβFj(X) +|~q+~b|

−|~q+~b|γ λ

nλ∗ k(D

2_ψ

j)+k+|fj|+|βFj|+ǫj

+ǫj

= |~q+~b|γF∞(0, D2P) +ǫj− |~q+~b|γ λ

nλ∗ǫj +|~q+~b|

γ_k_D2_P_k_βF

j

−|~q+~b|γ λ

nλ∗|βFj|+|~q+~b|

γ_Λk(_D2_ψj₎+_{k − |}_~q₊_~b_|γ λ nλ∗k(D

2_ψ₎+_k

−|~q+~b|γ λ

nλ∗|fj|

≤ |~q+~b|γF∞(0, D2P) +|~q+~b|γ λ

nλ∗ǫj− |~q+~b|

γ λ nλ∗ǫj + +|~q+~b|γ λ

nλ∗βFj(X)− |~q+~b|

γ λ

nλ∗|βFj|+

+|~q+~b|γ λ

nλ∗k(D

2_ψj₎+_{k − |}_~q₊_~b_|γ λ nλ∗k(D

2_ψ₎+_{k − |}_~q₊_~b_|γ λ nλ∗|fj| = |~q+~b|γF∞(0, D2P)− |~q+~b|γ

λ nλ∗|fj| ≤ |~q+~b|γF∞(0, D2P)− |~q+~b|γ|fj| = −η− |~q+~b|γ|fj(X)|

≤ −η+|~q+~b|γfj(X) ≤ −η

2+|~q+~b|

(25)

ou seja,

Fj(X, D2[P +ψj]<−η

2 +fj(X) ∀j, (3.9)

onde λ∗ _<_{1 ´e escolhido suficientemente pequeno de tal forma que se tenha}

λ

nλ∗ ≥max{1,Λ,kD

2_P_k}_.

Agora, como P toca u0 = lim

k→+∞uj por cima em uma vizinhan¸ca A de X0, segue que

P +ψj + ηkX−X0k

2

(4Λ) +C (para j suficientemente grande e para alguma constante C) tocauj por cima emA em algum ponto a∈A. Portanto,

|~q+~b|γFja, D2P(a) +D2ψj(a) + η 2λI

≥ |~q+~b|γfj(a)

e assim

|~q+~b|γFj(a, D2P(a) +D2ψj(a))≥ −η

2 +|~q+~b|

γ_fj₍_a₎_. _(3.10)

(26)

4 REGULARIDADE C1,α

Nesta se¸cão, iremos desenvolver a oscila¸cão de decaimento, que irá finalmente nos fornecer a estimativa de regularidade ótima C1,α _{para solu¸cões da equa¸cão (1.3). A}

primeira tarefa será obter uma versão discreta da estimativa de regularidade, e é justa-mente isto que o lema seguinte nos fornecerá.

Lema 4.1. Seja q ∈ Rd _{um vetor arbitr´ario e} _u _∈ _C₍_B₁₎ _{normalizada, isto ´e,} _|_u_{| ≤} ₁_,

solu¸c˜ao de viscosidade de

|q+∇u|γF(X, D2u) = f(X). (4.1)

Dadoα∈(0, α0)∩(0,_γ₊₁1 ], existem constantes0< ρ0 <1/2eǫ0 >0, dependendo somente de d, λ,Λ, γ e α, tais que se

kMk−1· kF(X, M)−F(0, M)kL∞₍_B

1)+kfkL∞(B1)≤ǫ0, (4.2)

ent˜ao existe uma fun¸c˜ao afim ℓ(X) =a+~b·X, tal que

sup

Bρ₀

|u(X)−ℓ(X)| ≤ρ1+₀ α.

Al´em disso,

|a|+|~b| ≤C(d, λ,Λ),

para uma constante universalC(d, λ,Λ)que depende apenas da dimens˜ao e das constantes de elipticidade.

Demonstra¸cão. Note que estamos nas hipóteses do Lema 3.1, assim para umδ > 0 a ser escolhido a posteriori, sejah uma solu¸cão de uma equa¸cão (λ,Λ)-uniformemente el´ıptica homogênea com coeficientes constantes, ou seja,

F(D2h) = 0 em B1 2

tal que||u−h||L∞₍_B

1/2)≤δ, para algumε0 escolhido suficientemente pequeno, dependendo

somente de δ e dos parâmetros universais. A partir da escolha do δ, que será universal-mente escolhido logo depois, iremos concluir que a escolha do ε0 será também universal.

De (3.4), segue que

khkL∞₍_B

1/2) =ku−h+ukL∞(B1/2)≤1 +δ <2;

(27)

e portanto,

sup

Br

|h(X)−(∇h(0)·X+h(0))| ≤ C(d, λ,Λ)·r1+α0 _∀ _{r <} 1

2, (4.3) |∇h(0)|+|h(0)| ≤ C(d, λ,Λ), (4.4)

para alguma constante universal C(d, λ,Λ) > 0. A desigualdade 4.4 decorre do fato de khkL∞₍_B

1/2) ≤2 e ∇hser limitado, uma vez que h∈C

1,α_{, onde 0}_{< α <}_{1. Denotaremos}

ℓ(X) := ∇h(0)·X+h(0). (4.5)

Pela desigualdade triangular segue que

sup

Bρ0

|u(X)−ℓ(X)| = sup

Bρ0

|u(X)−h(X) +h(X)−ℓ(X)| (4.6) ≤ δ+C(d, λ,Λ)·ρ1+α0

0 .

Agora, fixado um expoenteα < α0 iremos escolher ρ0 de modo que

Cρ1+α0

0 ≤

1 2ρ

1+α

0 , ou seja, ρo ≤

α₀−α

r 1

2C. (4.7)

Consideremos,

ρ0 := α0

−α

r 1

2C e δ :=

1 2

1 2C

_α1+α

0−α

(4.8)

ondeC(d, λ,Λ)>0 ´e a constante universal que aparece em 4.3. Observe que como C >0 e α < α0 segue que δ > 0 e 0 < ρ < 1₂ e que as escolhas acima dependem somente de d, λ,Λ e do expoente 0< α < α0 fixado. Finalmente, combinando 4.4, 4.6, e 4.8 obtemos

sup

Bρ₀

|u(X)−ℓ(X)| ≤ 1 2

1 2C(d, λ,Λ)

_α1+α

0−α

+C(d, λ,Λ)·ρ1+₀ α·ρα0−α

0 = 1 2ρ 1+α 0 + 1 2ρ 1+α 0

= ρ1+₀ α,

e o Lema est´a provado.

Na sequência, iremos iterar o Lema 4.1 em bolas diádicas para obtermos a precisa oscila¸cão de decaimento da diferen¸ca entreue as fun¸cões afimℓkque serão definidas abaixo.

Lema 4.2. Sob as condi¸cões do Lema anterior, existe uma sequência de fun¸cões afins ℓk(X) := ak+~bk·X satisfazendo

(28)

tal que

sup

B_ρk

0

|u(X)−ℓk(X)| ≤ρk₀(1+α). (4.10)

onde α ´e um expoente fixado, tal que

α∈(0, α0)∩

0, 1

1 +γ

(4.11)

e C0 uma constante universal que depende somente da dimens˜ao e elipticidade.

Demonstra¸cão. Faremos a prova por indu¸cão finito sobre k. O caso k = 1 segue exa-tamente do Lema 4.1. Suponha que as estimativas (4.9) e (4.10) sejam válidas para

j = 1,2,· · · , k, mostraremos que é válido também paraj =k+ 1. Para isso, seja a fun¸cão reescalonadav :B1 →R como segue,

v(X) := (u−ℓk)(ρ

k 0X) ρk₀(1+α) .

Assim, |v| = |u−lk| |ρk₀(1+α)| ≤

ρk₀(1+α)

ρk₀(1+α) = 1. Al´em disso, como D

2_u ₌ D2v

ρk₀(1−α) e ∇u = ρkα

0 ∇v +bk, temos que v satisfaz a seguinte equa¸c˜ao diferencial,

ρ−kαbk+∇v

γ

Fk(X, D2v) =fk(X)

onde Fk :B1×S(d)→R ´e dada por

Fk(X, M) :=ρk0(1−α)F ρk0X,

1

ρk₀(1−α)M

!

e fk(X) = ρ0k[1−α(1+γ)]f(ρk0X)

Pela observa¸cão 4.3 o operadorFké (λ,Λ)-el´ıptico, já queF é um operador (λ,Λ) el´ıptico. Além disso, a ω-norma da oscila¸cão dos respectivos coeficientes de Fk, como definido em (5.4), não aumenta. Como fk(X) =ρ₀k[1−α(1+γ)]f(ρk

0X), temos a seguinte estimativa

kfkkL∞₍_B₁₎ ≤ ρ₀k[1−α(1+γ)]kfk_L∞₍_B

ρk₀). (4.12)

Devido a escolha do expoente feita em (4.11), a saberα≤ 1

1+γ, tem-se quek[1−α(1−γ)]≥

0 e como 0< ρ0 < 1₂ segue que ||fk||L∞₍_B

1)≤ǫ0. Desta forma, mostramos quev est´a sob

as hipóteses do Lema 4.1, que garante a existência de uma fun¸cão afim ˜ℓ(X) :=a+~b·X

com |a|+|~b| ≤C(d, λ,Λ), tal que

sup

Bρ0

(29)

Substituindov na express˜ao acima obtemos:

sup

Bρ0

(u−ℓk)(ρk 0X) ρk₀(1+α) −

˜

ℓ(X)

≤ρ1+₀ α,

ou seja,

sup

Bρ₀

|u(ρk₀X)−(ℓk(ρk₀X)−ℓ˜(X)ρk0[1+α])| ≤ρ

(1+α)(k+1) 0

Observe que dado qualquer Z ∈ B_ρk+1

0 podemos escrevˆe-lo como Z = ρ

k

0X, onde X = 1

ρk

0Z ∈Bρ0.Assim,

|u(Z)−ℓk+1|=|u(ρk0X)−ℓk+1| ≤sup Bρ₀

|u(ρk₀X)−ℓk+1| ≤ρ(1+0 α)(k+1)

onde

ℓk+1(X) :=ℓk(ρ0kX)−ℓ˜(X)ρ k[1+α] 0

Portanto,

ℓk+1(X) := ak+~bk·ρk0X+aρ k(α+1)

0 +~b·ρ

k(α+1)

0 X

= (ak+aρk0(α+1)) + (b~k·ρk0X+~b·ρk0Xρkα0 )

= (ak+aρk0(α+1)) + (~bk·+~b·ρkα0 )X

Dessa forma, definamos a (k+1)-´esima fun¸c˜ao afim,ℓk+1(X) :=ak+1+~bk+1·X da seguinte

forma:

ak+1 :=ak+ρ(1+0 α)ka e ~bk+1 :=~bk+ραk0 ~b.

Desfazendo o reescalonamento em (4.13), obtemos

sup

B_ρk+1 0

|u(X)−ℓk+1(X)| ≤ρ(0k+1)(1+α)

e ainda,

|ak+1−ak|+ρ0k|~bk+1−~bk| = |a||ρk0(1+α)|+ρk0|~b||ρkα0 |

= |a|ρk0(α+1)+|~b|ρ k(α+1) 0

= (|a|+|~b|)ρk₀(α+1) < C0(d, λ,Λ)ρk0(α+1)

e a prova do Lema 4.2 est´a completa.

Observa¸cão 4.3. O operador Fk é (λ,Λ)-el´ıptico. De fato, comoF é (λ,Λ)-el´ıptico temos:

Fk(X, M +P)−Fk(X, M) = ρ₀k(1−α)F(ρk₀X, 1

ρk₀(1−α)[M +P])−ρ k(1−α)

0 F(ρk0X,

1

ρk₀(1−α)M)

(30)

onde

˜

M = 1

ρk₀(1−α)M e

˜

P = 1

ρk₀(1−α)P.

Observe que ˜M ∈S(n) e que ˜P ≥0. Ent˜ao,

λkP˜k ≤F(ρk₀X,M˜ + ˜P)−F(ρk₀X,M˜)≤ΛkP˜k (4.14)

Multiplicando (4.14) por τ :=ρk₀(1−α) obtemos

(31)

5 O RESULTADO PRINCIPAL

Neste cap´ıtulo iremos tratar da obten¸cão da regularidade ótima para equa¸cões el´ıpticas degeneradas da forma:

H(X,∇u)F(X, D2u) = f(X) em B1, (5.1)

onde F é uniformemente el´ıptica, f ∈ L∞ _{e para algum} _{γ >} _0, _H _{satisfaz a seguinte} condi¸cão de degenerescência,

λ|p|γ≤ H(X, p)≤Λ|p|γ (5.2)

para cada p ∈ Rd _e _X _∈ _B₁_{. Para efeito de normaliza¸c˜ao, assumiremos sem perda de}

generalidade que F(X,0) = 0 para todo X∈B1.

Como mencionado outras vezes nesse presente trabalho, segue da teoria de Krylov-Safanov, veja ROBERTS, CAFFARELLI, and CABRÉ (1995), que solu¸cões de viscosidade da equa¸cão

F(X, D2u) = f(X)∈L∞(B1),

s˜ao localmente de classe C1,β_{, para todo 0} _{< β < α}

0. Veja TEIXEIRA (2014). Solu¸c˜oes

da equa¸c˜ao de coeficientes constantes

F(D2u) = 0,

s˜ao localmente de classe C1,α0_{, para algum expoente} _α

0 = α0(d, λ,Λ) universal. No

decorrer deste cap´ıtulo,α0ser´a entendido como tal expoente. Caso n˜ao tenha sido imposta

nenhuma condi¸cão adicional à F, α0 é de fato o expoente ótimo. Veja NADIRASHVILI

(2007, 2008) e NADIRASHVILI and VLADUTS (2011). Para a classe de equa¸cões com coeficientes variáveis, solu¸cões são em geral, somente de classeC0,α0 _{e esta regularidade é}

ótima, a menos que alguma condi¸cão de continuidade em seus coeficientes seja imposta. Tal condi¸cão é bastante natural, estando sempre presente na teoria linear: Lu=aijDiju.

Para o nosso objetivo de encontrar uma estimativa C1,α _{para solu¸c˜oes da equa¸c˜ao (5.1),}

iremos daqui em diante, assumir uma hip´otese de continuidade nos coeficientes de F, a saber:

sup kMk≤1

|F(X, M)−F(Y, M)|

kMk ≤C·ω(|X−Y|), (5.3)

(32)

conveniente, iremos denotar

kFkω := inf

(

C > 0 : sup kMk≤1

|F(X, M)−F(Y, M)|

kMk ≤Cω(|X−Y|), ∀X, Y ∈B1 )

.

(5.4) Para concluir os nosso comentários iniciais sob a condi¸cão de continuidade (5.3), solu¸cões de viscosidade da equa¸cão

F(X, D2u) = f(X)∈L∞(B1),

s˜ao localmente de classe C1,β_{, para todo 0} _{< β < α}

0. Veja CAFFARELLI (1988);

TEI-XEIRA (2014).

Iremos agora apresentar o principal resultado acerca da teoria que será de-senvolvida neste cap´ıtulo. Tal resultado fornecerá uma estimativa de regularidade ótima para fun¸cões u, satisfazendo

|∇u|γ· |F(D2u)|.1, γ >0, (5.5)

no sentido da viscosidade, para algum operador uniformemente el´ıptico F. Como co-mentado no in´ıcio deste cap´ıtulo, para o caso não-degenerado, isto é, γ = 0, a melhor regularidade poss´ıvel éC1+α

−

0

loc . O ponto delicado, est´a em obter uma estimativa universal

precisa o suficiente para que o grau de singularidade γ > 0, que surge da equa¸c˜ao (5.5) seja explicitamente sentido, ao longo do conjunto singular (∇u)−1(0).

Para entender alguns fatos acerca do que devemos esperar neste estudo, vamos olhar de um modo ingˆenuo para a seguinte EDO:

(

u′′₍_t_{) = (}_u′₎−θ_, u(0) =u′_{(0) = 0}_,

que pode ser resolvida de uma maneira simples parat ∈(0,∞). A solu¸c˜ao ´eu(t) =t2+1+γγ.

Após algumas inferências heur´ısticas, torna-se razoável aceitar queC2+1+γγ é uma barreira

su-perior para qualquer estimativa de regularidade universal para a equa¸cão (5.5). Portanto, a estimativa de regularidade ótima ideal que se deve esperar para fun¸cões satisfazendo a Equa¸cão (5.5) deve ser C1,min{α−0,1+1γ}. Devido aos comentários feitos acima, estamos

aptos a formular o principal resultado o qual foi dedicado este cap´ıtulo. Teorema 5.1. Seja u uma solu¸c˜ao de viscosidade de

H(X,∇u)F(X, D2u) =f(X) em B1. (5.6)

Assumaf ∈L∞₍_B

(33)

coeficientes cont´ınuos, isto ´e, satisfazendo (2.4) e (5.3). Fixado um expoente

α ∈(0, α0)∩

0, 1

1 +γ

,

ent˜ao existe uma constante C(d, λ,Λ, γ,kFkω,kfk∞, α) > 0, que dependente apenas de d, λ,Λ, γ,kFkω,kfk∞ e α, tal que

kukC1,α₍_B

1/2)≤C(d, λ,Λ, γ,kFkω,kfk∞, α)· kukL∞.

Em suma, a estratégia dada no cap´ıtulo anterior atesta que, para mostramos o Teorema 5.1, é suficiente trabalhar sob o regime de pequenez posto como hipótese na demonstra¸cão do Lema 4.1. Uma vez estabelecida a estimativa regularidade ótima para a fun¸cão normalizada u, a estimativa correspondente para v será prontamente obtida. A partir de agora faremos esse processo detalhadamente.

5.1 Regularidade local sob o regime de pequenez

Nesta se¸cão, ainda sob as hipóteses dos Lemas 4.1 e 4.2, iremos estabelecer, para um expoente fixado α satisfazendo a condi¸cão (4.11), a existência de uma fun¸cão afim

ℓ⋆(X) :=a⋆+~b⋆·X,

tal que

|~b⋆|+|a⋆| ≤C,

onde

sup

Br

|u(X)−ℓ⋆(X)| ≤Cr1+α, ∀r≪1, (5.7) para uma constante positiva C que depende somente das constantes d,λ, Λ,γ e α.

Para isso iremos mostrar que para concluirmos a prova do Teorema 5.1 é suficiente obter que a estimativa (5.7) é válida na origem para uma solu¸cão u sob as hipóteses dos Lemas 4.1 e 4.2.

De fato, seja v ∈C(B1) uma solu¸c˜ao no sentido da viscosidade de

H(X,∇v)F(X, D2v) = f(X),

onde H satisfaz (1.4) e F ´e um operador (λ,Λ)-el´ıptico com coeficientes cont´ınuos, ou seja, que satisfazem (2.4) e (5.3). Fixemos um ponto Y0 ∈B1/2 e definamos u: B1 → R

como

u(X) := v(ηX+Y0)

τ ,

para parˆametros η e τ a serem determinados. Note que D2_v ₌ D2_u

(34)

temos queu´e solu¸c˜ao no sentido da viscosidade para

Hη,τ(X,∇u)Fη,τ(X, D2u) =fη,τ(X),

onde Fη,τ :B1×S(d)→R ´e dada por:

Fη,τ(X, M) := η2

τ F

ηX+Y0, τ η2M

(5.8)

Hη,τ(X, p) :=

η

τ

γ H

ηX+Y0, τ ηp

(5.9)

fη,τ(X) := η

γ+2

τγ+1f(ηX +Y0). (5.10)

De maneira análoga a observa¸cão 4.3 temos que Fη,τ é uniformemente el´ıptica com as mesmas constantes de elipticidade do operador originalF, ou seja, tal operador é (λ, Λ)-el´ıptico. Note também queHη,τ satisfaz a mesma condi¸cão de degenerescência (1.4), com

as mesmas constantes, pois como

λ|~p|γ≤ H(X, ~p)≤Λ|~p|γ

para algumγ >0. Assim, sendo~q= τ

η~ptem-se

λ|~q|γ ≤ H(ηX+Y0, ~q)≤Λ|~q|γ

Multiplicando ambos os membros da desigualdade acima por σ=η

τ γ obtemos: λ η τ τ η~p γ ≤ η τ γ

H(ηX+Y0, ~q)≤Λ

η τ τ η~p γ ou seja,

λ|~p|γ ≤ Hη,τ(X, ~p)≤Λ|~p|γ

Vamos inicialmente escolher

τ := max

1,kvkL∞₍_B

1) ,

para que tenhamos|u| ≤1 emB1(Y0), pois|u|=|v| ≤1 emB1 seτ = 1 ou|u| ≤

kvk∞ kvk∞ = 1 seτ =kvk∞. Agora para o ε0 universal que surge nas hip´oteses do Lema 4.1, faremos

a seguinte escolha

η:= min

1,·(ε0kfk−L∞1 )

1

γ+2, ω−1

ε0

kFkω

(35)

pois assim teremos kfτ,ηk∞ < ε0 temos ηγ+2

τγ+1kfk∞ < ε0 assim, η

γ+2_k_f_k

∞ < ε0, ou seja, η <(ε0kf∞k−1)

1

γ+2,e

|Fη,τ(X, M)−Fη,τ(0, M)|

||M|| =

η2 τ F

ηX +Y0,_ητ2M

−F

0,_ητ2M

||M||

= |F(ηX +Y0, M

′₎₋_F₍₀_{, M}′_)| ||M′_||

Portanto,

sup kMk≤1

|Fη,τ(X, M)−Fη,τ(0, M)|

kMk = kMsup′_k≤₁

|F(ηX +Y0, M′)−F(0, M′)|

kM′_k ≤ Cω(|ηX+Y0−ηY −Y0|)

= Cω(η|X−Y|) ≤ Cω(η)

Na ´ultima desigualdade acima foi usado o fato da fun¸c˜ao ω ser crescente em (0,1). Com isso queremos queCω(η)≤ǫ0 logo, η≤ω−1

ǫ0 C

. Obtivemos,

X |u| ≤1 em B1; X kfη,τkL∞ ≤ε₀;

X kMk−1_k_Fη,τ₍_{X, M}₎₋_Fη,τ₍₀_{, M}_)k

L∞₍_B₁₎≤ε₀.

Inicialmente, segue de (4.9), que os coeficientes da sequência de fun¸cões afins ℓk geradas no Lema 4.2, ou seja,~bk eak, são sequências de Cauchy em Rd _{e em} R_{, respectivamente.}

Sejam~b⋆ e a⋆ os coeficientes limites, isto ´e,

lim

k→∞~bk =: ~b⋆ ∈

Rd _(5.11)

lim

k→∞ak =: a⋆ ∈

R_. _(5.12)

Al´em disso, por (4.9) temos que|ak+1−ak|< ρ0k(1+α) e |bk+1−bk|< ρkα0 e portanto,

|ak+d−ak| ≤ |ak+d−ak+d−1|+|ak+d−1−ak+d−2|+...+|ak+1−ak|

≤ C0(ρ(0k+d−1)(1+α)+ρ

(k+d−2)(1+α)

0 +...+ρ

(k+1)(1+α)

0 +ρ

k(1+α)

0 )

= C0ρk0(1+α)(ρ

(d−1)(1+α)

0 +ρ

(d−2)(1+α)

0 +...+ρ

(1+α)

0 + 1)

≤ C0 1−ρ0

ρk(1+α).

De maneira an´alago tem-se

|bk+d−bk| ≤ C0

(36)

Fazendok → ∞ nas duas desigualdades acima, temos que:

|a⋆−ak| ≤ C0 1−ρ0

ρk₀(1+α), (5.13)

|~b⋆−~bk| ≤ C0 1−ρ0

ρkα₀ . (5.14)

Agora, fixado 0< r < ρk

0, iremos escolher k ∈ tal que ρk₀+1 < r≤ρk₀.

Por fim, obtemos a seguinte estimativa:

sup

Br

|u(X)−ℓ⋆(X)| ≤ sup

B_ρk

0

|u(X)−ℓ⋆(X)| ≤ sup

B_ρk

0

|u(X)−ℓk(X)|+ sup B_ρk

0

|ℓk(X)−ℓ⋆(X)|

≤ ρk₀(1+α)+ C0 1−ρ0

ρk₀(1+α)

= ρk₀(1+α)

1 + C0 1−ρ0

= ρ

k(1+α) 0 ρ(₀k+1)(1+α)

1 + C0

1−ρ0

ρ(₀k+1)(1+α)

= 1

ρ1+₀ α

1 + C0

1−ρ0

ρ(₀k+1)(1+α)

= 1

ρ1+0 α

1 + C0

1−ρ0

ρ(₀k+1)(1+α)

≤ 1

ρ1+₀ α

1 + C0 1−ρ0

·r1+α_,

logo ||u||C1,α ≤ C(d, λ,Λ, γ,kFkω,kfk∞, α)· kuk_L∞ e a prova do Teorema 5.1 est´a

com-pleta.

Segue no Corolário abaixo, uma importante consequência do Teorema 5.1. Corolário 5.2. Seja u solu¸cão de viscosidade de

H(X,∇u)F(D2u) =f(X) in B1. (5.15)

Assuma f ∈L∞₍_B

1), H satisfazendo (5.2), F uniformemente el´ıptica e côncava. Então ué localmente C1,1+1γ e essa regularidade é ótima.

Demonstra¸c˜ao. Note que estamos nas hip´oteses do teorema 4.1, da´ı temos que fixado

α ∈ (0, α0)∩

0, 1

1 +γ

existe uma contante C = C(d, γ, λ,Λ,kFkw,kfk∞, α) > 0 tal que

kukC1,α₍_B₁

2)

≤C =C(d, γ, λ,Λ,kFkw,kfk∞, α)kuk∞

(37)

classeC1,1_{pelo Teorema de Evans-Krylov. Logo}_u_∈_C1, 1

1+γ localmente e essa regularidade

´e ´otima. ´

(38)

6 APLICAC¸ ˜OES E PERSPECTIVAS

A heur´ıstica da classifica¸cão de degenerescência mencionado no parágrafo an-terior, possui de fato um vasto campo de aplicabilidade. Nesta se¸cão intermediária, iremos comentar sobre algumas consequências que a estimativa de regularidade ótima dispõe para teoria de regularidade el´ıptica.

Na sequência, iremos usar o Teorema 5.1 e o Corolário 5.2 para solucionar casos particulares de alguns problemas abertos bastante conhecidos. O resultado obtido nesta se¸cão nos dá a esperan¸ca de que progressos decisivos possam ser contemplados para casos mais gerais em um futuro próximo.

6.1 Equa¸c˜oes da teoria de supercondutividade

Come¸caremos nesta se¸cão, comentando sobre algumas aplica¸cões que o Te-orema 5.1 fornece para a teoria de supercondutividade, onde as equa¸cões totalmente não-lineares do tipo:

F(X, D2u) =g(X, u)χ{|∇u|>0} (6.1)

regem os modelos matemáticos desta teoria. A equa¸cão (6.1) representa a equa¸cão es-tacionária para a ”mean field theory of superconducting vortices”quando a fun¸cão de fluxo escalar admite uma dependência funcional no potencial magnético escalar, veja CHAPMAN, RUBINSTEIN, and SCHATZMAN (1996). Propriedades de existência e re-gularidade da Equa¸cão (6.1) foram estudadas em CAFFARELLI and SALAZAR (2002) e CAFFARELLI, SALAZAR, and SHAHGHOLIAN (2004). A novidade no estudo da Equa¸cão (6.1) está em testar a equa¸cão apenas por polinômios que tocam a solu¸cão com |∇P(X0)| 6= 0. Foi provado em CAFFARELLI and SALAZAR (2002), corolário 7, que

solu¸cões são localmente C0,α _{para algum 0}_{< α <} _{1. Para operadores côncavos, foi}

pro-vado em CAFFARELLI and SALAZAR (2002) corolário 8, que solu¸cões estão em W2,p_.

Uma aplica¸c˜ao da f´ormula de monotonicidade de Alt-Caffarelli-Friedman CAFFARELLI and SALAZAR (2002), Lema 9, fornece regularidadeC1,1 _{para o problema particular}

∆u=cu χ{|∇u|>0}. (6.2)

A Equa¸c˜ao (6.1) pode ser obtida como o problema limite, quandoδ →0, para a fam´ılia de equa¸c˜oes singulares da forma

|∇uδ|δ·F(X, D2uδ) =g(X, uδ), B1. (Eδ)

(39)

de (Eδ), paraδ suficientemente pequeno, isto ´e, para

δ <1−α−₀, para α−₀ ∈(0, α0)∩

0, 1

1 +γ

ent˜ao existe uma constante C(d, λ,Λ, γ,||g||w,||g||∞, α−₀) > 1 que n˜ao depende de δ,tal que,

kuδk C1,α

−

0

loc

≤C||uδ||L∞ =C. (6.3)

Em particular, a estimativa (6.3) nos dá compacidade local para a fam´ılia de solu¸cões {uδ}δ>0 de (Eδ).Assim pelo teorema de Ascoli-Arzelá,a menos de uma subsequência,seja u0 a fun¸cão limite de tal sequência, ou seja,

u0 = lim j→0uδj,

para δj = o(1). De (6.3), temos,

∇uδj −→ ∇u0 localmente uniforme, (6.4)

u0 ∈ C

1,α−

0

loc (B1). (6.5)

Agora, fixemos um ponto regularZ ∈B1 deu0, isto ´e,

|∇u0(Z)|>0.

A convergência gradiente (6.4) e a estimativa (6.5) nos dá a existência deη >0 pequeno, tal que

inf

Bη(Z)

|∇uδ| ≥ 1

10|∇u0(Z)|=:c0, para todoδ≪1. Assim,

g(X, uδ)· |∇uδ|−δ −→g(X, u0), quando δ−→0 uniformemente em Bη(Z).

Resumimos a discuss˜ao acima com o seguinte Teorema: Teorema 6.1. Seja uδ ∈ C0₍_B

1) uma solu¸cão de viscosidade de (Eδ), com |uδ| ≤ 1, δ ≪1, onde g é cont´ınua em u e mensurável e limitada em X. Assuma que o operador F está sob as hipóteses do Teorema 5.1. Então, fixado um número α < α0(d, λ,Λ), para δ suficientemente pequeno, temos

kuδkC1,α₍_B

4/5) ≤C(d, λ,Λ, α).

Em particular,

(40)

e u0 ´e uma solu¸c˜ao de viscosidade de (6.1).

A principal vantagem do Teorema 6.1, em compara¸cão com a teoria de re-gularidade desenvolvida em CAFFARELLI and SALAZAR (2002), é que ela nos dá a estimativaC1,α _{ótima, para o caso mais geral de operadores totalmente não lineares, não}

necessariamente cˆoncavos.

6.2 Visitando a teoria do ∞-laplaciano

Iremos agora visitar a teoria do operador ∞-laplaciano ,

∆∞v :=X

i,j

vivjvij (6.6)

a qual está relacionada ao problema de melhor extensão Lipschitz para um dado de fron-teira fixado. Além disso, o operador acima tem como caracter´ısticas a não-linearidade e alta degenerescência. A teoria das fun¸cões infinito-harmônicas, isto é, solu¸cões da EDP homogênea

∆∞h= 0,

tem recebido uma grande aten¸cão. Um dos principais problemas em aberto da teoria moderna de EDPs está em mostrar que fun¸cões infinito-harmônicas são de classeC1_{. Essa}

conjectura tem sido respondida positivamente por O. Savin SAVIN (2005) no plano. Evans e Savin, EVANS (2008) melhoraram o resultado para C1,α _{para algum} _{α >} _{0 pequeno,}

porém somente em duas dimensões. Muito recentemente, Evans e Smart provaram que fun¸cões infinito-harmônicas são q.t.p. diferenciáveis independentemente da dimensão, veja EVANS and SMART (2011). Não obstante, caracter´ısticas de não-continuidade de ∇upodem ser inferidos por argumentos ingênuos. O famoso exemplo de fun¸cão infinito-harmônica

a(x, y) := x43 −y43 (6.7)

devido a Aronsson por volta dos anos 60, determina a regularidade ótima ideal para tal problema. Ou seja, a teoria de regularidade universal para fun¸cões infinito-harmônicas não pode ir além deC1,1₃_{. Até onde sabemos, não houve antes qualquer resultado significativo}

de que fun¸cões infinito-harmônicas devem ou não ter uma regularidade C1,1₃ _universal,

a menos de especula¸cões baseadas no exemplo de Aronsson. De outra maneira, porém, a desconfian¸ca para a validade da conjectura da regularidade C1,1₃ _{para fun¸cões}

infinito-hamˆonicas se confirma explorando as propriedades de escalonamento da equa¸c˜ao. Por exemplo, podemos escrever o operador infinito-laplaciano como

(41)

e desta forma, torna-se tentador comparar suas caracter´ısticas de degenerescˆencia com

|∇u|2· |∆u|.1, (6.8)

que possui as mesmas propriedades de escalonamento de ∆∞ e cujas solu¸c˜oes s˜aoC1,

1 1+2

regulares, do Corolário 5.2. Embora, em geral não seja verdade que fun¸cões infinito-harmônicas satisfazem (6.8), essa observa¸cão nos leva a um interessante guia heur´ıstico.

Note que o exemplo de Aronsson - como quaisquer exemplos populares na te-oria de EDPs - é uma fun¸cão de variáveis separáveis. Na sequência, como uma aplica¸cão do Corolário 5.2, mostraremos que qualquer fun¸cão infinito-harmônica com variáveis se-paráveis é de fato, localmenteC1,1₃_.

Proposi¸cão 6.2. Seja u: B1 ⊂ Rd→ R uma fun¸cão infinito-harmônica. Assuma que u é uma fun¸cão de variáveis separáveis, i.e.,

u(X) =σ1(x1) +σ2(x2) +· · ·σd(xd),

paraσi ∈C0₍_B

1). Ent˜ao u∈C1,

1

3(B₁_/₂).

Demonstra¸c˜ao. Primeiramente note que∇u= (σ′

1x1,· · ·, σd′xd) e

D2u=       σ′′

1(x1) 0 · · · 0

0 σ′′

2(x2) · · · 0

... ... ... ... 0 0 · · · σ′′

d(xd)

      Portanto,

0 = ∆∞u=|σ1′(x1)|2σ1′′(x1) +|σ′1(x2)|2σ′′2(x2) +· · ·+|σd′(xd)|2σd′′(xd). (6.9)

Notamos, contudo, que o i-ésimo termo na equa¸cão (6.9) depende apenas da variável xi. Portanto, como a soma acima é nula, cada termo deve ser constante, isto é,

|σ_i′(xi)|2σ_i′′(xi) = βi, N

X

i=1

βi = 0. (6.10)

E portanto,

d

X

i=1

|σ′_i(xi)|2σ′′_i(xi) =

d

X

i=1

βi = 0.

Aplicando a regularidadeC1,1₃ _{para cada}_σi _{que segue do Corol´ario 5.2, temos que a prova}

da Proposi¸c˜ao 6.2 est´a conclu´ıda.

(42)

ra-dial do dado de fronteira.É portanto, interessante analisarmos a regularidade ótima para solu¸cões radialmente simétricas.

Na sequência provaremos que fun¸cões radialmente simétricas cujo infinito la-placiano é limitado no sentido da viscosidade é de classeC1,1₃ _{e esta regularidade é ótima}

como por exemplo

∆∞|X|

4 3 =cte

Proposi¸c˜ao 6.3. Sejau∈C0₍_B

1) uma fun¸cão radialmente simétrica,isto é,u(X) = v(r) parar :=|X|,satisfazendo

∆∞u=f(|X|, u) em B1,

no sentido da viscosidade. Assuma f ∈C0_([0_,_1]_x_R₎_.Ent˜ao _u_∈_C1,13

loc .

Demonstra¸c˜ao. Observemos inicialmente que,

ui =v′(r)Xi

|X| e uij =v

′′₍_r₎XiXj

|X|2 +v

′₍_r₎

1 |X|δij −

1

|X|3XiXj

Portanto,

∆∞u = (v ′₍_r₎₎3

|X|5 d

X

i=1

(Xi)2− (v ′₍_r₎₎3

|X|5

d

X

i,j=1

(Xi)2(Xj)2 !

+ v

′′₍_r₎₍_v′₍_r₎₎2

|X|4

d

X

i,j=1

(Xi)2(Xj)2 !

= (v ′₍_r₎₎3

|X| −

(v′₍_r₎₎3

|X| +v

′′₍_r₎₍_v′₍_r₎₎2

= v′′(r)(v′(r))2

Assim,

v′′(r)(v′(r))2 =f(r, v(r)), (6.11)

no sentido da viscosidade. Como

f(X)∈L∞

loc(B1),

podemos aplicar o Corol´ario 5.2 para obtermos u∈C1,

1 1+2

loc o que prova a proposi¸c˜ao.

Comentamos que a regularidade da Proposi¸cão 6.3 é ótima quando

∆∞|X|43 = constante.

(43)

6.3 Outras equa¸c˜oes el´ıpticas degeneradas

Um outro exemplo interessante a ser explorado ´e o operador p-laplaciano:

∆pu:= div |∇u|p−2∇u

para p≥2. (6.12)

Ele aparece por exemplo na equa¸c˜ao de Euler-Lagrange associada a integralp-energia

Z

(Du)pdX →min.

O estudo de equa¸cões envolvendo o operador p-laplaciano tem recebido uma grande aten¸cão nos últimos 50 anos. Em particular, a teoria de regularidade para fun¸cões p -harmônicas tem sido um assunto de intensa investiga¸cão, desde o final dos anos 60, quando Uraltseva em URALTSEVA (1968) provou que solu¸cões fracas da equa¸cão homogênea

∆ph= 0, (6.13)

é localmente de classeC1,α(d,p)_{, para algum}_α₍_{d, p}₎_>_{0. A regularidade ótima para fun¸cões} p-harmônicas no plano foi obtida por Iwanec e Manfredi, em IWANIEC and MANFREDI (1989). O expoente ótimo de Hölder continuidade do gradiente de fun¸cõesp-harmônicas em altas dimensões, d≥3, tem sido o maior problema em aberto desde então.

O operador p-laplaciano pode ser escrito na forma n˜ao-divergente, simples-mente aplicando formalsimples-mente as derivadas da seguinte forma:

∆pu=|∇u|p−2∆u+ (p−2)|∇u|p−4∆∞u. (6.14)

A no¸cão de solu¸cões fracas, usando a estrutura divergente em (6.12), e na forma não-divergente em (6.14) são equivalentes, veja JUUTINEN, LINDQVIST, and MANFREDI (2001).

Dentro do contexto de fun¸cões com op-laplaciano limitado, é conjecturado que a regularidade ótima deve ser Cp′

, onde

1

p+

1

p′ = 1.

Nosso próximo resultado nos dá uma resposta parcial para esta conjectura. Proposi¸cão 6.4. Seja p≥2 e u satisfazendo

|∆pu| ≤C, em B1.

(44)

Demonstra¸c˜ao. Usando os mesmos argumentos da prova da Proposi¸c˜ao 6.3 temos que

|v′|p−2|v′′|+|v′|p−4·v′2|v′′| ≤C,

no sentido da viscosidade. Portanto, como uma aplica¸c˜ao do Corol´ario 5.2, obtemos

v ∈C1,

1 1+(p−2)

loc ∼=C

p′

loc,

e a proposi¸cão em questão está provada.

Estimativas da forma|∇u|p−2_|_D2_u_|_{< C} _{n˜ao s˜ao raras em um certo n´}_{umero de}

problemas envolvendo o operador p-laplaciano, veja por exemplo LEE and SHAHGHO-LIAN (2003). Vamos mencionar também que estimativas da forma (ǫ+|∇v|2₎p−₂1_|_D2_v_|_< Csão comumente obtidas para solu¸cões fracas de equa¸cões da forma divergente,Di(Ai₍_Dv_{)) =}

0, veja DACOROGNA (2007), Cap´ıtulo 8.

Iremos encerrar esta se¸c˜ao, revisitando o operador infinito-laplaciano como o limite do operador p-laplaciano, quando p → ∞. Seja h ∈ C0₍_B

1) uma fun¸c˜ao

infinito-harmˆonica. Para cada p≫1, seja hp a solu¸c˜ao do seguinte problema (

∆php = 0, inB3/4 hp = h, onB3/4.

´

E sabido que hp forma uma sequˆencia de fun¸c˜oes equicont´ınuas e hp → h localmente uniforme parah. Em particular

∆∞hp = o(1), quando p→ ∞.

Dessa forma, iremos denotar hp como a aproxima¸cão p-harmônica da fun¸cão infinito-harmônicah em B3/4.

Proposi¸c˜ao 6.5. Seja h ∈ C0₍_B

1) uma fun¸cão infinito-harmônica hp sua aproxima¸cão p-harmônica. Assuma |∆∞hp|=O(p−1₎ _quando _p_{→ ∞}_{. Então} _h_∈_C1,1₃₍_B

1/2). Demonstra¸cão. Comohp ép-harmônica, temos que ∆php = 0 e portanto,

|∇hp|2∆hp−(2−p)∆∞hp = 0 ,ou seja, |∇hp|2∆hp = (2−p)∆∞hp.

Pelo princ´ıpio do m´aximo,

khpkL∞

(B₄_/₅₎ ≤ khkL

∞

(B₁₎ ≤ε,

uma vez queh∈C0₍_B

1). Por hip´otese temos que ∆∞hp|= O(p−1), assim|∆∞hp|p≤C e

segue da desigualdade triangular que (2−p)∆∞hp ∈L∞

(B1 2)

(45)

e do Corol´ario 5.2, temos

khpk

C1,13(B1/2) ≤C,

para uma constanteC que independe dep. A prova da proposi¸c˜ao segue por argumentos padr˜oes.

Outra interessante Proposi¸cão relaciona fun¸cões p-harmônicas com infinito-laplaciano limitado.

Proposi¸cão 6.6. Seja u uma fun¸cão p-harmônica B1 ⊂ Rd. Assuma ∆∞u ∈ L∞(B1). Entãou∈C1,1

3(B₁_/₂).

Demonstra¸c˜ao. A prova segue por argumentos similares aos da prova da Proposi¸c˜ao 6.5.

Segue como um problema em aberto, se a Proposi¸cão 6.6 vale mesmo sem a hipótese extra de limita¸cão do infinito-laplaciano. É plaus´ıvel conjecturar que se α(d, p) é o expoente de Hölder continuidade ótimo (universal) para fun¸cões p-harmônicas, então

α(d, p)> 1

(46)

7 SOLUÇ ÕES MINIMAIS E GEOMETRIA N ÃO DEGENERADA

Nessa se¸c˜ao provaremos o seguinte teorema:

Teorema 7.1. Seja u solu¸c˜ao minimal para o problema do valor limitado

(

H(X,∇u)F(X, D2_u_{) =} _f₍_X₎ _em _Ω

u = ϕ em Ω, (7.1)

ondeΩ ´e um dom´ınio suave limitado, ϕ ∈C1,α_{( ¯}_Ω) _e _f _∈_C_(Ω)_∩_L∞_(Ω) _satisfazendo₀_< inf

Ω f(X). DadoX0 ∈S(u)er < dist(X0, ∂⊗), existe uma constante

¯

C = ¯C(d, inf f, λ,Λ, γ)>

0, tal que

¯

Cr2+1+γγ +u(X

0)≤ sup Br(X0)

u(X).

Antes de come¸carmos a prova desse teorema faremos alguns comentários sobre a existência de solu¸cão m´ınima para o problema de valor limitado acima. Aqui assumi-remos que Ω é um dom´ınio limitado e suave. O dado de contorno ϕ ∈C1,α_{( ¯}_{Ω) podemos}

assumir sem perda de generalidade, ser n˜ao negativa. O pressuposto fundamental para o nosso objetivo ´e que f ∈C(Ω)∩L∞_{( ¯}_{Ω) satisfazendo,}

0<inf

Ω f(X)

Dada uma fun¸c˜aog, vamos definir o operador el´ıptico da seguinte forma,

Gg[u] :=H(X,∇u)F(X, D2u)−g(X)

A existência de solu¸cão minimal para equa¸cão (7.1), segue das orienta¸cões do método de Perron’s, também chamado método sub-super solu¸cão. Para princ´ıpio de compara¸cão em equa¸cões el´ıpticas degeneradas, ver teorema 3.3 em CRANDALL, ISHII, and LIONS (1992) e Teorema 1.1 em BIRINDELLI and DEMENGEL (2004). Tal solu¸cão de viscosidade é obtida por,

u(X) := inf

w∈Pf(X) onde

P ={w∈C( ¯Ω);u∗ ≤w≤u∗ e w´e supersolu¸c˜ao de (7.1)} eu∗_,_u

∗ resolvem (

Ginff[u∗] = 0 em Ω

u∗ ₌ _ϕ _{em Ω} e

(

G||f||∞[u∗] = 0 em Ω u∗ = ϕ em Ω

(7.2)