Notas de aula Calculo I TCE

(1)

Calculo Diferencial e Integral I

SANTA INÊS 2015

(2)

1 Calculo de Limites e Continuidade 4

1.1 Noção Intuitiva de Limite . . . 4

1.2 Definição de Limite . . . 5

1.2.1 Propriedades dos Limites de uma função . . . 6

1.2.2 Exercícios Propostos . . . 10

1.3 Limites Laterais . . . 12

1.4 Limites Infinitos . . . 16

1.4.2 Propriedades dos limites infinitos . . . 20

1.5 Limites no Infinito . . . 23

1.5.2 Propriedades dos limites no infinito . . . 29

1.6 Limites Especiais . . . 31

1.6.1 Limites trigonométricos . . . 32

1.6.3 Limite exponencial fundamental . . . 33

1.6.4 Exercícios Propostos . . . 34 1.7 Continuidade . . . 35 1.7.1 Exercícios Propostos . . . 37 2 Derivadas 38 2.1 Introdução . . . 38 2.2 Reta Tangente . . . 38 2.2.1 Razão incremental . . . 39 2.3 Definição de Derivada . . . 40

2.3.1 Equação da Reta Tangente . . . 41

2.4 Regras de Derivação . . . 44

2.5 Derivadas Elementares . . . 45

2.6 Derivadas de Produtos e Quocientes de funções . . . 46

2.6.1 Derivada do Produto . . . 46

2.6.2 Derivada do Quociente . . . 47

(3)

2.7 Derivadas Sucessivas . . . 50 2.8 Regra de L´hospital . . . 51 2.8.1 Exercícios Propostos . . . 54 3 Integrais 55 3.0.2 Primitivas . . . 55 3.0.3 Exercícios Propostos . . . 58 3.1 A integral Definida . . . 58 3.1.1 Exercícios Propostos . . . 59 4 Aplicações da Integral 60 4.1 Integrais Impróprias . . . 60

4.1.1 Limites infinitos de integração . . . 60

4.1.2 Integrandos com assíntotas verticais . . . 63

4.1.3 Exercícios Propóstos . . . 65

4.2 Comprimento de arco de uma curva . . . 66

4.3 Área de uma região Plana . . . 70

4.4 Volume de um sólido de Revolução . . . 76

4.5 Área de uma superfície de Revolução . . . 83

(4)

Calculo de Limites e Continuidade

1.1 Noção Intuitiva de Limite

Seja a função

𝑓 (𝑥) = 2𝑥

2_{− 𝑥 − 1}

𝑥 − 1 (1.1.1)

definida para todo 𝑥 real e 𝑥 ̸= 1. O leitor deve perceber que esta função não está definida para

𝑥 = 1, pois caso isto ocorra, teremos;

𝑓 (1) = 2.1 2_{− 1 − 1} 1 − 1 = 0 0 = @

Como vimos, não existe valor para 𝑓 (1) pois chegamos a uma indeterminação 0₀, haja visto que não é possível efetuar uma divisão por zero. Mais o que o leitor pensaria se lhe fosse dito que o valor de 𝑓 (1) pode ser calculado, mais ainda, que 𝑓 (1) = 3?

O estudo de limites é capaz de calcular valores de funções mesmo em pontos que elas não estejam determinadas, e de uma maneira razoavelmente simples, a idéia original é a seguinte, para descobrirmos 𝑓 (1) nesta função devemos estudar os valores da função 𝑓 quando 𝑥 assume valores próximos de 1, mas diferentes de 1. Vejamos

Atribuindo a 𝑥 valores próximos de 1, porém menores que 1, temos:

(5)

Se atribuirmos a 𝑥 valores próximos de 1, porém maiores que 1, temos

Observemos em ambas as tabelas que, quando 𝑥 se aproxima cada vez mais de 1, 𝑓 (𝑥) aproxima-se cada vez mais de 3, isto é, quanto mais próximo de 1 estiver 𝑥, tanto mais próximo de 3 estará

𝑓 (𝑥).

Notemos na primeira tabela que:

𝑥 = 0, 9 ⇒ 𝑓 (𝑥) = 2, 8, isto é,𝑥 − 1 = −0, 1 ⇒ 𝑓 (𝑥) − 3 = −0, 2 𝑥 = 0, 99 ⇒ 𝑓 (𝑥) = 2, 98, isto é,𝑥 − 1 = −0, 01 ⇒ 𝑓 (𝑥) − 3 = −0, 02 𝑥 = 0, 999 ⇒ 𝑓 (𝑥) = 2, 998, isto é,𝑥 − 1 = −0, 001 ⇒ 𝑓 (𝑥) − 3 = −0, 002

e a segunda tabela nos mostra que:

𝑥 = 1, 1 ⇒ 𝑓 (𝑥) = 3, 2, isto é,𝑥 − 1 = 0, 1 ⇒ 𝑓 (𝑥) − 3 = 0, 2 𝑥 = 1, 01 ⇒ 𝑓 (𝑥) = 3, 02, isto é,𝑥 − 1 = 0, 01 ⇒ 𝑓 (𝑥) − 3 = 0, 02 𝑥 = 1, 001 ⇒ 𝑓 (𝑥) = 3, 002, isto é,𝑥 − 1 = 0, 001 ⇒ 𝑓 (𝑥) − 3 = 0, 002

portanto, pelas duas tabelas vemos que: |𝑥 − 1| = 0, 1 ⇒ |𝑓 (𝑥) − 3| = 0, 2

|𝑥 − 1| = 0, 01 ⇒ |𝑓 (𝑥) − 3| = 0, 02 |𝑥 − 1| = 0, 001 ⇒ |𝑓 (𝑥) − 3| = 0, 002

Observemos que podemos tornar 𝑓 (𝑥) tão próximo de 3 quanto desejarmos, bastando para isso tomarmos x suficientemente próximo de 1. Isso equivale a dizer que:

lim

𝑥↦→1

2𝑥2_{− 𝑥 − 1}

𝑥 − 1 = 3 (1.1.2)

A linguagem utilizada até aqui não é uma linguagem matemática, pois ao dizermos "|𝑓 (𝑥) − 3| tão pequeno quanto desejarmos"e "|𝑥 − 1| suficientemente pequeno", não sabemos quantificar o quão pequenas devem ser essas diferenças.

A matemática usa símbolos para indicar essas diferenças pequenas. Os símbolos usualmente são 𝜀 (épsilon) e 𝛿 (delta).

1.2 Definição de Limite

Definição 1.2.1. Seja I um intervalo aberto ao qual pertence o número real 𝑎. Seja 𝑓 uma função definida para 𝑥 ∈ 𝐼 − {𝑎}. Dizemos que o limite de 𝑓 (𝑥), quando 𝑥 tende a 𝑎, é 𝐿 e escrevemos lim

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em símbolos, temos lim

𝑥↦→𝑎𝑓 (𝑥) = 𝐿 ⇔ (∀ 𝜀 > 0, ∃ 𝛿 > 0 / 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 ⇒ |𝑓 (𝑥) − 𝐿| < 𝜀)

O estudante deste curso deve atentar-se que a equação acima é de suma importância para o estudo de Limites, porém por esta tem sua maior importância para o curso de Matemática, por isso não a estudaremos de maneira mais profunda, isso fica portanto como uma atividade extra aos estudantes que acharem que isso se faz necessário.

É importante observarmos ainda que, nesta definição que nada é mencionado sobre o valor da função quando 𝑥 = 𝑎, isto é, não é necessário que a função esteja definida em 𝑎. Assim, no exemplo que vimos em (1.1) poderíamos resolvê-lo assim;

lim 𝑥↦→1 2𝑥2_{− 𝑥 − 1} 𝑥 − 1 = lim𝑥↦→1 (2𝑥 + 1)(𝑥 − 1) (𝑥 − 1) = lim𝑥↦→1(2𝑥 + 1) = 3 (1.2.1)

Podemos perceber que o valor encontrado foi o mesmo que quando atribuímos valores próximos a 1, o que fizemos agora foi aplicar uma técnica de calculo de limites, bem menos trabalhosa do que a primeira, esta e outras técnicas serão vistas posteriormente.

1.2.1 Propriedades dos Limites de uma função

1ª Propriedade - Limite da Constante

Se 𝑐 ∈ R e 𝑓 é uma função definida por 𝑓 (𝑥) = 𝑐, para todo 𝑥 real, então lim

𝑥↦→𝑎𝑐 = 𝑐.

Ex: lim

𝑥↦→23 = 3

2ª Propriedade - Limite da constante multiplicada Se 𝑐 ∈ R e lim

𝑥↦→𝑎𝑓 (𝑥) = 𝐿, então 𝑙𝑖𝑚𝑥↦→𝑎(𝑐.𝑓 (𝑥)) = 𝑐. lim𝑥↦→𝑎𝑓 (𝑥) = 𝑐.𝐿

Ex: lim

𝑥↦→2(3𝑥) = 3. lim𝑥↦→2(𝑥) = (3)(2) = 6

3ª Propriedade - Limite da soma Se lim

𝑥↦→𝑎𝑓 (𝑥) = 𝐿 e lim𝑥↦→𝑎𝑔(𝑥) = 𝑀 , então lim𝑥↦→𝑎(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝐿 + 𝑀

Ex: Como lim 𝑥↦→−1𝑥 3 _{= −1 e lim} 𝑥↦→−1 √ −𝑥 = 1 então lim 𝑥↦→−1𝑥 3₊√_{−𝑥 = −1 + 1 = 0}

(7)

4ª Propriedade - Limite da diferença Se lim

𝑥↦→𝑎𝑓 (𝑥) = 𝐿 e lim𝑥↦→𝑎𝑔(𝑥) = 𝑀 , então lim𝑥↦→𝑎(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 𝐿 − 𝑀

Ex: Como lim 𝑥↦→4𝑥 2 _{= 16 e lim} 𝑥↦→43𝑥 = 12 então lim𝑥↦→4𝑥 2_{− 3𝑥 = 16 − 12 = 4}

5ª Propriedade - Limite do produto Se lim

𝑥↦→𝑎𝑓 (𝑥) = 𝐿 e lim𝑥↦→𝑎𝑔(𝑥) = 𝑀 então lim𝑥↦→𝑎(𝑓.𝑔)(𝑥) = 𝐿.𝑀

Ex: Como lim 𝑥↦→4𝑥 = 4 e lim𝑥↦→4 √ 𝑥 = 2 então lim 𝑥↦→4 √ 𝑥3 _{= 4.2 = 8}

6ª Propriedade - Limite da potência Se lim

𝑥↦→𝑎𝑓 (𝑥) = 𝐿, então lim𝑥↦→𝑎(𝑓 )

𝑛_{(𝑥) = 𝐿}𝑛_{, com n pertencente aos naturais}

Ex:

Como lim

𝑥↦→−1𝑥 = −1 então lim𝑥↦→−1𝑥

4 _{= (−1)}4 _{= 1}

7ª Propriedade - Limite do quociente Se lim

𝑥↦→𝑎𝑓 (𝑥) = 𝐿 e lim𝑥↦→𝑎𝑔(𝑥) = 𝑀 ̸= 0, então lim𝑥↦→𝑎( 𝑓 𝑔)(𝑥) = 𝐿 𝑀. Ex: Como lim

𝑥↦→𝜋sin 𝑥 = 0 elim𝑥↦→𝜋cos 𝑥 = 1 então lim𝑥↦→𝜋(

sin 𝑥

cos 𝑥) = lim𝑥↦→𝜋(tan 𝑥) =

0 1 = 0

8ª Propriedade - Limite da raiz Se lim

𝑥↦→𝑎𝑓 (𝑥) = 𝐿 então lim𝑥↦→𝑎

𝑛

√︁

𝑓 (𝑥) = [𝑛]√𝐿 com 𝐿 ≥ 0𝑒𝑛 pertencente ao conjunto dos naturais

ou 𝐿 < 0 e 𝑛 é ímpar. Ex: Como lim 𝑥↦→9𝑥 = 9 então lim𝑥↦→9 √ 𝑥 =√︁ lim 𝑥↦→9𝑥 = √ 9 = 3.

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Exercícios Resolvidos 1. Calcule os limites abaixo

a) lim 𝑥↦→2(3𝑥 2_{− 5𝑥 + 2)} b) lim 𝑥↦→−1 𝑥2_+2𝑥−3 4𝑥−3 c) lim 𝑥↦→1( 2𝑥2_−𝑥+1 3𝑥−2 ) 2 d) lim 𝑥↦→−2 3 √︁ 𝑥3_+2𝑥2_−3𝑥+2 𝑥2_+4𝑥+3 e) lim 𝑥↦→2 𝑥2₋₄ 𝑥2_−2𝑥

2. Seja a função 𝑓 definida por:

𝑓 (𝑥) = ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 𝑥2_{− 3𝑥 + 2} 𝑥 − 1 se 𝑥 ̸= 1 3 se 𝑥 = 1 Calcule lim 𝑥↦→1𝑓 (𝑥)

(9)

3. Calcule os limites: a) lim 𝑥↦→1 2𝑥3_+𝑥2_−4𝑥+1 𝑥3_−3𝑥2_+5𝑥−3 b) lim 𝑥↦→1 3𝑥3−4𝑥2_−𝑥+2 2𝑥3_−3𝑥2₊₁ c) lim 𝑥↦→3 √ 1+𝑥−2 𝑥−3 d) lim 𝑥↦→2 √ 3𝑥−2−2 √ 4𝑥+1−3

(10)

1.2.2 Exercícios Propostos

1. Calcule os seguintes limites: a) lim 𝑥↦→1(4𝑥 2_{− 7𝑥 + 5)} b) lim 𝑥↦→−1(𝑥 3_{− 2𝑥}2_{− 4𝑥 + 3)} c) lim 𝑥↦→2 3𝑥+2 𝑥2_−6𝑥+5 d) lim 𝑥↦→−1 3𝑥2_−5𝑥+4 2𝑥+1 e) lim 𝑥↦→−3 𝑥2_+2𝑥−3 5−3𝑥 f) lim 𝑥↦→2( 3𝑥2_−2𝑥−5 −𝑥2_+3𝑥+4)3 g) lim 𝑥↦→4( 𝑥3_−3𝑥2_−2𝑥−5 2𝑥2_−9𝑥+2 )2 h) lim 𝑥↦→−1 √︁ 2𝑥2_+3𝑥−4 5𝑥−4 i) lim 𝑥↦→−2 3 √︁ 3𝑥3_−5𝑥2_−𝑥+2 4𝑥+3 j) lim 𝑥↦→2 √ 2𝑥2_+3𝑥+2 6−4𝑥 2. Calcule os limites: a) lim 𝑥↦→1 𝑥2₋₁ 𝑥−1 b) lim 𝑥↦→−2 4−𝑥2 2+𝑥 c) lim 𝑥↦→3₂ 4𝑥2₋₉ 2𝑥−3 d) lim 𝑥↦→3 𝑥2_−4𝑥+3 𝑥2_−𝑥−6 e) lim 𝑥↦→1₂ 2𝑥2_+5𝑥−3 2𝑥2_−5𝑥+2 f) lim 𝑥↦→−3₂ 6𝑥2_+11𝑥+3 2𝑥2_{−5𝑥−12} g) lim 𝑥↦→1 𝑥3−1 𝑥2₋₁ h) lim 𝑥↦→−2 8+𝑥3 4−𝑥2 i) lim 𝑥↦→2 𝑥4₋₁₆ 8−𝑥3

3. Calcule os limites pedidos:

a) 𝑓 (𝑥) = ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 2𝑥2− 3𝑥 − 2 𝑥 − 2 se 𝑥 ̸= 2 3 se 𝑥 = 2

(11)

Calcule lim 𝑥↦→2𝑓 (𝑥) b) 𝑓 (𝑥) = ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 2𝑥2_{+ 9𝑥 + 9} 𝑥 + 3 se 𝑥 ̸= −3 3 se 𝑥 = −3 Calcule lim 𝑥↦→3𝑓 (𝑥) 4. Calcule os limites: a) lim 𝑥↦→−1 𝑥3_+3𝑥2_−𝑥−3 𝑥3_−𝑥2₊₂ b) lim 𝑥↦→3 𝑥3−6𝑥−9 𝑥3_−8𝑥−3 c) lim 𝑥↦→1 𝑥3_−3𝑥2_+6𝑥−4 𝑥3_−4𝑥2_+8𝑥−5 d) lim 𝑥↦→2 𝑥4_−10𝑥+4 𝑥3_−2𝑥2 5. Calcule os limites: a) lim 𝑥↦→1 𝑥3_−3𝑥+2 𝑥4_−4𝑥+3 b) lim 𝑥↦→−2 𝑥4_+4𝑥3_+𝑥2_{−12𝑥−12} 2𝑥3_+7𝑥2_+4𝑥−4 c) lim 𝑥↦→−1 𝑥4_−𝑥3_−𝑥2_+5𝑥+4 𝑥3_+4𝑥2_+5𝑥+2 d) lim 𝑥↦→−2 𝑥4_+2𝑥3_−5𝑥2_{−12𝑥−4} 2𝑥4_+7𝑥3_+3𝑥2_{−12𝑥−8} 6. Calcule os limites: a) lim 𝑥↦→1 √ 𝑥−1 𝑥−1 b) lim 𝑥↦→0 1−√1−𝑥 𝑥 c) lim 𝑥↦→1 √ 𝑥+3−2 𝑥−1 d) lim 𝑥↦→0 √ 1−2𝑥−𝑥2₋₁ 𝑥 e) lim 𝑥↦→0 √ 1+𝑥−√1−𝑥 𝑥 f) lim 𝑥↦→1 √ 2𝑥−√𝑥+1 𝑥−1 g) lim 𝑥↦→4 √ 2𝑥+1−3 √ 𝑥−2−√2 h) lim 𝑥↦→6 4−√10+𝑥 2−√10−𝑥 i) lim 𝑥↦→0 √ 3𝑥+4−_√ √𝑥+4 𝑥+1−1 j) lim 𝑥↦→2 √ 3𝑥2_+4𝑥+2−1 √ 𝑥2_+3𝑥+6−2

(12)

1.3 Limites Laterais

Lembramos que, ao considerarmos lim

𝑥↦→𝑎𝑓 (𝑥), estávamos interessados no comportamento da

fun-ção nos valores próximos de 𝑎, isto é, nos valores de 𝑥 pertencentes a um intervalo aberto contendo

𝑎 mas diferentes de 𝑎 e, portanto, nos valores desse intervalo que são maiores ou menores que 𝑎.

Entretanto, o comportamento em algumas funções, quando 𝑥 está próximo de 𝑎, mas assume valores menores que 𝑎, é diferente do comportamento da mesma função, quando 𝑥 está próximo de 𝑎, mas assume valores maiores que 𝑎.

Assim, por exemplo, na função

𝑓 (𝑥) = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 4 − 𝑥 se 𝑥 < 1 2 se 𝑥 = 1 𝑥 − 2 se 𝑥 > 1

atribuindo a 𝑥 valores próximos de 1, porém menores que 1 (diremos à esquerda de 1 ), temos:

e atribuindo a 𝑥 valores próximos de 1, porém maiores que 1 (diremos à direita de 1 ), temos:

Observamos que, se 𝑥 está próximo de 1, à esquerda de 1, então os valores da função estão próximos de 3, e se 𝑥 está próximo de 1, à direita, então os valores da função estão próximos de -1. Em caos como este, em que supomos 𝑥 assumindo valores próximos de 1. mas somente à esquerda ou somente à direita de 1, consideramos os limites laterais pela esquerda ou pela direita de 1, que definiremos a seguir.

O leitor deve observar que apresentamos uma função definida por partes para apresentar os limites laterais, porém este exemplo foi escolhido de forma a simplificar o entendimento, ou seja, o leitor deve preparar-se para ver funções "normais"que apresentam limites diferentes quando ve-rificados os seus limites laterais, é o caso de:

lim 𝑥↦→1 2𝑥+1 𝑥−1 , pois lim_𝑥↦→1− 2𝑥+1 𝑥−1 = −∞ e lim_𝑥↦→1+ 2𝑥+1 𝑥−1 = +∞

Definição 1.3.1. Seja 𝑓 uma função definida em um intervalo aberto ]𝑎, 𝑏[. O limite de 𝑓(𝑥), quando 𝑥 se aproxima de 𝑎 pela direita, será 𝐿 e escreveremos

lim

𝑥↦→𝑎+𝑓 (𝑥) = 𝐿

se, para todo 𝜀 > 0, existir 𝛿 > 0, tal que se 0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿 então |𝑓 (𝑥) − 𝐿| < 𝜀. Em símbolos, temos:

(13)

lim

𝑥↦→𝑎+𝑓 (𝑥) = 𝐿 ⇔ (∀ 𝜀 > 0, ∃ 𝛿 > 0 / 0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿 ⇒ |𝑓 (𝑥) − 𝐿| < 𝜀)

Definição 1.3.2. Seja 𝑓 uma função definida em um intervalo aberto ]𝑎, 𝑏[. O limite de 𝑓(𝑥), quando 𝑥 se aproxima de 𝑎 pela direita, será 𝐿 e escreveremos

lim

𝑥↦→𝑎−𝑓 (𝑥) = 𝐿

se, para todo 𝜀 > 0, existir 𝛿 > 0, tal que se −𝛿 < 𝑥 − 𝑎 < 0 então |𝑓 (𝑥) − 𝐿| < 𝜀. Em símbolos, temos:

lim

𝑥↦→𝑎−𝑓 (𝑥) = 𝐿 ⇔ (∀ 𝜀 > 0, ∃ 𝛿 > 0 / − 𝛿 < 𝑥 − 𝑎 < 0 ⇒ |𝑓 (𝑥) − 𝐿| < 𝜀)

Exemplo Resolvido

Na função 𝑓 definida por 𝑓 (𝑥) =

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 𝑥2− 4 se 𝑥 < 1 −1 se 𝑥 = 1 3 − 𝑥 se 𝑥 > 1 solução temos: lim 𝑥↦→1+𝑓 (𝑥) = lim_𝑥↦→1+(3 − 𝑥) = 2 e lim 𝑥↦→1−𝑓 (𝑥) = lim_𝑥↦→1+(𝑥 2_{− 4) = −3} logo lim 𝑥↦→1𝑓 (𝑥) = @

IMPORTANTE: Como os limites laterais são diferentes, dizemos que lim

𝑥↦→1𝑓 (𝑥) não existe, ou

seja, simbolizamos lim

𝑥↦→1+𝑓 (𝑥) = @. Com isso o leitor deve absorver que um limite só existe se seus

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Exercícios Resolvidos

1. Calcule os limites indicados, caso existam

𝑓 (𝑥) = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 3𝑥 − 2 se 𝑥 > 1 2 se 𝑥 = 1 4𝑥 + 1 se 𝑥 < 1 a) lim 𝑥↦→1+𝑓 (𝑥) b) lim 𝑥↦→1−𝑓 (𝑥) c) lim 𝑥↦→1𝑓 (𝑥)

2. Dada a função 𝑓 definida por 𝑓 (𝑥) = |𝑥|_𝑥 para todo 𝑥 ∈ 𝑅, calcule lim

𝑥↦→0+𝑓 (𝑥) e lim_𝑥↦→0−𝑓 (𝑥).

Existe lim

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1.3.1 Exercícios Propostos

1. Calcule os limites indicados, se existirem; Se o(s) limite(s) não existir(em), especifique a razão. 𝑓 (𝑥) = {︃ 3 − 2𝑥 se 𝑥 ≥ −1 4 − 𝑥 se 𝑥 < 1 a) lim 𝑥↦→1+𝑓 (𝑥) b) lim_𝑥↦→1−𝑓 (𝑥) c) lim_𝑥↦→1𝑓 (𝑥)

2. Calcule os limites indicados, se existirem; Se o(s) limite(s) não existir(em), especifique a razão. 𝑓 (𝑥) = {︃ 2𝑥 − 5 se 𝑥 ≥ 3 4 − 5𝑥 se 𝑥 < 3 a) lim 𝑥↦→3+𝑓 (𝑥) b) lim_𝑥↦→3−𝑓 (𝑥) c) lim_𝑥↦→3𝑓 (𝑥)

3. Calcule os limites indicados, se existirem; Se o(s) limite(s) não existir(em), especifique a razão. 𝑓 (𝑥) = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 1 − 𝑥2 se 𝑥 < 2 0 se 𝑥 = 2 𝑥 − 1 se 𝑥 > 2 a) lim 𝑥↦→2+𝑓 (𝑥) b) lim_𝑥↦→2−𝑓 (𝑥) c) lim_𝑥↦→2𝑓 (𝑥)

4. Calcule os limites indicados, se existirem; Se o(s) limite(s) não existir(em), especifique a razão. 𝑓 (𝑥) = {︃ 𝑥2− 3𝑥 se 𝑥 ≤ 3 8 − 2𝑥 se 𝑥 > 3 a) lim 𝑥↦→3+𝑓 (𝑥) b) lim_𝑥↦→3−𝑓 (𝑥) c) lim_𝑥↦→3𝑓 (𝑥)

5. Calcule os limites indicados, se existirem; Se o(s) limite(s) não existir(em), especifique a razão. 𝑓 (𝑥) = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 2𝑥2− 3𝑥 − 1 se 𝑥 < 2 1 se 𝑥 = 2 −𝑥2 _{+ 6𝑥 − 7 se 𝑥 > 2} a) lim 𝑥↦→2+𝑓 (𝑥) b) lim_𝑥↦→2−𝑓 (𝑥) c) lim_𝑥↦→2𝑓 (𝑥)

6. Calcule os limites indicados se existirem

𝑓 (𝑥) = |𝑥+1|_𝑥+1 definida em 𝑅 − (−1)

a) lim

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7. Calcule os limites indicados se existirem 𝑓 (𝑥) = |3𝑥−2|_2−3𝑥 definida em 𝑅 − (2/3) a) lim 𝑥↦→2₃+ 𝑓 (𝑥) b) lim 𝑥↦→2₃− 𝑓 (𝑥) c) lim 𝑥↦→2₃ 𝑓 (𝑥)

1.4 Limites Infinitos

Seja a função 𝑓 definida por 𝑓 (𝑥) = 1

(𝑥−1)2 para todo 𝑥 real e 𝑥 ̸= 1.

Atribuindo a 𝑥 valores próximos de 1, à esquerda de 1, temos:

e atribuindo a 𝑥 valores próximos de 1, à direita de 1, temos:

Observamos nas duas tabelas que os valores da função são cada vez maiores, à medida que

𝑥 se aproxima de 1. Em outras palavras, podemos tornar 𝑓 (𝑥) tão grande quanto desejarmos,

isto é, maior que qualquer número positivo, tomando valores para 𝑥 bastante próximos de 1, e escrevemos:

lim

𝑥↦→1

1

(𝑥−1)2 = +∞

em que o simbolo "+∞ lê-se "mais infinito"ou "infinito positivo". É possível ver o comportamento desta função no gráfico:

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Definição 1.4.1. Seja 𝐼 um intervalo aberto que contém o real 𝑎. Seja 𝑓 uma função definida em

𝐼 − (𝑎). Dizemos que, quando 𝑥 se aproxima de 𝑎, 𝑓 (𝑥) cresce ilimitadamente e escrevemos

lim

𝑥↦→𝑎𝑓 (𝑥) = +∞

se, para qualquer número 𝑀 > 0, existir 𝛿 > 0 tal que se 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 então 𝑓 (𝑥) > 𝑀 . Em símbolos, temos:

lim

𝑥↦→𝑎𝑓 (𝑥) = +∞ ⇔ (∀ 𝑀 > 0, ∃ 𝛿 > 0 / 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 ⇒ 𝑓 (𝑥) > 𝑀 )

O símbolo "+∞"não representa nenhum número real mas indica o que ocorre com a função quando 𝑥 se aproxima de 𝑎

Tomemos agora a função 𝑔 como sendo o oposto da função 𝑓 , isto é, 𝑔(𝑥) = −𝑓 (𝑥) = −_(𝑥−1)1 2

definida para todo 𝑥 real e 𝑥 ̸= 1.

Os valores da função 𝑔 são opostos dos valores da função 𝑓 . Assim, para a função 𝑔, quando

𝑥 se aproxima de 1, os valores de 𝑔(𝑥) decrescem ilimitadamente. Em outras palavras, podemos

tornar os valores de 𝑔(𝑥) tanto menores quanto desejarmos, isto é, menores que qualquer número negativo, tomando valores de 𝑥 bastante próximos de 1, e escrevemos:

lim

𝑥↦→1

−1

(𝑥−1)2 = −∞

o símbolo "−∞"lê-se "menos infinito"ou "infinito negativo"

É possível ver o comportamento desta função no gráfico a seguir:

Definição 1.4.2. Seja 𝐼 um intervalo aberto que contém 𝑎. Seja 𝑓 uma função definida em 𝐼 −(𝑎). Dizemos que, quando 𝑥 se aproxima de 𝑎, 𝑓 (𝑥) decresce ilimitadamente e escrevemos

lim

𝑥↦→𝑎𝑓 (𝑥) = −∞

se, para qualquer número 𝑀 < 0, existir 𝛿 > 0 tal que se 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 então 𝑓 (𝑥) < 𝑀 . Em símbolos, temos:

lim

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Insistimos novamente em observar que o símbolo "−∞"não representa nenhum número real, mas indica o que ocorre com a função quando 𝑥 se aproxima de 𝑎.

Consideremos agora a função ℎ definida por ℎ(𝑥) = 1

𝑥−1 para todo 𝑥 real e 𝑥 ̸= 1.

Atribuindo a 𝑥 valores próximos de 1, porém menores que 1, temos:

e atribuindo a 𝑥 valores próximos de 1, porém maiores que 1, temos:

Observamos que se 𝑥 assume valores próximos de 1, à esquerda de 1, os valores da função decrescem ilimitadamente e se 𝑥 assume valores próximos de 1, à direita de 1, então os valores da função crescem ilimitadamente. Estamos considerando os limites laterais que são "infinitos"e escrevemos: lim 𝑥↦→1− 1 𝑥−1 = −∞ e lim_𝑥↦→1+ 1 𝑥−1 = +∞

A fim de pouparmos tempo, daremos a definição em símbolos das definições de lim

𝑥↦→𝑎+𝑓 (𝑥) = +∞,

lim

𝑥↦→𝑎+𝑓 (𝑥) = −∞, lim_{𝑥↦→𝑎}−𝑓 (𝑥) = +∞ e lim_{𝑥↦→𝑎}−𝑓 (𝑥) = −∞ respectivamente.

lim 𝑥↦→𝑎+𝑓 (𝑥) = +∞ ⇒ (∀𝑀 > 0, ∃ 𝛿 > 0 / 0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿 ⇒ 𝑓 (𝑥) > 𝑀 ) lim 𝑥↦→𝑎+𝑓 (𝑥) = −∞ ⇒ (∀𝑀 < 0, ∃ 𝛿 > 0 / 0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿 ⇒ 𝑓 (𝑥) < 𝑀 ) lim 𝑥↦→𝑎−𝑓 (𝑥) = +∞ ⇒ (∀𝑀 > 0, ∃ 𝛿 > 0 / − 𝛿 < 𝑥 − 𝑎 < 0 ⇒ 𝑓 (𝑥) > 𝑀 ) lim 𝑥↦→𝑎−𝑓 (𝑥) = −∞ ⇒ (∀𝑀 < 0, ∃ 𝛿 > 0 / − 𝛿 < 𝑥 − 𝑎 < 0 ⇒ 𝑓 (𝑥) > 𝑀 )

Para concluirmos que os valores de uma função cresciam infinitamente ou decresciam infinita-mente, quando 𝑥 se aproxima de 𝑎, pela esquerda ou pela direita de 𝑎, construímos uma tabela de valores da função quando 𝑥 estava próximo de 𝑎. Vejamos como chegar à mesma conclusão sem construirmos essa tabela.

Teorema

Sejam 𝑓 e 𝑔 funções tais que lim

𝑥↦→𝑎𝑓 (𝑥) = 𝑐 ̸= 0 e lim𝑥↦→𝑎𝑔(𝑥) = 0. Então: I) lim 𝑥↦→𝑎 𝑓 (𝑥) 𝑔(𝑥) = +∞ se 𝑓 (𝑥)

𝑔(𝑥) > 0 quando 𝑥 está próximo de 𝑎;

II) lim

𝑥↦→𝑎 𝑓 (𝑥)

𝑔(𝑥) = −∞ se 𝑓 (𝑥)

𝑔(𝑥) < 0 quando 𝑥 está próximo de 𝑎;

(19)

Exercícios resolvidos 1. Calcule: a) lim 𝑥↦→1 3𝑥+2 (𝑥−1)2 b) lim 𝑥↦→2 1−𝑥 (𝑥−2)2 c) lim 𝑥↦→1− 2𝑥+1 𝑥−1 d) lim 𝑥↦→1+ 2𝑥+1 𝑥−1

(20)

1.4.1 Exercícios Propostos

1. Calcule os limites: a) lim 𝑥↦→2 3𝑥−4 (𝑥−2)2 b) lim 𝑥↦→1 2𝑥+3 (𝑥−1)2 c) lim 𝑥↦→1 1−3𝑥 (𝑥−1)2 d) lim 𝑥↦→0 3𝑥2_−5𝑥+2 𝑥2 e) lim 𝑥↦→−1 5𝑥+2 |𝑥+1| f) lim 𝑥↦→−2 2𝑥2+5𝑥−3 |𝑥+2| g) lim 𝑥↦→2− 𝑥+4 𝑥+2 h) lim 𝑥↦→2+ 𝑥+4 𝑥+2 i) lim 𝑥↦→3− 1−2𝑥 𝑥−3 j) lim 𝑥↦→3+ 1−2𝑥 𝑥−3 k) lim 𝑥↦→(5/2)− 3𝑥+2 5−2𝑥 l) lim 𝑥↦→(5/2)+ 3𝑥+2 5−2𝑥 m) lim 𝑥↦→1− 2𝑥+3 (𝑥−1)3 n) lim 𝑥↦→1+ 2𝑥+3 (𝑥−1)3 o) lim 𝑥↦→2− 2𝑥2_−3𝑥−5 (2−𝑥)3 p) lim 𝑥↦→2+ 2𝑥2−3𝑥−5 (2−𝑥)3

1.4.2 Propriedades dos limites infinitos

Veremos a seguir dez teoremas cujos enunciados serão apresentados com o símbolo "𝑥 → 𝑎", mas que serão válidos se trocarmos esse símbolo por "𝑥 → 𝑎−"ou "𝑥 → 𝑎+_"

Teorema 1.4.3. Se lim_𝑥→𝑎𝑓 (𝑥) = +∞ e lim

𝑥→𝑎𝑔(𝑥) = +∞, então lim𝑥→𝑎(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = +∞.

Teorema 1.4.4. Se lim_𝑥→𝑎𝑓 (𝑥) = −∞ e lim

(21)

Observação Se lim

𝑥→𝑎𝑓 (𝑥) = +∞, lim𝑥→𝑎𝑔(𝑥) = +∞, lim𝑥→𝑎ℎ(𝑥) = −∞ e lim𝑥→𝑎𝑖(𝑥) = −∞, não poderemos

estabelecer uma lei geral para os seguintes limites: lim

𝑥→𝑎(𝑓 − 𝑔)(𝑥), lim𝑥→𝑎(ℎ − 𝑖)(𝑥) e lim𝑥→𝑎(𝑓 + ℎ)(𝑥)

Por exemplo, consideremos as funções 𝑓 (𝑥) = _𝑥14 e 𝑔(𝑥) =

1

𝑥2, definidas para todo 𝑥 real e

𝑥 ̸= 0. Observemos que: lim 𝑥→0 1 𝑥4 = +∞ e lim 𝑥→0 1 𝑥2 = +∞ e calculemos: lim 𝑥→0(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = lim𝑥→0𝑓 (𝑥) − 𝑔(𝑥) = lim 𝑥→0( 1 𝑥4 − 1 𝑥2) = lim 𝑥→0( 1 − 𝑥2 𝑥4 ) = +∞ Se considerarmos as funções 𝑓 (𝑥) = _𝑥−11 e 𝑔(𝑥) = _𝑥33₋₁ definidas em ℜ - {1}, teremos: lim 𝑥→1+ 1 𝑥−1 = +∞ e lim_𝑥→1+ 3 𝑥3₋₁ = +∞. Mas: lim 𝑥→1+(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = _𝑥→1lim+(𝑓 (𝑥) − 𝑔(𝑥) = lim 𝑥→1+( 1 𝑥 − 1− 3 𝑥3_{− 1}) = lim 𝑥→1+ 𝑥2+ 𝑥 − 2 (𝑥 − 1)(𝑥2_{+ 𝑥 + 1)} = lim 𝑥→1+ (𝑥 − 1)(𝑥 + 2) (𝑥 − 1)(𝑥2_{+ 𝑥 + 1)} = lim 𝑥→1+ 𝑥 + 2 𝑥2_{+ 𝑥 + 1} = 1

Resumindo, vimos dois exemplos que mostram resultados diferentes, por isso não podemos determinar uma lei geral para este caso de limite.

(22)

Teorema 1.4.5. Se lim_𝑥→𝑎𝑓 (𝑥) = +∞ e lim 𝑥→𝑎𝑔(𝑥) = 𝑏 ̸= 0, então: I) Se 𝑏 > 0, lim 𝑥→𝑎(𝑓.𝑔)(𝑥) = +∞ II) Se 𝑏 < 0, lim 𝑥→𝑎(𝑓.𝑔)(𝑥) = −∞

𝑥→𝑎𝑔(𝑥) = 𝑏 ̸= 0, então: I) Se 𝑏 > 0, lim 𝑥→𝑎(𝑓.𝑔)(𝑥) = −∞ II) Se 𝑏 < 0, lim 𝑥→𝑎(𝑓.𝑔)(𝑥) = +∞ Observação Se lim

𝑥→𝑎𝑓 (𝑥) = −∞ (ou +∞) e lim𝑥→𝑎𝑔(𝑥) = 𝑏 = 0, em que 𝑔 não é função nula, não podemos

formular uma lei geral para lim

𝑥→𝑎(𝑓.𝑔)(𝑥).

Considere as funções 𝑓1(𝑥) = _𝑥12 e 𝑓2(𝑥) = _𝑥14 definidas em ℜ

* _{e as funções 𝑔} 1 = 𝑥4 e 𝑔2 = 𝑥2 definidas em ℜ. Observemos que: lim 𝑥→0𝑓1(𝑥) = lim𝑥→0 1 𝑥2 = +∞, lim 𝑥→0𝑓2(𝑥) = lim𝑥→0 1 𝑥4 = +∞, lim 𝑥→0𝑔1(𝑥) = lim𝑥→0𝑥 4 _{= 0, e lim} 𝑥→0𝑔2(𝑥) = lim𝑥→0𝑥 2 _{= 0} Mas: lim 𝑥→0(𝑓1.𝑔1)(𝑥) = lim𝑥→0 1 𝑥2.𝑥 4 = lim 𝑥→0𝑥 2 = 0 e lim 𝑥→0(𝑓2.𝑔2)(𝑥) = lim𝑥→0 1 𝑥4.𝑥 2 = lim 𝑥→0 1 𝑥2 = +∞

Ou seja, vimos dois exemplos que mostram resultados diferentes para a mesma operação, isto explica por que não podemos determinar uma lei geral para este caso de limite.

𝑥→𝑎𝑔(𝑥) = +∞, então lim𝑥→𝑎(𝑓.𝑔)(𝑥) = +∞

𝑥→𝑎𝑔(𝑥) = −∞, então lim𝑥→𝑎(𝑓.𝑔)(𝑥) = −∞

(23)

𝑥→𝑎𝑓 (𝑥) = −∞ (ou −∞) e lim𝑥→𝑎𝑔(𝑥) = −∞ (ou −∞), então não podemos estabelecer uma

lei geral para lim

𝑥→𝑎( 𝑓 𝑔)(𝑥). Consideremos as funções 𝑓 (𝑥) = _𝑥12, 𝑔(𝑥) = 1 𝑥4 e ℎ(𝑥) = − 1 𝑥2 definidas em ℜ *_. Observamos que: lim 𝑥→0𝑓 (𝑥) = lim𝑥→0 1 𝑥2 = ∞, lim 𝑥→0𝑔(𝑥) = lim𝑥→0 1 𝑥4 = +∞ e lim 𝑥→0ℎ(𝑥) = lim𝑥→0 −1 𝑥2 = −∞ Mas: lim 𝑥→𝑎( 𝑓 𝑔)(𝑥) = lim_𝑥→0( 1 𝑥2 1 𝑥4 ) = lim 𝑥→0𝑥 2 _{= 0} lim 𝑥→𝑎( 𝑔 ℎ)(𝑥) = lim_𝑥→0( 1 𝑥4 −1 𝑥2 ) = lim 𝑥→0 −1 𝑥2 = −∞ lim 𝑥→𝑎( 𝑓 𝑔)(𝑥) = lim_𝑥→0( −1 𝑥2 1 𝑥2 ) = lim 𝑥→0(−1) = −1

Assim, percebemos que os três exemplos tratam da mesma operação entre limites, porém mostram resultados diferentes, por isso não podemos determinar uma lei geral para este caso de limite.

Teorema 1.4.10. Se lim_𝑥→𝑎𝑓 (𝑥) = +∞, então lim

𝑥→𝑎

1

𝑓 (𝑥) = 0

Teorema 1.4.11. Se lim_𝑥→𝑎𝑓 (𝑥) = −∞, então lim

𝑥→𝑎

1

𝑓 (𝑥) = 0

Teorema 1.4.12. Se lim_𝑥→𝑎𝑓 (𝑥) = 0, então lim

𝑥→𝑎

1

|𝑓 (𝑥)| = +∞

1.5 Limites no Infinito

Seja a função 𝑓 definida por 𝑓 (𝑥) = 𝑥+2_𝑥 para todo 𝑥 real e 𝑥 ̸= 0. Atribuindo a 𝑥 os valores 1, 5, 10, 100, 1 000, 10 000 e assim por diante, de tal forma que x cresça ilimitadamente, temos:

Observamos que, à medida que 𝑥 cresce através de valores positivos, os valores da função 𝑓 se aproximam cada vez mais de 1, isto é, podemos tornar 𝑓 (𝑥) tão próximo de 1 quanto desejarmos, se atribuirmos a 𝑥 valores cada vez maiores. Escrevemos então:

lim

𝑥→+∞

𝑥 + 2 𝑥 = 1

(24)

Definição 1.5.1. Seja uma função definida em um intervalo aberto ]𝑎, +∞[. Dizemos que, quando

𝑥 cresce ilimitadamente, 𝑓 (𝑥) se aproxima de 𝐿 e escrevemos

lim

𝑥→+∞𝑓 (𝑥) = 𝐿

se, para qualquer número 𝜖 > 0, existir 𝑁 > 0 tal que se 𝑥 > 𝑁 então |𝑓 (𝑥) − 𝐿| < 𝜖. Em símbolos, temos:

lim

𝑥→+∞𝑓 (𝑥) = 𝐿 ⇔ (∀ 𝜖 > 0, ∃ 𝑁 > 0/𝑥 > 𝑁 ⇒ |𝑓 (𝑥) < −𝐿| < 𝜖)

Consideremos novamente a função 𝑓 (𝑥) = 𝑥+2_𝑥 , atribuindo a 𝑥 os valores -1, -5, -10, -100, -1 000, -10 000 e assim por diante, de tal forma que 𝑥 decresça ilimitadamente, temos:

Observamos que, à medida que 𝑥 decresce com valores negativos, os valores da função se aproximam cada vez mais de 1, isto é, podemos tornar 𝑓 (𝑥) tão próximo de 1 quanto desejarmos, se atribuirmos a 𝑥 valores cada vez menores. Escrevemos, então:

lim

𝑥→−∞

𝑥 + 2 𝑥 = 1

Definição 1.5.2. Seja uma função definida em um intervalo aberto ]−∞, 𝑎[. Dizemos que, quando

𝑥 decresce ilimitadamente, 𝑓 (𝑥) se aproxima de 𝐿 e escrevemos

lim

𝑥→−∞𝑓 (𝑥) = 𝐿

se, para qualquer número 𝜖 > 0, existir 𝑁 < 0 tal que se 𝑥 < 𝑁 então |𝑓 (𝑥) − 𝐿| < 𝜖. Em símbolos, temos:

lim

𝑥→−∞𝑓 (𝑥) = 𝐿 ⇔ (∀ 𝜖 > 0, ∃ 𝑁 < 0/𝑥 < 𝑁 ⇒ |𝑓 (𝑥) − 𝐿| < 𝜖)

Seja a função 𝑓 (𝑥) = 𝑥2, definida para todo 𝑥 real.

Atribuindo a 𝑥 os valores 1, 5, 10, 100, 1 000 e assim sucessivamente, de tal forma que 𝑥 cresça ilimitadamente, temos:

Observamos que, à medida que 𝑥 cresce através de valores positivos, os valores da função também crescem e ilimitadamente. Em outras palavras, dizemos que podemos tornar 𝑓 (𝑥) tão

(25)

grande quanto desejarmos, isto é, maior que qualquer número positivo, tomando para 𝑥 valores suficientemente grandes e escrevemos:

lim

𝑥→+∞𝑓 (𝑥) = +∞

Se afora atribuirmos a 𝑥 os valores -1, -5, -10, -100, -1 000 e assim sucessivamente, de tal forma que 𝑥 decresça ilimitadamente, temos:

Observamos que, à medida que 𝑥 decresce através de valores negativos, os valores da função crescem e ilimitadamente. Em outras palavras, dizemos que podemos tornar 𝑓 (𝑥) tão grande quanto desejarmos, isto é, maior que qualquer número positivo, tomando para 𝑥 valores negativos cujos módulos sejam suficientemente grandes, e escrevemos:

lim

𝑥→−∞𝑓 (𝑥) = +∞

Definição 1.5.3. Seja 𝑓 uma função definida em um intervalo aberto ]𝑎, +∞[. Dizemos que, quando 𝑥 cresce ilimitadamente, 𝑓 (𝑥) cresce também ilimitadamente, e escrevemos:

lim

𝑥→+∞𝑓 (𝑥) = +∞

se, para qualquer número 𝑀 > 0, existir 𝑁 > 0 tal que se 𝑥 > 𝑁 então 𝑓 (𝑥) < 𝑀 . Em símbolos, temos:

lim

𝑥→+∞𝑓 (𝑥) = +∞ ⇔ (∀ 𝑀 > 0, ∃ 𝑁 > 0/𝑥 > 𝑁 ⇒ 𝑓 (𝑥) > 𝑀 )

Também, é possível definir lim

𝑥→+∞𝑓 (𝑥) = −∞, lim𝑥→−∞𝑓 (𝑥) = +∞ e lim𝑥→−∞𝑓 (𝑥) = −∞

Mas, para maior simplificação coloquemos apenas as definições simbólicas destes, respectivamente: lim 𝑥→+∞𝑓 (𝑥) = −∞ ⇔ (∀ 𝑀 < 0, ∃ 𝑁 > 0/𝑥 > 𝑁 ⇒ 𝑓 (𝑥) < 𝑀 ) lim 𝑥→−∞𝑓 (𝑥) = +∞ ⇔ (∀ 𝑀 > 0, ∃ 𝑁 < 0/𝑥 < 𝑁 ⇒ 𝑓 (𝑥) > 𝑀 ) lim 𝑥→−∞𝑓 (𝑥) = −∞ ⇔ (∀ 𝑀 < 0, ∃ 𝑁 < 0/𝑥 < 𝑁 ⇒ 𝑓 (𝑥) < 𝑀 )

Vejamos alguns teoremas importantes no calculo de limites no infinito. Teorema 1.5.4. Se 𝑐 ∈ ℜ, então lim

(26)

Teorema 1.5.5. Se 𝑛 é um número inteiro positivo, então: I) lim 𝑥→+∞𝑥 𝑛_{= +∞} II) lim 𝑥→+∞𝑥 𝑛₌ {︃ +∞ se 𝑛 é par −∞ se 𝑛 é ímpar

Teorema 1.5.6. Se 𝑛 é um número inteiro positivo, então: I) lim 𝑥→+∞ 1 𝑥𝑛 = 0 II) lim 𝑥→−∞ 1 𝑥𝑛 = 0

Teorema 1.5.7. Se 𝑓(𝑥) = 𝑎0+ 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2+ ... + 𝑎𝑛𝑥𝑛, 𝑎𝑛 ̸= 0, é uma função polinomial, então:

lim 𝑥→+∞𝑓 (𝑥) = lim𝑥→+∞(𝑎𝑛𝑥 𝑛_{) 𝑒} _lim 𝑥→−∞𝑓 (𝑥) = lim𝑥→−∞(𝑎𝑛𝑥 𝑛₎ _(1.5.1) Teorema 1.5.8. Se 𝑓(𝑥) = 𝑎0+𝑎1𝑥+𝑎2𝑥2+...+𝑎𝑛𝑥𝑛, 𝑎𝑛̸= 0 e Se 𝑔(𝑥) = 𝑏0+𝑏1𝑥+𝑏2𝑥2+...+𝑏𝑛𝑥𝑛,

𝑏𝑛̸= 0, são funções polinomiais, então:

lim 𝑥→+∞ 𝑓 (𝑥) 𝑔(𝑥) = lim𝑥→+∞( 𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝑥𝑛−𝑚) 𝑒 lim 𝑥→−∞ 𝑓 (𝑥) 𝑔(𝑥) = lim𝑥→−∞( 𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝑥𝑛−𝑚) (1.5.2) Exercícios Resolvidos 1. Calcule: a) lim 𝑥→+∞(4𝑥 2_{− 7𝑥 + 3)} b) lim 𝑥→+∞(−3𝑥 3_{+ 2𝑥}2_{− 5𝑥 + 3)} c) lim 𝑥→−∞(5𝑥 3 _{− 4𝑥}2_{− 3𝑥 + 2)} d) lim 𝑥→−∞(3𝑥 4_{− 7𝑥}3_{+ 2𝑥}2_{− 5𝑥 − 4)} 2. Calcule: a) lim 𝑥→+∞ 3𝑥+2 5𝑥−1

(27)

b) lim 𝑥→−∞ 5−4𝑥 2𝑥−3 c) lim 𝑥→+∞ 5𝑥2_−4𝑥+3 3𝑥+2 d) lim 𝑥→−∞ 4𝑥−1 3𝑥2_+5𝑥−2

3. Calcule os limites: a) lim

𝑥→+∞ √ 𝑥2_−2𝑥+2 𝑥+1 b) lim 𝑥→−∞ √ 𝑥2_−2𝑥+2 𝑥+1 c) lim 𝑥→+∞ √ 𝑥2_{+ 3𝑥 + 2 − 𝑥}

(28)

1.5.1 Exercícios Propostos

1. Calcule: a) lim 𝑥→+∞(2𝑥 + 3) b) lim𝑥→−∞(4 − 5𝑥) c) lim 𝑥→+∞5𝑥 2_{− 4𝑥 + 3} _{d) lim} 𝑥→+∞(4 − 𝑥 2₎ e) lim 𝑥→−∞(3𝑥 3 _{− 4)} _{f) lim} 𝑥→−∞(8 − 𝑥 3₎ 2. Calcule os limites: a) lim 𝑥→+∞ √ 𝑥2_{− 2𝑥 + 2} b) lim 𝑥→−∞ √ 𝑥2_{− 3𝑥 + 5} 3. Encontre: a) lim 𝑥→+∞ 3−2𝑥 5𝑥+1 b) lim_{𝑥→−∞} 4𝑥−3 3𝑥+2 c) lim 𝑥→+∞ 𝑥2₋₄ 𝑥+1 d) lim_{𝑥→−∞} 𝑥3₋₁ 𝑥2₊₁ e) lim 𝑥→+∞ 𝑥2−3𝑥+4 3𝑥3_+5𝑥2_−6𝑥+2 f) lim 𝑥→−∞ 𝑥2+4 8𝑥3₋₁ g) lim 𝑥→−∞ 𝑥2_+𝑥+1 (𝑥−1)3_−𝑥3 h) lim 𝑥→+∞ (2𝑥−3)3 𝑥(𝑥+1)(𝑥+2) i) lim 𝑥→−∞ (3𝑥+2)3 2𝑥(3𝑥+1)(4𝑥−1) j) lim_𝑥→+∞ (2𝑥−3)3_(3𝑥−2)2 𝑥5 k) lim 𝑥→−∞ (𝑥+2)4_{−(𝑥−1)}4 (2𝑥+3)3 4. Encontre: a) lim 𝑥→+∞ √ 𝑥2_+𝑥+1 𝑥+1 b) lim 𝑥→−∞ √ 𝑥2_+𝑥+1 𝑥+1 c) lim 𝑥→+∞ 2𝑥2_−3𝑥−5 √ 𝑥4₊₁ d) lim 𝑥→−∞ 2𝑥2_−3𝑥−5 √ 𝑥4₊₁

5. Calcule os limites indicados: a) lim 𝑥→+∞( √ 𝑥2_{+ 3𝑥 + 4 − 𝑥)} _{b) lim} 𝑥→−∞( √ 𝑥2_{+ 3𝑥 + 4 − 𝑥)} c) lim 𝑥→+∞( √ 𝑥 + 4 −√𝑥 − 2) d) lim 𝑥→+∞( √ 𝑥2 _{− 𝑥 + 1 − 𝑥)} e) lim 𝑥→+∞( √ 𝑥2_{+ 1 −}√_𝑥2_{− 1)} _{f) lim} 𝑥→+∞( √ 𝑥2_{− 4𝑥 + 5 −}√_𝑥2_{− 3𝑥 + 4)}

(29)

1.5.2 Propriedades dos limites no infinito

Veremos em seguida dez teoremas cujos enunciados serão apresentados com o símbolo "𝑥 −→ +∞"e não perdem a validade se esse símbolo for trocado por "𝑥 −→ −∞". Estes teoremas são basicamente os apresentados nas propriedades dos limites infinitos, com adaptações para aplicações de limites no infinito.

Teorema 1.5.9. Se lim

𝑥→+∞𝑓 (𝑥) = +∞ e lim𝑥→+∞𝑔(𝑥) = +∞, então lim𝑥→+∞(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = +∞

Teorema 1.5.10. Se lim_𝑥→+∞𝑓 (𝑥) = −∞ e lim

𝑥→+∞𝑔(𝑥) = −∞, então lim𝑥→+∞(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = −∞

𝑥→+∞𝑓 (𝑥) = +∞, lim𝑥→+∞𝑔(𝑥) = +∞, lim𝑥→+∞ℎ(𝑥) = −∞ e lim𝑥→+∞𝑖(𝑥) = −∞, não podemos

estabelecer uma lei geral para os seguintes limites: lim

𝑥→+∞(𝑓 − 𝑔)(𝑥), lim𝑥→+∞(ℎ − 𝑖)(𝑥) e lim𝑥→+∞(𝑓 + ℎ)(𝑥).

Por exemplo, consideremos as funções 𝑓 (𝑥) = 3𝑥 − 2 e 𝑔(𝑥) = 3𝑥 + 5 definidas para todo 𝑥 real. Observamos que:

lim 𝑥→+∞(3𝑥 − 2) = +∞ e lim𝑥→+∞(3𝑥 + 5) = +∞ e calculemos lim 𝑥→+∞(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 𝑥→+∞lim [𝑓 (𝑥) − 𝑔(𝑥)] = lim 𝑥→+∞((3𝑥 − 2) − (3𝑥 + 5)) = lim 𝑥→+∞(−7) = −7

Se considerarmos as funções 𝑓 (𝑥) = 3𝑥2 _{− 7𝑥 + 1 e 𝑔(𝑥) = 2𝑥}2_{+ 2𝑥 + 3 definidas para tido 𝑥}

real, teremos: lim 𝑥→+∞(3𝑥 2_{− 7𝑥 + 1) = +∞ e lim} 𝑥→+∞(2𝑥 2_{+ 2𝑥 + 3) = +∞} mas lim 𝑥→+∞(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 𝑥→+∞lim [𝑓 (𝑥) − 𝑔(𝑥)] = lim 𝑥→+∞[(3𝑥 2_{− 7𝑥 + 1) − (2𝑥}2_{+ 2𝑥 + 3)]} = lim 𝑥→+∞(𝑥 2_{− 9𝑥 + 4)} = +∞

Assim, percebemos que os exemplos tratam da mesma operação, entre limites de funções que tendem para um mesmo valor, porém mostram resultados diferentes, por isso não podemos deter-minar uma lei geral para este caso de limite.

(30)

𝑥→+∞𝑓 (𝑥) = +∞ e lim𝑥→+∞𝑔(𝑥) = 𝑏 ̸= 0, então

I) Se 𝑏 > 0 então lim

𝑥→+∞(𝑓.𝑔)(𝑥) = +∞

II) se 𝑏 < 0 então lim

𝑥→+∞(𝑓.𝑔)(𝑥) = −∞

𝑥→+∞𝑓 (𝑥) = −∞ e lim𝑥→+∞𝑔(𝑥) = 𝑏 ̸= 0, então

I) Se 𝑏 > 0 então lim

𝑥→+∞(𝑓.𝑔)(𝑥) = −∞

II) se 𝑏 < 0 então lim

𝑥→+∞(𝑓.𝑔)(𝑥) = +∞

𝑥→+∞𝑓 (𝑥) = +∞ (ou −∞) e 𝑥→+∞lim 𝑓 (𝑥) = 0, em que 𝑔 não é a função nula, então não

podemos formular uma lei geral para lim

𝑥→+∞(𝑓.𝑔)(𝑥)

Por exemplo, consideremos as funções 𝑓 (𝑥) = 2𝑥 + 1 e ℎ(𝑥) = 𝑥2_{− 4 definidas em ℜ e a função}

𝑔(𝑥) = _𝑥−11 definida em ℜ - {1}. Observamos que: lim 𝑥→+∞𝑓 (𝑥) = lim𝑥→+∞(2𝑥 + 1) = +∞ lim 𝑥→+∞ℎ(𝑥) = lim𝑥→+∞(𝑥 2_{− 4) = +∞} lim 𝑥→+∞𝑔(𝑥) = lim𝑥→+∞( 1 𝑥−1) = +∞ mas lim 𝑥→+∞(𝑓.𝑔)(𝑥) = lim𝑥→+∞[𝑓 (𝑥).𝑔(𝑥)] = lim𝑥→+∞ 2𝑥+1 𝑥−1 = 2 lim 𝑥→+∞(ℎ.𝑔)(𝑥) = lim𝑥→+∞[𝑓 (𝑥).𝑔(𝑥)] = lim𝑥→+∞ 𝑥2₋₄ 𝑥−1 = +∞ Teorema 1.5.13. Se lim

𝑥→+∞𝑓 (𝑥) = +∞ e lim𝑥→+∞𝑔(𝑥) = +∞, então lim𝑥→+∞(𝑓.𝑔)(𝑥) = +∞

Teorema 1.5.14. Se lim_𝑥→+∞𝑓 (𝑥) = +∞ e lim

𝑥→+∞𝑔(𝑥) = −∞, então lim𝑥→+∞(𝑓.𝑔)(𝑥) = −∞

𝑥→+∞𝑓 (𝑥) = −∞ e lim𝑥→+∞𝑔(𝑥) = −∞, então lim𝑥→+∞(𝑓.𝑔)(𝑥) = +∞

𝑥→+∞𝑓 (𝑥) = +∞ (ou −∞) e lim𝑥→+∞𝑔(𝑥) = +∞ (ou −∞), não podemos estabelecer uma lei

geral para lim

𝑥→+∞( 𝑓 𝑔)(𝑥).

Por exemplo, consideremos as funções 𝑓 (𝑥) = 2𝑥 − 3, 𝑔(𝑥) = 3𝑥 − 4 e ℎ(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 + 3 definidas em ℜ.

(31)

lim 𝑥→+∞𝑓 (𝑥) = lim𝑥→+∞(2𝑥 − 3) = +∞ lim 𝑥→+∞𝑔(𝑥) = lim𝑥→+∞(3𝑥 − 4) = +∞ lim 𝑥→+∞ℎ(𝑥) = lim𝑥→+∞(𝑥 2_{− 4𝑥 + 3) = +∞} mas lim 𝑥→+∞( 𝑓 𝑔(𝑥)) = lim_𝑥→+∞( 𝑓 (𝑥) 𝑔(𝑥)) = lim_𝑥→+∞ 2𝑥−3 3𝑥−4 = 2 3 lim 𝑥→+∞( ℎ 𝑔(𝑥)) = lim_𝑥→+∞( ℎ(𝑥) 𝑔(𝑥)) = lim_𝑥→+∞ 𝑥2_−4𝑥+3 3𝑥−4 = +∞

Ou seja, percebemos dos exemplos que não podemos determinar uma lei geral para este caso de limite. Teorema 1.5.16. Se lim 𝑥→+∞𝑓 (𝑥) = +∞, então lim𝑥→+∞ 1 𝑓 (𝑥) = 0 Teorema 1.5.17. Se lim 𝑥→+∞𝑓 (𝑥) = −∞, então lim𝑥→+∞ 1 𝑓 (𝑥) = 0

Teorema 1.5.18. Se lim_𝑥→+∞𝑓 (𝑥) = 0, então lim

𝑥→+∞|

1

𝑓 (𝑥)| = +∞

1.6 Limites Especiais

Um teorema muito importante no estudo do Cálculo é o Teorema do Confronto, neste texto ele será apenas definido, afim de que o leitor tenha consciência de onde surgem alguns passos na resolução de limites daqui em diante.

Teorema 1.6.1. Se Se lim_𝑥→𝑎𝑔(𝑥) = lim

𝑥→𝑎ℎ(𝑥) = 𝑏 e se 𝑓 é tal que 𝑔(𝑥) < 𝑓 (𝑥) < ℎ(𝑥) para todo

𝑥 ∈ 𝐼 − {𝑎}, em que 𝐼 é intervalo aberto que contém 𝑎, então lim

𝑥→𝑎𝑓 (𝑥) = 𝑏

Exemplo:

Seja 𝑓 uma função e suponha que para todo 𝑥 |𝑓 (𝑥) ≤ 𝑥2_|.

Calcule, caso exista, lim

(32)

1.6.1 Limites trigonométricos

Vejamos agora, alguns limites que são muito importantes neste curso. Teorema 1.6.2. lim_𝑥→𝑎sin 𝑥 = sin 𝑎, ∀ 𝑎 ∈ ℜ

Teorema 1.6.3. lim_𝑥→𝑎cos 𝑥 = cos 𝑎, ∀ 𝑎 ∈ ℜ

Teorema 1.6.4. lim_𝑥→𝑎tan 𝑥 = tan 𝑎, ∀ 𝑎 ̸= 𝜋₂ + 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℜ Teorema 1.6.5. lim

𝑥→0

sin 𝑥

𝑥 = 1

Este último, é chamado de Limite trigonométrico fundamental Exercícios Resolvidos 1. Encontre: a) lim 𝑥→0 sin 2𝑥 𝑥 b) lim 𝑥→0 sin 3𝑥 sin 5𝑥 c) lim 𝑥→𝑎 1−cos 𝑥 𝑥2

1.6.2 Exercícios Propostos

1. Calcule: a) lim 𝑥→𝑎 sin 3𝑥 2𝑥 b) lim 𝑥→𝑎 sin 2𝑥 sin 𝑥 c) lim 𝑥→𝑎 tan 2𝑥 3𝑥 d) lim 𝑥→𝑎 1−cos 𝑥 𝑥 e) lim 𝑥→𝑎 1−sec 𝑥 𝑥2 f) lim 𝑥→𝑎 tan 𝑥+sin 𝑥 𝑥 g) lim 𝑥→𝑎 1−cos 𝑥 𝑥. sin 𝑥

(33)

1.6.3 Limite exponencial fundamental

Teorema 1.6.6. Na função 𝑓(𝑛) = (1 + 1 𝑛) 𝑛 _{definida em ℵ}*_{, temos:} I) 𝑓 é crescente em ℵ* II) 2 ≤ 𝑓 (𝑛) < 3, ∀ 𝑛 ∈ ℵ* III) Existe lim

𝑛→+∞𝑓 (𝑛)

Definição 1.6.7. Camamos de e (euller), o limite da função 𝑓(𝑛) = (1 + 1

𝑛) 𝑛 _{definida em ℵ}*_, quando 𝑛 tende a +∞ Em símbolos, temos: lim 𝑛→+∞(1 + 1 𝑛) 𝑛_{= 𝑒}

O número e é um número irracional. Um valor aproximado de e é 2,7182818284 Teorema 1.6.8. Seja a função 𝑓(𝑥) = (1 + 1

𝑥) 𝑥 _{definida em {𝑥 ∈ ℜ|𝑥 < −1 ou 𝑥 > 0}, então} lim 𝑥→+∞(1 + 1 𝑥) 𝑥 _{= 𝑒}

Teorema 1.6.9. Seja a função 𝑓(𝑥) = (1 + 1

𝑥) 𝑥 _{definida em {𝑥 ∈ ℜ|𝑥 < −1 ou 𝑥 > 0}, então} lim 𝑥→−∞(1 + 1 𝑥) 𝑥 _{= 𝑒}

Teorema 1.6.10. Seja a função definida em {𝑥 ∈ ℜ| − 1 < 𝑥 ̸= 0}, por 𝑓(𝑥) = (1 + 𝑥)1

𝑥, então lim 𝑥→0(1 + 𝑥) 1 𝑥 = 𝑒 Exercícios Resolvidos 1. Calcule: a) lim 𝑥→+∞(1 + 1 𝑥) 2𝑥 b) lim 𝑥→−∞(1 + 3 𝑥) 𝑥

(34)

c) lim 𝑥→+∞(1 − 1 𝑥) 𝑥 d) lim 𝑥→+∞( 𝑥+1 𝑥−1) 𝑥

1.6.4 Exercícios Propostos

1. Calcule: a) lim 𝑥→+∞(1 + 1 𝑥) 3𝑥 b) lim 𝑥→−∞(1 + 1 𝑥) 𝑥+2 c) lim 𝑥→+∞(1 + 4 𝑥) 𝑥 d) lim 𝑥→−∞(1 + 2 𝑥) 3𝑥 e) lim 𝑥→−∞(1 + 3 𝑥) 𝑥 4 f) lim 𝑥→+∞( 𝑥 𝑥+1) 𝑥 2. Calcule: a) lim 𝑥→−∞(1 − 2 𝑥) 𝑥 b) lim 𝑥→−∞(1 − 1 𝑥) 3𝑥 c) lim 𝑥→+∞(1 − 3 𝑥) 2𝑥 3. Calcule: a) lim 𝑥→+∞( 𝑥+4 𝑥−3) 𝑥 b) lim 𝑥→−∞( 𝑥+2 𝑥+1) 𝑥 c) lim 𝑥→−∞( 𝑥−3 𝑥+2) 𝑥 d) lim 𝑥→+∞( 𝑥−4 𝑥−1) 𝑥+3 e) lim 𝑥→+∞( 𝑥2+1 𝑥2₋₃)𝑥 2

(35)

1.7 Continuidade

Definição 1.7.1. Seja 𝑓 uma função definida em um intervalo aberto 𝐼 e 𝑎 um elemento de 𝐼. Dizemos que 𝑓 é contínua em 𝑎, se lim

𝑥→𝑎𝑓 (𝑥) = 𝑓 (𝑎).

Notemos que para falarmos em continuidade de uma função em um ponto é necessário que este ponto pertença ao domínio da função.

Da definição decorre que, se 𝑓 é contínua em 𝑎, então as três condições deverão estar satisfeitas: • Existe 𝑓 (𝑎)

• Existe lim

𝑥→𝑎𝑓 (𝑥)

• lim

𝑥→𝑎𝑓 (𝑥) = 𝑓 (𝑎)

Definição 1.7.2. Seja 𝑓 uma função definida em um intervalo aberto 𝐼 e 𝑎 um elemento de 𝐼. Dizemos que 𝑓 é descontínua em 𝑎.

Observemos também que para falarmos em descontinuidade de uma função em um ponto é necessário que esse ponto pertença ao domínio da função.

Da definição decorre que, se 𝑓 é descontínua em 𝑎, então as duas condições abaixo deverão ser satisfeitas:

• Existe 𝑓 (𝑎) • Não Existe lim

𝑥→𝑎𝑓 (𝑥) ou lim𝑥→𝑎𝑓 (𝑥) ̸= 𝑓 (𝑎)

Exercícios Resolvidos

1. Verifique se as funções são contínuas nos pontos especificados: a) 𝑓 (𝑥)) = 2𝑥 + 1 no ponto 𝑥 = 1.

b) 𝑓 (𝑥) =

{︃

2𝑥 + 1 se 𝑥 ̸= 1 4 se 𝑥 = 1

(36)

c) 𝑓 (𝑥) = {︃ 𝑥 + 1 se 𝑥 ≤ 1 1 − 𝑥 se 𝑥 > 1 d) 𝑓 (𝑥) = |𝑥|_𝑥 no ponto 𝑥 = 0 e) 𝑓 (𝑥) = 𝑥_𝑥−12−1 no ponto 𝑥 = 1 f) 𝑓 (𝑥) = {︃ 𝑥2− 1 se 𝑥 < 2 7 − 2𝑥 se 𝑥 ≥ 2

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1.7.1 Exercícios Propostos

1. Verifique se a função 𝑓 é contínua no ponto especificado. a) 𝑓 (𝑥) = {︃ 3 se 𝑥 ≥ 0 2 se 𝑥 < 0 No ponto 𝑥 = 0 b) 𝑓 (𝑥) = ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 𝑥2_{− 4} 𝑥 + 2 se 𝑥 ̸= −2 4 se 𝑥 = −2 No ponto 𝑥 = −2 c) 𝑓 (𝑥) = ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 1 − 𝑥2 𝑥 − 1 se 𝑥 ̸= 1 −2 se 𝑥 = 1 No ponto 𝑥 = 1 d) 𝑓 (𝑥) = ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 𝑥3+ 1 𝑥 + 1 se 𝑥 ̸= −1 1 se 𝑥 = −1 No ponto 𝑥 = −1

2. Verifique se a função 𝑓 é contínua no ponto especificado. a) 𝑓 (𝑥) = {︃ 3𝑥 + 2 se 𝑥 ≥ −2 −2𝑥 se 𝑥 < −2 No ponto 𝑥 = −2 b) 𝑓 (𝑥) = {︃ 𝑥2− 3𝑥 + 2 se 𝑥 > 1 𝑥2+ 4𝑥 − 5 se 𝑥 ≤ 1 No ponto 𝑥 = 1 c) 𝑓 (𝑥) = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 3𝑥 − 10 se 𝑥 > 4 2 se 𝑠 = 4 10 − 2𝑥 se 𝑥 < 4 No ponto 𝑥 = 4 d) 𝑓 (𝑥) = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 2𝑥2− 3𝑥 + 2 se 𝑥 > 1 2 se 𝑠 = 1 2 − 𝑥2 se 𝑥 < 1 No ponto 𝑥 = 1

(38)

Derivadas

2.1 Introdução

Iniciamos neste capítulo o estudo do Cálculo propriamente, com a introdução do conceito de derivada. Isto é feito de dua maneiras: pela reta tangente a uma curva e pelo conceito de taxa de variação, particularmente "velocidade instantânea"de um ponto material. Nessa apresentação o conceito de limite aparece de maneira natural. A visualização geométrica deve ser enfatizada, pois é um recurso poderoso na compreensão do conceito de derivada.

As noções de limite e continuidade são apresentadas neste capítulo de modo intuitivo, sem formalismo ou preocupações com o rigor, que seriam prematuras, iriam atrapalhar em vez de ajudar no aprendizado. Primeiro é preciso que o aluno se familiarize com a derivada e com vários exemplos de limites, apresentados intuitivamente. Só assim ele vai adquirindo maturidade, até encontrar-se em condições de bem entender o porquê da definição de limite em termos de épsilons e deltas, um tratamento rigoroso que não tem tanta necessidade no curso ao qual se destina este texto.

2.2 Reta Tangente

Vamos considerar o problema que consiste em traçar a reta tangente a uma curva dada num determinado ponto da curva. No caso de uma circunferência, o problema é resolvido, em geometria elementar, de duas maneiras simples e equivalentes, ilustradas na Fig. 2.1.

1. A tangente à circunferência num ponto 𝑃 é a reta que passa por 𝑃 perpendicularmente ao raio por esse mesmo ponto;

2. A tangente à circunferência num ponto 𝑃 é a reta que só toca a circunferência nesse ponto.

(39)

Figura 2.1: Reta tangente a um ponto 𝑃

No caso de uma curva qualquer, a situação é mais complicada. A primeira solução só se aplicará se soubermos o que é raio de uma curva num ponto, mas isto é uma questão pelo menos tão delicada quanto a questão inicial de carcterizar a tangente (Fig. 2.2 a). A segunda solução também não é adequada a uma curva qualquer, como podemos ver facilmente: uma reta que toca uma curva num só ponto nem sempre merece o nome de tangente (Fig. 2.2 b), enquanto uma verdadeira tangente pode tocar a curva em mais de um ponto, como ilustra a Fig. 2.2 c.

2.2.1 Razão incremental

Para resolver o problema, supomos que a curva seja o gráfico de uma certa função 𝑓 . Sejam

𝑎 e 𝑓 (𝑎) as coordenadas do ponto 𝑃 , onde desejamos traçar a tangente. Consideremos um outro

ponto 𝑄 do gráfico de 𝑓 , cuja abscissa representamos por 𝑎 + ℎ; então, a ordenada de 𝑄 é 𝑓 (𝑎 + ℎ). O declive da reta secante 𝑃 𝑄 é dado pelo quociente

𝑓 (𝑎 + ℎ) − 𝑓 (𝑎) ℎ

chamado razão incremental. Essa designação se justifica, já que ℎ é realmente um incremento que damos à abscissa de 𝑃 para obter a abscissa de 𝑄; em consequência, a ordenada 𝑓 (𝑎 + ℎ) é obtida

(40)

de 𝑓 (𝑎) mediante o incremento 𝑓 (𝑎 + ℎ) − 𝑓 (𝑎), isto é, 𝑓 (𝑎 + ℎ) = 𝑓 (𝑎) + [𝑓 (𝑎 + ℎ) − 𝑓 (𝑎)].

2.3 Definição de Derivada

Definição 2.3.1. Sejam 𝑓 uma função e 𝑝 um ponto de seu domínio. O limite lim

𝑥↦→𝑝

𝑓 (𝑥)−𝑓 (𝑝) 𝑥−𝑝

quando existe e é finito, denomina-se derivada de 𝑓 em 𝑝 e indica-se por 𝑓′(𝑝).(leia-se 𝑓 linha de

𝑝). Assim

𝑓′(𝑝) = lim

𝑥↦→𝑝

𝑓 (𝑥)−𝑓 (𝑝) 𝑥−𝑝

(41)

2.3.1 Equação da Reta Tangente

Vamos imaginar agora que, enquanto o ponto 𝑃 permanexe fixo, o ponto 𝑄 se aproxima de 𝑃 , passando por sucessivas posições 𝑄1, 𝑄2, 𝑄3, etc. Logo, a secante 𝑃 𝑄 assumirá as posições 𝑃 𝑄1,

𝑃 𝑄2, 𝑃 𝑄3, etc. (Fig. ). O que se espera é que a rezão incremental já citada, que é o declive da

secante, se aproxime de um determinado valor 𝑚, à medida que o ponto 𝑄 se aproxima de 𝑃 . Isso acontecendo, definimos a reta tangente à curva no ponto 𝑃 como sendo aquela que passa por 𝑃 e cujo declive ou coeficiente angular è 𝑚. Esse número 𝑚 é também chamado de declive da curva no ponto 𝑃 .

O modo de fazer 𝑄 se aproximar de 𝑃 consiste em fazer um número ℎ cada vez mais próximo de zero na razão incremental. Dizemos que ℎ está tendendo a zero e escrevemos "ℎ → 0". Observe que ℎ pode assumir valores positivos e negativos. É claro que, se imaginarmos ℎ assumindo valores exclusivamente positivos, então o ponto 𝑄 estará se aproximando de 𝑃 pela direita. Mas podemos também imaginar que ℎ esteja assumindo valores exclusivamente negativos

(42)

Figura 2.4: Reta tangente a um ponto 𝑃 A equação da reta tangente é dada por:

𝑦 − 𝑓 (𝑝) = 𝑓′(𝑝)(𝑥 − 𝑝)

Assim, a derivada de 𝑓 , em 𝑝, é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de 𝑓 no ponto de abscissa 𝑝.

Exercícios Resolvidos 1. Seja 𝑓 (𝑥) = 𝑥2_{. Calcule:}

a) 𝑓′(1)

(43)

c) 𝑓′(−3)

2. Seja 𝑓 (𝑥) = 𝑥2_{. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de 𝑓 no ponto:}

a) (1, 𝑓 (1))

b) (−1, 𝑓 (−1))

(44)

2.4 Regras de Derivação

Esta seção apresenta algumas regras que permitem derivar funções constantes, funções de potência, polinômios, funções exponenciais, funções racionais e determinadas combinações delas, simples e diretamente, sem ter que a cada vez aplicar limites.

Derivada de uma função constante

Teorema 2.4.1. Se 𝑓 tem o valor constante 𝑓(𝑥) = 𝑐, então,

𝑓′(𝑥) = _𝑑𝑥𝑑𝑓 = _𝑑𝑥𝑑(𝑐) = 0

Exemplo: Calcule as derivadas de: a) 𝑓 (𝑥) = −3

b) 𝑓 (𝑥) = 5

Regra da Potenciação

Teorema 2.4.2. Se 𝑛 for qualquer número real, então:

𝑓′(𝑥) = 𝑑 𝑑𝑥𝑥

𝑛_{= 𝑛𝑥}𝑛−1

para todo 𝑥 em que as potências 𝑥𝑛 _{e 𝑥}𝑛−1 _{forem definidas:}

Exemplo: Determine a derivada das seguintes potências de 𝑥. a) 𝑥3 _{b) 𝑥}2₃ _{c) 𝑥}√2 _d) 1 𝑥4 e) 𝑥 −4 3 f) √ 𝑥2+𝜋

(45)

Derivada da constante multiplicada por uma função

Teorema 2.4.3. Se 𝑔 for uma função derivável de 𝑥, e 𝑐 for uma constante, então:

𝑓′(𝑥) = _𝑑𝑥𝑑(𝑐𝑔) = 𝑐𝑑𝑔_𝑑𝑥

Exemplo: Calcule a derivada de 𝑓(𝑥) = 3𝑥2

Derivada da Soma

Teorema 2.4.4. Se 𝑢 e 𝑣 são funções deriváveis de 𝑥, então a soma de 𝑢 + 𝑣 é derivável em qualquer ponto em que 𝑢 e 𝑣 sejam deriváveis. Em tais pontos,

𝑓′(𝑢 + 𝑣) = 𝑑 𝑑𝑥(𝑢 + 𝑣) = 𝑓 ′_{(𝑢) + 𝑓}′_{(𝑣) =} 𝑑𝑢 𝑑𝑥 + 𝑑𝑣 𝑑𝑥

Exemplo: Determine a derivada do polinômio 𝑦 = 𝑥3₊ 4𝑥2

3 − 5𝑥 + 1

2.5 Derivadas Elementares

Derivada da função exponencial

𝑓′(𝑎𝑥_{) =} 𝑑 𝑑𝑥(𝑎

𝑥_{) = ln 𝑥𝑎}𝑥

Exemplo: Calcule a derivada das funções: a) 𝑓 (𝑥) = 3𝑥

Derivada da função exponencial natural

𝑓′(𝑒𝑥) = _𝑑𝑥𝑑(𝑒𝑥) = 𝑒𝑥 Derivada da função logarítmica natural

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Derivada das funções Seno e Cosseno

𝑓′(sin 𝑥) = _𝑑𝑥𝑑(sin 𝑥) = cos 𝑥

𝑓′(cos 𝑥) = _𝑑𝑥𝑑(cos 𝑥) = − sin 𝑥

2.6 Derivadas de Produtos e Quocientes de funções

Embora a derivada da soma de duas funções seja a soma de suas derivadas, a derivada do produto de duas função não é o produto de suas derivadas, muito menos a derivada do quociente

não é o quociente das derivadas.

2.6.1 Derivada do Produto

Se 𝑢 e 𝑣 são deriváveis em 𝑥, então o produto 𝑢𝑣 também é, e:

𝑓′(𝑢𝑣) = _𝑑𝑥𝑑(𝑢𝑣) = 𝑓′(𝑢)𝑣 + 𝑢𝑓′(𝑣) = 𝑑𝑢_𝑑𝑥𝑣 + 𝑢𝑑𝑣_𝑑𝑥

outra notação, poderia ser:

𝑑

𝑑𝑥[𝑓 (𝑥)𝑔(𝑥)] = 𝑓

′_{(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓 (𝑥)𝑔}′_(𝑥)

Exemplo: Determine a derivada de: a) 𝑦 = (𝑥2 _{+ 1)(𝑥}3_{+ 3)}

b) 𝑦 = _𝑥1(𝑥2+ 𝑒𝑥)

c) 𝑦 = 𝑒2𝑥

(47)

2.6.2 Derivada do Quociente

Se 𝑢 e 𝑣 são deriváveis em 𝑥 e se 𝑣(𝑥) ̸= 0, então o quociente 𝑢_𝑣 é derivável em 𝑥, e:

𝑓′(𝑢_𝑣) = _𝑑𝑥𝑑(𝑢_𝑣) = 𝑓′(𝑢)𝑣−𝑢𝑓_𝑣2 ′(𝑣)

outra notação seria:

𝑑 𝑑𝑥[ 𝑓 (𝑥) 𝑔(𝑥)] = 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥)−𝑓 (𝑥)𝑔′(𝑥) 𝑔2_(𝑥)

Exemplo: Determine a derivada das funções: a) 𝑦 = 𝑡_𝑡23−1₊₁

b) 𝑓 (𝑥) = 𝑒−𝑥

c) 𝑦 = sin 𝑥_𝑥+1

d) ℎ(𝑥) = _{ln 𝑥+𝑒}2𝑥+3𝑥