INTRODUÇÃO AO CÁLCULO
Prof. Saulo Furletti
NÚMEROS INTEIROS, RACIONAIS E IRRACIONAIS.
Conjuntos dos Naturais
Símbolo: N N = { 1, 2, 3, 4, ...}
Operações em N:para todo a, b, c
N AdiçãoAssociativa: (a + b) + c = a + (b + c) Comutativa: a + b = b + a
Elemento neutro: a + 0 = a
Multiplicação
Associativa: (ab)c = a(bc) Comutativa: ab = ba Elemento neutro: a . 1 = a
Distributiva da multiplicação em relação à adição: a(b + c) = ab + bc
Conjuntos dos Inteiros
Símbolo: Z
Z = {..., – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, ...} Subconjuntos notáveis em Z:
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
Z - = {0, – 1, – 2, – 3, – 4, ...} Z*= {..., – 3, – 2, – 1, 1, 2, 3, ...}
Operações em Z.
Todas as operações semelhantes a N e:
Simétrico ou oposto para a adição: a + (– a) = 0 , para todo a
Z existe – a
Z.Os números inteiros podem ser representados por meio de uma reta orientada: (discreta)
Divisibilidade em Z
Dizemos que o inteiro a é divisor do inteiro b (a | b), quando existe um inteiro c tal que ca = b.
)
/
(
|
b
c
Z
ca
b
a
Exemplo:
4 | 0, pois 0 . 4 = 0
Quando a é divisor de b, dizemos que “b é divisível por a” ou “b é múltiplo de a”. Divisores de a: D(a)
D(2) = {– 1, 1, 2, – 2}
Múltiplos de a: M(a) M(2) = (0,
2,
4,
6, ...}Dizemos que um número inteiro p é primo quando p
0, 1 e –1 e D(p) = (1, –1, p, –p}.Conjuntos dos Racionais
Símbolo: Q
Conjuntos das frações
b
a
, em que a
Z e b
Z*, para os quais adotam as seguintesdefinições:
i) Igualdade:
ad
bc
d
c
b
a
ii) Adição:bd
bc
ad
d
c
b
a
iii) Multiplicação:bd
ac
d
c
b
a
Subconjuntos notáveis em Q.
Q+ = Conjuntos dos racionais não negativos Q_ = Conjuntos dos racionais não positivos Q* = Conjuntos dos racionais não nulos
Quando a e b são primos entre si ou seja, mdc(a, b) = 1, dizemos que
b
a
é uma fração
irredutível:
Atividade: Prove que os racionais com denominador igual a 1 comportam-se como inteiros para a igualdade, a adição e a multiplicação.
Operações em Q:
f
e
d
c
b
a
,
são racionais quaisquer.Adição
Associativa:
f
e
d
c
b
a
f
e
d
c
b
a
Comutativa:b
a
d
c
d
c
b
b
b
Multiplicação
Associativa:
f
e
d
c
b
a
f
e
d
c
b
a
Comutativa:b
a
d
c
d
c
b
a
Elemento neutro:
b
a
b
a
1
Distributiva da multiplicação em relação à adição:
f
e
b
a
d
c
b
a
f
e
d
c
b
a
Simétrico para a multiplicação:
Para todo
Q
b
a
e
0
b
a
, existe
Q
a
b
, tal que
1
a
b
b
a
.
Assim podemos estender a
c
d
b
a
d
c
b
a
:
Conjuntos os números reais
Símbolo: R
É a união dos conjuntos N, Z, Q e os números que não apresentam decimais não exatos e não periódicos (Irracionais).
Subconjuntos notáveis em Q.
R+ = Conjuntos dos reais não negativos R_ = Conjuntos dos reais não positivos R* = Conjuntos dos reais não nulos
As operações em R são semelhantes às operações em Q.
Dados dois números reais a e b, com a < b, definimos: a) intervalo aberto de extremos a e b, é o conjunto.
a
,
b
x
R
/
a
x
b
b) intervalo fechado de extremos a e b, é o conjunto.
a
,
b
x
R
/
a
x
b
c) intervalo fechado à esquerda (ou aberto á direita) de extremos a e b, é o conjunto.
a
,
b
x
R
/
a
x
b
d) intervalo fechado à direita (ou aberto á esquerda) de extremos a e b, é o conjunto.
a
,
b
x
R
/
a
x
b
a: extremo inferior do intervalo b: extremo superior do intervalo
Intervalos infinitos
a)
,
a
{
x
R
/
x
a
}
b)
,
a
{
x
R
/
x
a
}
c)
a
,
{
x
R
/
x
a
}
d)
a
,
{
x
R
/
x
a
}
ATIVIDADES
Naturais
1) Seja H o conjunto {
n
N
/
2
n
40
, n múltiplo de 2 e não múltiplo de 3}. Qual o númerode elementos de H?
2) Um subconjunto X de números maturais contém 12 múltiplos de 4, 7 múltiplos de 6, 5 múltiplos de 12 e 8 números ímpares?
3) Sendo
A
{
n
/
n
2
p
1
e
p
B
}
, qual é a condição sobre B para que n seja um númeronatural ímpar ?
Inteiros
4) Quais das proposições abaixo são verdadeiras? a) 0
Nb) (2 – 3)
N c) N
Zd) N
Z - = Ze) Z+
Z - =
f) (5 – 11)
N g) (– 4)(– 5)
Z+ h) (– 3)2
Z -5) Descreva os seguintes conjuntos.a) D(6) b)D(–18)
c) D(– 24)
D(16) d) M(4)e) M(10)
f) M(– 9)
M(6)6) Determine os seguintes números inteiros: a) mdc(2, 3)
b) mdc(– 4, 6)
c) mdc(–6, 14) d) mmc(2, 3)
e) mmc(– 4, 6) f) mmc(–6, 14)
Racionais
7) Quais das proposições abaixo são verdadeiras? a) N
Qb) Z
Q c) 0
Q d) 517
Qe) 0,32323232...
Qf)
Q
7
4
g)1
Q – Zh)
7
2
Q – Z
i)
2
14
Q – Zj)
14
21
é irredutível
k) r
Q
– r
Q9) Quais das proposições abaixo são verdadeiras
a) 3
R b) N
R c) Z
Rd)
2
1
R – Q
e)
4
R – Q f) 34
R – Qg)
(
2
3
3
)
R – Qh)
2
5
2
3
Q
10) Mostre que
4
2
3
1
3
11) Mostre que existem a e b racionais tais que
18
8
2
a
b
2
.12)Descreva utilizando a notação da teoria dos conjuntos e a representação gráfica cada um dos intervalos.
a) [– 1, 3] b) ]0, 2]
c) [ – 1, 10[ d) ] –
, 5]e) ] 2, +
[13) Descreva graficamente os seguintes conjuntos a) [0, 2]
[1, 3[FUNÇÃO DO 1º GRAU.
Função constante: Uma aplicação f de R em R recebe o nome de função constante quando a cada elemento x
R associa sempre um mesmo elemento c
R.f(x) = c
O gráfico da função constante é uma reta paralela ao eixo x passando pelo ponto (0, c). A imagem é o conjunto Im = { c }
c
x
R
R
f
:
Função identidade: Uma aplicação f de R em R recebe o nome de função identidade quando a cada elemento x
R associa o próprio x.f(x) = x
O gráfico da função identidade é uma reta que contém as bissetrizes dos 1º e 3º quadrantes. A imagem é Im = R
x
x
R
R
f
:
O gráfico é uma reta que passa pela origem. A imagem é Im = R.
0
:
a
com
ax
x
R
R
f
Função afim: Uma aplicação f de R em R recebe o nome de função afim quando a cada elemento x
R associa o elemento (ax + b)
R em que a
0 e b são números reais dados.f(x) = ax + b (a
0)Em que:
a é o coeficiente angular ou declividade. b é o coeficiente linear.
O gráfico é uma reta no plano cartesiano
0
:
a
com
b
ax
x
R
R
f
Construção do gráfico
O gráfico de uma função é o conjunto de todos os pontos (x, y)
O eixo horizontal (Ox) é o eixo das abscissas.
O eixo vertical (Oy) é o eixo das ordenadas.
O ponto
O
(interseção de Ox com Oy) é a origem.
Exemplos:
Construir o gráfico da função f:A
R, dada por y = x + 1, onde A = {0, 1, 2, 3}
Construí o gráfico da função g dada por g(x) = 2x
x
y
0
1
1
2
2
3
3
4
1º quadrante
3º quadrante 4º quadrante
Para verificar se uma curva no plano cartesiano representa o gráfico de uma
função, podemos utilizar o teste da reta vertical.
Pois o gráfico só representa uma função se, e somente se, nenhuma reta
vertical corta a curva mais de uma vez.
Função Não é função
Zero da função afim: é todo número x em que a imagem é nula, isto é, f(x) = 0.
Exemplo: Determine o zero da função f(x) = 2x – 1.
Resolução algébrica: se f(x) = 0, então: 2x – 1 = 0
2x = 1
x =
2
1
x
y
– 2
– 4
– 1
– 2
0
0
2
2
Resolução gráfica:
Função crescente: A função
f
:
A
B
, definida por y = f(x) é crescente no conjuntoA
A
1
, se, para dois valores quaisquer x1 e x2 pertencentes a A1, com x1 e x2, tivermos f(x1) < f(x2).Simbolicamente: f é crescente quando:
))
(
)
(
)(
,
(
x
1x
2x
1
x
2
f
x
1
f
x
2ou
)
0
)
(
)
(
)(
,
(
2 1 2 1 2 1 21
x
x
x
f
x
f
x
x
x
x
Função decrescente: A função
f
:
A
B
, definida por y = f(x) é decrescente no conjuntoA
A
1
, se, para dois valores quaisquer x1 e x2 pertencentes a A1, com x1 e x2, tivermos f(x1) > f(x2).Simbolicamente: f é crescente quando:
))
(
)
(
)(
,
(
x
1x
2x
1
x
2
f
x
1
f
x
2ou
)
0
)
(
)
(
)(
,
(
2 1 2 1 2 1 21
Interpretação gráfica:
Crescimento e decrescimento da função afim: Teoremas
A função afim f(x) = ax + b é crescente se, e somente se, o coeficiente angular for positivo.
Demonstração:
f(x) = ax + b é crescente, se e somente se:
0
0
)
(
0
)
(
)
(
0
)
(
)
(
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 21
a
x
x
x
x
a
x
x
b
ax
b
ax
x
x
x
f
x
f
A função afim f(x) = ax + b é decrescente se, e somente se, o coeficiente angular for positivo.
Demonstração:
f(x) = ax + b é crescente, se e somente se:
0
0
)
(
0
)
(
)
(
0
)
(
)
(
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 21
a
x
x
x
x
a
x
x
b
ax
b
ax
x
x
x
f
x
f
Ex.: y = 2x + 3 (crescente, pois a > 0) Ex.: y = – x + 3 (decrescente, pois a < 0)
Na prática, sem o rigor matemático temos, que uma função é:
Decrescente quando ao aumentar o valor de x o valor de y diminui. Ou ao diminuir o valor de x o valor de y aumenta.
Sinal de uma função: Estudar o sinal de uma função, quando a função está representada no plano cartesiano, basta examinar se é positiva, nula ou negativa a ordenada em cada ponto da curva..
Observe o gráfico.
Sinal da função afim: Estudar o sinal de uma função afim é determinar os valores de x para os quais y é positivo, nulo ou negativo.
Se a > 0, temos:
Inequações: Sejam as funções f(x) e g(x) cujos domínios são respectivamente D1
R e D2
R, chamamos de inequação na incógnita x a qualquer uma das sentenças abaixo.)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
Domínio de validade: Chamamos de domínio de validade da inequação f(x) < g(x) o conjunto D = D1
D2, em que D1 é o domínio da função f e D2 é o domínio da função g. É evidente que, para todo xo
D, estão definidos f(xo) e g(xo), isto é:)
)
(
)
(
(
)
(
0 1 0 2 0 00
D
x
D
e
x
D
f
x
R
e
g
x
R
x
Solução: O número real x0 é solução da inequação f(x) > g(x), se, e somente se, é verdadeira a sentença f(x0) > g(x0).
Ex.: O número real 3 é solução da inequação 2x + 1 > x + 3, pois: 2 . 3 + 1 > 3 + 3
Ao conjunto S de todos os números reais x tais que f(x) > g(x) é uma sentença verdadeira chamamos de conjunto solução.
Inequações simultâneas: A dupla desigualdade f(x) < g(x) < h(x) se decompõe em duas inequações simultâneas, isto é, equivalente a um sistema de duas equações em x, separadas pelo conectivo e:
Indicando com S1 o conjunto solução de 1 e S2 o conjunto solução de 2, o conjunto solução dupla desigualdade é S = S1
S2Inequação-produto: Sendo f(x) e g(x) duas funções na variável x, as inequações f(x) . g(x) > 0, f(x) . g(x) < 0, f(x) . g(x)
0, f(x) . g(x)
0, são denominadas inequeções-produto.A resolução pode ser feita com o estudo do sinal das funções , separadamente , seguido da determinação dos sinais do produto de f(x) por g(x) e posteriormente identificando os valores de x satisfazem a inequação-produto.
ATIVIDADES:
Função constante, identidade e linear
1) Construa o gráfico das funções de R em R. a) y = 2
b) y =
2
c) y = – 3
d) y = 0 e) y = x f) y = 2x
g) y = 3x
h) y =
2
x
Função afim
2) Construa o gráfico das funções de R em R. a) y = 2x – 1
b) y = x + 2 c) y = 3x + 2
d) y =
2
3
2
x
e) y = – 3x – 4 f) y = – x + 1
g) y = –2x + 3
h) y =
2
3
4
x
3) Resolva graficamente os sistemas
a)
1
5
y
x
y
x
b)
8
3
2
14
2
3
y
x
y
x
c)
3
4
2
1
2
y
x
y
x
Função4) Com base nos gráficos abaixo, de funções de R em R, especifique os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.
Função afim
5) Especifique, para cada uma das funções abaixo, se é crescente ou decrescente em R, identificando o coeficiente angular.
a) y = 3x +1 b) y = – x – 2
c) y = 2 – 5x d) f(x) = x
e) y = – 2x f) y = x + 2
6) Estude, segundo os valores do parâmetro m, a variação (crescente, decrescente ou constante) das funções abaixo.
7) Estude os sinais das funções definidas em R. 8) Estude o sinal das funções:
a) y = 2x + 3
b) y = x – 2 c) y = – x +
3
2
d) y =
2
1
x + 3
8) Para que valores do domínio da função de R em R definida por
2
1
3
)
(
x
x
f
a imagem émenor que 4?
9)
Determine a imagem de cada uma das funções representadas pelos gráficos
abaixo:
10) Para que valores do domínio da função de R em R definida por y = 4x – 5 a imagem é maior que 2?
Inequações
11) Resolva as inequações, em R. a) 4x + 5 > 2x – 3
b) 5(x+3) – 2(x + 1)
2x + 3 c) 3(x + 1) – 2
5(x – 1) – 3(2x– 1)d)
1
4
3
2
1
x
x
e) – 2 < 3x – 1 < 4
f) – 4 < 4 – 2x
3 g) – 3 < 3x – 2 < xh) x – 1
7 – 3x >2
x
– 1
Inequações-produto
12) Resolva em R, as inequações. a) (3x + 3)(5x – 3) > 0
b) (4 – 2x)(5 + 2x) < 0
c) (5x + 2)(2 – x)(4x + 3) > 0
d) (6x –1)(2x + 7)
0FUNÇÃO QUADRÁTICA
Um aplicação f de R em R recebe o nome de função quadrática ou do 2º grau quando associa a cada x
R o elemento (ax2 + bx + c)
R em que a, b, c são números reais dados e a
0.f(x) = ax2 + bx + c (a
0)Gráfico:Em um sistema cartesiano ortogonal, o gráfico de uma função quadrática é representado por uma curva, à qual chamamos de parábola.
Ex.: Construir o gráfico da função f(x) = x² – 2x – 3
Atribuímos valores para x e obtemos valores para y, organizando-os com auxílio de uma tabela
Concavidade: O gráfico de uma função quadrática sempre será uma parábola e essa parábola terá concavidade voltada para cima quando a > o e voltada para baixo quando a < 0.
a > 0 a < 0
x y
– 2 – 4 – 1 – 2
0 0
2 2
Zeros: Os zeros ou raízes da função f(x) = ax + bx + c são os valores de x reais tais que f(x) = 0 e, portanto, as soluções da equação do segundo grau é dada pela aplicação da fórmula:
a
ac
b
b
x
2
4
2
Número de raízes: Observe que a existência de raízes reais para a equação do segundo grau
ax2 + bx + c = 0 fica condicionada ao fato de
ser real. Assim, temos 3 casos a considerar:Se
0
a equação terá duas raízes reais e diferentes. Portanto a parábola gerada pelafunção intercepta em dois pontos diferentes o eixo x.
Se
0
a equação terá duas raízes reais iguais. Portanto a parábola gerada pela funçãointercepta em apenas um ponto eixo x.
Se
0
a função não terá raízes reais. Portanto a parábola gerada pela função nãointercepta o eixo x.
Dizemos que o número ym
im(f) é o valor mínino da função y = f(x) se, e somente se,ym
y para qualquer y
I
M(
f
)
. O número xm
D(f) tal que ym
f(xm) é chamado ponto de mínimo da função.Vértice: O ponto
a
a
b
V
4
,
2
é chamado de vértice da parábola representativa da funçãoquadrática.
Sinal da função quadrática: Consideremos a função quadrática f(x) = ax2 + bx + c, com (a
0), temos 3 casos a observar:1º caso: se
< 0R
x
x
f
a
R
x
x
f
a
,
0
)
(
0
,
0
)
(
0
2º caso: se
= 0R
x
x
f
a
R
x
x
f
a
,
0
)
(
0
3º caso: se
> 01) O sinal de f(x) é o sinal de a para todo x, tal que x < x1 ou x > x2; 2) O sinal de f(x) é o sinal de – a para todo x, tal que x1 < x < x2;
Inequação do segundo grau.
Se a
0, e as inequações ax2+bx+c < 0, ax2+bx+c > 0, ax2+bx+c
0, ax2+bx+c
0, são chamadas de inequações do 2º grau.Por exemplo, resolver a ax2+bx+c > 0, é responder a pergunta: “existe x real tal que f(x) = ax2+bx+c seja positiva? A resposta a essa pergunta é encontrada no estudo do sinal de
Ex.: Resolva a equação x2– 2x + 2 > 0
Ex.: Resolva a equação x2– 2x + 1
0ATIVIDADES:
Definição/concavidade
1) Identificar a, b e c nas funções quadráticas abaixo, relacionando a concavidade da parábola com o coeficiente a.
a) f(x) = x2– 9x +8 b) f(x) = –2x2 + 7x – 6
c) f(x) = – x2 + 4x + 1 d) y = 3x2 + x + 5
2) Encontre a condição o parâmetro m, de modo que as função sejam quadráticas. a) y = (3m + 9)x2 +3x – 2
b) f(x) = (m + 1)x2 +4x +1
c) f(x) = (2 + m)x2– 5x +3 d) y = (3m + 7)x2 +7x +9 3) Construa os gráficos:
a) y = x2 b) y = – x2
4) Determine uma função quadrática tal que f(–1) = – 4, f(1) = 2 e f(2) = – 1
5) Seja f(x) = ax2 + bx + c. Sabendo que f(1) = 4, f(2) = 0 e f(3) = – 2, determine o produto abc.
Zeros
6) Determine os zeros reais das funções. a) f(x) = 3x2– 7x + 2
b) f(x) = x2 +5x + 7 c) f(x) = x2 + 4x + 4 d) f(x) = –2x2+ 2
e) f(x) = x2– 100 f) f(x)= – x2 + x – 1
g) f(x) = x2 + (1 –
3
)x –3
7) Determine o valo de m para que a função quadrática:
a) f(x) = (m – 1)x2 + (2m + 3)x + m tenha dois zeros reais e distintos. a) f(x) = mx2 + (m + 1)x + (m+1) tenha um zero real duplo.
c) f(x) = (m – 1)x2 + (2m + 3)x + m não tenha zeros reais.
8) Mostre que na equação do segundo grau ax2 + bx +c = 0, de raízes reais x1 e x2, temos para a soma S da raízes S = x1 + x2 =
a
b
e para o produto P das raízes P = x1 . x2 =a
c
Vértice
9) Determine o vértice das parábolas: a) y = x2– 4
b) y = – x2 + 3x c) y = 2x2– 5x + 2
d) y = – x2 +
2
1
x +
2
3
e) y = – 2x2 + 5x
10) Determine o valor máximo ou o valor mínimo e o ponto máximo ou mínimo das funções do exercício anterior.
11) Determine o valor de m na função real f(x) = 3x2 – 2x + m para que o valor de mínimo seja
3
5
.12) Determine o valor de m na função real f(x) = – 3x2– 2(m – 1)x + (m+1) para que o valor de máximo seja 2.
Gráficos/estudo sinal 13) Construa os gráficos. a) y = x2– 4
b) y = 3x2– 7x + 2 c) y = x2– 2x
d) f(x) = x2– 6x + 8 e) f(x) = x2– 5x + 6 f) f(x) = –x2– 4x + 12
g) f(x) = – x2 + 6x – 9
14) Estude o sinal de cada função do exercício anterior.
Inequações
15)Resolva as inequações em R. a) x2– 3x + 2 > 0
b) –x2 + x + 6 > 0
c) – 3x – 8x + 3
0 d) x2– 6x + 9
0
e) 2x2– 4x + 5 < 0 f) (1 – 4x2)(2x2+3x)>0
MÓDULO E VALOR ABSOLUTO
Definição: Sendo x
R, defini-se módulo ou valor absoluto de x, que se indica por | x |, por meio da relação
0
|
|
0
|
|
x
se
x
x
ou
x
se
x
x
1) Módulo de um número real não negativo é igual ao próprio número; Ex.: | 3 | = 3
2) Módulo de um número real negativo é igual ao oposto desse número. Ex.: | – 3 | = 3
Função Modular: é uma aplicação de R em R que a cada x
R, se associa o elemento | x |
R.f(x) = | x | Esta função também pode ser definida como:
0
0
)
(
x
se
x
x
se
x
x
f
Gráfico:
Ex.:Construa o gráfico da função real definida por f(x)=|x + 1|
Equações modulares:
| x | = k
x = K ou x = - KEx.:
Resolver |2x – 1| = 3
Resolver: |3x – 1| = |2x + 3|
Resolver: |x+1| = 3x +2
Inequações modulares:
Propriedade do módulo dos números reais, para K > 0, temos: Caso 1: | x | > k
– K < x < KCaso 2: | x | < k
x < – K ou x > KATIVIDADES
Módulo / Função modular
1) Construa os gráficos das seguintes funções abaixo: a) f(x) = |x – 1|
b) f(x) = |2x – 1| c) f(x) = |2 – 3x| d) f(x) = |x2 + 4x| e) f(x) = |4 – x2| f) f(x) = |x2– 3x + 2|
g) f(x) =| x | – 3 h) f(x) = |x – 1| + 2 i) f(x) = |2x – 1| – 2 j) f(x) = | x | + x k) f(x) = | x | – x l) f(x) = | x – 3 | + x +2
m) f(x) = | 2x + 1 | + |x – 1| n) f(x) = | x + 1 | + | x – 1| o) f(x) = | x – 1 | – | x | p) f(x) = | 2x – 2 | + |x + 3|
Equação modular
2) Resolvas as equações em R. a) |x + 2| = 3
b) |3x – 1| = 2 c) |4x – 5| = 0
d) |x2– 3x –1| = 3 e) |2x – 3| = – 1 f) |3x + 2| = |x –1|
g) |4x – 1| – |2x + 3| = 0 h) |x2 + x – 5| = |4x – 1|
Inequação modular
3) Resolva, em R, as inequações abaixo.
a) |3x – 2| < 4
b) |2x – 3|
1 c) |4 – 3x|
5 d) |3x + 4|
0e) |2x + 4| < – 3
f) |5x + 4|
0 g) |2 – 3x|
1 h) |3x – 5| > 0POTÊNCIAS / FUNÇÃO EXPENENCIAL
Potência com expoente natural
Definição: Seja a um número real e n um número natural. Potência de base a e expoente n é o número an tal que:
1
,
,
1
1 0n
n
a
a
a
a
n nDe modo geral, para p natural e p
2, temos que ap é um produto de p fatores iguais a a.Potência com expoente inteiro negativo: Dado um número real a, não nulo, e um número n natural, defini-se a potência
a
n, pela relação:n n
a
a
1
Propriedades
Se
a
R
,
b
R
,
m
Z
e
n
Z
, então vale as seguintes propriedades. m n m n
a
a
a
a
a
e
m
n
a
a
m nn m
0
,
(
a
b
)
n
a
n
b
n
,
0
b
b
a
b
a
n n n m n mn
a
a
)
(
Potência com expoente racional: Dados
a
R
e
Q
(
p
Z
e
q
N
)
q
p
, defini-se potencia
de a e expoente
q
p
pela relação: q p q pa
a
Se a = 0 e
0
q
p
, adotamos a seguinte definições especial:
0
q
0
p
Dado um número real a, tal que 0 < a
1, chamamos função exponencial de base a a função f de R em R que associa a cada x real o número ax.x
a
x
R
R
f
:
Propriedades:
A função exponencial f(x) = ax, temos: x = 0
f(0) = a0 = 1 A função exponencial f(x) = ax, é crescente se, e somente se, a > 1. Portanto, dados os reais x1 e x2, temos: x1 < x2
f(x1) < f(x2). A função exponencial f(x) = ax, é decrescente se, e somente se, 0 < a < 1. Portanto, dados os reais x1 e x2, temos: x1 < x2
f(x1) > f(x2).A imagem da função exponencial é
R
.Gráfico: Com relação ao gráfico da função f(x) = ax, podemos dizer:
1) a curva representativa está toda acima do eixo x, pois f(x) = ax > 0 para todo x
R. 2) Corta o eixo y no ponto de ordenada 1.3) Se a > 1 a função é crescente, se 0 < a < 1 a função é decrescente. 4) Aspecto do gráfico abaixo.
Equações exponenciais
Definição: Equações exponenciais são equações com incógnitas no expoente.
Ex.: 2x = 64
Método de redução a uma base comum: É aplicado quando ambos os membros da equação, com as transformações convenientes baseadas nas propriedades de potências, forem
redutíveis a potências de mesma base a (0 < a
1). Isto é:)
1
0
(
a
b
c
a
a
b cEx.: 22x-1 . 27x+1 = 32x-1 (aplica-se propriedades de potências) Ex.: 4x– 2x = 56 (resolve-se utilizando variável auxiliar)
Inequações exponenciais:
Definição: São inequações que apresentam incógnita no expoente.
Ex.: 2x > 32
Redução à base comum: Este método é aplicado quando ambos os membros da inequação puderem ser representados como potências de mesma base a (0 < a
1).Lembremos que função exponencial f(x) = ax é crescente, se a > 1, ou decrescente, se 0 < a < 1; portanto
Se b e c são números reais, então:
Para a > 1 tem-se ab > ac
b > c Para 0 < a < 1 tem-se ab > ac
b < c Ex.: 2x > 128
2x > 27 (base maior que 1, logo x >7)S
{
x
R
/
x
7
}
Ex.:
3
5
3
5
3
27
125
5
3
x x(base entre 0 e 1, logo
x
3
)}
3
/
{
ATIVIDADES
Potenciação: 1) Calcule: a) (–3)3 b) (– 2)1 c) 3– 4 d) 17 e) 3
3
2
f) 43
1
g) 32
1
h) 03
2
i) – 22 j) 2
2
3
k) (– 1)10
j) (– 1)10 m) 07 n) (– 4)0 o) – 50 p) – (–1)15
2) Resolva as multiplicações a) 35 . 32
b) x2 . x c) (xy)3 . (xy)2 d) (3x)2 . (3x)5
e) (-10)2 . (-10)
f) 5 5
2
1
2
1
xy
xy
3) Resolvas as divisões a) 63 : 62
b) 24 : 23 c) x2 : x d) (xy)5 : (xy)2 e) (- 7)20 : (- 7)10
f) 118 : 116 g) x100 : x50 h) 3 5
2
1
:
2
1
x
x
4) Resolva as potências a) (x2)3
b) (2x5)2 c) (52)9 d) (– k2)4
e) ((y)2)4 f) 3 3
2
1
x
5) Escreva em forma de raiz
a) 2
1
5
b) 4
6) Escreva em forma de potência com expoente fracionário
a)7
3
3b)
7
c) 5
5
2d) 4
5
e)
a
f)c
b
a7) Simplifique as expressões, supondo ab
0 a) (a2 . b3)3 . (a3 . b2)3b) 2 2
3 3 4
)
.
(
)
.
(
b
a
b
a
8) Simplifique:a) 3
4 5 1 5 2
2
.
2
.
2
b) 3 2 3 1 2 13
.
3
3
.
3
Função exponencial9) Construa os gráficos cartesianos das seguintes funções, identificando-as em crescentes ou decrescentes.
a) y = 3x b) y = 4x c) x
y
3
1
d) y =
10
xe) y = 2x– 3 f) y =
3
1
1
xg) y =
3
.
2
x1Equações exponenciais
10) Resolva as seguintes equações exponenciais a) 2x = 128
b) 3x = 243 c) 2x =
16
1
d)
8
1
4
5 x
e) 23x–1 = 32 f) 74x + 3 = 49
g)
5
2x23x2
1
h) 811 – 3x = 27 i) 4x– 2x– 2 = 0 j) 9x + 3x = 90
k) 4x + 4 = 5.2x l) 9x + 3x+1 = 4
Inequações exponenciais
11) Resolva as equações exponenciais a) 2x < 32
b)
81
1
3
1
xc)
4
x
8
d)
3
2x3
243
e)
2
5x1
8
f)
LOGARITMOS / FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Definição: Sendo a e b números reais e positivos, com a
1, chama-se logaritmo de base b na base a o expoente que se deve dar à base de modo que a potência obtida seja igual a b.Simbolicamente: se
a
,
b
R
,
0
a
1
e
b
0
, então:b
a
x
b
xa
log
Em que: a base
b logaritmando x logaritmo
Ex.:
log
28
3
,
pois
2
3
8
Consequências da definição
1)
log
a1
0
2)
log
aa
1
3)
a
logab
b
4)
log
ab
log
ac
b
c
Sistemas de logaritmos:
Logaritmos decimais: é o sistema de utiliza a base 10, também chamado de logaritmos vulgares ou de Briggs.
Notação:
log
10x
ou simplesmentelog
x
Logaritmos neperianos: é o sistema de utiliza a base e (e = 2,71828...), também chamado de logaritmos naturais.
Notação:
log
ex
ouln
x
Propriedades dos logaritmos
1º) Logaritmo do produto.
então
c
e
b
x
Se
0
1
,
0
0
,
c
b
c
b
a aa
(
)
log
log
log
Ex.:
log
5(
3
4
)
log
53
log
54
2º) Logaritmo do quociente.
então
c
e
b
x
c
b
c
b
a a
a
log
log
log
Ex.:
log
3
log
4
4
3
log
5
5
5
Observação: Cologaritmo
então
b
e
x
Se
0
1
,
0
,
b
b
aa
log
colog
Ex.:
colog
25
log
25
3º) Logaritmo da potência
então
R
e
b
x
Se
0
1
,
,
0
,
b
b
aa
log
log
Ex.:
log
35
2
2
log
35
Mudança de base: Existem situações que é conveniente trabalhar os logaritmos com bases iguais
se a, b e c são números reais positivos e a e c diferentes de 1, tem-se que:
a
b
b
c c a
log
log
log
Função logarítmica: Dado um número real a (0 < a
1), chamamos de função logarítmica de base a função f deR
em R que associa a cada x o númerolog
ax
.x
x
R
R
f
a
log
:
Ex.:
f
(
x
)
log
2x
Gráfico: Com relação ao gráfico cartesiano de função
f
(
x
)
log
ax
(0 < a
1), podemos dizer:1) Está todo à direita do eixo y (x > 0) 2) Corta o eixo x no ponto de abscissa 1.
3) Se a > 1 é de uma função crescente e se 0 < a < 1 é de uma função decrescente; a. O gráfico é simétrico em relação à reta y = x.
Exemplos de gráfico:
Equações Logarítmicas:
Temos alguns tipos de equações, estudaremos os seguintes:
1º tipo:
log
af
(
x
)
log
ag
(
x
)
É a equação que apresenta, ou é redutível a, uma igualdade entre dois logaritmos de mesma base a (0 < a
1). Não esquecer das condições de existência do logaritmo.Ex.: Resolver a equação
log
7(
3
x
5
)
log
77
4
7
)
5
3
C.E.
3
5
0
)
5
3
(
x
x
S = {4}
2º tipo:
log
af
(
x
)
a
É a equação que apresenta, ou é redutível a, uma igualdade entre um logaritmo e um número real. Para resolver basta aplicarmos a definição de logaritmo.
Ex.: Resolver a equação
log
2(
3
x
5
)
4
5
15
3
1
3
2
4
x
x
x
ATIVIDADES
Definição propriedades
1) Calcule pela definição os seguintes logaritmos
a)
log
416
b)
9
1
log
3c)
log
813
d)
log
8
2 1 e)
7
1
log
4 1f)
log
22
g)
log
3749
h)
log
32
8
2) Calcule o valor de:
a)
3
log34b)
4
log23c)
3
2log25d)
8
1log233) Desenvolva, aplicando as propriedades dos logaritmos (a, b e c são reais e positivos)
a)
c
ab
2
log
2b)
c
ab
2 3log
c)
bc
a
5
log
5d)
4 2 3 2log
c
b
a
Mudança de base
4) Sabendo que
log
302
a
elog
305
b
, calculelog
102
5) Sabendo que
log
202
a
elog
203
b
, calculelog
65
Função / Gráficos
6) Se
x
x
f
(
)
log
e1
, calcule o valor def
(
e
3)
7) Construa os gráficos das funções:
a)
f
(
x
)
log
3x
b)
f
x
x
3 1
log
)
(
c)
f
(
x
)
log
x
d)
f
(
x
)
2
log
2x
e)
f
(
x
)
log
2x
2f)
f
(
x
)
log
2
x
1
8) Determine o domínio das funções
a)
f
(
x
)
log
3
x
2
4
b)f
(
x
)
log
2
1
x
c)
f
(
x
)
log
(3x)
x
2
Equações Logarítmicas 9) Resolva as equações
a)
log
4(
3
x
2
)
log
4(
2
x
5
)
b)
log
3(
5
x
6
)
log
3(
3
x
5
)
c)
log
(
5
14
1
)
log
(
4
24
20
)
2 2
2
x
x
x
x
d)
log
(
5
3
11
)
log
(
3
22
8
)
3 2 2
3
2
x
x
x
x
e)
log
5(
4
x
3
)
1
f)
log
(
3
5
)
0
2
1
x
g)
log
3(log
2x
)
1
h)
log
x(
3
x
2
13
x
15
)
2
i)
log
(
26
)
3
1
x
x
x
TRIGONOMETRIA
Razões trigonométricas no triângulo retângulo
Considerando o triângulo retângulo e fixando um ângulo agudo
B
ˆ
, temos:b
a
B
ˆ
sen
a
c
B
ˆ
cos
c
b
B
tg
ˆ
b
c
B
ˆ
cotg
Relação entre seno, cosseno, tangente e cotangente
Relação fundamental
Portanto:
sen
2B
ˆ
cos
2B
ˆ
1
Considerando a razão
B
B
sen
ˆ
cos
ˆ
, desenvolvendo temos:
B
B
sen
B
tg
ˆ
cos
ˆ
ˆ
Considerando a razão
B
sen
B
ˆ
ˆ
cos
, desenvolvendo temos:
B
sen
B
B
ˆ
ˆ
cos
ˆ
cotg
ouB
tg
B
ângulo
Razão 30º 45º 60º
Seno
2
1
2
2
2
3
Cosseno2
3
2
2
2
1
tangente3
3
13
Cotangente
3
13
3
Generalizando temos: Teoremas:1
cos
22
x
x
sen
para todo x realx
[
0
,
2
]
x
x
sen
x
tg
cos
para todo x realx
[
0
,
2
]
e
2
3
,
2
x
x
sen
x
x
cos
cotg
para todo x realx
[
0
,
2
]
ex
0
,
,
2
x
x
cos
1
sec
para todo x realx
[
0
,
2
]
e
2
3
,
2
x
x
sen
x
1
sec
cos
para todo x realx
[
0
,
2
]
ex
0
,
,
2
Colorário:
Para todo x real,
,
2
2
3
,
,
2
,
0
]
2
,
0
[
e
x
x
, valem as relações.x
tg
x
g
1
cot
x
x
tg
2
1
sec
2x
g
2cos
sec
2cot
1
x
tg
x
tg
x
sen
2 21
Ciclo trigonométrico
Definição: Tomemos sobre um plano cartesiano ortogonal uOv. Consideramos a circunferência
(gama) de centro O e raio r = 1. Notemos que o comprimento dessa circunferência é de2
, pois r = 1.Vamos associar agora a cada número real x, com
0
x
2
, um único ponto P da circunferência
do seguinte modo:1º) se x = 0, então P coincide com A.
2º) se x > 0m então realizamos a partir de A um percurso de comprimento x, no sentido anti-horário, e marcamos P como ponto final do percurso.
Funções circulares
Função Seno: Dado um número real x, seja P sua imagem no ciclo. Denominamos seno de x a ordenada
OP
1do ponto P em relação ao sistema uOv. Denominamos função seno a função f:RR que associa a cada real x o real
OP
1
sen
x
, isto é:x
sen
x
f
(
)
Gráfico: Fazendo um diagrama com x em abscissas e
sen
x
em ordenadas, podemos construiro seguinte gráfico, denominado senóide, que nos indica como varia a função
f
(
x
)
sen
x
.Domínio: Conjunto dos reais
Função cosseno: Dado um número real x, seja P sua imagem no ciclo. Denominamos seno de x a ordenada
OP
2do ponto P em relação ao sistema uOv. Denominamos função cosseno afunção f: RR que associa a cada real x o real
OP
2
cos
x
, isto é:x
x
f
(
)
cos
Gráfico: Fazendo um diagrama com x em abscissas e
cos
x
em ordenadas, podemos construiro seguinte gráfico, denominado cossenóide, que nos indica como varia a função
x
x
f
(
)
cos
.Função tangente: Dado um número real x,
x
k
2
, seja P sua imagem no ciclo.Consideremos a reta
OP
e seja T sua interseção com o eixo das tangentes. Denominamostangente de x a medida algébrica do segmento
AT
.Denominamos função tangente de a função f: D R que associa a cada real x,
x
k
2
, oreal
AT
tg
x
, isto éf
(
x
)
tg
x
Domínio:
x
R
x
k
D
2
/
Imagem: Conjunto dos reais
Transformações trigonométricas
Fórmulas de adição
Cosseno da soma:
cos(
a
b
)
cos
a
cos
b
sen
a
sen
b
Cosseno da diferença:
cos(
a
b
)
cos
a
cos
b
sen
a
sen
b
Seno da soma:
sen
(
a
b
)
sen
a
cos
b
sen
b
cos
a
Seno da diferença:
sen
(
a
b
)
sen
a
cos
b
sen
b
cos
a
Tangente da soma:
b
tg
a
tg
b
tg
a
tg
b
a
tg
1
)
(
Sendo aplicável se:
a
k
b
k
e
a
b
k
2
2
,
2
Tangente da diferença:
b
tg
a
tg
b
tg
a
tg
b
a
tg
1
)
(
Sendo aplicável se:
a
k
b
k
e
a
b
k
2
2
,
2
Fórmulas de Multiplicação
