Simulação numérica de graxa em vedantes labirinto

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DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE MECÂNICA CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA

LUCIANO RAFAEL FROSE

SIMULAÇÃO NUMERICA DE GRAXA EM VEDANTES

LABIRINTO

TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO

(Tcc2 - Nº de Inscrição - 22)

CURITIBA 2017

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SIMULAÇÃO NUMERICA DE GRAXA EM VEDANTES

LABIRINTO

Monografia do Projeto de Pesquisa apresentada à disciplina de Trabalho de Conclusão de Curso - Tcc2 do curso de Engenharia Mecânica da Universidade Tecnológica Federal do Paraná, como requisito parcial para aprovação na disciplina.

Orientador: Prof. Cesar O. R. Negrão, Ph.D Co-orientador: Prof. Tiago Cousseau, Ph.D.

CURITIBA 2017

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TERMO DE ENCAMINHAMENTO

Venho por meio deste termo, encaminhar para apresentação a monografia do Projeto de Pesquisa "SIMULAÇÃO NUMÉRICA DE GRAXA EM VEDANTES LABIRINTO", realizado pelo aluno LUCIANO RAFAEL FROSE, como requisito parcial para aprovação na disciplina de Trabalho de Conclusão de Curso 2, do curso de Engenharia Mecânica da Universidade Tecnológica do Paraná.

Orientador: Prof. Dr Cesar Otaviano Ribeiro Negrão UTFPR - Damec Curitiba, 13 de Novembro de 2017.

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LUCIANO RAFAEL FROSE

SIMULAC ˜

AO NUM ´

ERICA DE GRAXA EM VEDANTES LABIRINTO

Por meio deste termo, aprovamos a Proposta de Projeto de Pesquisa “SIMULAC ÃO NUM ÉRICA DE GRAXA EM VEDANTES LABIRINTO”, realizada pelo aluno LUCI-ANO RAFAEL FROSE, como requisito parcial para aprovaç ão na disciplina de Tra-balho de Conclus ão de Curso 2, do curso de Engenharia Mec ânica da Universidade Tecnol ógica Federal do Paran á.

Prof. Cezar O. R. Negr ˜ao, Ph.D. Departamento de Mec ˆanica, UTFPR Orientador

Prof. Tiago Cousseau, Ph.D.

Departamento de Mec ˆanica, UTFPR Co-orientador

Prof. Eduardo Germer, Ph.D.

Departamento de Mec ˆanica, UTFPR Avaliador

Prof. Hilbeth Azikri, Ph.D.

Departamento de Mec ˆanica, UTFPR Avaliador

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Agradeço a Deus pela vida, por ser complicada e podermos estud á-la. Agradeço que Ele nos ama e que podemos achar um sentido para viver. Agradeço a minha fam´ılia por sempre providenciar estudo para que eu pudesse me formar Engenheiro Mec ânico: ao meu pai por buscar o sustento da casa e providenciar o t ão necess ário p ão de cada dia e em ter me ensinado a persist ência e dedicaç ão no trabalho; à mi-nha m ãe pelo seu amor incondicional em motivar e me ensinar a conduzir uma vida decente; à minha irm ã pela sua companhia e irmandade em todos estes anos.

Agraço a minha querida noiva e futura esposa. Por sempre me amar e me motivar no estudo e na construç ão de um melhor eu.

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cerei totalmente, como eu sou conhecido. 1 Cor´ıntios 13:12

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FROSE, Luciano. SIMULAC ÃO NUM ÉRICA DE GRAXA EM VEDANTES LABIRINTO. 104 f. Trabalho de Conclus ão de Curso – DEPARTAMENTO ACAD ÊMICO DE ENGE-NHARIA MEC ÂNICA, Universidade Tecnol ógica Federal do Paran á. Curitiba, 2017. A problem ática de contaminaç ão de mancais por detritos do ambiente externo é explo-rada atrav és da simulaç ão num érica em vedantes labirinto. O presente trabalho utiliza o software comercial FLUENT 16.0 de volumes finitos para an álise do escoamento de graxa nos selos. O fluido é modelado como Herschel-Bulkley e implementado no soft-ware atrav és de uma User Defined Function (UDF) embasada no modelo de Papanas-tasiou. O funcionamento de selos é abordado e durante as simulaç ões s ão exploradas as vari áveis respons áveis por influenciar no comportamento do escoamento. Faz-se a validaç ão da aplicaç ão num érica do modelo reol ógico com a soluç ão anal´ıtica do escoamento entre placas planas e paralelas. Atrav és de tr ês estudos de caso onde a variaç ão da montagem de selos radiais e axiais, a variaç ão da graxa e da rotaç ão concluiu-se que selos radiais s ão mais eficientes no vi és de menores perdas por atrito viscoso e estanqueidade contra contaminantes. A variaç ão da graxa possibilitou visu-alizar que maiores valores de tens ão limite de escoamento favorecem a expans ão de regi ões n ão cisalhadas, assim como graxas com menores valores de n reduzem per-das por momento viscoso devido reduç ão de perper-das por atrito. O estudo do efeito da velocidade de rotaç ão sobre as propriedades do vedante labirinto possibilitou consta-tar o aumento da vaz ão m ássica de graxa devido reduç ão da viscosidade efetiva que por sua vez eleva o momento viscoso do labirinto.

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FROSE, Luciano. NUMERICAL SIMULATION OF GREASE INSIDE LABYRINTH SE-ALS. 104 f. Trabalho de Conclus ão de Curso – DEPARTAMENTO ACAD ÊMICO DE ENGENHARIA MEC ÂNICA, Universidade Tecnol ógica Federal do Paran á. Curitiba, 2017.

The problem of contamination of bearings by debris from the external environment is explored through numerical simulation in labyrinth seals. The present work uses the commercial software FLUENT 16.0 of finite volumes for analysis of the flow of grease in the seals. The fluid is modeled as Herschel-Bulkley and implemented in the soft-ware through a User Defined Function (UDF) based on the Papanastasiou model. The operation of seals is approached and during the simulations the variables responsible for influencing the flow behavior are explored. The numerical application of the rheolo-gical model is validated with the analytical solution of the flow between flat and parallel plates. Through three case studies where the variation of radial and axial seals, grease variation and rotation are evaluated, it was concluded that radial seals are more effici-ent in the bias of less viscous friction losses and watertightness against contaminants. The variation of the grease allowed to visualize larger values of τy favor the expansion

of non-shear regions. As well as greases with lower values of n reduce viscous mo-ment losses due to reduction of frictional losses. The study of the effect of the rotation speed on the properties of the labyrinth seal made it possible to verify the increase of the grease mass flow due to the reduction of the effective viscosity, which in turn increases the viscous moment of the labyrinth.

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Figura 1.1 Exemplo de um selo labirinto . . . 13 Figura 1.2 Exemplo de um mancal exposto a detritos do ambiente externo. . . 14 Figura 1.3 Causas identificadas para falha de rolamentos antes de atingir sua

vida útil calculada . . . 15 Figura 2.1 Esquematizaç ão de selos labirinto. . . 19 Figura 2.2 Queda de press ão ao longo do selo labirinto demonstrando o princ´ıpio

de vedaç ão em turbom áquinas. . . 20 Figura 2.3 Esquematizaç ão de cisalhamento unidirecional. . . 23 Figura 2.4 Comparaç ão esquem ática entre caracter´ıstica de escoamento entre

fluidos newtonianos e fluidos newtonianos generalizados. . . 25 Figura 2.5 Fotos da estrutura do espessante da graxa utilizando tr ˆes t ´ecnicas

diferentes de visualizac¸ ˜ao. SEM (esquerda), AFM (centro) e TEM (direita). Comprimento da figura individual corresponde a 10µm. . . . 28 Figura 3.1 Perfil de velocidade t´ıpico para fluidos newtonianos (linha pontilhada)

e fluidos pseudopl ásticos (linha cont´ınua). . . 32 Figura 3.2 Esquematizaç ão do teste de escoamento de graxa em restriç ão. . . . 32 Figura 3.3 Esquematizaç ão dos resultado de escoamento da graxa na cavidade

(Figura 3.2) em que US ´e a velocidade da superf´ıcie do eixo. . . 33

Figura 3.4 Esquematizaç ão de eixo rotacionando internamente com exterior pa-rado. . . 34 Figura 3.5 Comparaç ão entre velocidades experimentais com soluç ão anal´ıtica

(Eq. 3.1 para graxa NLGI 00 e espaçamento de 0, 4mm. . . 34 Figura 3.6 Esquematizaç ão do problema de escoamento helicoidal para fluido

HB. . . 35 Figura 3.7 Influ ência da variaç ão na rotaç ão do eixo na velocidade axial e

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Figura 4.1 Comparaç ão entre selos labirintos montados radialmente e axial-mente ao eixo. . . 40 Figura 4.2 Valores de refer ência para geometrias de vedantes labirinto. . . 41 Figura 4.3 Geometria de labrintos axiais e radiais que ser ão avaliadas no

pre-sente trabalho. . . 43 Figura 4.4 Representaç ão da discretizaç ão em volumes finitos com identificaç ão

dos pontos utilizados na aproximaç ão num érica . . . 48 Figura 5.1 Geometria de placas planas e paralelas com condiç ões de contorno 51 Figura 5.2 Comparaç ão entre simulaç ão de fluidos Herschel-Bulkley com soluç ão

anal´ıtica de escoamento em tubo circular para condiç ões de press ões de entrada da tubulaç ão de p = 30, 140 e 240kP a. . . 53 Figura 5.3 Nomenclatura das regi ões de mudança do n úmero de volumes finitos

no estudo de converg ência de malha. . . 55 Figura 5.4 Regi ões de controle da velocidade m áxima assumida para as CC de

verificaç ão de malha . . . 56 Figura 5.5 Comparaç ão gr áfica entre as velocidades obtidas pelas tr ês malhas

no estudo de converg ência da soluç ão num érica. . . 57 Figura 5.6 Malha resultante do estudo de converg ência da soluç ão num érica. . 58 Figura 5.7 Comparaç ão entre queda de press ão de labirinto radial e axial. . . 60 Figura 5.8 Comparaç ão da queda da press ão para labirintos axiais. . . 60 Figura 5.9 Comparaç ão da queda da press ão para labirintos radiais. . . 61 Figura 5.10 Comparaç ão entre vaz ões m ássicas e momentos viscosos entre as

geometrias para o Caso 1. . . 63 Figura 5.11 Comparac¸ ˜ao entre velocidades circunferenciais uθ entre geometrias

de labirintos duplo para as CC do Caso 1. (Ambos possuem a mesma escala de velocidade) . . . 64 Figura 5.12 Comparaç ão entre vaz ões m ássicas e momentos viscosos entre

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Figura 5.14 Comparaç ão entre viscosidades efetivas η para cada graxa do Caso 2. Detalhe para as regi ões n ão cisalhadas presentes nos cantos na curvatura do labirinto. . . 68 Figura 5.15 Comparaç ão do efeito nos perfis de velocidade para cada rotaç ão do

Caso 3. . . 69 Figura 5.16 Comparac¸ ˜ao entre viscosidades efetivas η para cada velocidade do

Caso 3. . . 70 Figura 5.17 Comparaç ão da queda de press ão na direç ão axial para cada

velo-cidade do Caso 3. . . 71 Figura 5.18 Comparaç ão entre vaz ões m ássicas e momentos viscosos para cada

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Tabela 2.1 Efeitos mec ânicos esperados para selos sem contato dependendo da condiç ão de operaç ão do eixo . . . 21 Tabela 3.1 Valores para modelo reol ógico de graxas SKF NLGI 00, 1 e 2

utiliza-dos no estudo de Baart e Taylor (2011). . . 31 Tabela 4.1 Espac¸amento recomendado pela empresa NTN para vedantes

labi-rinto conforme Anexo D. . . 41 Tabela 4.2 Valores para modelo reol ógico de graxas SKF NLGI 00, 1 e 2. . . 45 Tabela 4.3 Implementaç ão das hip óteses e condiç ões de contorno no software

de resoluç ão das equaç ões do estudo. . . 50 Tabela 5.1 N úmero de volumes utilizados para cada caso de estudo na validaç ão

da converg ência de malha. . . 55 Tabela 5.2 Condiç ões para an álise de malha . . . 55 Tabela 5.3 Performance da simulaç ão para cada caso de estudo de converg ência. 56 Tabela 5.4 Valores de GCI obtidos no estudo de converg ência de malha. . . 57 Tabela 5.5 Resumo da enumeraç ão e das CC de cada caso estudado. . . 59

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1 INTRODUC¸ ˜AO . . . 12

1.1 Caracterizac¸ ˜ao do Problema . . . 14

1.2 Objetivos . . . 15

1.2.1Objetivo Geral . . . 15

1.2.2Objetivos Espec´ıficos . . . 15

2 FUNDAMENTAÇ ÃO TE ÓRICA . . . 17

2.1 Vedantes . . . 17

2.1.1Funcionamento Mec ˆanico de Selos . . . 17

2.1.2Tipos de Vedantes . . . 18

2.2 Equacionamento Matem ´atico . . . 21

2.2.1Conservac¸ ˜ao da Massa e da Quantidade de Movimento Aplicada a Flui-dos . . . 21

2.3 Fluidos N ˜ao Newtonianos e Graxa . . . 23

2.3.1Conceitos de Fluidos Newtonianos . . . 23

2.3.2Conceitos de Fluidos Newtonianos Generalizados . . . 24

2.4 Caracterizaç ão Reol ógica da Graxa . . . 27

2.5 S´ıntese do Cap´ıtulo . . . 28

3 REVIS ˜AO BIBLIOGR ´AFICA . . . 30

3.1 Estudos Experimentais com Graxa . . . 30

3.2 Simulaç ão Num érica de Fluidos HB . . . 35

3.3 S´ıntese da Revis ˜ao Bibliogr ´afica . . . 38

4 MODELAGEM MATEM ´ATICA . . . 39

4.1 Descric¸ ˜ao do Problema . . . 39

4.1.1Especificac¸ ˜ao das Geometrias . . . 40

4.1.2Condic¸ ˜oes de Contorno . . . 44

4.1.3Propriedades dos Fluidos . . . 45

4.1.4Hip ´oteses . . . 45

4.2 Modelagem Matem ´atica . . . 46

4.2.1Discretizac¸ ˜ao . . . 47

4.3 M ´etodo Num ´erico . . . 49

5 RESULTADOS . . . 51

5.1 Verificac¸ ˜ao do Modelo . . . 51

5.1.1Descric¸ ˜ao de um Problema Simples . . . 51

5.1.2Soluc¸ ˜ao Anal´ıtica . . . 52

5.1.3Comparaç ão com Soluç ão Anal´ıtica . . . 52

5.2 An álise de Sensibilidade de Malha e Crit érios de Converg ência . . . 54

5.3 Estudo de Casos . . . 58

5.3.1Descric¸ ˜ao dos Casos . . . 59

5.3.2Detalhamento dos Resultados . . . 59

6 CONCLUS ˜AO . . . 73

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Anexo A -- CAT ´ALOGO SKF - MANCAIS SNL 30, SNL 31 E SNL 32 . . . 80

Anexo B -- CAT ´ALOGO SKF - SELOS TACONITE . . . 94

Anexo C -- CAT ´ALOGO MANCAIS SNR-NTN . . . 97

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1 INTRODUC¸ ˜AO

Diversos projetos mec ânicos possuem um eixo rotacionando internamente em um ambiente com press ão elevada ou contendo algum l´ıquido. Pode-se citar aplicaç ões como: bombas, compressores e outros elementos mec ânicos que pos-suem mancais de rolamentos. Em tais situaç ões é necess ário isolar o meio interior da m áquina do ambiente externo. D á-se o nome de selo ou vedante a todo dispositivo mec ânico que possui como funç ão permitir a livre rotaç ão do eixo e garantir a vedaç ão entre dois ambientes contendo fluidos distintos. A Figura 1.1 exemplifica a utilizaç ão de um selo como integrante de um sistema de proteç ão do rolamento.

Figura 1.1: Exemplo de utilizac¸ ˜ao de vedante em mancal de rolamento de rolos SKF.

Fonte: http://evolution.skf.com/sealing-solutions-for-challenging-environments/ acessado: 21/04/2017

Em projetos mec ânicos todas vedaç ões devem ser projetadas para atenderem as condiç ões de uso, ou seja, garantir a livre rotaç ão do eixo e a vedaç ão. Preju´ızos est ão associados caso isso n ão seja atingido. Em caso de equipamentos pressuri-zados a perda de press ão pode causar mal funcionamento. Em m áquinas contendo

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l´ıquidos o vazamento pode gerar paradas indesejadas para limpeza e troca do ve-dante, resultando em tempo improdutivo e consequentemente preju´ızo financeiro.

Selos utilizados em mancais possuem a funç ão de garantir que o fluido lu-brificante do sistema permaneça enclausurado e sem a presença de contaminantes. Devido ser comumente utilizado na proteç ão de mancais contra entrada de contami-nantes do ambiente externo s ão referenciados tamb ém como isolante de rolamento (bearing isolator ) ou protetor de rolamento (bearing seals). A Figura 1.2 representa o selo labirinto, foco de estudo do presente trabalho. A vedaç ão do sistema a de-tritos é gerada atrav és de um caminho estreito preenchido de graxa. Para elevados n´ıveis de contaminaç ão a injeç ão peri ódica de graxa que garante o fluxo expulsando continuamente os contaminantes e o lubrificante contaminado pode ser aplicada.

Figura 1.2: Exemplo de um selo labirinto.

Fonte: http://media.noria.com/sites/archive-images/-Backup-200601-shaft-bearing-fig1

A recente busca por elevar o ciclo de vida e reduzir desperd´ıcios energ éticos est á ocasionando uma otimizaç ão nos selos isolantes de rolamentos em busca de ganhos econ ômicos. Outra motivaç ão para prolongar a vida útil est á nos custos de parada do equipamento devido a necessidade de substituiç ão dos vedantes. Conside-rando que selos labirinto operaram sem contato (menores perdas de atrito) e possuem maior vida útil, sua utilizaç ão est á sendo priorizada na busca de projetos mec ânicos mais sustent áveis: menores perdas energ éticas e maior confiabilidade de funciona-mento (GAMACHE, 2012).

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1.1 Caracterizac¸ ˜ao do Problema

Em ambientes contaminados, Miskovic et al. (2016) afirma que a entrada de particulados causa uma dr ástica reduç ão na vida útil do rolamento, demonstrando as-sim a necessidade de isolamento do sistema ao meio externo. A Figura 1.3 exemplifica um caso onde o rolamento est á sujeito a sofrer contaminaç ão do ambiente.

Gloucester e Road (1994) comentam que devido interfer ência do ambiente ex-terno e das condiç ões de utilizaç ão 90% dos rolamentos n ão atingem o tempo de uso considerado em projeto. A Figura 1.4 identifica causas das falhas para rolamentos antes de alcançarem a vida útil prevista. Bloch e Budris (2004) apontam tamb ém que 48% das falhas em rolamentos antes de atingirem a vida útil calculada pelo fornecedor é causada pela entrada de particulados. Isto demonstra que estudar e compreender os fatores para entrada de contaminantes em selos é importante para elevar a confia-bilidade de projetos mec ânicos e seu futuro desempenho.

Figura 1.3: Exemplo de um mancal exposto a detritos do ambiente externo.

Fonte: http://evolution.skf.com/sealing-solutions-for-challenging-environments/ acessado: 21/04/2017

Atualmente n ão encontra-se na literatura uma explicaç ão detalhada e difun-dida do processo da entrada de contaminantes em selos labirintos. Dobrowolski et al. (2016) comentam que a fratura entre duas camadas cisalhantes de graxa viabi-liza a entrada de particulados. Em seu estudo experimental, afirmam que conhecer o perfil de velocidades em vedantes labirinto é um primeiro passo para compreender o processo de contaminaç ão.

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Figura 1.4: Causas identificadas para falha de rolamentos antes de atingir sua vida ´util calculada.

Fonte: (BLOCH; BUDRIS, 2004)

Na t écnica visual utilizada em seu estudo Dobrowolski et al. (2016) apontam a dificuldade em se visualizar o perfil de velocidade da graxa devido ser um fluido opaco. Prop õe-se aqui abordar o problema atrav és da t écnicas de simulaç ão num érica visando superar as dificuldades encontradas experimentalmente.

1.2 Objetivos

1.2.1 Objetivo Geral

Simular numericamente o escoamento de graxas em vedantes labirinto utili-zados para proteger rolamentos com o objetivo de analisar a efici ência de diferentes geometrias. A t écnica num érica a ser utilizada é de DFC (Din âmica de Fluidos Com-putational).

1.2.2 Objetivos Espec´ıficos

• Simular geometrias de selos labirintos distintos de modo a compreender as ca-racter´ısticas do escoamento;

• Visualizar a influ ˆencia das propriedades reol ´ogicas de graxas no comportamento do escoamento;

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• Compreender a diferenc¸a entre labirintos axiais e radiais associando com a efici ˆencia de um selo sem contato.

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2 FUNDAMENTAÇ ÃO TE ÓRICA

Nesta seç ão s ão explicados definiç ões relevantes para simulaç ão num érica da graxa. Iniciando com o funcionamento de vedantes, seguindo com a import ância da lubrificaç ão e finalizando com uma explicaç ão das equaç ões relevantes no estudo de fluidos n ão-newtonianos, reologia e formulaç ão de graxas.

2.1 Vedantes

2.1.1 Funcionamento Mec ˆanico de Selos

Diversos par âmetros podem influenciar no bom funcionamento do vedante do eixo e assim em seu tempo de vida útil. LaPlante (2017) identifica estes mecanismos que, separadamente, influenciam no desempenho geral do selamento desejado para a aplicaç ão:

• Mecanismo de selamento (selo mec ˆanico, labirinto, entre outros);

• Superf´ıcie do eixo, como rugosidade superficial e toler ˆancias geom ´etricas; • Fluidos a serem vedados;

• Ambiente em que o rolamento est ´a exposto assim como seus carregamentos.

LaPlante (2017) lista ainda fatores externos e internos ao sistema que influ-enciam na vida ´util do vedante:

• Lubrificante: tipo, quantidade e seu n´ıvel de contaminac¸ ˜ao;

• Condiç ões de funcionamento do sistema: velocidade rotacional do eixo, tempe-ratura, press ão, funcionamento intermitente, vibraç ão e alinhamento da monta-gem;

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• Condiç ões do ambiente: n´ıvel de concentraç ão de poeira, sujeira, água e a tem-peratura;

• Selo: material, conceito de funcionamento e caracter´ısticas de projeto e qual ambiente o selo ir ´a operar.

Os efeitos gerados no sistema devido `a temperatura, press ˜ao e lubrificante podem ser explicados como:

• Temperatura: elevaç ão da temperatura de operaç ão, causada por m á lubrificaç ão ou elevadas rotaç ões do eixo podem degradar as propriedades do material do selo ocasionando reduç ão de sua vida útil. A temperatura elevada pode acelerar a oxidaç ão dos meios a serem selados, gerando reaç ões qu´ımicas de ades ão do selo ou no eixo a ser vedado. Selos que levam em consideraç ão o calor gerado por atrito possuem maior de vida útil;

• Lubrificante: devido a grande interaç ão entre o selo e o lubrificante e o aumento de temperatura em regi ões de elevada taxa de cisalhamento, caso o lubrificante seja mal dimensionado, pode ocorrer deposiç ão de carbono no eixo;

• Press ão: selos que possuem l ábio de vedaç ão s ão fortemente influenciados caso o fluido a ser vedado esteja pressurizado. Tal press ão ir á deformar e tensi-onar a regi ão do l ábio de vedaç ão de modo a gerar uma zona concava ocasio-nando reduç ão do tempo de vida útil.

2.1.2 Tipos de Vedantes

Devido diversas aplicaç ões encontradas para utilizaç ão dos vedantes mec ânicos é esperado encontrar diferentes modelos dispon´ıveis no mercado.

Al ém dos vedantes mec ânicos, existem selos projetados para operarem sem contato com as partes m óveis do sistema, sendo classificados como selos sem con-tato mec ânico (noncontact seals). Sua vantagem consiste em n ão provocarem perdas por atrito (por consequ ência menor temperatura de operaç ão) e n ão possu´ırem des-gaste durante sua utilizaç ão acarretando em maior vida útil e confiabilidade operacio-nal. Al ém de selos labirintos comuns é poss´ıvel encontrar no mercado selos labirintos h´ıbridos (hybrid labyrinth seals), (DINC, 2001) e selos de press ão centr´ıfuga (centri-fugal pressure seals), (ARUTUNOFF, 1961).

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Devido selos labirintos operarem sem contato e serem indicados para eleva-das rotaç ões, sua aplicaç ão em turbom áquinas na vedaç ão entre est ágios de trabalho é frequente (CHUPP et al., 2006). A Figura 2.1 apresenta diferentes selos labirintos encontrados nestas aplicaç ões. Seu conceito de vedaç ão difere levemente em relaç ão aos selos labirinto encontrados na proteç ão de mancais de rolamentos.

O selo (e) da Figura 2.1 exemplifica um tipo que é utilizado tanto em tur-bom áquinas e em proteç ão de mancais, como pode ser comprovado atrav és dos cat álogos das empresas SKF e NTN, Anexos A e D respectivamente. Sendo este tipo de selo labirinto o foco das simulaç ões a serem conduzidas neste trabalho.

Figura 2.1: Tipos de selos labirintos em turbom ´aquinas.

Fonte: (CHUPP et al., 2006)

A diferença entre os selos labirinto encontrado nas turbom áquinas para os de proteç ão de mancais est á no princ´ıpio de seu funcionamento: em m áquinas a vapor a selagem é feita por quedas de press ões subsequentes atrav és de recirculaç ão de fluido entre os canais do labirinto, como demonstrado na Figura 2.2, j á em selos protetivos de mancais, o labirinto cumpre a funç ão de obst áculo para passagem de

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Figura 2.2: Queda de press ão ao longo do selo labirinto demonstrando o princ´ıpio de vedaç ão em turbom áquinas.

Fonte: (HIRANO et al., 2005)

contaminantes.

O fornecedor Centritec Seals (SEALS, 2017) comenta que uma montagem fora da toler ância de 0, 005” axialmente e 0, 015” radialmente pode causar vazamento do lubrificante e comprometer todo o sistema. Outras informaç ões relevantes a di-mens ões de selos, caracter´ısticas de alinhamento de montagem e de seleç ão para aplicaç ão espec´ıficas est ão dispon´ıveis nos Anexos A e C contendo parte de cat álogos SKF e SNR-NTN respectivamente.

Durante a operaç ão, é conveniente avaliar o selo em tr ês situaç ões: eixo esta-cion ário, eixo acelerando ou desacelerando e em condiç ões de operaç ão.A Tabela 2.1 resume os principais efeitos a serem esperados para cada um dos selos de n ão con-tato durante tais condiç ões: selos labirinto, selos labirintos h´ıbridos e selos de press ão centr´ıfuga.

Nota-se com a Tabela 2.1 que selos labirinto n ão permitem em momento al-gum de seu funcionamento o escoamento de graxa que n ão seja laminar sem que isso prejudique a vedaç ão. Isso deve-se ao fato que uma camada de lubrificante em cisa-lhamento forma uma barreira contra contaminantes. Esta por sua vez s ó é formada durante a operaç ão, sendo que em paradas de m áquinas existe o risco de entrada de detritos. Essa necessidade de uma camada cisalhante de lubrificante obriga a exist ência de vazamento cont´ınuo al ém da utilizaç ão de fluidos de viscosidade ele-vada para garantir a estanqueidade. Novamente devido à camada cisalhante existe

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Tabela 2.1: Efeitos mec ânicos esperados para selos sem contato dependendo da condiç ão de operaç ão do eixo.

Tipo de selo Estacion ário Acelerando/Desacelerando Em operaç ão

press ˜ao centr´ıfuga

- sem vazamento obrigat ´orio - parcialmente aberto ao ambiente

(explus ão durante operaç ão)

- possibilidade de interac¸ ˜ao com fluido sendo vedado

- viscosidade n ão é uma restriç ão

- vibraç ão e desalinhamento toler áveis

labirinto - vazamento obrigat ´orio

- aberto para o ambiente - sem possibilidade de interac¸ ˜ao com fluido sendo vedado

- escoamento turbulento n ˜ao ´e tolerado - viscosidade de lubrificante limitada

- alinhamento deve ser mantido - movimentos radiais e axiais geram vazamentos labirinto h´ıbrido

- menor vazamento obrigat ´orio

- selado para o ambiente

Fonte: http://machinedesign.com/mechanical/3-factors-affecting-your-seals-life-span, acessado em 21/11/2017

a necessidade de trabalho a elevadas rotaç ões. Pela Tabela 2.1 nota-se que selos h´ıbridos e de press ão centr´ıfuga aparecem como opç ões aos lados negativos de se-los labirintos comuns.

Outra vantagem dos vedantes labirintos est á no fato de permitir o processo de injeç ão de graxa nova em substituiç ão à graxa degradada (CANN et al., 2001). Uma vez que o labirinto n ão enclausura a graxa, faz-se poss´ıvel expelir a graxa degradada, eliminando tamb ém poss´ıveis contaminantes que tenham adentrado no sistema de vedaç ão.

2.2 Equacionamento Matem ´atico

Ap ós identificar tipos de vedantes e caracter´ıstica que influenciam em seu funcionamento é poss´ıvel explicar conceitos relevantes para a simulaç ão num érica do escoamento em selos labirinto, assim como apresentar equaç ões pertinentes e uma explicaç ão sobre diferenças entre fluidos newtonianos e n ão-newtonianos.

2.2.1 Conservac¸ ˜ao da Massa e da Quantidade de Movimento Aplicada a Fluidos

Tens ão de cisalhamento aplicada a um elemento infinitesimal no fluido é dado pelo tensor τ e chamado de tensor tens ões de cisalhamento. A tens ão total sofrida por um elemento infinitesimal é dada pelo somat ório entre o tensor de tens ões (Eq. 2.1) e a press ão isotr ópica, e é nomeado de tensor tens ões Π.

(25)

Π = −pI +     τrr τrθ τrz τθr τθθ τθz τzr τzθ τzz     | {z } τ (2.1)

onde p representa a press ˜ao e I a matriz identidade.

A equaç ão de conservaç ão da quantidade de movimento para fluidos incom-press´ıveis, como a graxa considerada neste trabalho, pode ser escrita conforme Eq. 2.2. Uma vez que o problema a ser descrito n ão possui interfer ência da variaç ão com o tempo, isto é, plenamente desenvolvidos, os termos ∂/∂t = 0 n ão foram apresenta-dos. O mesmo sendo v álido para termos gravitacionais.

ρ (u · ∇u) = −∇ · Π (2.2)

onde ρ ´e a densidade do graxa e u o vetor de velocidades em coordenadas cil´ındricas composto por ur, uz e uθ.

O tensor taxa de cisalhamento ˙γ, importante para definiç ão do comportamento reol ógico, é calculado pelos gradientes da velocidade em coordenadas cil´ındricas como: ˙γ = ∇u + (∇u)T ≡     ∂ur ∂r 1 r ∂ur ∂θ ∂ur ∂z ∂uθ ∂r 1 r ∂uθ ∂θ ∂uθ ∂z ∂uz ∂r 1 r ∂uz ∂θ ∂uz ∂z     +     ∂ur ∂r 1 r ∂ur ∂θ ∂ur ∂z ∂uθ ∂r 1 r ∂uθ ∂θ ∂uθ ∂z ∂uz ∂r 1 r ∂uz ∂θ ∂uz ∂z     T (2.3) ´

E poss´ıvel descrever o comportamento de fluidos aplicando os conceitos de conservac¸ ˜ao da massa, energia e quantidade de movimento. Para mais detalhes pro-curar Morrison (2001).

A conservaç ão da massa é obtida pelo divergente do campo vetorial de velo-cidades. Fisicamente isso significa que o somat ório do fluxo adentrando/saindo de um elemento infinitesimal é igual a zero, como na Eq. 2.4.

∇ · u = 0 (2.4)

Aplicando-se a Eq. 2.1 do tensor tens ões na Eq. 2.2 t êm-se a equaç ão da quantidade de movimento em termos de τ . O lado esquerdo concentra os termos

(26)

referentes ao campo de velocidade e o lado direito forc¸as de press ˜ao e viscosas.

ρ (u · ∇u) = −∇p − ∇ · τ (2.5)

onde ρ ´e a densidade do fluido e p a press ˜ao.

• O termo u · ∇u caracteriza o termo n ão linear da equaç ão, representa a variaç ão do fluxo vetorial de velocidade atrav és da superf´ıcie do elemento infinitesimal; • Os termos −∇p e −∇ · τ representam as forças atuando no volume infinitesimal

de press ˜ao e viscosas.

As equaç ões apresentadas nesta seç ão s ão v álidas para fluidos newtonianos e n ão-newtonianos a serem discutidos a seguir.

2.3 Fluidos N ˜ao Newtonianos e Graxa

2.3.1 Conceitos de Fluidos Newtonianos

D ´a-se o nome de fluido com comportamento newtoniano a todo material que ao ser sujeitado a uma tens ˜ao unidirecional, como na Figura 2.3, a taxa de cisalha-mento ˙γ varie linearmente e esteja relacionado a um fator de proporcionalidade do fluido, chamado de viscosidade µ (DESHPANDE et al., 2010).

Figura 2.3: Esquematizac¸ ˜ao de cisalhamento unidirecional.

Fonte: (DESHPANDE et al., 2010)

A Eq. 2.6 consiste ent ão na relaç ão linear entre a tens ão nas superf´ıcies do elemento infinitesimal e o tensor taxa de cisalhamento nas faces de elemento. A` constante de proporcionalidade µ, d á-se o nome de viscosidade.

(27)

τ = −µ ˙γ (2.6) Ao aplicar a relaç ão da Eq. 2.6 na Eq. 2.5 obt ém-se a equaç ão de conservaç ão da quantidade de movimento para fluidos newtonianos.

2.3.2 Conceitos de Fluidos Newtonianos Generalizados

Devido a propriedades inerentes ao fluido, nota-se que nem todo material apresenta de uma relaç ão linear entre tens ão de cisalhamento (τ ) e taxa de cisalha-mento ( ˙γ), sendo denominados de fluidos n ão-newtonianos. Deshpande et al. (2010) agrupa tais materiais nas seguintes categorias:

1. Fluidos em que a taxa de cisalhamento ˙γ depende apenas do estado do ten-sor de tens ões τ naquele ponto s ão conhecidos como: puramente viscosos, inel ásticos, independentes do tempo ou fluidos newtonianos generalizados; 2. Fluidos em que a relç ão entre τ e ˙γ depende do tempo de duraç ão ou da hist ória

do escoamento s ˜ao categorizados como dependentes do tempo.

3. Fluidos que apresentam comportamento com caracter´ısticas viscosas e el ásticas (que parcialmente sofrem recuperaç ão el ástica quando tensionados) s ão nome-ados viscoel ásticos.

Para determinadas subst âncias é poss´ıvel substituir a relaç ão linear da tens ão com a viscosidade (µ) por uma funç ão da taxa de cisalhamento ( ˙γ), como na Eq. 2.7, sendo denominado de fluido newtoniano generalizado.

τ = −η ( ˙γ) ˙γ (2.7)

em que η ( ˙γ) é uma funç ão escalar de ˙γ, referenciada como viscosidade efetiva. Sendo ˙γ calculado como ˙γ ≡ | ˙γ| ≡q1₂˙γ : ˙γ

A Figura 2.4 exemplifica o comportamento dos modelos reol ´ogicos a serem explicados em seguida. Nela s ˜ao apresentados como cada modelo traz uma aborda-gem diferente para o termo η ( ˙γ) da Eq. 2.7.

A Eq. 2.8 apresenta o modelo da lei de pot ˆencia, com o ´ındice n sendo adi-mensional e determinando o comportamento do fluido: quando n = 1 trata-se de um

(28)

Figura 2.4: Comparaç ão esquem ática entre caracter´ıstica de escoamento entre fluidos newtonianos e fluidos newtonianos generalizados.

Fonte: Adaptado de Deshpande et al. (2010).

fluido newtoniano, para n < 1 é determinado como pseudopl ástico e para n > 1 refe-renciado como fluido dilatante. Pela Figura 2.4 nota-se que materiais pseudopl ásticos possuem maior viscosidade efetiva a baixas taxas de cisalhamento enquanto materiais dilatantes possuem o comportamento inverso, isto é, menores viscosidades efetivas a baixas taxas (MORRISON, 2001).

τ = K ∂uz ∂r

n

(2.8a)

η ( ˙γ) = K ˙γn−1 (2.8b)

em que K representa o ´ındice de consist ˆencia do fluido, assume valor de µ para fluidos newtonianos quando n = 1.

Bingham (1922) desenvolveu um modelo, apresentado na Eq. 2.9, para flui-dos que aparentemente n ão escoam a tens ões de cisalhamento menores do que uma chamada tens ão de limite de escoamento, τy. Embora alguns autores como Barnes

e Walters (1985) n ão apoiarem a ideia da exist ência desta tens ão o modelo é muito utilizado devido sua simplicidade matem ática e boa concord ância com testes

(29)

experi-mentais. τ =    ∞, τ ≤ τy τy+ K ˙γ, τ > τy (2.9a) η ( ˙γ) =    ∞, τ ≤ τy τy ˙ γ + K ˙γ, τ > τy (2.9b)

Avanc¸ando com o trabalho de Bingham (1922), Herschel e Bulkley (1926) de-senvolveram um modelo apresentado na Eq. 2.10 (de aqui em diante referenciado como fluido HB) em que para tens ˜oes acima de τy o fluido se comporta de acordo

com um fluido lei de pot ência (power law fluid ). A fluidos com tens ão limite de escoa-mento τy d á-se o nome de fluido viscopl ástico.

τ =    ∞, τ ≤ τy τy + K ˙γn, τ > τy (2.10a) η ( ˙γ) =    ∞, τ ≤ τy τy ˙ γ + K ˙γ n−1_, _{τ > τ} y (2.10b)

Devido ao ponto de descontinuidade no modelo de Bingham, Papanastasiou (1987) desenvolveu um modelo de regularizaç ão exponencial que elimina esta des-continuidade, por ém insere um ´ındice m com unidade de tempo [s]. Este par âmetro determina o crescimento exponencial na Eq. 2.11. Uma vez que é v álido para am-bas regi ões cisalhadas e n ão-cisalhada, por eliminar a descontinuidade do modelo de Bingham e pela sua simplicidade matem ática, selecionou-se o modelo de Papanasta-siou no equacionamento da modelagem num érica do presente trabalho.

η ( ˙γ) = τy

˙γ (1 − exp (−m ˙γ)) + K ˙γ

n−1 _(2.11)

Al ém da apresentaç ão dos modelos reol ógicos, é relevante ao estudo a definiç ão de n úmeros adimensionais para facilitar uma comparaç ão da resoluç ão do problema entre diferentes literaturas (de Souza Mendes, 2007). Sommerfeld (1908) define o

(30)

n ´umero de Reynolds para fluidos newtonianos como sendo:

Re = ρV U

η (2.12)

onde L e V representam um comprimento e uma velocidade caracter´ıstica do pro-blema, respectivamente, e para fluidos newtonianos η ( ˙γ) = µ. Essa relaç ão adimen-sional compara forças inerciais (numerador) com forças viscosas (denominador).

O n úmero de Bingham (Eq. 2.13) correlaciona forças devido à tens ão limite de escoamento (numerador) com forças viscosas (denominador), sendo utilizado como par âmetro no estudo da influ ência de τy no comportamento do escoamento.

Bi = τyL

µV (2.13)

2.4 Caracterizaç ão Reol ógica da Graxa

Devido sua consist ência semi-s ólida, a graxa é o lubrificante preferencial em mancais de rolamento, cerca de 80-90% das aplicaç ões optam por ela. Algumas de suas qualidades s ão: quando aplicada n ão vaza com facilidade; ap ós per´ıodo inicial de trabalho permanece bem distribu´ıda por todo elemento rolante, fornece lubrificaç ão continuamente a todas superf´ıcies em contato e auxilia na proteç ão do rolamento con-tra contaminantes (LUGT; BAART, 2012).

Graxa é um lubrificante de elevada complexidade, sendo formado de um óleo base (65 − 95%), aditivos (0 − 10%) e espessante (3 − 30%) (thickener ). O espessante, mostrado na Figura 2.5, forma um entrelaçamento, armazenando óleo base em seu interior (LUGT; BAART, 2012).

Uma vez que uma parte da graxa é formada a partir de um óleo base, Palacios e Palacios (1984) propuseram a inclus ão da viscosidade deste óleo (ηb) no modelo

HB. Assim, para taxas de cisalhamento ou tens ões de cisalhamento muito elevadas, a viscosidade atuante seria a do pr óprio óleo base. A Eq. 2.10 do fluido HB passa a ser escrita conforme Eq. 2.14.

Este modelo ´e comumente utilizado em trabalhos reol ´ogicos com a graxa (BA-ART; TAYLOR, 2011), (LUGT; BAART, 2012) e (LI et al., 2014).

(31)

Figura 2.5: Fotos da estrutura do espessante da graxa utilizando tr ês t écnicas diferentes de visualizaç ão: SEM (esquerda), AFM (centro) e TEM (direita). Com-primento da figura individual corresponde a 10µm.

Fonte: (COUSSEAU, 2013) τ = τy + K ˙γn+ ηb˙γ (2.14a) η ( ˙γ) =    ∞, τ ≤ τy τy ˙ γ + k ˙γ n−1_{+ η} b, τ > τy (2.14b) ´

E identificado na literatura a exist ência de mecanismos de mudança de com-portamento das propriedades reol ógicas, como degradaç ão do material ap ós subme-tido por per´ıodos de estresse mec ânico (REZASOLTANI; KHONSARI, 2016). Devido o óleo estar retido na estrutura da graxa é estudado tamb ém a migraç ão do óleo da estrutura para regi ões de elevadas taxas de cisalhamento (FRANKEN et al., 2016). Esta caracter´ıstica favorece a boa lubrificaç ão do sistema por ém dificulta estudos acad êmicos.

2.5 S´ıntese do Cap´ıtulo

Atrav és deste cap´ıtulo foi poss´ıvel compreender o funcionamento de selos mec ânicos e quais par âmetros operacionais s ão relevantes. Concluiu-se que a velo-cidade de rotaç ão, assim como tipo de graxa presente no selo s ão relevantes para avaliar a efici ência do selo.

Foram introduzidos conceitos de fluidos newtonianos e n ão-newtonianos as-sim como modelos v álidos para este estudo. Apresentou-se a graxa como formada por um espessante e óleo base. Essa estrutura quando cisalhada apresenta um com-portamento n ão-newtoniano, ou seja, a viscosidade n ão permanece como fator de

(32)

proporcionalidade entre a tens ˜ao aplicada τ com a taxa de cisalhamento ˙γ.

Diversas equac¸ ˜oes constituintes foram relacionadas e com base na literatura adotou-se o fluido HB como a que melhor modela a graxa.

(33)

3 REVIS ˜AO BIBLIOGR ´AFICA

N ão foi encontrado na literatura um estudo semelhante com o aqui proposto. Isso possivelmente est á relacionado ao fato de que empresas de selos e rolamentos considerem estas informaç ões como sigilosas, uma vez que estes estudos s ão rea-lizados para melhoria dos pr óprios produtos. Procurou-se ent ão literaturas referente ao escoamento de fluidos HB em geometrias com condiç ões de contorno e carac-ter´ısticas similares ao problema proposto, como é o caso de escoamentos que apre-sentam regi ões n ão cisalhadas devido a baixas tens ões de cisalhamento. Embora poucos, foram encontrados artigos de estudos experimentais e num éricos sobre o tema do estudo, sendo o primeiro em maior quantidade e qualidade.

Esta seç ão foi dividia em estudos acerca de an álises experimentais do com-portamento reol ógico da graxa e de simulaç ões de fluidos HB em geometrias similares ao problema proposto.

3.1 Estudos Experimentais com Graxa

Westerberg et al. (2010) em seu estudo analisou o escoamento de graxas SKF em placas planas e paralelas utilizando a t écnica de µPIV (metodologia experimental para visualizaç ão do campo vetorial 2D do escoamento em escalas microm étricas) e posteriormente comparou seus resultados com a soluç ão anal´ıtica. Nele Wester-berg et al. (2010) concluiu que o par âmetro n do modelo reol ógico de HB seria o de menor influ ência nas dimens ões da regi ão n ão cisalhada do escoamento, isto é, nas regi ões que a tens ão de cisalhamento é menor do que a tens ão limite de esco-amento (τy). Desta maneira as propriedades τy e K s ão mais relevantes no

levan-tamento das caracter´ısticas do escoamento. Westerberg et al. (2010) levantou um problema na comparaç ão dos dados anal´ıticos com os experimentais, apontando que resultados obtidos em re ômetros podem acabar n ão descrevendo o comportamento reol ógico em outras geometrias. O autor comenta que a soluç ão anal´ıtica com os

(34)

par âmetros reol ógicos do re ômetro n ão replica o perfil de velocidade levantado ex-perimentalmente pelo µPIV. Atrav és deste estudo sabe-se que a comparaç ão entre resultados num éricos da simulaç ão do escoamento em vedantes labirinto pode n ão se assemelhar completamente a resultados experimentais devido diferenças nas pro-priedades reol ógicas reais do escoamento com aquelas levantadas no re ômetro.

Li et al. (2012), motivados pelo escoamento de relubrificaç ão de vedantes, di-rigem um estudo experimental utilizando a t écnica do µPIV em dois canais de escoa-mento unidirecional com restriç ão. Em seu trabalho, Li et al. (2012) notam a exist ência de regi ões n ão cisalhadas (estacion árias) devido ao comportamento viscopl ástico do material. Isto demonstra que cantos formados no selo labirinto potencialmente con-ter ão graxa degradada e contaminada de detritos e que n ão ser á eliminada em proces-sos de relubrificaç ão. Sendo de interesse do presente trabalho avaliar as dimens ões e quantidades de regi ões n ão cisalhadas, al ém de sua relaç ão com as propriedades do fluido HB e com as condiç ões de operaç ão.

Baart e Taylor (2011), utilizando-se novamente da t écnica do µPIV e do mo-delo de HB com viscosidade do óleo base definida conforme Eq. 2.14, analisaram as influ ências de velocidade de rotaç ão do eixo, propriedades reol ógicas da graxa e a temperatura de operaç ão na migraç ão radial de part´ıculas contaminantes. A Fi-gura 3.1 exemplifica o perfil de velocidade do espaçamento formado entre um eixo rotacionando e uma superf´ıcie externa est ática. A Figura 3.2 esquematiza a geome-tria em que os testes foram realizados, enquanto a Figura 3.3 relaciona os perfis de velocidade obtidos para as graxas apresentadas na Tabela 3.1. A geometria utilizada trata-se de um eixo rotacionando internamente de um alojamento.

O modelo referido na Figura 3.3 trata-se de uma soluç ão anal´ıtica corrigida com um fator de pseudoplasticidade (shear thinning) que considera temperatura e propriedades reol ógicas.

Tabela 3.1: Valores para modelo reol ´ogico de graxas SKF NLGI 00, 1 e 2

utiliza-dos no estudo de Baart e Taylor (2011).

τy [Pa] K[Pa·sn] n [-] ηb [Pa·s]

NLGI 00 15 12 0,63 0,89

NLGI 1 260 61 0,42 0,49

NLGI 2 500 8,2 0,63 0,25

O trabalho de Baart e Taylor (2011) demonstra a exist ˆencia de modelos ajus-tados experimentalmente e que podem ser futuramente comparados com o trabalho

(35)

Figura 3.1: Perfil de velocidade t´ıpico para fluidos newtonianos (linha ponti-lhada) e fluidos pseudopl ´asticos (linha cont´ınua).

Fonte: (BAART; TAYLOR, 2011)

Figura 3.2: Esquematizaç ão do teste de escoamento de graxa em restriç ão.

aqui proposto, auxiliando na comprovaç ão da veracidade dos resultados num éricos. No estudo nota-se tamb ém que no escoamento de graxas com maiores valores de τy

(36)

Figura 3.3: Esquematizac¸ ˜ao dos resultado de escoamento da graxa na cavidade

(Figura 3.2) em que US ´e a velocidade da superf´ıcie do eixo.

valores de tens ão limite de escoamento. Esta é uma caracter´ıstica que poder á estar presente no estudo do escoamento atrav és de selos labirinto.

Li et al. (2014) parte do trabalho de Baart e Taylor (2011), por ém foca em ca-vidades menores (espaçamento entre di âmetros de 0, 4mm) de graxa, desenvolvendo uma soluç ão anal´ıtica (Eq. 3.1) de um eixo rotacionando conforme a Figura 3.4. No trabalho concluiu-se que escoamentos radiais com superf´ıcie muito pr óximas podem ser descritos como unidimensionais de acordo com a Eq. 3.1.

uϕ(r) = − r K1/n Z ri r C₁ r2 − τy _n1 dr + ru1 ri (3.1) em que uϕ ´e a velocidade transversal, ui = uϕ(r = ri) onde r ´e definido como

ri < r < ro, onde C1 é determinado atrav és das velocidades de contorno ap ós n

ser especificado.

A Figura 3.5 mostra a validade da soluc¸ ˜ao anal´ıtica encontrada por Li et al.

(2014). Esta abordagem de linearizaç ão do escoamento para geometrias com espaçamentos estreitos (< 0, 4mm) é interessante para o estudo proposto para avaliar se tal proposiç ão de linearidade tamb ém n ão é v álida para escoamento de graxa em vedantes labirinto.

(37)

Figura 3.4: Esquematizac¸ ˜ao de eixo rotacionando internamente com exterior pa-rado.

Fonte: (LI et al., 2014)

Figura 3.5: Comparaç ão entre velocidades experimentais com soluç ão anal´ıtica (Eq. 3.1 para graxa NLGI 00 e espaçamento de 0, 4mm.

Fonte: (LI et al., 2014)

testes na mesma t écnica de visualizaç ão, por ém obtendo velocidades com variaç ão na profundidade de visualizaç ão do escoamento, ou seja, filmando a superf´ıcie F2’ (ver Figura 3.2) em diferentes profundidades perpendicularmente à direç ão r. O es-tudo de Dobrowolski et al. (2016) respalda a dificuldade t écnica para experimentaç ão atrav és do µPIV para profundidades superiores a 0, 8 mm, demonstrando a import ância da continuidade do estudo tamb ém no ambiente num érico.

(38)

3.2 Simulaç ão Num érica de Fluidos HB

Escoamento helicoidal de fluidos n ão-newtonianos foi um tipo de trabalho en-contrado que se assemelha ao estudo de escoamento em selos labirinto. Isto deve-se ao fato de se tratar de um eixo rotacionando internamente a um alojamento. O fluxo vo-lum étrico Q imposto ao espaço anular se assemelha com o processo de relubrificaç ão de graxa nova sendo injetada no mancal.

Fathikalajahi e Javanmardi (1990), Meuric et al. (1998), Hussain e Sharif (2000), Escudier et al. (2002) e Pereira et al. (2010) s ão exemplos de alguns trabalhos interes-santes a respeito deste escoamento helicoidal e com foco no fluido de HB. Todos os autores discorrem sobre o aumento de vaz ão ao longo da geometria com o aumento da velocidade rotacional do eixo para uma mesmo gradiente de press ão. Esta con-clus ão é relevante para o estudo da simulaç ão de selos labirinto uma vez que pode ocorrer o mesmo, ou seja, para maiores velocidades de rotaç ão do eixo existe uma maior vaz ão m ássica de graxa sendo expulsa do mancal atrav és do selo.

Figura 3.6: Esquematizac¸ ˜ao do problema de escoamento helicoidal para fluido HB.

Fonte: (FATHIKALAJAHI; JAVANMARDI, 1990)

Hussain e Sharif (2000) normalizaram a direç ão radial do problema, atrav és da relaç ão R = (r − Ri)/(Ro− Ri), realizando testes num éricos e modelando o fluido

HB atrav ´es do modelo de Papanastasiou (1987). Sendo Ri = 0, 06m, Ro = 0, 12m,

(39)

entre a entrada e a sa´ıda da regi ão anular é mantida em 25 P a/m. Pela Figura 3.7a, nota-se que a velocidade axial aumenta para maiores velocidades angulares ω do eixo. Atrav és da Figura 3.7b, é poss´ıvel notar diminuiç ão da viscosidade com a reduç ão do raio R, devido à taxa de cisalhamento , ˙γ, ser mais elevada mais pr óximo do eixo rotacionando. Durante a simulaç ão de vedantes labirinto ser á poss´ıvel observar com-portamentos semelhantes a estes, isto é, aumento da velocidade axial e reduç ão na viscosidade efetiva, η ( ˙γ), com base no aumento da rotaç ão do eixo.

(a) Variaç ão da velocidade axial. (b) Variaç ão da viscosidade.

Figura 3.7: Influ ência da variaç ão na rotaç ão do eixo na velocidade axial e vis-cosidade um fluido HB.

Fonte: Hussain e Sharif (2000)

O trabalho de Alexandrou et al. (2001), executando simulaç ões com volu-mes finitos e o modelo de Papanastasiou, estudaram o comportamento do fluido HB, atrav és de expans ões e contraç ões. Na Figura 3.8 est á representados em cinza regi ões cisalhadas enquanto as pretas representam locais n ão cisalhados, plug flow. A seç ão (i) retrata o escoamento passando pela restriç ão, enquanto as seç ões (ii) at é (iv) s ão cortes perpendiculares à direç ão do escoamento, sendo antes e logo ap ós o

(40)

estrangulamento e ap ós atingir o desenvolvimento completo, respectivamente. Pela Fi-gura 3.8a nota-se que as regi ões n ão cisalhadas diminuem fracamente com o aumento do Re e enquanto pela Figura 3.8b observa-se que a regi ão n ão cisalhada aumenta significativamente com o aumento de de Bi. Isso leva a conclus ão de que o n úmero de Bi é mais significativo nas dimens ões das regi ões n ão cisalhadas, poss´ıveis locais de acumulaç ão de graxa degradada e contaminada nos vedantes labirinto. Esta con-clus ão é importante para futuros testes num éricos variando as condiç ões do sistema, como par âmetros reol ógicos e velocidade de rotaç ão do eixo. Uma comparaç ão entre escoamentos com Bi variados permitiria concluir a influ ência da composiç ão da graxa nas caracter´ısticas globais do escoamento.

(a) Escoamento com variaç ão do n úmero de Re para Bi = 1, 0.

(b) Escoamento com variaç ão do n úmero de Bi para Re = 1, 0.

Figura 3.8: Influ ência na regi ão n ão cisalhada para com base em variaç ões dos

n ´umeros de Re e Bi.

(41)

3.3 S´ıntese da Revis ˜ao Bibliogr ´afica

O trabalho atual se enquadra na literatura utilizando modelos j á consolidados e em geometria similar j á estudadas por ém aplicado a uma situaç ão-problema em que a modelagem num érica é necess ária devido dificuldades apresentadas na coleta de dados experimentais.

Foi poss´ıvel notar a falta de trabalhos num éricos referentes a este tema, sendo que a grande maioria est á voltada para simulaç ão em vedantes labirintos de tur-bom áquinas, os quais n ão s ão preenchidos com graxa.

Foi mostrado que a graxa é modelada como HB em diversos artigos, assim como a utilizaç ão de graxas SKF com propriedades reol ógicas j á conhecidas e que podem ser tomadas como base.

Embora uma geometria similar ao do labirinto n ão tenha sido encontrada, o problema de escoamento helicoidal é abordado na literatura. Neste foi demonstrado que uma variaç ão tanto na velocidade de rotaç ão do eixo como nas propriedades reol ógicas do material influenciam no escoamento. Devido sua similaridade com o estudo proposto, pode-se realizar variaç ões similares de modo a aguardar conclus ões parecidas.

(42)

4 MODELAGEM MATEM ´ATICA

4.1 Descric¸ ˜ao do Problema

Nota-se na literatura aus ência de discuss ão sobre as diferenças entre as ge-ometrias de labirintos, assim como as vantagens e desvantagens na escolha entre os montados axialmente e radialmente, conforme a Figura 4.1. Al ém desta relaç ão, percebe-se falta de explicaç ão ao projetista sobre qual graxa é mais adequada a cada situaç ão.

No Anexo D, t êm-se a informaç ão de cat álogo da empresa NTN que selos labirintos axiais possuem uma efici ência maior quando comparado com selos radiais, por ém novamente sem justificativa. Pretende-se aqui compreender as diferenças entre as geometrias e justificar os fen ômenos f´ısicos que embasam esta afirmaç ão. Vale ressaltar que o presente trabalho segue a nomenclatura da empresa SKF, conforme Figura 4.1, enquanto a empresa NTN possui a nomenclatura invertida, Anexo D.

Conforme Anexo D a efici ˆencia de um selo labirinto pode ser compreendida como:

• Impedir perda de lubrificante para o ambiente externo; • Prevenir entrada de contaminantes do ambiente externo; • Baixa perda de quantidade de movimento por atrito viscoso.

´

E poss´ıvel relacionar estes quesitos de efici ência em uma comparaç ão entre labirintos axiais e radias com os seguintes requisitos do escoamento da graxa:

• Impedir perda de lubrificante para o ambiente externo:

Para uma dada diferença de press ão entre a entrada e sa´ıda do labirinto, o mais eficiente apresenta menor vaz ão m ássica.

(43)

(a) Selo SKF montado radialmente ao eixo. (b) Selo SKF montado axialmente ao eixo. Figura 4.1: Comparac¸ ˜ao entre selos labirintos montados radialmente e axial-mente ao eixo.

Fonte: http://www.skf.com/group/products/bearings-units-housings/ball-

bearings/principles/design-considerations/sealing-solutions/external-seals/non-contact-seals/index.html - acessado 25/10/2017

• Prevenir entrada de contaminantes do ambiente externo:

Para uma dada diferença de press ão entre a entrada e sa´ıda do labirinto, aquele que resultar em menor vaz ão m ássica de graxa com variaç ão da rotaç ão é mais eficiente. Devido aplicaç ão de selos sem contato em altas rotaç ões, a avaliaç ão de sua efici ência com base na velocidade de rotaç ão é importante. • Baixa perda por atrito viscoso:

Aquele que possui menor perda de momento por atrito com as mesmas condiç ões de contorno é mais eficiente.

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E poss´ıvel presumir que para determinadas medidas geom étricas e condiç ões de operaç ão, um labirinto radial venha a possuir o mesmo valor de vaz ão m ássica que um selo axial. Contudo, com a variaç ão da rotaç ão o comportamento do escoamento seja alterado devido a geometria e como consequ ência anule a igualdade antes en-contrada entre dois labirintos com montagens diferentes. O segundo requisito citado acima busca eliminar o risco de tal eventualidade.

4.1.1 Especificac¸ ˜ao das Geometrias

Infelizmente empresas fabricantes de selos como a SKF, SNR e NTN n ˜ao detalham as dimens ˜oes dos selos a ponto de permitir recriar a geometria. Partindo de

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informaç ões contidas em cat álogos destas empresas, Anexo A, D, C, e B foi poss´ıvel formular uma geometria similar.

A Tabela 4.1 representa as informaç ões quanto aos espaçamentos radiais e axiais considerado.

Tabela 4.1: Espac¸amento recomendado pela empresa NTN para vedantes labi-rinto conforme Anexo D.

Ø do eixo Espaçamento [mm] Direç ão radial Direç ão axial At é 50 mm 0,2 - 0,4 1,0 - 2,0 50 - 200 mm 0,5 - 1,0 3,0 - 5,0

Optou-se por um eixo de Ø = 50 mm porque esta geometria pode ser usada para representar uma diversidade de situaç ões maior do que com valores nos extre-mos, como por exemplo em Ø = 200 mm. Ou seja, ser v álida para um maior n úmero de aplicaç ões de selo labirinto. Embora a Tabela 4.1 especifique espaçamentos mai-ores na direç ão axial, mantendo-se fixo em h = 0, 75 mm o espaçamento do labirinto para ambas as direç ões, axial e radial, faz-se poss´ıvel uma comparaç ão mais real da influencia do posicionamento da montagem do selo, sendo ele radial ou axial. Partindo desta informaç ão foi poss´ıvel tomar como base valores apresentados por K ümmel e Werner (2010) em Bosch et al. (2017), conforme mostra a Figura 4.2, que considera o espaçamento constante.

Figura 4.2: Valores de refer ˆencia para geometrias de vedantes labirinto.

Fonte: (K ¨UMMEL; WERNER, 2010) referenciado em (BOSCH et al., 2017)

Com o objetivo de avaliar o efeito das curvaturas dos labirintos, optou-se neste trabalho por manter o per´ımetro da seç ão do labirinto constante e variar o n úmero de

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curvaturas presentes. Al ém disso, a direç ão da montagem, axial ou radial tamb ém é avaliada.

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(a) Visualizac¸ ˜ao transversal das geometrias de selos labirintos axiais abordados.

(b) Visualizac¸ ˜ao transversal das geometrias de selos labirintos radiais abor-dados.

Figura 4.3: Geometria representativa de labirintos axiais e radiais focos do es-tudo. (Linha azul: representaç ão do alojamento, estacion ário; linha preta e regi ão hachurada: representaç ão do eixo e parte do labirinto que rotaciona aco-plado ao eixo; linha verde: representaç ão da entrada e sa´ıda da graxa (axial:

entrada à esquerda, radial: entrada na face pr óxima ao eixo de rotaç ão) e linha

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4.1.2 Condic¸ ˜oes de Contorno

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E poss´ıvel identificar que o problema é sim étrico e 2D em relaç ão ao eixo de rotaç ão, assim como j á abordado por outros autores como Westerberg et al. (2017) e Baart e Taylor (2011). Uma superf´ıcie rotaciona com a velocidade do eixo (linha preta Figura 4.3) a outra encontra-se estacion ária por estar fixada no corpo do mancal (linha azul da Figura 4.3).

O trabalho num érico de Westerberg et al. (2017) considera as regi ões de en-trada e sa´ıda de graxa (linhas verdes da Figura 4.3) como parede. Por ém consultando trabalhos experimentais de Dobrowolski et al. (2016), Bosch et al. (2017) e K ümmel e Werner (2010) e o cat álogo da SKF no Anexo B notou-se a import ância de conside-rar o labirinto aberto ao ambiente devido ser este o fator que ir á influenciar a entrada de contaminantes. Esta consideraç ão pode ser implementada numericamente tanto por diferença de press ão ou por vaz ão m ássica de graxa imposta entre a entrada e sa´ıda do labirinto. Como nota-se pelo Anexo B, os valores de vaz ão de graxa de relubrificaç ão s ão na ordem de 1, 08 · 10−7 kg/s, a ponto de serem inferiores ao erro num érico considerado. Considerou-se ent ão que o mesmo efeito de abertura ao am-biente pode ser modelado como a imposiç ão de uma diferença de press ão que resulte em valores de vaz ão maiores do que o erro num érico obtido.

Tendo em vista essa informaç ão, pode-se relacionar cada regi ão da geometria com as poss´ıveis condiç ões de contorno a serem implementadas:

• Entrada de graxa:

1. regi ão de entrada de graxa da parte interna do mancal (valores de refer ência em gramas/h informado pela empresa SKF apresentados no Anexo B); 2. diferença de press ão em relaç ão com superf´ıcie de sa´ıda da graxa;

3. superf´ıcie estacion ária com n ão-escorregamento para casos sem influ ência do ambiente externo.

• Sa´ıda de graxa:

1. diferença de press ão em relaç ão com superf´ıcie de entrada da graxa; 2. superf´ıcie estacion ária com n ão-escorregamento para casos sem influ ência

do ambiente externo. • Superf´ıcie rotacionando:

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1. superf´ıcie acoplada ao eixo e rotacionando na mesma velocidade angular; • Superf´ıcie estacion ´aria:

1. superf´ıcie acoplada ao corpo do mancal e parada em relaç ão ao eixo; • Regi ão interna:

1. completamente preenchida com graxa.

Embora as dimens ões e quantidade das reentr âncias que formam a geometria do labirinto possam variar dependendo do modelo analisado as quatro C.C. permane-cem aplicadas aos mesmos locais e com a mesma representaç ão f´ısica do modelo real.

4.1.3 Propriedades dos Fluidos

Assim como utilizada em diversos estudos como de Bosch et al. (2017), Do-browolski et al. (2016), Baart e Taylor (2011), as graxas SKF NLGI 00, NLGI 1 e NLGI 2 apresentadas na Tabela 4.2 s ˜ao utilizadas no presente trabalho.

A vantagem na comparaç ão entre estas graxas est á por possibilitar diferenciar escoamento entre uma graxa de comportamento reol ógico newtoniano como a NLGI 00 e outra com elevado valor na tens ão limite de escoamento como a NLGI 2.

Tabela 4.2: Valores para modelo reol ´ogico de graxas SKF NLGI 00, 1 e 2.

Graxa SKF τy [Pa] K[Pa·sn] n [-] ρg [kg/m3]

NLGI 00 0 1,85 1 890

NLGI 1 189 4,1 0,797 910

NLGI 2 650 20,6 0,605 930

Fonte: (WESTERBERG et al., 2017)

4.1.4 Hip ´oteses

Al ém das C.C. explicadas, deve-se considerar as seguintes hip óteses a serem inclu´ıdas na modelagem num érica que determinar ão as equaç ões finais que dever ão ser resolvidas numericamente:

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2. Escoamento isot ´ermico; 3. Regime permanente;

4. Propriedades do fluido (com excec¸ ˜ao da viscosidade) permanecem constante; 5. Viscosidade varia com a taxa de cisalhamento ( ˙γ);

6. Problema 2D sim étrico em relaç ão ao eixo de rotaç ão com velocidade de circun-ferencial, uθ (axisymmetric swirl).

4.2 Modelagem Matem ´atica

Toda modelagem num érica do trabalho est á concentrada no m étodo de volu-mes finitos (finite volume method ) e resolvida utilizando o software comercial da em-presa ANSYS, o FLUENT vers ão 16.0. Esta metodologia possibilita a discretizaç ão de equaç ões diferenciais parciais, como a conservaç ão da quantidade de movimento e da massa.

Consierando o escoamento como estacion ário (∂/∂t = 0) e em coordenadas cil´ındricas sim étricas em relaç ão ao eixo de rotaç ão e a rotaç ão axissim étrica, as equaç ões da conservaç ão da massa podem ser escritas como as Eq. 4.1 e Eq. 4.2, respectivamente. 1 r ∂ ∂r (rur) + ∂uz ∂z = 0 (4.1) ρ ur ∂ur ∂r − uθ2 r + uz ∂ur ∂z = −∂p ∂r + ρgr+ 1 r ∂ (rτrr) ∂r + ∂τrz ∂z (4.2a) ρ ur ∂uθ ∂r − uruθ r + uz ∂uθ ∂z = 1 r ∂ (rτrθ) ∂r + ∂τθz ∂z (4.2b) ρ ur ∂uz ∂r + uz ∂uz ∂z = −∂p ∂z + ρgz + 1 r ∂ (rτrz) ∂r + ∂τzz ∂z (4.2c)

Desta maneira o escoamento é resolvido no plano r x z, por ém com a extrapolaç ão para soluç ão de uθ neste plano.

Substituindo a relaç ão de fluidos newtonianos generalizados na Eq. 4.2, obt êm-se as equaç ões da conêm-servaç ão da quantidade de movimento no êm-seguinte formato:

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ρ ur ∂ur ∂r − uθ2 r + uz ∂ur ∂z = −∂p ∂r + ρgr+ η ∂ ∂r 1 r ∂ ∂r(rur) + ∂ 2_u r ∂z2 (4.3a) ρ ur ∂uθ ∂r − uruθ r + uz ∂uθ ∂z = η ∂ ∂r 1 r ∂ ∂r (ruθ) +∂ 2_u θ ∂z2 (4.3b) ρ ur ∂uz ∂r + uz ∂uz ∂z = −∂p ∂z + ρgz+ η ∂ ∂r 1 r ∂ ∂r(ruz) +∂ 2_u z ∂z2 (4.3c) 4.2.1 Discretizac¸ ˜ao

O teorema de diverg ência de Gauss apresentado na Eq. 4.4 afirma que a in-tegral do divergente do vetor velocidade em um volume de controle pode ser resolvido como integral de linha do fluxo F pela superf´ıcie S, o que lança base para discretizaç ão das equaç ões de conservaç ão de massa e quantidade de movimento (MOUKALLED et al., 2016). Z V (∇· F ) dV = I S (F · n) dS (4.4)

Considerando a malha 2D regular apresentada na Figura 4.4, ´e poss´ıvel dis-cretizar as Eqs. 4.3 integrando o elemento central P com o teorema de Gauss.

Integrando as Eqs. 4.2 e 4.3 no volume P de controle da Figura 4.4, obt ˆem-se respectivamente: Z ∆V 1 r ∂ ∂r (rur) + ∂uz ∂z r drdθdz = 0 (4.5)

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Figura 4.4: Representaç ão da discretizaç ão em volumes finitos com

identificaç ão dos pontos utilizados na aproximaç ão num érica. (Mai úsculas

re-presentam pontos no centro do volume, min ´usculas nomeiam faces de volumes.

P: volume central da discretizac¸ ˜ao, N : norte, S: sul, W : oeste, E: leste, N N :

extremo-norte, N W : norte-oeste, N E: norte-leste, W W : extremo-oeste, EE: extremo leste, SS: extremo-sul, SW : sul-oeste e SE: sul-leste)

Fonte: Autoria pr ´opria.

Z ∆V ρ ur ∂ur ∂r − uθ2 r + uz ∂ur ∂z r drdθdz = Z ∆V −∂p ∂r + ρgr+ η ∂ ∂r 1 r ∂ ∂r(rur) + ∂ 2_u r ∂z2 r drdθdz (4.6a) Z ∆V ρ ur ∂uθ ∂r − uruθ r + uz ∂uθ ∂z r drdθdz = Z ∆V η ∂ ∂r 1 r ∂ ∂r(ruθ) + ∂ 2_u θ ∂z2 r drdθdz (4.6b) Z ∆V ρ ur ∂uz ∂r + uz ∂uz ∂z r drdθdz = Z ∆V −∂p ∂z + ρgz+ η ∂ ∂r 1 r ∂ ∂r (ruz) +∂ 2_u z ∂z2 r r drdθdz (4.6c)

Aplicando-se as discretizaç ões selecionadas para este problema, a serem lis-tadas na seç ão adiante, e considerando que os termos de velocidades ur, uθ, uz e p0

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(correç ão da press ão) podem ser representados genericamente por um escalar φ. A integraç ão em um volume P pode ser escrita resumidamente como:

aI,JφI,J =

X

anbφnb+ bI,J (4.7)

A Eq. 4.7 resulta em uma matriz esparsa de orientaç ão diagonal, no caso de uma discretizaç ão de primeira ordem trata-se de uma matriz pentadiagonal contendo a conectividade de fluxo entre os volumes vizinhos imediatos de P .

Partindo-se desta discretizaç ão é poss´ıvel desenvolver o procedimento de soluç ão para equaç ões acopladas.

O software comercial utilizado para resoluç ão das equaç ões apresenta o con-trole da satisfaç ão da soluç ão num érica da Eq. 4.7, apresentado na Eq. 4.8.

Rφ= P cell I,J,K| P nbanbφnb+ b − aI,J,KφI,J,K| P

cell I,J,K|aI,J,KφI,J,K|

(4.8) em que Rφ _{representa o res´ıduo da resoluç ão da equaç ão para uma vari ável}

qual-quer φ, como por exemplo as velocidades ur, uθ e uz. O controle do res´ıduo auxilia a

compreender a estabilidade num ´erica do problema iniciado no software.

4.3 M ´etodo Num ´erico

Infelizmente o sistema de equaç ões de conservaç ão de massa e quantidade de movimento ap ós discretizadas n ão resulta em um sistema linear devido a press ão estar contida nas equaç ões de quantidade de movimento, al ém da n ão linearidade presente no termo de aceleraç ão da equaç ão de conservaç ão da quantidade de mo-vimento. De modo a contornar este problema e resolver o sistema, Patankar (1980) prop õe o m étodo de soluç ão de equaç ões acopladas SIMPLE (Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equations). O m étodo consiste de um processo iterativo para que atrav és de sucessivas correç ões na press ão resultem em campos de velocidade que satisfaçam a conservaç ão da massa e assim solucionando as equaç ões aco-pladas. Diversas literaturas como Moukalled et al. (2016), Versteeg e Malalasekera (2007) e LeVeque (2002) podem ser consultadas para detalhamento do m étodo e suas vari âncias como o SIMPLEC, SIMPLER, PISO, entre outros. Devido o m étodo SIMPLEC ser o que mant ém maior parte da equaç ão da conservaç ão da quantidade de movimento para a correç ão da press ão, foi o utilizado no presente trabalho.

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Escolheu-se a discretizaç ão QUICK (Quadratic Upstream Interpolation for Con-vective Kinematics) para termos convectivos por ser de terceira ordem, isto é, aumen-tar a conectividade entre os volumes resultando em uma melhor captura das variaç ões de propriedades f´ısicas do fluido. Isto é feito devido as interfaces de regi ões com tens ões abaixo e acima da tes ão cr´ıtica de cisalhamento, τy, serem inst áveis

numeri-camente devido elevada taxa de variac¸ ˜ao na viscosidade.

O modelo de Papanastasiou é implementado no software atrav és de uma funç ão definida pelo usu ário (User Defined Equations, UDF) conforme descrito no Ap êndice A.

A Tabela 4.3 resume como as hip óteses f´ısicas e condicionamento da soluç ão num érica foi implementada no software do presente estudo. A implementaç ão num érica no software FLUENT v16.0 do modelo est á descrita no Ap êndice A.

Tabela 4.3: Implementaç ão das hip óteses e condiç ões de contorno no software

de resoluç ão das equaç ões do estudo.

Grupo Escolha no FLUENT

Solver

Baseado na press ˜ao Velocidade absoluta

Espac¸o 2D axissim ´etrico com velocidade uθ

Fluido Implementado com UDF Acoplamento press ˜ao-velocidade SIMPLEC

Discretizac¸ ˜ao espacial

Gradiente: c ´elulas baseadas em m´ınimos quadrados Press ˜ao: segunda ordem

Conservac¸ ˜ao quantidade de movimento: QUICK Velocidade uθ: QUICK

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5 RESULTADOS

5.1 Verificac¸ ˜ao do Modelo

A regi ão de escoamento laminar desenvolvido de um fluido HB atrav és de duas placas planas e paralelas submetidas a uma diferença de press ão foi obtida atrav és de soluç ão num érica e anal´ıtica. Isto é feito de maneira a comparar a efic ácia da implementaç ão num érica do modelo Papanastasiou.

5.1.1 Descric¸ ˜ao de um Problema Simples

A Figura 5.1 esquematiza a geometria de placas paralelas juntamente com a aplicaç ão da diferença de press ão entre extremidades. O comprimento assume valor de L = 49 mm e a altura h = 1, 5 mm. Optou-se por impor tr ês n´ıveis de press ão no problema de modo a observar o comportamento da soluç ão num érica, variando de p = 30, 140 e 240 kP a. O fluido considerado trata-se das j á descritas graxas NLGI 00, 1 e 2. Em todos os casos, o n úmero de Reynolds permanece inferior a Re < 1, regime laminar. Nestas condiç ões o n úmero de Bingham atinge menores do que Bi < 60.

Figura 5.1: Geometria de placas planas e paralelas com condic¸ ˜oes de contorno.